Notas de Celaya Eugenio Daniel Flores Alatorre Luis Islas Cruz
Notas de Celaya Eugenio Daniel Flores Alatorre Luis Islas Cruz
Material didáctico CARMA^2 y Casa Olímpica Editorial Dinosaurio San Luis Potosí, México Enero de 2012
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Introducción Esta es una recopilación de las notas de curso que se crearon para el grupo Celaya de la Especialidad de la Enseñanza de las Matemáticas en Secundaria que impartieron investigadores del CIMAT a docentes de escuelas secundarias desde inicios del 2010 hasta mediados del 2012. Las notas son ampliaciones sobre las exposiciones y temas que impartieron los investigadores y en algunos casos son repasos o reafirmaciones de conocimientos previos. Los investigadores del CIMAT involucrados en el proyecto fueron: Dr. Ricardo Vila Freyer, Dr. Arturo Ramírez, Dr. Alejandro Díaz-Barriga, Dr. Fabio, Dr. Carlos, Dra. Elena, Dr. Jorge Domínguez, Dr. Gilberto Marrufo. Algunas de estas notas están disponibles en la página de la especialidad, en la sección del grupo Celaya, como notas del grupo o dentro de la bitácora. La mayoría, sin embargo, son inéditas o se encuentran aquí mejoradas. Todas fueron creadas por Eugenio Flores Alatorre, quien se desempeñó como uno de los cuatro tutores del grupo durante la especialidad. Los otros tres fueron Luis Islas Cruz, Esteban Hernández e Ismael Aguilar. Todas las secciones se nutren de un muy fructífero intercambio con el grupo de tutores e investigadores, con el resto del equipo de tutores para las sedes de León, Irapuato, Silao y Acámbaro, con algunos otros amigos y maestros externos a la especialidad como César Octavio Pérez Carrizales y José Javier Gutiérrez y, sobre todo, con los docentes que cursaron la especialidad por más de año y medio. Estas notas inauguran la colección de material didáctico de Casa Olímpica CARMA para docentes de matemáticas.
Índice 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.
Ni tan tonteómetro Aritmética fácil Decimales y fracciones Quebrados sin pasteles Proporcionalidad Ajedrez, granos de arroz y potencias de 2 Método egipcio mejorado Divisores de un número y regla del producto Última cifra y residuos Binomio de Newton Dados y volados Desigualdades Mínimo común múltiplo y algoritmo de Euclides Perímetro, áreas y álgebra Cajas y división de polinomios Ecuaciones y rectas Inducción Matemática
Z. Definiciones y representaciones Una parte muy importante de la labor de un profesor depende de su capacidad para comunicarse eficientemente y de manera clara y precisa. Para ello, es necesario no sólo dominar las habilidades propias de la lengua materna, sino también del área de conocimiento con que tratamos. Un profesor de matemáticas debe conocer el lenguaje matemático y ser capaz de comunicarse en él. La precisión empieza con la manera en que definimos muchos de los conceptos o términos que vamos a trabajar en el salón de clase. Podemos empezar con unos muy sencillos que pueden generar una buena discusión, como son las figuras geométricas. Para encontrar una definición correcta, queremos que sea lo más simple posible, que no haga referencia a conceptos que no hayamos definido antes, que incluya todos los casos posibles pero ni uno más. Un buen método para hacerlo es pensar constantemente en contraejemplos. Empezamos con las figuras más básicas: A) Triángulo Como primera respuesta, alguien podría decir “Polígono de tres lados”. Nuestra definición falla porque no hemos definido a qué nos referimos con “Polígono” ni, exactamente qué tiene que cumplir un “lado”. Si evitamos el uso de “Polígono” y lo dejamos como “Figura de tres lados”, podemos pensar en los siguientes contraejemplos para refinar la definición:
Entonces tendríamos que añadir a la definición estas precisiones y decir “Figura cerrada de tres lados rectos”. Podemos incluir esto dentro de nuestra definición preliminar de Polígono y así podemos definir “Triángulo” como queríamos en un inicio: Polígono: Figura cerrada con lados rectos. Seguimos con nuevas palabras para poder ser más precisos con las definiciones. B) Triángulo isósceles Este ofrece una discusión interesante casi siempre. En muchos textos –sobre todo diccionarios no especializados- y muchos profesores insisten en hacer una distinción entre un “Triángulo isósceles” y un “Triángulo equilátero”. Por esa insistencia, definen “Triángulo isósceles” como “Triángulo que tiene dos ángulos iguales y uno distinto”, para poder excluir el caso en que tenga los tres ángulos iguales y sea un equilátero. Siguiendo nuestra exigencia de simplicidad, quisiéramos simplemente definir “Triángulo isósceles” como “Triángulo que tiene dos ángulos iguales”. Esto quiere decir que hay que aceptar que todos los triángulos equiláteros son isósceles, pero no todos los isósceles son equiláteros. Es decir, si un triángulo tiene tres ángulos iguales, en particular tiene dos ángulos iguales. Podemos también empezar a distinguir entre aquello que es necesario para definir el concepto y qué cosas son más bien propiedades. Por ejemplo, algunos quisieran definir “Triángulo isósceles” como “Triángulo con dos lados y ángulos correspondientes iguales”. Sin embargo, es demostrable que si tiene dos lados iguales entonces sus ángulos correspondientes son iguales o si tiene dos ángulos iguales entonces sus lados correspondientes son iguales; para la prueba se usa únicamente congruencia de triángulos.
Aunque por el nombre “Triángulo” convendría definirlo en función de ángulos, la verdad es que usamos las palabras “Triángulo” y “Trilátero” como sinónimos. Así, podemos convenir en usar cualquiera de las definiciones que queramos para “Triángulo isósceles”: “Triángulo con dos lados iguales” o “Triángulo con dos ángulos iguales”. C) Cuadrilátero Si decimos simplemente “Polígono de cuatro lados”, podríamos encontrar un contraejemplo:
No era necesario aclarar esto cuando definíamos Triángulo porque un triángulo define un plano. Hemos llegado a una refinación de nuestra definición de Polígono: Figura plana, cerrada, formada por lados rectos. Poder establecer definiciones unívocas, claras y precisas es parte esencial de la labor del matemático, no se diga del docente. Puesto que todo el tiempo estamos introduciendo conceptos nuevos a partir de los cuales vamos a trabajar, es necesario hacerlo de la mejor manera posible. Las definiciones están en toda nuestra labor y no sólo en la geometría: D) Número primo La verdad es que prácticamente siempre trabajamos sin una definición precisa de cosas exageradamente elementales como “número”. En particular, definir el conjunto de los “números reales” es tarea para nada sencilla que le toma a Spivak todo un libro de Cálculo. Es mucho más sencillo definir los números racionales, los enteros o los naturales. Una definición común de número primo incluye la frase “excepto el 1”, pues se definen como “Números enteros que sólo son divisibles entre el 1 y sí mismos”. Efectivamente, el 1 cumple esa condición y el 1 no es primo. Una definición más adecuada sería: Número entero que tiene exactamente 2 divisores positivos. Este caso incluye a todos los primos, pues son sólo divisibles entre el 1 y sí mismos, pero ya no incluye al 1, que tiene un único divisor positivo.
Estos ejemplos son pocos y pueden parecer triviales pero es de vital importancia cuidar nuestro lenguaje cuando estamos iniciando gente en la ciencia y arte de las matemáticas. También es muy importante elegir de qué manera representamos las cosas. Por ejemplo, al trabajar con fracciones, es muy común hablar de “pasteles” y éstos normalmente se imaginan redondos. Es fácil partir el pastel a la mitad, en cuartos o hasta en octavos. La dificultad no es la misma para partirlo en tercios, en quintos o no se diga en quinceavos.
Pero si cambiamos nuestra representación de pasteles redondos por rectangulares, es muchísimo más sencillo construirlos, pues no necesitamos hacer primero el pastel y luego partirlo; podemos ir haciendo las rebanadas hasta obtener la cantidad que necesitamos. Es decir, lo único que queremos es un objeto que se pueda partir fácilmente en la cantidad de pedazos iguales que pedimos. Este problema en particular se abordará en otra sección más adelante. Lo importante de esta reflexión es atraer nuestra atención hacia nuestra precisión con el lenguaje.
ZZ. Conjuntos y lógica En muchas ocasiones en matemáticas, traducir un problema a conjuntos puede resultar muy favorable. Por eso conviene dominar cuando menos las reglas básicas para trabajar con ellos. Vamos a construir una traducción de la lógica formal a teoría de conjuntos para enunciados no muy complicados y las propiedades de operaciones como contención, intersección y unión que resultarán particularmente útiles cuando trabajemos con desigualdades. Además, es necesario mover la atención en las matemáticas de secundaria de la resolución de ejercicios a la prueba y demostración de propiedades y problemas. Para poder hacerlo, es necesario conocer los métodos de prueba o qué constituye un argumento válido al momento de demostrar algo en matemáticas. Aunque prácticamente siempre trabajamos con la prueba directa, a veces es necesario conocer otros métodos de demostración como sería la prueba por contraejemplo o por inducción matemática. La parte de inducción matemática tiene su propia sección en el presente documento mientras que todas las demás se irán trabajando cuando se presenten. Las primeras nociones de lógica que necesitamos están completamente ligadas a la manera en que probamos cosas en matemáticas que es básicamente todo lo que necesitamos de Teoría de Conjuntos. Un conjunto se define en lenguaje natural como si fuera un saco que contiene objetos de cualquier tipo. Por ejemplo, se puede hablar del conjunto de todas las cucharas o del conjunto de los mamíferos acuáticos; también se podría hablar del conjunto de presidentes de algún país, el conjunto de niñas de una escuela; en fin, una cantidad ilimitada de conjuntos que se nos pudiera ocurrir.
1. Ni tan tonteómetro Consideremos el siguiente problema: Un granjero tiene 132 animales, entre patos y vacas. Cada pato tiene 2 patas y cada vaca tiene 4. Entre todos, tienen 416 patas. ¿Cuántos patos y cuántas vacas tiene el granjero? Debe haber muchísimas maneras de resolverlo. Una de ellas, la algebraica, es posiblemente la más sencilla y la más elegante de todas, siempre y cuando se domine el álgebra. Si no se domina, uno puede plantear ecuaciones terribles que no dicen nada, nombrar veinte variables distintas y dejar todo sin resolver. Cuando inició la especialidad que inspira estas notas, yo buscaba que todos los docentes tuvieran la solución planteando un sistema de ecuaciones de 2x2. Fueron verdaderamente pocos los que lo hacían: preguntaba cómo lo habían hecho y muchos no podían decirme nada concreto: nada más les salió, por prueba y error, por tanteo, o peor, por tonteómetro; ni ellos ni yo confiábamos en el conocimiento que tenían. Yo me molestaba muchísimo, insistiendo que era irreal que no pudieran plantear el problema con álgebra, que no pudieran encontrar argumentos para decir que la respuesta era única. Entonces les quité su tanteo y quise imponerles mi álgebra. Cuando llegó el primer examen rápido no pudieron resolver un problema que ya habían resuelto antes, varias veces. La razón era muy sencilla: les quité algo que dominaban y exigí que lo reemplazaran con algo que nunca entendieron; así, cuando llegó el problema, no tenían manera de atacarlo. Fue un terrible error mío, asumí que la manera de construir1 el conocimiento que yo buscaba era desechar el conocimiento que ellos tenían e imponer el mío que, desde mi punto de vista, es mejor y más sencillo. Muchas veces procedemos así con nuestros alumnos y retrasa el proceso de aprendizaje o a veces simplemente lo impide: llegamos a secundaria y nos dicen que lo que hemos aprendido está mal y lo sustituyen con algo nuevo; en preparatoria dicen que nos enseñaron todo mal y nos dan nuevas maneras de hacer lo mismo; en universidad ni siquiera les interesa qué sabemos, simplemente asumen que no sabemos nada. Pero las cosas con las que sustituyen no son radicalmente distintas, son esencialmente las mismas salvo notación o algún método. Dedicar el tiempo a entender qué conoce y domina un grupo nos permite avanzar mucho más rápido. Todo esto por un problema de vacas y patos. Afortunadamente, me di cuenta de mi error2 y hoy quiero remediarlo.
1
Uso el verbo aquí con mucha libertad y no con intenciones de apelar a alguna teoría constructivista del conocimiento que sinceramente no conozco. 2 Mi amigo y maestro César Octavio Pérez Carrizales ayudó muchísimo a hacerme ver el error y estas notas son básicamente notas de una clase suya que tuve el gusto de observar.
Solución 1. Lo primero que uno puede pensar es precisamente que tiene los 132 animales y dibujarlos. Como no sabemos si son patos y vacas, nada más dibujamos bolitas. Ciento treinta y dos bolitas. No importa si son vacas o patos, podemos asegurar que tienen al menos 2 patas. Así, dibujamos 132 bolitas con 2 palitos cada una.
Contamos las patas y tenemos 264. Si todos fueran patos, tenemos 264 patas. Ahora, vamos a convertir patos en vacas agregando 2 palitos más hasta llegar a 416. 264 +2 = 266; +2 = 268; +2 = 270; +2 = 272; +2 = 274; +2 = 276;
+2 = 278; +2 = 280; +2 = 282; +2 = 284; +2 = 286; +2 = 288;
+2 = 290; +2 = 292; +2 = 294; +2 = 296; +2 = 298; +2 = 300;
Vamos a necesitar un método más rápido: convertimos ya 18 patos a vacas y apenas vamos en 300 patas. Vamos a convertir de 10 en 10 patos a vacas: 300 + 20 = 320; +20 = 380; +20 = 340; +20 = 400 +20 = 360; Levamos 18 + 50 = 68 vacas y todavía nos faltan 16 patas.
400 + 4 = 404; +4 = 408; +4 = 412; +4 = 416 En total, tenemos 76 vacas. Podemos contar desde nuestra figura terminada.
Tenemos 76 vacas y 56 patos. Solución 2. Rápidamente pudimos darnos cuenta que el método anterior fue muy rápido y que tuvo pasos innecesarios. De entrada, no necesitamos dibujar los animales para hacer las cuentas. Podemos nada más hacer las operaciones: Si tengo 132 animales y cada uno tiene al menos dos patas, entonces tengo 132 x 2 = 264 patas. Como quiero tener 416 patas, me faltan 416 – 264 = 152 patas. Como cada vaca tiene dos patas más que los patos, necesito 152 / 2 = 76 vacas. Si tengo 76 vacas, tengo 132 – 76 = 56 patos. Podemos hacer la comprobación: 76 x 4 + 56 x 2 = 304 + 112 = 416. Este método fue básicamente el mismo que el anterior, pero mucho más abreviado. Lo acabamos en tan sólo cinco renglones.
Solución 3. Uno puede aventurarse a hacer adivinanzas informadas a ver si le atina a algún número cercano que nos permita trabajar. Un matemático diría que esto es una conjetura; en la vida y sobre todo en el aula normalmente le llamamos tanteo. Empezamos por escoger un número que se acerque más o menos bien y, por lo general, un número “cerrado” que facilite las cuentas. Necesito 416 patas. Cada vaca tiene 4 patas. Voy a decir que tengo 100 vacas y trabajo desde ahí: 100 x 4 + 32 x 2 = 400 + 64 = 464. Nos pasamos por menos de 50 patas. Ahora con 80 vacas: 80 x 4 + 52 x 2 = 320 + 104 = 424. Nos pasamos por sólo 8 patas. Para quitar 8 patas necesitamos convertir 4 vacas en patos. 76 x 4 + 56 x 2 = 416. Acabamos bastante rápido, llegamos a la respuesta y sólo necesitamos hacer unas pocas operaciones. Mientras más entrenados estemos en hacer esto, más acertados estarán nuestras primeras conjeturas. Solución 4. Vamos a hacer el mismo tanteo, pero con una tabla con la información que tenemos, la información que queremos y lo que obtenemos del tanteo: Conejos
Vacas
Animales 132
Patas Conejo
Patas Vaca
Total Patas
Tenemos dos datos fijos: tenemos 132 animales y queremos 416 patas. Vamos haciendo algunos tanteos para que nuestra tabla se vea llena y bonita. Elegimos dos números que sumados nos den 132 y con eso llenamos la tabla: Conejos 10 20 30 40 50 60
Vacas 122 112 102 92 82 72
Animales 132 132 132 132 132 132
Patas Conejo 20 40 60 80 100 120
Patas Vaca 488 448 408 368 328 288
Total Patas 508 488 468 448 428 408
Nuestra tabla nos dice que el número de conejos está entre 50 y 60 porque 50 nos da demasiadas patas y 60 nos da demasiado pocas. Pero también, la manera en que llenamos la tabla después de un rato se vuelve mecánica. Siempre se cumple que: Conejos + Vacas = 132 En la columna Patas Conejo escribimos 2 veces el número debajo de Conejos; en la columna Patas Vaca escribimos 4 veces el número debajo de vacas y en Total Patas lo sumamos. Sabemos que hemos terminado el problema cuando la suma nos da 416 2 x Conejos + 4 x Vacas = 416 Como nos da flojera escribir Conejo y Vaca, nos quedamos nada más con la primera letra: c + v = 132 2c + 4v = 416 Sin querer, hemos descubierto el álgebra. Todo el tiempo hemos estado haciendo álgebra a veces sin darnos cuenta. ¡Es asombroso! Solución 5. Una vez que podemos plantear las ecuaciones, sólo hace falta resolverlas. Las únicas ecuaciones que sabemos resolver son las que tienen una sola variable, así que necesitamos una manera de deshacernos de alguna de las variables en alguna de las ecuaciones: c + v = 132 2c + 4v = 416 Agarremos la primera. Observemos que si c + v = 132 Entonces se debe cumplir que 2c + 2v = 264 Pero por la segunda ecuación, ya sabemos que 2c + 4v = 416 Entonces se debe cumplir que 2v = 152
Porque es lo que le falta de cada lado. Y si eso se cumple, se cumple que v = 76 Que finalmente significa que c + 76 = 132 De donde podemos concluir que c = 56 Esta es sólo una manera de resolver este sistema de ecuaciones. Hay muchos más pero la estrategia es siempre la misma: poder eliminar una de las variables en una de las ecuaciones.
Empezamos con un sencillo problema de patos y patas y en el camino nos topamos con el álgebra. Nosotros descubrimos el álgebra sabiendo poco más que hacer tanteos.
Ejercicios: 1. La suma de tres números impares consecutivos es igual a 27. ¿Cuál es el número más pequeño de esos tres? 2. Luis vende zanahorias a 7.5 pesos el kilo. Germán le compra varios kilos de zanahoria. Germán paga con dos billetes de veinte y uno de cincuenta y Luis le regresa 24 pesos de cambio. ¿Cuántos kilos de zanahoria compró Germán? 3. Una señora tiene 2 hijas en edad escolar. El producto de su edad con las edades de sus dos hijas es 230. ¿Cuál es la diferencia de edad entre sus hijas? 4. Encuentra un número mayor que 600 y menor que 650, que sea divisible entre 2, 3, 5 y 10. El número que encontrarás es el año en que se acuñó la moneda más antigua que se conoce. 5. Encuentra una pareja de enteros positivos consecutivos, tales que uno sea divisible entre 3, el otro entre 7 y que sólo tengan los dígitos 1 y 2. 6. Un grupo de amigos se junta para tomar una taza de café. La quinta parte del grupo toma, además, una dona. A la hora de pagar le dan al mesero $285. Si cada café cuesta $24 y cada dona $10, ¿cuánto dinero le dan al mesero de propina? (La propina no puede ser mayor que la mitad de lo que se pagó.) 7. En un partido de fútbol americano se fallaron todos los puntos extras, de manera que los equipos sólo obtuvieron puntos mediante touchdowns que valen 6 puntos, goles de campo que valen 3 puntos y safeties que valen 2 puntos. Si el partido terminó 40 a 37, ¿cuál es el mínimo número de safeties que pudieron haber ocurrido? 8. Ary tiene 3 CD’s, a los cuales les caben 100, 200 y 300 minutos de música respectivamente. Fanny tiene 100 canciones de 3 minutos, 200 de 4 minutos y 300 de 5
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
minutos. ¿Cuál es el número máximo de canciones que Fanny puede guardar en los CD’s de Ary? Mi abuelo fue de pesca por tres días. Cada día logró pescar más peces que el día anterior. El tercer día pescó menos peces que la suma de los dos primeros días. Si en total, entre los tres días, pescó 12 peces, ¿cuántos pescó el tercer día? En un calabozo hay dragones rojos y verdes. Cada dragón rojo tiene 6 cabezas, 8 patas y 2 colas. Cada dragón verde tiene 8 cabezas, 6 patas y 4 colas. Si sabemos que entre todos los dragones tienen 44 colas y que hay 6 patas verdes menos que cabezas rojas, ¿cuántos dragones verdes hay? Una pelota de fútbol está formada de piezas de cuero blancas y negras. Las piezas negras son pentágonos regulares y las piezas blancas son hexágonos regulares. Cada pentágono está rodeado por 5 hexágonos y cada hexágono está rodeado por 3 pentágonos y 3 hexágonos. La pelota tiene 12 pentágonos negros. ¿Cuántos hexágonos blancos tiene? En un examen de matemáticas que tenía 10 preguntas sedaban 5 puntos por cada respuesta correcta y se quitaban 3 puntos por cada error. Todos los alumnos respondieron todas las preguntas. Si Javier obtuvo 34 puntos, Daniel obtuvo 10 puntos y César obtuvo 2 puntos, ¿cuántas respuestas correctas tuvieron entre los tres? Una entrevista con 2006 estudiantes de una preparatoria reveló que 1500 de ellos participaron en la Olimpiada de Matemáticas y 1200 de ellos en la Olimpiada de Química. ¿Cuántos de los jóvenes entrevistados participaron en ambas competencias si sabemos que exactamente 6 de ellos no participaron en ninguna? Tres amigos fueron a la dulcería. Luis gastó 29 pesos y compró 1 caramelo y 2 paletas. Águeda gastó 43 pesos y compró 1 caramelo y 2 chocolates. ¿Cuánto gastó Julio si compró 1 caramelo, 1 paleta y 1 chocolate? Un grupo de estudiantes quiere pedir una pizza. Si cada uno de ellos coopera con $14, les harían falta $4 para pagar la cuenta. Si cada uno de ellos coopera con $16 sobrarían $6 de la cuenta. ¿Con cuánto debe cooperar cada uno para pagar la cuenta exacta?
2. Aritmética fácil En estas notas, haremos un avance rápido desde los atajos comunes que muestran los alumnos y que tenemos todos nosotros para las tablas de multiplicar y las operaciones básicas, hasta cosas algo más elevadas como pueden ser los residuos de los números al dividir entre otro. Estamos hablando de atajos o herramientas que tenemos todos para resolver las operaciones más sencillas, que a veces reprimimos en los alumnos o tratamos de evitarles. Una bien sencilla, cuando sumamos:
No sumamos en orden estricto de arriba para abajo, lo que normalmente haríamos es “sumar 10” porque es más fácil: juntamos 1 con 9, 2 con 8, 3 con 7 y 4 con 6. Incluso, para hacerlo, dibujamos rayas que los unen. Lo que sucede en muchas ocasiones con las tablas de multiplicar es que no las usamos o recordamos en el orden que quisiéramos enseñarlas. Por ejemplo: si se le pidiera a un alumno que completara, digamos, la tabla del 4: X1 4
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
X5
X6
X7
X8
X9
X10 40
Probablemente empezaría a llenarla así: X1 4
X2 8
X3
X4
Pues multiplicar por 2 y por 10 son de las cosas más sencillas. Luego, podría seguir así: X1 4
X2 8
X3 12
X4
X5 20
X6
X7
X8
X9
X10 40
Pues sumarle 4 al 8 es algo sencillo y multiplicar por 5 también. Incluso si aceptamos que por 4, por 6 y por 9 no son complicados, seguramente su último paso será así: X1 4
X2 8
X3 12
X4 16
X5 20
X6 24
X7
X8
X9 36
X10 40
Pues las tablas del 7 y las del 8 suelen ser las más complicadas. Es más: 8x7 es probablemente la multiplicación más complicada que hay. Probablemente el punto que quisiera establecer es mucho más claro en la tabla del 9. Si observamos cómo la llena un alumno, probablemente el primer paso que hace es este: X1 9
X2 8
X3 7
X4 6
X5 5
X6 4
X7 3
X8 2
X9 1
X10 0
Lo que podría hacernos pensar que no se le ha pegado nada de todo lo que le hemos tratado de enseñar. Sin embargo, pocos segundos después, esto cambia: X1 9
X2 18
X3 27
X4 36
X5 45
X6 54
X7 63
X8 72
X9 81
X10 90
Ya sea que haga la misma cuenta al revés y empiece a contar desde 9 para debajo de derecha a izquierda, o que a cada momento el alumno busque el número que falta para sumar 9 hay dos cosas ciertas:
El alumno ha encontrado un patrón muy fácil de memorizar Puede que tenga que hacer esto cada vez que multiplique por 9
Y la verdad es que no hay problema. Claramente saber cómo va la tabla y profesores, adultos y matemáticos utilizan este tipo de atajos todo el tiempo. Veamos otros dos ejemplos: supongamos que por alguna razón, queremos ver la tabla del 49 y la tabla del 51. X1 49
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
X1 51
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
Sabemos que en realidad no hay tales tablas, sin embargo existen escenarios en las que tenemos que hacer cuentas de este tipo rápidamente, por ejemplo comprando artículos en el supermercado que tienen ese precio.
Empezamos a llenar los huecos, pero encontramos rápido que hay pocas que son fáciles de llenar: X1 49
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10 490
X1 51
X2 102
X3
X4 204
X5
X6
X7
X8 408
X9
X10 510
Pero de nuevo, son esos atajos los que nos pueden hacer las cosas más sencillas: encontrar patrones como los siguientes:
La última cifra es la misma que la de 9 o la de 1 respectivamente En la del 51, se parece a la del 5 y luego la del 1
Y podemos avanzar lo siguiente: X1 49
X2 8
X3 7
X4 6
X5 5
X6 4
X7 3
X8 2
X9 1
X10 490
X1 51
X2 102
X3 152
X4 204
X5 255
X6 306
X7 357
X8 408
X9 459
X10 510
Encontrar ese patrón nos permitió resolver una de las tablas bastante rápido y sobre todo, nos tiene más cerca de aquello que hacemos casi todos para operar más fácil: redondear. Multiplicar tanto por 49 como por 51 es algo complicado, pero multiplicar por 50 lo hacemos sin problemas. Entonces, podemos ver el 49 como (50 – 1) y el 51 como (50 + 1). Entonces nos queda así: X1 50 – 1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
X1 50 + 1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
Es decir, tenemos dos tablas que nos salen bastante bien: la del 50 y la del 1 X1 50 - 1
X2 100 - 2
X3 150 - 3
X1 50 + 1
X2 100 + 2
X3 150 + 3
X4 200 - 4
X4 200 + 4
X5 250 - 5
X5 250 + 5
X6 300 - 6
X6 300 + 6
X7 350 - 7
X7 350 + 7
X8 400 - 8
X8 400+ 8
X9 450 - 9
X9 450 + 9
X10 500 - 10
X10 500 + 10
Y lo que nos quedan son sumas y restas bastante sencillas, que nos permiten terminar las tablas de manera bastante rápida. Lo triste, es que si alguien nota cómo hacemos esto puede acusarnos de no saber multiplicar cuando en realidad lo sabemos hacer a la perfección, al grado de dominar propiedades como la asociativa y la distributiva: normalmente nos enseñan que 50 – 1 = 49 pero nunca nos enseñan que 49 = 50 – 1. Esta es, finalmente, la manera en que hacemos una multiplicación larga:
No se espera que sepamos directamente cuánto es 12345 veces 243, el algoritmo que usamos es:
Porque multiplicamos de derecha a izquierda, por cada dígito del número “de abajo” y después recorremos tantas posiciones como correspondan. En general, las únicas multiplicaciones que se espera que sepamos son las de los dígitos –o las tablas- pues nuestro algoritmo de multiplicar depende únicamente de ellas. Pero podemos, con toda libertad, escoger una manera distinta de expresar esa multiplicación. Vamos a proponer otra, bastante conocida, que puede resultar más sencilla: x 2 4 3
1
2
3
4
5
Escribimos una tabla y en la primera fila ponemos un dígito por columna, pero con el número escrito al revés y en la primera columna un dígito por fila. Después, en cada cruce, multiplicamos ese número: x 2 4 3
1 2 4 3
2 4 8 6
3 6 12 9
4 8 16 12
Ahora sumamos en diagonal: 2; 4 + 4 = 8; 3 + 8 + 6 = 17; 6 + 12 + 8 = 26; 9 + 16 + 10 = 35; 12 + 20 = 32; 15.
5 10 20 15
Y multiplicamos el último número por 1, el anterior por 10, el anterior por 100, el anterior por 1000 y así hasta el primero. Después, sumamos los números: 15 + 320 + 3500 + 26000 + 170000 + 800000 + 2000000 = 2999835 Podemos comprobar con nuestro algoritmo tradicional –o con una calculadora- que el resultado es correcto. Probablemente la parte de “al revés” es confusa, pero es inevitable. Tal vez, para hacerlo más sencillo, podemos escribir los dos números al revés y así multiplicamos por 1, 10, 100,… en el sentido de las manecillas del reloj y no en el inverso: x 3 4 2
5 15 20 10
4 12 16 8
3 9 12 6
2 6 8 4
1 3 4 2
Observamos que las sumas por diagonales siguen siendo las mismas y sólo cambió el orden. Trucos equivalentes pueden ser usados para hacer divisiones. Lo que usamos para la multiplicación fue la propiedad distributiva:
Pero en el sentido en el que normalmente no vemos las igualdades:
Nuestra lectura de izquierda a derecha está tan estrechamente ligada con nuestra concepción del tiempo (creemos que el tiempo corre de izquierda a derecha en toda representación gráfica como una línea del tiempo o una historieta) que es común pensar que en una igualdad, ir de izquierda a derecha es un avance, mientras que ir de derecha a izquierda es un retroceso. Podemos usar esta misma propiedad con divisiones. Primero, repasemos el concepto de fracciones mixtas: La tercera parte de 33 es lo mismo que la tercera parte de 30 más la tercera parte de 3.
Claro, no todas las fracciones son así de fáciles. La tercera parte de 846:
Aunque todas las separaciones son igual de ciertas, no todas son igual de útiles. Podemos, de paso, insistir en por qué trabajamos con fracciones:
Trabajar con fracciones se vuelve mucho más fácil una vez que les perdemos el miedo. Sólo lograremos algo tan temerario si dominamos sus propiedades. Vamos a hacer una división más grande:
Este tipo de estrategia es muy útil cuando trabajamos, por ejemplo, con números combinatorios – los vamos a repasar más adelante:
Que es definitivamente más sencillo y rápido que hacer primero las multiplicaciones y luego la división:
Esta manera de dividir (tachando factores comunes) es mucho muy útil y puede volverse muy sencilla. Lo que hacemos no es otra cosa que hacer divisiones parciales Ejercicios: 1. Mucha gente se sabe un truco para recordar la tabla del 9, que consiste en escribir los números del 0 al 9 en orden ascendente y luego, a la derecha de estos, escribirlos en orden descendente. ¿Puedes pensar en trucos similares para otras tablas? 2. ¿A cuánto es igual
?
3. 4. 5. Marta escribió en su libreta los números 17, 13, 5, 10, 14, 9, 12 y 16 y calculó su promedio; después tachó dos números de la lista y notó que el promedio era el mismo. ¿Cuáles son los números que tachó Marta? 6.
7. 8. 9. El reloj de mi papá se atrasa un minuto cada hora. El reloj de mi mamá se adelanta un minuto cada dos horas. Al salir de casa puse ambos relojes a la misma hora y les dije que volvería cuando la diferencia entre sus relojes fuera exactamente de una hora. ¿Cuánto tiempo estaré fuera de casa? 10. Pablo eliminó un número de una lista de 10 números consecutivos. La suma de los que quedaron es 2006. ¿Cuál es el número que eliminó?
3. Decimales y Fracciones Dependiendo del problema, puede convenirnos utilizar ya sea la notación decimal o la notación en fracciones. Aunque por lo general preferimos la notación en fracciones pues es más “exacta”. También, como veremos más adelante, en realidad es mucho más sencillo operar con fracciones que con decimales, sobre todo cuando se trata de algún periodo infinito. Veamos algunos ejemplos: No tenemos ningún problema para afirmar que 0.5 es lo mismo que . ¿Podríamos, con la misma seguridad, decir que
o que 0.1 es lo mismo que
es lo mismo que 0.333? ¿Y que 0.3333?
¿0.3333333333? ¿Con cuál expresión nos quedamos? Claramente, 0.3 no es lo mismo que 0.33, que tampoco es lo mismo que 0.333, que tampoco es lo mismo que 0.3333 y así sucesivamente. Sin embargo, por lo general no tenemos problema en decir que es lo mismo que 0.3 o que 0.33 o que 0.333 o que 0.3333. No es poco común encontrarnos con decimales que tienen un periodo infinito. Es decir, a lo mejor no nos cuesta tanto trabajo admitir que es lo mismo que 0.33333333… cuando la cantidad de 3 detrás del punto decimal es infinita. Y escribimos
. Pero esto no necesariamente hace las
cosas más fáciles: sí, puede ser una manera equivalente de expresar el resultado pero ¿cómo operamos con periodos infinitos? ¿Cómo sumamos, restamos, multiplicamos o dividimos? Lo que vamos a ver esta vez es una fórmula general para convertir decimales con periodo infinito a fracciones. Supongamos que queremos encontrar a qué es igual el número hacer lo siguiente:
en fracción. Vamos a
1. Vamos a recorrer el punto decimal de nuestro número hasta después de que termine la primera repetición del periodo. En este caso, si nuestro número es a, tenemos que un millón de veces a es . 2. Vamos a recorrer el punto decimal de nuestro número hasta antes de que comience por primera vez el periodo. En este caso, tenemos que mil veces a es . 3. Vamos a restar al número que obtuvimos primero, el número que obtuvimos después: Como el periodo tiene la misma longitud –ambos son infinitos- se cancela y nos queda: Ya nos deshicimos del punto decimal. Lo único que tenemos que hacer ahora es despejar para nuestro número a pues es el que queremos encontrar:
Y simplificamos para obtener nuestra fracción:
¡Listo! Este método funciona siempre para convertir números con periodo decimal infinito a fracciones. Lo único que hay que tener bien seguros siempre es: 1. Saber en dónde empieza el periodo. 2. Multiplicar correctamente para eliminar el periodo. Y nada más. Es posible que el número tenga alguna parte entera o tenga varios ceros después del punto decimal. No importa, siempre que podamos saber en dónde empieza el periodo, podemos usar este método. Una de las razones para preferir las fracciones sobre los decimales es la facilidad para realizar las operaciones. Sin embargo, esto no puede parecer así al principio: una de las razones por las que normalmente la gente convierte las fracciones a decimales es por el miedo a operar con las fracciones. Ahora que sabemos convertir decimales a fracciones, sólo nos hace falta dominar la aritmética de fracciones. Ejemplo mañoso para impresionar gente en la calle ¿Cómo escribimos en fracción
?
Vamos a utilizar nuestro método: Sea Entonces Y si restamos Tenemos que Y entonces ¿Estamos mal? ¿Qué es lo que pasa? Observa que decir que 1 es lo mismo que realidad distinto a decir que
no es en
, sólo estamos multiplicando por 3. Esto quiere decir que
todo número real que pueda expresarse en notación decimal de manera finita, también puede expresarse de manera infinita:
Ejercicios:
Convierte a fracción los siguientes decimales: Convierte a decimal las siguientes fracciones:
3. Quebrados sin pasteles Los pasteles circulares son unas de las peores cosas para dividir en partes iguales. Cualquiera que haya partido un pastel lo sabe: las rebanadas se hacen cada vez más delgadas y más y más difíciles de manejar. Dividir un círculo en fracciones no es cosa sencilla: hacer cortes horizontales o verticales es lo más intuitivo pero con un círculo no nos va a ayudar, los cortes son todos radios del círculo y aunque sí hay cortes más o menos sencillos (medios, cuartos, octavos), otros empiezan a complicarse (tercios, quintos, sextos), se ponen cada vez más difíciles (séptimos, novenos, décimos), hasta llegar a unos que son completamente imposibles y totalmente imprácticos (quinceavos, diecinueveavos, veintitresavos). Pedirle a alguien que divida un círculo en séptimos con cierta precisión no es distinto a pedirle que dibuje un heptágono regular. Y esto es a penas en la división en pedazos iguales, no hemos empezado a sumar o restar. Dividir rectángulos es cosa más sencilla. Es tan sencilla que cuando hacemos mal los cortes es mucho más fácil simplemente añadir filas o columnas. A diferencia del círculo, siempre podemos construir un rectángulo que nos funcione. Vamos a empezar con nuestro algoritmo de la suma y la resta y después con el de la multiplicación y el de la división. Consideremos las siguientes sumas: 1. 2. 3. La manera en que aprendemos a sumar fracciones es innecesariamente complicada, pues exige primero buscar el mínimo común múltiplo de dos números. La idea de hacer esto es facilitar las cuentas después, pero no siempre es así. En general, este procedimiento tiene tres posibilidades, según las posibilidades del mínimo común múltiplo de dos números: el denominador común va a ser alguno de los dos números cuando uno es múltiplo del otro, como en (1); el denominador común va a ser el producto de los dos números cuando su máximo común divisor es 1, como en (2); o el denominador común va a ser un número distinto a ambos y distinto a su producto, como en (3). El siguiente paso es saber cuántas veces más es el común denominador a cada uno de los denominadores originales. Es decir, bajo el algoritmo que usamos, normalmente tenemos que dividir el común denominador entre cada uno de los denominadores originales y luego multiplicar el cociente por el numerador respectivo. Hacemos esto porque no tenemos mucha memoria de de dónde salió el común denominador, pues normalmente sale de hacer algo así:
1. 3, 6 1, 2 1, 1 2. 8, 19 4, 19 2, 19 1, 19 1, 1 3. 4, 10 2, 5 1, 5 1, 1
|3 |2 3x2=6 |2 |2 |2 | 19 2 x 2 x 2 x 19 = 152 |2 |2 |5 2 x 2 x 5 = 20
Y esto que hacemos nos hace olvidar qué relación tiene el número con los originales. Entonces, después tenemos que “deshacer” lo que acabamos de hacer y dividir: 1. 6/3 = 2. 2. 152/8 = 19. 3. 20/4 = 5.
6/6 = 1. 152/19 = 8. 20/10 = 2.
Para finalmente hacer la multiplicación correspondiente y por fin hacer algo de suma: 1. 2. 3. En cada caso, dejamos hasta la derecha de la igualdad el paso intermedio que nunca hacemos. En general no lo hacemos porque aprendemos a multiplicar fracciones hasta después de sumar fracciones, aunque la multiplicación sea mucho más sencilla. Incluso, detrás de este paso secreto está la idea que multiplicar por 1 nunca afecta un producto y que todas las fracciones del tipo son lo mismo que 1, dos propiedades que no son siempre sencillos de entender. Este algoritmo lo seguimos porque es, supuestamente, la manera más sencilla de sumar fracciones y porque, idealmente, este procedimiento dejaría la fracción en su expresión más reducida. Pero ¿realmente es así? 1. 2. 3.
No, no siempre es así. Incluso con este procedimiento diseñado para obtener una fracción en su mínima expresión, la realidad es que en muchos casos todavía tenemos que hacer la reducción después. El detalle en este procedimiento está en pedirnos siempre el mínimo común múltiplo. ¿Por qué no usar simplemente un múltiplo, cualquiera? El múltiplo más sencillo de calcular de dos números cualesquiera es el producto de ambos. Vamos a trabajar así, con nuestros rectángulos3: 1. Buscamos un número que sea divisible entre 3 y 6. Claro que 6 funciona, pero vamos a elegir 3 x 6 = 18. 2. Buscamos un número que sea divisible entre 8 y 19. El más sencillo de calcular coincide con el mínimo común múltiplo: 8 x 19 = 152. 3. Buscamos un número que sea divisible entre 4 y 10. De nuevo, ya sabemos que 20 funciona, pero vamos a tomar 4 x 10 = 40. Escogimos el producto porque hace extremadamente sencilla nuestra elección de un rectángulo: 1. Tenemos un rectángulo de 3 x 6 (que es lo mismo que uno de 6 x 3).
¿Por qué es tan sencillo de dividir tanto en tercios como en sextos? Porque tiene exactamente 3 columnas y 6 filas. Entonces, si quiero tomar dos tercios, necesito tomar 2 columnas; si quiero cinco sextos, necesito tomar 5 filas:
En nuestro primer rectángulo tenemos un total de 12 cuadritos y en el segundo tenemos 15 cuadritos. En total, tenemos 12 + 15 = 27 cuadritos. Pero como los rectángulos tienen cada uno 18 cuadritos, en realidad tenemos
de rectángulo.
Podemos ver esto en los rectángulos si jugamos con los cuadritos:
3
Este procedimiento, aunque a lo mejor sea muy popular, se lo aprendí a César Octavio y José Javier.
Ahí lo tenemos, un rectángulo y medio. 2. Necesitamos dos rectángulos de 19 x 8. Cada uno tendrá 19 columnas y 8 filas, del primero necesitamos tomar 1 fila y del segundo 13 columnas:
Del primero tomamos 19 cuadritos y del segundo 123, así que en total tenemos 19 + 104 = 123 cuadritos. Como cada cuadrito es uno de 152, en realidad tenemos
.
3. Dibujamos dos rectángulos de 4 x 10, con 4 filas y 10 columnas. Tomamos 1 columna de uno y 3 filas del otro.
Y ahí lo tenemos: 22 de 40 cuadritos, o bien
.
Este procedimiento elimina dos pasos –o más bien, los simplifica considerablemente. Hemos dejado el algoritmo general para la suma de fracciones tan sencillo que puede expresarse como fórmula:
Y esa fórmula sirve para cualquier suma (o resta) de fracciones, sin preocuparnos por casos particulares, dejando la simplificación siempre hasta el final. La multiplicación, por el otro lado, siempre ha sido así de sencilla:
Pero no la división. Se nos enseñan dos algoritmos distintos. El primero lo conocemos como “multiplicación cruzada”, y normalmente se expresa con dos zig zags: el primero empieza arriba, baja y vuelve a subir; el segundo empieza abajo, sube y vuelve a bajar.
El segundo algoritmo es la bien conocida “ley del sándwich”, en donde multiplicamos las orillas y las ponemos arriba y multiplicamos lo de en medio y lo ponemos abajo:
Ambas, como es de esperarse, dan el mismo resultado. El vínculo entre uno y otro es muy estrecho: como ya hemos visto, dividir entre un número es lo mismo que multiplicar por su recíproco. Entonces:
El recíproco, ya sea por ley del sándwich o por multiplicación cruzada, es la misma fracción, pero volteada. Entonces, si dividir es multiplicar por el recíproco:
No nos sorprende que dividir, en el fondo, sea siempre multiplicar por algo:
Lo que termina distrayéndonos en todo el proceso es nada más el símbolo ‘÷’. No sería tan mala idea desecharlo ya que, de todos modos lo hacemos más adelante, lo mismo que el símbolo ‘×’.
Conozco muchas personas que no saben sumar fracciones cuando éstas involucran letras. A lo mejor le batallan con números, pero lo que normalmente hacen es sumar de una manera cuando hay letras y de otra cuando hay números. Por ejemplo, los siguientes son errores comunes: 1. Sumar como “trenecito” (arriba con arriba y abajo con abajo) o bien, multiplicar abajo y sumar directo arriba, hay gente que no tiene problemas para hacerlo en general con números y no se vuelve más sencillo con letras:
2. Separar sumas abajo:
Mucha gente no tiene problema en asegurar que
porque creen que están sumando bien
y nunca se detienen a enfrentar el resultado con la realidad, que es claramente imposible. Es necesario hacer varios contraejemplos para que entiendan que su algoritmo no funciona adecuadamente: ¿cómo es posible que un medio más algo que es distinto de cero sea igual a un medio? Una vez que somos capaces de confrontar números con la realidad (si tengo medio pastel y me regalan un cuarto de pastel, debo tener más de medio pastel), podemos confiar en los números para saber cuándo nos equivocamos con las letras. La manera de evitar estos errores es sencilla: ante la duda, prueba dos valores distintos de x, para cada uno verifica si la igualdad se sigue sosteniendo. Es importante que sean dos por si ocurre que le atinamos a uno de los que a lo mejor sí funciona. Si la igualdad no se sostiene, estás haciendo algo mal. Si sí, probablemente todo salga bien. Ejercicios: 1. Un cuarto de la tercera parte de un número es 1.5, ¿qué número es? 2. ¿Qué es más grande, 1.- La quinta parte de cinco novenos por tres o 2.- La mitad de tres medios? 3. Si el promedio de tres números es 85 y el promedio de otros dos es 95, entonces el promedio de los cinco números es: 4. ¿De cuántas formas se puede escribir
de la forma
con a, b enteros?
5. María compró un pastel, lo dividió en cuatro pedazos iguales y lo repartió entre sus hijos. Ana y Benito se comieron sus pedazos completos, mientras Carlos se comió la mitad de su pedazo y Diana se comió sólo la quinta parte del suyo. ¿Qué fracción del pastel sobró? 6. Emilia quiere llenar un tanque para su tortuga con 4 cubetas de agua. En cada viaje, Emilia llena la cubeta desde la fuente y camina hacia el tanque, pero en el camino derrama del 7.
8.
9.
10.
contenido de la cubeta. ¿Cuántos viajes tiene que hacer para llenar el tanque? En una fiesta el 50% de los asistentes son mujeres. De las mujeres que asistieron a la fiesta, el 30% tiene los ojos claros. Del total de los asistentes a la fiesta, ¿qué porcentaje son mujeres y no tienen los ojos claros? Yo rompí un papel en 10 pedazos. Mi hermanito tomó algunos de ellos y los rompió a su vez en 10 pedacitos cada uno. Si al final quedaron 46 pedazos, ¿cuántos pedazos rompió mi hermanito? En mi cocina tengo un barril lleno de vino con capacidad para 64 litros. Se reemplazan 64 litros de vino con 16 litros de agua y se revuelve hasta obtener una mezcla uniforme. Después se reemplazan 16 litros de la mezcla con 16 litros de agua y se revuelve bien. ¿Cuántos litros de vino quedan en el barril? Cada una de las letras w, x, y, z representa un número del conjunto {1, 2, 3, 4}, pero no necesariamente en ese orden. Si
, entonces ¿a qué es igual w + y?
4. Proporcionalidad Los problemas de proporcionalidad normalmente se resuelven haciendo una regla de tres. Cuando la regla de tres no queda clara, podemos rastrearlo a la manera misma en que aprendimos proporcionalidad. En el corazón de la proporcionalidad está el concepto de razón: dos parejas de números son proporcionales si conservan la misma razón. Es decir, (a, b) es proporcional a (c, d) si se cumple que
. Pero esa razón se cumple si se cumple cualquiera de las siguientes:
Esto quiere decir que podemos plantear prácticamente cualquiera de las razones que queramos entre los números que sí conocemos (a, b, c) y plantear la otra correspondiente. Resolver una regla de tres es esencialmente despejar una incógnita. Consideremos el siguiente problema: Un boleto para el cine cuesta 54 pesos. ¿Cuánto cuestan 13 boletos? Para saberlo, sólo necesitamos hacer una multiplicación: 13 x 54, porque 13 es trece veces 1. Llena la siguiente tabla: 1 boleto 54 pesos
2 boletos
3 boletos
5 boletos
6 boletos
216 pesos
8 boletos
9 boletos
378 pesos
10 boletos 540 pesos
Hay que plantearlo en los términos que propusimos al inicio. Nuestra primera pareja es (1, 54) y la segunda pareja es (13, x). Las parejas tienen que estar en el mismo orden: como la primera es (Boletos, Pesos), la segunda también tiene que estar así. Es lo mismo que en la tabla. Ya sabemos que las parejas son proporcionales. Nos conviene poner la razón donde el 1 sea el numerador: a. Planteamos
. Queremos despejar x. Es decir:
b. Planteamos
. Queremos despejar x. Es decir: Es decir:
. .
Consideremos el siguiente problema: Cien pesos compran 12 barras de chocolate. ¿Cuántas barras compran 500 pesos?
De nuevo, sólo necesitamos hacer una multiplicación: 12 x 5, porque 500 es cinco veces 100. Llena la siguiente tabla: 100 pesos 12 barras
200 pesos
400 pesos 36 barras
700 pesos 60 barras
800 pesos
72 barras
1000 pesos 108 barras
Hay que plantearlo también en términos de lo que propusimos al inicio. La pareja que conocemos completa es (100, 12) y la otra es (500, x). Recordemos que ambas parejas tienen que estar en el mismo orden, en este caso es (Pesos, Barras) igual que en la tabla. Ya sabemos que las parejas son proporcionales. Nos conviene poner la razón para que nos quede un número entero de algún lado de la igualdad: Planteamos
. Despejamos para x, es decir:
.
Estos problemas son sencillos de resolver porque es posible escribir alguna de las razones como un número entero y eso lo hace muy fácil. No siempre va a ser así. Sin embargo, si no nos da miedo trabajar con fracciones, no tendríamos por qué temerles: el método para resolver cualquier problema de proporcionalidad es el mismo que hemos usado hasta aquí. Vamos a trabajar con otros problemas y otro método de resolución que a lo mejor es más largo, pero que nos puede ahorrar trabajar con fracciones cuando sea el caso. Los problemas a continuación son un poco más complicados. Si en un viaje de 100 km, un coche recorre los primeros 25 km a 80 km/h y los últimos 75 km a 100 km/h, ¿a qué velocidad promedio hizo el viaje? Hay que calcular el tiempo real en el que recorrió los 100 km y así sabremos la velocidad promedio. Hay que hacer dos reglas de tres, o dos casos de proporcionalidad: uno por cada velocidad que mantuvo. Podemos repetir lo que hicimos anteriormente: una pareja sería (80, 1) y la otra (25, x) si pesamos (Kilómetros, Horas). Proponemos ahora un ejercicio similar al anterior. Vamos a hacer una tabla pero en lugar de multiplicar, vamos a dividir. A esta velocidad, recorre 40 kilómetros en media hora, 20 kilómetros en un cuarto de hora, 10 kilómetros en un octavo de hora y 5 kilómetros en un dieciseisavo de hora. 1 hora 80 kilómetros
1/2 hora 40 kilómetros
1/4 hora 20 kilómetros
1/8 hora 10 kilómetros
1/16 hora 5 kilómetros
Como queremos recorrer 25 kilómetros, hay que sumar 25 en la tabla inferior, por ejemplo 20 + 5. Si sumamos 20 + 5 tenemos que sumar
. Por lo tanto, recorre 25 kilómetros en
cinco dieciseisavos de hora. Observemos que
Es lo mismo que hubiéramos obtenido de hacer
Es más sencillo trabajar con fracciones que con decimales, tanto para sumas y restas como para multiplicaciones y divisiones. Además, siempre será mucho más exacto.
.
Ahora, debemos resolver la otra mitad del problema de manera equivalente. Repetimos un procedimiento con las parejas (100, 1) y (75, x). O bien, podemos hacer lo mismo que acabamos de hacer. A esta velocidad, recorre 50 km en media hora y recorre 25 km en un cuarto de hora. 1 hora 100 kilómetros
1/2 hora 50 kilómetros
1/4 hora 25 kilómetros
Como 75 es tres veces 25, recorre 75 kilómetros en tres cuartos de hora. Sólo resta hacer la suma: de
. Si recorre 100 km en
h, su velocidad promedio es
km/h.
A continuación ofrecemos más ejemplos resueltos de esta manera. Un laboratorio tiene soluciones de ácido clorhídrico, una de ellas al 10% y otra al 30%. ¿Cuánto tiene que mezclar de cada solución para obtener un litro de solución con una concentración de 15%? Una solución es hacer regla de tres. También, podemos trabajar con las razones entre parejas. ¿Cuáles serían esas parejas? Puedes pensar primero en la razón de la proporcionalidad. Podemos, al igual que el ejercicio anterior, imaginar que tenemos una cubeta grande y echamos litros de ambas soluciones hasta obtener la concentración deseada y hasta después convertir eso a un solo litro. Si echamos 1 litro de cada solución, obtenemos 2 litros de solución al 20% =
. Entonces, si
echamos medio litro de cada solución, obtenemos 1 litro de solución al 20%. Como es mayor que 15%, tenemos que echar otro litro de la solución con menor concentración. Si echamos otro litro de solución al 10%, obtenemos 2 litros de solución al 15% =
.
Para convertir esto a un litro, basta con dividir entre 2. Es decir, con un cuarto de litro con solución al 30% y tres cuartos de litro con solución al 10%, obtenemos 1 litro de solución al 15%. Comprobamos:
.
Realmente, lo que estamos haciendo es una regla de tres también. Lo que hacemos es siempre trabajar con unidades útiles: siempre pensamos que tenemos 1 litro. Consideremos otro ejemplo: Una pirámide de base cuadrada tiene un volumen de 8 m3, ¿cuál es el volumen de otra pirámide cuyos lados y altura miden el triple de los de la original? Recordemos que el volumen de una pirámide de base cuadrada se obtiene con la fórmula: . Basta con hacer la siguiente operación:
El siguiente es un ejemplo muy clásico y recurrente. Un pintor puede pintar una barda de cierto tamaño en 6 horas. Su aprendiz la puede pintar en 8 horas. ¿Cuánto tiempo tardan si trabajan los dos juntos? El pintor pinta
de la barda cada hora mientras que su aprendiz pinta
Entonces, juntos pintan horas para pintar 7 bardas o bien,
de la barda cada hora.
de la barda cada hora. Por lo tanto, necesitan de 24 horas para una barda.
Convertimos a unidades que nos fueron muy útiles: bardas por hora. El problema nos entrega otra unidad: horas por barda. Pero esa unidad no es sencillo de sumar, porque están pintando la misma barda. Un error común en este tipo de problemas es considerar el promedio. Ese promedio no toma en cuenta, precisamente, la proporcionalidad. Por ejemplo: promediar las soluciones del problema del ácido clorhídrico no toma en cuenta que una está más concentrada que otra. Lo que hacemos para resolver estos problemas es hacer un “promedio” donde se tome en cuenta, por ejemplo, que una solución está más concentrada o que alguien pinta más rápido. Un último ejemplo, con porcentajes. Un comerciante aumenta en 20% el precio de un producto. Como no se vende, decide ponerlo de barata. ¿Qué descuento debe dar sobre el nuevo precio para regresar al precio original? Recordemos que agregarle el 20% a algo es lo mismo que multiplicar por 1.2, es decir, si el artículo originalmente valía x, ahora vale 1.2x.
Queremos encontrar t tal que:
Entonces, el descuento que dimos del 16.67%
. El descuento que tiene que dar es
Todos los problemas son de proporcionalidad, ya sea visto como porcentaje o como bardas. Ya sea con las parejas o con la tabla –sobre todo con las tablas que van “hacia atrás” en lugar de “hacia adelante”- lo que buscamos es convertir las cosas en unidades que nos sean útiles. Con la tabla, lo que hacemos es construir otras parejas que nos permitan hacer la razón de manera muy sencilla – como lo hicimos en los primeros dos problemas. Todo el tiempo estuvimos haciendo reglas de tres. Todo el recorrido fue encontrar la manera de hacer las reglas de tres más sencillas: usando la razón más sencilla, encontrando parejas que sean múltiplos de la otra, trabajando en una tabla. La siguiente sección es mucho más fácil de entender después de haber leído la sección de Rectas y Punto-Pendiente. Sin embargo, no hay nada extraordinariamente complicado aquí. Hemos estado usando tablas y parejas ordenadas todo el tiempo. Podemos usar las parejas como puntos en un plano cartesiano cuyos ejes marcamos de la misma manera que la tabla o la pareja. Usemos los ejemplos del principio: 1 boleto 54 pesos
2 boletos
3 boletos
5 boletos 216 pesos
6 boletos
8 boletos 378 pesos
9 boletos
10 boletos 540 pesos
La tabla sigue estando incompleta, pero no importa. Vamos a usar propiedades de las rectas en los planos, sobre todo la fórmula de punto-pendiente. Para toda recta, necesitamos dos puntos. Una recta está definida por dos puntos distintos y dos puntos distintos siempre definen una recta: si tenemos dos puntos hay una única recta que pasa por ellos dos o que los une. El problema siempre nos da 1 punto: en este caso es el punto (1, 54). Usando la tabla, podemos encontrar otro punto con mucha facilidad, por ejemplo (2, 104), (4, 216), o (10, 540) que son de los más fáciles de calcular. Sin embargo, hay otro punto que siempre tenemos también: (0, 0). Sólo hay que pensarlo un poco: si yo quiero 0 boletos, yo tengo que dar 0 pesos por ellos.
Así pues, si tenemos los puntos (1, 54) y (0, 0), ¿cuál es la pendiente de esa recta? Recordando la fórmula punto-pendiente, la pendiente es el incremento de Y sobre el incremento de X. El eje Y es Pesos y el eje X es Boletos. De un punto a otro, los Pesos pasaron de 0 a 54, para un incremento de 54. De un punto a otro, los Boletos pasaron de 0 a 1, para un incremento de 1. Entonces, la pendiente es
.
¿Qué nos dice la pendiente? Todo lo que ya sabíamos: Pesos = 54 x Boletos. Siempre que grafiquemos un problema de proporcionalidad, debe verse como una recta, pues todos los puntos deben cumplir la misma razón y esa razón es la pendiente de la recta. Ejercicios: 1. Un pequeño koala se come las hojas de un árbol en 10 horas. Su papá y su mamá comen el doble de rápido, cada uno. ¿Cuántas horas tardan los tres juntos en comer todas las hojas del árbol? 2. El entrenador más experimentado del circo necesita 40 minutos para lavar un elefante. Su hijo lleva a cabo la misma tarea en 2 horas. ¿Cuántos minutos tardarán el entrenador y su hijo en lavar 3 elefantes trabajando juntos? 3. Cuando a un barril le falta el 30% para llenarse contiene 30 litros más que cuando sólo está lleno al 30% de su capacidad. ¿Cuántos litros le caben al barril? 4. Aquiles corre detrás de una tortuga. En un principio la distancia entre ellos es de 990 metros. Si Aquiles recorre 100 metros cada minuto y la tortuga recorre 1 metro cada minuto, ¿en cuántos minutos alcanzará Aquiles a la tortuga? 5. Para hacer una jarra de bebida de frutas con una receta especial, se mezclan 4 vasos de jugo de naranja, 2 vasos de jugo de uva y 1 vaso de jugo de mango. Según la receta, ¿cuántos vasos de jugo de naranja se necesitan para preparar 350 vasos de bebida de frutas? 6. Un barco recoge 30 náufragos en una isla. Como resultado, los alimentos del barco que eran suficientes para 60 días ahora son suficientes sólo para 50 días. ¿Cuántas personas había en el barco antes de llegar a la isla? 7. En cierta población de ratones el 25% son blancos y el 75% son negros. De los ratones blancos el 50% tiene los ojos azules y de los negros el 20% tiene los ojos azules. Si sabemos que 99 ratones tienen ojos azules, ¿cuántos ratones tiene la población? 8. Tres conejos cazan tres grillos en tres minutos. ¿En cuánto tiempo caza un conejo a un grillo? 9. La aguja de un tanque de gasolina marca tener 1/8 de la capacidad total. Después de ponerle 25 litros, la aguja marca 5/8. ¿Cuál es la capacidad del tanque en litros? 10. Mi tío tiene un jardín rectangular y ha decidido ampliar sus dimensiones en un 10% a lo ancho y 10% a lo largo. ¿En qué porcentaje crecerá el área del jardín? 11. Un pintor puede realizar un trabajo en 2 horas y su hijo puede realizarlo en 4 horas. ¿En cuánto tiempo pueden realizarlo si trabajan juntos?
12. Una persona invirtió cierta cantidad en un pagaré a 3 años al 5% anual. Al final de cada año reinvertía los intereses ganados. Si a los 3 años tenía $100,000, ¿cuánto invirtió en el pagaré? 13. En un viaje, un automóvil va a 65 km/h durante 18 kilómetros y 72 km/h durante 23 kilómetros. ¿Cuál fue su velocidad promedio durante el viaje?
5. Ajedrez, Granos de Arroz y Potencias de 2 Según la tradición o la leyenda o las historias que nos cuentan, un antiguo rey de la India estaba desconsolado por la pérdida de uno de sus hijos en batalla. Un sabio de la región le presenta como regalo el juego del ajedrez y le enseña a jugarlo. Con el tiempo, el nuevo juego logra que el rey se distraiga de su pesar y queda muy agradecido con el sabio. Le dice: “Pide lo que quieras a cambio de tu obsequio y te será concedido”. El sabio dice que la felicidad de su rey es regalo suficiente pero el rey insiste. El sabio le dice: Pon un grano de arroz en el primer cuadro del tablero. Dos en el segundo. Cuatro en el tercero y así sucesivamente, duplicando los granos en cada casilla. A cambio del juego quiero esa cantidad de arroz. El rey está sorprendido pero muy tranquilo. Manda pedir a uno de sus ayudantes que le traiga un costal de arroz para cumplir su promesa. No tarda mucho antes de que el rey entienda su error. Dentro de poco nos daremos cuenta por qué no es descabellado mejor nada más mandar matar al sabio y olvidarnos del arroz. ¿Cuánto arroz le pidió el sabio? Recordemos que un tablero de ajedrez tiene 8 × 8 = 64 casillas. El número que buscamos es
. Cada uno de los sumandos se obtiene de multiplicar por dos el sumando anterior, sabiendo que empezamos en 1. Podemos simplificar la notación diciendo que el numerito arriba de cada 2 nos indica las veces que hemos multiplicado por 2: en la casilla 17 hemos multiplicado por 2 dieciséis veces y en la casilla 64 hemos multiplicado por 2 un total de sesenta y tres veces. Al igual que el rey, ya no nos parece una tarea tan sencilla y la calculadora pronto nos falla. Una sumadora común y corriente encuentra serios problemas para acercarse al treinta, si no es que mucho antes. Por suerte tenemos más herramientas y conocimientos de los que probablemente el rey tenía. Para saber la magnitud del número que buscamos, vamos a usar una tabla de Excel, que debe ser más poderosa que la calculadora de cualquiera de nuestros celulares: 1 2 4
0 1 2
4194304 8388608 16777216
22 23 24
1.75922E+13 3.51844E+13 7.03687E+13
44 45 46
8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576 2097152
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
33554432 67108864 134217728 268435456 536870912 1073741824 2147483648 4294967296 8589934592 17179869184 34359738368 68719476736 1.37439E+11 2.74878E+11 5.49756E+11 1.09951E+12 2.19902E+12 4.39805E+12 8.79609E+12
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
1.40737E+14 2.81475E+14 5.6295E+14 1.1259E+15 2.2518E+15 4.5036E+15 9.0072E+15 1.80144E+16 3.60288E+16 7.20576E+16 1.44115E+17 2.8823E+17 5.76461E+17 1.15292E+18 2.30584E+18 4.61169E+18 9.22337E+18 1.84467E+19 3.68935E+19
47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65
¡Estamos fritos! Ni siquiera Excel puede saber qué número es el que buscamos. Después de 237, los números que nos pone son aproximaciones. No es de extrañarse, pues 237 tiene 11dígitos. Vamos a hacer una pequeña aproximación. Como 210 = 1024 ≈ 1000. Estamos diciendo que 1024 se parece mucho a 1000 o que es más o menos 1000. Entonces 263 = 210 × 210 × 210 × 210 × 210 × 210 × 23 ≈ 10006 × 8. Y esto es 8 seguido de 18 ceros. Así: 8’000,000’000,000’000,000 Por suerte tenemos herramientas muchísimo más poderosas que Excel. Preguntándole a Wolfram Alpha averiguamos que 263 = 9’223,372’036,854’775,808 Nuestra aproximación no estuvo tan mal. Sólo fallo por más de un trillón. No queremos asustarlos, pero ese es sólo el número en la última casilla. El total de granos de arroz en todo el tablero sería 264 – 1 = 18’446,744’073,709’551,615 Es decir, algo así como dieciocho trillones y medio de granos de arroz. ¿Cómo hacemos para apropiarnos de este número? Vamos a hacer más aproximaciones: según lo que pudimos buscar en internet, se necesitan en promedio 16 granos de arroz para juntar 1 gramo. Se necesitan,
entonces 16,000 granos de arroz en un kilo. Se necesitan 16’000,000 granos de arroz por tonelada. Hacemos la división: ≈ 1’152,921’504,606.8 Toneladas de arroz.
Es decir, más de un billón de toneladas de arroz. ¿Cuál es el problema? La producción mundial de arroz en 2010 fue de aproximadamente 700 millones de toneladas. No es ni la milésima parte del arroz que pidió el sabio.
En el proceso dijimos que el total de granos de arroz en el tablero era de 264 – 1. ¿Cómo nos inventamos este número? Nuestra afirmación fue:
Si pasamos el 1 del otro lado
Pero 1 + 1 = 2
Pero 2 + 2 = 2(1 + 1) = 2(2) = 22
Pero 22 + 22 = 23
En general, 2n + 2n = 2n+1 y así llegamos a
Que sabemos que sí es cierto. Estamos proponiendo la siguiente fórmula:
Ya propusimos el bosquejo de una prueba. Qué tal si el sabio, en lugar de pedir que la cantidad de granos de arroz se duplicara, hubiera pedido que se triplicara. Claramente el número hubiera sido mucho mayor, no vamos a hacer los cálculos. Lo que buscamos es cómo calcular
Vamos a llamar a esa suma a. Vamos a multiplicar a por 3 – 1
Observa que aunque 3 – 1 = 2, va a ser mucho más útil multiplicar por 3 – 1 que por 2. Vamos a separar la multiplicación:
Si multiplicamos la serie de potencias de 3 por 3 lo que va a pasar es que elevamos el grado de cada término en 1. Es decir:
Y cada término en positivo se elimina con un término en negativo excepto 3n+1 – 1 Entonces lo que tenemos es que
Recordemos que el número que queríamos calcular es a, por lo tanto despejamos para a
Y tenemos ya una fórmula bastante útil. Si en lugar de 3, sumamos potencias de un número cualquiera r, la fórmula quedaría
Propusimos ya una manera de probar la fórmula de manera general, que sería haciendo lo mismo que hicimos para algún número en específico, pero esta vez para alguna letra. Valdría la pena notar que
que se obtiene de multiplicar tanto numerador como denominador por
.
Es muy importante observar que esta fórmula sólo funciona si empezamos a sumar desde 1, es decir, desde . ¿Qué sucede si no sumamos desde ahí? Por ejemplo
Para poder usar nuestra fórmula, necesitaríamos que esto fuera
Pero nada nos impide hacer un pequeño despeje aquí y obtener
Y como esa serie sí empieza desde 1, podemos hacer
Que es también una fórmula sencilla de recordar. ¿Cómo se vería esta fórmula si la base, en lugar de ser 2, fuese 3 o 5 o ? Podemos todavía imaginar otros casos. Por ejemplo, ¿qué tal si no son números enteros sino fracciones? En realidad, no es distinto. Veamos que, una vez que demostramos esta fórmula
como lo hicimos para cualquier , debe funcionar sin importar si es entero o no. En general, a estas sumas o a esta fórmula la conocemos como la fórmula para series geométricas. Ejercicios
Usa la fórmula para calcular Usa la fórmula para calcular Reto: Demuestra que
es el cuadrado de un entero para todo n natural.
6. Método Egipcio Mejorado Uno de los algoritmos que se enseñan para multiplicar lo conocemos como Método Egipcio. Recibe el nombre porque esta es la manera en que multiplicaban los antiguos egipcios. Para poder usarlo necesitamos únicamente saber duplicar, saber sacar mitad y saber sumar. Todos estos conocimientos son –en principio- mucho más sencillos que aquellos necesarios para la multiplicación. Sin embargo, es de esperarse que encontrar un método para “sacarle la vuelta” a la multiplicación puede ser ligeramente más tardado. En esta sección, vamos a repasar la multiplicación con el Método Egipcio y extender la idea para multiplicar y dividir por otro número además del 2. Supongamos que queremos multiplicar 76 × 88. Incluimos a propósito el 7 y el 8, la intersección de las dos tablas de multiplicar más conflictivas de la historia. Vamos a hacer una tabla de 5 columnas. La primera columna lleva como encabezado Potencias de 2. La segunda columna lleva como encabezado 76. La tercera columna lleva como encabezado Residuo. La cuarta columna lleva como encabezado 88. La quinta y última columna lleva como encabezado Resultado. Queda más o menos así: Potencia de 2
76
Residuo
88
Resultado
Y procedemos como sigue: 1. En la primera columna, escribimos las potencias de 2 (escribimos 1 y lo vamos duplicando por cada renglón que bajemos) hasta la mayor potencia de 2 que sea menor que el número que tenemos en la segunda columna. Potencia de 2 1 2 4 8 16 32 64 128
76
Residuo
88
Resultado
En este caso, 64 es la mayor potencia de 2 que es menor que 76, el número en la segunda columna. Hemos dejado el 128 marcado para notar que la siguiente potencia es mayor.
2. Vamos a dividir el número de la segunda columna entre 2 cada vez que bajemos un renglón hasta llegar al renglón del 64. Si el número es impar, entonces consideramos la parte entera de la división. Es decir, las veces que cabe 2 sin considerar el residuo. Potencia de 2 1 2 4 8 16 32 64 128
76 76 38 19 9 4 2 1
Residuo
88
Resultado
Siempre tenemos que llegar a 1 en el mismo renglón donde tenemos la mayor potencia de 2 menor que nuestro número. 3. En la columna de Residuo vamos a escribir un 1 si el número del mismo renglón de la segunda columna es impar y un 0 si el número del miso renglón de la segunda columna es par. Potencia de 2 1 2 4 8 16 32 64 128
76 76 38 19 9 4 2 1
Residuo 0 0 1 1 0 0 1
88
Resultado
La columna extra que agregamos –la que dice Residuo- ya nos hizo la tarea de encontrar las potencias de 2 que suman el número de la segunda columna, en este caso 76. Veamos que si sumamos las potencias de 2 que están en los renglones donde tenemos un 1 en Residuo, nos da 76: 4 + 8 + 64 = 76 También es importante recalcar que siempre tiene que ir escrito un 1 en la casilla donde se cruza la columna de Residuo y el renglón con la mayor potencia de 2 menor que el número de la segunda columna. Como última observación, lo que estamos haciendo es escribir el residuo que deja dividir el número de la segunda columna entre 2. En este caso es lo mismo que encontrar los números impares y los pares.
4. Vamos a duplicar el número de la cuarta columna hasta el renglón de la mayor potencia de 2 menor que el número de la segunda columna. Observa que –al igual que el número de la segunda columna- al escribirlo inmediatamente debajo no sufre ningún cambio. Potencia de 2 1 2 4 8 16 32 64 128
76 76 38 19 9 4 2 1
Residuo 0 0 1 1 0 0 1
88 88 176 352 704 1408 2816 5632
Resultado
Aunque duplicar es una operación bastante sencilla –tenemos nada más que sumar el número a sí mismo- con números más grandes puede tomar algo de trabajo. 5. Por último, vamos a multiplicar el número de la cuarta columna –la que acabamos de duplicar- por el número del mismo renglón en la columna de Residuo. Vamos a escribir ese resultado en la columna que marcamos con Resultado. Potencia de 2 1 2 4 8 16 32 64 128
76 76 38 19 9 4 2 1
Residuo 0 0 1 1 0 0 1
88 88 176 352 704 1408 2816 5632
Resultado 0 0 352 704 0 0 5632
Para este caso fue particularmente sencillo: lo único que hay que hacer es escribir 0 si en Residuo tenemos un 0 o escribir el mismo número si en Residuo tenemos un 1. 6. El último paso es sumar los números que tenemos en la columna de Resultado 352 + 704 + 5632 = 6688 Y ese número es 77 × 88. (Comprueba con una calculadora si no te convence.) La explicación de por qué funciona no es complicada. En el paso 3 encontramos la manera de escribir 76 –el número de la segunda columna- como suma de números de la primera columna –de potencias de 2. Hicimos esto sin darnos cuenta. Si sustituimos, tenemos: 76 × 88 = (4 + 8 + 64) × 88
Si distribuimos, tenemos: 76 × 88 = 4 × 88 + 8 × 88 + 32 × 88 Haciendo las multiplicaciones, nos damos cuenta que esto es lo mismo que la suma que hicimos: 76 × 88 = 352 + 704 + 5632 = 6688 Y así sabemos que nuestro algoritmo siempre funciona. Lo que estamos haciendo es multiplicar en base 2, es decir, multiplicar igual que como multiplica una computadora. ¿Qué tal si en lugar de sacar mitad y duplicar, lo más sencillo para mí es sacar tercera parte y triplicar? No hay problema, podemos usar el mismo método sacando tercera parte en lugar de mitad y triplicando en lugar de duplicar: 1. Escribimos la misma tabla, pero en lugar de “Potencia de 2”, vamos a escribir “Potencia de 3”. De la misma forma que la vez pasada, escribimos en la primer columna la potencia de 3 más grande que sea menor que el número de la segunda columna, 76 (escribimos 1 y luego triplicamos a cada paso para abajo). Potencia de 3 1 3 9 27 81
76
Residuo
88
Resultado
2. Dividimos el número de la segunda columna entre 3 por cada paso que demos para abajo. En el primer paso queda sin hacerle ningún cambio. Igual que con 2, consideramos sólo la parte entera (las veces que cabe o el número que queda arriba de la casita al hacer la división). No estamos haciendo nada radicalmente distinto que con 2. Lo único es sustituir “mitad” por “tercera parte” y “duplicar” por “triplicar”.
Potencia de 3 1 3 9 27 81
76 76 25 8 2
Residuo
88
Resultado
Esta vez no es necesario llegar hasta 1. Podemos llegar a 1 o a 2 y cualquiera de los dos está bien. 3. Escribimos el residuo que deja el número de la segunda columna en su casilla correspondiente de la tercera columna. Los pasos 2 y 3 pueden hacerse juntos: escribimos el número de arriba de la casita en la segunda columna y el número de hasta debajo de la casita en la columna Residuo. Potencia de 3 1 3 9 27 81
76 76 25 8 2
Residuo 1 1 2 2
88
Resultado
Ojo: los únicos valores posibles para la columna residuo son –en este caso- 0, 1 y 2. Cuando estábamos dividiendo entre 2, los únicos valores posibles eran 0 y 1. Si dividiéramos entre 5, los únicos valores posibles serían 0, 1, 2, 3 y 4. Recuerda que estamos hablando de residuos y los residuos de una división van desde 0 hasta el número anterior al número entre el que estamos dividiendo. Si dividiéramos entre n, los residuos son 0, 1, 2, 3, … , n-1. Al igual que en el caso anterior, la tercera columna nos dice cómo encontrar 76 como suma de potencias de 3. 76 = 1 × 1 + 1 × 3 + 2 × 9 + 2 × 27 = 1 + 3 + 18 + 54 = 76 4. Si con 2 duplicábamos, ahora con 3 tenemos que triplicar. Potencia de 3 1 3 9 27 81
76 76 25 8 2
Residuo 1 1 2 2
88 88 264 792 2376
Resultado
Triplicando hacemos menos operaciones (son sólo 4 pasos para abajo) pero los números se hacen más grandes más rápido. 5. Escribimos en cada renglón de Resultado lo que nos da cuando multiplicamos el número del mismo renglón de la columna Residuo con el de la cuarta columna. Potencia de 3 1 3
76 76 25
Residuo 1 1
88 88 264
Resultado 88 264
9 27 81
8 2
2 2
792 2376
1584 4752
6. Para terminar, sumamos los números de la columna Resultado 88 + 264 + 1584 + 4752 = 6688 = 76 × 88 Esta vez el resultado no debió sorprendernos, pues ya sabemos por qué funciona. Intenta el algoritmo para encontrar el resultado de multiplicar distintos números. Anímate a probarlo con distintas bases. Prueba con potencias de 4 o de 5. Recuerda que mientras más grande la base menos pasos necesitas pero las multiplicaciones son más grandes. ¿Qué pasa si eliges la base 10? Piensa un poco. Con base 10 el procedimiento es muy familiar, ¿no es así?
Ejercicios:
8. Divisores de un número y regla del producto En estas notas, nuestra intención es llegar a través de varios pasos naturales, a poder ver la fórmula para calcular los divisores de un número como un simple ejercicio de regla del producto. En el camino vamos a deducir la fórmula, por cierto. Trataremos de hacerlo de una manera que sea sencilla no sólo de entender, además de llevar al salón de clase. Vamos a recordar varias cosas sobre divisibilidad: a. Decimos que un número entero d divide a otro número entero n si existe un entero k tal que . También decimos que n es múltiplo de d, o que d divide a n. Únicamente en este caso –cuando la división es entera, o el residuo cero- diremos que un número divide a otro. b. Es fácil ver que si d es divisor de un número, entonces –d también es divisor. A lo largo de todo este documento –y casi siempre en general- vamos a considerar únicamente los divisores positivos de un número. c. El Teorema Fundamental de la Aritmética nos dice que todo número puede factorizarse de manera única –salvo orden- como producto de potencias positivas de números primos. No está de más, tampoco, tener en mente a qué nos referimos como regla del producto. Rápidamente recordemos los problemas de guardarropa: si Carmen tiene 5 blusas y 3 pantalones ¿de cuántas maneras se puede vestir? Una manera sencilla de resolver el problema –cuando los números son chicos, es con un diagrama de árbol:
Blusa 1
Pantalón 1
Pantalón 2
Blusa 2
Pntalón 3
Pantalón 1
Pantalón 2
Blusa 3
Pantalón 3
Pantalón 1
Pantalón 2
Blusa 4
Pantalón 3
Pantalón 1
Pantalón 2
Blusa 5
Pantalón 3
Pantalón 1
Pantalon 2
Pantalón 3
Sólo necesitamos contar las ramas finales, que son 15. Si ahora consideramos los 12 pares de zapatos que tiene Carmen, puede volverse tardado hacer un diagrama de árbol. En lugar, vemos que cada una de las combinaciones que ya tenemos, puede combinarse con cada uno de los 12 pares de zapatos. Si por una combinación tenemos 12 combinaciones nuevas, por 15 vamos a tener quince veces 12; es decir, 12 x 15 = 180. En general, si una cierta tarea puede realizarse de m maneras y, para cada una de esas maneras, una segunda tarea puede realizarse de n maneras, entonces ambas tareas juntas pueden realizarse de mn maneras. Esta es, precisamente, la regla del producto.
Empezaremos por el final, haciendo una tabla. A cada número, debemos encontrar los números que tienen esa cantidad de divisores. Vamos a hacerlo de dos maneras: vamos a empezar dando números de ejemplo pues es muy poco probable que alumnos de secundaria sugieran desde un primer momento la forma del número como producto de primos. Aunque desde el principio vamos a escribir también la forma, pronto nos vamos a dar cuenta que es la manera más fácil. 1:
1
El 1 es el único número que tiene un único divisor, pues es la unidad. 2:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,… p
(1, p)
Todos los números primos tienen exactamente 2 divisores y son, además, los únicos números que tienen exactamente 2 divisores. Esta es, precisamente, la definición de un número primo: Un número es primo si y sólo si tiene exactamente 2 divisores positivos. 3:
4, 9, 25, 49, 121,… p2
(1, p, p2)
4:
6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 35, 55,… pq 8, 27, 125, 343,… p3
(1, p, q, pq) (1, p, p2, p3)
Con cuatro divisores damos un paso muy importante: es el primer número que tiene más de una forma posible. Debemos hacer notar que 4 = 2 x 2, mientras que no es posible encontrar dos números ambos distintos de 1 para hacer esto con 1, 2, 3 –pues son primos. Además, los primeros ejemplos son todos el doble de un número. El número 15 es un buen ejemplo para ver que no sólo el doble cumple. Además, el 4 nos ayuda a ver que no todos los dobles funcionan. Los alumnos hacen adivinanzas tratando de generalizar –a veces nada más avientan números al azar- siempre hay que tener un contraejemplo sencillo y rápido para tratar de ayudar en su adivinanza. 5:
32, 81, 656,… p4
(1, p, p2, p3, p4)
Los ejemplos se vuelven más escasos conforme el número de divisores aumentan. Además se vuelve más complicado calcularlos. Para aquí, la mayoría puede darse cuenta que si queremos k divisores, entonces pk-1 siempre funciona. Debemos recalcar aquí que esta es la única manera para 5 pues es primo. 6:
64,… p5 12, 18, 50, 75,… p2q
(1, p, p2, p3, p4, p5) (1, p, q, p2, pq, p2q)
El primer caso ya debería ser sencillo. Es más, debería surgir casi sin ejemplo pues empezamos a trabajar con números muy grandes. Sin embargo, hay que notar que aunque para algunos alumnos para este punto ya sea claro que cualquier primo elevado a la quinta potencia cumple, lo más probable es que intenten calcular el número para 2, 3, 5,… en lugar de decir precisamente cualquier primo elevado a la quinta potencia.
Hay que recalcar que el 6 = 3 x 2. Entonces, si tomamos un número de dos divisores y tomamos uno de 3 divisores, su producto va a tener 6 divisores. Es importante observar que tienen que ser números que tengan un primo distinto como base, para ello basta ver que aunque el 4 tiene 3 divisores y el 2 tiene 2 divisores, el 8 no tiene 6 divisores sino 4. Estos casos hay que mencionarlos. 7:
p6
(1, p, p2, p3, p4, p5, p6)
8:
p7 p3q pqr
(1, p, p2, p3, p4, p5, p6, p7) (1, p, q, p2, pq, p3, p2q, p3q) (1, p, q, r, pq, pr, qr, pqr)
El 8 es también importante, pues esta vez tiene 3 casos distintos. El primer caso debería salir natural. Como es más fácil ver que 8 = 4 x 2 que 8 = 2 x 2 x 2, el segundo debe ser más sencillo que el último. Sin embargo, el ejemplo más sencillo del último es 30, que no es un número tan grande. El ejemplo más sencillo del segundo es 24. A partir de aquí, es buena idea preguntar primero si el número es quién por quién y entonces buscar la forma correspondiente. 9:
p8 p2q2
(1, p, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8) (1, p, p2, q, q2, pq, p2q, pq2, p2q2)
Pues 9 = 3 x 3. La forma con un único primo es normalmente la más fácil de ver, la de cajón. Sin embargo, si empezamos a preguntar si el número es quién por quién, ver que es sí mismo por 1 a veces no es tan sencillo. 10:
p9 p4q
(1, p, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, p9) (1, p, p2, p3, p4, q, pq, p2q, p3q, p4q)
Pues 10 = 5 x 2. Esta lista completa debe estar escrita en el pizarrón. Así, cuando digamos que 10 = 5 x 2, podemos señalar a los números que tienen 5 divisores y a los que tienen 2 divisores. Lo importante es llevarlos a que escojan la forma que cumple cada uno y lo multipliquen escogiendo letras distintas. Eso último es importantísimo. Si escogen la misma letra, el ejemplo del 2 normalmente ayuda a ver que no es cierto. 11:
p10
(1, p, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, p9, p10)
12:
p11 p5q p3q2 p2qr
(1, p, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, p9, p10, p11)
Los números primos deberían ser bastante fáciles. El 12 ayuda a preguntar si no hay más. Para justificar que no hay más, es necesario decir todas las maneras en que podemos encontrar 12 como multiplicaciones. Curiosamente, la cosa que estamos ejercitando aquí es precisamente la cantidad de divisores de un número y el Teorema Fundamental de la Aritmética.
A partir de aquí –pues el 13, 14 y 15 no ofrecen mucho problema- la idea es dar números más bien grandes. Un par de números primos –que son sencillos- y un par de números grandes que sepamos que tienen muchos divisores. ¿Cómo encogemos esos números? Auxiliándonos de nuestra tabla del pizarrón, por supuesto. 17: 18: 30: Lo primero que hay que hacer es expresar cada uno de nuestros números como alguien por alguien. El 17 es primo, así que la única manera va a ser la de cajón. Recordemos que el 18 tiene 6 divisores: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Entonces, lo podemos ver rápidamente de 3 maneras distintas: 1x18, 2x9, 3x6; siempre podemos hacer esto con todos los números –tomar el más chico y el más grande, luego el segundo más chico y el segundo más grande, el tercero más chico y el tercero más grande y así sucesivamente. ¿Hay más formas? Hay que preguntarnos por los divisores de los divisores: 9 = 3x3 y 6 = 3x2. Entonces, de la forma 2x9, tenemos la forma 2x3x3; y de la forma 3x6, tenemos la forma 3x3x2. Como son la misma forma, en total tenemos 4 maneras distintas. Más adelante vamos a ver que podemos ahorrarnos este segundo paso. Ya que sabemos de cuántas maneras distintas, hay que encontrar una forma para cada manera. La idea es escoger una forma para cada uno de los números que se están multiplicando. La de cajón es fácil. Tomemos 2x9: necesitamos un número que tenga 2 divisores y un número que tenga 9 divisores. Con 2 divisores es p; con 9 divisores puede ser p8 o p2q2. Al juntarlos, tenemos las formas pq8 y pq2r2; observemos que esta segunda forma es precisamente 2x3x3, de ahí que podemos ahorrarnos un paso en lo que hicimos antes: las formas salen por si solas si mezclamos todas con todas. ¿Qué formas salen con 3x6? El 30 es el número más pequeño que es producto de 3 primos distintos, 2x3x5. Ya sabemos que tiene 8 divisores, lo que nos da 4 maneras distintas. ¿Tiene más? ¿Por qué? ¿Qué formas salen para 30 divisores? Una vez que podemos resolver ejercicios así, vamos a voltear el ejercicio. Hasta ahora, hemos estado dando un número entero y queremos encontrar qué formas tienen esa cantidad de divisores. Ahora queremos dar una forma y saber cuántos divisores tiene. pqr2: 12 p3q2: 12 Los primeros ejercicios están en nuestra lista. Esto nos ayuda a ver que hasta ahora han entendido y que saben utilizar la lista. (A estas alturas, a lo mejor la lista ya no cabe entera en el pizarrón, por eso cada alumno debe escribirla en su libreta también.)
p5qrs: pqrs: Ninguno de estos números está en la lista. La idea es ver que hay pedazos de la forma que sí aparecen en la lista. Por ejemplo, sabemos que p5 tiene 6 divisores y que qrs tiene 8. Entonces, su producto debe tener 6x8 = 48 divisores. Hay varias maneras de encontrar pedazos del segundo en la lista; lo más fácil, sin embargo, es darse cuenta que cada uno tiene 2, entonces su producto debe tener 2x2x2x2 = 16 divisores. Esa es la idea que queremos seguir en los últimos ejemplos: p12q7r7s21: Este número no está en la lista. Además, los únicos pedazos que podrían sí estar son bloques de un solo primo. Y esa es la idea: p12 tiene 13 divisores, q7 y r7 tienen 8 divisores cada uno, s21 tiene 22 divisores. Entonces su producto debe tener 13x8x8x22 divisores. ¡Este es el truco! Ver todo número como producto de las formas de cajón pues esas son las más fáciles de saber cuántos divisores tienen. pk : k + 1 De todo este conocimiento que hemos adquirido, falta un paso mínimo para la que conocemos como Fórmula para calcular los divisores de un número:
La única dificultad sería explicar los subíndices. ¿Por qué usamos subíndices? Porque si no lo hacemos, simplemente se nos acabarían las letras. Incluso para los que siguen hasta aquí sin problemas, ver la fórmula puede generar problemas. ¿Por qué siempre es más uno? Hay que recordar que esto es un ejercicio de conteo, de regla del producto. Vamos a proponer una alternativa: Carmen quiere servirse un barquillo de helado. En su congelador, tiene suficiente helado para hacer 8 bolas de chocolate, 12 de vainilla, 4 de fresa y 5 de mango. ¿De cuántas maneras distintas se puede servir el barquillo? Es cierto que podría servirse 1, 2, 3 o hasta 8 bolas de chocolate, pero también podría no servirse chocolate. Entonces, tiene 9 maneras distintas de servirse chocolate: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. ¿De servirse vainilla? Son 13 maneras distintas. Además, 5 maneras de servirse fresa y 6 maneras de servirse mango. Entonces, en total puede hacer esto de 9x13x5x6 maneras distintas. Sólo hay que cambiar “barquillo de helado” por “divisor” y los sabores por números primos. Ejercicios: 1. En un enorme salón hay 2011 focos, cada uno con su interruptor. Al principio todos están apagados. También hay 2011 niños y a cada uno se le ha asignado un número del 1 al
2011. El niño con el número 1 cambia el interruptor de todos los focos. El niño con el número 2 cambia el interruptor de un foco no y uno sí. El niño con el número 3 cambia el interruptor de dos focos no y uno sí. El niño con el número k cambia el interruptor de k-1 focos no y uno sí. Una vez que pasaron todos los niños, ¿cuáles focos quedan prendidos? 2. Encuentra todos los números menores que 1000 con exactamente 30 divisores. 3. Encuentra los números menores que 100 que tienen más divisores. Suma esos números. ¿Cuántos divisores tiene la suma? 4. ¿Podríamos deducir una fórmula para la suma de los divisores?
9. Última cifra y residuos Retomamos los trucos y propiedades que vimos en la sección de Aritmética fácil. Dominar esos trucos lleva debajo propiedades muy interesantes que nos pueden llevar todavía más lejos. Durante toda esta sección, estaremos trabajando exclusivamente con números enteros. Por ejemplo: un atajo que encontramos rápido era encontrar cómo cambiaba la última cifra. En todas las tablas observamos que la última cifra era la misma que la última cifra de la multiplicación del último número. Eso es valiosísimo. Por ejemplo: ¿en qué termina 1111111111? Esta es fácil porque 1x1 siempre da 1. ¿Y cómo llegamos a la conclusión que la última cifra se va a dar como productos de 1? Hemos aplicado varias veces el atajo que encontramos antes que es simplemente usar la propiedad distributiva de los números y su expansión en notación decimal. Veamos otro ejemplo tal vez no tan sencillo: ¿En qué termina 3333? Recordemos que
.
Son muchos 33’s. Veamos por parejas. Ya dijimos que 33 x 33 termina según la última cifra. Es decir, termina lo mismo que 3 x 33. Pero rápidamente vemos que podemos volver a aplicar la misma propiedad y tenemos que termina lo mismo que 3 x 3. Ya redujimos el problema a uno mucho más fácil. Ahora tenemos que
Fíjate bien que eso ya no es una igualdad y por eso cambiamos el signo “=” por el de “ ”. Es que 33 no es igual a 3, pero en última cifra sí son equivalentes. La cosa es que multiplicar por 3 es mucho más sencillo que multiplicar por 33. Pero siguen siendo demasiados 3’s. Vamos uno por uno: 3x3=9 9 x 3 = 27 pero sabemos que importa sólo la última cifra entonces 9 x 3 = 27 7 27 x 3 7 x 3 = 21 1 Y eso es magnífico, pues sabemos que multiplicar por 1 no hace nada. Para obtener un 1, tenemos que multiplicar cuatro 3’s. Así, hay que agrupar los más que podamos. ¿Cuántos grupos de 4 podemos tomar si tenemos 33? Pues eso es lo mismo que preguntar cuántas veces cabe 4 en 33. Sabemos que cabe 8 veces pues 4 x 8 = 32.
Quiere decir que tenemos ocho bloques con cuatro 3’s cada uno. Y sabemos ya que cada uno de esos bloques en la multiplicación es lo mismo que 1. Tenemos pues que
Es decir, termina en 3. ¿Cuál fue la maravilla de todo eso? Espero la hayan encontrado. Teníamos que encontrar la última cifra de 3333 que, si no supiéramos nada de los patrones, nos hubiera obligado a multiplicar treinta y tres veces el número 33, que se antoja una tarea muy complicada. Sin embargo, con nuestros atajos, la multiplicación más grande que tuvimos que hacer fue 7 x 3 o 9 x 3 que no son nada complicadas. Podemos intentar esto con cualquier número y podemos ver que, para este tipo de problemas, estos atajos son en realidad una herramienta mucho muy fuerte. ¿Cuál es la última cifra de 1234567843? Bueno, en primera ese número tan exagerado no nos asusta, pues sabemos bien que
Sólo tenemos que encontrar una manera de hacer más pequeño el exponente. Lo hacemos paso por paso, multiplicando 7 por 7: 7 x 7 = 49 9 x 7 = 63 3 x 7 = 21
9 3 1
Y al llegar a 1 sabemos que encontramos nuestro atajo. Nuevamente, necesitamos grupos de cuatro 7’s, es decir, saber cuántas veces cabe 4 en 843 o más específicamente, cuánto sobra al dividir 843 entre 4. No es difícil ver que sobran 3. Entonces
De nuevo, no tuvimos que hacer ninguna operación muy grande. Es decir, en primera instancia, este truco que estamos aprendiendo es útil porque facilita las operaciones. Podemos generalizar un par de propiedades que vamos a estar usando más adelante, no sólo para calcular últimas cifras:
Principio de sustitución: si a y b son números equivalentes, entonces podemos con toda libertad sustituir uno por el otro y operar.
Las otras dos propiedades muy importantes son consecuencia de esta propiedad anterior. Vamos a revisarla brevemente: hasta ahora, por ejemplo, sustituimos 1234 por 4 porque terminan en la misma cifra y, en eso, son equivalentes. Más adelante vamos a generalizar esa noción de equivalencia. Una vez que sustituíamos el 1234 por el 4, operábamos con toda tranquilidad. Sin embargo, es importantísimo notar que el resultado de operaciones entre números equivalentes no tiene por qué ser igual, pero sí será equivalente. Las dos propiedades que estábamos usando eran:
Si a y b terminan en la misma cifra, entonces, para cualquier número entero c, termina en la misma cifra que . Lo mismo para la resta. Si a y b terminan en la misma cifra, entonces, para cualquier número entero c, termina en la misma cifra que . Es importantísimo notar que esto no se sostiene para la división.
Y las queremos generalizar de la siguiente manera:
Si a y b son dos enteros equivalentes, entonces, para cualquier número entero c, equivalente a . Lo mismo para la resta. Si a y b son dos enteros equivalentes entonces, para cualquier número entero c, equivalente a . Es importantísimo notar que esto no se sostiene para la división.
es es
Vamos ahora a definir qué tienen que cumplir dos números para que sean equivalentes. Pero antes, unos pequeños ejercicios de hotelería: En una ciudad muy turística, existen cuatro hoteles muy famosos. El primero de ellos tiene 5 pisos, el segundo tiene 7 pisos, el tercero tiene 10 pisos y el cuarto tiene 13 pisos. En todos los hoteles, los cuartos están numerados de la siguiente manera: el cuarto 1 está en el piso 1, el cuarto 2 está en el piso 2, el cuarto 3 está en el piso 3 y así hasta llegar al último piso y volvemos a empezar la numeración en el primer piso. Por ejemplo, en el primer hotel, el cuarto 5 está en el piso 5 y el cuarto 6 en el piso 1; en el segundo hotel, el cuarto 7 está en el piso 7 y el cuarto 8 está en el piso 1; en el tercer hotel, el cuarto 10 está en el piso 10 y el cuarto 11 está en el piso 1; y en el cuarto hotel, el cuarto 13 está en el piso 13 y el cuarto 14 está en el piso 1. Para cada uno de los hoteles, encuentra el piso en el que están los siguientes cuartos:
9 19 29 37 97
111 145 200 317 690
700 1234 1807 2601 10000
Es importante que sepamos en qué piso está cada cuarto en cada hotel antes de continuar. En general, diremos que dos números son equivalentes si están en el mismo piso del hotel, con la numeración que hemos planteado. Rápidamente debe surgir una inquietud: hay números que son equivalentes en el primer hotel (por ejemplo, el 1 y el 6) que no son equivalentes en ninguno de los demás hoteles. Así pues, debemos revisar la definición que dimos de equivalencia: Diremos que dos números son equivalentes –según un tercero- si están en el mismo piso del hotel que tiene tantos pisos como el tercer número, con la numeración que hemos planteado. Por ejemplo, en el hotel de 10 pisos, los números son equivalentes si terminan en la misma cifra. Así pues, diríamos que 23 y 53 son equivalentes –según 10. Nuestra definición no tiene nada de formal, pues depende de hoteles y pisos y numeraciones. Vamos a arreglar eso, entregando una definición precisa de la equivalencia. Sin embargo, ya no usaremos la palabra “equivalente” sino la que corresponde en la notación matemática que es “congruente”. También, ya no diremos que son congruentes “según” un número, sino congruentes “módulo” un número. (Regresándonos al párrafo anterior, diríamos ahora que 23 y 53 son congruentes módulo 10.) Dos números a y b son congruentes módulo c si y sólo si
(Si c divide a b menos a.) Si a y b son congruentes módulo c, usaremos la notación
Podemos traducir todo el trabajo que hemos hecho hasta ahora en términos de esta definición que acabamos de dar:
Si Si Si
, entonces , entonces , entonces
para todo número d. para todo número d. para todo número d.
Por ejemplo, cuando buscábamos la última cifra de un número, en realidad buscábamos:
Es decir, la congruencia del número módulo 10. Y lo que hacíamos era:
Pues y . Además, vale la pena hacer notar que aunque algunos pasos sí son igualdades (el primero, por ejemplo), sostenemos la congruencia todo el tiempo por claridad. Lo interesante ahora, es dejar de ver la congruencia sólo para “la última cifra” y ver para otros módulos además del 10. Así, dejamos los siguientes ejercicios: La manera en que atacamos estos ejercicios es haciendo uso de las propiedades que hemos enunciado anteriormente, sobre todo el llamado principio de sustitución. Cuando lo usamos, buscamos sustituir los números por otros lo más pequeños posibles, para así facilitar las cuentas. ¿Cuáles son esos números más pequeños que podemos usar? ¿Qué relación tienen con el módulo? ¿Cuál es el número por el que debemos sustituir los números que son múltiplos del módulo? Volvamos al ejemplo de los hoteles para responder esta pregunta: los números más pequeños que podemos usar son los números más pequeños de cada piso. Por ejemplo, en el hotel que tiene cinco pisos, los números serían 1, 2, 3, 4, y 5. Y los demás números, en cada piso, van de 5 en 5: 1. 2. 3. 4. 5.
1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46,… 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47,… 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48,… 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49,… 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50,…
Así, todos los números de cada piso pueden ser expresados como: 1. 2. 3. 4. 5. Para alguna k entero. Analizando el quinto paso, podemos ver que usar el 5, usar el 0.
que nos da la idea de en lugar de
Entonces, para el edificio de 10 pisos, los números más pequeños que podemos usar son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 y 9; para el edificio de 13 pisos, los números más pequeños que podemos usar son 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12. Si construimos un hotel con 22 pisos, los números más pequeños serían 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, y 21. En general, si tenemos un hotel con n pisos, los números más pequeños que podemos usar son 0, 1, 2, 3, 4,…, n-1. Estos números coinciden con los residuos que tiene un número al dividir entre n. Por ejemplo, cuando dividimos entre 3, los residuos que puede haber son sólo 0, 1 o 2; si sobran 3 o más quiere decir que hicimos mal la división. Este descubrimiento es impresionante y muy interesante: dado un entero positivo k, los enteros se pueden agrupar según su residuo al dividir entre k. Y que además, podemos tomar al residuo como un representante de todos los conjuntos. Esto facilita enormemente algunas pruebas pues si bien los números enteros son infinitos, los residuos son siempre finitos. Consideremos el siguiente problema: Demuestra que 6 divide a
, para todo n entero positivo.
Lo primero que haríamos ante un problema así es empezar a probar números para ver si sí es cierto. Así pues, probamos con los primeros números: 1. 2. 3. 4. 5. 6. y no tarda mucho este proceso en volverse tedioso y cansado. Podemos vernos tentados a decir que como cumple para muchos números, entonces va a cumplir para todos. Esto a veces puede ser una buena intuición, pero otras veces termina siendo mucho muy falso. (Analicemos por ejemplo la veracidad de la afirmación “La función regresa puros números primos”.) NUNCA podemos afirmar que algo se cumple para todos los números nada más porque se cumple verificablemente para algunos pocos –no importa qué tan grande sea este “pocos”, siempre serán muy pocos comparados con el infinito. Sin embargo, sí existen herramientas o argumentos que nos permiten concluir que algo se cumple para todos los números porque se cumple para algunos pocos, aunque esto suene más o menos contradictorio: más adelante veremos la inducción matemática, ahora veremos por congruencias. Volviendo al problema, lo único que hemos hecho es probarlo para 6 números. Sería muy ingenuo afirmar que se va a cumplir para todos los números nada más porque se cumple para esos 6. Sin embargo, acabamos de aceptar que los residuos pueden comportarse como representantes de todos los números, pues, trabajando con congruencias, todos los números pueden ser sustituidos por su residuo.
Cuando dividimos entre 6, existen 6 residuos posibles: 0, 1, 2, 3, 4, y 5. Entonces, trabajando módulo 6, podemos sustituir todos los números por alguno de esos seis números. Eso quiere decir que si hay algo que se cumple para esos seis números, entonces debe cumplirse para todos, pues esos números son todos los números. Así pues, sólo tenemos que verificar para esos 6 números, un trabajo que ya hicimos en su mayoría: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Es importante notar que aunque podemos estar tentados a decir que estamos haciendo exactamente lo mismo, no es así: hay un enorme paso de abstracción de por medio. Estamos pensando en estos números no como números, sino como representantes. Así, este 1 no es propiamente el 1 –aunque se comporta como tal- este 1 es el 1, el 7, el 13, el 19, etc. Así, el trabajo que hacemos para estos seis representantes es todo lo que necesitamos para terminar el problema: como se cumple para estos seis representantes, se debe cumplir para todos los números. Esto se sale no sólo de la currícula –y por mucho- de un alumno de secundaria, pero no nos ha tomado demasiado trabajo llegar hasta acá, si acaso superficialmente, y es una herramienta extremadamente poderosa en matemáticas.
10. Binomio de Newton Aunque en la secundaria no se enseñan, las permutaciones y combinaciones se siguen enseñando en las escuelas normales. Vamos a repasar esos dos conceptos para poder ver el Binomio de Newton como un ejercicio de combinación. Ya repasamos anteriormente la regla del producto: si una cierta tarea puede realizarse de m maneras y, para cada una de esas maneras, una segunda tarea puede realizarse de n maneras, entonces ambas tareas juntas pueden realizarse de mn maneras. Normalmente, la tarea a realizar es una elección. Rápidamente, aplicando repetidamente la regla del producto, tenemos dos escenarios:
Con reposición. o Una quiniela deportiva de fútbol tiene trece partidos distintos y cada uno puede llenarse con cualquiera de tres posibles resultados: local, empate, visitante. ¿De cuántas maneras distintas se puede llenar una quiniela? o Un examen de opción múltiple tiene veinte preguntas y cada una tiene cinco opciones distintas: a, b, c, d y e. ¿De cuántas maneras distintas se puede contestar el examen al azar? o Las números de cierta ciudad empiezan todos con 73 o con 10. Si todos son de siete dígitos, ¿cuántos números telefónicos distintos puede haber? Sin reposición. o En un salón de clases hay 25 niños. ¿De cuántas maneras de pueden formar en una fila? o Los mismos 25 niños quieren sentarse en una fila del salón que sólo tiene 7 sillas. ¿De cuántas maneras pueden hacer esto? o Tenemos un alfabeto de trece letras. Queremos hacer palabras de cinco letras sin repetir ninguna. ¿Cuántas palabras distintas podemos hacer?
Los primeros ejemplos nos llevan a las potencias. Por ejemplo, la respuesta del primer problema es . Los otros, nos llevan al factorial o el factorial incompleto. Por ejemplo, la respuesta del tercer problema es
.
Como va a ser verdaderamente importante más adelante, definimos la función factorial (!). Si n es un número natural, entonces . O bien, de manera recursiva, definimos , y para Hasta ahora, hemos manejado problemas que hablan de repeticiones (regla del producto) o de órdenes o permutaciones (factorial). El siguiente paso tiene que ver con elecciones o combinaciones (números combinatorios).
Supongamos que tenemos de nuevo el grupo de 25 niños, y además, que son 10 niños y 15 niñas. Vamos a tratar de hacer equipos:
Queremos elegir una persona para que sea representante del salón. ¿De cuántas maneras podemos hacer esto? Queremos elegir dos personas para que vayan a una competencia de ping-pong. ¿De cuántas maneras podemos hacer esto? Queremos elegir tres personas para que sean maestros pokémon. ¿De cuántas maneras podemos hacer esto? Queremos elegir seis personas para hacer un equipo de vóley bol. ¿De cuántas maneras podemos hacer esto? Queremos elegir once personas para un equipo titular de fútbol. ¿De cuántas maneras podemos hacer esto? Queremos elegir una pareja de niño y niña para que sean rey y reina del salón. ¿De cuántas maneras podemos hacer esto?
La primera debe ser sencilla: hay 25 maneras de elegir al representante del grupo. Podemos hacer la segunda manualmente y encontrar todas las parejas, aunque nos va a tomar tiempo. Cada una de las 25 personas puede ser el primero de la pareja y cada una de las restantes 24 personas puede ser el segundo; como es lo mismo la pareja AB que la pareja BA, tenemos total. Un razonamiento análogo debe llevarnos a
parejas en
pues podemos hacer 6 órdenes
distintos de 3 cosas (3! = 6). Seis personas es análogo también:
. Ya hemos visto estos “factoriales
incompletos” antes y podemos decir que es lo mismo que Podemos terminar el siguiente igual:
.
.
El último, además, requiere que usemos regla del producto. Un niño se elige de 10 maneras distintas; una niña se elige de 15 maneras distintas. Entonces, podemos elegir un niño y una niña de 150 maneras distintas. Hasta ahora, tenemos que las maneras de elegir k cosas de un conjunto de n cosas se puede hacer de
. Para facilitar las cosas, igual que con el factorial, se ha acordado usar la siguiente
notación:
Y acordaremos leerlo como “n tomando k” para que nunca olvidemos que son las maneras de elegir k objetos de un conjunto de n. (En muchos libros, es posible que se refiera a este símbolo
como “n en k”, haciendo referencia a que es las maneras de dividir el conjunto de n en subconjuntos de k. Hasta aquí, no hemos hecho más que recordar la fórmula para Permutaciones y Combinaciones. Ahora, consideremos el siguiente problema: Tenemos n cajas, cada una numerada del 1 al n. En cada una de las cajas hay una pelota azul y una pelota blanca. ¿De cuántas maneras podemos elegir una pelota de cada caja? Puede parecer un problema muy complicado. Vamos a empezar por partes:
Elegir todas las pelotas azules. Esto quiere decir que elegimos azul de cada caja. Esto se puede hacer de una única manera. Entonces, hay una única combinación de n azules. Elegir una pelota blanca y las demás azules. Esto quiere decir que tenemos que elegir una caja para tomar blanca de ahí y de las demás tomamos azul. Hay n maneras de elegir uno de n así que hay n combinaciones de (n – 1) azules y 1 blanca. Elegir dos pelotas blancas y las demás azules. Elegimos dos cajas de n y esto se hace de maneras distintas.
Elegir tres pelotas blancas y las demás azules. Hay
de estas combinaciones.
En general, si queremos que haya k pelotas blancas y las demás azules, esto se puede hacer de maneras distintas. Como cada manera es independiente de las demás, sumamos todas y obtenemos las maneras totales. Vamos a trabajar con el mismo problema pero en lugar de pelotas tenemos dos números, a y b. Cuando tenemos i veces a tenemos . Así, rápidamente podemos llegar a que podemos hacer esto de
maneras distintas. Este es, en realidad, el famoso Binomio de Newton:
que no es más que las maneras de elegir entre a y b de cada paréntesis para multiplicarlo.
11. Dados y volados Teniendo en mente las notas anteriores en las que revisamos la función factorial y los números combinatorios, vamos a usar esto para encontrar algunos resultados sencillos de probabilidad clásica. Al final, introduciremos la noción de espacio de probabilidad y variable aleatoria de la probabilidad moderna. La probabilidad clásica asigna números racionales entre el 0 y el 1 a eventos según su probabilidad. A cada evento le asigna un número de la siguiente manera:
Donde los casos favorables son aquellos en los que el evento tiene el resultado deseado sobre todos los posibles resultados del evento. El evento “no ocurre nada” tiene probabilidad 0, pues por definición debe ocurrir algo. Por la misma razón, el evento “ocurre algo” tiene probabilidad 1. Los ejemplos más sencillos refieren al viejo juego de los volados. Para todos estos casos, vamos a suponer que tenemos una moneda balanceada cuyo resultado no depende de la fuerza con que se lanza ni factores ambientales. Los posibles resultados de cada lanzamiento de la moneda son águila (A) y sol (S). 1. Lanzando la moneda una única vez, ¿cuál es la probabilidad de que caiga águila? El experimento tiene 2 posibles resultados: A, S. Sólo uno de los dos es favorable: A. Por lo tanto, la probabilidad es de . 2. Lanzando la moneda dos veces consecutivas, ¿cuál es la probabilidad de que caiga dos veces águila? Hay dos maneras de verlo: como un único experimento o como dos experimentos idénticos uno después del otro. Si lo vemos como un único experimento, los posibles resultados son: AA, AS, SA, SS, de los cuales sólo uno es favorable: AA. Si lo vemos como dos experimentos idénticos uno después del otro, lo reducimos al caso anterior. Hay uno de dos casos favorables en el primero y uno de dos casos favorables en el segundo; la probabilidad que buscamos es el producto. En ambos casos, la probabilidad es de . 3. Consideremos diez lanzamientos consecutivos de la moneda. ¿Cuál de los siguientes resultados es más probable: AAAAAAAAAA, ASASASASAS, AAAAASSSSS, AASASSSAAS?
Intuitivamente, uno pensaría que la segunda es más probable que la primera o la tercera y a lo mejor menos probable que la cuarta porque se ve “más natural”. De todas, diríamos que la primera es la menos probable. Según lo que hemos hecho, si para 1 lanzamiento hay 2 resultados, para 2 lanzamientos hay 4 resultados, para 3 lanzamientos hay 8 resultados, para 10 lanzamientos debe haber resultados posibles. Cada uno de las opciones es un resultado específico de esos 1024 y por lo tanto, la probabilidad de cada uno es la misma:
.
Es posible que intuitivamente estemos confundiendo este problema con el siguiente: 4. Consideremos seis lanzamientos consecutivos de la moneda. ¿Cuál es la probabilidad de 1 águila? ¿Cuál es la probabilidad de sacar 3 águilas? ¿Cuál es la probabilidad de 6 águilas? Debemos “elegir” uno de los 6 lanzamientos para que salga águila y los otros cinco debe salir sol. Elegimos 1 de 6 de 6 maneras distintas. Como la probabilidad de águila y de sol es la misma, tenemos:
Para 3 águilas, debemos elegir 3 de los 6 lanzamientos para que sean águila y en los demás debe ser sol. Elegir 3 de 6 se hace de
maneras distintas. Siguiendo el razonamiento del problema
anterior, tenemos:
Para 6 águilas, todas deben salir águilas. Esto sucede de una única manera. Por lo tanto, tenemos:
Que es consistente con nuestra intuición del problema anterior: lanzando 6 veces una moneda es más probable sacar 3 águilas que sacar 6 águilas. Lo que sucede es que el problema anterior no preguntaba por 5 águilas y 5 soles, preguntaba por la combinación específica de 5 águilas y 5 soles en el orden ASASASASAS. 5. Lanzando repetidamente una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que la primera águila ocurra en el k-ésimo intento? Como queremos que la primera águila ocurra en el k-ésimo intento, los primeros k-1 intentos deben ser todos sol. Como la probabilidad es idéntica, estamos hablando de una única combinación de las posibles. La probabilidad debe ser entonces
Este experimento es mucho más interesante cuando la probabilidad del éxito (en este caso, águila) y la del fracaso (en este caso, sol) no son la misma. 6. Supongamos que tenemos una moneda no balanceada donde la probabilidad de obtener águila es de
mientras que la de obtener sol es de . Lanzando repetidamente una
moneda, ¿cuál es la probabilidad de que la primera águila ocurra en el k-ésimo intento? Siguiendo el razonamiento del problema anterior, la probabilidad sería
Este tipo de problemas se vuelven interesantes cuando analizamos, por ejemplo, el comportamiento de esta probabilidad conforme k aumenta. Este sería el primer vistazo a las distribuciones en probabilidad, con las que trabaja la probabilidad moderna. Hasta ahora, hemos trabajado, aunque sin definirlo adecuadamente, con un espacio de probabilidad. Sí hemos tratado con el primero de sus elementos, el espacio muestral que es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento; el espacio muestral del experimento que consiste en lanzar dos veces una moneda es el conjunto {AA, AS, SA, SS}. Tradicionalmente, a este conjunto se le designa con la letra Ω. El segundo elemento, una colección de eventos con propiedades muy importantes que designamos con la letra ; en el problema 2, por ejemplo, hablamos del evento “cae dos veces águila” y en el problema 4, el evento “caen 3 de 6 águilas”; así, algunos eventos tienen un único elemento del espacio muestral pero otros tienen varios. Ya discutimos algunas de las propiedades: “ocurre algo” y “ocurre nada” siempre son eventos y para todo evento, el evento complementario también forma parte del conjunto (en este caso, el evento “no cae dos veces águila”). El tercer y último elemento es una función de probabilidad P, con la que hemos trabajado sin mucha formalidad, en la que a todo evento se le asigna un número racional entre 0 y 1. Por ejemplo, trabajando con formalidad el problema 2, tendríamos Ω = {AA, AS, SA, SS} y nos preguntamos por ω = “caen dos águilas” ϵ . Y lo que sabemos de P es que P(x) = ¼ si x ϵ Ω. Nos queda sólo introducir un concepto: la variable aleatoria. La variable aleatoria es una función que va del conjunto a los números reales. Ya no tienen que ser racionales entre 0 y 1, ahora pueden ser cualesquiera números. Por ejemplo, trabajando con los volados, podemos decir que “cae águila” vale 1 y que “cae sol” vale -1. Entonces, para cada lanzamiento de una moneda, tenemos la variable aleatoria Xi que vale 1 si el i-ésimo lanzamiento fue águila y vale -1 si el i-ésimo lanzamiento es sol. Como ya sabemos P(Xi = 1) = P(Xi = -1) = . Es decir, la probabilidad de que caiga águila es la misma de que caiga sol que es un medio. También, podemos decir que P(Xi = 8) = 0, pues 8 no es uno de los valores asignados a la variable aleatoria Xi.
Es muy útil e interesante trabajar con otro tipo de variables aleatorias. Por ejemplo, si lanzamos n veces la moneda, podemos definir la variable aleatoria
es decir, la suma de las otras variables aleatorias. Y podemos preguntarnos por P(X = 0), es decir, la probabilidad de que caigan la misma cantidad de águilas que de soles. A continuación, vamos a trabajar con dados para practicar estos conceptos nuevos. Si lanzamos un dado y anotamos el número de la cara que queda arriba –como hacemos normalmente-, el espacio muestral Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Podemos definir algunos eventos como por ejemplo ω1 = “cae 3” o ω2 = “cae par”. La función de probabilidad P se da en el sentido tradicional de casos a favor sobre casos totales. Vamos a lanzar 3 dados y para cada uno de los dados vamos a trabajar con la variable aleatoria para i = 1, 2, 3 donde es el valor de la cara superior del dado i. Por ejemplo, si el segundo dado cae 5, . Sin embargo, nos interesa la variable aleatoria , es decir, la suma de las caras de los dados. Finalmente, lo que queremos calcular es P sea mayor que 6 pero menor o igual que 11.
, es decir, la probabilidad de que la suma
No debe ser muy difícil aceptar que P
=P
+P
+P
+P
+P
es decir, que la probabilidad de que la suma sea mayor que 6 pero menor o igual que 11 es la suma de las probabilidades de que la suma sea igual a 7, a 8, a 9, a 10 o a 11 –puesto que la suma no puede ser igual a 8 y a 9 simultáneamente. Aquí es donde se pone complicado por las cuentas. Vamos a hacer sólo la primera P y las demás quedan como ejercicios. Necesitamos preguntarnos por todas las maneras de elegir tres enteros entre 1 y 6 –se puede repetir- tales que su suma sea igual a 7. Procedemos de manera exhaustiva:
1+1+5 1+2+4 1+3+3 2+2+3
y cualquier otra es una permutación de estas cuatro. La segunda de estas opciones puede permutarse de 6 maneras mientras que las otras tres sólo de 3 maneras distintas (sacar 1 en los dados 1 y 2 es lo mismo que sacar 1 en los dados 2 y 1). Así pues, tenemos 13 maneras distintas de
que la suma de los dados sea exactamente 7. En total, hay 6 x 6 x 6 = 216 resultados distintos de lanzar 3 dados y sólo 13 son favorables. Concluimos que P
=
.
Los demás casos se calculan de manera análoga.
Ejercicios: 1. Manuel ha comprado una caja de chocolates. Son de sabores diferentes: 6 de fresa y 2 de caramelo. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer chocolate que coma sea de fresa? 2.
Probabilidad Moderna En la probabilidad clásica, trabajamos con “eventos”. Por ejemplo, cuando lanzamos un volado, nos preguntamos por la probabilidad de “que caiga águila”, o pensamos, lanzando una serie de monedas, la probabilidad de “que al menos tres sean águila”. Para evitar esto, la probabilidad moderna ha introducido muchos conceptos útiles, el más común de ellos es el de Variable Aleatoria. A grandes rasgos, aunque quizás de manera no exactamente sencilla, una Variable Aleatoria es una función del espacio de los eventos al espacio de los números reales. Por ejemplo, cuando lanzamos al aire una moneda, podemos definir la variable aleatoria como
aunque, en principio, nada nos impide a definirla como
o incluso
pero la definición de la función siempre obedecerá a nuestros intereses. Por ejemplo, si definimos la variable aleatoria
entonces podemos definir una nueva variable aleatoria
que nos dirá el número de éxitos pero nunca el número de fracasos.
12. Desigualdades Por lo general no nos enseñan a trabajar con desigualdades en la escuela. En realidad, no es esencialmente distinto de trabajar con igualdades salvo dos o tres casos importantes (multiplicar por negativos o trabajar con valores absolutos). En parte, el problema de trabajar con desigualdades se viene cargando desde una deficiencia al trabajar con igualdades. Si bien la manera tradicional de ejemplificar una igualdad es con una balanza, para una desigualdad no tendría que ser distinto: la información que nos da la desigualdad es para dónde se inclina la balanza. La diferencia es que no nos interesa, por lo general, encontrar el valor preciso sino un rango. En los números reales existe un orden que permite usar el principio de tricotomía: para cualesquiera dos números reales x, y se cumple únicamente una de las siguientes: Empezamos con las propiedades de las igualdades:
A lo largo de estas notas, vamos a usar varias palabras para referirnos a las desigualdades. Nuestra favorita será “cota”. Diremos que un número es cota superior de un conjunto A, si se cumple que para todo . Análogamente, número es cota inferior de un conjunto A, si se cumple que para todo . Si no hay confusión o no es necesario hacer la aclaración, normalmente diremos simplemente que c es cota de A, sin importar si es superior o inferior. Una de las propiedades más desconcertantes al manejar desigualdades es cómo éstas se invierten cuando multiplicamos por un negativo. Vamos a ir paso a paso con una desigualdad sencilla, digamos:
Lo único que vamos a usar son las mismas propiedades que hasta ahora hemos usado sin problema. Primero, vamos a restar 8 de cada lado de la desigualdad:
Ahora, vamos a sumar x de ambos lados de la desigualdad:
Es cierto, la desigualdad no se ha invertido de sentido; el signo sigue siendo el mismo. Pero la lectura sí que se invirtió: la primera desigualdad la leeríamos como “menos equis es menor que ocho” y la segunda como “equis es mayor que menos ocho”. Esperamos que con esta explicación paso a paso quede claro por qué invertimos el signo cuando multiplicamos por un número negativo. En general, la propiedad es así: si
y
, entonces
.
Nos queda otra dificultad que ofrecen las desigualdades: el valor absoluto. Sólo para estar bien seguros, vamos a repasar la función valor absoluto:
Entonces,
es decir, la función valor absoluto no es nada más cambiar todos los signos ‘–‘ por signos ‘+’:
No hay alternativa: cuando adentro del valor absoluto tengamos una variable, es necesario siempre considerar dos casos. Por lo tanto, toda desigualdad que tenga un valor absoluto con una variable adentro, necesariamente tiene que tratar dos casos. Puesto que vamos a trabajar con ellos sin diferencia, es necesario poder ver los intervalos también como desigualdades, pues muchas veces vamos a ver las desigualdades como intervalos. Así pues, definimos:
que son los cuatro tipos de intervalos con los que trabajamos. En todos los casos, consideramos todos los números reales, a menos que indiquemos lo contrario. De manera resumida e intuitiva, un intervalo es el conjunto de los números que están entre un extremo y el otro. Estamos listos para trabajar con desigualdades. Vamos a resolver varios ejemplos, donde iremos aumentando la dificultad. La esperanza es que cada uno de estos ejemplos sea lo suficientemente paradigmático y el conjunto lo suficientemente exhaustivo para guiar la resolución de cualquier desigualdad que se nos presente. Vamos, pues, a hacer un manual de resolución de desigualdades. 1.
Este es el tipo más sencillo. Requiere únicamente de sumas o restas y la variable está únicamente acotada por un lado. ¿Qué puede ser distinto? Que la desigualdad esté invertida, en cuyo caso los extremos del intervalo se invierten –acomodando para signos- o que la desigualdad no sea estricta, en cuyo caso el conjunto estará cerrado del extremo adecuado (siempre es abierto en el infinito). 2.
Este es básicamente el mismo caso anterior, agregándole la dificultad de un coeficiente de la variable, en este caso positiva. ¿Qué puede ser distinto? Además de los dos casos que mencionamos en el problema 1, el coeficiente de la variable puede no ser un entero, pero se resuelve de la misma manera. 3.
Es básicamente el caso anterior con la enorme diferencia de un coeficiente negativo para la variable. Las cosas que pueden ser distintas son las que ya hemos mencionado antes.
4.
Este es el primer tipo interesante de problema que hemos encontrado hasta ahora: involucra todos los ejercicios anteriores y lo lleva a un siguiente nivel. Para este caso, tenemos que verdaderamente despejar la variable primero agrupando y después haciendo lo que ya hemos hecho. Todas las diferencias pueden resumirse en las que ya hemos mencionado. 5. a.
b.
Como debe satisfacer ambas desigualdades simultáneamente,
Escogimos el camino fácil para resolver este tipo de desigualdades que es analizarlas como dos desigualdades que ya sabemos resolver –pues son análogas a alguno de los problemas del 1 al 4- y después analizamos el comportamiento de la solución global a partir de las soluciones parciales. Puesto que debe satisfacer ambas desigualdades simultáneamente, elegimos la intersección de las soluciones parciales como la solución global. Únicamente los elementos de la intersección satisfacen la desigualdad original.
En algunos casos, la intersección puede ser vacía (cabe aclarar que la intersección de cualquier conjunto con el conjunto vacío es también vacía). Eso quiere decir que no hay solución. Es posible resolver muchas desigualdades de este tipo simultáneamente, es decir, sin tener que partirla en dos desigualdades y después unirlas. 6. a.
b. de donde entonces,
de donde como debe satisfacer ambas al mismo tiempo,
c. de donde entonces,
de donde como debe satisfacer ambas al mismo tiempo,
Como puede cumplir cualquiera de los tres casos analizados,
Este caso ya requiere verdadero empeño. Para empezar, es el primer caso que debemos dividir en tres casos. ¿Por qué exactamente tres casos? Porque lo que nos importa es si el denominador de la fracción es positivo, negativo o cero. Si es cero –como vimos en el primer caso- entonces el cociente no está definido en ese punto y necesitamos excluirlo. Si es positivo –como vimos en el segundo caso- entonces multiplicamos por el denominador y la desigualdad se sostiene. Finalmente, si es negativo –como vimos en el tercer caso- entonces cuando multiplicamos por el denominador, la desigualdad se invierte. Una vez que sabemos el signo del denominador, resolver la desigualdad que resulta es idéntico al ejercicio anterior. Lo único diferente es que tenemos que considerar dos desigualdades para la variable: la desigualdad que nos da el signo del denominador y la desigualdad que nos da resolver la desigualdad original con las condiciones dadas; puesto que debe satisfacer ambas condiciones (la del signo y la de la desigualdad), únicamente los valores en la intersección de los conjuntos son solución. Finalmente, puesto que puede satisfacer cualquiera de las soluciones parciales (porque puede ser positivo o puede ser negativo), entonces la solución global es la unión de las soluciones parciales. Este es el proceso más general para resolver una desigualdad. Vamos a ver un caso que no siempre se considera sólo para dejar claro que las desigualdades no son, en general, diferentes a las igualdades. 7. a. b. entonces,
la conclusión es análoga a los demás ejercicios hechos hasta ahora, considerando la intersección de las dos condiciones que tenemos hasta ahora.
c. Se resuelve de manera análoga al inciso anterior. Como ya vimos en el ejercicio 6, la solución global será la unión de las soluciones locales. En este problema vemos que una cuadrática en desigualdades se resuelve de la misma manera que una cuadrática en una igualdad. Es muy poco probable que se presenten estos escenarios cuando empezamos a trabajar con desigualdades, pero no nos deben de asustar. Lo más que podemos complicar estos problemas es introduciendo el valor absoluto. Involucrará todo lo que hemos visto hasta ahora, además de introducir algo nuevo. Vamos a ver un ejemplo no muy complicado, pero cualquier problema de desigualdades que se nos presente debe poder resolverse de alguna de las maneras que tenemos aquí. 8. Estrategia 1:
a.
como debe cumplir ambas condiciones, b.
como debe cumplir ambas condiciones, como puede cumplir cualquiera de los dos casos anteriores,
Estrategia 2: Observemos que:
Resolvemos la desigualdad como en los ejercicios anteriores.
La segunda estrategia que proponemos es aparentemente más sencilla, pero no siempre lo será (pues no todos los problemas similares al problema 4 son muy sencillos). Sin embargo, sí puede facilitar el análisis con respecto a la función valor absoluto. Probablemente la única manera de dificultar más las desigualdades sea metiendo una expresión racional adentro de la función valor absoluto. Así:
Si es verdad que no vuelve la desigualdad mucho más difícil, definitivamente la vuelve más laboriosa. Sin embargo, para esos casos, siempre podemos hacer la división: no importan los coeficientes de la variable arriba y abajo, siempre que sean del mismo grado podemos hacer la reducción –aunque vaya a quedar un residuo:
entonces
¿Y por qué vuelve esto más sencillo el trabajo? Porque para analizar el signo de
, tenemos que pensar cuándo arriba y abajo tienen el mismo
signo para que sea positivo y cuando tienen signo distinto para que sea negativo. Y considerando la reducción
Ejercicios:
, sólo hay que considerar los casos del signo del denominador.
11. Mínimo Común Múltiplo y Algoritmo de Euclides Cuando empezamos a ver distintos algoritmos para las operaciones básicas –suma, resta, multiplicación, división y raíz cuadrada en este caso- eventualmente llegamos al Algoritmo de Euclides. Al menos una observación es: llegamos al Algoritmo de Euclides porque estamos trabajando con algoritmos, para apreciarlo, entenderlo y probarlo correctamente son necesarios algunos conocimientos que no hemos visto en la especialidad, entre ellos las propiedades de divisibilidad y el teorema fundamental de la aritmética. Aunque trataremos de hacer la menor referencia a ellos posible, este material sí trabajará con algunas propiedades de la divisibilidad más o menos complejas. Este material no es sencillo, requerirá más de una relectura para apreciar enteramente el Algoritmo de Euclides. Divisores, múltiplos, números primos y números compuestos son conceptos que se conocen y se estudian desde al menos el tiempo de Euclides, aproximadamente 350 a.C. Desarrollaremos aquí las ideas fundamentales que llevan al Algoritmo de Euclides. Vamos a trabajar de una manera distinta esta vez. Enunciaremos primero todas las definiciones y teoremas –en orden- que son necesarios para llegar al Algoritmo de Euclides. El lector puede simplemente leer los teoremas, entender lo que dicen, aprenderse las definiciones y los resultados. Al final del texto vendrán las demostraciones de la mayoría de ellos para el lector interesado en asegurarse de la veracidad de los teoremas. Empezamos. Definición 1. Un entero b es divisible por un entero a, distinto de cero, si existe un entero x tal que b = ax, y escribimos a | b (se lee: “a divide a b”). En caso de que b no sea divisible entre a, escribimos a | b (se lee: “a no divide a b”). Decimos también, cuando a divide a b, que a es un divisor de b, que b es divisible entre a o que b es un múltiplo de a. Teorema 1. Propiedades de la divisibiliadad:
12. Perímetros, áreas y álgebra Retomamos los trucos y propiedades que vimos
13. Cajas y división de polinomios Hemos visto varios algoritmos para la multiplicación. Hay uno que es extremadamente sencillo de entender y cuyas aplicaciones se pueden llevar mucho más lejos de lo que podemos imaginar desde el principio. Es común ponerles a los alumnos de secundaria problemas como el siguiente: (1) Tenemos un terreno rectangular con las siguientes medidas: 9
16
8
7
¿Cuál es el área del terreno? Existen, de manera general, dos maneras de resolver este problema. Una vez que el alumno domina el área de un rectángulo puede bien (a) Ver el área como la de un solo rectángulo grande. Es decir, considerar el área como (9 + 16)(8 + 7) = (25)(15) = 375 (b) Ver el área como la suma de cuatro rectángulos de menor área. Es decir, hace las siguientes operaciones: 9x8 + 9x7 + 16x8 + 16x7 = 72+63 +128 + 112 = 375 Que se convierte en una oportunidad ideal para discutir la propiedad distributiva. Sin embargo, muy pequeños cambios en el ejercicio anterior, lo vuelven primeros pasos hacia una buena exploración algebraica. Iniciaremos con un ejemplo de cómo puede ser un problema de “número faltante” e investigaremos algunas variaciones muy sencillas. Más adelante, un primer ejercicio de multiplicación de polinomios que nos llevará a compararlo con el algoritmo que usamos normalmente. Finalmente, queremos investigar si podemos usar este mismo principio pero al revés. Lo que presentaremos aquí son sólo ejemplos de variaciones de este primer ejercicio que presentamos. Crear ejercicios similares no cuesta ningún trabajo. Empecemos: (2) Si el siguiente terreno rectangular mide 375 metros cuadrados, ¿cuánto vale x? 9 8
16
Cualquiera que sea el camino que elija el alumno, está obligado a resolver al menos una ecuación de primer grado. (3) En el siguiente terreno rectangular, se muestran algunas medidas y el valor de las áreas parciales. Encuentra el tamaño total del terreno. 9
16
8
72
128
x
45
80
De nuevo, el alumno puede decidir si resuelve para el área parcial o resuelve para el área total; en cualquiera de los casos, tiene que resolver una ecuación de primer grado. Esperemos que esté claro que, en este caso, dejar la incógnita al interior del terreno –como una de las áreas parciales- es un problema mucho más sencillo. Sin embargo, queremos recalcar que es un paso necesario para saber resolver los siguientes. (4) En el siguiente terreno rectangular, están dadas todas las dimensiones del terreno. encuentre todas las áreas parciales y el área total. x
16
8
x
Se trata, ahora sí, de un ejercicio de multiplicación de polinomios. Para llegar a estas alturas es necesario que el alumno conozca ya la convención que aceptamos todos para hacer que x*x = x2. Aunque para ser sincero, es algo que se puede introducir apenas.
La última de las variaciones es la mezcla de todas las anteriores, dejando incógnitas en las medidas y en las áreas parciales o totales a la vez. Hay que cuidar, a la hora de crear ejercicios, que todos tengan solución. Para iniciar con estas aplicaciones, por ejemplo, es recomendable tratar con números enteros o números que tengan raíz cuadrada entera cuando sea el caso. Si queremos hacer el cambio de números positivos a números negativos, o bien de sumas a restas, es recomendable modificar la idea del enunciado de “las dimensiones de un terreno” a, por ejemplo, “cajas” donde ponemos el resultado de la multiplicación. Para lo que sigue, vamos a recordar cómo es el algoritmo de la división de polinomios:
14. Ecuaciones y rectas Vamos a tratar superficialmente uno de los conceptos más importantes en matemáticas, el de función. Hay muchas maneras de ejemplificar una función; formalmente, suele decirse que es una asignación o una regla de asignación entre dos conjuntos (los dos conjuntos pueden ser el mismo). Incluso en el lenguaje coloquial, hablamos que algo está en función de otro algo, cuando depende de. Por ejemplo, el área de un cuadrado está en función del lado del cuadrado pues el área de un cuadrado es lado por lado.
Hay unas funciones que son particularmente sencillas y con las que ya hemos trabajado de manera implícita. Estas funciones son las rectas.
Estando bien convencidos de que ecuaciones del tipo representan rectas en el plano, podemos decidir representar más de una recta simultáneamente. Analizamos casos de sistemas de ecuaciones de 2 x 2. En particular, explicar gráficamente cómo se comportan los casos que no tienen solución. Estuvimos de acuerdo en que dos rectas pueden cruzarse en 0 o 1 punto; además, sin problema podemos encontrar dos ecuaciones distintas para la misma recta, es decir, que se crucen en una infinidad de puntos. Preguntamos si era posible que dos rectas tuvieran dos –o más- puntos en común sin que fueran la misma recta. No pueden: puesto que dos puntos definen una recta, si dos rectas tienen al menos dos puntos en común, entonces deben ser la misma recta. En geometría analítica, cuando queremos encontrar el punto de intersección de dos rectas en el plano, lo que hacemos es resolver un sistema de ecuaciones de 2 x 2 mediante el método de igualación –igualamos la variable y. Por lo tanto, el caso en que las dos rectas se crucen en un punto no debe ser nuevo para nosotros, ni gráficamente ni en ecuaciones. ¿Qué deben cumplir dos rectas en el plano para no cruzarse? Deben ser paralelas. ¿Qué deben cumplir para ser paralelas? Deben tener la misma pendiente. ¿Cómo se calcula la pendiente de una recta? Poniendo la ecuación en la forma punto-pendiente. ¿Cuál es la forma puntopendiente? La forma . Aquí viene lo interesante: ¿cómo pasamos de la ecuación de la recta a la ecuación de la recta punto-pendiente? Despejando:
Si definimos
y
, tenemos la ecuación de la forma punto-pendiente.
Entonces, si tenemos las ecuaciones de un sistema de 2 x 2, ¿qué debe pasar para que sean paralelas? Que tengan la misma pendiente. ¿Y cuándo pasa eso? Vamos a ver: Tenemos nuestras dos ecuaciones o rectas:
Ya sabemos –de lo que hicimos antes- cómo va a estar la ecuación punto-pendiente de cada una:
Listo. ¿Qué es lo que queremos que sean iguales? Las pendientes. ¿Cuáles son las pendientes?
Como queremos que sean iguales, las igualamos:
Podemos dejarlo ahí y, haciendo un resumen, decir que dos rectas son paralelas si la razón entre los coeficientes de x, y en cada ecuación son iguales. O bien, podemos deshacernos de las fracciones y ver que se tiene que cumplir:
Es decir, que el producto del coeficiente de x en la primera por el de y en la segunda debe ser igual al producto del coeficiente de y en la primera por el de x en la segunda. A lo que queremos llegar con todo esto es que es posible saber si un sistema de ecuaciones no tiene solución nada más haciendo dos multiplicaciones sencillas. Si la multiplicación nos da cosas
distintas, entonces el sistema tiene solución única. Si la multiplicación nos da lo mismo, entonces no tiene solución o tiene infinitas soluciones. Lo que necesitamos ahora es una manera de decidir cuándo son paralelas y no hay solución y cuándo son la misma recta y hay infinitas soluciones. Si ya sabemos que tienen la misma pendiente, nada más tendríamos que ver que no pasen por el mismo punto. OJO: el “punto” en la ecuación de punto-pendiente no es un punto del plano. Lo que tenemos en realidad es una coordenada. Es el lugar donde la recta cruza al eje y. Entonces, aunque no es propiamente un punto, sí lo podemos convertir en un punto: se trata del punto (0, d). Entonces, lo que necesitamos verificar es que no pasen por el mismo punto. Si sí pasan por el mismo punto, entonces son la misma recta. Si no pasan por el mismo punto, entonces son dos paralelas que no se cruzan. ¿Cómo comparamos los puntos? Recordemos el punto de la fórmula punto-pendiente:
Podemos detenernos aquí y decir que los puntos van a ser iguales –y por lo tanto las rectas- si la razón entre el término independiente y el coeficiente de la y en cada ecuación es la misma. O bien, podemos seguir como antes:
Las rectas van a ser la misma si el producto del término independiente de la primera por el coeficiente de la y en la segunda es igual al producto de coeficiente de la y de la primera por el término independiente de la segunda. Aquí dejamos muchos ejercicios para practicar. En cada uno, determina si el sistema tiene solución, no tiene o tiene infinitas. No es necesario encontrar la solución.
15. Inducción 1. Principio de Inducción La inducción matemática es un método muy útil en algunas demostraciones. Se emplea generalmente al probar fórmulas o propiedades de los números naturales. Los números naturales se definen de manera inductiva. Es decir, incluso hablando muy informalmente, al describir los números naturales no podemos nombrar a todos los números naturales puesto que son infinitos, lo que hacemos normalmente es decir algo como “1 es un número natural, también 2 y 3 y 4 y así te sigues, si le sumas 1 a un número natural te da otro número natural”. Esos son precisamente los Axiomas de Peano, la manera en que definimos los números naturales: a. 1 es un número natural. b. si n es un número natural, entonces n + 1 también es número natural. En el caso (b), suponemos la existencia de algún número que cumple la propiedad de ser natural. Nuestra hipótesis no es descabellada, pues a partir de (a) sabemos que existe al menos un número natural, el 1. El principio de inducción es usar esta definición para probar cosas. Podemos definirlo de varias maneras: I.
Si A es un subconjunto de los números naturales tal que: a. 1 pertenece a A b. si n pertenece a A, entonces n + 1 pertenece a A Entonces A contiene a todos los naturales. II. Si una propiedad P de un subconjunto de los números naturales cumple que: a. P es cierta para 1 y b. si P es cierta para n, entonces P es cierta para n + 1. Entonces P es cierta para todos los naturales. Estas definiciones son equivalentes. Es más, adelante vamos a ver que este principio puede modificarse ligeramente: el caso base no tiene que ser necesariamente 1, por ejemplo.
2. Analogía de los dominós
Si ponemos todos nuestros dominós parados en una fila, necesitamos sólo asegurarnos de dos cosas para que se caigan: a) Que exista al menos un dominó que se caiga. b) Que si un dominó cae, empuja al siguiente. Para la primera parte, no tiene que ser el primer dominó. Si tiramos el primero, queremos que se caigan todos; pero si tiramos el segundo o el tercero o el quinto, queremos que se caigan todos después el que tiramos. Para la segunda parte tenemos que asegurarnos que la distancia entre cada dos dominós no sea demasiada o que estén en el ángulo correcto, porque si uno solo no empuja al que sigue, entonces no se van a caer todos. Los números naturales son como un conjunto infinito pero ordenado de dominós, donde cada dominó tiene escrito un número. Las pruebas por inducción son como ordenar nuestros dominós parados en una fila y ver si es posible empujar alguno para que se caigan todos. a) El caso base es asegurarse de que exista un primer dominó que se caiga. b) El paso inductivo es suponer que si cumple para algún entero, cumple para el siguiente. Como sabemos que cumple para el caso base, entonces cumple para el siguiente; como cumple para el siguiente, cumple a su vez para su siguiente y así sucesivamente cumplen todos los enteros a partir del caso base. Esos dos pasos nos aseguran que se caen todos los dominós sin necesidad de verlos caer.
3. Probar que a. Sin usar inducción Usaremos el hecho de que
.
Entonces tenemos las siguientes igualdades:
Donde los puntos suspensivos significa que tenemos desigualdades equivalentes para los todos los números en el intervalo. Si sumamos todas las ecuaciones, tendremos lo siguiente del lado izquierdo de la igualdad:
Reordenando los elementos de manera útil, tenemos:
Que se simplifica como: Por otro lado, el lado derecho de la igualdad queda como sigue:
Reordenando los elementos de manera útil, tenemos:
Factorizando, tenemos:
Recordemos que
; sustituimos:
Veamos que lo que buscamos es
; sustituimos:
Uniendo ambas partes de la igualdad, tenemos:
Como queremos encontrar el valor de S, debemos despejar para S:
Multiplicamos por 2 para no tener fracciones:
Vamos a desarrollar cada término.
Los sustituimos en la ecuación original:
Reordenando para agrupar términos semejantes:
Simplificando:
Factorizando:
Finalmente, terminando el despeje:
Que es lo que queríamos demostrar. En esta demostración no sólo demostramos la validez de la fórmula, además la construimos. Este tipo de prueba se llama prueba directa.
b. Usando Inducción. Probamos en caso base:
Es decir, la fórmula es válida para 1. Necesitamos probar que si es válida para k, entonces es válida para k + 1. Por lo tanto, nuestra hipótesis de inducción es:
Y lo que queremos demostrar es:
Utilizando la hipótesis de inducción, tenemos:
Factorizando:
Desarrollando:
Factorizando:
Que es lo que queríamos demostrar. La intención de mostrar las dos pruebas es mostrar cómo las pruebas por inducción pueden ser mucho más sencillas que una prueba directa. La prueba por inducción necesitó de sólo una sustitución y un par de manipulaciones algebraicas, mientras que la prueba directa no sólo necesitó muchas más sustituciones y manipulaciones algebraicas, además partió de una idea que es sencillamente brillante.
4. Ejemplos a. Probar por inducción que Caso base: para n = 1 tenemos que
por lo tanto, la fórmula es válida para 1. Vamos a suponer que es válida para algún entero k. Es decir,
y, usando esto, queremos demostrar que
Usando la hipótesis de inducción sabemos que
Vamos a factorizar
y tenemos que
Vamos a resolver la suma de adentro del paréntesis
Puesto que Sólo falta observar que esa expresión es lo mismo que
que es lo que queríamos demostrar. Por lo tanto, hemos terminado nuestra inducción.
b. Probar por inducción que Lo primero que tenemos que encontrar es nuestro caso base. Si n = 1, Si n = 2, Si n = 3, Si n = 4, Vamos a tomar 4 como nuestro caso base porque es el primer natural que cumple. Nuestra hipótesis de inducción entonces es la siguiente
siempre que
.
Usando eso, queremos demostrar que
Nunca podemos insistir demasiado en que no conocemos la validez de ese signo de menor que. Lo escribimos simplemente porque es más sencillo trabajarlo así. Vamos a usar la hipótesis de inducción
La otra hipótesis que hicimos es que
, que implica, en particular, que
que es lo que queríamos demostrar. Hemos terminado la inducción. Esta inducción se trabajo considerablemente distintas a las anteriores, porque no habíamos trabajando con desigualdades; léela las veces que consideres necesaria hasta entenderla. c. Probar el criterio de divisibilidad de 11. El criterio de divisibilidad de 11 establece que un número es múltiplo de 11 si la suma y resta de sus cifras en cierto orden es múltiplo de 11. En concreto: si nuestro número es abcdefghij donde cada letra representa un dígito, entonces es divisible entre 11 si y sólo si es un múltiplo de 11. Lo que está detrás de este criterio son las siguientes dos proposiciones: (1)
(2) Es decir, que las potencias pares de 10 son un múltiplo de 11 menos 1 y las potencias impares de 10 son un múltiplo de 11 más 1. Queremos hacer una observación muy importante. La k que está en las proposiciones es un “adorno”. Sirve para poder traducir la frase “múltiplo de 11” a la ecuación, pero la inducción no se hace sobre k ni tenemos la proposición en función de k. Lo único que necesitamos verificar es que existe un entero que satisface la proposición, pero no nos interesa saber nada más sobre dicho entero. Tenemos, entonces, dos proposiciones. Para demostrarlas necesitaríamos dos inducciones. Vamos a hacer dos inducciones pero con una única hipótesis de inducción. Primero, veamos algunos casos base
Por primera vez en nuestra inducción vamos a ver lo importante que resulta el caso base. Nuestra hipótesis de inducción será la siguiente:
Y queremos demostrar que
Marcamos con ‘ la k porque, aunque en principio es distinta, como ya dijimos antes, no nos interesa mucho quién es k. Usando la hipótesis de inducción
Sustituyendo lo que sabemos por los casos base que hicimos
Desarrollando el producto, tenemos que es igual a
Factorizando 11
Y tenemos que es un entero, como queríamos. Por lo tanto, hemos terminado la demostración de que las potencias pares de 10 son un múltiplo de 11 más 1. Pasamos a las potencias impares. Vamos a manejar la misma hipótesis de inducción, pero lo que queremos demostrar ahora es que , partiendo de nuestros casos base. Usando la hipótesis de inducción, tenemos que
Vamos a sustituir lo que sabemos para el caso base 10 y desarrollar el producto
Factorizando 11 tenemos
Y inducción.
es un entero por ser suma y producto de enteros. Con esto concluimos la
5. Probar que 6 divide a
para todo n natural.
Lo que queremos probar es que existe algún k entero, tal que para todo n natural. Igual que en el ejemplo anterior, este k es más o menos un “adorno”; una convención de notación para simbolizar la frase “múltiplo de”. Ya sabemos cómo proceder. Caso base: para n = 1 tenemos que Nuestra hipótesis de inducción es
y debemos usarla para demostrar que
Como es usual, desarrollamos el cubo
que es múltiplo de 11.
Aquí hay un ligero detalle, si procedemos a reducir términos semejantes, nos va a quedar y es una expresión con la que –a simple vista- no podemos trabajar ya con la hipótesis de inducción. Por lo tanto, decidimos primero usar la hipótesis de inducción y luego reducir términos semejantes.
Usamos la hipótesis de inducción de la siguiente manera: si
, entonces
. La raya
vertical se lee “divide a”. Es decir, como ya sabemos que 6 divide a por la hipótesis de inducción, entonces necesitamos verificar solamente que el resto es también divisible entre 6. Desgraciadamente, a partir de la expresión que tenemos , sólo podemos concluir que 3 divide a . Lo que quisiéramos para que 6 dividiera a sería que 2 dividiera a , o lo que es lo mismo, que 2 divida a . ¿Cómo demostramos eso? Pues con otra inducción. Caso base: para x = 1, Hipótesis de inducción:
que sí es múltiplo de 2. .
Por demostrar: Desarrollamos el cuadrado
y volvemos a aplicar la hipótesis de inducción antes de reducir términos semejantes. Igual que en el caso anterior, si y sólo si lo cual es claro. Hemos terminado la segunda inducción y con eso demostramos que 6 divide a para todo n natural. Para este problema tuvimos que usar una inducción adentro de una inducción. Vamos a resolverlo ahora de manera no inductiva. Observemos que
es el producto de tres enteros consecutivos. En tres enteros consecutivos siempre tenemos un múltiplo de 3 y al menos un múltiplo de 2. Por lo tanto, su producto es múltiplo de 2 y de 3, es decir, es múltiplo de 6. La prueba no inductiva es de un solo renglón mientras que la inducción nos tomó más de una página. ¿Cómo sabremos cuándo usar inducción y cuándo no? Sólo la práctica y la experiencia nos lo dirá.
Ya vimos que el caso base no es necesariamente 1, que podemos encontrarnos con dos inducciones que utilicen la misma hipótesis de inducción, que es posible tener una inducción adentro de una inducción y que la inducción no es siempre la herramienta más sencilla. Hay muchos matices para la inducción, vamos a ver dos detalles sobre los que hay que tener mucho cuidado.
6. Probar por inducción que Vamos a realizar primero el paso inductivo: probar que si cumple para un entero k, entonces cumple para el entero k + 1. Nuestra hipótesis de inducción es Lo que queremos demostrar es que
. .
Utilizando la hipótesis de inducción:
Que es lo que queríamos demostrar. Acabamos de mostrar que si existe algún entero que cumple, entonces todos los enteros después de ese también cumplen. El detalle es que, si existiera algún entero que cumpliese, tendríamos que:
Lo que sabemos que es falso. Queremos enfatizar el cuidado que se tiene que tener con la inducción: hemos probado que si un dominó se cae, sin duda empujará a todos los demás; el detalle es que no existe un solo dominó que se caiga. 7. Probar por inducción que f(n) =
genera puros números primos.
Es más o menos sabido que no existe una función que genere puros números primos. Los primos no se encuentran en ninguna serie aritmética o geométrica conocida; aunque es sabido que existen series que generan infinitos primos. Vamos a probar una serie de casos base para convencernos de la veracidad de esta afirmación.
Hasta ahora, la fórmula ha arrojado sólo números primos por lo que tenemos –hasta ahora- algo de evidencia para suponer que quizás pueda ser cierta. Como quisiéramos probarla para todos los números, la inducción es una buena manera de proceder. Lo siguiente, entonces, es dar el paso inductivo: Hipótesis de inducción: primo Paso inductivo: P.D.
primo
Desarrollando el cuadrado:
Usando la hipótesis de inducción:
¿Existe alguna manera de demostrar que esa última expresión es un primo? No lo creemos. Es más, espero que no, puesto que para , que claramente es múltiplo de 41 y por lo tanto no es primo. Queremos recalcar aquí que la inducción no es todopoderosa. En particular, las expresiones con números primos escapan muy sencillamente de las capacidades de una prueba por inducción, puesto que los primos no están todos sobre alguna progresión aritmética o geométrica conocida – incluso si se conocen varias progresiones que contienen infinitos primos sobre ellas. Pensemos nada más que si la inducción no tuviera límites, problemas como la Conjetura de Goldbach no habría escapado a su solución por casi trescientos años.
8. Ejercicios y problemas Prueba por inducción las siguientes proposiciones. ¿Puedes encontrar una prueba no inductiva para alguno de ellos?
a. b.
c. d. e. f. g. 8 divide a h. 9 divide a i. j.
para todo n natural. para todo n natural.
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