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CB 50 NO TE QUEDES ENTRE SOMBRAS: ESCAPATE POR LA TANGENTE Elisa PETRONE1,2, Natalia CONTRERAS1,2, Patricia MASCÓ1, Natalia SGRECCIA1,3 1

Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura - Universidad Nacional de Rosario 2 Colegio San Bartolomé - 3Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas Rosario - Argentina [email protected]

Nivel Educativo: Educación Secundaria. Palabras Clave: Situaciones, problema, trigonometría, conceptos, secundaria.

RESUMEN En el presente trabajo planteamos una propuesta didáctica que emplea la resolución de problemas como recurso de aprendizaje que interviene desde el comienzo del proceso de generación de un concepto matemático. Creemos que mediante su implementación se involucran en el aprendizaje aspectos en los cuales se basa la Matemática para su desarrollo, crecimiento y formalización, promoviéndose así una mejor comprensión de su esencia, a la vez que se atiende a una importante variable didáctica: la motivación. Consideramos que esta forma de trabajo en el aula requiere de una constante intervención docente, que está dada por el diseño y la guía de toda la actividad, comenzando con la selección adecuada de los problemas, pasando por la elaboración y puesta en acción de preguntas que avancen hacia la formalización de conceptos, apelando siempre a la intuición y reflexión de los alumnos. Nuestra propuesta corresponde a una manera en que podría emplearse esta modalidad de trabajo para introducir el concepto de razones trigonométricas en la escuela secundaria.

CONSIDERACIONES TEÓRICAS La vertiginosa transformación actual de la civilización determina que lo más valioso que podemos proporcionar a nuestros jóvenes es la capacidad para desarrollar procesos verdaderamente eficaces de pensamiento, que no se vuelvan obsoletos con rapidez. Enseñar Matemática brinda una interesante oportunidad de promover el desarrollo intelectual de los alumnos. Una forma propicia de procurarlo es planteando situaciones problemáticas que estimulen la curiosidad y motiven al alumno a la generación de estrategias y heurísticas propias, las que pueden enriquecerse a partir del aporte del docente de preguntas, orientaciones y elementos teóricos que contribuyan a plasmar un proceso de efectivo aprendizaje.

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Según Cockroft (1985) “la matemática constituye un idioma poderoso, conciso y sin ambigüedades” en el que una de las principales vías de comunicación es la resolución de problemas (RP). Cuando se lleva a cabo esta modalidad de trabajo se pone en juego una variedad significativa de estrategias cognitivas, así como ciertas habilidades metacognitivas de reflexión sobre lo actuado, que contribuyen al fortalecimiento de relaciones conceptuales. Así, la actividad de RP resulta un medio eficaz para fomentar que los estudiantes se conviertan en aprendices independientes, intérpretes y usuarios críticos de la Matemática. Además trasciende el plano intelectual, vinculándose con aspectos emocionales de las personas, que también conciernen a lo educativo, ya que los problemas pueden llevar a despertar curiosidad en los alumnos, motivarlos y transmitirles deseos de logro y superación, en procesos no inmediatos sino sostenidos con esfuerzo (Pólya y Szegö, 1976). Por ello, la actividad ha ido ganando importancia dentro de la Educación Matemática. En el Diseño Curricular Jurisdiccional de la provincia de Santa Fe (DCJ) (MESF, 1999, 2003) se pone especial énfasis en la RP como método de enseñanza de la Matemática. Resolver problemas aparece no sólo como contenido procedimental, sino también como una de las bases del enfoque general con que han de trabajarse los contenidos matemáticos en las escuelas primaria y secundaria. Más específicamente el DCJ presenta a la RP como “Un marco para todos los ejes”, dándole el carácter de contenido transversal que contribuye al desarrollo de capacidades propias del pensamiento matemático (ordenación de datos, método deductivo, razonamiento lógico, capacidad de síntesis y de generalización, creación de modelos, presentación esquemática de situaciones reales) así como a una formación general (analizar e interpretar la realidad, abordando situaciones relacionadas tanto con el saber científico como con la vida diaria). Tales apreciaciones sobre la transversalidad del contenido concuerdan con las del National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), organismo que hacia fines de los años 80 “presenta la RP como un supertema que viene a integrar todo” (Gaulin, 2001). Según el NCTM, la RP es una parte integral del aprendizaje matemático, ya que en la vida cotidiana y en el mundo del trabajo, ser capaz de resolver problemas puede llevar a grandes ventajas. Las anteriores consideraciones revelan el acuerdo, bastante generalizado desde lo teórico, de que una de las mejores estrategias de enseñanza es la basada en la RP. Sin embargo, por diversos motivos, la misma no encuentra todavía un espacio importante de implementación en las aulas. De acuerdo a los objetivos de aprendizaje, el docente tiene la posibilidad de elegir diferentes tipos de problemas. Charnay (2005) establece la siguiente clasificación, no exhaustiva, de los problemas: Destinados a involucrar a los alumnos en la construcción de nuevos conocimientos (llamados a veces situaciones-problemas). Destinados a permitir a los alumnos la utilización de los conocimientos ya estudiados (problemas de reinversión). Destinados a permitir a los alumnos la extensión del campo de utilización de una noción ya estudiada (problemas de transferencia). Más complejos, en los cuales los alumnos deben utilizar conjuntamente varias categorías de conocimientos (problemas de integración o de síntesis). Los que tienen como objetivo permitir al docente y a los alumnos conocer el estado de conocimientos (problemas de evaluación). Destinados a poner al alumno en situación de investigación y por lo tanto de desarrollar competencias más metodológicas (problemas abiertos). 464

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El autor aclara que un mismo problema, según el momento en que sea presentado, puede pertenecer a una u otra de las categorías. Estas apreciaciones se condicen con las manifestadas por Gaulin (2001) quien advierte, además, que la RP no se implementa con demasiada frecuencia en las aulas como estrategia de enseñanza de la Matemática, mencionando algunas dificultades como causa de este fenómeno: – El profesor no ha sido formado para enseñar a resolver problemas. – Muchos profesores manifiestan no sentirse capacitados sobre cómo implementar esas ideas que circulan en relación a la enseñanza con RP. – Hay diferentes concepciones sobre lo que significa la RP como estrategia de enseñanza y de aprendizaje en el aula, ya que se puede enseñar: 1. A TRAVÉS de la RP (los problemas se utilizan como herramienta para introducir un nuevo concepto matemático). 2. PARA la RP (los problemas se presentan como espacios de aplicación de conceptos matemáticos ya aprendidos). 3. SOBRE la RP (se enseñan estrategias de resolución). Cabe señalar que Gaulin (2001) reconoce que las dificultades suelen estar asociadas a la carencia de visión sistémica sobre la RP y/o la exageración al enfatizar ciertos aspectos descuidando otros. Acorde con Charnay (2005), quien identifica como desafío para los docentes el mantener un buen equilibrio en la presentación de los diferentes tipos de problemas, Gaulin (2001) sostiene que habría que trabajar la RP según las distintas estrategias que identifica y aclara que tener una visión sistémica o global es justamente tener en cuenta todo eso simultáneamente, de allí su complejidad. Actualmente en las aulas suele predominar la RP en instancias de aplicación. Según Gaulin (2001) esta creencia de que la presencia de los problemas suceda a la teoría proviene de una concepción tradicional de enseñanza. Luego enfatiza: “Un problema no sólo sirve para aplicarlo al final, puede servir para explorar una nueva idea”, es decir, el problema puede venir antes, durante o después de la “teoría”. Incluso reconoce que tenemos la dificultad de creer que siempre primero va la teoría y que luego vienen los problemas. “Eso va bien con los ejercicios, porque un ejercicio tiene como papel ejercitarse, entonces, se aprende algo y luego se ejercita, es normal, pero un problema tiene objetivos mayores” (Gaulin, 2001). Además de destacar la diferencia entre “problema” y “ejercicio” coincide con Santaló (1981) al afirmar que un problema involucra mucho más que la práctica de una rutina. Finalmente conviene tener en cuenta que problemas bien seleccionados pueden llegar a promover el interés e incentivar el gusto por la Matemática, provocados por la búsqueda de soluciones ante la necesidad de conocer herramientas necesarias para resolverlos (Midgett y Trafton, 2001) y ese es, quizás, el mayor sentido que cobra como instrumento de enseñanza de esta disciplina.

CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE LA PRESENTE PROPUESTA Estamos interesadas en plantear aquí la RP como recurso de aprendizaje que interviene desde el comienzo del proceso de generación de un concepto matemático. Se basa, principalmente, en la actividad del alumno, quien debe buscar un procedimiento de resolución a la situación problemática planteada por el docente (la cual debe ser comprendida por todos) mediante la formulación de posibles soluciones, utilizando conocimientos adquiridos anteriormente (ideas

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previas) y nuevos procedimientos y herramientas que luego se transformarán en nuevos saberes. Entendemos que debería darse más cabida a esta utilización de la RP como estrategia para la introducción de conceptos, ya que mediante su implementación se involucran fuertemente en el aprendizaje los aspectos en los cuales se basa la Matemática para su desarrollo, crecimiento y formalización, promoviéndose así una mejor comprensión de su esencia, a la vez que se atiende a una importante variable didáctica: la motivación. Básicamente podemos resumir que el paradigma constructivista utiliza la RP para la construcción de nuevos conocimientos. El momento exploratorio se relaciona funcionalmente con el momento teórico, dando gran importancia al papel de la actividad de RP en la formación de los conceptos. Vale la pena aclarar que el sólo hecho de plantear un problema y darles la oportunidad a los alumnos de resolverlo, contando con algunas herramientas que los ayuden, no garantiza que, ni permite vislumbrar cómo, ellos construyen un aparato teórico que les permita aplicarlo para resolver problemas nuevos, producir modelos y elaborar más teoría. Esto requiere una especial atención por parte del docente. También cabe advertir sobre las dificultades de implementación que conlleva esta manera de abordar la RP. Uno de los motivos que suele desanimar la puesta en el aula de este tipo de estrategia (situaciones-problemas o “a través”) es la escasez de materiales que aborden la enseñanza desde esta perspectiva: libros de texto, ejemplos de implementación y relatos de experiencias con algunos resultados. Muchos libros de texto escolar, en casi todos los temas, acompañan su propuesta con variados e interesantes problemas de aplicación sobre la teoría que desarrollan. Algunos pocos, con muy buenas intenciones, comienzan un tema con la presentación de una situación problemática motivadora que lleva a la introducción de conceptos nuevos, pero no terminan de dejar claro, para el alumno, cómo la misma se vincula con el posterior desarrollo teórico. Consideramos importante abordar en la formación de profesores esta compleja trama de conceptos didácticos, que orientan las acciones e intervenciones del docente a lo largo de la actividad de enseñanza de Matemática mediante RP, y es en este sentido que se propone el presente trabajo, a modo de ejemplo. En esta propuesta se plantea una manera en que podría introducirse a través de problemas sencillos el concepto “razones trigonométricas”, en la escuela secundaria (2° o 3° año), requiriendo como conocimiento previo la noción de semejanza de triángulos. La actividad se centra en el tratamiento inicial de la noción de “tangente de un ángulo”, considerando que luego podrían introducirse las restantes razones trigonométricas de manera semejante, tal vez un poco más rápidamente dado que aquél concepto actuaría como inclusor, facilitando la incorporación de los nuevos. La elección del tema “razones trigonométricas” responde a una multiplicidad de causas, varias didácticas y otras de orden práctico. Algunas variables didácticas atendidas en este sentido son: el tema integra conocimientos matemáticos de los campos geométrico y numérico, trabaja con medidas (de longitud y de ángulos), puede vincularse fácil y naturalmente con sencillas situaciones reales, genera el uso de nuevas funciones de la calculadora, tiene una clara función propedéutica al constituir la etapa inicial del área Trigonometría, que incluye diferentes objetos matemáticos tales como funciones y ecuaciones trigonométricas (cada uno de ellos, a su vez, con numerosas aplicaciones en el campo de las ciencias y la técnica). 466

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Atendiendo a la realidad de las aulas de Matemática de nivel superior cabe señalar que muchos estudiantes evidencian que el tema Trigonometría no les resulta conocido, ya sea porque no es abordado en muchas escuelas o porque las actividades desarrolladas no alcanzan una significatividad esperable. La intención de nuestra propuesta es ofrecer una posible forma de abordar la enseñanza del tema “razones trigonométricas”: la correspondiente a un escenario pedagógico que apueste al trabajo del alumno, con orientación e institucionalización por parte del docente, tomando como modalidad de trabajo la resolución de problemas sencillos, abordables, reales, de complejidad ligeramente creciente y claras intenciones didácticas y propedéuticas. El interjuego, emergente en cada aula, entre el contenido, la actividad del docente y la de los alumnos adoptará diferentes formatos, en función de los actores involucrados.

PROPUESTA DIDÁCTICA Problema 1 a) Se ha medido la sombra del Obelisco de la ciudad de Buenos Aires en un momento en que se conoce que las sombras miden el doble de las alturas de los objetos que las proyectan. Si esa sombra es de 135 metros ¿Cuánto mide la altura del obelisco? b) La sombra del Monumento a la Bandera (Rosario) mide 25 metros en el momento en que se sabe que cualquier sombra mide la tercera parte de la longitud del objeto que la proyecta ¿Cuál es la altura del Monumento a la Bandera? Actividades Docente: Representen las dos situaciones mediante esquemas gráficos que contribuyan a organizar las resoluciones. Alumnos: (El docente intervendrá oportunamente para propiciar las siguientes representaciones) ?

? 135 m

25 m

Razonamiento esperado: “Si la sombra mide el doble de la altura entonces la altura mide la mitad de la sombra, por lo que la altura del Obelisco es igual a 135 m : 2 = 62,50 m”. Análogamente la altura del Monumento a la Bandera resulta igual al triple de la medida de su sombra, o sea 25 m . 3 = 75 m”. Problema 2 a) La sombra de un edificio en construcción mide 40 metros y el arquitecto nos contó que, en ese momento, la razón o cociente entre la altura del edificio y la medida de su sombra vale 0,72. ¿Cuál es la altura actual del edificio? b) Junto al edificio de la parte a) hay un árbol cuya sombra, en ese mismo momento, mide 15,40 metros. ¿Puede calcularse la altura del árbol? Actividades a) Docente: La situación que se presenta, ¿es semejante a las del Problema 1? ¿Los datos están planteados de igual manera? En función de las respuestas, el docente irá proponiendo paulatinamente consignas tales como: Nuevamente esbocen un gráfico de la situación, escriban en forma simbólica la relación informada por el arquitecto, reemplacen en ella los datos. 467

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altura edificio long. sombra edificio altura edificio Reemplazando con los datos: 0,72 40m

Lo que nos contó el arquitecto:

0,72

Entonces: altura edificio = 0,72 . 40 m = 28,8 m Alumnos: ? 40 m

b) Docente: Si la sombra del árbol fue medida en el mismo momento que la del edificio, ¿podemos tomar el dato de la razón 0,72 como válido también para este caso? ¿Por qué? Grafiquen la situación. Piensen en el ángulo que forman los rayos del sol con el piso en cada caso. ¿Cómo son entre sí? ¿Cómo resultan los triángulos? ¿Qué relación hay entre sus lados? Resolver luego la parte b) del problema 28,8 m mm0 m 40 m

15,40 m

Los triángulos son semejantes, entonces podemos escribir: altura árbol long. sombra árbol altura árbol 15,40 m

altura edificio long. sombra edificio

0,72

0,72 ; Entonces: altura árbol = 0,72 . 15,40 m = 11,088 m

¿Qué aprendimos mediante los Problemas 1 y 2? Si conocemos la medida de la sombra de un objeto y también el cociente entre su altura y la medida de la sombra podemos calcular la altura del objeto. Esquemáticamente: Longitud de la sombra de un objeto altura del objeto = Cociente longitud sombra objeto

Altura del objeto

Problema 3 Queremos conocer la altura del mástil de la escuela. Su sombra, en este momento, es de 18,75m. Teniendo sólo este dato, ¿podemos calcular su altura? Actividades Docente: Grafiquen la situación.

18,75 m

¿Es esta situación similar a la del árbol del problema anterior? ¿Por qué sólo con el dato de la sombra no es posible calcular la altura del mástil? ¿Qué podemos hacer para obtener el cociente que falta? . 468

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Pueden surgir ideas diversas que el docente debería orientar induciendo la necesidad de contar con un objeto del cual se puedan medir su altura y su sombra fácilmente, por ejemplo una estaca. Hecho esto, proponer esquematizar la situación para visualizar cómo resolverla. Supongamos que una estaca de 1 m proyecta en ese momento una sombra de 1,25 m. Entonces

altura estaca long . sombra

0,8 . ¿Se puede ahora calcular la altura del mástil?

Alumnos: altura mástil long. sombra mástil

1m 18,75 m

1,25 m

altura mástil 18,75 m

altura estaca long . sombra estaca

0,8

0,8

entonces altura mástil

0,8 . 18,75 m 15 m

Docente: Hace tres horas se midió la sombra de un árbol y ésta era de 3,2 m. ¿Se puede calcular la altura de este árbol usando los datos que se tienen, en este momento, de la altura de la estaca y su sombra? ¿Por qué antes sí pudimos usar ese dato? Alumnos: Porque el ángulo que formaban, los rayos del sol con el piso, hace tres horas no era el mismo que el que forman en este momento. Docente: Entonces, la razón buscada, depende del ángulo que forman los rayos del sol con el piso. Si simplificamos los esquemas del problema anterior, tenemos que si dos triángulos tienen un mismo ángulo agudo la razón o cociente entre sus catetos opuesto y adyacente es la misma. Esa razón, para un ángulo dado, se encuentra “guardada” en cualquier calculadora científica bajo el nombre de tangente de , y para obtenerla se utiliza la tecla ..tan. . (Consideramos conveniente apoyar la explicación anterior con un esquema apropiado). Problema 4 Cuando los rayos del sol forman con el piso un ángulo de 65º la sombra del mástil de la escuela mide 3,45 metros, ¿cuál es la altura del mástil? Actividades Alumnos: Datos: Longitud de la sombra Ángulo según figura

Altura del mástil

65º 3,45 m

tg 65 º

altura del mástil long. sombra mástil

altura del mástil = 2,144

altura del mástil 3,45 m

3,45 m = 7,3968 m

2,144

altura del mástil 3,45 m

7,40 m

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¿Qué aprendimos hasta ahora? Si de un triángulo rectángulo conocemos la longitud del cateto adyacente a un ángulo la medida de entonces podemos calcular la longitud del cateto opuesto a . Esquemáticamente:

y

Cateto opuesto a Cateto adyacente a

Longitud del cateto adyacente tg

Longitud del cateto opuesto a

longitud cateto opuesto a = longitud cateto adyacente a

cateto opuesto dándose por sobreentendido cateto adyacente que las posiciones de los catetos están referidas al ángulo y que al hablar de “cateto” se trata en realidad de su longitud o medida.

Brevemente suele decirse tg

=

Problema 5 La altura de un acantilado es de 46 metros. ¿Cuántos metros mide su sombra sobre el mar cuando los rayos del sol forman con la horizontal un ángulo de 38º?

46 m 38º

Actividades Alumnos: tg 38 º 0,7812

altura del acantilado long. sombra acantilado

long. sombra acantilado

46 m 0,78

46 m long. sombra acantilado

58,87 m

Docente: Este mismo problema podría resolverse empleando un esquema gráfico y notaciones que agilicen la escritura. Por ejemplo: tg 38º

46 m

46 m x

x

46 m tg 38 º

46 m 0,78

58,87 m

38º x

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¿Qué aprendimos hasta ahora? Si conocemos la medida de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y la medida de alguno de sus catetos entonces podemos calcular la medida del otro cateto, empleando el valor de tg provisto por una calculadora. Esquemáticamente:

Medida del ángulo

Cateto opuesto al ángulo

Cateto adyacente al ángulo Medida del ángulo

y también

Cateto adyacente al ángulo

Cateto opuesto al ángulo

B

Problema 6 

Se sabe que en el triángulo ABC de la figura es BC = 3 m. Calcular las medidas de los segmentos AC y AB .

A

29 º

29º

C

Actividades Alumnos: tg 29 º

BC AC

3m AC

0,554

3m AC

Por el teorema de Pitágoras : AB 2 AB 2

38,32 m 2

AB

AC .0,554 AC 2

BC 2

3m

AC

AB 2

3m 0,554 (5,415 m) 2

AC

5,415 m

(3 m) 2

6,19 m

¿Qué aprendimos hasta ahora? Si conocemos la medida de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y la medida de alguno de sus catetos entonces podemos calcular la medida de los otros dos lados, empleando el valor de tg y el Teorema de Pitágoras. Esquemáticamente: Medida de un ángulo Medida de un cateto

Otros dos lados

Problema 7 La antena de transmisión de un canal de TV mide 200 m de altura y su sombra al mediodía mide 35, 20 m ¿Qué ángulo forman en ese momento los rayos del sol con el piso? Actividades Docente: Realizamos un esquema gráfico que facilitará el análisis: Nombramos el ángulo buscado como Entonces tg

200m 35,20m

5,681

200 m ? 35,20 m 471

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La calculadora científica también nos permite, conocida la razón entre los catetos opuesto y adyacente, conocer el ángulo que forman la hipotenusa y el cateto adyacente a . Para ello se utiliza la función llamada “inversa de la tangente” que requiere de una combinación de teclas en la calculadora: Inv y tan . Así en nuestro problema, para calcular la medida del ángulo hacemos: Inv

+ tan

+ 5,681

=

medida del ángulo

= 80º aprox.

Resumen institucionalizador para el alumno Llegado a este punto en la secuencia de problemas propuestos nos parece propicio que el docente, interactuando con sus alumnos, sintetice los conceptos y procedimientos que se fueron introduciendo a partir de estas actividades. Se trata de que esta síntesis esté conformada por una mirada global e integradora de los recuadros titulados “¿Qué aprendimos…?”, constituyéndose así en un resumen institucionalizador para el alumno. La intención es que este resumen se genere a partir de un diálogo o puesta en común de los aprendizajes que se han ido adquiriendo, donde además pueden emerger errores que requerirán un trabajo destinado a superar las eventuales dificultades implicadas. Las conclusiones deberían registrarse por escrito, utilizando variedad de registros de representación (simbólico, gráfico y coloquial).

Análisis de las características de los problemas propuestos Cada uno de los problemas que componen la propuesta planteada apunta a la construcción y/o elaboración de un particular nuevo aspecto del tema en tratamiento. Los Problemas 1 y 2 van generando el concepto de que la razón o cociente entre las medidas de los catetos opuesto y adyacente a un ángulo agudo de un triángulo rectángulo resulta de utilidad para calcular la medida de un cateto cuando se conoce la del otro. El dato del cociente adopta diferentes formatos: comienza dado en forma coloquial (Problema 1) y luego es dado en forma numérica (Problema 2-a). En el problema 2-b se hace notar la necesidad de calcular el cociente en estudio por triángulos semejantes y de discutir formas prácticas de concretar dicho cálculo. El Problema 3 permite abordar aspectos históricos de la evolución de estos conceptos, introduciendo formalmente el concepto de tg y su obtención con calculadora. El Problema 4 motiva la necesidad de calcular el valor del cociente, con el que se está trabajando, teniendo como dato el ángulo agudo y contando con el uso de una calculadora científica. Permite reforzar la comprensión del concepto tg , introducido en el Problema 3. El Problema 5 favorece la reflexión relativa al uso de tg en dos casos: según que el dato sea el cateto opuesto o el adyacente a , siendo la incógnita el otro cateto. El Problema 6 incorpora el uso del Teorema de Pitágoras para el cálculo de medidas de lados. Además, su formato actúa como un puente entre el registro semi-coloquial de los anteriores problemas y el registro gráfico-simbólico que predomina en éste, constituyendo un nexo entre los problemas “reales” y los “matemáticos”.

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El Problema 7 presenta una nueva situación: cálculo del ángulo a partir del valor de su tangente, introduciendo la noción de la función inversa de la tangente usando la calculadora.

CONSIDERACIONES FINALES A modo de cierre destacamos que en la elaboración de la propuesta se consideraron aspectos de su diseño que pueden resultar efectivos en tanto se atiendan algunas cuestiones metodológicas relativas a su implementación. Conviene que cada problema que se proponga constituya un desafío realmente viable para los alumnos, en el sentido de que puedan, casi autónomamente, imaginar la situación planteada, abordarla desde la intuición, poner en juego algunos conocimientos previos para elaborar una estrategia de resolución y tratar de comunicarla, actividad ésta que les demandará la necesidad de utilizar un vocabulario y uno o más conceptos matemáticos con los que se estima que aún no cuentan. Le compete al docente guiar, con una serie de preguntas, la validación o refutación de las propuestas de resolución de los alumnos y aprovechar el intercambio de ideas para introducir los nuevos conceptos que permiten saltear las dificultades que se hayan presentado y solucionar el problema en cuestión. De manera inmediata, se debe poner especial énfasis en la institucionalización de los conceptos, vocabulario y simbología que hayan surgido del proceso descripto. Esto último no es menor, el hecho de no hacerlo, o de hacerlo de manera deficitaria, puede significar que los problemas trabajados queden registrados en el recuerdo de los alumnos como un “entretenimiento coyuntural” del que no emerge ningún aprendizaje significativo. Es necesario que a los alumnos les queden documentados, de manera clara y ordenada, los nuevos saberes que se han construido a partir de cada problema que acaban de resolver, quedando en manos del docente estas componentes de formalización de lo actuado y la generalización e integración de paulatinos avances en el conocimiento. Recién después de haber puesto especial cuidado en la cuestión anterior, sería saludable proponer otros problemas que guarden similitud, en lo que a forma de resolución se refieren, con el utilizado como móvil para la introducción de nuevos aspectos de los conceptos en tratamiento, con la doble intención de reforzarlos y evaluar el grado de comprensión por parte del grupo de alumnos, para pasar luego a la aplicabilidad a nuevos problemas con mayores grados de dificultad. Cabe agregar que todo el proceso descripto, para implementar como modalidad de trabajo la RP, requiere de una fuerte intervención docente que estimule la participación activa de los alumnos y que contemple la incorporación al trabajo de emergentes de cada situación áulica. La intervención docente está dada por el diseño y la guía de toda la actividad, comenzando con la selección adecuada de los problemas, pasando por la elaboración y puesta en juego de preguntas que llevarían del intercambio de ideas a la introducción de los conceptos, hasta la formalización de los mismos, apelando a la intuición y reflexión de los alumnos. Así el docente deberá disponer de una batería de preguntas, que cuenten con núcleos específicos que permitan llevar la discusión hacia el punto de desenlace deseado, pero que además sean abiertas y flexibles para adaptarlas al contexto en el cual se desarrolla la actividad.

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