CAPÍTULO 1.4.12

aletos

REGLAS

Física para Ciencias e Ingeniería

DE

1

KIRCHHOFF

4.12-1 Reglas de Kirchhoff

Un circuito, en general, está formado por un conjunto de resistencias y generadores de f.e.m. conectados de una forma arbitraria, de manera que no siempre es posible sustituir los conjuntos de resistencias por sus equivalentes, ya que no suelen estar conectadas en serie o en paralelo. GUSTAV ROBERT KIRCHHOFF (1824–1887), físico alemán nacido en Prusia, enunció las reglas que llevan su nombre y que permiten calcular las intensidades que circulan por los diferentes elementos de una red de conductores. Es preciso establecer, antes de aplicar estas reglas a una red, los siguientes conceptos: Nudo

Es todo punto de la red en que concurren tres o más conductores. Malla

Es todo circuito que puede ser recorrido partiendo de un nudo y volviendo a él sin pasar dos veces por un mismo conductor. Una de las reglas de Kirchhoff se refiere los nudos, y la otra a las mallas. Regla de los nudos

Un nudo es la simple unión de varios conductores y en él no hay ningún elemento capaz de almacenar o retener carga eléctrica. Por consiguiente, En cada unidad de tiempo, la cantidad de carga que llega a un nudo es igual a la cantidad de carga que sale de él, y puesto que la carga que circula por unidad de tiempo es lo que se define como intensidad de una corriente eléctrica, La suma de las intensidades que llegan a un nudo es igual a la suma de las intensidades que salen de él.

Si se consideran positivas las intensidades que llegan a un nudo, y negativas las que salen de él, la suma algebráica de las intensidades concurrentes en un nudo es nula. ΣI i = 0

[4.12-1]

La ley de los nudos es una consecuencia del principio de conservación de la carga. Si en una red hay n nudos, son linealmente independientes n–1 nudos. Si se aplica dicha ley al nudo enésimo, se obtiene una ecuación que es combinación lineal de las n–1 ecuaciones anteriores y, por tanto, no es válida para resolver el problema. Regla de las mallas

Si se calcula, aplicando la ley de Ohm generalizada, la diferencia de potencial entre cada dos nudos consecutivos de una malla

Vf −Vi = Σεif

− I ΣR

if

[4.12-2]

y se suman las ecuaciones obtenidas, se anulan las diferencias de potencial, con lo que resulta

Σε = ΣI i Ri

[4.12-3]

La regla de las mallas, como consecuencia que es de la ley de Ohm generalizada, es el principio general de conservación de la energía aplicado a un circuito eléctrico. [Véase, Capítulo 1.4.11 – Fuerza electromotriz.pdf, epígrafe 11.3]. 4.12-2 Aplicación de las reglas de Kirchhoff

Las reglas de Kirchhoff se pueden aplicar a una red siguiendo dos métodos: I Método de nudos y mallas

– Se comienza por asignar a cada rama de la red, comprendida entre dos nodos consecutivos, una intensidad de corriente eléctrica en el sentido de circulación que creamos oportuno. – Se aplica la ley de los nudos a n–1 nudos. Recuérdese que si se aplica dicha ley al nudo enésimo se obtiene una ecuación que es una combinación lineal de las n–1 ecuaciones anteriores y no es válida para resolver el problema. – A continuación se aplica la regla de las mallas a una de ellas para escribir el primer miembro de le ecuación [4.12-3], recorriendo la malla en un sentido arbitrario. En la suma algebráica de las f.e.m. de los generadores que vamos encontrando en nuestro recorrido se consideran positivas aquellas f.e.m. que tienden a producir corriente en dicho sentido, y negativas, en caso contrario. Hay que tener en cuenta que no consideramos el sentido en que circula la corriente que hayamos asignado, sino el sentido en que tiende a producir corriente dicha f.e.m.., es decir, el sentido en que produciría corriente si estuviese conectada ella sola en la malla.

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–Se vuelve a recorrer dicha malla para escribir la suma algebráica del segundo miembro de la ecuación 4.12-3], multiplicando la intensidad de cada tramo comprendido entre dos nudos consecutivos por la resistencia total de dicho tramo, considerando positivas las intensidades cuyo sentido coincida con el de recorrido de la malla, y negativas, en caso contrario. Los valores de las resistencias se consideran siempre números positivos. – Se aplica la regla de las mallas a las restantes teniendo en cuenta que no todas son independientes. – Una malla es independiente de las que ya se hayan utilizado, si en ella interviene algún conductor que no haya formado parte de las mallas anteriores. De esta forma se van escribiendo las ecuaciones de las mallas hasta completar, junto con las ecuaciones de los n–1 nudos, tantas ecuaciones como incógnitas haya en la red. Si al resolver el sistema de ecuaciones, alguna intensidad resulta ser negativa, significa que su sentido es contrario al que hemos supuesto, pero no hay que volver a plantear el problema. Se hace constar así en la respuesta final. Y si dicha intensidad interviene en algún cálculo posterior, se sustituye manteniendo el signo negativo. Ejemplo

Vamos a calcular las intensidades en cada rama del circuito de la figura, y la diferencia de potencial entre los nudos a y b. Los puntos c, d, e y f, no son nudos sino simples referencias para poder denominar las mallas fácilmenI1

2Ω d 15 V

I2 4Ω

b

I1 + I 2 = I 3

1Ω

a 2Ω

c

Comenzamos por indicar, por medio de una flecha, la intensidad de la corriente en cada rama de la red, en el sentido que creamos conveniente. Aplicamos la regla de los nudos, teniendo en cuenta que de los dos nudos, a y b, sólo uno de ellos es independiente. Elegimos el nudo a:

30 V

Se puede comprobar que si aplicamos la regla de los nudos al nudo b, la ecuación que se obtiene es la misma:

3V

e

I 3 = I1 + I 2

f 6Ω

I3

3Ω

[1]

De modo que tenemos una ecuación y tres incógnitas: I1, I2 e I3.

Es necesario, por tanto, completar el sistema de ecuaciones aplicando la regla de las mallas a dos de ellas. En la red hay tres mallas: la a-b-c-d-a, la a-e-f-b-a y la a-e-f-c-d-a. Escogemos las dos primeras y vamos a recorrerlas, partiendo de un nudo, en el sentido contrario al de las agujas del reloj. Este sentido es arbitrario, y no es necesario recorrer las dos mallas en el mismo sentido. Malla a-b-c-d-a

Escribimos en primer lugar, partiendo del nudo a, la suma algebráica de las fuerzas electromotrices correspondiente al primer miembro de la ecuación [4.12-3]. La primera f.e.m. que encontramos en nuestro recorrido es la de 15 V. Esta f.f.e.m.., si estuviera ella sola en la malla produciría corriente en el sentido de b hacia a, es decir, en el contrario al que recorremos la malla, por tanto, es negativa. Seguimos recorriendo la malla, y a continuación encontramos la f.e.m. de 30 V. Esta f.f.e.m.., si estuviera ella sola en la malla produciría corriente en el sentido de c hacia d, es decir, en el mismo sentido en que recorremos la malla, por tanto, es positiva. Por consiguiente, la suma algebráica de las fuerzas electromotrices de esta malla es: –15+30 = 15 V.

Σε = −15 + 30 = 15 V

[2]

Recorremos nuevamente la malla, partiendo del nudo a, para escribir la suma algebráica del segundo miembro de el ecuación [4.12-3]. La primera intensidad que encontramos en nuestro recorrido es I2, cuyo sentido es contrario al de recorrido de la malla, por tanto, es negativa, y multiplicada por toda la resistencia que recorre desde a hasta b, resulta –(2+4)I2. Seguimos recorriendo la malla, y a continuación encontramos la intensidad I1, cuyo sentido es el mismo que el de recorrido de la malla, por tanto, es positiva, y multiplicada por toda la resistencia que recorre desde b, pasando por c y d hasta a,hasta b, resulta (1+2)I1. En consecuencia, la suma algebráica del segundo miembro de la ecuación [4.12-3] es

ΣIR = −(2 + 4)I 2 +(1 + 2)I 1 = −6I 2 + 3I 1 Sustituyendo [2] y [3] en la ecuación [4.12-3], se obtiene para esta malla la ecuación

[3]

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15 = −6I 2 + 3I 1

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[4]

Se repite el mismo proceso para la siguiente malla: Malla a-e-f-b-a

Escribimos en primer lugar, partiendo del nudo a, la suma algebráica de las fuerzas electromotrices correspondiente al primer miembro de la ecuación [4.12-3]. La primera f.e.m. que encontramos en nuestro recorrido es la de 3 V. Esta f.f.e.m.., si estuviera ella sola en la malla produciría corriente en el sentido de f hacia b, es decir, en el contrario al de recorrido de la malla, por tanto, es negativa. Seguimos recorriendo la malla, y a continuación encontramos la f.e.m. de 15 V. Esta f.f.e.m.., si estuviera ella sola en la malla produciría corriente en el sentido de b hacia a, es decir, en el mismo sentido en que recorremos la malla, por tanto, es positiva. Por consiguiente, la suma algebráica de las fuerzas electromotrices de esta malla es: –3+15= 12 V.

Σε = −3 +15 = 12 V

[5]

Recorremos nuevamente la malla, partiendo del nudo a, para escribir la suma algebráica del segundo miembro de el ecuación [4.12-3]. La primera intensidad que encontramos en nuestro recorrido es I3, cuyo sentido es el mismo que el de recorrido de la malla, por tanto, es positiva, y multiplicada por toda la resistencia que recorre desde a hasta b, a través de e y f, resulta (6+3)I3. Seguimos recorriendo la malla, y a continuación encontramos la intensidad I2, cuyo sentido es el mismo que el de recorrido de la malla, por tanto, es positiva, y multiplicada por toda la resistencia que recorre desde b hasta a, resulta (4+2)I2. En consecuencia, la suma algebráica del segundo miembro de la ecuación [4.12-3] para esta malla es

ΣIR = (6 + 3)I 3 +(4 + 2)I 2 = 9I 3 + 6I 2 Sustituyendo [5] y [6] en la ecuación [4.12-3], se obtiene para esta malla la ecuación

[6]

12V = 9I 3 + 6I 2

[7]

 I +I −I = 0  1 2 3  3I 1 − 6I 2 = 15   6I 2 + 9I 3 = 12

[8]

Las ecuaciones [1], [4] y [7] forman el sistema

cuya solución, una vez simplificado y resuelto, es

I1 = 3 A

I 2 = −1 A

I3 = 2 A

[9]

El signo negativo de la intensidad I2 indica que circula en sentido contrario al que hemos supuesto, es decir de a hacia b. Se puede seguir otro método para aplicar las reglas de Kirchhoff II Método de las mallas

En este método no intervienen los nudos. – Se supone que cada malla es recorrida por una sola intensidad en el sentido de circulación que creamos oportuno. Malla a-b-c-d-a

30 V

2Ω d

c 15 V

I’1

1Ω 4Ω

a

b 2Ω

I’2

3V

e

f 6Ω

3Ω

Vamos a suponer que la malla a-b-c-d-a es recorrida por la intensidad I’1 en sentido contrario al de las agujas del reloj, Escribimos en primer lugar, partiendo del nudo a, la suma algebráica de las fuerzas electromotrices correspondiente al primer miembro de la ecuación [4.12-3]. La primera f.e.m. que encontramos en nuestro recorrido es la de 15 V. Esta f.f.e.m.., si estuviera ella sola en la malla produciría corriente en el sentido de b hacia a, es decir, en el contrario al que recorremos la malla, por tanto, es negativa. Seguimos recorriendo la malla, y a continuación encontramos la f.e.m. de 30 V. Esta f.f.e.m.., si estuviera ella sola en la malla produciría corriente en el sentido de c hacia d, es decir, en el mismo sentido en que recorremos la malla, por tanto, es positiva.

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Por consiguiente, la suma algebráica de las fuerzas electromotrices de esta malla es: –15+30 = 15 V.

Σε = −15 + 30 = 15 V

[10]

Hasta aquí hemos seguido los mismos pasos para escribir el primer miembro de la ecuación [4.12-3], que en el método anterior, pero al recorrer nuevamente la malla, partiendo del nudo a, para escribir la suma algebráica del segundo miembro de la ecuación [4.12-3], hay una diferencia importante: Debemos tener en cuenta que el tramo a-b es recorrido simultáneamente por las intensidades I’1 e I‘2, y como la intensidad I’1 es positiva, por ser del mismo sentido que el de recorrido de la malla, e I‘2, negativa, por ser de sentido opuesto, la intensidad neta que recorre este tramo es la diferencia I’1–I’2 de ambas intensidades, y multiplicada por toda la resistencia que recorre desde a hasta b, resulta (2+4)(I’1–I’2) Seguimos recorriendo la malla, y a continuación encontramos el tramo b-c-d-a que es recorrido solamente por la intensidad I’1, que multiplicada por toda la resistencia del tramo b-c-d-a que recorre resulta (1+2)I’1. En consecuencia, la suma algebráica del segundo miembro de la ecuación [4.12-3] es, para esta malla

ΣIR = (2 + 4)(I’1 − I’2 )+(1+ 2)I’1 = 6(I’1 − I’2 )+ 3I’1 = 9I’1 − 6I’2

[11]

Sustituyendo [10] y [11] en la ecuación [4.12-3], se obtiene para esta malla a-b-c-d-a, la ecuación

15 = 9I’1 − 6I’2

[12]

Malla a-e-f-b-a

Escribimos en primer lugar, partiendo del nudo a, la suma algebráica de las fuerzas electromotrices correspondiente al primer miembro de la ecuación [4.12-3]. La primera f.e.m. que encontramos en nuestro recorrido es la de 3 V. Esta f.f.e.m.., si estuviera ella sola en la malla produciría corriente en el sentido de f hacia b, es decir, en el contrario al de recorrido de la malla, por tanto, es negativa. Seguimos recorriendo la malla, y a continuación encontramos la f.e.m. de 15 V. Esta f.f.e.m.., si estuviera ella sola en la malla produciría corriente en el sentido de b hacia a, es decir, en el mismo sentido en que recorremos la malla, por tanto, es positiva. Por consiguiente, la suma algebráica de las fuerzas electromotrices de esta malla es: –3+15= 12 V.

Σε = −3 +15 = 12 V

[13]

Siguiendo un razonamiento análogo al que hemos utilizado para escribir la suma algebráica del segundo miembro de la ecuación [4.12-3], de la malla anterior, al recorrer nuevamente esta malla, partiendo del nudo a, encontramos el tramo a-e-f-b, que es recorrido solamente por la intensidad I’2, que es ahora positiva porque su sentido es el mismo que el de recorrido de la malla, y multiplicada por toda la resistencia de dicho tramo resulta (6+3)I’2. A continuación encontramos. el tramo b - a que es recorrido simultáneamente por las intensidades I’1 e I‘2, pero ahora, I’1 es negativa por su ser su sentido contrario al de recorrido de la malla y la intensidad neta que recorre este tramo es la diferencia I’2–I’1 de ambas intensidades, y multiplicada por toda la resistencia que recorre desde a hasta b, resulta (2+4)(I’2–I’1) En consecuencia, la suma algebráica del segundo miembro de la ecuación [4.12-3] es, para esta malla

ΣIR = (6 + 3)I’2 +(2 + 4)(I’2 − I’1 ) = 9I’2 + 6(I’2 − I’1 ) = 15I’2 − 6I’1

[14]

Sustituyendo [13] y [14] en la ecuación [4.12-3], se obtiene para esta malla la ecuación

12 = 15I’2 − 6I’1

[15]

15 = 9I’ − 6I’ 1 2  12 = 15I’2 − 6I’1

[16]

Las ecuaciones [12], [15] forman el sistema

cuya solución, una vez simplificado y resuelto, es

I '1 = 3 A

I '2 = 2 A

[17]

Las intensidades que circulan por las diferentes ramas del circuito son: Rama a-b:

La intensidad es la diferencia entre I’2 e I’1, y puesto que es I’2 > I’1, la corriente resultante es de 1 A y circula de b hacia a, resultado que concuerda con el obtenido por el primer método

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Rama b-c-d-a:

Por esta rama circula solamente la intensidad I’1 = 3 A, que es la intensidad que hemos denominado I1 en el método anterior. Rama a-e-f-b:

Por esta rama circula solamente la intensidad I’2 = 2 A, que es la intensidad que hemos denominado I3 en el método anterior. Como puede verse, se obtienen los mismos resultados con ambos métodos. Diferencia de potencial entre los nudos a y b

Ahora estamos en condiciones de calcular dicha diferencia de potencial aplicando la ley general de Ohm [Véase, Capítulo 1.4.11 – Fuerza electromotriz.pdf, epígrafe 11.3]:

I ΣRif = Σεif −(Vf −Vi ) Para ello, utilizamos la figura y los resultados obtenidos con el primer método, con objeto de practicar el uso de dicha ley aplicándola a cada una de las tres ramas del circuito. I1

2Ω

30 V

d

Rama b-c-d-a:

I 1(1+ 2) = 30 −(Va −Vb )

c 15 V

I2

Despejando y sustituyendo I1 = 3 A

1Ω

a

b 4Ω

2Ω

I 2 (4 + 2) = 15 −(Va −Vb ) f

I3

[18]

Rama b-a:

3V

e 6Ω

Va −Vb = 30 − 3 × 3 = 21 V

Despejando y sustituyendo I2 = –1 A

3Ω

Va −Vb = 15 − 6I 2 = 15 − 6(−1) = 21 V

[19]

Recuérdese que la intensidad I2 circula, en realidad, en sentido opuesto al indicado en la figura. Rama a-e-f-b:

I 3 (6 + 3) = −3 −(Vb −Va ) Despejando y sustituyendo I3 = 2 A Va −Vb = 9I 3 + 3 = 9 × 2 + 3 = 21 V

[20]

Como es evidente, se obtiene el mismo resultado para la diferencia de potencial, cualquiera que sea la rama utilizada para su cálculo.