Nivelación Restitutiva

Grupo

Nivel 2 2006

Matemática

Geometría 1º Medio

Material elaborado por: Facultad de Educación, Pontificia Universidad Católica de Chile Equipo Desarrollo Pedagógico - Programa Liceo Para Todos

Esta bitácora pertenece a: Nombre Curso Liceo

Figuras geométricas: Sus propiedades y sus clasificaciones. Transformaciones isométricas ¿Sabías que la primera prueba documental de la celebración de los Juegos Olímpicos data del año 776 a. C. en la localidad griega Olimpia, en la península mediterránea del Peloponeso?

Uno de los deportes más importantes es el tiro del disco, deporte del cual se sabe que el ángulo de lanzamiento ideal es 45°. ¿Sabías que ángulo significa codo flexionado, el cual deriva del sustantivo latino ángulus y éste del griego ankýlos que significa doblado? Completa la siguiente tabla indicando el tipo de ángulo y la medida de éste. Descripción del ángulo

Dibujo que representa la situación planteada

Nombre del ángulo

Medida del ángulo

El brazo está totalmente extendido y está paralelo al suelo. El antebrazo está flexionado verticalmente respecto del suelo. El codo está flexionado en una abertura menor cuando está en posición vertical al suelo. El codo está flexionado en una abertura mayor cuando está en posición vertical al suelo.

Observa las siguientes imágenes e identifica los ángulos agudos, rectos, obtusos y extendidos según correspondan.

——

Toma nota: La clasificación de los ángulos en agudos o ángulos que miden menos de 90°, rectos o ángulos que miden 90°, obtusos o ángulos que miden más de 90°, pero menos de 180°; y extendido o ángulo que mide 180°, es anterior a Platón y quizás de origen griego, así como el concepto de perpendicular o de intersección en 90°. ¿Sabías que la natación tiene diversos estilos de competencia (espalda, crol, mariposa, natación sincronizada, entre otros). El estilo libre o crol se origina en Australia simulando la técnica de nado de los nativos; la primera versión de este estilo se le atribuye al inglés John Arthur Trudgen en el año 1870? Ahora dibuja sobre las imágenes los ángulos agudos, rectos, obtusos y/o extendidos según corresponda.

En Básquetbol el árbitro comunica las faltas de los jugadores mediante señales con sus brazos. Escribe sobre cada dibujo si los brazos forman un ángulo agudo, recto, obtuso o extendido. Lucha

3 segundos en zona

Falta de jugador

Pasos

Puntos Falta personal anotados

Falta técnica

Triple

Bloqueo

- Si se tiene un ángulo de 90° y quiero formar un ángulo obtuso, ¿Qué tipo de ángulo debo sumar al ángulo de 90°? - Si se tiene un ángulo obtuso y quiero formar un ángulo de 180°, ¿Qué tipo de ángulo debo sumar al ángulo obtuso? ——

¿Sabías que el concepto de ángulo complementario era frecuentemente utilizado por los astrónomos árabes, quienes explicaban que era lo que le falta a la medida de un ángulo para completar noventa grados? Completa y responde la siguiente tabla calculando el complemento de cada ángulo. Medida ángulo

Complemento

Medida ángulo

 = 37°

 = 45°

 = 79°

 = 62°

Complemento

¿Tiene sentido calcular el complemento de un ángulo obtuso? Argumenta tu respuesta.

Observa la siguiente imagen y encierra en un círculo cuándo se presente al mismo tiempo un ángulo y su complemento.

Elementos de una cercha

Observa las siguientes figuras geométricas y marca con una “A” los ángulos agudos; con una “R” los ángulos rectos y con una “O” los ángulos obtusos.

Toma nota: Recuerda que todo ángulo está constituido por dos segmentos que se unen en un punto en común (estos puntos, de unión de dos segmentos, reciben el nombre de vértice) y su denominación se realiza de la siguiente forma: ABC.

——

¿Sabías que la palabra vértice significa remolino, girar o dar vueltas? Observa las siguientes insignias, dibuja los triángulos, los cuadrados, los círculos, los rectángulos u otros cuadriláteros, según corresponda. No olvides escribir el nombre de la figura geométrica al lado de cada dibujo realizado.

Completa la siguiente tabla indicando los elementos básicos de cada figura geométrica. Nombre de la figura

Dibuja la figura indicando sus vértices y el Nº de éstos

Dibuja la figura indicando sus ángulos y el Nº de éstos

Dibuja la figura indicando sus lados y el Nº de éstos

Triángulos

Cuadrados

Rectángulos

- ¿Qué semejanzas existen entre el cuadrado y el rectángulo? - ¿Qué diferencias existen entre los triángulos y los cuadriláteros?

——

Completa la siguiente tabla que clasifica los triángulos según la medida de sus lados o según la medida de sus ángulos. Descripción del triángulo

Dibujo del triángulo con todos sus datos

Nombre del triángulo descrito

a

Tiene sus tres ángulos y sus tres lados de igual medida o congruentes.

Triángulo equilátero a

a

Tiene dos ángulos y dos lados congruentes. Tiene sus tres ángulos y sus tres lados de distinta medida. Tiene sus tres ángulos de distinta medida y son todos agudos. Tiene un ángulo obtuso y dos ángulos que son agudos. Tiene un ángulo recto y dos ángulos que son agudos.

Toma nota: La clasificación de los triángulos según la medida de sus lados es: equiláteros, isósceles y escalenos. En cambio, la clasificación de los triángulos según la medida de sus ángulos es: agudo, recto y obtusángulo. La palabra Isósceles significa de piernas iguales. Proviene del adjetivo griego isoskelés, compuesto de isos (igual) y skélos (piernas). Dos cabezas piensan más que una: Reúnete con tu compañero de banco y contesten la siguiente tabla. No olviden argumentar sus respuestas. Triángulo obtusángulo

Triángulo isósceles

Definición.

Dibujo.

¿Existe el triángulo obtusángulo isósceles? Argumenta con un dibujo en tu cuaderno. ——

A continuación les presentamos los signos que podrán utilizar para explicitar toda la información necesaria en una representación gráfica de una figura geométrica. Signo

Significado de los signos El dibujar un  entre dos segmentos significa que el ángulo mide 90° o que los segmentos son perpendiculares. El dibujar una línea en sentido contrario en variados segmentos significa que éstos tienen igual medida o congruentes. El dibujar en variados ángulos significa que éstos tienen la misma medida o congruentes.

Dibuja la figura geométrica que se indica y señala a través de los signos correspondientes las propiedades específicas de cada concepto. Figura Geométrica

Dibujo de la figura con sus respectivos signos

Cuadrado: Tiene sus cuatro lados congruentes y sus cuatro ángulos miden 90°. Rectángulo: Tiene sus cuatro ángulos de 90° y los lados opuestos son paralelos y congruentes. Rombo: Tiene los cuatro lados congruentes, pero un par de ángulos son agudos y el otro par de ángulos son obtusos. Romboide: Paralelógramo que tiene dos lados opuestos iguales y dos pares de ángulos opuestos congruentes. Observa la siguiente imagen y responde en tu cuaderno. Si el cuadrado y el rectángulo tienen dos pares de lados en común, pero el cuadrado tiene sus cuatro lados congruentes o de igual medida y el rectángulo solo tiene dos lados opuestos de igual medida. Identifica la(s) figura (s) que sean cuadrados. ¿Qué medida tienen los ángulos de un cuadrado?

— 10 —

Dos cabezas piensan más que una: Reúnete con tu compañero de banco, observen la siguiente imagen y completen la argumentación respecto de las semejanzas entre un cuadrado y un rectángulo. Semejanzas entre el cuadrado y el rectángulo El cuadrado y el rectángulo tienen como característica que sus lados son: El cuadrado y el rectángulo tienen sus ángulos:

El cuadrado y el rectángulo tienen lados perpendiculares, lo que implica:

Observa la siguiente obra. Indica y dibuja las figuras geométricas (triángulos, cuadriláteros, entre otros) que se observan en ellas, registrando además las propiedades que posee cada figura, (n0 de lados, n0 de ángulos, etc).

Nombre de la figura

Dibuja la figura indicando toda sus propiedades

— 11 —

Observa las siguientes figuras geométricas y completa la tabla y responde las preguntas respectivas (Las líneas dibujadas sobre los segmentos indican que los lados tienen igual medida).

Nombre de la figura

Cantidad de lados

Cantidad de ángulos

Cuadrilátero ABCD

Cuadrilátero A`B`C`D`

Cuadrilátero A```B```C```D```

Observa con atención la siguiente figura ABC y responde las siguientes preguntas. ¿La figura ABC es la misma que la figura AB`C`, AB``C`` y AB```C```? ¿Por qué?

¿Qué nombre recibe la figura geométrica ABC? ¿Cuáles son sus propiedades?

¿De cuántas maneras se puede dibujar una misma figura geométrica?

— 12 —

Ahora aprenderemos la manera de argumentar por qué los triángulos anteriores tienen la misma forma y medida, es decir, porque son triángulos congruentes. Observa nuevamente la imagen y responde las preguntas.

¿En cuánto ha girado el segmento AB respecto del segmento AB`? ¿Y el segmento AC’, con respecto al segmento AC```?

¿Podemos afirmar que el triángulo ABC tiene la misma forma y medida que el triángulo AB``C``? ¿Es por rotación o traslación?

¿En cuánto ha girado el segmento AB` respecto del segmento AB? ¿Y el segmento amarillo AC`` y AC```? Podemos afirmar que el triángulo AB``C`` tiene igual forma y medida que el triángulo AB```C```?

¿En cuánto ha girado el segmento AB``` respecto del segmento AB? ¿Y el segmento C```B``` y C``` A? Podemos afirmar que el triángulo AB```C``` tiene igual forma y medida que el triángulo AB``C``?

Toma nota: La rotación de una figura geométrica tiene como propiedad que la figura rotada (en un ángulo determinado y a partir de un punto específico) tiene la misma forma y medida que la inicial, es decir, son figuras congruentes. Recuerda que una rotación en 90° es un cuarto de giro; en 180° es medio giro; en 270° es tres cuartos de giro y en 360° es un giro completo. — 13 —

1. Anota lo que entiendes por traslación y da otro ejemplo de la vida real.

2. ¿Qué elementos de una figura (posición, tamaño, largo de sus lados, magnitud de sus ángulos, etc.) cambian al trasladarla? ¿Cuáles no cambian?

3. Dibuja un triángulo cualquiera ABC y dibuja otro congruente, a 12 cm. hacia arriba y a 9 cm. hacia la derecha (haz el primer triángulo en el costado derecho de tu cuaderno para que puedas dibujar el segundo triángulo). Luego une los vértices (haz una fecha) del triángulo ABC con los vértices del triángulo que trasladaste ¿Qué características en común tienen las flechas que dibujaste? ¿Por qué crees que dibujaste esas flechas?

Toma nota: La traslación es el movimiento más sencillo que podemos realizar con una figura sin modificar su forma y sus medidas, ya que es un desplazamiento que tiene un punto de referencia o inicio, un punto de llegada o final, una dirección y un sentido en que se realizó la traslación.

— 14 —

Traslada la figura siguiente en la dirección, sentido y magnitud que indica la flecha.

¿Sabías que Embaldosar o Teselar, significa recubrir el plano con figuras que se trasladan de modo que las figuras recubren completamente el plano y la intersección de dos figuras es sin espacios?

Explica con tus palabras cómo se puede Teselar a partir de la traslación de los duendes.

— 15 —

¿Sabías que la idea de simetría es inherente a la percepción humana? Por lo tanto, es apropiado recurrir a algunos ejemplos de simetría, de gran belleza, que se dan en la naturaleza.

Eje de simetría interno Toma nota: Al observar la mariposa y el escarabajo, diremos que cada uno es simétrico, pues al trazar una línea recta en el centro de cada uno de ellos, la parte que está a un lado de la línea sería exactamente igual a la parte que está al lado opuesto de esa misma línea. Observa la siguiente imagen y responde la pregunta.

¿Qué características posee la figura que se forma al trazar un eje de simetría interno?

Dos cabezas piensan más que una: Reúnete con tu compañero de banco y observen que hay imágenes de situaciones de la realidad que poseen ejes de simetría externos.

¿Qué se puede concluir respecto del eje de simetría gris?

¿Qué se puede concluir respecto del eje de simetría negro?

— 16 —

Los triángulos 2, 3, 4 y 5 han sido obtenidos a partir del triángulo 1. ¿Cuál de ellos corresponde a la simetría o reflexión del triángulo 1? Argumenta tu respuesta: 2

3

5

L 1

4

¿Cuál de las siguientes imágenes presenta todos los ejes de simetría del rectángulo?

Argumenta tu respuesta:

¿Sabías que circunferencia significa “lo que lleva alrededor”, es decir, es el conjunto de puntos que equidistan de un punto llamado centro; y círculo significa pequeño espacio circular; es decir, es el conjunto de puntos que equidistan del centro y el conjunto de puntos de la región interior de dicha circunferencia? Indica cuál es el círculo y cuál es la circunferencia.

¿Es la circunferencia una figura simétrica? Explica tu respuesta en tu cuaderno.

— 17 —

Toma nota: El matemático suizo Leonhard Euler, en 1737, utilizó la letra ““, como símbolo para el cociente entre el perímetro de un círculo y la longitud de su diámetro (La letra griega  es la inicial de la palabra perímetro).

 El radio de una circunferencia corresponde a la distancia entre el centro y un punto cualquiera de ella.

O

ARC

DA

R UE

C

 El diámetro de una circunferencia equivale al doble de la medida del radio.

RADIO

CENTRO

TRO

DIÈME

 Un arco de circunferencia es una sección o segmento de circunferencia.  Una cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.

El área de una circunferencia se calcula mediante la fórmula πr2 y el perímetro o contorno se calcula mediante la fórmula 2πr. En donde “r” es el radio. ¿Sabías que la Chapapía fue un ritual indígena de los Yanaconas (Colombia) que consiste en formar cuadrillas de tres hombres, los cuales se agrupan en una superficie circular con ortigas, de un radio aproximado de cuatro metros? Hay además un triángulo inscrito y en cada vértice del triángulo se dispone uno de los equipos junto con un costal cargado de papa pastusa, y entonces... ¡comienza la chapapía!

%

 Si el triángulo inscrito en la circunferencia tiene sus tres lados congruentes y sus tres ángulos congruentes, el triángulo se denomina triángulo equilátero.

#  Si el arco CE = EB = BC , implica que el

" m m m

CEB=60° ECB=60° CBE=60°

BE=5,14 cm EC=5,14 cm CB=5,14 cm

arco CE recorre 120º desde C a E.

 Anota los datos en la figura según correspondan.

¿Si el ángulo CBE mide 60° y el arco CE recorre 120° desde C hasta E ¿Cuál es la relación matemática existente entre un ángulo inscrito en una circunferencia y el arco que coincide con los lados de éste?

— 18 —

Dibuja las circunferencias según lo indicado en cada alternativa. A) Circunferencias exteriores, si no tienen ningún punto en común. B) Circunferencias interiores, si no tienen ningún punto en común. C) Circunferencias tangentes exteriores, si tienen un punto en común. Alternativa A

Alternativa B

— 19 —

Alternativa C

¿Cuánto has aprendido? Los siguientes problemas te permitirán autoevaluar tus aprendizajes desarrollados hasta aquí. 1. Indica el nombre de los siguientes triángulos según la medida de sus lados y según la medida de sus ángulos. #    CM

 CM

#

  

 CM

 CM

 CM  

!

   CM

"

    CM

   !

 CM

  

    CM

"

2. Completa la tabla indicando el nombre de cada una de las figuras geométricas que aparecen en la siguiente imagen e indica sus propiedades a través de un dibujo según corresponda.

Nombre de la figura geométrica

Propiedades de la figura geométrica

3. Escribe el nombre del concepto dada la definición de éste. A) Es el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.

La frase corresponde al concepto de

B) Es un segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia.

La frase corresponde al concepto de

C) Corresponde a una sección de la circunferencia.

La frase corresponde al concepto de

— 20 —

4. ¿Cuál de las alternativas representa la rotación de la figura



a)

b)

c)

?

d)

Argumenta tu respuesta tanto para la respuesta correcta, como para alternativas falsas.

5. Describe el movimiento de traslación que realiza el planeta Tierra. Argumenta tu respuesta:

— 21 —

Polígonos Regulares e Irregulares y Cuerpos Geométricos

— 22 —

— 23 —

— 24 —

m=

n =

m=

n =

m=

n =

m=

n =

ángulos congruentes cuya medida es

Polígono regular denominado

Polígono regular denominado

Polígono regular denominado

Polígono regular denominado

Polígono regular denominado Triángulo equilátero.

3 ángulos congruentes cuya medida es

n = m=

Nombre de la figura

Medidas de los ángulos

Características: n = n° de lados y m = n° de ángulos

Toma nota: Todo polígono es una figura plana y cerrada formada al unir tres o más segmentos rectilíneos. Un polígono regular es aquel cuyos lados son congruentes y cuyos ángulos interiores congruentes están formado por dos lados consecutivos.

Dibujo de la figura

Completa la siguiente tabla siguiendo el ejemplo de la primera fila de la tabla.

¿Sabías que la palabra Polígono significa que es una figura geométrica que tiene muchos ángulos? Es la transcripción del adjetivo griego polygonos (de polys que significa muchos, y gonía que significa ángulo).

¿Sabías que los cuerpos geométricos tienen largo, ancho y alto, lo que los convierte en cuerpos geométricos u objetos de 3 dimensiones? A continuación, observa el cuerpo geométrico denominado paralelepípedo.

¡El paralelepípedo está constituido por 6 caras rectangulares, es decir, posee 6 figuras geométricas llamadas rectángulos! ¡El paralelepípedo tiene 12 aristas, es decir, posee 12 intersecciones entre 2 caras! ¡El paralelepípedo tiene 8 vértices, es decir, tiene 8 puntos en donde concurren siempre 3 caras rectangulares! Completa la siguiente tabla a partir de los conocimientos aprendidos en la actividad realizada anteriormente. ¿Qué figuras geométricas necesitas para armar una pirámide de base cuadrangular, y cuántas de cada una?

¿Qué figuras geométricas necesitas para armar un cubo, y cuántas de cada una?

¿Qué y cuántas figuras geométricas necesitas para armar un dodecaedro?



— 25 —

Completa la siguiente tabla a partir de los conocimientos aprendidos en la actividad realizada anteriormente. Nombre del cuerpo geométrico Cubo

Características del cuerpo geométrico Tiene 6 caras cuadradas de igual medida Que concurren 3 de ellas en cada vértice.

Pirámide de base cuadrangular

Tiene

vértices y

Tiene

caras

concurren

Tiene

Dodecaedro

Tiene

, que en cada vértice.

vértices y

caras

concurren

Tiene

aristas.

aristas.

, que en cada vértice.

vértices y

aristas.

Toma nota: El cubo, el tetraedro, el octaedro y el dodecaedro son poliedros regulares, y cualquier cuerpo poliedro podemos observar 3 elementos básicos: caras, aristas y vértices. Ejemplo: El cubo tiene 6 caras cuadradas, 12 aristas y 8 vértices.

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¿Sabías que algunos polígonos irregulares tienen la propiedad de poder formar mosaico empleando polígonos de igual forma y tamaño? Recuerda que un polígono irregular es una figura geométrica cuyos lados y ángulos tienen diferentes medidas.  Describe la figura geométrica de color gris respecto de lados y ángulos:

Responde las siguientes preguntas teniendo como base la información anterior sobre los polígonos irregulares.  En la figura de arriba, ¿Cuál es la relación entre el polígono de color gris y color blanco respecto de sus propiedades y/o características?

 ¿Pueden ser congruentes los polígonos irregulares? Argumenta tu respuesta.

¡A investigar!: Otro ejemplo de mosaico son los realizados por Mac Escher, quien ha construido obras de arte utilizando diversas figuras que se repiten periódicamente en vez de los polígonos regulares e irregulares.

— 27 —

¿Sabías que las pirámides son construcciones que se encuentran cerca de El Cairo, Egipto, y que son las más antiguas y las únicas conservadas de las Siete Maravillas del mundo? Ahora estudiaremos en concepto de Pirámide desde la Geometría. Se define como un poliedro (cuerpo geométrico cuyas caras son polígonos) limitado por una base, que es un polígono cualquiera, y varias caras laterales, que son triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide. A continuación observa las siguientes pirámides y descríbelas según la medida de los ángulos y lados que conforman cada cara de la pirámide. 7

6

!

#

$

' %

"

&

¿Cuáles son los posibles polígonos que pueden ser base de una pirámide? Dibújalas y descríbelos según sus características (caras, aristas, vértices, etc.)

Se sabe que una pirámide es regular si su base es un polígono regular, y si el vértice se proyecta sobre el centro de la base perpendicularmente, es decir, en noventa grados. ¿Cuáles serían las posibles pirámides regulares e irregulares? Haz solamente el dibujo de la pirámide, según corresponda. Ayuda: Las pirámides regulares son las que tienen un polígono regular como base y sus caras laterales son triángulos isósceles.

Ayuda: Las pirámides irregulares pueden tener como base polígonos irregulares, o bien, que alguna de sus aristas laterales tenga distinta medida.

— 28 —

Ahora aprenderemos a armar las pirámides con sus respectivas redes. Une con una línea la red con su respectiva pirámide.

¿Qué condición debe cumplirse entre las medidas de la cara basal y las caras laterales del cuerpo geométrico?

¿Cómo debe ser la red de una pirámide regular de base pentagonal? Dibújala e indica qué relación hay entre las medidas de las caras triangulares y las medidas de la cara pentagonal. Dibujo de la red

Propiedades de la red

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Copia las siguientes redes geométricas en una hoja y arma el cuerpo geométrico correspondiente.

Haz el dibujo de cómo es el cuerpo geométrico en base a su red.

Clasifica los cuerpos geométricos anteriores según los siguientes criterios:  Prismas Rectos, si sus aristas laterales son perpendiculares a las bases.  Prismas Oblicuos, si sus aristas laterales no cumplen esa condición. Prismas rectos

Prismas oblicuos













— 30 —

¡A investigar!: Investiga sobre los cuerpos geométricos denominados poliedros y los cuerpos geométricos redondos. Completa la siguiente tabla dibujando un ejemplo de cada cuerpo geométricos según la siguiente clasificación. Cuerpos poliedros

Cuerpos redondos

Poliedros irregulares: (Prisma recto, prisma trunco, paralelepípedo)

Cilindros: (cilindros rectos, cilindros oblicuos), Conos: (conos inclinados, cono tronco inclinado) y Esféricos: (esfera)

¿Cuánto has aprendido? 1. Identifica cada uno de los cuerpos geométricos que aparecen en la imagen.

Nombre del cuerpo geométrico

Dibujo del cuerpo geométrico

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2. Dada la red geométrica, escribe el nombre del cuerpo geométrico. según corresponda, y describe cada una de las caras que conforman cada cuerpo geométrico.

Nombre y dibujo del cuerpo geométrico

Descripción de las caras del cuerpo geométrico

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Regularidades, argumentaciones y teoremas

— 33 —

— 34 —

¿Sabías que la palabra Regularidad en Matemática significa descubrir las relaciones conceptuales o patrones que se cumplen siempre? Ahora aprenderás el concepto de Constante. Observa la siguiente imagen que muestra las medidas de una cancha de fútbol.  M

 M

 M

 M

 M

 M

 M

Se sabe que en una cancha de fútbol las medidas pueden ser variables respecto del largo y del ancho (puede medir entre 90 y 120 m de largo y entre 45 y 90 m de ancho) que dan origen a una forma rectangular. Pero, respecto de las medidas de la portería, éstas tienen que ser siempre 7,32 m entre los postes y 2,44 m de altura. ¿Qué medidas pueden variar en una cancha de fútbol?

¿Qué medidas no pueden variar o se mantienen constante en una cancha de fútbol?

Completa la siguiente tabla marcando con una X si la afirmación corresponde a una información que implica variación o si implica constante. Afirmación

Variación

El ancho del área grande sigue siendo la misma: 16,5 metros. La altura del arco es de 2,44 metros. El partido de fútbol consta de dos tiempos o mitades que duran 45 minutos cada uno. Las medidas de las canchas de fútbol difieren levemente según los países.

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Constante

¿Sabías que los números figurados son los números que se pueden expresar como una cierta configuración geométrica de puntos, es decir, la cantidad de puntos representa al número? Identifica la figura geométrica asociada a cada número figurado.

Imagen

Figura geométrica

4º Nº figurado asociado

Completa la siguiente tabla indicando las características de las figuras geométricas que se conforman a partir de los números figurados. Dibuja dos figuras geométricas con todos los signos que indiquen sus respectivas características.

¿Las figuras dibujadas son regulares o irregulares?

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Te desafío a resolver: Los números figurados presentan diversas propiedades que aprenderemos a continuación. Observa atentamente cada imagen. Propiedad 1: Todo número figurado triangular se puede escribir como la suma de números enteros. Observa que T4 significa que el número figurado triangular es igual a la suma de los 4 primeros números enteros. Por lo tanto, la suma es: +

+

+

= 10

T4 = 10 Completa la siguiente tabla teniendo como ejemplo el problema anterior. Nº figurado triangular

Indica la suma de los números enteros

Dibujo del Nº figurado triangular

Valor del Nº figurado triangular

T5

T7

T10

Toma nota: Recuerda que la suma de los “n” primeros números naturales es equivalente a lo siguiente: n • (n + 1) 2 Tn = 1 + 2 + 3 + .. + n = Ejemplo: T4 = 1 + 2 + 3 + 4 = ( 4 • 5 ) / 2 = 20 / 2 = 10 — 37 —

¿Sabías que Teorema significa investigación, meditación o estudio? Esta palabra proviene del sustantivo griego theórema, a su vez derivado del verbo theoréo, que significa contemplar o examinar. ¿Qué datos debemos conocer sobre dos triángulos, para ser capaces de concluir que podemos superponer uno exactamente sobre el otro sin trasladarlo, estirarlo, doblarlo, ni romperlo? Lee atentamente las siguientes afirmaciones, luego dibuja las figuras geométricas que correspondan y argumenta si puedes responder la pregunta anteriormente formulada.  Dado los triángulos ABC y A`B`C`, se sabe que el lado AB es congruente con A`B`, el lado BC es congruente con B`C`, y el lado CA es congruente con el lado C`A`. Dibuja el triángulo ABC

Dibuja el triángulo A`B`C`

¿Podemos concluir que el triángulo ABC se puede superponer al triángulo A`B`C` sin romper o trasladar ninguno de los triángulos? Argumenta la respuesta en tu cuaderno.  Dado los triángulos ABC y A`B`C`, se sabe que el ángulo determinado por ABC es congruente con el ángulo determinado por A`B`C`, que el ángulo determinado por BCA es congruente con el ángulo determinado por B`C`A`, y que el ángulo determinado por CAB es congruente con el ángulo determinado por C`A`B`. Dibuja el triángulo ABC

Dibuja el triángulo A`B`C`

¿Podemos concluir que el triángulo ABC se puede superponer al triángulo A`B`C` sin romper o trasladar ninguno de los triángulos? Argumenta la respuesta en tu cuaderno.

— 38 —

Toma nota: El triángulo ABC es congruente (que tiene igual forma y superficie) con el triángulo A`B`C`, sí y sólo sí, el triángulo ABC tiene sus lados de igual medida con el triángulo A`B`C`.

C

A

AB = 6,14 cm

C’

A’B’ = 6,14 cm

BC = 5,68 cm

B’C’ = 5,68 cm

CA = 5,48 cm

C’A’ = 5,48 cm

B

A’

B’

Por lo tanto, debemos tener presente que si dos triángulos tiene sus tres ángulos de igual medida, y sus tres lados también son de igual medida. Entonces los triángulos son congruentes. Dos cabezas piensan más que una: Reúnete con tu compañero de banco y desarrollen las actividades propuestas. ¿Cuáles son los datos necesarios y suficientes, respecto de los lados y ángulos, para saber si dos triángulos son congruentes? La idea central es encontrar combinaciones de datos referidas a lados y/o ángulos para responder a la pregunta realizada. Completen la Tabla Nº 1: Valores conocidos: Si tienes la medida de un lado y la medida de un ángulo

¿Cuál es el otro dato necesario para construir un triángulo y determinar si es congruente con otro triángulo?

Lado AB mide 6 cm. Ángulo ABC mide 60°

Dibujen dos triángulos a partir de la información obtenida en la Tabla Nº 1

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Redacten (en función de los datos de la Tabla Nº 1) el teorema que indica cuándo dos triángulos son congruentes.

Completen la Tabla Nº 2: Valores conocidos: Si tienes la medida de un lado y la medida de un ángulo.

¿Cuál es el otro dato necesario para construir un triángulo y determinar si es congruente con otro triángulo?

Lado AB mide 6 cm. Ángulo ABC mide 60° Dibujen dos triángulos a partir de la información obtenida en la Tabla Nº 2

Redacten (en función de los datos de la Tabla Nº 2) el teorema que indica cuándo dos triángulos son congruentes.

Toma nota: Otro teorema de congruencia de triángulos es el denominado criterio LAL, que indica que, si al comparar dos triángulos, los lados que forman un ángulo en ambas figuras tienen la misma medida, se denominan triángulos congruentes. Asimismo, el criterio ALA hace alusión a que si dos de los ángulos y el lado adyacente a ambos ángulos tienen la misma medida, implica que los triángulos también son congruentes.

— 40 —

Te desafío a resolver: A continuación encontrarás unos enunciados que deberás representar gráficamente y explicar con tus palabras lo que entiendes sobre cada conjetura geométrica planteada. Enunciado geométrico: La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es de 180°. Anoten los datos en su cuaderno (medidas de los lados) y luego dibújenlos. Después, redacten (en función de los datos) otros enunciados geométricos. Dibuja acá:

Dibuja acá:

Enunciado geométrico: En todo triángulo un lado cualquiera es menor que la suma de los otros dos, y mayor que su diferencia: a < c + b y a > c - b Anoten los datos en su cuaderno (medidas de los lados) y luego dibújenlos. Después, redacten (en función de los datos) otros enunciados geométricos. Dibuja acá:

Dibuja acá:

Explica por qué cada par de triángulos es congruente. Argumenta tu respuesta C’

C

A’

A

B

B’

C

A’

B’ A

B

C’

C

A’

B’ A

B

C’

— 41 —

Trabaja con lo aprendido: Observa las siguientes imágenes e indica qué figuras geométricas son congruentes.

Nombre de la figura geométrica

Dibujo de ambas figuras geométricas

Argumenta tu respuesta

Nombre de la figura geométrica

Dibujo de ambas figuras geométricas

Argumenta tu respuesta

— 42 —

Dos cabezas piensan más que una: Reúnete con tu compañero de banco y expliquen por qué los criterios LLA, AAA y LAA no son considerados teoremas de congruencia de triángulos. Completen la siguiente tabla. Escribe el significado del criterio según corresponda

Dibujen ejemplos en que se cumpla el criterio, pero los triángulos no sean congruentes

Criterio LLA

Criterio AAA

Criterio LAA

Toma nota: Los criterios LLA, AAA y LAA nos permiten concluir que dos triángulos son semejantes, es decir, que ambas figuras tienen la misma forma pero distinto superficie o tamaño.

Observen los siguientes afiches e indiquen qué figuras son congruentes. Argumenta tu respuesta respecto de la medida de sus lados y sus ángulos en tu cuaderno.

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¡A investigar!: A continuación se presentan una serie de teoremas que debes investigar y que están relacionados con las temáticas estudiadas anteriormente. Completa la siguiente tabla dibujando las figuras geométricas y propiedades enunciadas en el teorema. Enunciado del Teorema de Pitágoras

Representación gráfica del Teorema

En un triángulo rectángulo ABC, el área del cuadrado formado a partir la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados formados a partir de los catetos.

Completa la siguiente tabla indicando con signos las características de cada una de las figuras geométricas que representan al teorema en estudio. Enunciado del Teorema de Ptolomeo

Representación gráfica del Teorema

Si el cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia, entonces la suma de los productos de lados opuestos del cuadrilátero es igual al producto de las diagonales de éste: AB • CD + AD • BC = AC • BD

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Observa los siguientes dibujos que muestran cómo probar el teorema de Pitágoras. A continuación copia los dibujos en una hoja de block y comprueba el teorema de Pitágoras. Haz una explicación breve en que conste la demostración realizada en cada caso específico.

#

!

"

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¿Cuánto has aprendido? 1. Completa la siguiente tabla dibujando las figuras geométricas asociada a cada número figurado. Imagen de los números figurados

Dibujo de la figura geométrica

Número figurado

Heptágono

Dodecágono

2. Observa la siguiente imagen que muestra una forma particular de probar el Teorema de Pitágoras. ¿Cuál de las figuras geométricas son polígonos regulares? Argumenta tu respuesta.

¿Cuál de las figuras geométricas son congruentes? Argumenta tu respuesta.

¿Cuál de las figuras geométricas son polígonos regulares? Argumenta tu respuesta.

C

A

B

¿Cuál de las figuras geométricas son congruentes? Argumenta tu respuesta.

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3. Investiga y explica las diferentes formas de probar el teorema de Pitágoras que están en: http://roble.pntic.mec.es/~jarran2/cabriweb/1triangulos/teoremapitagoras.htm.

4. Completa las siguientes tablas: Número figurado triangular

Indica la suma de los números enteros

Dibujo del número figurado triangular

Indica la suma de los números triangulares

Dibujo del número figurado cuadrado

T9

Número figurado cuadrado

C9

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Valor del número figurado triangular

5. Explica las siguientes demostraciones gráficas del teorema de Pitágoras.

C

A



C

A

B

a)

b)

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B

¿Los triángulos rectángulos que se muestran en la figura a) y b), de la página anterior, son congruentes? Argumenta tu respuesta.

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