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UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO DEPARTAMENTO DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS MAEC 2140: Métodos Cuantitativos Prof. J.L.Cotto
Conferencia: Conceptos Matemáticos Básicos
Notación de Conjuntos A. Introducción ▪ En los cursos cuantitativos es útil trabajar con el concepto de conjunto. ▪ La idea de conjunto es igual a la idea de colección o agrupación y no es exclusiva de las matemáticas. Ejemplos 1. El conjunto de los músicos de una orquesta sinfónica. 2. E conjunto de alumnos matriculados en el curso MAEC 2140. 3. El conjunto de gotas de agua que caen al mar. 4. El conjunto de notas que puede obtener un estudiante en este curso. 5. El conjunto de las vocales. 6. El conjunto de las vocales de tu nombre. 7. El conjunto de los números enteros del 1 al 10. 8. El conjunto de personas simpáticas. *** En síntesis, el estudio de Notación de Conjuntos nos ayuda en nuestro ambiente gerencial a desarrollar una disciplina de pensamiento lógico y ordenado, tan importante en la solución de problemas y desarrollo de estrategias empresariales.
A. Notación de Conjuntos ▪ Cada objeto de un conjunto se llama elemento de un conjunto. ▪ Usamos letras mayúsculas A, B, C… para representar los conjuntos y la letras minúsculas a, b, c, para representar los elementos del conjunto. ▪ La expresión “a es un elemento de A’ se representa simbólicamente con pertenece al conjunto A”.
a A
y significa “a
▪ Si queremos expresar “c no es elemento de A” lo escribimos simbólicamente como y esto significa que c no pertenece al conjunto A. ▪ Un conjunto puede definirse de dos maneras; explícita o implícita.
c A
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▪ Definimos un conjunto explícitamente escribiendo cada uno de los elementos que componen el conjunto dentro de llaves y separados por una coma.
Ejemplos: 1. Sea A el conjunto de las vocales:
A= a, e, i, o, u
2. Sea B el conjunto de los días de la semana:
B= lunes,martes,miercoles,jueves,sabado,domingo
▪ Definimos un conjunto implícitamente escribiendo dentro de una llave las características de los elementos que pertenecen al conjunto, como sigue:
{x|x tiene la propiedad p};
esto se lee “el conjunto de todas las x tales que x tiene la
propiedad p”.
Ejemplos: 1. Sea A el conjunto de las vocales. Se escribe: A todas x tales que x sea una vocal”.
={x|x es vocal}. Se lee: “el conjunto de
2. Sea B el conjunto de los días de la semana: Se escribe B ={y|y es un Se lee: “el conjunto de todas las y tales que y sea un día de la semana”.
dia de la semana}.
▪ Un conjunto puede estar bien definido o puede no estarlo. En este curso nos interesan los conjuntos bien definidos. ▪ Decimos que un conjunto está bien definido si podemos determinar qué elementos pertenecen o no al conjunto.
Ejemplos: 1. El conjunto A de las vocales está bien definido ya que, dada una letra del alfabeto, sabemos si pertenece o no al conjunto.
a A
se lee “ a es elemento del conjunto A.
r A se lee: “r no es elemento del conjunto A 2. sea T el conjunto de las personas simpáticas. Este conjunto no está bien definido ya que la idea de ser simpático es subjetiva. No hay criterio de definido para decir que una persona es o no simpática.
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B. Criterio de Igualdad de Conjuntos ▪ Decimos que dos conjuntos A y B son iguales (lo escribimos A = B) si todos los elementos de A pertenecen a B y todos los elementos de B pertenecen a A. Esto es, si A=B, entonces
x A implica que x B ,
y
yB
implica que
y A
Ejemplos:
T 1, 2,3, 4,5 y 1. Si
L 5,3,1, 4, 2 , entonces T=L D x | x es natural, par yprimo y F= 2 ,
2. Si
entonces D=F M 1,3,5, 7,9 y G= x | x es impar, x es mayor o igual que 1 y menor o igual que 9 , 3. Si
que se representa simbolicamente con G = x | x es impar y 1 x 9 , entoncesM G
C. Subconjuntos y Relación de Inclusión ▪ Decimos que A es un subconjunto de B o que A está contenido en B y lo escribimos
A B
si todos los elementos de A pertenecen a B.
Si A no está contenido en B, se representa simbólicamente con Si
A B y B A, entonces A=B
A
B.
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Ejemplos: 1. Sean A el conjunto de las aves, que podemos representar como
A x | x es un ave,
y
B el conjunto de las palomas, podeos representar como B y | y es una paloma ; entonces
B A 2. Sean C el conjunto de los mamíferos, C a | a es un mamifero , y D el conjunto de las
DC.
ballenas, D b | b es una ballena ; entonces 3. Sea N el conjunto de los números naturales, números naturales pares,
4. Sean
A 2, 4,6,... ;
N 1, 2,3,.... Sea A el conjunto de los entonces
A N .
A x | x es un numero natural par 2, 4, 6,8,... y B= y | y es un multiplo de 2 2, 4, 6,8,... ; A B
Todos los elementos de A son también elementos de
B=A, entonces A C .
B. Decimos que A B
pero, como
5. Sea L el conjunto de los números naturales que son pares y primos:
L x | x N, x es numero par, x es primo L 2 LN Este conjunto tiene un solo elemento. El conjunto que tiene un solo elemento se llama conjunto unitario. 6. Sea
T el conjunto de los números naturales pares, primos y diferentes de 2:
T x | x es un numero natural par, primo y diferente de 2. Por las propiedades de los
elementos de T,
T es un subconjunto de N.
No existe un número natural par, primo y diferente de 2. No hay elementos en T. decimos que T es un conjunto vacío o nulo y lo representamos con el símbolo ∅ o { }.
T =
TN El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
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C. Operaciones en los conjuntos El conjunto Universo y el complemento de un conjunto ▪ El conjunto que contiene todos los elementos a los cuales pudiéramos hacer referencia en un momento dado se llama conjunto Universo o Conjunto Universal, y se representa con la letra
▪ Cuando se habla de conjuntos, se supone que todos los conjuntos con los cuales se trabaja son subconjuntos de algún conjunto llamado Universo. Ejemplo: SI nos referimos a B x | x es un numero natural par , el Universo puede ser
x | x es un numero natural ▪ Si A es subconjunto del universo , se define el complemento de A como el cnjunto cuyos elementos pertenecen al Universo y no pertenecen al conjunto A. El complemento de A se __
representa como A o __ A x | x
~ A.
y x A
Ejemplos:
U 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10 Si A= 1, 2,3, 4,5 y B= , 1. Sea
__
__
entonces A 6, 7,8,9,10 y B = 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10 El complemento del conjunto nulo es el Uiverso.
2. Sea
U el conjunto de los números naturales, U = N
A = a N|a 100 1, 2,3....100 , y C = x | x N y x es par = 2, 4, 6,... , entonces __
Si A = b N|b >100 = 101,102,... , y
C = l | l N y l es impar = 1,3,5,... .
N
Si el Universo es el conjunto de los números naturales , algunos subconjuntos de que hemos representados antes como: A, B, C, D, N y Ø.
U son los
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▪ Definición: Unión de Conjuntos LA unión de los conjuntos A y B es el conjunto cuyos elementos pertenecen al Universo y a conjunto A o al conjunto B o a ambos. La unión de A y B se representa simbólicamente
A B = x U | x A o x B
AB Ejemplos: 1.
Si U = 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10 A = 1, 2,3, 4,5 , B = 2, 4 y C = 4,5, 6, 7 , entonces A B = 1, 2,3, 4,5 B A = 1, 2,3, 4,5 C A = 1, 2,3, 4,5, 6, 7 B C = 2, 4,5, 6, 7 C B = 2, 4,5, 6, 7 Podemos concluir que A B = B A
2.
Si U = N A = x | x N, x es un numero natural par y B = l | l N, l es un numero natural impar , etonces AB = N 3.
Si U = N A = x | x N, x > 2 = 3.4.5.6.7.8.9... y B = y | y N, y>5 , 6,7.8.9..., entonces A B = 3,4,5,6,7,8,9,... x | x N , x 2
7 4. Si
U= 2,3,5, 6, 7,8,9,10 , A = 2.3.4.5. , B = 4, 7,9 y C = 9,10 , entonces A B = 2,3, 4,5, 6, 7,9 __
B A 4, 7,9,1, 6,8,10 (A B) C = 2,3, 4,5, 7,9,10 A (B C) = 2,3, 4,5, 7,9,10 (A B) C __
A A A, A U = U, A A = U. ▪ Definición: Intersección de Conjuntos La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto cuyos elementos pertenecen al Universo y a los conjuntos A y B. La intersección de A y B se representan simbólicamente como
A B.
A B = x | U|x A y x B Ejemplos: 1.
Si U = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 A = 1,2,3,4, , B = 2,4,6 y C = 4,5,6, 7 , D = 2 entonces A B = 2,4, A C = 4, B C = 4,6 CD =
2.
Si U = N A = x | x N, x es par y B = y | y N, y es impar , entonces AB = 3.
Si U = N A = x | x N, x > 2 = 3.4.5.6.7.8.... y B = y | y N, y>5 6,7.8.9..., entonces A B = y | y N , y 5 = 6,7,8,9,... = B
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4.
Si U = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 A = 2,3,4, , B = 4,7,9 y C = 9,10,entonces
A B = 4 B C = 9 A C =
__
A C = 2,3,4 __
AA = AA = A ▪
AU = A