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Nuevas tendencias en la enseñanza de la matemática, i.

Volumen 111 \

Unesco

La enseñanza de las ciencias básicas

Publicaciones de la misma serie

A survey of the teaching of physics a t universíties. Redactado bajo los auspicios

de

la Unión Internacional de Física Pura y Aplicada, 1966. L'enseignement de la physique dans les uníversités. Redactado bajo los auspici s dela Unión Internacional de F k i c a Pura y Aplicada, 1966. New trends in biology teaching / Tendances nouvelles de l'enseignement de la b ologie. Preparado por R. Heller, profesor de fisiología vegetal, Facultad de Ciencias, UniveL sidad de París (Francia). Vo1.i: 1967 Vol.11: 1969 Vol.111: 1971 New trends in chemistry teaching / Tendances nouvelles de l'enseignement de la chimie. Preparado para la Unesco, por E. Cartmell, Director de laboratorios, Departamento de Química, Uníversidad de Southampton (Reino Unido) Vo1.l: 1967 Vol. 1 1 : 1969 Vol. I I I : 1972

New trends ín mathematics teaching / Tendances nouvelles de l'enseignement des mathématiques. Preparado por la Comisión Internacional de Enseñanza de la Matemática / International Commission of Mathematical Inctruction, ICMI. Vol. 1 : 1966 Vol. I I : 1970 Vol. I I I : 1973 New trends in physics teaching / Tendances nouvelles de l'enseignement de la physique. Preparado por M.W. Knecht, profesor de física, Lausana (Suiza). Vo1.l: 1968 Vol.11: 1972 (Preparado por E. Nagy, profesor de física, Universidad de Eotvos, Budapest , Hungría) Mathernatics applied to physics / Mathématiques appliquées 21 la physique. Por G. A. Deschamps, E.M. de Jager, F. John, J.L. Lions, N. Moisseev, F. Sommer, A.N. Tihonov, V. Tikhomirov, A.B. Vasil'eva, V.M. Volossov, D. J.A. Welsh, T. Yamanouchi. Director: E. Roubine. New trends in integrated scíence teaching / Tendances nouvelles de l'intégration des enseignements scientifiques. Preparado por P.E. Richmond, profesor en educación, Un , 2 , = son actualmente conocidos por los niños. El símbolo = se reserva a veces para expresarque a un lado y al otro del mismo hay nombres que representan el mismo objeto. A las operaciones entre números se les da un carácter funcional, considerándolas como aplica ciones del conjunto de los pares ordenados sobre el conjunto de los números. Así, los símbolos

(3;4)

+

7 ;

(5;2)

f

3 ;

(5;2)

X ~

10

; (16;4) f 4

constituyen una nueva manera de concebir las operaciones. El uso de un símbolo*como un operador, por ejemplo "$5 significa,añadir 5", "f3 significa dividir por 3", permL te ampliar el significado de las operaciones elementales. De esta manera, por ejemplo, la sustracción puede considerarse como una especie particular de adición. Grafos, árboles y trenzas pueden ser utilizados para mostrar los múltiples y divisores de un ng mero.

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Como una especie de estudio pre-algebraico se suelen introducir las proposicio nes y las expresiones abiertas. Algunos programas usan los slmbolos 0 o 0 para la variable y los llaman l'portavariables'l. Otros, empiezan directamente con la notación literal y1 o X , al que llaman un símbolo reemplazable. Cualquiera de estas notaciones se usa para escribir ecuaciones lineales correspondientes a problemas que se enuncian verbalmente. A veces, las ecuaciones y los problemas se expresan mediante diagramas, por ejemplo

-4 que resuelve la ecuación (x+2).3 -t 4

=

19

Desde el principio se acostumbra a usar letras mayíkculas para representar los conjuntos y letras minúsculas para los elementos. También se usan diagramas de máquinas para representar operaciones y resolver problemas simples. Las máquinas de entrada-salida (input-output) o las máquinas con varias entradas, dan la oportunidad para crear nuevas operaciones, Por ejemplo si la máquina trabaja de la manera siguiente

-

-

-

entrada

1

2

3

4

salida

1

3

5

7

la operación que representa es x

-+

2 x

-1

a

- 7 sirven Las propiedades fundamentales de un sistema operacional, o de un grupo, para que el alumno a.prenda nuevos hechos o conceptos y también para. que se familiarice con las estructuras. As?, la conmutativida.d y la asociacividad, que en matemática tienen un sentido bien preciso9 sirven a los nLños tanto para apren.der propiedades operacionales, como para el manipule0 con los paréntesis. Por ejemplo, reuniendo situs cíones diversas, los niños llegan a las conclusiones: a+b = b+tc , ü-b f b-tc , cct-b-c = u+(b-c), U-b-c f U - (b-c),etcétera. Se procura que los niños se acostumbren a cog probar cuales son las propiedades que pueden o no pueden ser usadas en cada problema particdar. Aunque l a idea de grupo no se introduce explícitamente, se pueden dar a los niños muchos ejemplos de grupos que les permitan adquirir las ideas de elemento nidad (o neutro) y de elemento inverso. De,esta manera, los alumnos que ingresan a la sino escuela secundaria, no se encuentran de repente ante un país nuevo y extraño, con una prolongación de un terreno ya explorado y conocido. /

4. PhobabiLidud~ En la enseñanza tradicional, las aplicaciones de la aritmética se limitaban a p e queños problemas de compra-venta y otros problemas elementales de la vida diaria. La idea de probabilidad, que no se mencionaba, interviene sin embargo en el mundo de los niños de muchas maneras: en los juegos, en la esperanza de un buen tiempo para el fin de semana o en la posibilidad de llegar a tiempo a la escuela. La idea de probabili dad está Lmplícita cuando el niño dice "puede ser", "quizás", "seguramente", "di.fícil en mente" y otras palabras o frases por el estilo. Existe actualmente la tendencia, la escuela primaria, de dar a estas frases un significado preciso, si bien haciendotar expxícitamente que los números asignados a este tipo de situaciones tienen un sig niíicado muy distinto del que tienen en las situaciones aritméticas usuales. Así, 1/2 de 6 regletas son exactamente 3 regletas, pero la probabilidad 1/2 de que al lanzar 2 na moneda salga cara, es una cosa muy diferente.

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En la escuela primariz, la probabilidad se introduce Únicamente en su base empírica, es decir, mostrando casos en que se manifiesta una regularidad estadística, sea en juegos, en la naturaleza. o en cuestiones de la vida diaria. Esta base empírica se pone de manifiesto anotando resultados previstos o sospechados y coleccionando datos. Al formar las razones o frecuencias relativas, surge la manera de expresar resultados esperados mediante números. El estudio de las probabilidades induce al alumno a hacer investi.gaciones sobre casos concretos con los cuales se encuentra directamente vinculado, debiendo hacer hipótesis y comprobar resultados, actividades ambas de mucho se2 tido matemático, Por otra parte, este tipo de problemas obliga muchas veces al alumno a usar, para un mismo objetivo, toda la matemática aprendida anteriormente.

A medida que se avanza en el estudio de las probabilidades, se van introduciendo problemas del juego de dados, juegos de cartas, bolilleros o trayectorias en una red. Todas estas actividades conducen de manera natural a la combinatoria (si bien esta nc menclatura no se usa en la escuela primaria). Esto hace que tanto los estudios previos como los posteriores a la probabilidad, formen parte importante de teoryas que serán desarrolladas más adelante. La recolección de da.tos estadísticos y su representación gráfica, forman parte también de los nuevos programas y constituyen importantes puentes de comunicación con otras ciencias. Un objetivo de estos estudios es acostumbrar al alumno con la idea de muestra y con la posibilidad de que, con medidas sobre la muestra, se obtengan, dentro de ciertos límites, ideas sobre 'coda la población. Esta tendencia de la matemáti-

- 8 ca elemental a incluir la probabilidad es relativamente reciente, pero encierra gran valor social y se esta. intensifican.do rápidamente.

un

5. GwrneAxXu La geometrla juega un papel cada vez más importante en los modernos programas de enseñanza de la matemgtica elemental. Se abandona el aspecto de los programas anterig res, en los cuales la medida era el Único tema que trataba la geometría, En el día de hoy la geometrza es un auténtico estudio del espacio, que se hace desde varios puntos de vista: topológico, frsico y de los espacios vectoriales y transformaciones. Esto no quiere decir que la idea de medida se haya abandonado, sino que se desarrolla de manera que5 conservando su utilidad propia, sirva de base para estudios futuros, La medida se estudia a pa.rtir de una unidad arbitraria, para que los niños se den cuenta de que al cambiar la unidad de medida, a& tratandose de una misma magnitud (por ejem plo una longitud dada), la medida toma distintos valores. La medida conduce tambiénal concepto de aproximación, el cual, a su vez, permite acotar medidas dentro de interva los cada vez más estrechos. Esto constituira, más adelante, el fundamento del estudio de los números reales y de la continuidad. Ciertas ideas topológicas se introducen en relación con curvas abiertas y cerradas¶ separaci6n de regiones, vértices, aristas y caras de los p'olied-roscomunes y en cuestiones análogas, siempre por medios visuales y con objetos del mundo físico. Muy recientemente se ha sugerido, en la mayoría de los países, introducir 10s M I ceptos de movimiento y de transformación geométrica. El concepto principal es el deia aplicación del plano sobre sí mismo mediante simetrcas, reflexiones y construcciones geométricas con regla y compas, escuadras y reglas de bordes paralelos. Este estudio conduce al analisis de $as simetrías de las figuras y cuerpos geometricos. No es necg sario el uso de un lenguaje geométrico riguroso y muchas veces es conveniente expre sar las ideas ecencial5s mediante palabras comunes

-

a

Las ideas de movimiento o transformación se ejemplifican examinando las simetr% en los dibujos en las paredes, en ciertos papeles de envolver, en adornos y otros objetos y figuras y tambign mediante operaciones de corte y doblado de papeles, Más ade lante, los puntos correspondientes se indican con la notación A +A' , B +B' , etc. de ma,nera que el movimiento se sustituye por la idea de función. El dibujo de muchos casos particulares añade interés al estudio. En algunos gra.dos superiores de la enseñanza elemental se han hecho experiencias con vectores, considerados como representantes de desplazamientos paralelos, y también se han usado papeles cuadriculados y pares o triples de ncmeros para representar los puntos, Lo que permite el estudio de algunos grupos simples de transformaciones, Sin embargo esto no es de uso general.

El estudio de la geometrza en coordenadas rectangulares, se limita generalmente a sus aspectos métricos, con la construcción de grsficas simples y la medida de dis tancias. Ademzs de la longitud del segmento AB, que une el punto A con el punto '13, d s da por la fóirmula

- 9 conviene introducir o tras distancias , como la llamada "distancia-taxi" x2 - xll + y2 -y 11 (distancia que recorre un taxi para ir de A a B en una ciudad cuadxiculada) para ampliar la visión del alumno acerca de ciertos problg mas.

1

1

III. Nuevas ideas A pesar de los nuevos programas, nuevos objetivos y nuevos métodos y materiales de enseñanza, un programa puede fracasar en manos de maestros dogmáticos o d e maestros que no lleguen a comprender los propósitos y la naturaleza de la "nueva matemática". Afortunadamente, en todo el mundo los maestros han demostrado el mayor interes y están haciendo los mayores esfuerzos para aprender los nuevos conceptos y para adaptarse a los nuevos métodos pedagógicos. Para ayudar a estos maestros, hay una creciente tendencia a preparar especialistas en la enseñanza de la matemática a nivel elemental, con una buena formación matemática y una probada habilidad en los modernos m&todos de enseñanza. Estos especialistas, a veces supervisan los programas de matemática de todo un distríto o región y a veces toman el papel de maestros especializados, haciéndc se cargo de la enseñanza de la matemática como Cnica tarea. Otra manera de ayudar a los maeseros es la publicación de libros adaptados a las clases. Estas publicaciones pueden ser de diversos tipos: (1) Libros que describen con detalle clases experimentales. A este tipo pertenecen los libros publicados por el proyecto Nuffield de Inglaterra, los libros de Fréderique Papy del Centro Belga y los libros de M. Glaymann publicados por GALTON O.C.D.L. y por GARRON, Hatier, Francia(2) Libros sobre los fundamentos de la matemática adaptados para cursos de actualización de maestros en actividad. (3) Libros sobre la enseñanza de la matemática en la escuela primaria, con contenido y metodología. (4) Revistas especiales para maestros .Ejeg T U L C ~ Q del A Consejo Na plos de tales publicaciones son los siguientes: The An¿-thwi&c S C ~ U U & , publicado desde 1972 cional de Maestros de Matemática (USA), M&ewimU por la Asociación Matemática de Inglaterra. Hay que mencionar también algunas ediciones especiales de NICO por el Centro Belga de Pedagogía de la Matemática.

Los padres deben estar informados de los nuevos programas y de sus objetivos. En muchos países los padres se lamentan de no poder ayudar a sus hijos en la nueva matemática. Evidentemente esto se debe al error de creer que haciendo los deberes de los hijos se les ayuda y que la aritmética memorlstica que ellos aprendieron en la escuela, es la que debe seguir enseñándose. Para suavizar esta oposición se ha procurado que en los nuevos programas el énfasis no se ponga tanto en las novedades (que evidez temente existen) como en los nuevos métodos de aprendizaje, que suponen una mayor actividad del alumno, realización propia, comprensión, descubrimiento, etc. 10 que supo ne que el alumno debe hacer su aprendizaje bajo la gula del maestro. Si a los padres

- 10 se les muestra un poco más de las cosas pr&ticas que se enseñan y un poco menos de las cosas raras designadas con lenguaje ampuloso, ellos estarán sin duda mejor dispuestos a aceptar los nuevos programas. Finalmente debemos mencionar la importante novedad de que muchas asociaciones de profesores de matemática de enseñanza medía y otras de matemáticos profesionales dedi los cados a la investigaci&n, han abierto sus puertas y aceptado en sus reuniones a maestros de escuela primaria. Existe por tanto una tendencia hacia la unidad de los profesionales de la enseñanza en todos los niveles, análoga a la que se ha establecido entre la aritmética, geometría, álgebra y análisis, para formar una sola cosa que es la matemática.

IV. Ejemplos de materiales

A. ELoyuen

rnuRk¿bcrnE

1. Existen bloques multibase para bases 2,3,4,5,6 y 10 en forma de cubos, varillas o tabletas.

Fig. 1 (para base 3)

Para ciertas bases existen también bloques en forma de figuras planas.

Fig.2 (para base 3)

2. El material se usa en la escuela primaria para facilitar la introducción se puedan realizar un gran número de potencias de la base, permite al alumno comprender visualmente el principio en que se basan los sistemas de numeración. Para la base 10 la presentación está limitada a unidades, decenas y centenas, Por otra parte, los blo ques multibase permiten al alumno realizar concretamente (y algunas veces simbólica 1 mente) la adición, substracción, multiplicación y división en distintas bases y comprender mejor la naturaleza de los algoritmos usuales en el cálculo aritmético. Naturalmente, la base 10 es la Única a la que se limita la enseñanza del c5lculo. La forma de los bloques y su volumen no se deben asociar con los conceptos aritméticos para los que han sido diseñados. a la aritmética. La presentación de bloques en determinadas bases, de manera que

3. Es conveniente variar el aspecto fbico de los bloques que se usan. Por ejemplo, conviene usar indistintamente el método de 3.a Fig. 1 para la base 3 (donde el los tamaño del bloque varía según tres dimensiones) y el método de la Fig. 2 (donde bloques son todos del mismo espesor).

- 11 B. n/lí~wripu.ttdCih El minicomputador de Papy es un ábaco bidimensional decimal binario. Unas tablas alineadas horizontalmente indican los lugares del sistema decimal ordinario usado por los niños. Una barra vertical indica el punto o coma de los decimales.

Cada una de las tablas e s G adaptada a un sistema binario análogo al de las gra2 des computadoras.

En realidad, los numerales no figuran en las tabletas, puesto que es esencial cpe los alumnos comprendan que basta la posición de una. cl-avija en el minicomputador para determinar el valor. Los colores constituyen un re€uerzo psicolÓgico de la situación: blanco para el 1, rojo para el 2, púrpura para el 4, marrón para el 8.

1

9

7

2

3

7

1

.

4

1

En el jardín de infantes el minicomputador puede ser usado con independencia de cualquier otro material. Se presenta como un mural met3ico (las clavijas son magnetL zadas) y también en forma horizontal, para uso individual, 10 que facilita el aprendi zaje inicial por el uso de numerosos canales motosensoriales. He aquí las Únicas reglas para el minicomputador

Las clavijas rojas y azules pueden servir para introducir los enteros negativos a la edad de 6 años. La metodologza para el uso del minicomputador ha sido desarrolla da por su inventor (ver la bibliografza). Si el u.so del minicomputador empieza a los 6 años, es posible llegar al concepto del cuerpo ordenado de los números reales en el 5" grado de la escuela primaria (as5 como a la idea del plano vectorial real).

-

12

-

Bibl iografya

CAPITiJLO 2

ALGEBW

1. El álgebra de hoy: un estudio de las estructuras Durante los Gltimos 150 años, el álgebra ha sufrido grandes cambios en contenido, métodos y aplicaciones. Sin embargo, el álgebra que todavía se enseña en muchas las secundarias puede considerarse como álgebra clásica, es decir, se refiere e s e n c i l mente a la operatoria con expresiones (numéricas o literales) y a la solución de ecuz cionec. Esta álgebra fue concebida hace m'ts de 4000 años y llegó a su madurez con el tratamiento de las ecuaciones de grado superior y sus posibles soluciones.

ese-

En el siglo XIX, empezaron a incluirse en los libros de texto algunos resultados fundamentales, como la imposibilidad de resolver con métodos finitos generales las ecuaciones de grado superior a 4, métodos especiales para separar y aproximar las ralces de una ecuación, y el teorema fundamental del álgebra. Este concepto clásico del álgebra se encuentra reflejado, por ejempio, en el Algebm de Serret (1860), la cual contiene, por primera vez, una discusión de la teorla de Galois, piedra miliaria en el desarrollo del álgebra moderna. En el día de hoy, como resultado de más de 300 años de trabajo, el álgebra se ha extendido al estudio de las estructuras y sus realizaciones, así como a las relacio nes entre ellas. Aunque es imposible fijar cuando nací6 exactamente el álgebra moderna, existen ciertas fechas que pueden servir de referencia para aclarar el uso de la palabra "moderna". La primera fecha es 1910 en que se publica la T ~ v ~ GtegebhCL¿CGt Úu de Loa cueJ~püA de Steinitz. En este texto se encuentra un estudio sistemático de las opc raciones y de los sistemas operatorios en general, liberando estas nociones del concepto de número y por tanto del álgebra clásica. El libro siguiente, dirigido hacía los mismos fines, fue el kegebna Modehvlu de Van der Waerden, publicada en 1931. En 1941 aparece el texto ALgebXu M U ~ Q ~ RdeU Birkhoff y Haclane, qu- fue el primer libro publicado en inglés desde el punto de vista de que el álgebra es el estudio de las e s truc turas.

-

Esta nueva definición ha evolucionado lentamente, pero siempre ha estado de acudo con los dos principios que se consideran necesarios para aceptar una nueva rama de

la matemática o una nueva extensión de ramas ya existentes. En primer lugar, para el matemático, la extensión no debe se-r trivial, Las estructuras fundamentales, grupos,% nillos, cuerpos y espacios vectoriales son de importancia fundamental para la comprensión de la matemática en sí misma. Algunos problemas que con los métodos de la ma -

- 14 temática clásica habían sido considerados como de solución imposible, fueron examinados de nuevo desde el punto de vista de las estructuras y en muchos casos pudieronser resueltos. A medida que los matemáticos fueron estudiando las estructuras algebraicas, se dieron cuenta de que ellas servían para relacionar y unificar toda la matemática. En segundo lugar, toda extensión importante, debe tener aplicaciones fuera del campo de la matemática misma. En este sentido, ya en 1880 el ruso E.S. Fedorov mostró como la teorÉa de los grupos podía servir para clasificar los puntos del espacio, lo que sirvió más tarde para explicar la estructura atómica de los cristales. Esta fuela pr& mera vez que una estructura algebraica se aplicó para resolver un problema no resuelto de la ciencia. Recientemente, las estructuras han sido aplicadas a la explicación o a la solución de muchos problemas de la ciencia y de la técnica, con lo cual se satisface plenamente el segundo requerimiento. Entre los años 1930 y 1940, Bourbaki reconoció la debilidad e ineficiencía de los enfoques clásicos para ampliar los conocimientos matemáticos, reorganizando toda la matemática sobre dos bases: el álgebra y la topología. Cuarenta años más tarde,las reformas curriculares en muchos países están reestructurando la matemática pre-uníver sitaria, presentándola como un cuerpo de conocimientos bien unificado, teniendo en cuenta dichas bases. En este sentido, A.I. Markuschewitch, de la Universidad de Moscú, ha dicho:

“U pm6Rmu de Ru udupáxcÁbn de Rm idea de Rowr6uki a RCC e~eIi”unzu de Ra mGLte m M c u en ROA ~ncuQRanecundcah, treqLL¿ette una &enc/i6n ehpeC¿CLR., Segwmne&e v1o hay d¿&í¿cuRtccden ~ U E ~ C W I pQc ~~ rQQRubüm ~~ U K ~ R U Kde ebk~di~ó de V c U Ú O h UMUh dg Ucuenda u un n,tÁ;tQmucuyon concepXon dundG(wle&d~/3 neun: coIzju&un, h&uciuneh ( p u m X c&men;te Ron concep;tu~de &~nc¿bn y a3.um~mnaciGngeomé.tFticu y R a hdacianQn de eqLL¿u&eno¿u y onden) o p m ~ c i n ~dgebncúca n (nQRcuXuclnu Ron concepkon de gnupo y cumpoI y eL ~npuc¿o (e~peC¿&eKLe Ron enpudon mé&úcub y Ron ~npucionRi~zecLea,qu~ ne pueden ,i..Lun&cu~ w n rnuchon ej‘euYipRoa)a SLn dudu Ron enkudcvn baudon e~1~ n X ecwLtt¿culum, de munma ; t a Mo p~utcid, pueden dQncm/wfime de manehu LrvW~ehuKLey eon~ne ,tu... FLnccewieAe, un kcLe cwt‘úcuRum, AL r¿nduye augiicienke tw~úu, pnáfica y ejQnc¿ix~c¿Gn, puede pnen e a un hícv mu.tQfL¿GLe punu Ru educuC/itjn y dec,crtrttofio de R a capa& duda y h¿ibLton i&QRe&ucLea que en Ru uCkUGLe¿dad debmon e~penuhde kadu pehhonu de rne.diuy1GL educuc/iún”, I

Markuschewitch ha estado actuando y experimentando según los alineamientos citados, en escuelas secundarías rusas. Las consecuencias de esta manera de desarrollar el algebra (como estudio de las estructuras) como base de la matemática secundaria y de su enseñanza, han sido analizadas durante varias decadas y actualmente 10 siguen sien do con creciente interés y énfasis. El papel de la teoría de grupos para organizar la geometría, según el espíritu del programa de Erlanger de F6li-x Klein, ha sido puesto de manifiesto desde hace más de 50 años en textos de uso común en escuelas secundarias alemanas. El álgebra vectorial apareció en las escuelas secundarias de varios pafses europeos antes e inmediatamente después de Za segunda guerra mundial. Despues fue extendiéndose con carácter experimental a otros pazses y recibió su confirmación internacional con las publicaciones NUEVUA i d e a RU evin~ñan~~ de RU Mcl;tewiaca (Confe rencia de Royaumont:, 1959) , SL¿v~ph& pcuiGL RU ~ , ~ ~ ~ c ? Emoduznu L I ~ z u de Ra Mcui.~mmcaen La Q ~ c L L &AC?CU~~LL%& ~ (Conferencia de Dubrovnik, 1960) y MCL&YIIWCU de hoy (Conferencia de Atenas, 1963) todas ellas publicadas por la O.E.C.D. (Organización Europea para Cooperación Económica y Desarrollo).

-

- 15 Todas las publicaciones precedentes, suponen el uso explkito e intensivo delos conceptos y nomenclatura de1 slgsbb-rarnodsrna (grupos, anillos, cuerpos y espacios ve2 toriales) en la matemática de las escuelas secundarías. El resultado es que si bien esta "moderna" álgebra de las escuelas secundarias conriene todos los conocimientos y actividades &5e E ~ d & 5del algebra clzsica, la estructuración es completamente dife rente, de modo que las expresiones a-lgebraicasy las ecuaciones están subordinadas a las estructuras y sus realizaciones (por ejemplo los enteros forman un grupo respecto de la adición).

-

Hasta 1955 el algebra abstracta y el algebra lineal se consideraban como matemática superior, perteneciente a los estudios universitarios Actualmente se reconoce que esta álgebra, no solamente puede ser incluida en la enseñanza secundaria, sino que debe constituir el n6cleo fundammtal de la matematica que en ella se enseña. Esto es importante, puesto que el concepto que actualmente se tiene de la matemática, requiere que no se evi-te ningún esfuerzo para. conseguir una presentación unificada de la mi5 ma en todo el ciclo secundario.

11. Tendencias en la ensefianza del algebra en las escuelas secundarias

PhehbuRü. El descenso del estudio del algebra del nivel universitario al nivel secundario se llevó a cabo tan sólo unos cien años atrás. Se estábleció como contenído un conjunto fijo de conocimientos que incluía el cálculo literal y la solución de ecuaciones. A pesar de los grandes progresos que se hicieron durante el siglo XIX para aclarar la naturaleza de los números y los descubrimientos del siglo XX referentes de a la organización de estos progresos en estructuras, dicho contenido del algebra nivel secundario, prevalecí6 hasta el tiempo actual en la mayoría de los países. UnL camente en las dos Gltimas décadas, el álgebra moderna y sus estructuras se han intducido en los programas de matematica de la escuela secundaria. Durante este período, muchos pazses han experimentado con nuevos programas y nug vos textos, introduciendo sistemas operacionales, por ejemplo los grupos, sobre una base axiomática y con el uso de demostraciones, Otros pazses han ido más lejos, intrg duciendo el tratamiento formal de las estructuras y haciendo de esta manera el álge bra la base de toda la matematlca secundaria. Dentro del primer grupo se encuentrannamarca, Suiza, Bélgica y Francia; el segundo grupo esta representado por el Centro M ga de Pedagogía Matemática (Bélgica) y el programa para n.iños dotados del proyecto unificado de rnatem*aticas escolares (Comprehension School Mathematics Project3 USA). Un programa un poco más moderado es el "Secondary Mathematics Curriculum ImprovementStud y" (USA). La tendencia en la, enseñanza del álgebra presenta dos aspectos. Uno de ellos es el estudio de las principales estructuras por si mismas, y el otro, la inclusión del c algebra clásica (conceptos y herramienta) dentro del marco de las estructuras. De esta manera el álgebra clásica y 12 moderna se presentan como un cuerpo unificado de conocimientos. Junto con este cambio radical en el concepto y en los objetivos de la enseñanza del álgebra, aparecen nuevos criterios para presentar el contenido. Se acentúa el Gnfasis sobre el uso de ejemplos y situaciones concretas para el alumno, de manera que el mismo participe en la. elaboracio'n de las nu.evas ideas, definici6n de conceptos,bÚsqueda de soluciones, enunciado de proposiciones y p finalmente, en la formalizaciÓn,iE

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16

-

terpretación y aplicaci6n de los conocimientos adquiridos. Estos métodos son discutidos en el capítulo 8. Para analizar las tendencias actuales en la enseñanza del álgebra, vamos a distinguir los siguientes puntos: (1) Sistemas operacionales, (2) Conjuntos, relacio nes y aplicaciones. (3) Estructuras e isomorfismos. (4) Construcci6n de los sistemas de números. (5) Estructura de espacio vectorial. (6) Usos y aplicaciones.

-

Aunque necesariamente estos temas van a tener partes comunes, su clasificaciónva a permitir ordenar y describir mejor las tendencias que actualmente presiden la rama de la maternatica que se puede llamar "álgebra elemental moderna".

7.

opQnccc,úJnQn

y nAXeYncln

0pQnCLdonuRen

Tradicionalmente las operaciones se consideraban exclusivamente referidas a nÚme ros, como una especie de acción que de varios números permitfa obtener otro, llamado el resultado. Esta idea ha prevalecido prZkticamente sin modificación en la mayoría de los programas de escuela secundaria, Sin embargo, un pre-requisito para el desarro 110 y comprensión de los conceptos algebraicos como "grupo", "anillo" o "espacio vectorial", es el conocimiento de operaciones con elementos que no son niímeros. En la e s cuela elemental ha empezado la tendencia de hacer ver a los alumnos que la adición y la multiplicación en N pueden considerarse como aplicaciones que a cada par ordenado (x,y) de NxN asigna un Único elemento en N. Así

(x,y)

Q __p$t_

donde

z

z

=

x 3. y

Las operaciones pueden también representarse por una maquina con dos entradas y una salida

-1 a L

'

/

' 1 1

maximo {a,b)

Mediante juegos como "adivina mi máquina" (ver, por ejemplo el Cap. 1 11, 3 Conceptos Básicos, el juego que consiste en averiguar la máquina que a los n6meros 1, 2, 3, 4 hace corresponder respectivamente los números 1, 3, 5, 7; la solución es x 2x-1) los alumnos se encuentran con una gran variedad de operaciones sobre N, ademzs de la suma y el producto (por ejemplo "mÉnimo comun m6ltiplo", "máximo") Las operaciones sobre conjuntos distintos de N se introducen también en las primeras etapas de la enseñanza. Por ejemplo: la adicion del reloj (que se indica Z $+) y la substrac 12 ciÓn sobre el conjunto de los números del reloj, o bien operaciones sobre el conjunto de los puntos del plano, como la (?,O) + M , donde M es el punto medio de P Q . Estos y otros ejemplos proporcionan a los alumnos una rica y variada experiencia con operaciones. Se llega as? al concepto general de operación A$ sobre un conjunto S como una aplicación

+

-

- 17 Un conjunto S con una operaciónvsobre el mismo, se llama un sistema operacio Los sistemas operacionales sim nal simple y se representa por el par ordenado (S,#). ples y dobles (con ,dos operaciones) forman la base para el posterior estudio de los grupos, anillos y cuerpos como sistemas operacionales con ciertas estructuras especia les. Antes de desarrollar los sistemas operacionales como conceptos abstractos, los alumnos deben familiarizarse con muchos sistemas operacionales y su funcionamiento. A continuación mencionamos algunos ejempios .

Ejempla 7 (a, b) a

o

->

m.c.m.

(a, b)

b = c, donde c

=

=

2+4 = ? , 4+2 = ? Es a w b = b+a para todo par (a,b)?

a+b

a2 + b 2

2 , 4 = ? , 6 , b = 38 hallar b

c=a min b

+

o

1

Si

a

min 4 = 4, hallar a

Si

a

min O = O,

hallar

a

Llenar la tabla para (Z3 , + )

2

Si

O

x -t 2 = O , entonces x = ?

Es siempre x + y

=

y + x para todo x,y?

¿Por qué?

21

Ejemplo 3 (a)

(z4 ?

+)

(c)

(Rotaciones del cuadrado,

(a)

({firmes , izquierda, derecha,media vuelta},, )

En los casos (c) y (d) la operación x,y zar y después de x .

o)

significa la composición, o sea, reali-

Puede ser muy ilustrativo construir las tablas operacionales para cada uno de los sistemas del ejemplo 3 y comparar entre S E las cuatro tablas obtenidas. Los ejemplos 1, 2 y 3 muestran actividades vinculadas con varias operaciones y conducen a la bÚsqueda de propiedades de las operaciones y de los sistemas operacionales. El estudiode la ecuación simple a+x = b en diferentes sictemas permite darse cuenta de que el ns mero de soluciones puede variar, pudiendo haber ninguna, una, dos, un &mero finito o infinitas. La observación de que a+b = b+a para todos los pares de elementos de un sistema, pero no para otros sistemas, muestra al alumno que la conmutatividad es una propiedad especial de ciertos sistemas, no siempre verificada. El ejemplo 2 y otros a nálogos que se pueden proponer, ayudan a formar el concepto de "sistema operacional" como entidad matemática. El ejemplo 3 ofrece una introducción al isomorfismo entredos sistemas operacionales. Las nuevas tendencias parecen indicar que el estudio de las estructuras algebraicas en las escuelas elemental y media debe empezar con la práctic8 con operaciones y sistemas operacionales, lo que constituye una sólida base para 2 na mejor comprensión de las estructuras.

- 18 2. Conjuntos, h&uc¿unQn

y upficucianu

Actualmente los conjuntos se utilizan en la mayoría de las escuelas primarias pa ra desarrollar la aritmética de los níkneros cardinales. En los primeros años de la eg cuela secundaria se vuelven a dar los conjuntos en forma un poco más precisa y hacien do énfasis en las más importantes leyes y fórmulas, como por ejemplo A U E = A n:E aunque con mucha frecuencia su estudio es luego abandonado. Sin embargo, el lenguaje conjuntista puede decirse que prácticamente ya se ha impuesto tanto en la escuela primaria como en la secundaria, de manera que es muy frecuente el uso de expresiones como N = {O, l, 2,. ..), conjuntos de puntos, conjuntos de rectas, conjuntos de pares 02 denados, conjuntos de solucj-ones y conjuntos de pruebas. Aunque el papel fundamental de los conjuntos en las escuelas elemental y secundaria es servir de lenguaje y de me dio de comunicación matemática, para expresar claramente muchos enunciados y propieda des, existe la tendencia general de introducir en la enseñanza secundaria, desde los primeros años, el estudio elemental del álgebra de conjuntos. Ello ayuda mucho, por e jemplo , al estudio de la probabilidad, cuyos principios fundamentales se aclaran mucho con el lenguaje y la operatoria conjuntista. Una relación bz sobre un conjunto S es un subconjunto de S x S. Las relaciones forman parte actualmente de la matemática elemental y secundaría, apareciendo en muchas situaciones, por ejemplo las siguientes.

A, E son subconjuntos de {i, A R B cíi A C E

-

Al ex Bob

Carlos

fl

Daniel

X 4? P

Eduardo

sii X es hijo natural de Y.

Relación de la matriz M

a

Trabajando con muchas relaciones, entre ellas = , < y , sobre Z, Q, R, los lumnos pueden indicar cuáles son reflexivas, simétricas o transitivas, llegando de ma nera natural al concepto de relación de equivalencia y sus correspondientes clases. Por ejemplo la relación E (congruencia módulo n) divide al conjunto {1,2,3,. ..} en n-clases de congruencia So, S1, S2, ..., Sn a las que se puede dar estructura de grupo. Un estudio más avanzado de las relaciones puede incluir la igualdad de matrices m x n, polinomios, números complejos, n-uplas, congruencia y semejanza de figuras planas y paralelismo y perpendicularidad de rectas y planos.

- 19

-

Uno de los conceptos más importantes y profundos de toda la matemática contemporánea es el de "aplicación" y en la matemática secundaría existe la tendencia de col2 car este concepto en el nÚcleo mismo de todo desarrollo algebraico. Una aplícación es una correspondencia entre dos conjuntos A y B , tal que a cada elemento de A corresponde uno y un sólo elemento de B. Tanto en la escuela primaría como en la secundaria, las aplicaciones se presentan muchas veces y de distintas maneras, por ejemplo las SL guientes :

4'

(4)

f : x-1-x

Las aplicaciones admiten operaciones de composición, a saber (f

o

g)

= h , donde

(f

o

g) (x)

=

= h(x)

f (g(x))

h Los siguientes ejemplos sirven para probar como el estudio de las aplicaciones (funciones) permite desarrollar gran parte del álgebra clásica, al mismo tiempo que los alumnos se familiarizan con las estructuras fundamentales de la matemática.

Ej~wipRu 7, Sean f, ,' f,, f3, f4, f5, fh aplicaciones de los racionales (O ,1) en los racíonales,definidas por: 1 1', : xf* : x-1x f3 : x-*X

f 4 : --x

1 1 - x

X

f a : --x

f(, : x-

x - 1

-

x - 1 X

Usando la composición de aplicaciones como operación, construir la tabla

f, f

f,

f:3

f4

f5

.

f:,

,

f2 f:,

f4

f0

- 20 Obsérvese que para hallar f f = f el alumno debe practicar la siguiente o p g 6 " 5 3 ratoria de simplificación

Analizando la tabla de operaciones anterior, el alumno descubrirá que el conjun, f2 ,í.. , f6 1, con respecto a la operación de composición, es un grupo no con mutativo. to {fi

Ejemp.to 2. Las aplicaciones de R x R en R x R se pueden introducir a un nivel elemental. Más tarde, cuano los alumnos estudian matrices y espacios vectoriales, la ideade aplicación lineal resulta clara y fácilmente comprensible. Sea la aplicación T : (X,Y>

+

(2X,O)

¿Es biyectiva?, ¿Es suryectiva?, ¿Cuál es el rango?

Como ya dijimos, muchas cuestiones del álgebra secundaria tradicional se pueden incluir dentro del estudio de las aplicaciones. Por ejemplo, los polinomios reales aparecen como conjuntos de funciones que se pueden construir por composición y suma de funciones de dos clases: la función idéntica I(x)=x y la función constante cr(x) = r. Así: es ( C p 1 o 1 + c;( o I + c )(x). p(x) = 2 x 2 + 3 x +J5

Js

Una función racional r(x) no es más que el cociente de dos funciones polinómicas definidas en un dominio conveniente.

El estudio de la trigonometría, que antes no pertenecía ni al álgebra ni a lageg metrfa, se presenta actualmente como el estudio de las funciones circulares de variable real. Desde el punto de vista de las aplicaciones de un conjunto en otro, las fun ciones exponencial y logarztmica se estudian como funciones inversas. Esto se pone de manifiesto al demostrar que la aplicación e: x -+ bX con b > O , es en realidad un isomorfismo entre el grupo aditivo de los niheros reales y el grupo multiplicativo de los números reales positivos. Una vez hecho esto, queda asegurada la existencia de i c verso y al mismo tiempo todas las leyes usuales de los logaritmos aparecen como conse cuencia del isomorfismo. De análoga manera, muchas cuestiones del álgebra clásica, se pueden presentar como propiedades de ciertas aplicaciones o funciones.

- 21 3. Ena2uc;tLutan e hinrnink~&rnm La tendencia de incorporar los conceptos de las estructuras algebraicas a la matemática secundaria ha contribuido mucho a llenar la brecha entre esta Última y la E mutemática contemporánea. Actuando como organizadoras de los conceptos básicos de chos de los temas que vamos a señalar, las estructuras algebraicas se construyen primero concretamente y después más formalmente, a partir de la experiencia que tienen los alumnos sobre varios sistemas operacionales. Muchos ejercicios referentes al descubrimiento y comprobación de propiedades estructurales, como la asociatividad, conms tatividad, elementos neutros e inversos, ley cancelativa y otras análogas, pueden re2 lizarse en oportunidad del estudio de ciertos sistemas operacionales, como (Zn,+), (ZP\{O], ), (Q, +), (Q+ , . ), simetrías de polfgonos regulares, permutaciones, has_ ta llegar a la abstracción del concepto de grupo.

.

.

Un grupo (S, .)es un sistema operacional con las siguientes propiedades: es asociativa, existe un Único elemento neutro tal que x e = e o x = x para todo x d e S, y para cada elemento x de S existe un x', también perteneciente a S, tal que x o x' = x' o x = e. Se pasa luego a buscar situaciones en que aparezcan grupos y a desarrollar por lo menos una teoría en miniatura asociada con grupos. Por ejemplo, a partir de la definición de grupo, los alumnos pueden deducir varios y Útiles teoremas simples, como ser: (1) Si a o b = c o b y entonces a = c (ley cancelativa a la izquierda); (2) toda ecuación a o x = b tiene una solución Única x = a' b y donde a ? indica el inverso de a. Estas propiedades pueden luego aplicarse e interpretarse para .). Es interesante también el estudio de la 2 grupos particulares, como (Z,+) y,'Q( peraci-n "opuesto" en un grupo abeliano (G,+ ), que indicaremos por y que se define por a* b = a* b y dondeb es el opuesto (o inverso) de b. En (2, +) ésta es la operación , en (Q+, .) es la operación +, y en (Zn, +) es la operación substras ciÓn módulo n. Muchas fórmulas de la aritmética tradicional tienen su significado en la teoría de grupos, por ejemplo las expresiones

%

-

(a

- b) - (c - d) =

(a

b) t (c i d)

=

(a + d) (a

- (b + c)

. d) +

(b

e

c)

son ambas casos particulares de la identidad general

%

(a% b) que también vale en (2n , + ).

d)

=

(a

*d) &(b *c)

El concepto de subgrupo aparece de manera natural y es interesante estudiar algx nas de sus propiedades, incluso se puede llegar a descubrir que el orden de un subgrE po (de un grupo finito) es divisor del orden del grupo (teorema de Lagrange).

.

-

La observación de que (Z , + )y (Z \{O}, )son grupos y el recuerdo de cier tas propiedades de los nÚmerog racionaleg y reales, da motivación para el estudio de estructuras con dos operaciones, hasta llegar al concepto de cuerpo. D e igual manera como a partir del concepto de grupo se pueden dar ciertos teoremas sobre grupos, también a partir.de la definición, se pueden dar ciertos teoremas simples sobre cuerpos. Por ejemplo, en (F, M , .)existen dos leyes de cancelación (si aax = bax, entonces a=b; si c # O y a o c = b o c, entonces a=b) que pueden deducirse de la definiciónde cuerpo, o bien como aplicación de las leyes de cancelación en los grupos (F , ) y

(F

5

o>*

- 22 .

Los sistemas operacionales (Zn3 + , )y (Z , + , . ) , junto con los sistemas de funciones reales polinómicas (P , + , . )y las matrices reales(M , 4 , . ) son mg delos de otra estructura con dos operaciones: el anillo. Se puede estudiar la posible existencia de divisores de cero y la no validez, en general, de la ley cancelativa pa ra elp-oducto. La posibilidad de que la ecuación ax + b = O, tenga más de una solu ción en el anillo (Zn, + , ) (n no primo), pero no en (Z , + , . ) presenta interesantes sorpresas a los alumnos.

.

El sistema operacional de las matrices 2 x 2, representado por (MZ, + , . )proporciona un ejemplo de anillo no conmutativo. Además, el subconjunto de las matrices diagonales es un subanillo de M2, mientras que el subconjunto de las matrices de la forma

tiene estructura de cuerpo. Este Último conjunto puede ser usado, más adelante, para introducir un nuevo cuerpo isomorfo con él, que es precisamente el cuerpo de los nÚm5 ros complejos (C, + , . ). A medida que se van conociendo las estructuras, en la escuela secundaria, las rg laciones entre ellas pasan a ser importantes áreas de investigación. El concepto de isomorfismo se estudia en muchos programas simultáneamente con los grupos. Evidente mente, en cuanto los alumnos se familiarizan con grupos de distintos Órdenes, la noción de equivalencia estructural surge de manera espontánea. Por ejemplo, al considerar las simetrías de un triángulo equilátero (transformaciones del plano que aplican el triángulo sobre si mismo), los alumnos descubren que es un grupo de orden 6. si comparan este grupo con (z6, + ) , (z~\IOI, )y el grupo de las aplicaciones del Ejemplo 1 de la sección precedente, observarán semejanzas y diferencias estructurales. Dos de los sistemas son grupos no conmutativos de orden 6, mientras que los otros dos son conmutativos. Debe observarse también el isomorfismo entre pares de estos grupos. El hecho de que si dos sistemas operacionales son isomorfos, ellos son estructuralme2 te equivalentes, debe señalarse a los alumnos en toda oportunidad que se presente, lo mismo en grupos que en anillos, cuerpos, etc. Esto es lo qué se suele hacer en muchos programas experimentales.

-

.

4. Cama3.ucciGnde n4h;temccn de ncúnemn En el álgebra tradicional se hace referencia a los sistemas de números, sin íntentar definir lo que un sistema realmente es. Ellos constituian entes nebulosos y así se operaba, por ejemplo, con los números negativos y los irracionales, sin aclarar previamente de qué se trataba. Actualmente hay una fuerte tendencia a construir, de una manera o de otra, cada uno de los sistemas de números como sistemas relacionados con una estructura algebraL ca determinada. Así, los números naturales se construyen a partir de los conjuntos y ellos constituyen un sistema de números que es un ejemplo de estructura. con las siguientes propiedades: una operación de adición que es conmutativa y asociativa; una 2 peración de multiplicación que es también conmutativa y asociativa, y las dos opera ciones referentes a la ley distributiva de la adici8n respecto de la multip1icaciÓn.A demás, la adición y la multiplicación tienen cada una elemento identidad (o elemento neutro) que son el O y el 1 respectivamente.

-

’

- 23 Antes de extender un sistema numérico de manera significativa, es importante ang lizar ejemplos y contra-ejemplos referentes a sistemas y a las propiedades de sus opg raciones. Por ejemplo, se puede preparar el camino para la extensión del concepto de número, mediante la introducci6n de algún sistema finito, como los números del reloj, entre los cuales se pueden definir operaciones y verificar las propiedades de conmutg tividad, asociatividad, existencia de identidad y de inverso. Conviene, también, dar la definición formal de una operación binaria en un conjunto. La extensión de un sistema de números puede hacerse de dos maneras, ambas derivg das de la necesidad de resolver ecuaciones del tipo "x + a = b" o bien "a x = btl, para todo par de nÚmeros a, b del sistema. La primera y más usual manera de hacerlo consiste en adjLntar nuevos elementos al sistema numérico ya existente. La segunda m z nera consiste en crear el nuevo sistema definiendo ciertas clases de equivalencia en el sistema primitivo. En este caso, se prueba que parte del nuevo sistema es isomorfo al primitivo, de manera que se trata de una verdadera "extensión" del mismo, Vamos a aclarar los dos métodos con el ejemplo de los números enteros. (a) Dentro de los números naturales, no siempre es posible resolver la ecuación x + a = b , puesto que no existe el inverso aditivo de ningún número, excepto del O. Sin embargo, usando el modelo de las traslaciones a derecha o a izquierda en la recta, o bien el modelo de las pérdidas y ganancias en un juego, se pueden introducir los ng meros enteros y sus propiedades operacionales respecto de la adición, constatando que ellas definen una estructura de grupo. Análogamente, la operación de multiplicaciónse puede extender, mediante ejemplos, a todos los números enteros, llegando así a la estructura de anillo. A partir de aquí, se entra en el estudio de las ecuaciones e inecuaciones y de las funciones entre números enteros. (b) El segundo método consiste en tomar todos los pares ordenados de números naturales (o sea el producto cartesiano N x N) y definir entre ellos la siguiente relación de equivalencia "(a, b) % (c, d) a + d = b + c". A cada clase de equiva lencia se le puede asignar el elemento representativo (a, O), (O, O) o (O, a) donde a > O. Cada clase se llama un número entero y se puede definir en ellas una relación de orden. La adición se define por "(a, b) .+ (c, d) = (a + c, b 3. d)" y la multiplics ciÓn por "(a, b) . (c, d) = (ac + bd , ad + bc)". Con estas definiciones se puede m probar que los nGmeros enteros poseen una estructura de anillo. Finalmente, se observa que en lugar de los pares de números naturales, es posible representar los números enteros en la forma más simple {...~,-3,-2,-l,0,1,2,3,.~e} y que el subconjunto lO,l, 2,3, ...E es isomorfo al conjunto de los nSmeros naturales.

El sistema de los números racionales se introduce como una extensión del de los enteros. Ello puede hacerse informalmente o formalmente como en el caso anterior de la extensión de los naturales a los enteros. En cuanto a la introducción de los nÚmeros reales R hay muchas tendencias. En la mayoría de los nuevos programas no se in tenta dar una construcción formal de los mismos. En estos programas se empieza observando que una ecuación como x2 = 2 no 'ciene soluci6n en el sistema Q de los nÚmerosr2 cionales. Esto induce a crear el número y a estudiar sus propiedades, en conexión con los extremos superior e inferior de sucesiones de números racionales que aproxi man f i p o r la izquierda y por la derecha. Finalmenee, se establecen los postulados que caracterizan el cuerpo de los números reales y se dan ejemplos al respecto. Cualquier construcción rigurosa de los números reales exige demasia-do tiempo , es demasiado abstracta y carece de interés para los alumnos, que en general no ven en ella más que un conjunto de enunciados teóricos. Por otra parte, un tratamiento riguroso (cor-

fl

-

- 24 taduras de Dedekind, sucesiones de del análisis.

Cantor), no es necesario para el estudio inicial

Un sistema muy importante, pareddo en su estructura a los sistemas de números, es el conjunto de las matrices. Las matrices tienen cada vez más aplicaciones y es por ello y por su importancia en álgebra lineal, que su estudio se ha introducido en los programas de la escuela secundaria. Hay una tendencia generalizada a usar matrices pa ra resolver sistemas de ecuaciones lineales (método de Gauss-Jordan). Se usan también como operadores que actúan sobre los puntos del plano y del espacio, representando a las transformaciones lineales (isometrías y afinidades). Las matrices 2 x 2 de la f o r ma

(b

es):-

usan también para construir un modelo de los números complejos,

Los números complejos suelen introducirse formalmente como producto cartesiano de los números reales. Esto permite la identificación de cada punto del plano R2 con un número complejo y por tanto conduce al estudio del plano complejo. La motivación para el estudio de los números complejos, es la necesidad de poder resolver las ecuaciones del tipo ax2 + bx 4- c = O con a, b, c números reales y a # O , En algunos programas de escuela secundaria los números complejos se utilizan también para introducir y estu diar las funciones trigonométricas.

-

En resumen, puede d-ecirse que existe una fuerte tendencia a desarrollar los suce sivos sistemas numéricos como realizaciones de las estructuras algebraícas fundamentg les (grupo, anillo, cuerpo) y a dar interpretaciones geométricas que ayuden a poner de manifiesto el carácter unificado de la matemática contemporánea.

5. EnRnu&wtc~ de enpac¿a vcCtatt¿cLe Los vectores en geometría, que no deben confundirse con los espacios vectoriales, han figurado desde hace tiempo en los programas de muchas esctielas secundarias y ac tualmente puede decirse que forman parte de los programas de dichas escuelas en casi todos los países del mundo. En cambio los @hpUc¿üh v ~ & V Ú d @ h y el ciegebna Rh~.C¿eson capítulos relativamente nuevos de la matemática y su descenso de la enseñanza universitaria a los programas experimentales de la enseñanza secundaria ha sido más rápido que la de cualquier otro capítulo. Sin embargo no hay todavía un acuerdo general sobre la manera de tratar estos temas. En algunos pazses se sigue un camino muy formal, mientras que en otros se prefiere un tratamiento más intuitivo. La manera formal de hacerlo consiste en enunciar de entrada los axiomas de espacio vectorial, lo que exige un conocimiento previo de los conceptos de grupo y cuerpo. A partir de los axiomas se pueden demostrar muchos teoremas y pasar al estudio, de ma nera puramente algebraica, de los conceptos de dimensión, base, generadores, depende2 cia e independencia, subespacios y aplicaciones linealese La geometría vectorial en dos y tres dimensiones, aparece entonces como simple caso particular de 1-a teoría, El otro método de llegar a los espacios vectoriales, con.siste en utilizar los c z nocimientos previos de geometría vectorial: para construir ejemplos introductorios. Usando las coordenadas afines del plano se puede desarrollar el álgebra de los puntos como pares ordenados de números, ejemplificando las vperaciones de adición y prodticto por un escalar por su representacih gráfica, tal como resulta al definir la ecuación de la recta en el plano. La traslaci6n del origen a cualquier punto del plano,

- 25 permite tomar como base cualquier par de rectas que se corten. La dependencia e independencia de los sistemas lineales de ecuaciones pueden ser interpretadas geométricamente. Es fácil también introducir una norma, una distancia y pasar al estudio del plano o del espacio euclidiano. La importancia del álgebra lineal radica en que ella permite la unificación del estudio del espacio y el estudio del álgebra, así como establecer las bases para el estudio del análisis. donde tiene también importantes aplicaciones. La unánime tendeg cia a introducir el álgebra lineal y los espacios vectoriales en la escuela secunda ria, parecería indicar que estos temas han pasado ya a formar parte definitivamente de la matemática secundaria.

6. ApficucLonQn El álgebra ha sido siempre, y sigue siendo, un pre-requisito para el estudio del análisis. Siempre ha tenido, además, importantes aplicaciones en diferentes ramas de la ciencia.. Sin embargo, actualmente están apareciendo nuevas aplicaciones que caben perfectamente en los programas de la escuela secundaria. Una de las más importanteses la referente a los problemas de programación lineal. Se trata de problemas de optimización (minimizar costos o maximizar ganancias) condicionados por ciertas inecuacio nes lineales. Un ejemplo típico consiste en determinar el número de obreros que deben emplearse en distintas fábricas para producir mercaderías de varias clases, cada una de las cuales necesita cierto número de horas de trabajo y cierto nhero de horas de funcionamiento de las máquinas elaboradoras. Suponiendo ciertas limitaciones en las cantidades de cada elemento, cada uno de los cuales tiene costos determinados, y que las mercaderías deben venderse a precios estipulados, averiguar la organización más provechosa. Este tipo de problemas, en el caso simple en que solo figuran dos varia bles y tres o más condiciones, pueden resolverse representando gráficamente en el plg no las regiones admisibles y viendo los valores Óptimos de las incógnitas, que siem pre corresponden 2 vértices de tales regiones. El procedimiento puede mejorarse usando matrices y el llamado método del "simple" para obtener la solución por medios purg mente algebraicos (S. S .M. C.1. S. , Cursos 4, 5 ver la bibliografla) . El álgebra de Boole tiene aplicaciones a problemas de circuitos e interruptores. Los grupos tienen aplicación en física. El álgebra lineal tiene muchas aplicaciones ai estadística y existen muchas aplicaciones de las estructuras algebraicas a nivel supe rior. En la escuela secundaria, las aplicaciones directas de las estructuras fuera de la matemática misma, son limitadas. En cambio, las aplicaciones de la teoría de gru pos a la geometría, para el estudio de las transformaciones geométricas, son actual mente de uso corriente. No hay duda de que en el futuro deberán intensificarse las aplicaciones de las estructuras algebraicas, dentro del nivel de conocimientos de los alumnos de la escuela secundaria.

-

CundunLGn El punto de vista actual coloca a las estructuras algebraicas en una posiciónceg tral dominante de todo el campo de la matemática. En la enseñanza secundaría, más que el desarrollo formal de estas estructuras, interesa señalar su carácter unificador de coda la matemática. Ellas sirven, no solamente para aclarar la naturaleza de los distintos sistemas numéricos y de los conjuntos de matrices, sino también para presentar

- 26

-

el concepto general de operación y sus propiedades, 10 que permite a su vez tratarmn claridad las proposiciones, funciones y aplicaciones referentes a cada una de las estructuras. En la enseñanza del álgebra moderna, el énfasis se coloca en los conceptos y propiedades, más bien que en los metodos y habilidades para su uso. Ello no signifL ca que se olvide la computación, sino Únicamente que se elimina gran parte de la calculatoria rutinaria y de poco sentido. La tendencia es enseñar el álgebra como un si& nificativo estudio de las estructuras y aquellas de sus propiedades que tienen: aplics ciones inmediatas a otros capítulos de la matemática, no solamente como una colección de herramientas para seguir estudiando más álgebra.

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CAPITULO 3

G EOMETRI A

Uno de los puntos mas deba idos durante los Últimos cincuenta años, PO matemáti cos y educadores, ha sido el contenido de los estudios geométricos en la escuela se cundaria. Muchas conferencias han tenido lugar al respecto, las cuales han conducido esencialmente a dos posiciones, a saber: los partidarios de conservar gran parte de la geometría sintética axiornática de Euclides, y los partidarios de una reestructuración total en el estudio del espacio. No existe hasta el presente acuerdo entre anbas posiciones y las experiencias que se están llevando a cabc muestran distintas tendencias. En este capítulo vamos primero a pasar revista de los diferentes criterios sobre la naturaleza misma de la geometría, para pasar luego a describir algunos de los programas que se están desarrollando.

-

1:

Introducción

Las discusiones, propuestas y reformas realizadas en la enseñanza de la geoinetda, han alcanzado un nivel en el que ya es posible hacer una Útil comparación entre las distintas tendencias, Al hacer esta comparación, no intentaremos presentar en detalle los distintos programas, sino más bien presentar un resumen de los enfoques más significativos e ilustrarlos con ejemplos seleccionados.

11, Geometría euclidiana y matemática contemporánea Las preguntas jcuál. es el lugar de la geometrLa en la matemática contemporánea? jexiste .todavía la geometría? pueden ser contestadas de la siguiente manera: "En k d

nbXwnu bounbukínZu, Ru g e o w i W u y1u exihXe múb. En Rcln new&Xu~ de CYÚXLCCL bLbR¿ogn_¿í &Licu, Lo que n e Lfiduye.bujo eL nombne. de ge.omekítcu, compnende me~lun d d 5% deL koAxZ pnUgncUncln u v Ú w ~ ~ c v t ¿ ode h &do de CLbtikdOh de L n u u ~ $ % ~ u 'neg,ih&udoh. n En m w d u , Ru pulubtru geomekttia e~ upenuh mencionudu y h h Lnuufigudona que p o M u n UCL m m e . u A X Wcinmos "ge6m&utr, evi~und ,téhrúnu pon p~vzecQne~n~uenude maa!u" (1 181, p. 20). La razón de esta ausencia formal de la geometría clásica en el mundo matemátL co contemporáneo, está claramente expresada en las siguientes frases de Bourbaki en

sus "Elementos de Historia de la Matemática":

"Se u W e que La hpun-tcLnc¿u de RCLgeomQktttu. &Lcu en eL dehatuwflu de Ru maXmcWcu e~ Lndíncu;t¿bRe. ffoy, b h embcutgo, p u h u d mukem¿ÚXco pnode&Lund, Ru rn¿nu buncepZibRQn e,bCl;tk ugoZudu, puu,to que. no exínken m¿2 pmblmuh e n , t % u W ~ c l en &u, de n e p e n c w en UZWA p c u ~ L ede ~ La m u k e m W c u " ([91 p. 142). Naturalmente que para quienes contingan investigando enlos fundamentos de la geometría, la geometría sintética de Euclides sigue siendo de valor. Por otra parte, que dan todavía algunos problemas clásicos de geometr"ia que no han sido resueltos, Pero estas investigaciones, en uno y otro caso, quedan fuera de la corriente predominante en la matemática contemporánea.

- 28 111. Lenguaje geométrico e intuición La importancia histórica de la geometrla clasica proviene del hecho de que ella ha sido una de las fuentes de las estructuras algebraicas y de la topologra, que actualmente son fundamentales en la matemática. Las razones de la omnipresencia del le2 guaje geométrico en la matemática actual se deben, sin embargo, no sólo a la tradi& histórica, sino al hecho de que el lenguaje geométrico va unido a la creación conceptual. La terminología geométrica que aparece en álgebra y en análisis muestra hasta la que punto la intuición geométrica penetra toda la matemática. ¿A qué se debe que intuición geométrica conserve su vitalidad, aún en dominios que aparentemente no tienen nada que ver con la geometrra? Evidentemente ello es debido a que la intuición geometrica puede sugerir Lo que es importante, accesible e interesante, y puede, a su vez, orientar al matemático y evitar que se pierda en un desierto de problemas,ideas y mécodos ([181 , p.209). En este sentido, sin embargo, debe quedar bien entendido que la intuición geornétrica no puede reducirse a la visión del espacio físico. La interacción entre "formalismo" y la intuición primitiva lograda a través de la visión, conduce a una intui ciÓn matemática más fina, que ha, sido llamada Lw%,Lc¿ún pmRangudu (Boulígand) o LnkLL¿c¿Gn hoíijLnadu (F. Klein). Claros ejemplos de este tipo de intuición se encuentran en las investigaciones sobre topolog'ra general o sobre la teoría de conjuntos que tuvieron lugar en la primera mitad del presente siglo. En estas investigaciones inter vienen objetos geométricos completamente nuevos, diferentes de los conocidos en la geg metrza clásica, pero sin embargo accesibles a nuestra imaginación geométrica, por ejemplo, el caso de una curva que llena el espacio. Esto hace que las fronteras entre lo intuitivo y lo no intuitivo, en matemática, sean difíciles de establecer. La topología continua ha enriquecido y ampliado nuestra intuición geometríca ([l], p.176). Por otra parte, las ideas como retracto, homotopía y grupos, a pesar de su aspecto a& gebraico, han sido creadas y desarrolladas a partir de intuiciones geométricas subyacentes. El estudio y conocimiento de la interacción entre el desarrollo formal y la moti vación geométrica, puede eliminar la confusión referente al carácter de la intuición. Cuando en matemática se hacen intervenir imágenes y estructuras espaciales, se puede hablar de intuición geométrica. Un matem'atico ha dicho que 5 & " h Ú g e n U que uwmpu ñun unu cneuc.3~.mci,temú%Lcu, A& pcvtecen m& u UM.cuudtro de PLcaho que u d¿bujoh ejec&dob rneáiunte h y L f , m Q & ü h mec¿il/t¿cudlq. En efecto, estas imágenes intervienen más bien como indicadoras de acciones posibles, que como recuerdo de objetos concretos y, además, la geometría no es su Única Euente ([44] p.52). Sin embargo, no es posiblenc gar la existencia de esta intuición matemática p t w h n g u d a o heíijLnudu. Delimitar claramente las vías que llevan de la actividad concreta de los elementos en el espacio físico a los más altos níveles de la intuición geométrica, a través de dibujos, modelos u otros simbolismos, es un problema del mayor interés pedagógico. Estas vías existen y uno de los objetivos de la enseñanza de la geometría debe ser econtrarlas, y a través de ellas prolongar y refinar las primitivas intuiciones espa ctales, de manera que lleguen a ser instrumentos efectivos para el Pensamiento matems tico .

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IV.

29

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¿Qué es la geometría euclidiana elemental?

Existen muchas definiciones de geometría euclidiana. Considerando la geometríamo un tópico que debe ser presentado en la escuela en forma axiomática, puede definirse como el estudio de cierto espacio métrico (en el sentido topológico), o como un estudio basado en axiomas afines, ampliado luego por la introducción de nuevos axiomas hasta llegar a una métrica euclidiana. Puede definirse también como el estudio de un espacio en el cual actúa un grupo de transformaciones particular, o como el estudio de un espacio cartesiano, etc. (ver la bibliografía). Todas estas definiciones y el desarrollo correspondiente, son puntos de vista dig tintos del sintético tradicional, puesto que ellos colocan a la geometría elemental en el marco de las estructuras de la matemática contemporánea [24]. Todas ellas conds cen a un concepto de la geometría completamente diferente del de la clásica geometría euclidiana sintética. La geometría moderna introduce al alumno en un campo muy extenso de nuevas ideas, le libera la imaginación y la intuición y le abre nuevas perspectivas. En este sentido, puede decirse que la topología y las transformaciones revitalizan el papel de la geometría en la educación, haciéndola comparable con el álgebra ([291 , p.480). En consecuencia, la enseñanza moderna de la matemática no debe eliminar a la geg metría, puesto que los nuevos puntos de vista la hacen más rica que antes. El grito fuera "abajo Euclides" se refiere Únicamente a la presentación clásica, actualmente de moda. La geometría ha pasado a tener un sentido mucho más amplio que el simple estudio del espacio euclidiano. Existen otros espacios importantes. Este punto de vista puede aclararse por la siguiente descripción de uno de los participantes del semína rio de Royaumont (el profesor A. Revuz):

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A la pregunta ¿tiene sentido en el día de hoy considerar que existe una parte in dependiente de la matemática que se llama geometría? La respuesta es: CUmO YMU&YYI&~

co yo covLt-eclko dezj.¿vL¿t¿vurnervk que MO, p a u u Ru p m g u m ¿Debemas emeiim geounekttiu? YO cüaecl& QUE h x ([441 , p.18). La aparente contradicción se explica considerando tres ideas distintas: dLtuucitjn, maddo ;tean¿a. La situación es una parte de una in vestigación matemática, el modelo es un esquema matemático y ambas cosas, junto con el estudio de la estructura subyacente, conducen a la construcción de una teoría matg m'atica abstracta. Hablando de geometría, en cada momento debe definirse claramente una situación perceptible en el espacio, un modelo de esta situación y la posible teoría. Muchas teorlas matemáticas importantes tienen su origen en la abstracción de modelos geométricos; entre ellas podemos citar: álgebra lineal, espacios de Hilbert, tg pologza, teoría de la medida, teoría de grupos, teoría de reticulados, geometría direncial, geometría algebraica. Cada una de estas teorías tienen su aspecto geométrico, pero ninguna de ellas es completa en este Único aspecto. De aquí que el término "geométrico" debe aplicarse a situaciones y a modelos más bien que a teorías [441. El uso razonable de estas ideas, situaciones; modelos y teorías, con referencia a la enseñac za de la matemática en general y de la geometría en particular, evita muchas veces fusiones y discusiones estériles .

- 30 V.

Objetivos de la enseñanza de la geometria

Actualmente hay una fuerte tendencia a integrar la geometría con las estructuras de la matemática elemental, basadas en los conjuntos. De aquí que los objetivos generales de la enseñanza de la matemática, sean también objetivos de la enseñanza de la geometría. A este nivel, la enseñanza de los objetos que estudia la geometría no difiere, desde el punto de vista de su estructura matemática, de la enseñanza de los objetos que estudia el resto de la matemática elemental. Así, la geometría, igualmente que toda la matemática, estudia conjuntos, transformaciones, grupos, relaciones de 02 den y de equivalencia, etc. La manera de razonar en geometría elemental, no difiere tampoco, desde el punto de vista formal, de la manera de razonar en otros capítulosde la matemática. Sin embargo hay ciertas particularidades y factores psicológicos en el tratamien to geométrico de las estructuras matemáticas, que conducen a distinguir objetivos especiales de la enseñanza de la geometría. Entre ellos podemos señalar los siguientes:

A. SÁLnpRe mu;temcLt¿zuc¿6n deL enpucio &iXco y upUcao¿onen dirreckun de &u La geometría euclidiana elemental se fue desarrollando junto con la organización las conceptual del espacio físico. Esta organización R ü C d sigue siendo válida para actividades diarias del hombre. Durante toda su vida el alumno se encontrará con obje tos concretos, relaciones concretas y transformaciones concretas, que pueden ser representadas esquemáticamente como objetos geométricos, relaciones geométricas y tranz formaciones geométricas. El alumno debe ser capaz de esquematizar geométricamente las situaciones reales. Muchas otras disciplinas, que se estudian en la escuela secundaria en muchos paz ses (física, astronomía, geografía, tecnología), precisan y aplican directamente muchos conceptos geométricos. En algunos países figura la "geometría descriptiva" como parte de la enseñanza técnica, la cual no es tratada, sin embargo, como "objeto técn2 co", si no como una directa y pura aplicación de teoremas geomgtricos. Un objetivo ig portante de la enseñanza de la geometría es la preparación para ciertas aplicaciones prácticas. Entre la posición que enfatiza este objetivo práctico y la que desea reducir la enseñanza de la geometría a un estricto desarrollo matemático, hay posiciones intermedias. La solución consiste en no limitar las aplicaciones a las propias del aL quitecto o del artesano, sino prestar atención al estudio de problemas derivados de situaciones mecánicas y cinemáticas concretas, que pueden ser matematizadas, dando 1 2 gar a deducciones locales y a una verdadera actividad matemática.

Es evidente que el espacio físico no puede ni debe ser la Única fuente para des2 rrollar el proceso matemático en el alumno, pero la importancia de esta fuente no pug de ser menospreciada. Esto no quiere decir, sin embargo, que no haya quien opine que la geometría nada tiene que ver con el mundo físico [191.

B. ldciuciún en e l eilkucl¿o de RUA eilLtuW & . ~ n h e W e nde La mGLtem¿XLcu con;tmpohÚneu y eL ne&thxrrúe&o de Ru Lv~tuLo¿Gng e o m W c a Este es un nuevo e importante objetivo de la geometrza. Durante los Últimos cien años se ha visto de manera evidente que la geometría puede servir tanto para el estudio de las estructuras algebraicas (grupos, por ejemplo) como para el estudio de la estructura topológica del espacio. En particular, el espacio afín y el espacio vecto-

- 31 rial son estructuras importantes cuya interpretación geométrica puede ayudar mucho a aclarar y entender su significado. Queda, como caso aislado, la tradicional geometría sintética, que conserva su forma a pesar del desarrollo de las estructuras modernas, por lo cual ha quedado fuera de las corrientes actuales de la matemática. La iniciación a las estructuras algebraicas y topológicas puede actualmente llevarse a cabo dentro de la geometría. La enseñanza de la geometría de acuerdo con esta perspectiva, sirve tanto para refinar la intuición del alumno, como para desarrollar en el mismo el hábito del razonamiento formal. Un importante objetivo de la geometría debe ser desarrollar el concepto y la operatoria con las estructuras algebraicas y tg pológicas, como preparación para el estudio del análisis contemporáneo e

Una cuestión todavía en debate, es si la geometría debe ser la fuente para introducir los espacios afines y vectoriales, o bien si, al revés, ella debe ser presentada como una aplicación de los mismos. Actualmente, parece que el primer camino es el más indicado. Sin embargo, siguen existiendo partidarios de la introducción directade los espacios vectoriales, a través de las siguientes etapas: (1) Grupos finítos. El grupo infinito (2, +). (2) Congruencias módulo n. Anillos y cuerpos finitos. Anillos y cuerpos infinitos (Z, + , .) y (9, + , .). (3) Ejemplos de módulos sobre anillos nitos. Ejemplos de espacios vectoriales sobre cuerpos finitos. (4) Introducción a las aplicaciones lineales. Con estos conocimientos, es posible presentar el concepto de espacio vectorial por sus axiomas y después construir sin dificultades, una bien fundamentada geometría ([221 , p. 154).

&

Todavía no hay experiencias suficientes para decidir sobre este Último método.De todas maneras lo que resulta evidente es que la geometría actual es, al mismo tiempo, una fuente y un campo de aplicaciones del álgebra lineal. Precisamente uno de los bbjetivos principales de la enseñanza de la geometría, al nivel secundario, consiste en sacar provecho y utilizar estas características.

En otros tiempos, la geometría sintética euclidiana era considerada como el Único modelo para introducir y ejercitar en la escuela secundaría, la precisión y el razonamiento lógico. Actualmente la geometría ha perdido esta posición de privilegio, e incluso sabemos que la presentación clásica no es la más conveniente para esta misión, a pesar de que subsiste la opinión general de que uno de los objetivos principales de la enseñanza de la geometría es precisamente iniciar a los alumnos en la lógica matemática. Puesto que la geometría requiere cierta disciplina de pensamiento, resulta muy adecuada para hacer entender y ejercitar el método deductivo. Por ejemplo, el alumno comprende, con ejemplos geométricos, la importancia de las definiciones para fijar el conocimiento intuitivo de los objetos, el cual casi siempre supera a las propiedades establecidas en las definiciones. El alumno empieza a comprender lo que es exactamente una deman;tttcLo¿ún, en el momento en que debe distinguir conscientemente entrelavex dad intuitiva y la obtenida por razonamiento. Si bien el estudio de las estructuras no puede sustituirse por la investigación geométrica, ellas son tal vez demasiado metodológicamente puras para poner en guardia al pensamiento sobre posibles errores. Es gracias a la particular conexión entre la intuición y la formaiización que ofrece la geometría, y no el álgebra, que la primera sigue llevando ventaja en cuanto al objetL vo de introducir a la axiomática y a la deducción.

- 32 VI.

Geometría elemental y proyectos utilizados para su enseñanza

Los objetivos de la enseñanza de la geometría que hemos mencionado, son generalmente aceptados, a pesar de que existen marcadas diferencias en la apreciación de su importancia relativa y en su interpretación. Sin embargo, la idea de utilizar el métg do geométrico para iniciar a los alumnos en las estructuras fundamentales, está prácticamente fuera de discusión. Todos los programas reformados coinciden en la importa2 cia del estudio de los espacios afines y vectoriales y en la importancia de la geometría en la construcción de estas estructuras. Aparte de esta coincidencia general, 1.0s diferentes proyectos, experiencias, pro gramas y textos, presentan posiciones diferentes acerca de los restantes objetivos de la geometría. Vamos a ilustrar estas distintas posiciones, mencionando algunos ejem plos típicos de programas y métodos de enseñanza de la geometría en la escuela secundaria, es decir, para alumnos de 12 a 18 años de edad. Esto no quiere decir que la en señanza de la geometría en la escuela elemental no tenga interés. Por lo contrario,es muy probable que al intensificarse la reforma en la enseñanza primaria, la enseñanza secundaria deberá sufrir nuevos cambios difíciles de predecir.

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A. P m b L m del ,t&a&wu 'e&

ax¿umá;t¿co

Desde el punto de vista metodológico y pedagógico, pueden mencionarse por lo menos tres posiciones básicas referentes al tratamiento axiomático de la geometría a n& ve1 secundario :

(1) Una eliminación a priori de toda construcción axiomática, cualquiera que sea el nivel de La enseñanza (siempre dentro de la escuela secundaría). (2) Una construcción axiomática desde el principio (alumnos de 12 años).

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(3) Una construcción en dos etapas: (a) Organización de experiencias y educa ciÓn de la intuición geométrica en el primer ciclo de la escuela secundaria (alumnos de 12 a 15 años de edad), con breves sistemas axiomáticos y deducciones locales. (b) Construcción axiomática de los conceptos adquiridos en el primer ciclo, profundizando y completando estos conceptos (desde la edad de 15 años en adelante).

La primera posición se justifica sobre todo por razones pedagógicas. La organizs ciÓn local de los conocimientos geométricos, sin necesidad de una construcción axiom2 tica a priori u otros requerimientos formales, puede favorecer el rápido desarrollo de muchas actividades y situaciones geométricas. Se pueden introducir muchos y variados conceptos que ayudan el estudio de la geometría, tanto del plano como del espacio. Se crean situaciones favorables a la matematización y al desarrollo del razonamiento deductivo, en cuestiones mucho más relacionadas con la vida diaria que las que puedan 5 parecer al operar con sistemas formales, en apariencia arbitrarios. La segunda posición, de introducir la axiomática desde el principio, es defendida por algunos matemáticos con argumentos diversos. El primero de ellos es que la axiomática sirve no solamente para la matemática misma, sino también para las aplica

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ciones. Una estructura axiomática, no es solamente una organización a posteriori de una teoría ya desarrollada, sino que a su vez constituye uno de los métodos más impor tantes de la actividad matemática, puesto que define y estudia nuevos modelos matemáticos [351. Por tanto, la iniciación de los alumnos en el método axiomático no debe e liminarse de ninguna etapa de la enseñanza de la matemática. Al contrario, ella debe tener lugar lo antes posible y de manera correcta [471.

- 33 En segundo lugar, se sostiene que la claridad de una situación metodológica e n m sistema deductivo es favorable al aprendizaje del razonamiento y al desarrollo de la precisión en la manera de pensar, al mismo tiempo que evita que el pensamiento se pie2 da en el inmenso desierto de probabilidades y caminos abiertos para seguir. Además,el método axiomático ayuda, más que cualquier otro, a distinguir claramente una situación fhica concreta de s u modelo y el modelo de la teoría matemática, evitando la po sibilidad de equivocación o de peligrosa confusión [47]. En tercer lugar, el tratamiento axiomático, según han demostrado experiencias r g cientes, es accesible a alumnos de 12 o 13 años de edad, si se lleva a cabo con métodos pedagógicos convenientes. En particular, conviene no introducir los axiomas de golpe y de manera arbitraria, sino dejar que los alumnos participen en su elaboración, naturalmente siempre bajo la discreta guía del profesor. Finalmente, como una razón pedagógica de hecho, hay que tener en cuenta que la presentación de la geometría a partir de un sistema axiomático formal, es más fácilpa ra el profesor medio. Con ello, es más fácil evitar errores matemáticos y pedagógicos, que con la enseñanza basada en la intuición geométrica del alumno. El método axiomátL co usado desde un principio tiene la ventaja de la continuidad, evitando posteriores cambios de puntos de vista y el aprendizaje de tópicos fragmentados, sin una Única e g tructura subyacente. Naturalmente que estas razones no están libres de crítica e incluso matemáticos que son partidarios del método axiomático al llegar a cierto nivel de la enseñanza,ob jetan su iniciación demasiado temprano. Quizás quien ha expresado mejor este punto de vista ha sido H. Freudenthal, al comparar el sistema axiomático global de la g e o m e d con la axiomática de los vectores. Dice:

"u¿objecidn u uy1 niAkemu ux¿amÚaXco g R o b d de R¿L geomeiVÚu, no a%Vi;ca pon h u compLejLdud, cumo pon h m u n m cumo h e pfie~eruk u Lo6 &umnoh, En genen& h e Reh enaeñu u unm eL nhkemu puhu hucu d e h c c i o n u mecÚrúcume&e, Ro que unu u&wLdud que e,L uu;tun honen;tawierhz nechuzu, pon. camLdehcut que no kiene vúvtgúcz w d o ~ .EL w d u n d ongurúzun p t ú w i m ,todo enenc¿cLe de un nA;teuulu ux¿am&w e~ p m eL p m p i o u&n, et m a t d d g e u m W c o que h e a7uuk de ux¿omGLt.¿zwt, deApt3nendme Ruego de RUA conex¿a neil e m ~ eR ~ eA ~ A W I U ax¿omá.ticu y dicha m C l ; t W g e u m w c o , p m V U L W Q ~ @d.me&e ü LZAUA coneuhnu CLe neg& deAncuLtLoReundo eL n,tÁ;temu.S i e l &mno no n.ecLe¿zu ;toda u u&widudeh, eL uphendizuje de un niAkmu ux¿omúXLco C C U ~ Q C ~de. h~lfL&ida. San embm que h e Ln~ktruyuu Ran &umnah d u d e . &&te p u m do, v,L&tu, heü go, en puco &ecue&e ponque eL pnO6Uoh c o m i d e h e que Ru ux¿omctZ;¿zucidn debe n u u w m e p m mcrke.m&coh ya ~atrmudoh,heu puque, trecondundo nu pmpia expdeno¿u, lo juzgue demuniudo d¿dX o¿e. En edecto, eX cLeumno que no huya enhayudo de on.guvkzcur.dgunon m c d d d e h que CLpcutecen u VLiweL L u d , no puede naba c u m uc;tuuh u un rúweL gLub&.

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La tercera posición, en la cual la enseñanza de la geometría se divide en dos c& clos, el primero de carácter intuitivo, con varios sistemas locales organizados de ma nera semi-formal, y el segundo de carácter axiomático global (a la edad de 15 años), refleja la tendencia a armonizar las dos posiciones extremas anteriores, evitando algunos de los inconvenientes señalados. Las tres posiciones se están ensayando en varias escuelas de distintos países, teniendo lugar investigaciones pedagógicas y eva luaciones que habrán de reflejar las dificultades, los éxitos o fracasos, y las reacciones de los alumnos.

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La enseñanza de la geometría a través de sistemas locales, utiliza estructuras6 ferentes que se van introduciendo paralelamente en varias etapas. En la tercera posición señalada en el párrafo precedente, el siguiente punto de vista es el sustentado la en todos los programas desarrollados de acuerdo con ella. En el primer ciclo de enseñanza secundaria, es preferible enseñar la geometría por distintos caminos, pero siempre procurando que ellos conduzcan de manera progresiva a la noción de espaciovtorial, definido axiomáticamente, con lo que empezará el ciclo superior. Los argumentos en favor del tratamiento a través del espacio afín, pueden resumirse en los siguientes [47] :

(1) La geometría afín forma un conjunto autónomo dentro de la geometría euclidig na, pero esta autonomía es difícil de percibir cuando se llega a la geometrza afín a partir del conocimiento previo de la geometría euclidiana. El concepto de grupo de i 2 variancia de una propiedad geométrica es muy importante, especialmente desde el punto de vista pedagógico, puesto que permite seleccionar el método de demostración que más se adapta al carácter de la cuestión (afín, métrico o proyectivo). (2) Como modelo matemático, la geometría afínes Útil en física, dentro de la cual hay capítulos, como la termodinámica, en los que el espacio afín es el instrumento b a sico. Muchos problemas de la física en que intervienen matrices, es conveniente consL derarlos dentro del marco de la geometría afín. (3) Desde el punto de vista pedagógico, la geometria afín puede introducirse más simplemente que la geometría métrica. Puesto que las reglas del juego son menos numerosas en geometría afín que en geometría métrica, es más fácil permanecer dentro de sus límites sin hacer, inconscientemente, deducciones basadas en la intuición flsica.

(4) La geometría afín proporciona la más lúcida construcción de la idea de espacio vectorial y el más eficiente tratamiento de los números reales. Por este método resulta claramente distinguible, de modo pedagógicamente profundo, el espacio métrico y euclidiano [471 . Estos argumentos son difíciles de refutar. La experiencia en varios países tiende a confirmar las ventajas de este tratamiento de la geometría. Sin embargo, quienes se oponen al tratamiento afín de la geometría en el primer ciclo de la enseñanza se cundaria,presentan los siguientes argumentos:

(1) La geometría afín que puede enseñarse en los primeros años de la escuela secundaria, es conceptualmente demasiado pobre para desarrollar la imaginación e intuición geométrica del alumno. Al respecto se plantea la siguiente pregunta: A las eda des del primer ciclo secundario (12 a 15 años) Les más importante la simplicidad conceptual y el acceso al razonamiento formal o el enriquecimiento del mundo de las figx ras y de las transformaciones que aparecen en la actividad geométrica de todos los dlas? ([311 , [321, [491 1.

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La noción de distancia es muy familiar a las edades de 12 a 15 años. En la geomg tría afín, sin embargo, en el momento de presentar los conceptos de transformación y sus invariantes, el alumno queda limitado a transformaciones que conservan la colineg lidad y que conservan -usando una expresión extra-matemática- la forma visual de las figuras. Desde el punto de vista psicológico, se sabe que la condición esencial para entender bien una estructura, es adquirirla a base de ejemplos y contra-ejemplos. El caráxter afín de las traslaciones, dilataciones y homotecias debe confrontarse con las transformaciones que no conservan la colinealidad, lo cual no es fácil a esa edad.

(2) En el tratamiento afín deben eliminarse muchos problemas geométricos (como los quekcluyen medida) que son interesantes y particularmente adaptados a la edad de los alumnos del.primer ciclo de enseñanza secundaria. Al llegar al ciclo superior, en que la geometría métrica debe establecerse en base a la geometría afín,puede ocurrir que los alumnos hayan perdido el interés por este tipo de problemas, de manera que toda la parte de la geometría vinculada con el concepto de medida, no encuentra lugaren la segunda enseñanza. (3) No es seguro que el alumno medio entre 12 y 15 años de edad esté en condiciones de comprender las razones por las que la geometría debe edificarse sobre la base de afín. Aún si el alumno se acostumbra posteriormente a los razonamientos a partir definiciones puramente afines, puede muy bien ocurrir que al pasar a la geometría métrica no sea capaz de entender claramente la distinción entre las propiedades de ambas geometrías. Cuando el alumno aplica los teoremas de su geometría a la física o al análisis, lo más probable es que lo haga sin pensar en los axiomas básicos de la misma, lo cual, por otra parte, tampoco es necesario en la mayoría de los casos.

(4) La noción de dín;tanc¿u es parte de los conocimientos comunes a los niños de hace 12 a 15 años de edad, por lo cual ellos tratan de usarla espontáneamente. Esto que el retraso en la introducción de la geometría métrica sea considerado por muchos profesores como opuesto a la tendencia natural del alumno, para el cual el concepto de distancia precede en mucho al de razón simple ( [121 , p.176). Vemos, pues, que los argumentos en favor y en contra tienen todos sus fundamen tos y los partidarios de una y otra tendencia tienen donde apoyarse. Sin embargo, un balance imparcial, parece indicar que actualmente predomina la tendencia de ir dando a la geometría, en la escuela secundaria, un aspecto afín desde sus comienzos.

El modelo del espacio ambiente y los dibujos correspondientes, han jugado siem pre un papelmiportante en la enseñanza de la geometría. Los modelos concretos de cada situación geométrica han sido muy utilizados por todos los profesores, que no desean separar demasiado los conceptos abstractos de la visión del espacio. Pero apar'ce de estos medios, la enseñanza moderna de la matemática dispone de técnicas nuevas para las representaciones gráficas de conjuntos y de las relaciones geométricas. Estas representaciones son usadas actualmente en casi todos los pahes, tanto en los libros de texto, como en la labor diaria de profesores y alumnos en el aula [391 , [411 . Los elementos a que nos referimos son, entre otros: (a) El uso de colores de acuerdo a determinadas convenciones: el color juega un papel importante como factor simbólico y también para dar valor estético a muchas configuraciones afines que de otro modo aparecerían monótonas y menos interesantes. (b) El uso de diferentes esquemas para representar objetos o relaciones, así como para esquematizar razonamientos. (c) El uso de convenciones gráficas (diagramas de Venn, grafos y dibujos tradicionales) que re-

- 36 cuerdan la interpretación física intuitiva de ciertas situaciones, al mismo tiempo que conservan su forma abstracta, facilitando de esta manera la conservación de estos dos aspectos de la geometría durante los razonamientos.

VII. Diferentes conceptos acerca de la enseñanza de la geometría

A. ÚnguYL¿zudGnRacGLe El método de organización local es seguido en muchas escuelas inglesas en que se enseña geometría según programas reformados, por ejemplo en las que componen el"Schoo1 Mathematics Project'l o el "Middlands Mathematical Experimental" o el "School Educational Group", entre muchas otras. La geometría es introducida por caminos diversos : transformaciones y sus invariantes, cálculo vectorial, elementos de geometría analítL ea, elementos de topología plana, estudio del espacio tridimensional, etc. Todos estos tópicos se enseñan relacionados con ejemplos prácticos (por ejemplo en d Middlands Mathematical Experiment, el cálculo vectorial se desarrolla en conexión con problemas de navegación), sin pensar en ningún momento en una posterior síntesis axiomática[63], [641. Otros ejemplos de geometría basada en deducciones locales, son las experiencias realizadas en Holanda, en diez escuelas del primer ciclo de la enseñanza secundaria. El programa de estos cursos es el siguiente: El curso empieza con un estudio, casi todo intuitivo, de figuras y transformaciones, con algunas deducciones. Poco a poco se va completando la estructura definitiva, pero sin llegar nunca a una organización global de la geometría, limitándose Únicamen te a establecer sistemas locales. Las proposiciones no evidentes se hacen depender se deducen de manera razonada a partir de otras proposiciones que se consideran evi dentes, pero sin formular estas Últimas como axiomas. Se trata de que los alumnos reconozcan propiedades de las figuras geométricas y de sus transformaciones, hasta llegar a poner de manifiesto la estructura de grupo en algunas de ellas, pero sin mencionar explícitamente la idea de grupo ([201 , p. 309).

7

El contenido de la enseñanza es extenso y variado: las transformaciones y su á1gebra, desde la simetría axial hasta el grupo de las afinidades; los sistemas de c o o ~ denadas en el plano y en el espacio; vectores con su cálculo geométrico y algebraico; la medida de Jordan en el plano y en el espacio; las funciones trigonométricas; algunas proyecciones, etc. ( [201 , p. 309-314). Otra concepción original de la manera de presentar la geometría elemental (niños entre 12 y 14 años de edad), en conexión directa con la experiencia física y con los fenómenos del espacio ambiente, se debe a Emma Castelnuovo, en Italia [101, [111. . El método es interesante y se ha experimentado en el primer ciclo de la enseñanza secundaria. Se vincula con las transformaciones afines, haciendo hincapié en la noción de baricentro y llegando, mediante el uso de instrumentos concretos, a problemas simples de programación lineal [111.

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E. O&guvL¿zuc¿Ún RacuL de Ru geome,-t;tL¿cl,e~ eR cL&a Lndeh¿un, en va% u un ;t;ttCLtu miento ux¿amWw del ÚXgebncL y de Ru georne.&úu en el c¿&o n u p e ~ L o h de Ru eF n eñunzu n ecundcuúu Un ejemplo típico de la idea de organizar la enseñanza de la geometría de manera local y sin una estructura Única en el ciclo inferior (12 a 14 años), pero ciente orientación hacia un estudio axiomático que tendrá lugar en el ciclo superior (14 a 18 años) es el proyecto S.S.M.C.I.S. (Matemática Moderna Unificada: "SchoolMath ematics Curriculum Improvement Study",Teachers' College, New Uork) llevado a cabo en los Estados Unidos. Las ideas básicas del proyecto son las siguientes:

conunaconss

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La geometría debe ser concebida como el estudio de los espacios. Toda geometría es un par (conjunto, estructura) en el cual los elementos del conjunto se llaman punh 6 y la estructura es un conjunto de axiomas, incluyendo las definiciones necesarias, que establecen relaciones entre los puntos y ciertos subconjuntos del conjunto dado. Según este concepto, la geometría se parece mucho al álgebra y a sus estructuras, y por esta razón su enseñanza debe conducirse de manera que muestre y permita ejercitar las estructuras algebraicas y sus técnicas. Este es el espzritu moderno, según el cual u muy h p o m n k e d u m o R e c u t Lu geamettt¿u de rnunuu que n u enA.~d¿UcoM;trt¿buyu u en-

kmde.h Ran i d e a dundumen2uLen deR & g e b m

y de Ron e~puc¿onf i n d a .

En el programa del S.S.IvL.C.I.S., la enseñanza de la geometría empieza con retic2 lados de puntos. Se supone que las figuras elementales, círculos, cuadrados, triángulos, y las nociones intuitivas de paralelismo y perpendicularidad son conocidas desde la escuela elemental. Se representan figuras en el plano y se tratan sus transforma ciones, empezando con una ejercitación activa a base de doblar papel, mediciones,con2 trucciones geométricas, uso de espejos ,. . Las isometrías (transformaciones que conservan las distancias) merecen especial consideración.

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Con esta base, se pasa al estudio de algunos elementos de lógica y a una intro ducción a la geometría sintética axiomática. Esta introducción consiste en una geometría afín del plano con sólo tres axiomas y algunas definiciones, con 10 cual se pueden probar hasta 16 teoremas, mencionando también algunos modelos no geométricos ' de los axiomas estudiados. Los autores del proyecto consideran que con esto los alumnos pueden darse cuenta de que todo sistema deductivo debe partir de algunos conceptospe mitivos y axiomas y que, además, un mismo sistema puede ser interpretado de distintas maneras. Por otra parte, procediendo de esta manera, resulta que se puede enseñar a los alumnos un sistema geométrico sintético completo en menos de un año, que es el tiempo usual dedicado a la geometría euclidiana en la mayoría de las escuelas secundg rías de los Estados Unidos de Norteamérica.

A partir de estos fundamentos, la geometría del S.S.M.C.I.S. se desarrolla teniendo en vista que "geometría" quiere decir estudio del espacio y que, en la escuela secundaria, los espacios vectoriales son los más importantes. De acuerdo con ello, en los cursos sucesivos se usan indistintamente los métodos de la geometría sintética,de la geometría con coordenadas o de la geometría vectorial, según resulte más convenie; te para el fin específico considerado. En muchos casos se muestran caminos diversos para estudiar el mismo problema. Por ejemplo, una vez definido el espacio vectorial, como resultado de la experiencia de los alumnos con polinomios, matrices, números coz plejos y aritmética con pares o ternas de números, se estudian los conceptos y figu ras más importantes del plano y del espacio utilizando distintas técnicas. El resulta do es que para los alumnos, la geometría es mucho más que la tradicional geometría sintética de Euclides.

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El proyecto S.S.M.C.I.S. completa el estudio de la geometría, con el de las aplL caciones lineales. Los alumnos estudian las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales con el objeto de comprender mejor estos espacios, en general, y el espacioes clidiano en particular. La idea de aplicación lineal vuelve a aparecer en varios cursos posteriores de análisis (diferencial, integral como operador, etc.), probabilidades y geometrza.

C. OnguvLizuc¿ú~. ux¿anii¿t¿cude Ru geamu7úu en QR c¿da Lnddan de Ru e~eiíunzu h QCUFld#ÚcL

ejemplo de organización axiomática de la geometría desde el comienzo de la es' cuelaUnsecundaria, ha sido elaborado por el belga Georges Papy en varios textos y pu -

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blicaciones [38], [ 4 2 ] . El mismo esquema fundamental, con algunas modificaciones, ha sido presentado también por W. Servais en varias de sus publicaciones. A pesar de que presentan algunas diferencias, las dos metodologías pueden caracterizarse por una base común que comprende los siguientes aspectos: (a) El niño de 12 años posee ya un lenguaje geométrico y un conocimiento implícito de muchas ideas geométricas que ha adquirido en la escuela primaria, posiblemente a la manera tradicional, que debe ser el punto de partida de una matematización consciente de las intuiciones geométricasal iniciar la escuela secundaria. (b) La geometría afín debe tener prioridad como base para construir la geometría métrica. (c) La geometría plana afín es apropiada parael primer año de la escuela secundaria (12 a 13 años de edad), tratada después de quelcs alumnos conocen los elementos de conjuntos y relaciones. (d) Las nociones sobre c o ~ juntos, axiomática y el método de las ciencias experimentales, son usados simultáneamente, con pequeñas diferencias metodológicas. Por ejemplo, un autor usa modelos finL tos del plano para que los alumnos tomen mejor conciencia del método axiomático, mitras que el otro rechaza, en principio, cualquier modelo no natural. (e) Los axiomas de la geometría afín se van introduciendo progresivamente dentro del esquema menciong do; las traslaciones y homotecias se definen simultáneamente de manera geométrica, comenzando con la graduación de la línea recta; se entra después, sucesivamente, en el estudio del cuerpo de los números reales, el espacio lineal de los vectores (trasla cíones) y el plano vectorial real, como el espacio lineal de los vectores con un punto fijo. La geometría métrica (distancia, producto escalar) se introduce en el tercer año de la escuela secundaria. El grupo de las isometrías y sus subgrupos se construye por extensión de la geometría afín ya desarrollada en los años anteriores. La transición de la geometría afín a la métrica se basa en ciertos axiomas referentes a perpendícularidad y simetría axial, que cambian ligeramente según los autores y programas. Los cursos de geometría en el ciclo inferior cLLevn¿nun, según Papy, con la pfiaer~&%c¿G~.de Ru Q~A;~LLLC;~LVLU del p.Euna ve&&& eu&&una y A U uhu h & i w M c o .

El tratamiento afín de la geometría que acabamos de considerar es esencialmente el inverso del tratamiento clásico. En el tratamiento afín, los alumnos van adquirído cada vez más la idea de que para "hacer geometría" basta recordar los axiomas y de finiciones referentes a los níimeros reales y los referentes a la estructura de plano vectorial a f h . La geometría estudiada antes de este enfoque puede ser considerada c~ mo pre-geometría y su objetivo es desarrollar la intuici6n y suministrar motivaciones para un mejor estudio del álgebra lineal y los espacios vectoriales. Ello es especiaL mente Útil para el estudio de las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales, funciones trigonométricas y fórmulas entre ellas, números complejos, el grupo aditivo

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de los ángulos, etc. El estudio de la geometría en la escuela secundaria termina con el estudio de los espacios vectoriales de dimensión finita, partiendo del espacio ves torial de tres dimensiones (alumnos de 16 a 18 años). Con ello, el modelo pedagógico de ect. belga intenta armonizar sus ideas con las de G. Choquet en su libro "EUU%MZCL Geamekttid y con las de J. Dieudonné en su "PRgebnct &vled y Gcarn&a e.Xemewtc&"[ 131, í 141, [151.

En los nuevos programas franceses [211, [541 , el estudio de la geometría empieza con dos años preparatorios (11 a 13 años de edad), en los cuales se hace un estudio intuitivo del plano y del espacio, así como de sus vinculaciones con el cuerpo de los números reales. La diferencia esencial entre los programas belga y francés consiste en que el primero no construye los números reales a partir de la geometría, sino que al contrario, la estructura axiom'atica de la geometría afín define, ob initio, la recta real. De esta manera se tienen de entrada las coordenadas de la recta y del plano, lo que facilita la construcción de las respectivas geometrías. En la geometría afín así construida, el álgebra lineal de los vectores y de las traslaciones se puede desarrollar en su significado geométrico. El pasaje al espacio métrico se hace mediante axig mas que definen una particular relación involutoria (ortogonalidad) entre los conjuntos de direcciones y una función de distancia vinculada con esta reiación. Se consi gue as2 un tratamiento axiomático de la geometría métrica. Al pasar al segundo ciclo de la enseñanza secundaria, lo mismo que en el programa belga, se hace el estudio del c algebra lineal y de los espacios vectoriales tomando como modelo la teoría ya desarrollada. Estos conocimientos pueden servir después para construir nuevos modelos y teorías más elaboradas.

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En la URSS los programas y textos para los alumnos de 12 años de edad, presentan la geometría en forma axiomática desde el comienzo, basándola en las nociones de distancia y línea recta, cuya estructura se define a partir del concepto de distancia [30]. La axiomática se introduce de manera que el alumno adquiera conciencia de su ng cesidad y tome activa participación en su formulación, Un sistema similar es seguido en Polonia. En el marco de la geometría así concebida, se construye el espacio lineal de los vectores y se estudia el grupo de las semejanzas y sus subgrupos, tanto en el plano como en el espacio.También se incluyen ciertos aspectos topológicos de estos eg pacios. La medida de Jordan se aplica para introducir coordenadas en el plano y en el espacio.

VIII.

Conclusión

Aunque el informe anterior no es completo, de todos modos muestra como los métodos modernos para la enseñanza de la geometría en la escuela secundaria, están toda vía sujetos a discusión y necesitan cuidadosos estudios pedagógicos e La formulación de un programa de geometría para la escuela secundaría, aceptable para la mayoría de los matemáticos, es uno de los problemas más difíciles y urgentes que presenta la pedagogía matemática actual. Sin embargo, independientemente de su organización actual, hay ciertas tendencias que se muestran ya de manera evidente. La geometría tiende cada día más a perder su tradicional aislamiento, para integrarse con el resto de la matemática; puede decirse que ha sido liberada de su camisa de fuerza que la mantenía aislada, para ser convertida en el camino ideal para pasar de la exploración del espacio, a las estructuras hayan fundamentales de la matemática. Es posible que durante esta transformación se

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perdido ciertos valores de la geometría tradicional. Hay que buscar los medios para reintegrar estos valores al mundo de la geometria moderna. En particular, muchos problemas sobre construcciones geométricas deberían ser trasladados al lenguaje matemáti co moderno y es posible que entonces, colocados bajo nuevas perspectivas, vuelvan a despertar interés. La geometría sintética euclidiana elemental, que se considera actualmente como una mina agotada para la investigación matemática, no está de ninguna manera agotada como fuente de investigaciones pedagógicas para la enseñanza de la matemática. La condición cine qua non para una correcta integración de.los actuales puntosde vista sobre la matemática y la geometría al nivel secundario, es la comprensión clara, por parte de los profesores, de los diferentes aspectos que presenta el estudio deles pacio y de los diferentes medios de que dispone la matemática actual para llevarlo a cabo, así como el reconocimiento de la importancia que ello tiene. En los planes de estudio de las carreras para los futuros profesores, no sólo se descuida intensificar estos conocimientos, sino que muchas veces se desarrollan actitudes contrarias a la moderna enseñanza de la geometría. Es por esto que se plantean serios problemas referentes al entrenamiento y actualización de profesores.

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CAPITULO 4 PROBAB1LIDAD Y ESTADISTL CA

A tra.vés de los años, la matemática ha sido siempre considerada como una ciencia exacta, que da siempre soluciones exactas y precisas a sus problemas. En general, has ta hace unos 200 años, las situaciones comúnmente consideradas por la matemática, dependzan de dos o tres variables y se podían resolver de manera exacta. Repentinamente, en el siglo XIX, se encontró la manera de operar con un gran número de varíables, que se presentaban en forma desorganizada desde el punto de vista matemático, pero que se consiguió ordenar y manejar, dando lugar a lo que se llamó la teoría de la estadística. Actualmente, ya en el siglo XX, con la aparición de nuevos métodos para operarcon grandes números de variables de manera organizada, en especial con la aparición &las computadoras, se ha entrado en una nueva era, en la cual, aún con datos incompletos, se puede llegar a conclusiones y tomar decisiones aproximadas con cierto margen de error. El mgtodo se basa en la teoría de las probabilidades y de la estadística matemática. En este capítulo, vamos a considerar alguno de estos mgtodos, mostrando como ellos, por su importancia, deben formar parte del conjunto de conocimientos que debe poseer toda persona integrante de la sociedad moderna, con uDa educación de nivel medio.

1.

Introducción

El número de aplicaciones de la probabilidad y en particular de la estadísticatemática ha crecido considerablemente en el Gltimo cuarto de siglo. Estas aplicacio nes se encuentran en la industria (control de calidad), en el comercio, en la agricuL tura (experimentos sobre cosechas), en meteorología (predicción del tiempo), en política (predicción de resultados electorales), economía, etc. Además, los métodos proba bilísticos y modelos estadísticos se utilizan cada vez más en todas las ciencias, taz to físicas como sociales.

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En la enseñanza de las ciencias, no basta desarrollar el pensamiento determinispreside los fenómenos de la herencia, los procesos radiactivos y distingue la astronomía actual. de la clásica. En la vida diaria aparecen multitud de situaciones en que inter viene el azar (problemas de tráfico, contagio de enfermedades) y la misma lectura de los diarios y revistas requiere un mínimo de conocimientos sobre probabilidades y estadística para su correcta interpretación. Grafos , his togramas, porcentajes y tasas,a parecen continuamente en los más diversos dominios (seguros, impuestos, accidentes de automotores, movimientos demográficos, variaciones en los precios,...). Las encuestas, por ejemplo, en especial las referentes a los resultados de elecciones, despiertan el los mayor interés del pÚblico, sin que en general se tenga conocimiento preciso de métodos para hacerlas correctamente. ta. Hay que desarrollar en los alumnos la manera de pensar probabilista, que

En las pequeñas decisiones de la vida diaria, muchas veces somos guiados por razones estadísticas, aún sin darnos cuenta de ello. Por ejemplo, si tenemos la costumbre de ir todos los días al trabajo en ómnibus, sabemos bien que lo importante no es tanto la frecuencia media COR que ellos deben pasar, sino la distribución de los "intervalos de tiempo" e intuitivamente elegimos el Ómnibus particular que nos permite llegar a tiempo al trabajo con excepción, a lo sumo, de un día cada dos semanas.

- 44 Es sabido que la estadística se presta mucho a ser mal interpretada. En la prima vera de 1971 los periódicos de muchos países del mundo publicaron una informaciÓn,prg bablemente procedente de una misma fuente informativa, acerca del porcentaje de personas enfermas mentales. Se afirmó que este porcentaje era del 25 al 50 por ciento de toda la población, basándose en el hecho de que las camas de los hospitales estaban, efectivamente, ocupadas por este porcentaje de enfermos mentales. Una variante de esta historia fue la noticia de que el número de enfermos mentales era 5 veces el nÚmero de graduados universitarios, basándose en que un quinto de los enfermos mentales' hospitalizados poseían estudios universitarios. En realidad, el porcentaje de desequL librados mentales es mucho menor, probablemente inferior al uno por ciento. Podemos dar otro ejemplo ocurrido entre alumnos de quinto grado ([121 , p.98) : "Pregunté a los alumnos de una clase de 5" grado de Stuttgart si consideraban que en esa ciudad había, dentro de la edad escolar, más varones que mujeres o al revés (en Alemania no hay, en general, co-educación, de manera que se trataba de un grado de v z rones solos). Muchos de los alumnos nunca había pensado sobre la cuestión y no tenían opinión al respecto; otros creían que habían más varones que mujeres y otros opL naban 10 contrario, habiendo también quienes opinaban que había el mismo número de a= bos sexos. A continuación dije a la clase: puesto que Uds. representan una muestra de todas las familias de Stuttgart, vamos a contar cuantos varones y cuantas mujeres hay entre todas las familias. La clase tenía 27 varones y el resultado curioso dio un total de 56 varones y 27 mujeres. En otra clase de 36 varones el resultado fue de 71 v& rones y 34 mujeres. ¿Qué resultado se puede deducir de aquí? ¿Es qué habrá realmente casi el doble de varones que de mujeres entre los niños de Stuttgart? iPiensenenlas consecuencias de ello si fuera cierto: Evidentemente las muestras tomadas presenta ban un fuerte sesgo. Eran muestras,no de todas las familias, sino de aquéllas que tenían un niño de 10 años de edad". Estos ejemplos parecen apoyar la divulgada frase de que con la estadísticase pug de probar cualquier cosa. Por otra parte, según Laplace, la teoría de las probabilida des no es más que e1 sentido común sometido al cálculo. Para entender las estadlsti cas y sacar consecuencias de las mismas, no se necesita mucho más que sentido común, pero un sentido común bien educado por la teoría matemática de la probabilidad.

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Para entender y dominar estas cuestiones, es fundamental que todo ciudadano recL ba un mínimo de enseñanza sobre probabilidades y estadística. Uno de los objetivos de esta enseñanza, debe ser familiarizar al alumno con la manera de pensar adecuada para Hace sacar provecho de toda la información que se posea sobre un determinado hecho. 50 años, la probabilidad empezó a enseñarse en la escuela media, pero por sus escasas aplicaciones a ese nivel, fue luego abandonada. Actualmente hay en todo el mundo una fuerte tendencia a introducir de nuevo la enseñanza de la probabilidad y de la esta dística en la escuela secundaria e incluso de empezar con algunas nociones en la es cuela primaria.

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11.

Estadística descri pti va

Una de las maneras más importantes y más usada para iniciarse en la probabilidad, es a través de la estadística descriptiva. Se puede empezar con estadísticas ya hechas o se puede incitar a los alimnos a recolectar sus propios datos. Ejemplos: (1) Listas de tamaños y pesos; resultados de los juegos preferidos; números de hermanos y herma-

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nas. (2) Lista de los números de las patentes de un conjunto de automóviles. (3) Lig ta de resultados en juegos de azar, como dados, cartas y otros. Una vez reunidos estos datos se enseña como trata.rlos con tzcnicas especiales de estadística, introduciendo distintas representaciones (histogramas, diagramas y otros gráficos estadísticos). Se entra luego en el análisis de estos datos, mostrando loqiie puede deducirse de ellos y como pueden compararse entre sl, Para comparar distribucig nes estadísticas diferentes, ellas deben reducirse a. la misma escala, lo que se hace comúnmente calculando porcentajes. De esta manera, la estadística compaxativa y des criptiva sirve tambien como motivaciÓn para este cipo de cálculos aritméticos. También aparece de manera natural la necesidad de hacer aproximaciones y evaluaciones. Los alumnos aprenden a calcular la media aritmgtica con ejemplos atractivos, como alturas, edades, temperaturas durante un cierto período, ganancias en los juegos, etc. Otros promedios menos inmediatos y sin embargo importantes son, por ejemplo, el consg mo medio de una cierta mercadería, dados el total consumido y el numero de consumidores; la distancia media entre los coches que se encuentran dentro de una determinada distancia (dado el número de coches,)etc.

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Algunos programas introducen también el cálculo de la dispersión, noción que tiz ne una importancia fundamental en la teoría de la inferencia estadktica. Es bastante común la tendencia a confundir la medía aritmética con la moda (sucg so quemurre con mayor frecuencia), por lo que conviene mencionar la moda, precísame2 te para evitar la confusión. La moda es, efectivamente, la característica más directa y llamativa de una distribución estadística, pero en general es poco flexible para su tratamiento algorítmico. Otro error frecuente es el de confundir la media aritméti ca de todos los resultados con la media aritmética del mayor y el menor de los resultados. Es Útil hacer notar este error mediante contra-ejemplos adecuados. Otra característica de las distribuciones, más importan-ie que la moda, es 12 mediana (valor que tiene igual probabilidad de ser superado que de no cerlo), la cual tiene muchas aplicaciones en la estad'rstica de impuestos, sueldos, edades de una po blación, número de habitantes de una ciudad, duración de una carrera universitaria, etc. Estos valores: media aritmética, moda, mediana y otros que se pueden definir, se llaman en general tendencias centrales o promedios.

111. Tendencias modernas en 1 os fundamentos de 1 a probabi 1 i dad Respecto de los fundamentos de la teorza de la probabilidad, se distinguen enfoques principales, a saber :

dos

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1. A partir de la forma externa de un dado (cubo), teniendo en cuenta sus sime tr'ras y la confimza en su homogeneidad interna, podemos apostar I contra 6 que en una prueba salga el "seis''. Esto se expresa diciendo que la probabilidad de un "seis" es 116.

2. Se lanza un dado 600 veces y se constata que el número "seis" ha salido aproximadamente 100 veces. Generalizando este resultado, se concluye que la razón entre el número de veces que sale el "seis" y el número de veces que se lanza un dado es ies gual a 116, lo que se expresa también diciendo que la probabilidad de un "seis" 1/6.

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46

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La primera actitud se llama probabilidad "a priori" y la segunda probabilidad "a pos teriori" . En general, la persona que acepta jugar un juego en que intervienen los dados,no actúa de acuerdo con la probabilidad "a posteriori", que obligaría a numerosas prue bas previas al comienzo del juego, pero si después de algunas jugadas sospecha que el dado es defectuoso, realizará una serie de pruebas "a posteriori" para comprobar si el dado es correcto o no, o bien 10 analizará flsicamente. Veamos otro ejemplo, esta vez sacando bolillas de una urna que contiene 3 boli llas rojas y 2 negras del mismo tamaño. El razonamiento que hace el"a priorista" es que siendo iguales las 5 bolillas, la probabilidad de sacar cualquiera de ellas es la misma, y por tanto la probabilidad de sacar una bolilla roja será igual a 3/5, que es igual a la fracción de bolillas rojas en la urna. Esto equivale a'decir: la probabili dad es 315, puesto que hay 3 casos favorables de 5 casos posibles. El que razona según el criterio "a posteriori" dice: voy a hzcer muchas pruebas, extrayendo bolillas de la urna (devolviendo cada vez la bolilla sacada), anotando cada vez el resultado. Al cabo de muchas extracciones, constato que han salido aproxima damente 3 bolillas rojas de cada 5 y, en. consecuencia, afirmo que la probabilidad de sacar una bolilla roja es igual a 3/5. Otro ejemplo. Se lanza un dado y al mismo tiempo se saca una bolilla de la urna anterior. El que razona segGn la definición "a priori" dice que la probabilidad de sa car un llseissi y una bolilla roja, es igual al producto de las probabilidades, o sea (1/6) (3/5) = 3/30 = 1/10, puesto que el número de casos favorables es 1.3 y el número de casos posibles es 6.5 = 30 y, además,ninguno de estos casos posibles es mas probable que otro, es decir, las 30 posibilidades son igualmente probables.

-

El razonamiento "a posteriori" sería: comprendo bien que la caída del dado y la s y puesto que ya conozco extracción de la urna no tienen ninguna influencia en",e : la probabilidad de cada suceso por separado, la probabilidad de que ocurran simultá neamente será igual a su producto.

-

Otro ejemplo. Consíderemos dos dados unidos por un hilo. El razonaíniento "a prig ri" es: la operación es sospechosa, pues puede ocurrir que haya cierta dependencia eE tre los resultados de los dos dados. Por tanto, me abstengo de opinar. Razonando "a posteriori" se dice: voy a hacer muchos lanzamientos para ver qu.e pasa, Otro ejemplo. Consideremos la probabilidad de que un recién nacido sea var6n, "A priori" no se puede decir nada acerca de ello. "A posteriori" en cambio, se puedenmn sultar las estadísticas y ver el resultado que de ellas se deduce (que en este casoes el 51,6%).

Un Último ejemplo. iCuál es la probabilidad de que dos niños nacidos en el mismo instante, uno en París y otro en Lyon, sean del mismo sexo? Tanto quienes siguen el método de calcular probabilidades "a priori" como los partidarios de la definició'n "a posteriori", consultarán las estadísticas para calcular la probabilidad pedida media2 te la fórmula

-

3 (1 P 1 (3. - PL) Pp PL P donde P y PL son las probabilidades del nacimiento de un vaxón en Parls y Lyon res P pectivamente.

-

'

47

-

La diferencia entre la manera de actuar según el concepto "a priori" o "a posteriori" de la probabilidad, ¿es realmente importante? A partir de ciertas probabilida des, ambas maneras calculan nuevas probabiiidades siguiendo esencialmente el mismo método. La diferencia está Únicamente en el origen de su conocimiento acerca de las primeras probabilidades. Unos utilizan razones de simetrls, geometría o mecánica para justificar la equi-probabilidad inicial, mientras que los otros se refieren a la evidencia experimental. Hay casos, como hemos visto, en que no es posible deducir nada "a priori" y que es inevitable acudir a los resultados experlmentales. Las dos posiciones están vinculadas entre sí por la llamada ley de los grandesng meros. Consideremos nuevamente el caso de un dacio y supongamos que ia probabilidad de sacar un "seis" sea 116. Consideremos ahora el lanzamiento de un número grande (sea n) de dados (o bien el lanzamiento de un xismo dado n veces). Supongamos que los n dados (o los n lanzamientos) sean independientes entre szí.Entonces, la probabili dad de que el "seis'' haya salido x veces, se puede calcular por la fórmula

Se puede ver que esta probabilidad es m'xima para x próximo a 1116. Exactamente, se demuestra que dados E > O, q > O, para n suficientemente grande, la probabilidad de que Ix-n 61 < E es por lo menos 1

- 11 .

Esto hace que el "a priorista" pueda decir al partidario de la definición "a pos teriori": si realmente la probabilidad de sacar un rrseisll es 1/6, Ud, tiene razón en esperar una frecuencia del "seis" cercana a 1/6, si hace la experiencia un número de veces suficientemente grande.

Las discusiones entre los partidarios de la probabilidad "a priori" y los de la probabilidad "a posteriori" puede considerarse que han pasado ya a la historia. Deja2 do de lado escriípulos teóricos, en la práctica, los probabilistas usan razones de simetr"7a si son necesarias para calcular probabilidades "a priori", pero al mismo 'ciemPO no desprecian las estadísticas, que muchas veces son imprescindibles. El uso indis tinto de los dos métodos se considera justificado por la ley de los grandes números.

En las Últimas dos décadas ha aparecido una nueva tendencia en la fundamentación de la probabilidad. Igual como ocurrió en geometría, en mecánica y otras ciencias, se procuró separar claramente el tratamiento matemático de 13 realidad, dando a la proba bilidad una fundamentación axiomática. Con ello, la probabilidad pasa a ser un capzt; lo de la matemática pura, puesto que se edifica a partir de un conjunto de axiomas. Más adelante veremos, sin embargo, que para poder aplicar la probabilidad axiomática, hace falta salir un poco del reducto matemático. La axiomática de la probabilidad empieza con el concepto de medida. Se define un espacio de probabilidad como una terna (E,B,p), tal que E es un conjunto; B es un c o ~ junto de subconjuntos de E, incluido el conjunto vac?.o, cerrado respecto de las opera

- 48

.-

cienes de unión, intersecci8n y complemento; p es una función definida sobre B, llamada medida de la probabilidad que satisface los siguientes axiomas:

O p(x

p(X)

<

1

u Y) = p(x)

;

p(E)

-I- p(u)

= 1 si

x nY =

mas una condición sobre límites que aquí no mencionamos. Para comparar esta definición con los ejemplos anteriores, debemos trasladarlos

al lenguaje conjuntista. En el caso de un dado, el conjunto de los sucesos es

E = {1,2,3,4,5,6,) Entonces B es el conjunto de todos los subconjuntos de E, es decir,

B = $(E) = { @ ,{lI,{2),..s,/61, (I,2\ ,..., {I,2,3,4,5,6}} y p(X) será igual a i/6, siendo i el número de elementos del conjunto X (suponiendo que el dado es correcto).

En el caso de la urna, E es el conjunto de las 5 bolillas; B está constituido p r de el conjunto vacío, más E, m'as el conjunto de las bolillas rojas, más el conjunto las bolillas negras. Nuevamente p(X) es igual al número de elementos de X divididopar el número total de elementos de E. Para el juego con el dado y la urna, el espacio de los sucesos es el producto car tesiano de los espacios de los sucesos respectivos, Para el caso de n dados, se toma el producto cartesiano de los n espacios de cada dado. Comparado con los métodos clásicos, el método axiomático tiene tres ventajas p r í ~ cipales, a saber: (1) La probabilidad se asigna de entrada, no a sucesos elementales, sino a conjuntos de sucesos, lo cual facilita la transición a las probabilidades continuas. (2) Mientras que el uso no específico de la palabra probabilidad despiertala vaga idea de una función universal, con el tratamiento axiom'atico se tiene bien definido el dominio de la probabilidad para cada espacio de probabilidad. Las diferentes funciones de probabilidad se distinguen claramente, lo mismo que sus relaciones mutuas, (3) Sí se parte de situaciones reales, la transición de las mismas al modelo mate&coy queda formulada de manera explzcíta. Un inconveniente del tratamiento axiomático es que favorece la tendencia a dejar de lado las aplicaciones: muchas veces se enuncian los problemas en términos de conjtos y axiomas, sin mostrar modelos prácticos, ni la manera de pasar de los terminos conjuntistas al lenguaje de los modelos.

El tratamiento axiomático desvincula la probabilidad de las aplicacíones prácticas. La vinculación se establece poco después mediante la llamada inferencia eseadlstica. Dado un dado al cual se aplica la teoría axiom'atica y para el cual se supone que la probabilidad del "seisttes 1/6 (lo mismo sería para otro número), se trata de hacer las experiencias necesarias para verificar si esta hipótesis es aceptable o no.

- 49 La te0rí.a dice que si la hipótesis de que la probabilidad del llseis'' es 1/6 es verdadera, el número de veces x que sale el ''seis'' en N lanzamientos debe cumplir la desigualdad

a no ser que haya ocurrido un accidente, de proba-bilidad menor que Q. Sí se cumple la desigua,ldad anterior, se afirma que la proba.bilidad de que salga el "seis" está comE, añadie,ndo sin embargo la salvedad de que tal afir prendida entre 116 -+ E y 116 lo que significa que siguiendo esta mación es cierta con una probabilidad > 1 - Q regla de inferencia., la eq.uivocaciÓn sólo es posible con una probabilidad menor que n.

-

Observemos el papel que el concepto de independencia ha jugado en todo esto. Para la teoría liapriori", la independen.cia es algo que se puede controlar, tomandocier tas precauciones (dos dados son idependientes sí ninguno puede inf1-uenciar al otro) y que, por tanto, se puede investigar experimentalmente (s5 bien en. general no se hace así). Después de la teoría axiomática, se dice que la independencia se expresa matemáticamente por el producto cartesia.no de los respectivos espacios de probabilidad. Si es preciso, se puede verificar la hipótesis de independencia de la misma manera COmo se verifica la hipótesis de una probabilidad nwngrica.

I V , El concepto primi ti vo de probabi 1 i dad Se han realizado experiencias que han mostrado que las nociones de azar y probabilidad pueden ser comprendidas por los niños. Varga [18] y otros, han comprobado relaciones entre el pensamiento lógico y el pensamiento probabilístico a edades muy tez pranas. Varga empieza con ejemplos para los cuales las respuestas i'síiio "no" no son suficientes, siendo necesario que el niño responda de manera más o menos precisa. Se tiene una urna con 2 bolillas blancas y 2 bolillas negras. Se sacan 3 bolillas y se pregunta a los alumnos sí por lo menos una de ellas es blanca: la respuesta es sl.¿Sz rán las 3 blancas?, la respuesta es no. ¿Habrá 2 bolillas blancas?: esto puede suce der. Aparece así la noción de ponLbhe¿hd, todavía en forma cualitativa, que en el f x turo se tratará de medir. Mediante otros ejemplos, se van presentando situaciones'expero tremas de casos muy probables, pero no ciertos, y de casos muy poco probables, no imposibles.

-

Según Varga [18], los niños de 8 a.ños no están en condiciones de ir más adelante para valorar cuantitativamente la probabilidad, ni mediante la observación de frecuez cias, ni por razonamiento lógico. E. Fischbein [ 4 ] ha complementado estas observaciones, afirmando que en edades mayores la noción de probabilidad surge de manera natu ral, pero siempre en forma cualitativa, siendo necesaria mucha experiencia para llegar a la precisión cuantitativa, que no aparece de manera espontánea.

-

Para llegar a la probabilidad cuantitativa, los textos suelen usar distintos medios, casi siempre los mismos: dados, monedas, cartas, ruletas, urnas, etc. En todos estos casos, por razones de simetría, la equi-probabilidad resulta natural. Otro instrumento utilizado es una especie de trompo o disco circular que puede girar alrede dor de un eje, y está dividido en sectores, de manera que los sectores congruentes se pueden considerar como equí-probables . Como ejemplo de probabilidad no fácil de deter minar "a priori" se suele mencionar el lanzamiento de una chinche, que puede caer con

-

- 50 la punta hacia arriba o inclinada, apoyando la punca en el piso. Con este objeto se puede hacer muchas experiencias que permiten, entre otras cosa.s, comprobar la I'estabL lidad estadística" de las frecuencias. Un buen ejemplo de estabilidad estadística lo constituyen las tablas de números al azar, Engel [121 utiliza estas tablas para la enseñanza de la probabilidad, simulando con ellas diversos procesos al azar. Con es tas tzblas no hacen falta dispositivos especiales como los mencionados, con la ventaja de que los resultados no est5.n sujetos a posibles "perturbaciones" en la realiza cíÓn experimental y 1 por otra parte, se pueden uti1iza.r con rapidez y comodidad.

-

Aparte de esos medios y de algunos juegos de azar usuales, se pueden dar ejemplcs naturales de sucesos aleatorios, como ser el &mero de coches que pasan por un lugar durante cierto ixiempo, el &mero de bacterias en determinado volumen, errores d.e observación, etc. La simulación permite muchas veces observar y tratar estos ejemplos naturales con mucha comodidad. Empezando con estos ejemplos primitivos, se pueden ir construyendo situaciones probabilistas mas complicadas, por ejemplo, multiplicando varios espacios de sucesos, de los cv.ales se supone expl5cita o impllcitamente su independencia. Para llegar a la enumera.ci6n de todos los casos equi-probables, teniendo en cuenta el nivel de la ense fianza, se prefieren en general los métodos graficos a los razonamientos lógicos. Por ejemplo, la sucesión de lanzamientos de una. moneda se representa por un árbol como el siguiente

ccc CCF CFC CFF

FCC FCF FFC FFF donde C indica "carc?" y F la cara opuesta, que suele llamarse "flor" (o "cruz", o "se ca") . Veamos otro ejemplo. Una urna contíene 4 bolillas numeradas con los números 1,2, 3,4 y se van sacando sucesivamente, sin reposición, anotando el número que sale cada vez y repitiendo la operación muchas veces, Se hace una tabulación de las coinciden cias, es decir, se anotan las veces que el número de una bolilla coincide con el or den de extracción (por ejemplo, si salen en el orden 1,3,2,4, se tienen dos coinciden cias, el 1 y el 4; si salen en el orden 4,3,2,1 no hay ninguna coincidencia). Es evidente que godac las permutacionec son igualmente probables y que no puede ocurrir que haya exactamente 3 coincidencias (en cuyo caso también coincidiría la restante extracción). Se puede hacer el siguiente diagrama en árbol:

-

- 51 Orden de extracción

Arbol

4-2-3

4 1 3 1 -2-4

-4-2 /,1--4 4 -

1

1-2 -2 -2-3 3-

1 -2

3-1/-

-3-

I--/. 2 - - - - - - - -

4 2

1234 1243 1324 1342 1423 1432 2134 2143 2314 234 1 2413 243 1 3 124 3142 3214 3241 3412 3421 41 2 3 4132 4213 423 1 4312 4321

3-2-4 -4-2 -3-2 -3-4 -4-3 -14 -1-3

N o de coincidencias

1

-2

1

2

2 O 1

O O 1 1

O 2 1 O

O O 1 1

2 O

o

.

N o de coincidencias

O

1

2

3

4

N o de veces'

9

8

6

0

s

Por tanto, la probabilidad de ninguna coincidencia es 9 / 2 4 , la probabilidad de una sola coincidencia es 8/24 = 113, l a probabilidad de dos coincidencias es 6/24=1/4, etc.

- 52 Para crear y estudiar distribuciones de probabilidad más complicadas, a un nivel más avanzado del cálculo de probabilidades, existe el llamado método de Monte Carlo. Vamos a dar un ejemplo del mismo dado por Engel ([121 , p.93-95).

de CLe-tCr cdkdad

PmduccLo'n de bo;t&un

Supongamos que tenemos 100 kgr de vidrio fundido y deseamos fabricar 100 botella; de un kilogramo cada una. En el vidrio fundido se sabe que hay 100 pequeñas partícu las, llamadas "piedritas", distribuidas al azar. Si una de estas piedritas va a parar en el material de una botella, la misma queda defectuosa y hay que descartarla, LCuán tas botellas buenas resultarán?

-

Para simular el problema, supongamos que el cuadrado grande de la figura que es-

tá más adelante, representa todo el vidrio fundido y que los 100 cuadraditos pequeños representan cada una de las botellas. Pasamos ahora a distribuir las 100 piedritas en el vidrio fundido usando dígitos al azar. Cada alumr,o puede simular una o dos distribuciones posibles tomando 100 pares de dígitos de su tabla de &meros al azar. Por ejemplo una distribución puede ser:

47 42 34 94 67 85 77 56 05 28

82 32 52 22 69 14 74 99 41 37

24 22 O0 58 23 35 23 50 26 78

68 38 82 75 71 61 91 05 17 07

78 70

Oi 82 74 76 44 18 37 52

06 74 31 68 99 84 94 05 45 91

33 73 18 68 16 07 49 84 22 25

70 96 57 G4 08 84 37 91 82 32

36 48 16 79 48 50 O8 91 20 18

09 96 46 81 31 62 92 94 O1 61

Esto significa que la primera piedrita cae en la celda (4,7), la segunda en celda (8,Z) y así sucesivamente, de manera que resulta:

9 8

7 6 5

4 3

2

1

O o

1

2

3

4

5

6

7

8 9

la

- 53 Tenemos a s í la siguiente distribución:

O

B

37

39

Piedras/botella Botellas

-2

3

>3

14

7

3

~

Promediando sus resultados, los alumnos llegan a vaSores a-proxirnados a los guientes teóricos:

si-

r

O

1

36.6

37.0

Pied.ra.s/botella Bo tellas

2 18.4

3 6.1

>3 1.9

El profesor puede haber previsto este resultado y ha,berlo escrito detrás del pizarrón. El método seguido es fácil y muy instructivo, Un a.ño más taxde, el a l m n o aprenderá la solución teórica

(1

-

1

100

100'

0,366

para el porcentaje de botellas buenas.

El procedimiento aproximado que se ha seguido, pertenece al llamado m.Ztodo Monte Carlo. Es un método que se estudia dentro de 1a.s probabilidades, pero que en realidad pertenece más bien a los cursos de cálculo numCrico,

O&u

pn~bRemu

En 100 días llegan a un cierto puerto 300 buques. Supongamos que estos buques no llegan con horario prefijado, sino que llegan en días al-azak, con un promedio de 3 buques por día. Se desea conocer la distribucign de las llegadas, es decir, cuántos días hay (de los 100) que no llega ningún buque, cuántos en que llega uno sólo, cuántos en que llegan dos, etc. Naturalmente, todo con una cierta probabilidad. Se comprende que el resultado es de mucha importancia práctica, por ejemplo, para saber el tiempo probable que habrá de esperar para que hayan llegado todos los buques. La llegada de los buques puede simularse mediante 300 pares de dlgitos tomados de una tabla de números al azar, por ejemplo 64 71 68 49 33 06 12 35 .... que representan días en que llegan buques (así, un buque llega el día 64, otro el día 71, otro el día 68 y así sucesivamente hasta los 300 buques; el par O0 corresponde al día 100). Procediendo como antes, se puede predecir la distribución deseada.

- 54 V.

El concepto te6rico de probabilidad

En el ciclo inferior de la enseñanza, el tratamiento de la probabilidad es sólo operacional y s en general, no se basa en la, teorza de conjuntos, Los capítulos del Proyecto de Matematicas Escolares (S,M,P, r1.31) dedicados a la probabilidad, siguen el enfoque operacional, aunque están escritos en lenguaje conjuntista, pero sin la definición axiomztica. Las definiciones adoptadas por el S,M.P. siguen la doble línea que hemos mencionado anteriormente. Asz, se dice: 11

Estamos ahora en condicíones de dar la definicign "a priori" o "clásica" de prg babilidad, a saber: si, para un determinado suceso, hay un conjunlo finito 6 de posipmbabLU pon ~LCLZOY de ~U ó,Úne.&Ú~, y si un subconjunto A bilidades, k u h LgLLGcenE&& de estas posibilidades esta asociado a un suceso A, entonces, la pitclbCibLUdclcl del sudonde y u(&) indican e1 numero de elementos de los conjun ceso A es nz(A)/n(&), tos A y fe respectivamente,

-

~(a)

La probabilidad del suceso

A

se escribe p(A)

e

El resultado de la sección 2 puede enunciarse: Si una prueba se repite un n6mero grande de veces, la frecuencia relativa de c o ~ juntos de posibilidades asociado a un suceso particular, será aproximadamente igual a la probabilidad del suceso, Puede pensarse que la referencia a posibilidades "igualmente probables" que aparece en la definición de probabilidad, constituye un cfrculo vicioso, pero en reali dad no es asf. De la misma manera como es posible decir que dos objetos son "igualme2 te masivos" sin haber definido la mcrsa, o que dos conjuntos son equivalentes sin tener idea de número cardinal, as5 también es posible saber 10 que significa que dos SE cekos son "igualmente probables" sin tener una medida de la probabilidad" e

-

Otros libros de texto introducen desde el principio, o casi desde el principio, la axiomática de los espacios de probabilidad (restringidos o no a4 caso finlto),aunque sin desdeñar los ejemplos y aplicaciones'usuales [201 .Un punto de vista extremoes el adoptado por el C.S.M.P. ([121 p,283-301) @donde la probabilidad e5 pura teorza de la medida. Algunos libros de texto dejan de lado la noción de probabilidad condiciona1,mieg tras que otros la consideran un elemento fundamental para la mejor comprensión de la probabilidad en general y, en particular, de la independencia de los sucesos. Los ejemplos siguientes pertenecen a Freudenthal [61, [L71 o

(1) La probabilidad de que un número natural < 1000 sea divisible por 5 e,s igual a 1/5, puesto que de los 1000 números dados, hay 200 que son divisibles por 5. ¿Cuál es la probabilidad de que un nfimero sea divisible por 5, cuando de antemano se sabe que es un número par? Hay 500 casos posibles, de los cua.les 1-00 son divisibles por 5; por tanto la probabilidad sigue siendo 115. (2) ¿Cuál es la probabilidad de que un &mero natural- igual o menor que 1000 sea divisible por 10, si se sabe que es divisible por 4? En este caso hay 250 números di visibles por 4, de los cuales 50 son divisibles por 10. La probabilidad de que un nÚ= mero sea divisible por 10 es 1/10? peKo ahora vemos que si se sabe de antemano que es divisible por 4, dicha probabilidad pasa a ser 1/5 jc8mo se explica esto?

- 55 Los números divisibles por 4 son todos pares. Por consiguiente, con respecto a. su divisibilidad por 10, ellos están en mejores condiciones que los números arbitra ríos. Por tanto es natural que la probabilidad cambie. Si deseamos saber si un niímero es o no es divisible por 10, la cuestión se simplifica sí sabemos de entrada que es divisible por 4 , es decir, este hecho proporc.iona información adicional. En cambio,en el caso (l), si deseamos saber si un número es divisible por 5, la información de que se trata de un número par no ayuda en nada al problema, puesto que hay tantos números divisibles por 5 entre los números pares como entre los números impares. Esto nos dice que las propiedades "divisible por 5" y "divisible por 2'' son &de mientras que las "divisible por 10" y "divisible por 4" son depefid¿e&aentre sí.

pend¿en&%,

-

En general, si A y B son dos sucesos del conjunto E y la probabilidad condicio nal P (x E A/x E B) es igual a la probabilidad incondicional p(x E A), se dice que A es independ¿enke de B. En caso contrarío se dice que A es dependiewte de B. Es decir, A es independiente de B, si y sólo si T(X

EA

n B) = P (x E A).P(~

E 13)

Esta definición se conserva aún en el caso P(x E B)

=

O

La fórmula anterior es simétrica en A y B, o sea, si.A es independiente de B,tam bién B es independiente de A y viceversa. Por esto se dice que A y B son independientes entre sí. Cuando los sucesos A y B son Tndependientes entre sí, 1a.informaciÓn de que x pertenece a uno de ellos, no dice nada acerca de su pertenencia o no al otro.

Hay varios grados de dependencia. Dos dados lanzados separadamente, darán resultados independientes. Si ellos están atados por un hilo, los resultados pueden ser d e pendientes,~la dependencia dependerá de la longitud del hilo, siendo mayor cuanto& corto sea éste. Se puede definir una medida de la dependencia, pero no vamos a entrar en ello. ¿Cuál es la probabilidad de lluvia cuando el servicio meteorológico pronostica lluvia? A cada día se le puede asignar el par "tiempo/tiempo pronosticado", enten diendo por "tiempo" Simplemente "lluvia" o ''no lluvia" y por "tiempo pronost5cado"taZ bién simplemente ''pronóstico lluvia" o "pronóstico no lluvia". Las probabilidades se pueden escribir de acuerdo con el siguiente esquema Lluvia pronosticada

-

sí

no

1

Lluvia no son p + q + r 4- s

=

1

En este esquema es p

= probabilidad del par "lluvia/pronÓstico lluvia"

- 56 Si A

=

suceso lllluvia'lp entonces

P(xEA)

Si B es el suceso "pron6stico Iluvia",entonces

A

n B:

"lluvia" y "pronÓstico lluvia",

Si A y E son independientes, debe ser q = a - a b =

a(1-b)

P(x E B)= P(X

p

=

ab

EA

=

=

p 7 q

p f r

a

=b

n ~ =)

y por consiguiente

r=b-ab=b(l-a)

y de aqul

s = 1 - p - q - r s

(1 - a)(1

- b)

con lo cual el esquema resulta a (1-b) (l-a)b

(1-a) (1-b )

Por tanto, en lluvia" es también dad del pronóstico Evident emente en este ejemplo no hay independencia. Al contrario, la existencia de los pronósticos de tiempo, se debe precisamente a la dependencia entre el tiempo real y el tiempo pronosticado. La condición ideal sería que hubiera dependencia =,tris ta, en cuyo caso el esquemz serla:

según el cual, nunca ocurre que el pronóstico sea de lluvia y no llueva, ni viceversa. Los pronosticadores del tiempo tratan de establecer la mayor dependencia posible, es decir, de reducir al mznimo la probabilidad de la segunda y tercera casilla de los esquemas anteriores. LOS programas que aspiran a un mayor nivel en el estudio de la probabilidad, incluyen los conceptos de variable aleatoria, esperanza mateaática y desviación típica (o "standard"). La mayorza de Pos textos no mencionan, o 10 hacen brevemente, el hecho fundamental de que la ley de adición de las esperanzas matemáticas vale tanto para variables independientes como para variables dependientes. A este respecto citaremos de nuevo a Freudenthal [124, quien propone, como muy ilustrativo, el juego de las coincidencias, consistente en sacar sucesivamente las bolillas numeradas de una urna de 4 bolillas y recibir como premj-o una moneda cada vez que el número de la bolilla coincide con el número de orden de la extracción. El alumno debe calcular la esperanza matemática de la cantidad recibida, haciendo para ello una lista de las 24 permutz ciones de los números {1,2,3,4} y sumar los premios correspondientes a cada permuta ción. La suma de estos premios es 24, de manera que la esperanza matemática del pre mio recibido resulta igual a 1, lo que es realmente curioso e insospechado.

-

- 57 11

¿No habrá una manera más fácil de llegar a este resultado?" Evidentemente, entre las 24 perrnutaciones, hay 6 que tienen el 1 en el primer lugar (xl = l), otras 6 que tienen el 2 en el segundo lugar (x2 = 2), otras 6 que tienen el 3 en tercer lugar (x3 = 3) y también 6 que tienen el 4 en cuarto lugar (x4 = 4), si bien estas coinci dencias no son excluyentes una de otra. Antes de este problema particular, se ha probado en clase el teorema general de que la esperanza de la suma devariables aleato rias es igual a la suma de las esperanzas: n n E(Z xi) = Z: E(xi) haciendo notar con insistencia que el mismo vale tanto para variables independientes como para variables dependientes. Pero nadie acierta a pensar que el teorema puede aplicarse al caso de las 4 variables xl, x2, x3, x4 (dependientes entre sí) que toman los valores 1,2,3,4 con igual probabilidad, ni a las variables de pago

para calcular la esperanza deseada E(yl

+ ys +

y3 + y4).

Cuando, para el problema particular considerado, yo aplico en clase el teorema general anterior, los alumnos señalan que las variables son dependientes entre sí, y al recordarles que el teorema sigue valiendo ea este caso, no tienen más remedio que aceptarlo, pero creo que en el fondo de su corazón les queda siempre cierta sospecha sobre la validez del argumento". Los programas más elevados incluyen la distribución de Poisson, la distribución normal y, a veces, la ley débil de los grandes números. En general, hay una tendencia casi unánime a limitarse a los espacios de probabilidad finitos. Sin embargo, es posL ble llegar al caso infinito mediante medios "finitos". Si el alumnoya conoce elcálcg lo infinitesimal, se pueden dar directamente los modelos infinitos. A veces, inversamente, el cálculo de probabilidades puede usarse como motivación para introducir los conceptos básicos del análisis [31 .

La distribución de Poisson y la distribución normal se presentan ambas como E m L tes de la distribución binomial. Se lanza una moneda n veces; si la Probabilidad de "cara1'es ps se pide la probabilidad de que aparezcan exactamente x caras en las n v z ces. La solución es

En el caso de la distribución de Poisson, n es grande, pero np no crece demasiado. Entonces la ley binomial se sustituye por su lzmite para n 300 y np = h constante, resu1tando hX . -h. e

X!

Esta distribución de ros'' o poco frecuentes, y de introducirse a niveles por ejemplo, el método de

Poisson se llama, a veces, la distribución para sucesos "rz puede tratarse por simulación. Tiene la ventaja de que pueinferiores de la enseñanza mediante métodos prácticos, como Monte Carlo.

- 58 de aLa distribucih normal es la. m& frecuente y es la que tiene mayor -&mero plicaciones, Su obtenci6n por paso al lfmite a partir de la ley binomial, es más dinormal Ci.1 y delicada que en el caso de la distribuci6n de Poisson. La distribuci6n puede ilustrarse mediante el a.parato de Galton. Consiste en n filas de clavos distribuidos al cresbolillo (ver la figura) de manera que una bolilla al caer y chocar con los clavos puede caer cada vez a la derecha o a la izquierda con probabilidad 312 para cada caso. Se trata, por tanto, de un modelo del proceso de lanzar n veces una moneda que puede caer cara o flor con probabilidad 112. La acumulaci6n de boli1la.s en el receptaculo que ocupa el lugar x,rg presenta la posibilidad de x caras en n pruebas y la distribuci&-ide estas bolillas representa la distribución binomial para p = 112. Antes de pasar al limite es necesario un cambio de escala, de manera que la esperanza matemática sea O y la desviación tlpica sea 1, La distribución resultante, para n g r z de, es muy cercana a la normal y para usos prgcticos puede ser sustituida por ella. Para las aplicaciones, el origen de la distribución normal como 1"imite de la binomial, tiene poca importancia, La distribución normal aparece, por ejempLo, en l a d k TribuciÓn de los errores de observación, pero su obtencih a partir de ciertas hipÓtE sic sobre la descomposición de los errores en suma de errores elementales, debe ser tratada con cuidado [SI e

VI.

Aplicaciones de la probabilidad

Una de las aplicaciones más frecuentes de la teoría de probabilidades es elcálcz lo de errores, aunque la enseñanza del mismo se deja casi siempre a los profesores de física, El ajuste por mínimos cuadrados forma parte de estas aplicaciones. Otra aplicación importante en fzsíca es la ley de La ley de la descomposición radiactiva tiene origen probabilfstico y su deducción a partir del mismo es altamente instructiva como ejemplo de razonamiento probabilista en flsica. Ya hemos señalado la importan cia de la distribución de Poisson en muchas cuestiones. Ejemplos elementales e intere santes en que se aplica la probabilidad, se encuentran en genética.

c.

Las aplicaciones de la probabilidad pueden encuadrarse en tres grandes ramas, a saber: teoría de juegos, procesos aleatorios e inferencia estadística, Para ilustrar la teoría de juegos vamos a considerar el siguiente ejemplo ( [ 6 ] ,p. 105-106).

A y B juegan de la siguj-ente manera: A escribe uno de los números 1,2,3,4,5 y B debe acertar el ncmero escrito. Si k ha escrito el número i y B lo adivina, enton ces B recibe i monedas de A. Si E no acierta, no recibe nada. Para jugar, B debe pagar una cierta puesta, pero lo que nos interesa es saber las estrategias que deben se guir A y B para sacar el m$.ximo beneficio del juego. Si A escribe muchos 5, es probable que deberá pagar también muchos premios de 5 monedas, Si A no escribe nunca el 5, cuando B se de cuenta de ello, no digira nunca el 5, limitándose a los números 1,2,3, 4 con lo cual aumentará la probabilidad de acertar. ¿C6mo deben jugar A y B? Evideg temente que uno y otro deben procurar no seguir ninguna regla que pueda ser descubier

-

- 59 ta por el oponente. Ello no es simple: se han hecho experiencias q,ueprueban que en general las personas tienen tendencia a elegir ciertos n6meros con preferencia a otros y un juga.dor avezado se da cuenta de las preferencias de su oponente. Para protegerse de esta tendencia involuntaria, uno y otro jugad.or pueden sacar SL?S niheros al azar de una urna. Pero, ¿cuál debe ser la composición de esta. urna? Se comprende que la urna de A no debe tener demasiados 5, que es el número que recibe más premio. Sean x, y las variables correspondientes a las urnas de A y E respectivamente; 2 llas son independientes, puesto que A no sabe el nÚrnero que va a elegir B, ni B el ng mero que va a escribir A. Pongamos P(x=i) = pi

, p(y=i) = qi

de modo que

La probabilidad de que A escriba i y que B elija i es igual a p.q La esperanza I i" matemática de la cantidad i que A debe pagar a B es, por tanto 2 i p.q. I I

Sobre procesos aleatoríos se podrían citar muchos ejewplos, en particular los $ mados procesos de Markow. Aquí nos limitaremos a mencionar un ejemplo; el caso gene ral puede verse en la referencia ( [61 , p.109-110). 'Vamos a considerar uno de los problemas propuestos a Pascal por el Czballero de Meré, en una correspondencia famosa que es considerada fundamental para el origen del cálculo de probabilidades.

A y E convienen en jugar una serie de partidas, cada una de las cuales es unjuego de azar en el que A y B tienen la misma probabilidad de ganar. Convienen en jugar hasta que uno de los jugadores haya ganado 5 partidas, tras lo cual se considerará que ha sido el ganador y se quedará con las puestas. Debido a circunstancias im previstas, deben suspender el juego en el momento en que el jugador A ha ganado 4 : a p tidas y el jugador E ha ganado 3, ¿cómo deben repartirse las puestas? Hubo dos criterios: uno decía que debían repartirse en la proporción 4:3 y el otro en la razón = 2:l. Pascal contestó que los dos estaban equivocados, En efecto, para (5-3):(5-4) las dos próximas partidas que no se jugaron, cabían las siguientes posibilidades

-

(gana A, gana A) ,

(gana A, gana E)

(gana B, gana A) ,

(gana .B, gana B)

En tres de estos casos, A resulta ganador del juego convenido y en uno sólo resulta ganador B. Por tanto A tiene tres posibilidades contra una de E:las puestas d% ben repetirse en la razÓn3:l. La estadlstica matemática es un gran tesoro de métodos que se aplican en multi tud de casos, desde los más simples, a los más refinados. Para dar a los alumnos una idea de la inferencia estadística, se les pueden presentar algunos ejemplos de difi cultad variable, como el siguiente, que tomamos de Engels (1 121 , p.25-26).

PüUün

pLcü;teafidü gmnun bAWI&dü6

60

-

(ejemplo de verificación de hipo'tesis)

La pregunta es: ¿reconocen los pollos al nacer, como propiedad hereditaxia, el grano que comen, o 10 aprenden a traves de la experiencia? Para decidir esta cuestión se preparan unos granos falsos, hechos de papel, unos redondos y otros triangulares, pero de igual tamaño y en igual cantidad; los redondos son lo más parecido posibleal grano verdadero. Se coloca un pollo recién nacido para que coma los granos, Cada vez que picotea un grano redondo anotamos 1 y cada vez que picotea un grano triangular anotamos O. Supongamos que se obtiene la siguiente sucesión l l l I O l l l O l y que, en este momento, el pollo deja de picotear. Hay dos hipótesis posibles para verificar: Hipótesis H ; p=1/2, o sea, un pollo recién nacido es un pollo de Laplace, toda O vía no ha aprendido que el grano es redondo. Hipótesis H1: p > 1/2, o sea, el pollo prefiere los objetos redondos, parecidos al verdadero grano, antes de haberio probado. Supongamos que sea cierLa la hipótesis HO" Según ella, Za serie de O y 1 debería contener aproximadamente el mismo número de ceros que de unos, en la mayoría de los casos en que se hiciera la experiencia. El resultado obtenido, sin embargo, no es de este tipo. Parecería, pues, a primera vista, que deberla rechazarse la hipótesis HO' Sin embargo, vamos a proceder con más cautela. Supongamos que convenimos en rechazar un la hipótesis H si ella implica que la sucesión observada y todas las que tienen O número de ceros igual o menor que ella, tienen, en conjunto, un2 probabilidad de sa lir < 5%. En nuestro caso, puesto que se han observado 10 picotazos, hay 21° = 1024 sucesiones posibles. Entre ellas, el número de las que tienen ninguno, uno o dos ceros es: ):j(

+

('y) ('2> +

=1

+ 18 + 45 = 56

Puesto que 56/1024 = 5,5%, resulta que la sucesi6n obtenida no es tan poco probable como parecía. Es decir, con los 10 picotazos observados, no podemos decidir acerca de las hipótesis HO o Hl y debemos seguir experimentando, Supongamos que observamos 20 picotazos, con el siguiente resultado l 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 aAquí, la proporción de O es mayor que en el caso anterior, de manera que la ceptación de la hipótesís Ho sería menos sorprendente. Pasemos al calculo, TeneEos ahora 220 = 1.048.576 sucesiones posibles. El número total de las que tienen 0,1,2,3, 4 o 5 ceros es

(20)+(*:) +~~]+('~)

+c:>):'(+

=1

+20 +190 + 114.0 +4845 +155134 = 21700

y 21700/1.048.576 = 2,069%. Es decir, la probabilidad de que bajo la hip6tesis Ho sal ga una sucesión con cinco o menos ceros, como la obtenida, es igual a 2,069%, Como hg mos decidido rechazar la hipótesis HO si, suponiéndola cierta, la probabilidad de una sucesión con un número de ceros igual o menor que la obtenida fuera < 5%, resulta que ahora sí que debemos rechazar la hipótesis HoQ

-

61

-

Resumen La probabilidad, a base de combinatoria, formaba parte de los programas de matemática secundaria de muchos pa.íses en los comienzos del siglo actual, Más tarde, pos&. blemente por falta de aplicaciones, desapareció de los programas, Pero en los Últimos 20 años, tanto la posibilidad de fundarmentarla probabilidad axiomáticamente y tener con ello una aplicación de la teoría de conjuntos, como el enorme crecimiento de sus aplicaciones en todas las ramas de la ciencia, han hecho que el estudio de la probabi lidad se introdujera de n.uevo en la enseñanza secundaria. Experiencias realizadas con alumnos de la esctiela primaria, prueban que las ideas fundamentales como certeza, incertidumbre, suceso, prueba y frecuencia relativa (ideas precursoras de la probabilidad) pueden ser entendidas por ellos. De aquí que estos conceptos vayan siendo introducidos en la escuela primaria. En los primeros años de la escuela secundaria, a través de experiencias y consideraciones de tipo combinatorio, las primeras ideas sobre pruebas, sucesos, espacios de las muestras y probabilidad, no hay duda de que pueden ser aprendidas y aplicadas. La culminación de este estudio es el desarrollo de los espacios de probabilidad con una, medida y el uso de las operaciones conjuntistas para demostrar teoremas simples rg ferentes a probabilidades. Al mismo tiempo, la recolección de datos estadísticos permite la iniciación a la estaciística descriptiva, introduciendo las ideas de medida de tendencias centrales (mediana, moda, media aritmética) y de dispersión (intervalo, i z tervalo intercuart?-lico,desviacio'n típica). Puesto que para muchas de las aplicaxiones de la estadíktica (distribución, muestreo, inferencia estadlstica) es necesario un profundo conocimiento de la teoría de probabilidades, en el ciclo secundario superior es común desarrollar, dentro de 10 p g sible, las ideas fundamentales de probabilidad condicional, variable aleatoria y espe ranza matemática, con sus múltiples aplicaciones. Una vez que se.ha,n estudiado los elementos del cálculo infinitesimal, se puede pasar a las probabilidades continuas, ' Si bien con esto suele terminar todo lo que se ensefía de probabilidad y estadzstica en la escuela secundaria, hay algunos países que en el Último año incluyen el estudio de las distribuciones y sus aplicaciones a la verificación de hipótesis, espe a cialmente la distribución binomial, la de Poisson y la normal. No hay duda de que medida que se vaya experimentando acerca de las posibilidades de su enseñanza, la te2 ría de las probabilidades irá constituyendo una de las partes básicas y centrales de la matemática a nivel secundario.

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62

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Bi bl iograf ?a.

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CAPITULO 5

ANALIS IS

Hace más de medio siglo que los elementos del cálculo diferencial e integral for man parte de los programas de matemática de los Gltimos años de la escuela secundaria, en muchos países. Es cierto, sin embargo, qu.e su enseñanza ha sido casi siempre en gran parte intuitiva, aceptando sin demasiado rigor las ideas necesarias sobre límites, sucesiones y convergencia. Con el advenfmiento de la topología, ha sido posible una nueva presentación del tema, al que se da axtualmente el nombre general de An.álisis. En este capítulo vamos a exponer las Últimas novedades sobre la enseñanza d e l a nálisis en las escuelas secundarias.

1. Una tendencia universal La intensidad de la enseñanza del análisis en la escuela secundaria, ha ido creciendo en muchos palses dura.nte los Últimos anos. Puede decirse que hay una tendencia universal de incrementar su estudio. Muchas circunstancias han servido para motL var este crecimiento. Una motivación, común a todos los países, es el deseo de poder contar con el mayor número posible de ciudadanos capaces de comprender y utilizar el análisis. Esto se ha dicho muchas veces. Podemos citar, como ejemplo, las siguientes frases del ruso S. L. Sobolev contenidas en un informe presentado al Congreso Internacional de Matemáticas de Niza (1970), referente a la enseñanza de la matemática en la Unión Sovi5 tica, frases que se aplican a todos los países:

"El desarrollo del progreso tecnológico y el creciente papel de la ciencia en la sociedad, han obligado a una revisión del contenido y de la metodología de la enseña2 za de la matemática (lo mismo que de otras disciplinas) en la escuela común. Muchos conceptos que eran considerados como pertenecientes a la matemática "superior" -tales como derivada, integral, ecuaciones díferenciales simples - han pasado a ser herramientas indispensables para el hombre contemporáneo, cualquiera que sea su profesión, si desea estar al día de lo que está pasando en la vida moderna". Otra motivación, igualmente sentida en todas partes, es de carácter más estricts mente matemático, y se refiere a que el análisis es un dominio crucial que se vincula con todas las estructuras fundamentales, a la vez que, inversamente, sus métodos y c g ceptos son usados en casi todas las ramas de la matemática. Debido a esto Último, 12 enseñanza del análisis tiene un gran valor cultural y h s ce pensar que tal vez el análisis habrá de ocupar en el futuro el papel fundamental, en la educación matemática, que antes se atribuía a la geometría. Si este es el caso, habrá que poner cuidado en evitar que con el tíempo, degenere de la misma manera.

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64

-

11. Métodos en el desarrollo de l a enseñanza del análisis La intensificación de la enseñanza del análisis puede llevarse a cabo por rentes medios. Veamos algunos:

dife-

1. Un método consiste en enriquecer los conocimientos que el alumno ya tiene sobre el concepto de función, estudiando por ejemplo, las funciones circulares inversas, detallando con cuidado las funciones exponencial y logarítmica y añadiendo algunas otras funciones especiales. 2. Otro medio consiste en empezar el estudio del análisis mucho antes de 10 11sual. Hay varias maneras de adelantar en varios años la enseñanza del análisis, entre las cuales podemos mencionar: (a) Familiarizar cuidadosamente a los alumnos con la práctica en el cálculo numérico aproximado, acostumbrándole a dar las soluciones en forma de intervalos a G m G b , o en forma de un valor acompañado del error estimado, Im-dl < E; (b) Mediante la introducción a la interpolación lineal, ya sea para obtener valores aproximados o para sustituir una función no completamente conocida, por una función. localmente afín; (e) Mencionando explícitamente el cuerpo de los números reales, tratando de dar una idea intuitiva de estos números y de las propiedades que permiten su uso. Se lleve o no a cabo la construcción del ci;erpo de los números reales, una condición esencial para una temprana introducción 21 análisis de manera eficiente, es la presentación precika de la lista de propiedades que caracteriza su estructura; (d) Dando mucha importancia al manipule0 con daL¿guddudeA y al concepto de V d ü t L dLb6d&u, cuestiones generalmente olvidadas en la enseñanza tradicional;(e) Prg sentando distintas definiciones de la noción de d¿4z&&c¿üL, con muchos ejemplos, que sean intüitivamente muy diferentes entre sí.

3. Un tercer aspecto, muy importante, consiste en C X ~ R ¿ CcLL¿dadüamQ&Q U~

Rün

-

CUJI

cepXa~b6,u rngdida q u ~vun nL~nduLv&.tuduc¿doa. Es muy frecuente, tal vez avalado por la tradición, querer llegar a las aplicg ciones del análisis 10 antes posible, sin preocuparse de profundizar y aclarar suficientemente los conceptos fundamentales. La presentación del anáilisis puede hacerse según dos criterios, que en su posición extrema pueden describirse como sigue: (a) Ma nipular los instrumentos básicos del análisis en un cierto número de ejemplos, pero sin poner problemas que muestren porqué estos instrumentos tienen éxito, porqilé deben usarse o porqué su aplicación está justificada; (b) Dar absoluta preferencia a la com prensión de los conceptos, dejando como cosa secundaria y de poco interés las posibles aplicaciones.

Entre estas dos posiciones extremas, hay posiciones intermedias que prueban que los objetivos (a) y (b), lejos de ser opuestos son más bien complementarios, y que la mejor manera de llevar a cabo cada uno de ellos, es tener en cuenta al otro. La tendencia (a) es un residuo del siglo XVIII, en que las ideas del análisis es taban rodeadas de una aureola de misterio que perdieron hace un siglo y medio. Efecti vamente, en fechas recientes, al reflexionar sobre la pedagogía de la ensenanza del 2 nálisis, se ha visto que no hay nada en sus ideas básicas, que sea inaccesible a los alumnos de la escuela secundarfa. Se ha comprobado que es mucho más fácil Lb6übQtr lo que es una integral y calcular algunas de ellas, que calcular un gran número de las mismas, sin haber reflexionado suficientemente sobre el significado de 10 que se está haciendo.

III

I/

65

-

Las i deas matemáti cas esenci al es

El analisis es una de las ramas de lz matematica en que el álgebra y la topologla cooperan estrechamente, Un ejemplo de ello es la continíiidad de las operaciones usuales, con los nheros reales y complejos (R y C), Este hecho fundamental, que ha sido olvidado por la enseñanza tradicional, revela inmediatamente la estructura algebraica natural del conjunto de las funciones continuas definidas sobre cualquier espa cio, con valores en R o en C.

Es esencial hacer intervenir el Zlgebra lineal en el análisis. Basta para ello recordar los mtíltiples aspectos lineales de la diferenciacib o recordar que la teorla de la integración no es mas que la teor?’a de la extensi6n de una forma lineal, o bien , finalmente recordar que todos los espacios naturales de funciones son espacios vectoriales (y a menudo álgebras) sobre R o sobre C. Utilizando el algebra lineal ex plTcitamente, se puede hacer una clara distinción entre los diferentes medios utiliza dos y enfocar la exposición con verdadera simplicidad. El Zlgebra lineal se suele iñ troducir junto con la geometría, El análisis proporciona enconces importantes aplica ciones , vinculadas con las ideas fundamentales sin necesidad de tEcnicas complicadas, aunque también es posible usar el anslisis como rnotivaci6n para el estudio del álgebra lineal. La noción topológica que interviene decididamente desde el comienzo del análisis, es la de distancia, Es una noción simple, que los alumnos manejan con gusto,Ella per mite dar enunciados precisos y , al mismo tiempo, no apartarse de la intuiciÓn,AdemásT permite seguir adelante con el estudio del análisis hasta que los alumnos llegan al concepto de convergencia, cuya definici6n precisa nociones topol6gicas I&S sutiles Por otra parte, la manera mas conveniente de expresar la convergencia uniforme, es m e diante el concepto de distancia, y es gracias a esto que tan importante conceptohapg dido ser incluido en algunos programas de enseñanza secundaria.

La mayorla de las distancias usadas en análisis derívan de una norma en un espacio vectorial (o de un valor absoluto en un cuerpo), pero no es diflcil y ciertamente ilustrativo para los alumnos presentar otros ejemplos de distancia. Finalmente la ng ci6n de distancia permite con igual facilidad el estudio de las funciones de una o va rias variables (las llamadas funciones vectoriales) as5 como las funciones de variar ble compleja.

IV. Presentaci8n el emental moderna de 1 os .conceptos fundamentales Puesto que no es posible pretender escribir aqu? un tratado elemental de análisis,vamos acontentarnos con describir brevemente los aspectos que mas se manifiestan en la enseñanza actual de sus conceptos basícos.

Hay mucha costumbre de vincular el estudio de la continuidad en un punto con el lhite de la funcio’n en el punto. Frecuentemente se estudia primero la continuidad y 9 luego, el límite de una función en un punto se define como el valor que debe asignarse a la función, para que sea continua en dicho punto. Este método puede ser motiva-

- 66 do por la necesidad de usar funciones que respondan al hecho de que, para toda ley fg cica, los valores x y f(x) pueden ser conocidos tan sólo aproximadamente. Los límites infinitosintervienen en este método, Únicamente si los elementos 4- O0y - OOhan SL do introducidos explícitamente y sus propiedades han sido claramente especificadas. Otra manera, no tan estricta como la anterior, consiste en empezar con la continuidad uniforme, que puede definirse usando el concepto de distancia, ligado íntimamente con el de continuidad. Algunos analistas opinan que la continuidad uniforme d g be presentarse antes de la noción de continuidad en un punto. Efectivamente, la continuidad uniforme es, por lo menos, tan accesible como la continuidad en un puntoyse adapta más al cálculo numérico. Vemos, pues, que hay dos razones importantes para analizar detenidamente las posibilidades y ventajas de empezar el análisis con la noción de continuidad.

Una tendencia importante para introducir la diferenclación, consiste en motivaL la por el problema de buscar una buena interpolacih lineal y una aproximación lineal de las funciones. Se llega a la definición de diferencial, buscando condiciones para la mejor aproximación lineal de una función y definiendo la diferencial como una aplL cación lineal tangente.

El estudio inicial puede llevarse a cabo con funciones reales de variable real, cuyas definiciones y muchas de sus propiedades, se extienden inmediatamente a aplicaciones de Rp en Rq. En este caso, la diferencial puede definirse correctamente y de manera general, como ia aplicación lineal cuya matriz tiene por elementos las clásicas derivadas parciales.

C. 7vLteg/rac¿ún Una tendencia importante consiste en presentar la integración desde la escuela secundaria, no como operación inversa de la derivada, sino como solución de un probls ma de medida. La presentación moderna parte del espacio vectorial E de las funciones escalera, definidas en un intervalo de R, y de la forma lineal sugerida por el uso de los rectángulos clásicos, construidos a partir del gráfico de la función escalera. Es razonable, luego, plantearse el problema de extender esta forma lineal a un espacio vectorial que contenga estrictamente a E, .lo cual puede hacerse de varias maneras.

1. Incluyendo la función entre dos funciones escalera, 10 que conduce a la integral de Ríemann. Es fácil demostrar que las fur,ciones integrables constituyen un espacio vectorial, el cual contiene a las funciones monótonas por pedazos y que la forma lineal se prolonga a este espacio conservando sus propi.edades, en especial la desi gualdad de la media. Dejando para más adelante la. demostración de que todas las funciones continuas son integrables, con 10 anterior se puede dar un tratamiento simple de todo lo necesario sobre integración a nivel secundario. 2. Si la convergencia uniforme ha sido introducida previamente, se puede completar el uso de las funciones escalera mediante límites uniformes, obteniendo así el e 2 pacio vectorial de las funciones reguladas, entre las cuales estan las funciones continuamente acotadas y otras.

-

67

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Tanto en el método 1 como en el 2 , el teorema fundamental del cálculo integral se puede demostrar para funciones continuas cuya integrabilidad haya sido demostrada.Par ticular énfasis debe darse a las dos aplicaciones del teorema, tanto para calcular ig tegrales de funciones cuya primitiva se conoce, como para calcular primitivas por medio del cálculo integral. Uno de los ejemplos más frecuentes en los cursos secundarios, es el estudio del logaritmo definido como una aplicacio'n

+ en R.

de R

V. Apl i caci ones, Ecuaciones di ferenci al es El cálculo diferencial tiene sus aplicaciones clásicas (variación de funciones, máximos, mhimos, velocidad, etc.) as? como el calculo integral tiene las suyas (5reas, volúmenes, masa, energía, momentos de inercia, etc,), todas las cuales puedenen señarse inmediatamente después de conocer la operatoria correspondiente. Sin embargo, las aplicaciones mas variadas e importantes del análisis, derivan de las ecuaciones di ferenciales y de las ecuaciones en derivadas parciales, que permiten expresar localmente y formalizar las leyes que presiden ciertos fenómenos Ellas constituyen las verdaderas aplicaciones del anáiisis y , sin embargo, mirando objetivamente las tenden cias que hemos señalado en la enseñanza actual del análisis, se observa que ningunade ellas da un tratamiento satisfactorio a estas aplicaciones e

El planteo de una ecuación diferencial que se supone explica un determinado feng meno, se obtiene muy a menudo más bien mediante artificios de aspecto milagroso, que a través de una investigación científica sistemática. También es frecuente que las ki pótesis que sirven para construir el modelo que lleva a la ecuación diferencial, no sean claramente enunciadas y la introducción de las derivadas o diferenciales, conse2 va cierto carácter mágico. Con respecto a la solución de la ecuación obtenida, se tropieza con la pobreza del conjunto de funciones de que se dispone, y también con la ignorancia de medios pa ra tratar los casos de ecuaciones no resolubles por cuadraturas. De aquí la importa2 cia del concepto de convergencia uniforme, que permite el uso de series de funciones y el proceso de aproximaciones sucesivas. '

VI. Mirando al futuro La exposición precedente muestra la existencia de muchas lagunas en la enseñanza del análisis, a pesar de la importancia que se le ha reconocido y de su progreso intrznseco. Estos dos Últimos atributos, importancia y progreso, serán de por sí insuficientes para llenar las lagunas existentes, mientras se conserve el tiempo dedicado actualmente a la enseñanza del análisis. Esperamos que se preste mayor atención, en la enseñanza secundaria, al estudio nicial de las ecuaciones diferenciales, estudio que debe comprender tanto el planteo

-

68

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de las ecuaciones, como su solución. Tal vez el progreso pueda hacerse por guientes medios:

los

si-

a> Empezando el estudio del análisis mucho ariites de 10 que se hace actualmente. Incluso se podría pensar en preparar el camino en la escuela primaria, donde por ignorancia del concepto de aproximación y por aplicación de reglas absurdas, como la rg ferente al número de cifras decimales que deben darse para e-qresar un cociente no de cima1 de enteros, se da más bien una contra-preparación al análisis. b) Entrenando a los alumnos desde el comienzo de la escuela secundaría en la solución de ecuaciones en diferencias finitas, con la eventual ayuda de calculadoras au -

temáticas. c) Desarrollando en todos los niveles la tendencia, ya iniciada en algunos palses a.1 nivel secundario, a usar calculadoras para resolver numéricamente problemas de análisis y para'mostrar correctamente la conexión entre las soluciones teórica y numg rica de estos problemas.

Resumen Aunque el material de este capítulo se refiere en su mayor parte a detalles sobre el contenido matemático, podemos sin embargo extraer de ello ciertas consideraciones pedagógicas referentes a la forma en que el análisis debe ser enseñado, a saber: A, La tendencia a enseñar análisis en la escuela secundaria es universal. Las ra zones para ello son: (1) La ínportancia de sus aplicaciones; (2) En el análisis se c%zan todas las partes de la matemática, de manera que su estudio permite relacionarlas y usarlas en sus distintos aspectos. Naturalmente que como disciplina de nivel secundario debe adaptarse pedagógicamente a la madurez de los alumnos, y por tanto su presentación no puede ser la misma que al nivel universitario. Como la matemática forma una unidad, en la enseñanza del análisis hay que aprovechar todos los cambios que las tendencias modernas hayan íntrg ducido en otros cursos, como ser: (1) el creciente interés para la enseñanza conceptual y estructural de relaciones, aplicaciones y funciones; (2) la temprana introducción de las ideas fundamentales de valor absoluto, desigualdades y propiedades de los números reales. Finalmente, la enseñanza del análisis presenta dos puntos de vista que-en cierta manera son contrarios entre sí, a saber: (1) Hay que dar aplicaciones lo antes posible; (2) Hay que AfibQfi bien lo que se está haciendo cuando se aplica y aún antes de ser aplicado. Una buena enseñanza debe tener en cuenta ambos objetivos para ser real mente eficiente.

B. Para la verdadera comprensión del análisis al nivel elemental, son necesarios ciertos pre-requisitos matemáticos esenciales, además de una buena preparación en 5.1gebra y geometría, que son los siguientes: (a) Topologla, incluyendo principalmente las ideas elementales de valor absoluto, norma, distancia, intervalos, esferas,@y, en particular, las normas usuales y distancias en Rn; (b) La contiauidad de los numeros reales y sus operaciones, así como las ideas de extremo superior e inferior; (c) Algg bra lineal para su uso en el cálculo diferencial e integral.

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69

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C. La tendencia moderna en los primeros cursos de análisis es empezar con el estudio de la continuidad, con las ldeas topológicas de los 6 entornos y su uso para definir la continuidad puntual y uniforme. A partir de aquí, es fácil desarrollar la teoría de límites sin recurrir a las sucesiones y series. Es fácil tembién pasar 1go a la derivación e integración.

-

D. La enseñanza debe culminar con el estudio cuidadoso de las ecuaciones dífereE ciales, campo muy rico en aplicaciones. A este respecto, el énfasis debe ser puesto en dos aspectos:

(a) Cómo obtener una ecuación diferencial. (b) Cómo resolverla e interpretar sus soluciones.

- 70 Bi bl i ograf Ta

Arinitage and Griffitlas,A conij~oiiiotito A.Icvd inatlieincktics. SMP series.. H.Griesel, Ui~'i,rciitiul iiiid /i~tLig~~li.cc.ltJii~ii~ 1, 11. Haiinovcr. Kenieeiy - Kurtz, Busic lwvgrortirriiitg. Mc Graw Hill. Papy , Arloii 6,Arkoii 8,AI'IOIP9, CBPM,224. AVCIILIC Albcrt - Briixelles 18. 5. - L (JIwnzicr ciisei~iiciiiiciit dc k'A itu/jisc~, Collcction Frédériq LIC.Presses Un iversitairec cic Briixcllcc ct Van den Hocck uiid Ruprcclit (Gottiiigeii). 6. 6.Bickert, Liii,fulatutigiii dic. DiflCrcvitial und Iiitcg~~brCehitiiitg.Ernst Klett Verlag, Stuttgart. 7. Progr-urmzcs de niutliérnatiques pozir les clases temziiiaics dir Sccoíid dcgré. Bulletin Officiel dc I'Edeication Nationale 1971, num6ro 25, Palas. Cornrnentairc siir ces programrnes. Biiiictiia Officicl clc I'Ecliicatioii Natioiiale - 1971.n~~iiii'ro 30.Paris. 8. D.A.Quadiiaig, Ekcmiiturj.A iiulj~sis. Classcs dc Premikre C clt Teriniiialc C. 9. Qeycaiiiae et Revuz, hluiiiicl dc> iilurli~i~iutir~iics, Natiian. I'aris. cfc l'A Ira(i.sc. Cornptc-sei?diisdc la secondc coiiférence interai O. Reviiz A., L '~~ii.~~~igi?~it?7~~11~ inericainc siir I'Enscigncinent inathhatiqiie de Lima. 1946. 1 1 . ___ ,Lesprrrnicrs pws e i i A iiulj-se.Ediicatioiial Sttidics iii Mathematics. Voluine 2,

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-

1969.

12.

- .Sur k'~.12s~~igticnzciiitde Icr co~~liiiuikk.Bullctiii de I'Association des Brofcsseurs de

1972. Edticational Stiidics iii Mathematics. 1972. i 3. SSMCIS, Uiii/icd Mod~rii /IlatlicJiriufic~s.Tcaclicrs Collegc Prcss. Columbia Uiiiversity. ('oiirsc V . 10077. I 4. J.D.Westoai anid H.J. Codwiii, So~nc~ ewcreiccs irr p r i v e y mathematics. Canibridge Uiiiversity MatliCmatiqiics. I'iiris

Prcss. 15. WilBcox. IBuck, Jacob, Baily, /iitrodz~Eior? to calcirlzrs'l aiid 2. Houghton Miffliii U.S.A.

CAPITULO 6 LOG 1 CA

Ha sido frecuente, en el pasado, decir que uno de los objetivos del estudio de este la matemática era entrenar a los alumnos en el pensamiento lógico. En general, objetivo debía cumplirse a través del estudio de la geometría sinté'cica de Euclides, que era la Única rama de la matemática que estaba axiomatizada y era apta para la enseñanza secundaria. Sin embargo, en los últimos cien años se ha conseguido la axiomatización de todas las ramas de la matemática ys al mismo tiempo, ha aparecido una rama separada, llamada lógica matemática. Si bien no existe verdadera matemática que no tenga una estructura lógica, hay sin embargo gran parte de la matemática que puede en señarse sin utilizar su estructura lógica. rigurosa, a travgs de la intuición, inducción y aplicaciones. A pesar de esto, los propósitos y el contenido de la enseñanzade la lógica, como parte de la matemárica. secundaria, ha adquirido mevos e importantes aspectos. Este capítulo expone lo que se entiende por lógica ma'cemática y algunas teE dencias acerca de su uso. c

1. Necesidad de la enseñanza de la lógica La enseñanza tradicional de la matemática no tenía como objetivo el aprendizaje de la "lógica en acción". Usaba la lógica de manera informal, como se hace, por ejemplo, en el desarrollo casi axiomático de la geometrfa sintética de Euclides, Sin embargo, pretendía ser una introducción fundamental al estudio de la lógica. Se hablaba de la demostración lógica de un teorema, dando ejemplos de tales demostraciones, que luego eran seguidas por los alumnos para demostrar ejercicios originales. La limitación del uso de la lógica a la geometría, h a d a que el análisis de las proposiciones (cálculo proposicional) quedase generalmente limitado al caso de las im plicaciones: si - entonces, en que el reconocimiento de la hipótesis es fácil. Casi siempre una bi-implicación se expresaba en forma de dos implicaciones y los dos teore mas correspondientes se demostraban como siendo el uno inverso del otro. El uso de"si y solo si" y su abreviación I'sii'', no se usaban, con excepción de algunos textos que se referían a esta relación de equivalencia como expresión de condiciones necesarias y suficientes. Esta última nomenclatura era confusa para 10s aIumnos y aún para algunos profesores que no se sentían cómodos con su uso. Relacionado con ello, también el uso del contrapositivo era muy poco frecuente.

Así, la proposición: "Si un número es mÚltiplo de 4, eniíonces es par" es equivalentea su contrapositivo "Si un número es impar (no par), entonces no es mÚ1tiplo de 4". Con frecuencia el uso del contrapositivo elimina la necesidad de una demostración por "rg ducción al absurdo", que siempre suele ser más complicada. La enseñanza tradicional de la matemática acostumbra a enunciar las proposiciones, o bien en la forma hipotética de implicación, como en el caso "Si un triángulo es isósceles, entonces los ángulos de la base son congruentes" o bien en la forma categórica equivalenre "Todos los triangulos isósceles tienen los ángulos de la base congruentes"

-

72

I-

En los casos en que esta restricci6n pre~alecZa,los alumnos pod'ian tener dificultades en comprender proposiciones enunciadas en la forma "DOS puntos distintos determinan una y una sola recta" o bien

"Todos los segmentos tienen solo un punto medio" todas las cuales incluyen la existencia y la unicidad, Análogamente, debido a que el uso de la lógica estaba limitado casi exclusivamente a la enseñanza de la geometría, la posibilidad de proposiciones singulares nunca se mencionaba. Por ejemplo "3 es una solución de la ecuación x2

-515

f 6

=

0"

y cambién II

7 es un número primo"

son proposiciones singulares. Puesto que la lógica nunca se consideraba parte de la teoría de &meros ni del álgebra, estas situaciones para investigar la naturaleza de la lógica y para motivar su estudio "per ser'peran raramente tenidas en cuenta en toda la enseñanza secundaria.

La enseñanza tradicional de la matemática nunca daba la sensación a los alumnos de que estaban desarrollando su capacidad lógica, la cual habría de servirles, más adelante, tanto para los futuros estudios en matemática, como para el análisis de 10s fenómenos de la vida diaria. Los alumnos estudiaban la geometría tal como se habla d s sarrollado en los Últimos dos mil años, como un modelo del espacio fzsico al quese ha bía dado forma axiomática, que sin ser perfecta, constituía una p&Ú?WUL introducción a la manera como se desarrollan las zeor"ras matemáticas. Mientras persista el uso de una lógica "natural" que se expresa en el lenguaje comih y está reducida al campo de la geometría, es de esperar que los alumnos y adultos encuentren dificultades en comprender las propiedades precisas de una. de&bÚCk?n , de la negación de una. proposición, del uso de la conjunción y disyunción o de la naturaleza de enunciados equivs lentes en distintos campos. Por ejemplo, en algebra, el sistema de ecuaciones en R2

(1)

2 x - y = 4 , x+3y=12 es equivalente a la conjunción 2x-y=4

y x+3y=12.

De la misma manera, la doble desigualdad 3

< 2x G 12

es equivalente a 3

< 2x

y

2x G 12

- 4)

(x 3. 3y

Por ,otra parte (2x

-y

-

12)

= o

es equivalente a la disyunción incluciva 2 x - y - 4 = 0

ci

x-f-3y-12-0

- 73

-

La inecuación (2x

- 3)

(x 3. 7)

>o

(4)

es equivalente a Ck-3 >O

y ~+7>0]

O

[2 ~ - 3 < 0 y x+7 3/2

O

x

< -7.

Si, en el plano cartesiano, se dibujan las rectas cuyas ecuaciones son 2 x - y - 4 = 0 ,

x+3y-12=0

el sistema (1) corresponde a su intersección y

la ecuación (3) a su unión.

La implicaci6n entre proposiciones (o entre propiedades) sí p

entonces

q

se utiliza en la enseñanza tradicional Únicamente cuando p es verdadera (excepto, tal vez, en el caso en que los alumnos afirman que ia implicación es falsa solamente cuando p es falsa). Esta confusa situación se encuentra lamentablemente en librosde texto ( É 3 1 [41). Observemos tambign que la

Lnfjmendu,tan frecuentemente usada, de que las pre-

mis as

sí p '

entonces

q , p

permiten concluir

q , no se suele relacionar claramente con la h p & L c ~ o ¿ á ~ si p entonces q a

Ii. Lógica para maestros

L

Para remediar la situación expuesta, es indispensable que los maestros tengan deas claras sobre las nociones precedentes, para que puedan enseñarlas a los alumnos y hacer que éstos las utilicen.

Es recomendable, además, que los maestros puedan guiar a los alumnos, de manera progresiva, en la comprensión de las nociones referentes a conjuntos, relacionesy fug ciones, que también forman parte de la fundamentación lógica de.la matemática. A este respecto debemos señalar que algunas de las características de la enseñanza moderna de la matemática son: (1) el uso abundante de dichas ideas; (2) el uso de diagramas y gráficos, como una manera intuitiva de representar conjuntos; (3) usar notacionesque permitan expresar los conceptos de manera exacta y abreviada [5 1. Mediante el uso de material simbólico y figurativo, que sirve como soporte y v s hlculo de los conceptos, los alumnos se familiarizan muy pronto con las relaciones 1 6 gicas fundamentales de equivalencia y orden. De esta manera, las ideas se adquierenen forma ta.1, que luego pueden ser usadas con soltura en todas las situaciones de la matemática en que aparecen. Para que los maestros puedan enseñar dicho material con efectividad, deben poseer un conocimiento de las estructuras lógicas más profundo y más global de como e-

-

74

-

110s las enseñan., Estas estruct1J.ra.s deben servir para crear y definir los conceptos que sirven para explicar la particíh de conjuntos, la formacih de pares y ternas y la libre anexión de elementos, Por abstracciGn, estos conocimientos se usan para decir una estructura de un conjunto de ejemplos particulares que :La realizan, y para d E finirla mediante un sistema de axiomas. El maestro debe mostrar diferentes modelos de una determinada estructura,así como diferentes realizaciones de la misma, debiendo hacer notar la equivalencia entre modelos isomorfos. Finalmente, la nocl6n de sistema operacional y de algoritmo debe vincularse con varias maquinas maternaticas, su estructura lógica y su idioma. De esta manera se incorpora a la enseñanza moderna una corriente nueva y revolucionaria, como ser el USO de la lo'gica en La matemgtica aplicada, corriente que está destinada a foL mar parte de los curricula de escuela secundaria, tanto por su valor cultural, como por su valor práctico dentro de la educaci6n general. Todas estas consideraciones son importantes para promover la matérnatica como inz trumento racional y también corno disciplina autenoma M& adelante volveremos sobre este punto. Aunque la matemática es el campo mgs extenso y seguro para aplicar la lc'gica,no es el Único, a no ser que se considere que todo razonamiento 16gico es matemgtica.De2 de la primera infancia, muchas de nuestras acciones, en particular las referentes a nuestras relaciones con el Ciempo y el espacio, poseen una 10g:ica interna. que regulay limita sus posibilidades lógicas. Por ejemplo, cuando uno se viste, se pone primero las medias y luego los zapatos, Hay muchos problemas l6gicos que presiden las actividades de los niños, principalmente con referencia al orde-rr, El mundo de los juegos está lleno de ejemplos: el orden en colocar cajas una dentro de otra., y en resolver rompecabezas; posibilidades lógicas en los interruptores de trenes el&t-ricos o en el diseno de circuitos; ectrategias en los juegos de ajedrez, cartas, escondite y otros mrichos. Citamos Chicamente juegos clásicos, pero modernamente han salido otros muchos en que la 16gica es la base de los razonamientos y ejeicéchoc intelectuales necesarios para los mismos,

Numerosas actividades, de las mas simples a. las más complicadas, tienen a la 16 gica como soporte principal, Basta pensar en el problema. de programar las situaciones que resuelve cada ama de casa mientras cocina o cose, o pensar cobre la cantidad de razonamientos por el absurdo q-ue resuelve un mecánico o un electricista cuando trata de descubrir el lugar de un desperfecto mediante ensayos adecuados.

-

Es bien sabido q.ue el lenguaje comGn, cualquiera que sea, plantea siempre pro blemas lógicos referentes a la sintaxis y a la semántica. La introducci6n de un lenfreguaje lógico rnás o menos formalizado tiene por objeto, entre otros, evitar los cuentes errores o ambigüedades. Sin. embargo, tanto el niño como el adulto, casi siempre hablan el idioma de la vida diaria y es en este idioma que expresan, mejor o peor, su lógica. Una cuestión importante respecto de la comuízicaciGn, es la referente al uso de constantes y variables. En el lenguaje comik, es frecuente que las variables estén escondidas. La frase simple "esta lloviendo", es una proposici&? En los avisos hechos por radio se suele oír: "Par%, 6 horas, 30 min.utos; esta. lloviendo". En la frase "e5 tá lloviendo" se sobrentiende que hay dos variables, una. de lugar y otra de tiempo. Cuando pronunciamos la m i m a frase en una situacj.6n real, las dos variables toman el valor del lugar y la hora en que estamos hablando,

- 75 Los pronombres person.ales son también variables Si muchas personas enuncian la misma frase ''yo hablo", se trata de tantas proposiciones como personas, puesto que'yo'' es un.a varia,ble que toma el valor de cada persona.

Los nombres propios ¿son siempre constantes? Comparemos, por ejemplo, las dos frases "Carlos es hermano de "Carlos V es hermano d.e María de Hungrla''. En el segundo caso se trata de una proposición con constantes individuales, mientras p e el primer ejemplo, si se considera sin el contexto de personas reales que se llamen "CaL los" y "María", estos nombres pueden ser variables para personas de uno y otro sexo.

Los nombres comunes ¿son variables? Depende del artículo que les precede. "Una cucaracha" es una variable cuyo dominio es la clase (especie) de las Cucarachas. Para designar la especie se diría "la cucaracha'' y en'este caso se trataría de una constan te, que denota una especie (una clase). Finalmente, en la frase ''la cucaracha camina sobre la mesa", la cucaracha es una constante, que designa una cucaracha particular, bien determinada por el contexto. Lo mismo ocurre cuando se nombra con la ayuda de un demostrativo, por ejemplo, "esta cucaracha''e El cu.a.ntifica-dor universal Para todo

V X

x :

Para todo x perteneciente a E : v x E E (1) q,ue se escribe también íf. , x m respectivamente, y el cuantificador existencia1 Para algún x : (existe por 10 menos un

x

3X tal que)

(2) Para algún x perteneciente a E : 3 x E E ---J que S E escribe también 5 , x E E (existe por lo menos un x de E tal que),son muy convenientes y de mucha utilidad en ma,temática, su estructura simbólica es de uso común. La comprensión de conceptos importantes, como el de continuidad de una función en un punto, o sobre un conjunto, o la noción más delicada de continuidad uniforme,e_s tá muy relacionada con el orden de los cuantificadores que actúan sobre las variables.

En el lenguaje diario, los cuantificadores se expresan de muchas maneras, y el dominio de las variables a los que están unidos queda muchas veces poco preciso. Por ejemplo, al decir "los almacenes están abiertos los domingos", queda la duda de si e 2 tarán o no abiertos durante los días de semana. Es probable que se quiera decir "los almacenes están abiertos incluso los domingos". La frase ''el ascensor para en los pisos pares", puede tener dos significados: que el ascensor pare Únicamente en los pisos pares, o bien que "también" para en los pisos pares. La frase "un nijTo estudioso trabaja", puede significar, de acuerdo con el contexto de referencia, que "todos los niños que son estudiosos trabajan", o bien que "algún niño que es estudioso, trabaja". Con la negación, la cuestión de los cuantificadores se hace más complicada. Bag ta preguntar a varias personas el significado de la frase "En nuestra escuela, todos los alumnos de la división 6A no lograron resolver el ejercicio 4", para comprobarque para algunos es equivalente a "En nuestra escuela, ninguno de los alumnos de la divísiÓn 6A logró resolver el ejercicio 4", como en (1), mientras que para otras personas la frase equivale a la negación lógica "En nuestra escuela, no todos los alumnos de la división 6A lograron resolver el ejercicio 4". Esta negación podría haberse expresado mediante la frase "En nuestra escuela, los alumnos de la división 6A, no todoslo graron resolver el ejercicio 4", como en (2).

- 76 La notación simbólica y la representación mediante diagramas, permite la clara distinción entre las dos interpretaciones. Si designamos por E al conjunto de alum nos de la escuela, por C los de la división 6A y por R el conjunto de los alun= nos que resolvieron el ejercicio 4, tenemos, para la primera interpretación,

-

I

donde la parte rayada significa que C tiene

nR

es vaclo. Para la segunda interpretación se

donde el punto indica que por lo menos un alumno de

C

no pertenece a R.

La importante cuestión del orden de los cuantificadores, puede ser aclarada tam bien mediante la notación simbólica. En el lenguaje diario, la frase "Hay h&WlpJle una persona presente en la oficina" puede pzrecer a ciertas personas equivalente a 1a"Hay una persona hi@?~p,f~e presente en la oficina". Para otras, sin embargo, el significado respectivo es "En todo momento hay alguna persona presente en la oficina" y "Hay una (la misma) persona, que si-empre está presente en la oficina", las cuales pueden escr2 birse simbólicamente "7t 3 x : f t x" y '' 3 x v t : f t x", donde 'd.t es el cuantificador universal de tiempo y t ciene por dominio el conjunto de todos los instantes (snomentos) en consideraciÓng3x es el cuantificador existencia1 relativo a las persc nas y la variable x tiene por dominio el conjunto de las personas en consideración. "ftx" expresa la proposición ''en el instante t, x está presente en ia oficina". Los ejemplos precedentes se refieren a cuestiones de lógica referentes a términos y proposiciones. Puede pensarse que ser'la mejor dejar de lado el lenguaje diario, los con sus imperfecciones lógicas, y limitarse al lenguaje matemático, en el cual problemas son resueltos fácilmente con la ayuda de un sencillo y adecuado simbolismo. Esta posición podría aceptarse suponiendo que el aprendizaje de la lógica no tuviera otro objeto que aprender la lógica necesar,iapara la matemática. En cambio, si se admite que el campo de las aplicaciones de la lógica es de tg do el pensamiento racional, en cualquiera de sus manifestaciones, no se pueden silenciar los problemas lógicos que plantea el lenguaje de todos los días. El paso de frases expresadas en el idioma común a su expresión lógica que la simboliza, y viceversa, no es solamente una tarea Útil que el profesor debe cultivar, sino una necesidad. De esta manera se comprenderán mejor los aspectos posibles de una misma frase. Sin embar gol estas cuestiones deben presentarse cuando aparece la oportunidad de manera natural sin un estudio sistemztico y preparado a priori, lo que podría confundir la mente delos alumnos en vez de aclararla. En nuestra opinión, cada maestro debe llegar a los problemas logicos por su prg pia reflexión, procurando darles un significado más amplio que el de los textos,e intentando formular teorías generales sobre los mismos. Para conseguir esto debe saber más lógica para enseñar menos, pero 10 poco que enseñe lo hará de manera viva y fructIfera.

- 77 111. Los niveles en el aprendizaje del idioma No hace falta recordar que existe una. lógica de Las cosas, hasta el presente POestudiada, pero de la cual acabamos de dar algunos ejemplos, LOS bloques lógicosdx Dienes forman un conjunto en el cual se pueden distinguir categorras (en el sentido 2 sual, no matemático), como grande y Fequeño, igual color e igual forma, delgado ygrug so. Cada una de las combinaclones posibles con estos cuatro criterios está representa da por un bloque. Las proposiciones sobre estos bloques se combinan por medio de conjuncíones y disyunciones lógicas. Se ha victo qu.e los niños de 6 años son capaces de usar estos bloques, pero lmentablemente los ma,estros de escuela primaria todavía no conocen, en general, como usarlos de manera eficiente, Evidentemente, su uso no tiene la valor si no se incluye dem-cro de un amplio y organizado coniexto de enseñanza de lógica. CO

Observemos que la enseñanza de la lógica puede empezar a un nivel muy elemental. Bruner descubrió tres nivel-es de categorización, el tercero de los cuales está por dg bajo de los bloques lógicos y los tres pertenecen a la edad pre-escolar. El primer n& ve1 es la categoría de la forma, tamaño y color: el niño al cual se dan los objetos, los r e h e en clases que tienen algunas de estas propiedades en común, El segundo ni ve1 es el de las categorías de acompañamiento; por ejemplo, dibujos de un niño y de 2 na pelota se colocan en la misma categorla, puesto que 10s niños juegan con pelotas; análogamente, el dibujo de una mesa y el de una casa, también son de la misma categoría, puesto que en las casas hay mesas. En el tercer nivel, el niño descubre las cats gorlas de los adultos: coloca al niño erztre los hombres, la pelota entre los juguetes, la mesa entre los muebles, etc, Sería difícil explicar qué es lo que distingue estas categorzas de otras de nivel inferior, por ejemplo, la correspondiente a la manera por la cual el hombre primitivo usaba la magia. Los bloques lógicos presuponen un nivelen el cual ya tienen lugar abstracciones, cono son las figuras geométricas. Ellos sugieren un mundo simple, armonioso y perfecto en que las categorías aparecen solas y l a s intersecciones de categorías tienen el menor cardinal compatible con. las estructuras, Un nivel superior a éste, sería un mundo en que el niño se esforzara a categorizarcon respecto a la intersección de categorías,

-

Varga ha iniciado un nivel superior en la enseñanza de la lógica en el cual el lenguaje, incluido el de Los cuantificadores, tiene su misión. Varga da a los niños ciertas figuras, como diagramas de Venn, díagramas en blanco y negro3 niños y niñas con y sin lentes, etc. y hace preguntas tales como: iHay niños sin lentes? LTodos los niños us2n lentes? ¿Todos los que usan lentes son nlños?, etc, De esta manera hace que los niños construyan la negación de prbposiciones referentes a las figuras. Luego les hace transformar las negaciones de proposiciones universales en proposiciones existenciales, etc. Observemos, sin embargo, que todo esto sucede a un nivel concreto: (a) las proposiciones tratan situaciones concretas que tienen realidad (tal vez artificialmente); (b) las conexiones entre las proposiciones se perciben a través de sitxaciones reales; (c) el razonamiento, si existe, va acompañado del manipule0 con situaciones reales. Varga ha extendido estas investigaciones a las proposiciones probabilistas , en que los valores de verdad admiten vinculaciones por encima del "sT'J el "no.", pero siempre se presenta todo a un nivel concreto. Se puede suponer que después de este primer nivel, Varga se irá desprendiendoss cesivamente de lo concreto, primero con referencia a (c) luego con referencia a (b)y

- 78 finalmente con referencia a (a), de manera que el niño vaya llegando a resolver problemas en que las situaciones sean más o menos imaginadas en vez de realizadas. En es te avance, las construcciones lingüísticas reemplazarán a las situacion.es reales. Habría así una tendencia creciente hacia la autonomía del aparato lingüístico, el cual solamente está limitado por las imperfecciones del lenguaje comíh. El próximo nivel de análisis, en ei cual ya se es consciente del pensamiento y del lenguaje, conduce a las estructuras lógicas y, finalmente a las del razonamiento. Observemos que los párrafos precedentes no pretenden esbozar un desarrollo natg de ral y espontáneo, sino que constituyen un bosquejo hipotético que podría servir guía a quienes quisieran prolongar las investigaciones de Varga a niveles superiores. La formalización de las estructuras lógicas crece poco a poco. Hasta un cierto grado, estas estructuras ya están formalizadas en el lenguaje corriente, aunque tal vez de manera muy imperfecta. Los símbolos, en primer lugar los de aritmética yacontinuación los de la lógica, son para el niño abreviaturas muy Utiles, cuyo significado es mucho más preciso que el de las estructuras lingüísticas a las que sustituyen. Este estado de la lógica simbólica, que podí-ramos llamar una taquigrafía, puede subsistir por mucho tiempo, e incluso puede llegar a ser más o menos definitivo. Observe mos que incluso para muchos estudiantes universitarios que usan el simbolismo lógico, no es para ellos más que una taquigrafla útil. Sin embargo, n.o cuesta gran esfuerzo ir más lejos. Algunas estrategias simples, como contra-posición, negación de una conjunción o disyunción, etc. se pueden aplicar más claramente y más fácilmente si se las define explícitamente. En particular,la negación de expresiones que contienen cuantificadores se facilita enormemente si se trs ta en forma simbólica. Quien ha trabajado de esca manera con la noción de continuidad (por ejemplo para demostrar la equivalencia de la noción de continuidad por medio de E y 6, y por m e dio de límites) conoce bien los grandes servicios que el simbolismo puede prestar en estos casos. Se podría ir más lejos y dar demostraciones completas en forma simbÓlica.Sin ; e bargo, ésta es una actitud excepcional, incluso a nivel universitario. A nivel de ensenanza secundaria, a este respecto, solo se conoce un ejemplo (Carbondale) en elcual, por otra parte, la mayoría de los teoremas que se demuestran son casi evidentes.

IV. La enseñanza de la lógica Con la modernización de la enseñanza de La matemática, se plantea de nuevo ante los reformadores el problema de la enseñmza de la lógica. ¿,Qué puede y qué debe ser esta enseñanza dentro del campo de la matemática? En el movimiento renovador, la prg ocupación por la lógica empieza. al introducir los conjuntos y las relaciones, y más adelante, para presentar a los alumnos más claramente las reglas de inferencia al estudiar las proposiciones y sus conectivos, las formas proposicionales y los cuantificadores. Este desarrollo cronológico parece estar de acuerdo con el desarrollo psicopedagógico de los alumnos. Es alentador contemplar el progreso realizado en la 6ltima docena de años en la enseñanza de la lógica, desde el jardh de infantes hasta el fin de la enseñanza secundaria. Para apreciar el progreso realizado y compararlo con lo que todavla queda por hacer, vamos a reproducir algunos párrafos del informe "Objetivos de la matemáti-

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79

-

ca secundaria" de la Conferencia sobre la Enseñanza de la Matemgtica. (Cambridge, Mass. 1963) : 1)

Aunque un estudio demasiado extenso de la lógica formal en los grados elementa les no cuenta con %a simpatía de la mayoría de los matemáticos, es difícil poder hacer algo referente al estudio de las demostraciones matemáticas sin el vocabulario de la lógica y un explícito reconocimiento de los esquemas de inferencia. Las posibilida des de estos estudios han sido demostradas en experiencias de clase..." "No sabemos la extensión que debe tener el estudio de la lógica. Puesto que el propósito no es el de enseñar lógica por sí misma, el problema es más bien pedagógico y programático. A través de experimentaciones sucesivas, se podrá llegar a alguna de las siguientes conclusiones: (1) Los cuantificadores deben explicitarse desde los primeros grados, primero en lenguaje coloquial y luego con las abreviaciones habituales Puede ser que con esto sólo, el alumno adquiera ya una base suficiente de lógica, de manera informal,' que no haga necesario ningGn tratamiento formal posterior, (2) Puede ocurrir también, por otra parte, que una vez familiarizados los alumnos con el prg ceso lógico, ellos sientan la necesidad de una mayor clarificación, sólo posible de lograr con el tratamiento formal. (3) Una tercera alternativa es la posibilidad de que el estudio de una lógica más refinada se pueda transferir ínductivamente a otros capítulos de la matemática, por ejemplo, al tratar los contenidos de álgebra y geometría. o

La solución de La cuestión depende, creemos, de las rea,cciones de los alumnos. Nosotros nos reservamos la opinión, por considerarnos incapaces de predecir el resultado". Esta posición prudente y vacilante es muy significativa, .teniendo en cuenta que el programa propuesto en la conferencia mencionada fue considerado, en el año 1963,cg mo muy ambicioso en sus objetivos y sigue siéndolo en el día de hoy.

A. Zvúo¿uciún u La h'yLcu

dc Ron cunju&n.

Una de las características de la enseñanza moderna de la matemática es el uso constante de las ideas, vocabulario, diagramas y símbolos de la teoría de conjuntos. Esta característica comprende, desde hace más o menos zna docena de años, tanto a la matemática primaria como a la secundaria [6 ]. La pedagogra correspondiente al uso de los bloques lÓgicos ha sido expuesta en muchos libros y artículos [7 1 , [8 1 , [9 1 , [10 1 , 111 .

Empezando con el uso de los atributos, los niños descubren: conectivos, tautolg gías, las principales reglas de inferencia, cuantificadores y llegan a ser ca-paces de entender la axiomatización. Los conjuntos se representan por diagramas de Euler, Venn y Carroll. Como esos autores señalaron, el uso intuitivo e inteligente de los diagramas facilita la com prensión de las propiedades de la lógica de los conjuntos. Muchos de los textos de mg temática para los niveles elemental y medio que han aparecido en los últimos diez años , usan dichos diagramas en abundancia [ 5 ] , [12 ] También las tarjetas perforadas , que pueden hacerse con fichas y un perforador de oficina, son muy Útiles para la ensg ñanza de las primeras ideas sobre conjuntos. En la primera eriseñanza los niños descu-

.

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80

-

bren con interés las posibilidades de clasificación con la ayuda de tarjetas perforadas, Formando manojos de tarjetas con distintas características, unidas por una aguja de tejer pasada entre los agujeros, los alumnos pueden extraer las tarjetas que tienen una determinada característica. También las leyes de las operaciones entre conjun tos pueden ejemplificarse por medio de tarjetas perforadas. Por ejemplo, colocando en aristas paralelas opuestas un agu.jero y una ranura, se obtienen caracter?sticas com plementarias, que permiten comprobar las leyes de De Morgan. Finalmente, se puede codificar cada arista en notación binaria, haciendo corresponder un O a cada agujero y un 1 a cada ranura (ver [141 , [151 [161 ).

-

Son bien conocidas las maneras de representar los conjuntos mediante paréntesis, sea {a,b,c,d), o bien {x E El p(x)}, donde p(x) es una forma proposicional o un condicional definido sobre el conjunto E, que determina la parte de E cuyos elementos satisfacen a p(x). El uso de diagramas y paréntesis, muy extendido, puede algunas veces inducir a errores y confusiones que han sido señalados en varias oportunidades [171, [41 . Para darsescuenta del significado y de las limitaciones en el uso de los diagramas de Venn, se pueden ver los artículos [181, [191 o el texto original de Venn [201. El uso de .materiales pre-fabricados, que supone ya una semi-abstracción, como por ejemplo el uso de los bloques lógicos, permite al maestro y al alumno tratar la lógica con mucha claridad. Sin embargo, si no se toman precauciones, puede ocurrir que el uso exclusivo de un cierto material llegue a condicionar al alumno, en lugar de hacerle pensar lógicamente de manera independiente. Esto hace que sea indispensable cierta variación, que puede lograrse tomando varias cajas de bloques o alternando con otros materiales de características diferentes. En resumen, podemos decir que se ha entrado en un perlodo, en que numerosos niños son capaces de usar las ideas sobre conjuntos y lógica y de estructurar su pensamiento de acuerdo con ellas.

i3. Zn¿ci6o¿ún

u Ru Lo'gku de &a tt&c¿ona

La lógica de las clases, en relación con la silog~stica,es muy antigua, Al contrario, la lógica de las relaciones, es una adquisición que no tiene más de un siglo. Las relaciones bÉnarias fueron en un principio consideradas por los lógicos como una conexión entre los elementos de un par. Por ejemplo, en el conjunto de los n6merosEg les, la relación de desigualdad (< ),proporciona la siguiente forma condicionalopro posicional entre dos variables individuales: x < y , que se satisface para ciertos pares ordenados, como (0,5), (-2,7), (0, etc. Desde un punto de vista elemental, es muy fácil definir las relaciones como pares ordenados.

e),

-

Estos conceptos son de mucha aplicación y se utilizan cada día más en matemáti cas. Por ejemplo, la definición de paralelismo entre las rectas A y B de un mismo plg no se escribe

(A // B)



(A

=

que usa la condición

(X = Y)

v (x n y

entre dos variables X e Y.

= cp

B)

v

(A

n

B

= cp

)

-

81

-

Otro ejemplo de pares ordenados es una guza telef8nica, que contiene los pares (x,y) Cales que "1c tiene eL a.&n.ero de telefono y", entre Paka. determ..inar un conjixXo de pares ordenados mediante un predi-cado 6? , 1a.s d.os varia.bles, a.dem.& de la forma proposicionai x 63 y 9 es necesario dar el dominio A de la variable x y el doininio B de la variabl? y. De esta manera, la relación de A a B, considerada como un conju-izto de pares ordenados, queda definida por ha terna, (A,E,6?), El paszije del purtto d.e vista de la lógica al punto de vista de la teorla de conjuntos, es muy familiar,e instructivo. Sola.mente hay que poner cuidado en utizar el lenguaje preciso, para evit2o confusi6n de pensamiento. Por ejemplo, si &? es un conjunto de paxes ordenados, se debe expresar también que ella vincula Y, con. y,lo cua-i se escribe (x,y> E 6? o bien x 67L y,,Lo mismo ocurre al considerar una fuzzción como u2 conjunto de pares ordenados o com.0 una ley que aplica los elementos del dominio sobre los elemen.tos d.el codominio, Los dos puntos de vista deben usarse simult5neameate, de manera q,ue el urlo sirve para aclarar al otro [211 * La representación de relaciones pued.e ha.cerse por diagramas de flechas y también mediante diagramas cartesianos que representan cada par osdenado por un punto del pIa.no, de lo cual resulta cla.-ramenteque todas las relaciones de un conjunto A a, u,n conjunto B son subconjuntos del produ.cto cartesiano A x B, Es muy ,6til usar muchos dibu.jos para clarificar las propiedades entre conjuntos y sus relaciones. Ademas de los ya mencionados, son importantes los diagramas en árbol y los diagramas de Hasse, De 'codas maneras, cuando se quiere hacer entender a los alumnos una propiedad de 1a.s rdaciones o como la reflexiva, simétrica, transitiva,fuc ~iona.1.~ etc. mediante el uso de gr&ficoc, es aconsejable insistir en que el caso representado en los dibujos debo ser necesariamente cuantificado en el pensamiento del aliurnno [kS] Los diagramas de conjuntos, graficos y relaciones: junto con el uso elemental de letras y cuantificadores, hacen posible que el significado matemgticc de lo que re presentan estos elementos sea asequible a. los alumnos de 10 y 11. años de edad. Los mismos métodos gráficos, usados para representar operaciones concretas, hacen posible que las ideas sobre conjuntos y relaciones puedan darse en la escuela elemental. De este modo, las ideas matemZticas, en su presentación intuitiva, van descendiendo año por año hasta. la escuela primaria, de manera que constituyen una buena base sobre la cual construir la enseñanza secundaria [231 La aplicación de la lógica. no debe ser tarea exclusiva de los profesores de mate mática. La lógica tiene aplicaciones en todas las demás disciplinas. Es fundamental, por ejemplo, en el estudio del idioma y serÉa muy interesante la colaboración entre los profesores de matemática y los de idioma, para relacionar los aspectos lógicos del lenguaje c o m b con los conceptos IOgícos que usa la matemática.

\l.

Iniciacion

i!

la lógica proposicional

A medida. que se va organizando el lenguaje del niño, se va manifestando una lÓgi ca de las proposiciones, conectada con la 16gica de las acciones llevadas realmente cabo o imaginadas.

a

- 82 En la enseñanza del jardín de infantes y de la escuela primaria, ambas lógicase cultivan en simbiosis (vida en común de dos organismos que es ventajosa para los dos), por medios pedagógicos que favorecen su desarrollo. Sin embargo, las proposiciones 15 gicas a menudo no son hechas conscientemente y, por razones de simplicidad o de conve niencia, se prefiere primero usar una lógica de los atributos puesta en biyección COK la lógica de los conjuntos. En general, en los primeros años de la escuela secundaria, difícilmente se habla de proposiciones y su lógica. Hay la excepción de las experiencias llevadas a cabo en la "Comprehensive School Mathematics Program" con niños superdotados [151 . Algunos t E tos del primer ciclo de dicha enseñanza, intentan una introducción al problema, presentando desde el principio algunos elementos de lógica de las proposiciones y formas proposicionales, en conexión con las nociones sobre conjuntos [161 .

Más frecuentemente, la lógica de las proposiciones y las formas condicionales o proposicionales'se tratan explícitamente en el segundo siclo de la enseñanza secundaria (15 a 18 años de edad), después de haber familiarizado al alumno con el uso de los conjuntos y las relaciones desde los 12 años, o aún con anterioridad. Como ejemplo, vamos a mencionar el programa belga, destinado a alumnos de 16 años y a las divisiones en que la formación matemática es más intensa.

Proposiciones. Negación, conjunción, disyunción, equivalencia e implicación de proposiciones y sus compuestos, Leyes de De Morgan. Contraposición y recíproca de una implicación. Variables y constantes. Términos y condiciones en una o más variables. Conjunto determinado por una condición. Conexión de operaciones sobre condiciones con ideas rg lativas a conjuntos: igualdad, inclusión, intersección, unión, diferencia, complemento.

Cuantificadores. Negación y proposiciones cuantificadas Esta lista de temas está acompañada de indicaciones metodológicas, que advierten que estos elementos de lógica deben entenderse como un prefacio al curso de matemática : 1 1 En el ciclo superior es necesario dar más precisión a los conceptos lógicos de uso corriente en matemática. Estos conceptos pueden darse a medida que las necesida des lo exigen, sin obligación de una exposición sistemática. Las operaciones con proposiciones se pueden dar usando tablas de verdad, de la misma manera como las opera ciones con conjuntos se pueden presentar con la ayuda de tablas de dependencia. Es i 2 teresante insistir sobre estas tablas. El concepto de implicaci6n debe ser tratado m n cuidado, admitiendo que la implicación es verdadera en el caso en que el antecedente es falso, A este respecto conviene hacer la comparación con la inclusión,

-

El principio de contraposición de una implicación es una de las herramientas más 6tiles. Conviene hacer que los alumnos se familiaricen con ella. Hay que probar que una equivalencia entre proposiciones (condición necesaria y suficiente) es equivalente a la conjunción de dos implicaciones recíprocas.

- 83 Los estudiantes deben adquirir una idea clara de la negación de una conjunción, de una implicación. Las demostraciones por reducción al absurdo se usan para demostrar indirectamente que una proposición es verdadera, demostrando que su negación implica una proposición falsa, El uso de cua-ntificadorescon condicig nes que incluyen una o más variables, puede explicarse con ejemplos y contra-ejemplos. Se debe aprender a negar una proposición que incluya cuantificadores, llamando la atención sobre la importancia del orden de los cuantificadores”. de una disyunción y

Un programa menos explícito se ha propuesto en Holanda [26] y en Suiza (Ginebra) donde en el segundo ciclo, la enseñanza de la matemática está precedida de un curso de 30 o 40 lecciones de lógica [271 o Llama la atención de que ninguno de los progra mas mencionados se ocupe de manera expllcita de las principales reglas de inferencia, excepto en Suiza, donde se cita la regla de deducción (modus ponens). Esta laguna no se encuentra en otros pakes, por ejemplo, en los Estados Unidos de Norteamérica el libro de lógica del C.M.S.P. [25], trata las reglas de inferencia de manera muy explz cita, dando ejemplos en que estas reglas se aplican formalmente,

-

El programa del S.S.M.C.I.S. reglas de inferencia [281

dedica un capztulo entero a la lógica e incluye las

.

En Europa, uno de los curricula más desarrollados en lógica, es el de Polonia, donde los alumnos empiezan a los 15 años con el estudio de la lógica como materia independiente. El programa comprende los siguientes temas I31 : Nociones elementales sobre conjuntos: conjuntos, operaciones con conjuntos,r s laciones, en particular relaciones de orden y de equivalencia, funciones; Idea del cálculo lógico: predicados (forma proposicional), equivalencia propg sicional, implicaciones, su reclproco y su contrapositivo, alternativa, conjunción, negación, cuantificadores, tautologlas lógicas; Teoremas de cálculo lógico referentes a la contraposición, negación de la di2 yunción, implicación, expresiones cuantificadas, relación de implicación y de alternativa, relación de equivalencia, y de implicación, ciertas tautologfas de características algebraicas ; Reglas operacionales vinculadas con estos temas ; Ideas específicas para la matedtica: teoremas que son mutuamente recíprocos, contrapositivo de un teorema; Ideas metodológicas: definición, concepto intuitivo de la axiomática, teorema, demostración, diversos tipos de generalización, particularización, ejemplo y contra-ejemplo, clasificación.

cálculo proposicional se presenta siempre en forma de tablas de los valores12 gicos (verdadero 1, falso O) que toman las proposiciones p y q. Las fórmulas lógicas de negación, conjunción, disyunción, implicación y equivalencia, se construyen con la ayuda de los siguientes conectivos: no lllfl; y ll,/i’f

; o “V

sii (si y sólo si)

l1



j

si, .. entonces ’’

’’

=>

l1

- 84 Las definiciones se resumen en la siguiente tabla

o O

1 0

O

I

1

Con la ayuda de estas tablas de valores se puede establecer,por simple verifica ción, que ciertas fórmulas escritas mediante conectivos, toman el valor 1 cualesquiera que sean los valores, 1 Ó O, asignados a las letras p , q que figuran en las fÓL mulas. Estas fórmulas se llaman tautologías.

Se entiende que, lo mismo que se hace en álgebra, al sustituir en una fórmula las letras por su valor, a cada letra debe darse siempre el mismo valor en todos los lugares que aparezca en la fórmula. Entre las tautologías más importantes citaremos las siguientes : (doble negación)

1 . 1 1 p p

2. (PACO (p

q)

; (pVq)

(qAp)



(q



(qvp)

p)

[(pVq) A r][(pAr)

A (q Vr)]

distributividad V sobre A

v

distributividad A sobre

(q A r)]

(1 p > V (1 q)] T(P V 4) (1 P) A (1 4)1 6. (p -=)q) (1 p V q) 7. l(p => q) ( p A 1 q) 8. (p => q) (1 q => 1 p) 9. (p q) [(p ===>q) A (q => p) 1 10. [(pV q) => 7-1 [(p => r) A (q => r)] 11. (p Aq) => p 12. [(p ---)q) A (q => r) 1 => (p ===>r) 13. [(p q) A (q r)] => (p < > r) 5. 1(pA q)

conmutatívidad asociatividad

3. [(pAq) A rl[pA(qAr)l [(pvq) v rlipV(qVr)l 4. [(PAq) V rl[(pVr)

conmutatividad

v

leyes de De Morgan

contraposit ivo

transitividad transitividad

Las tautologzas de 1 a 10 son las de equivalencia lógica; las tautologías l1,12 y 13 son.hplj-cacionesl6gicas. Dos fórmulas se dicen equivalentes si y sólo si su equivalencia es una tautologfa. En cada una de las tautologías l a 10, un miembro es s quivalente al otro.

- 85 A partir de tautologías se pueden obtener otras por medio de los ciguientespn2 cipios:

1. SLL?lkí;tuc¿Gnde ~qLL¿vdeM;ten

-

De la verdad de la tautología 8, se deduce que la fórmula p => q es equiva lente a 1 q 1 p. Por tanto, sustituyendo en la tautología 12 resulta la f Ó m g la

E(

12’

1 q=>l

p) A(q=>r)l

=>

(P

=>

r)

que es, evidentemente, otra tautología. Este ejemplo ilustra el p k ¿ n c ¿ p h de ~ u ! A X X U ~ ¿ Ú Kde eqLLiv~&&a, que puede enun ciarse de la siguiente manera: UVKi kU&hg,íia h e h u h m q e Una &ÚnvridU ‘pün

eyLL¿v&e&e, h e abfiene uylu ,6u.tuRugXu. EhXu hU&?%%c¿6n cuma n e qLL¿m.

puede h u c m e X u d

wecen

2. Sa;tikuD¿ún de wCVL¿CLbRen En la fórmula 11 si se reemplaza la letra p por una misma fórmula, por ejemplo p V r, se obtiene

[(p V r) A ql

11’

=>

(p V r)

que también es una tautología. Este ejemplo ilustra el p h h o ¿ p i ~ de RU h u h ~ % X ~ c ¿ d ~de . U Y ~ UÁ k U X ü R ü g h 6 e &LQQWI~&ZCL unü &&U, en XUUcuLiablU, que se puede enunciar: SC

das Ron Ruguna en que &@vm., pon unu mínmu dómUeu, h e ubfiene u m kuukoRug&x. Los principios de sustitución de equivalentes y de sustitución de variables, peL miten construir nuevas tautologías a partir de tautologías conocidas.

C. R e g l a de. Cndehench 1) Supongamos que se admiten como verdaderas las proposiciones La nieve es negra,

7=4+3

Debemos entonces admitir también como verdadera la conjunción (la nieve es negra) A

(7 = 4 3. 3)

Tenemos así un plan de deducciones

A B A A B

entonces

Decimos entonces que de las proposiciones A y B se deduce A A B y que la concluse sión A A B ha sido inferida por las premisas A y B. Esta estrategia de inferencia escribe en la forma

(1)

A , B-

1

A A B

(Definición de A )

- 86 2. Consideremos las premisas

A======= > B y

A

Suponiendo que estas inferencias sean verdaderas, usando la tabla de valores para implicaciones, t e nlendo en cuenta la primera línea de la misma, dg bemos admitir que también B es verdadera. Tenemos,por tanto, una nueva estrategia de infe rencia, a saber

A =

(2)

“:l

-

1 1

O

>B

A

o bien

A

-I

===> B,

A

B (modus ponens)

B Esta estrategia asegura que de las premisas A = > B y

A se deduce la conclusión B.

3. Si suponemos que son verdad las dos premísas

A=>B,

B=>C

en virtud de (1) podemos deducir

(A

=>

B) A (B

=>

C)

Por otra parte, la transitividad de las implicaciones permite deducir la implicación verdadera

[(A =>

B) A (B

=>

C)]

=>

=> =>

(A

Usando (a), (b) y el modus ponens, resulta A

(b1

C) C.

Tenemos así una nueva estrategia de inferencia (3)

A =

> B ,

B->Cl-,

A=>C

que corresponde a la transitividad de las implicaciones.

4. De la misma manera, de las premisas AB,

BC

deducimos, en primer lugar

(A



B) A (B

< >

C)

y luego, por la transitividad de las equivalencias,

[(A

B) A (B



C)]

=>

(A

C)

y aplicando el modus ponens llegamos a la conclusión A



C.

- 87 Tenemos así una nueva estrategia de inferencia

que es la inferencia por transitividad de las equivalencias.

5. Partiendo de la equivalencia



A

B

A

Y de

B

se deduce De manera que tenemos la nueva estrategia A

,-l



B ,A

B

=>

6. Admitiendo la premisa A (A===%>

B)



(modus ponens de



)

By tenemos la equivalencia

(1 B =>l

De aquí, aplicando el modus ponens para

A)



(contrapositivo)

, resulta

lB=>lA de manera que tenemos la siguiente estrategia de inferencia por contraposición

-1

B

A=>

1 B

=>l

A

7. Supongamos que tenemos

A=

> B

Y

1 B

De aquí se deduce, sucesivamente,

A=

> B

lB--/7A si

(por contraposición)

1B 1A

(por modus ponens)

De este modo obtenemos la estrategia llamada modus tollens A=>

B

,

=>

--1

1 A

--1

1 A (modus tollens

1B

8. Análogamente se obtiene

A

B

,

1 B



)

- 88 El proyecto C.S.M.P. de C.E.M.R.E.L. (Carbondale, Illinois, U.S.A.) tiene un curso 7nCtuducchúfi U RU L6gLCa [25] para alumnos talentosos, en el que se presentan de manera explícita y detallada el cálculo de proposiciones, tautologías y estrategias de inferencia, que luego usa en demostraciones formales. Este aparato lógico se usa luego en toda la serie de libros de matemática publicados por el C.S.M.P. de

Hay muchas opiniones de matemáticos y educadores respecto de la intensidad en que debe enseñarse la lógica. Algunos son opuestos a darle demasiado desarrollo, por el & mor de que el rigor exagerado de los temas de la lógica, eche a perder la imaginación necesaria para la matemática. Sería interesante experimentar si éste es o no es el c s so. Para una exposición rigurosa y formal de la lógica, es recomendable acudir a. la bibliografía [181 , [291 , [301 , [311 , [321 , [331 , [341 , 351 .

VI.

Lógica de la cuantificación proposicional

El cálculo proposicional forma parte actualmente, en forma más o menos extensa y de manera más o menos formal, de todos los libros de texto de enseñanza secundaria.En la mayorla de los casos, sin embargo, el cálculo de formas proposicionales y cuanticadores se limita a una somera introducción, incluso en el C.C.M.P. En los trabajosde Dienes aparece el cálculo de atributos, que se presenta en el simbolismo escrito que precede el estudio de los conjuntos. En algunos libros, las formas proposicionales o condicionales, se usan mucho en el estudio inicial de los conjuntos y relaciones, ay2 dados con el uso de diagramas [51, [161 . No vamos a pasar revista de lo que se hace en los libros actuales. Creemos, sin em bargo, que para conseguir una mayor precisión lógica, se deberla intensificar el uso de letras para las variables y constantes en los términos, proposiciones y formas proposicionales.

A. OnguvLLzacLÚn ax¿umú..aZca Dentro del espacio disponible en este capítulo, no es posible presentar con sufi ciente extensión todo lo que es interesante sobre los conceptos de definición y de mos tración. A es te respecto, existen algunos artlculos interesantes, tanto por su con tenido como por el punto de vista pedagógico y metodológico que presentan ([31 , [41 )o Aquí vamos a poner énfasis sobre el uso de minisistemas axiomáticos desde distintos puntos de vista ([29], [16]). Observemos que es más Útil insistir en el proceso de axiomatización, que en la misma presentación axiomática. Desde el punto de vista de la presentación axiomática, la geometría, en su doble aspecto de rama de la física y disciplina matemática, constituye una rica fuente para ejercitar la exposición lógica, puesto que permite su axiomatización de diversas mang ras. Sin embargo, debido a esta misma variedad de posibilidades, la axiomática de la geometría suele ser motivo de confusión y origen de muchos problemas en la enseñanza. Parece ser más eficiente, como se está haciendo cada día más, practicar la axiomática con otros temas, por ejemplo, con la teoría de grupos, donde la axiomatización es más breve y puede hacerse en dos etapas: primero con la axiomatización de grupos concre tos y luego, sobre esta base, aislar la estructura abstracta, con la cual ya se pue den dar definiciones y demostraciones claras y precisas. Tampoco hay que olvidar el campo de la probabilidad, en el cual el tratamiento axiomatico puede reconciliar, mg mentáneamente, los principios de la probabilidad a prior? y de la probabilidad a posteriori.

-

- 89 de. dehccia'n

E. Pn¿nc.ípiun

--

Para terminar esta sección, vamos a presentar brevemente el principio lógico fug damental que está en el centro de la lógica proposicional. Examinemos las relaciones entre la ,Únpficac¿ti~. A => B y la L¿rz~enenc¿a A B.

-1

A

B

1

1 O

1

A=

O

ponemos que A es verdad, también B ser verdad.. Tenernos por tanto la inferencia

1

O

101

O

>B

A=

1 1

2. Supongamos que tenemos A /---B. Entonces, sí A es verdad, también B es verdad y tenemos la tabla de valores de A y B quegura al lado. Para estos valores de A y B, A => B es verdadera y se tiene la tautología A => B.

>B

, Al-B

debe

(modus ponens)

1

O

si y sólo si A = > B, es una tautología. Es decir A=> En conclusión, A B-1 B; es verdadera sin premisas, lo que se escribe F A =>

A-I

B-1

A

=>

si y sólo si

B

se deduce la implicación A 3. Supongamos que de las premisas %,A2,*..,A n Aceptamos el pn¿no¿pb de deducc¿6n, segun el cual

=>

Al, A2,...,A n .1-1

B

si y sólo si

Al' A2,..',An

,

AI--B

En una construcción axiomática, este principio puede ser demostrado.

4. Como aplicación de este principio, vamos a demostrar la tautología

( Y x : f(x) =>g(x)

)=>[(V

Sea U el universo de la variable x.

F G

= =

{x E U {x E U

1 1

f(x)) g(x)l

x, f(x))

=>

Si designamos

, tenemos F C U , tenemos G C U

Podemos escribir las equivalencias

[( V x : f(x) => g(x)l (F C G) (y x : f(x)) (F = U) (y x : g(x)) (G = U)

B

( Y x , g(x))l

=>

B

- 90 según las cuales, despu6s de sustituir en (l), queda sólo por probar que

(F C G)

===> [(F =

U)

=>

(G

= U)]

Para ello, según el principio de deducción, es suficiente probar que

(F = U) => (F C G)- - / o bien, por el mismo principio,

(G = U)

F C G , F = U \-G=U que se puede escribir

F C G ,

F = U l-.UCG

Por tanto U C G y en consecuencia virtud de la regla de inferencia C-(1); (G = lencia [(U c G) A (G c U)] A E, A B) que G = U, que es

U C G, G C U, de A , €3 F A A B ) . U), resulta (por lo que se quería

donde (U C G) A (G C U) (en Puesto que tenemos la equiva la regla de inferencia C -5; demostrar.

Con la ayuda de los diagramas de Venn, teniendo en cuenta la información verdadg ra F C G, F = U, basta fijarse en los diagramas para deducir que G = U.

E Lo anterior se basa en el principio de deducción. La discusión precedente Ira que se dispone de dos modelos de inferencia:

Y x : f(x) => +t x : f(x)

mueg

F C G F = U

g(x)

+f x : g(x)

G = U

€L ph¿nO¿pío de dwonLxuc¿ún bauado

Ru neducdún Cce ubnuhdo Supongamos que queremos deducir C de las premisas A A ..., A Supongamosque no podemos hallar una demostración directa de que A 1 n ; , pero que te1’ A 2 9 n 5.

QK

’:..2A

nemos una demostración de que

.-l

Al, AZ,.. .,A n’ 1 C

1 A

de donde se deduce 1 c =

> 1 A.

En tal. caso, de acuerdo con la tautología

(1 P

/ =====> 1 q) . .?-(q -+ =====>p)

- 91 reemplazando p por C y q por A se obtiene

(1 C

=>

1 A)



(A

=>

C)

Aplicando el principio del "modus ponens

A



Ir

tenemos

/c

= \

Si suponemos ahora que A es una proposición verdadera, llegamos a C por el "mo dus ponens = > 11. Esto prueba que el principio de deducción, el principio de contraposición y modus ponens, justifican el método de demostración por reducción al absurdo.

los

C. Semúvl;t¿ca y nL¿uLiuxín Rágica Todo lenguaje plantea el problema del uso de s?mbolos y de las relaciones de ellos con los objetos o conceptos que representan, de acuerdo con el código del mismo lenguaje. En la matemática, el uso y el papel que desempeñan los símbolos, origina problemas de lógica, muchos de los cuales están directamente relacionados con la enseñanza. A este respecto, en las recomendaciones del Coloquio Internacional de Budapest(l962), se encuentran las siguientes frases: "Para aumentar la efectividad de la enseñanza, sería interesante incrementar las investigaciones psico-pedagógicas acerca del papel que juega el uso de los slmbolos para representar conceptos matemáticos (objetos, conjuntos, relaciones, funciones, operaciones). Sobre todo, sería interesante contestar a las siguientes preguntas: 1. ¿Cuál es el papel de los símbolos en el desarrollo de los conceptos? ¿En qué momento del proceso de aprendizaje deben introducirse? 2. ¿Hasta qué punto las manipulaciones concretas con objetos que tienen un sentido simbólico, pueden ayudar a comprender mejor las demostraciones hechas en notación simbólica?

3. ¿Cuál es la relación psicológica que une la percepción de un conjunto de símbolos con la correspondiente combinación de conceptos que ellos designan? Desde este punto de vista, las convenciones habituales, con sus omisiones, ¿no con funden al principiante?

4. ¿Debemos dar preferencia al manejo de los símbolos, teniendo presente lo que ellos significan, o es preferible introducir lo antes posible las formalidades de la representación simbólica y hacer uso de las analogías operacionales?

5. ¿Es posible que el aspecto formal llegue a hacer incomprensible la estructura simbÓl ica?''. Los psicólogos y educadores no tienen todavía respuesta a estas cuestiones. En espera de ellas, quienes tienen a su cargo la enseñanza, deben apoyarse de manera pragmática en las observaciones y ensayos que ellos mismos puedan hacer en sus propias clases. A falta de resultados avalados por investigaciones, se suelen admitir algunas opiniones, como las Siguientes:

- 92 1. A los niños de la escuela primaria, les gusta el uso de los símbolos matemáti De manera análoga a como aprenden el lenguaje comih, los niños se inician en el uso de los símbolos de manera natural, introduciéndolos cada vez que los necesitan.Es imposible fijar la edad precisa en que se pueden introducir los símbolos; ello depende de cada niño, de sus actividades y del ambiente que lo rodea. Se puede proceder progresivamente, probando como reacciona el niño al introducir cada símbolo y proce diendo de acuerdo con esta reacción. COS.

2. La escritura de un si'mbolo es, sin duda, menos inmediato que el manipule0 con una ficha o un distintivo que el niño maneja como parte ¿le i;n juego, sin equivocarse, pero sin que entienda exactamente lo que está haciendo [71, [81 , [91, [371 , [381.

3. El juego con objetos, como sustitutos de símbolos, y más tarde con objetosaz cretos con un significado simbólico más definido, parece que ayuda a formar una mentg lidad adaptada a las exigencias operacionales. Una prueba de ello es el éxito obtenido por los juegos WFF'N PROOF en la introducción a la lógica de las proposiciones [391.

El trabajo interno de la matemática, si no es puramente formal, comprende tanto a los símbolos matemáticos como a los objetos o conceptos matemáticos que ellos reprg sentan. Lo mismo que el niño o el hombre de la calle, el matemático usa su lenguaje para decir algo. Sabemos que distintos lenguajes pueden servir para decir una misma cosa y que un mismo lenguaje puede significar cosas distintas, según la interpretación semánticaque da significado a los símbolos del lenguaje. Sin embargo, desde Euclides a Pasch, la conexión entre la geometría teórica y el lenguaje en que se expresó (en un lenguaje común dado), nunca originó el problema de otras posibles interpretaciones del mismo lenguaje geométrico. Es, precisamente, uno de los principales méritos de Hilbert ,cres dor del concepto moderno de axiomática, haber reconocido esta libertad en la libre ir terpretación de dicho lenguaje. En lo que hemos dicho sobre el cálculo de proposiciones, no hemos querido dar una definición de proposición. Se podría haber dicho que "proposición" es un término primitivo del sistema de tautologías e inferencias. Cualquier cosa, que en una interpretación del sistema hiciera el papel de los p, q, r de la teoría abstracta, podría llamarse una proposición. Sin embargo, al comienzo, aparecen algunas dificultades. A manera de declaración, se podría decir "proposición es una frase.declarativaque tiene significado" o también "proposición es un enunciado capaz de ser verdadero o falso''. Estas explicacio nes satisfacen a quienes desean darse por satisfechos. Pero ¿cómo responderemosaquis nes nos pregunten qué es tener significado o quz es ser verdadero o falso? La escapa toria semántica es "El cálculo proposicional se presenta siempre mediante tablas de los valores lógicos, verdad 1, falso O, que las proposiciones p, q, rp... pueden tomar y las fórmulas de la lógica.. .". De esta manera, hasta un cierto nivel de abstrag ción, se ha podido hablar de manera natural, sin que aparezcan, por 10 menos momentáneamente, problemas semánticos. Usamos p, q, r como variables proposicionales sintácticas,que toman los valores {1,0] donde 1 y O son símbolos, que, por el momento, no tienen ningún valor numérico.

-

93

-

Siguendo de esta manera, en los modelos de deducción hemos usado A, By C que son variables semánticas cuyos valores son fórmulas proposicíonales. Con respecto de las I' E\ 'I , "V", l l=yl , fórmulas, además de los símbolos lógicos, tenemos los conectivos itlir, "

(1 p

=> q > ==> lq)

(PA 4) l(p son tautologías, basta señalar en el gráfico p y lp, q y lq, etc. e indicar las dis tintas implicaciones mediante flechas ([371 , [381 ). También suele interesar a los alumnos la presentación del cálculo proposicional como un álgebra de Boole bi-valuada.

-

-

94

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V. P u o deR Renguuje mclkmÚXco Ohd¿nCUúO u Ru domcLeizuc¿6n El uso de símbolos y de una mayor o menor formalización de la matemática, es una cuestión de claridad, economía y gusto personal. En la enseñanza ello depende, en gran parte, del nivel de los alumnos. Sin embargo, en el estado actual de la enceñanza, el simbolismo y la organización lógica deben estar sujetos a una continua vigilan cia por parte del maestro, para no pasar de un grado de lenguaje simbólico a otro superior, sin que el primero haya sido bien asimilado por los alumnos. A medida que los alumnos van comprendiendo las micro-estructuras, hay que irles familiarizando con la organización lógica de una demostración. Para ello, los diagramas en árbol y otrosgrs ficos adecuados pueden servir para dar una visión general, sinóptica y progresiva al mismo tiempo, de la demostración de un teorema.

E. EL pupd me;tudulúg,Lca de Ron ubunon de Lenguaje 1. En matemática, como en la vida corriente, sería imposible avanzar sin ciertos abusos de lenguaje que permiten abreviar el discurso y la'notación. (cuyo uso p a Hay abuso de pensamiento en la expresión "sea una función y = f(x)" rece ir desapareciendo). En cambio es correcto decir "sea una función definida sobre R+ por el condicional: y = fi (1-x21''. En este caso, la dificultad aparece al querer nombrar a la función, para 10 cual se debe disponer de una formalización que evite el uso de las variables [311 .

2. En cuanto a la notación, se admiten las expresiones como "sea una función f = g + h" , "sea un elemento a E E': En estos casos, es bastante comprensible lo que se quiere decir, si bien sería más exacto decir "la función f tal que...", "el elemento a tal que.. ."

3. Lo que es importante es no exagerar en el abuso dellenguaje.

F. Pdubfia dinuRQn El papel normativo de la lógica ha sido ponderado a tal extremo, que con frecuen cia se le asigna el papel de inspector y de juez. Para ello, sin embargo, haría falta que la lógica demostrara su papel creativo en la organización de todo el pensamiento racional. Así, la lógica de la vida diaria, sería un depósito de ejercicios para el a nálisis y la invención. Este punto de vista ha sido combatido incluso por matemáticos. No hay duda de que un buen instrumento lógico-matemático, puede convertir en trs bajo de rutina una tarea deductiva que sin él necesitaría el genio de un creador. Debemos, por tanto, intentar construir herramientas que hagan lo más simple posible el uso de los métodos lógicos. Pero por encima de la habilidad para construir democtraciones lógicas rigurosas, existe la actividad llamada creación, brinco meiital que desafía toda explicación lógica y psicológica. Las estrategias lógicas pueden servir pg ra verificar la validez de una creación, pero nunca se debe permitir que ellas diri jan los estudios matemáticos, hasta el punto de impedir el desarrollo del pensamiento creador.

- 95 Bi bl i: ogra.f?a.

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31. Freudenthal, H.,Exacte Logica F. Bohn, kiaarlem, 1 961. 32. Logique Mathématiyue Appliquée, Nauwerlaerts, Louvain, Gauthier-Villars,Paris. A teachers Course Colloquim on Sets and Logic. Educational Studies in 33. Mathernatics. V01.2,No. 1, July 1969. D. Keidel Publishing Company, Dordrecht, Holland. 34. Suppes, P. et Hill,S., Mathematical Logic Sor the School. Book 1. Stanford University, Cali fornia. 35. Suppes,”P.,Introductioiz to Logic. Van Nostrand Cornpany,Princeton.N e w Jersey. 36. Grize, J.B., Logique Moderne. Fasc. 1, Logique des propositions et des Prédicats.Déduction Naturelle. Gauthier Villars, Paris. 37. Sedivy, J. Finite Graphs arid their use in Mathenzatics teaching.Tendances Nouvelles, Vol.11. UNLiSCO 1970. 39. Allen. L., WFF’NPROOF, The game of Modern Logic. N e w Haven, Box 71.Connecticut,

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CAPITULO 7 APLICACIONES DE LA MATEMATICA

La matemática tiene su origen en la necesidad de contar y medir, pero a travésde los años, se fue disociando del mundo real para llegar a ser una disciplina abstracta. Sin embargo, fueron sus aplicaciones las que motivaron la creación de muchas ramasnuz vas y las que mantuvieron a la matemática como una de las disciplinas más importantes de las que se estudian en la segunda enseñanza. Actualmente, los usos de la matemátilas ca son mayores y más variados que nunca. En este capítulo se exponen algunas de nuevas aplicaciones, principalmente aquellas que se van incorporando en los programas de matemática de la escuela secundaria.

1.

¿Por qué enseñar aplicaciones de la matemática?

En algunos países, los profesores de matemática dejan, tradicionalmente, las aplicaciones de la matemática a sus colegas especialistas (físicos, etc.). En conse cuencia, parece apropiado empezar este capítulo dando algunas razones para justificar el incremento de las aplicaciones que se nota en los nuevos programas de matemática. Aunque por aplicaciones de la matemática se entienden también, a veces, las apli caciones internas a la misma (las que serán mencionadas más adelante), aqur nos vamos a referir esencialmente a las aplicaciones uXCVL~~U, es decir, a las aplicaciones a otras ramas de la ciencia y de la técnica. A medida que la matemática es más conocida, hay más profesores de disciplinas no matemáticas que la utilizan en sus exposiciones. Efectivamente, la matematización de muchas disciplinas hace que, posiblemente, los buenos profesores del futuro en cualquiera de ellas, necesitarán haber tenido una bu2 na enseñanza en matemática y en sus aplicaciones. Por otra parte, la conveniencia de que los profesores de matemática presenten en sus clases aplicaciones de la misma, se justifica por las necesidades futuras de los alumnos, cuando deban ejercer activida des de cualquier naturaleza en la industria, educación, ciencia, agricultura, comer cio, etc. incluso los alumnos que no tengan que utilizar la matemática en sus empleos, la necesitarán como simples ciudadanos para contar, pesar, medir, tomar decisiones y considerar probabilidades. Estas son las razones por las cuales la sociedad destinaGtil nero para la enseñanza de la matemática: implícitamente se espera que ella sea para las aplicaciones.

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Otras razones, menos pr&ticas, para introducir las aplicaciones en la enseñanza de la matemática, son las siguientes:

1. M~~k¿vc~c¿bn. Muchos alumnos no sienten curiosidad por la matemática, pero pueden ser inducidos al estudio de la misma como herramienta para resolver problemas que llamen su atención. Por otra parte, las aplicaciones son a menudo fuente de nueva matemática pura. As? ha ocurrido incluso a grandes matemáticos profesionales del pasado y sigue ocurriendo con muchos matemáticos aplicados contemporáneos. 2. R U ~ ~ f i e hCL&XU&C&~~.Las aplicaciones de la matemática forman parte de nuestra herencia cultural y de la misma actividad matemática, La mecánica de Newton, por ejeg en plo, es un importante sistema intelectual de grandes efectos sobre nuestra vida,

- 98 ingeniería, navegación, uso de satélites artificiales y proyectiles. Su desarrollo fue la fuerza motriz del cálculo infinitesimal y aprender este cálculo sin ver como Newton lo utilizaba, es como aprender a mezclar colores sin ver nunca un Rembrandt.

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3. MukdcLe de b C % U h b . La matemática "pura" que se usa en física (o en biolo gía o economía, por ejemplo) es, a menudo, demasiado fría, inadecuada y aún equivocada. Es común, por ejemplo, establecer las fórmulas mediante argumentos que resultan confusos, para evitar el uso del cálculo, argumentos que el alumno aprende para los g xámenes, sin entenderlos claramente. Es preferible ver las mismas cosas, con mejores razonamientos, en las clases de matemática. En éstas, el'profesor conoce mejor las p c síbilidades de los alumnos y las dificultades que puedan surgir pueden ser antes díscutidas entre el profesor de matemática y los de las otras materias, con los que debe trabajar en estrecha colaboración. Un tema matemático enseñado 1 ~UbbkrtcrcAu . es muy probable que ya se haya olvidado en el momento de ser utilizado en otra materia. En cambio, sí el mismo se enseña insistiendo en sus aplicaciones, no solamente será mejor valorizado y comprendido, sino que posiblemente quedará más grabado en la memoria. En la actualidad, se observa que la cooperación entre los profesores de matemátL ca y los de otras materias es bastante frecuente, por lo menos en los países en que los profesores de matemática y de física, por tradición, tienen análoga formación. Rg cientemente han tenido lugar conversaciones exploratorias entre matemáticos y profesg res de idioma, que tienen gramática, lógica y problemas de enseñanza comunes. Los prg fesores de arte tienen también interés por la geometrsa [l].

4. ReconacÁrn¿evi;to de e,,5&u.~c,tufu~ en pfiaenc¿cL de "&úda" Una cosa es aprender, por ejemplo, los grupos, y otra muy distinta es reconocer 2 na estructura de grupo en un determinado conjunto de conocimientos o de cosas, sean pertenecientes a la matemática misma, a la física o al comportamiento social. En cona secuencia, es deseable que las aplicaciones de la matemática se enseñen tendiendo desarrollar la habilidad para distinguir las estructuras matemáticas dentro de conjuE tos informes, prescindiendo del resto. Esto se relaciona con la habilidad para construir modelos, como veremos más adelante, y es una extensión de habilidades más sim ples, como la de estimar el volumen de un árbol asimilándolo a un tronco de cono,o la de estimar la altura de un edificio observando su subdivisión en pisos y contando su número. Algunas aplicaciones de la matemática son bien conocidas, pero a veces son demasiado complicadas para ser expuestas en la escuela secundaria y otras veces carecen de actualidad. Vamos a considerar primero ciertas tendencias actuales en las aplicacig nes de la matemática en tareas profesionales. Después veremos cuáles de estas aplicaciones son apropiadas para ser enseñadas y discutidas con los alumnos.

11.

Tendencias en las aplicaciones de la matemática

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Son muy conocidas las aplicaciones de la matemática a la física y a la ingenie ría que derivan del cálculo infinitesimal. Menos conocidas, en cambio, son las aplics del ciones del álgebra lineal, 16gica y teoría de grafos a las ciencias sociales y comportamiento. Estas Últimas aplicaciones son particularmente importantes para la a 2 mínistración y para la toma de decisiones a través de las técnicas de la investiga ciÓn operativa [21. Para las aplicaciones a la geologza se puede ver George [31, a la

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geografza ver Haggett y Chorley [41 para la biologla ver Legay [51 y para la fisiolz gía ver Rosen [61 e Hay una tendencia creciente en todas estas disciplinas hacia el uso de nuevas herramientas matemáticas, cada vez menos triviales. Muchos problemas interesantes en estas disciplinas que ya han sido resueltos, pueden ser tratados en la enseñanza secundaria. Simultáneamente, el estudio de la probabilidad y de la estadística aparece en aumento en la mayoría de los planes de estudio actuales, incluyendola programación lineal. A veces estos estudios se realizan como materias separadas, pero en muchos países siguen formando parte de los programas de matemática. Sin embargo, a pesar de que los textos de matemática correspondientes a los nuevos programas contienen aplicaciones a muchos campos, sigue pesando la tradición de limitar las aplicacio nes del cálculo a la mecánica y a la física. Las computadoras han ejercido una gran influencia en el desarrollo de las aplica ciones cb 3a matemática. Por sus grandes posibilidades, muchos problemas de meteorolo gía, teoría del control, ecuaciones diferenciales y estadística, antes consideradoscg mo imposibles de tratar, pueden ahora ser atacados y resueltos. Una caracterlstica de las computadoras es que pueden manejar enormes cantidades de datos numéricos, lo que obliga a desarrollar modelos matemáticos convenientes para poner orden en este apareg te caos. Esto hace que el concepto de modelo matemático haya pasado a ser un tema de discusión importante, en todos los niveles de la enseñanza.

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Debido a la importancja de las computadoras, muchos programas de matemática secundaria incluyen actualmente algunos elementos de computación, como ser la construcción de diagramas de flujo y la introducción de algún lenguaje como FORTRAN o ALGOL. Estos temas tienen relación natural con la lógica matemática. Sin embargo, ellos no son propiamente aplicaciones de la matemática, si bien son ejemplos de una manera matemática de pensar y, frecuentemente, constituyen valiosos ejemplos de como expresar claramente varias alternativas. Un diagrama de flujo, por ejemplo, con implicaciones y estrategias apropiadas, puede dar una idea atractiva de la manera matemáticadetratar un problema, la cual queda muchas veces escondida en la "matemática de cocina"tr5 dicional. Naturalmente que por el solo hecho de contener computación, no puede decirse que un programa de matemática secundaria contenga aplicaciones de la matemática.El uso de los modelos que vamos a tratar a continuación, servirá para aclarar este punto.

111. Modelos La palabra I'rnodelo'' es actualmente de uso muy frecuente y as?, por ejemplo, se 2 ye decir muchas veces que la matemática es un "modelo" de las situaciones reales. Sin embargo, parece que no hay acuerdo general sobre una definición de la palabra "mode lo", por lo cual vamos a intentar darle un significado que pueda servir para la poste rior discusión. Al describir una impresión mental o un pensamiento (3 una "situaciÓn'? mediante palabras, la descripción resultante es un modelo de dicho pensamiento.Es muy diflcil que en el modelo se pueda captar küdü el pensamiento, pues siempre algunos dg talles quedan omitidos. Aspectos especiales del pensamiento pueden exteriorizarse mediante diversas clases de lenguaje: metafórico, mfstico o matemático. Si el lenguaje usado es el matemático, el resultado es un modelo matemático del pensamiento, el cual naturalmente no es Único, pues una misma situación puede ser expresada matemáticamente con más o menos detalle o precisión. LU dee¿bmda 6Up91Uk6n de tlRgunüh d U U U VeceA Ueno¿C& pcUtU WrnpXeMnkún. Esto hace que no se pueda considerar la palabra modelo, simplemente como una copia hjümÚX~kcude una situación. El motivod.econstruir

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- 100 modelos es, a veces, para facilitar el análisis de una situación y, otras veces, para CumUdCCut un pensamiento. Esto Último es frecuente en la enseñanza de la matemática, en que para que los alumnos entiendan mejor un tema, se sustituye por un modelo más simple. Por ejemplo, en la escuela primaria, el conocimiento de los sistemas num? ricos puede facilitarse por el modelo (físico) de las reglas de Cuisenaire. Este es un ejemplo de como un modelo físico, puede ser Útil para entender un sistema matemáti co. Otro'ejemplo, muy clásico y famoso, dentro de la matemática superior, es el constituido por los fenómenos físicos de la teoría del potencial, que pueden considerarse como modelos que llevaron a Riemann y a otros matemáticos a un conocimiento más pro fundo de la teoría de funciones analíticas. Para un ejemplo elemental en álgebra, ver Kirsch [71 . En el tratamiento clásico de la física matemática, el proceso de construir o uti lizar modelos, no se discutía nunca explícitamente, tal vez porque el modelo newtonia no de la mecánica resultaba suficientemente bueno y no hacían falta otros. En la teoría de la luz existieron largas discusiones acerca de si la teoría correcta era la ÓE tica de Euclides o la teoría corpuscular de Newton, resolviéndose en favor de Eucli des y Fermat [81. Más tarde surgió la discusión sobre si el "verdadero" modelo era da do por las partículas o por las ondas, discusión que terminó cuando la mecánica cuántica probó que ambos modelos eran Útiles, dependiendo del fenómeno que se tratara de he& estudiar. Este es un ejemplo importante para mostrar el peligro de CüM&fld¿tt ; moddon, cosa que era frecuente antes del siglo actual y sobre 1 dud C O M U M O de el cual conviene prevenir. Recordemos que la geometría del espacio se confundió con modelo euclidiano durante siglos. Estos ejemplos pueden servir también para terminar con la idea de que para explicar una situación existe una Única teoría; al contrario, diferentes aspectos pueden requerir diferentes modelos. Cada vez que aparecen nuevas aplicaciones de una teoría, el modelo debe ser reconsiderado, sea porque no se adapte bien a las nuevas aplicaciones, sea porque convenga sustituirlo por otro más maneja ble. Estas cuestiones empiezan a figurar en los libros de texto (ver el "Winchester Calculus" de Montgomery y Jones [ 9 ] o las "Cornell Notes on Engineering Mathematícs" [101 )en el sentido de discutir explícitamente los modelos, pero es posible hacer mucho más dentro de un nivel elemental (ver Schiffer [111 y Polya [81).

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Otro asgecto de la teoría de modelos matemáticos es la técnica de la simulación. Para ello es generalmente necesaria una computadora, pero se pueden dar ejemplos simples que apenas requieren computación (ver el capítulo sobre probabilidad y Schneid

[.a).

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Hay que observar que, una vez tenido ,elmodelo, es muchas veces necesario desa rrollar una técnica matemática apropiada al-mismo, como fue necesario desarrollar el cálculo para investigar el mo'delo newtoniano de la mecánica. Puede ocurrir que una técnica matemática sea muy buena para un determinado modelo y resulte inaplicable para otro. Hay que tener muy en cuenta este hecho, para no caer en la tentación de aplA car una misma técnica o herramienta a modelos diferentes. El éxito del cálculo infini tesimal en física induce muchas veces a aplicarlo a situaciones en que es poco Útil y en las cuales son más apropiados otros métodos o técnicas, por ejemplo, las de la prg gramación lineal.

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Para descubrir un modelo particular, es con frecuencia Útil el método axiomático. La elección de un buen sistema de axiomas para una situación dada, constituye la "matematización" de la misma. Un buen ejemplo ha sido dado por Steiner [12]y se refiere

- 101 a dicrintos procedimientos de votar en una elección, los cuales conducen a formular ciertas definiciones y axiomas, que luego pueden compararse entre sz; todo ello es hg cho por los mismos alumnos, resultando un Útil entretenimiento para la matematización de situaciones. Otro ejemplo es el de los espacios de probabilidad (E,B,p) (77er el c z pltulo 4), en que para una misma situación, se pueden dar valores distintos a p, y a cada valor corresponde una manera distinta de juzgar la situación. Como observa Schig fer [111, un antiguo e interesante ejemplo es el axioma de Heron, según el cual la luz sigue siempre el camino más corto, 10 cual implica los axiomas de la Óptica de Euclides. El ejemplo clásico más complicado es el de Euclides, al querer describir toda la geometr5a del mundo físico, sistema interesante pero demasiado complicado para ser e2 puesto en un nivel elemental. Se han propuesto algunas alternativas, por ejemplo la de Descartes al utilizar el álgebra y los números reales para construir un modelo de la geometrla'de Euclides mediante la geometría analítica. Este modelo es más simple que.el puramente geométrico de Euclides, pero el precio de tal simplicidad es el uso de los números reales. Tenemos así un ejemplo del proceso de modelar una parte de la matemática lfpurall con otra parte de la misma, proceso similar al de modelar aspectos del mundo real. El proceso de modelar situaciones constituye una parte vital de la matemática y los profesores de matemática pura no deben creer nunca que es una cuesti& que no les concierne y que corresponde a los profesores de otras disciplinas(ver Griffiths [151 )

.

Actualmente hay escasez de problemas, no demasiado conocidos, que puedan tratarse en base a modelos y que sean suficientemente simples para que puedan ser expuestos en la escuela secundaria. Algunas revistas dedicadas a la enseñanza de la matemática publican a veces interesantes artículos sobre ello. Mencionaremos especialmente 1a"ME thematical Gazette" en Inglaterra, los "Educational Studies in Mathematic~'~ en Holanda y el "American Mathematical Monthly" en los Estados Unidos de Norteamérica. El "Bulletin of the Lnstitute of Mathematics and its Applications" en el Reino Unído,tam bien contiene artículos expositivos para matemáticos que trabajan en la industria. De todas estas publicaciones es posible seleccionar material adaptado a la enseñanza secundaria (ver [141). Antes de dar ejemplos sobre situaciones que se presentan en la enseñanza, vamos a terminar esta sección reproduciendo las siguientes frases de Pollak [16]: "Conviene hacer notar una hipótesis fundamental que preside este breve estudio de las aplicaciones de la matemática y sus relaciones con la enseñanza. Hemos supuesto contL nuamente que es posible y apropiado atacar el problema racionalmente, es decir, que una discusión razonada y lógica deberá contribuir a la solución del problema. Sin embargo, se ha discutido muchas veces acerca de la relevancia de la razón en cuestiones de educación. Nosotros también debemos discutir esta relevancia, pero por otros motivos totalmente diferentes a los relacionados con perturbaciones educacionales. Nadie discute seriamente la importancia de las aplicaciones de la matematica y sin embargo, siempre ha habido dificultades, y sigue habiéndolas, para que ellas tengan el lugar que les corresponde en los curricula. ¿Por qué? Existe la posibilidad de que algunas personas se sientan atraídas por la matemática precisamente porque desean aislarse del mundo real. Estas personas conciben a la matemática como una estructura ordenada y hermosa que no tiene nada que ver con la vida. Si este es el caso para mucha gente y ello es el motivo real de las dificultades con que se tropieza para introducir las aplicaciones en los programas de matemática, el autor sospecha que no hay esperanza".

- 102 Algunos problemas económicos actuales, hacen que en muchos países sea difícil e 2 contrar ocupación para los matemáticos puros (ver G.S. Young [171 )y de aquí una teE dencia de los estudiantes del doctorado en matemática a seguir materias de matemática aplicada, para salvaguardar las oportunidades de su futuro empleo. Esto puede dar lugar a que en poco tiempo se vaya dando mayor importancia a las aplicaciones de la matemática en la enseñanza de la misma, en todos los niveles.

IV.

Tendencias en la enseñanza de las aplicaciones de la matemática

Vamos a considerar primero las tendencias que se notan en la primera enseñanza. En la segunda enseñanza, debido a que no hay uniformidad en todos los países respecto de la edad de los alumnos que estudian determinados temas, consideramos las aplicacig nes por cada capítulo de la matemática. Lamentablemente esto puede parecer que contrL buye a la tradicional subdivisión de la matemática en compartimentos separados, pero debemos insistir, al contrario, que abKtheYnOh h,th?lp&e ey1 MlerLte Uyl X?UL&WU 'e& un¿&LccL

da de Ru ma.temc¿t.¿cu y de Lu muyIehu rnu.teWi¿í&Lcu de cundLLC¿tt e l peaavn¿e&.

A. Ebcu&u

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pttíW1cuú.u (de 5 u 12 aMoh de edad)

Los métodos de enseñanza asociados con los nombres de Froebel y Montessori han familiarizado siempre a los alumnos con la matemática práctica. En Inglaterra, la misma tendencia ha sido muy desarrollada en el proyecto Nuffield [181 y por muchos maestros particulares. Los niños aprenden a pesar, medir, usar líquidos para estas operaciones, estimar áreas contando cuadraditos, dibujar diagramas de frecuencias, etc.Los datos numéricos que se obtienen de estas experiencias, son luego manipulados mediante las técnicas de la aritmética, para distintos fines. Algunas mediciones que no pueden hacerse directamente, se hacen sobre planos o mapas dibujados a escala. La geometría se desarrolla prácticamente, instruyendo al niño con la geometría física (semejanza,á reas, formas, simetrías) que luego organizará teóricamente en la segunda enseñanza.Pa ra planificar actividades se hacen diagramas de flujo. Las flechas, diagramas de Venn y de otro tipo, se usan con frecuencia como medios para ayudar al pensamiento.Se buscan consecuencias a partir de histogramas sobre datos del tráfico frente a la escuela, frecuencias de nacimientos, composición de las familias, etc.

A este nivel elemental, los modelos se usan constantemente, aunque muchos de ellos no se prestan a un análisis expl'icito. Es un campo en el que hay mucho que hacer, especialmente mirando a los problemas tradicionales, altamente influidos por las discusiones socráticas en la primera enseñanza, La clásica organización en aulas, con ni ños sentados en pupitres separados, frente a un maestro que habla y escribe en el pizarrón, está siendo renovada. Los níños se sientan actualmente en grupos alrededor de mesas, o están en el patio reuniendo datos, con el maestro paseando alrededor como cuL dador y consejero. Con la antigua disposici6n era difícil para los alumnos discutir si un modelo era apropiado o no, o si una estrategia para resolver un problema estaba o no bien orientada. Con la nueva disposición, esta comunicación es esencial, si bien ella exige una gran competencia y h d d a d por parte del maestro. El maestro debe co; prender que el niño, como los verdaderos cientlficos, puede cometer errores, y ellole debe ser permitido. El maestro debe aprender de los alumnos.

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Los c1"aicos problemas, como el de las fuentes y desagües de una bañadera,pueden servir como modelos del problema de la conservación del agua en depósitos, Los niños pueden estudiar el sistema local del suministro de agua (como uno de tantos proyectos de trabajo en equipo) y luego discutir hasta que punto la bañadera con fuente y desael güe es un buen modelo del sistema y de qué manera hay que proceder cuando varía consumo o las disponibilidades de agua. Otro problema clásico, como el de rn hombres que tardan d d"is para excavar s unidades de tierra, se presta también a discusión. el ¿Cuando deja el problema de ser realmente posible? ¿Por qué es estructuralmente mismo problema de la lavanderfa que necesita tanto tiempo y tantos trabajadores para terminar una cantidad dada de ropa? ¿Cómo debe calcularse el pago de horas extra?¿mo debe decidir por anticipado un administrador si debe o no tomar trabajadores extra en una plantación, en la época de cosecha? Este nuevo enfoque de los problemas, es actualmente posible debido a que, en general, ha sido abolida la prueba de.seleccíÓn al t6rmin.o de la escuela primaria. Hace unos 60 años, en estas pruebas de selección, era difícil encontrar problemas como 'ID2 da una cierta suma de dinero, haga el plan de una comida para cuatro personas", pues estos problemas no se prestan a ser resueltos en tiempo limitado, ni son fáciles de calificar. Con el cambio de los métodos de promoción, estos problemas ya son posibles. Otro ejemplo sobre modelos se encuentra en la aritmética aproximada. Supongamos un modelo aritmético de una situación que conduzca a números y a operaciones de manejo poco cómodo, por ejemplo al cociente 531+46, ¿Qué pasará si nos contentamos con una solución aproximada del tipo 530S40, o bien 530+50, o con una respuesta en núme ros decimales de pocas cifras? ¿En qué condiciones el problema permite este tipo de simplificaciones? Conviene saber, para cada problema, la importancia que tiene una determinada aproximación o una cierta simplificaciÓn, Para comprobar un resultado hay también, muchas veces, métodos indirectos, que dependen del problema, pero que hacen innecesario repetir todas las operaciones, Por ejemplo, si 531:46 representa la velocidad de un corredor en km/h, una solución como 83 debe ser rechazada, pues ningÚnbbre puede correr a una velocidad superior a 40 km/h. La aritmética del reloj (en gene ral, la aritmética módulo n, para un n dado) es actualmente conocida por los alumnos y puede ser usada para verificar resultados, .Por ejemplo "531 = 47 x 13" no puede ser correcto, puesto quep módulo 7, es equivalente a "6 = 5 x 6" que es falso (a pesar de que, módulo 10, se escribe "1 = 7 x 3", que es correcto) .,

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Para hacer un buen modelo de una situación es necesaria cierta experiencia. Tampoco se puede hacer en cualquier nivel, siendo conveniente que el maestro espere hacta que considere que los alumnos estan preparados para su discusión. A veces puedeser necesaria una previa preparación intuitiva, como en el caso de la probabilidad, en que los alumos pueden entender los problemas mucho antes que el mecanismo de su sol2 ci6n. Por ejemplo, si cada paquete de chocolatines contiene una figurita, ¿cual es la probabilidad de repetición? La definición de probabilidad como frecuencia, parece 9-r accesible a los alumnos de la escuela prímaria y existe material didáctico y publicaciones para llevar a cabo esta enseñanza (ver [191 , [201). Hemos indicado varios campos de aplicación de la matemática correspondientes al nivel primario de su enseñanza. Puesto que hay una marcada tendencia hacia la enseñaza integrada, juntando lectura, escritura, geografla, historia, transportes, compraventa,.,. se observa que las aplicaciones de la matemática aparecen de manera natural en casi todas las disciplinas, y al mismo tiempo, estas aplicaciones motivan y facill -

- 104 tan la enseñanza de la matemática pura. Finalmente, debemos mencionar el valor educativo de ciertos juegos y de aparatos como los geoplanos, todos muy Gtiles para inculcar nociones de estrategia y desarrollar la manera matemática de conducir el penca miento , aunque no deben considerarse propiamente como "aplicaciones" de la matemática. '

E. Ap&wO¿ane~

EM

eR yL¿veL becmduh,íu (dc 72 a 7 b aiioion de edad)

Vamos a mencionar algunas aplicaciones de diferentes ramas de la matemática.

7. An¿;bn6LLca. A medida que el alumno maneja más técnicas aritméticas, aumentan las posibles aplicaciones. Podemos citar, por ejemplo, el capítulo sobre cómo calen tar una casa, en la serie S.M.P. [Zl]. Si los alumnos ya están en edad de conocer la terminología, caben problemas sobre el dinero, referentes a créditos, inversiones, in flación, depreciación de una mercadería (¿cuál es el momento más conveniente para ven der el auto viejo y comprar otro nuevo?). También se pueden discutir hipótesis sobre fluctuaciones de datos; por ejemplo, dada la cantidad de público que va al cine de ng che, inferir sobre las características sociales de la ciudad. Es interesante trabajar en las soluciones aproximadas de problemas como ''¿cuánto alimento de cierto tipo necg sita una ciudad por semana?", o bien, "¿cuánta goma se transfiere por año a la atmósfera procedente del consumo de las cubiertas de las ruedas de los autos?" [221. 2. ARgebILCL. La notación literal es usada comúnmente para expresar relaciones €un cionales, por ejemplo A = a x b para el área del rectángulo, V = IR (Ley de Ohm) , v2 u2 = 2gh, etc. Inmediatamente aparece la cuestión del cambio de variables, para pasar de aquellas más fáciles de medir a las más difíciles de calcular. Estas.simples operaciones algebraicas bastan muchas veces para resolver problemas de investigación operativa (ver Singh [231 , parte 111, donde se discuten problemas sobre ferrocarriles y colocación de puentes y Gale [241 para el problema del "jeep"), La notación del á1gebra de conjuntos se conoce desde la escuela elemental, así como algunos elementos del álgebra proposicional. Conviene después comparar el álgebra de Boole con el álgebra ordinaria y hacer aplicaciones de ello a la solución de problemas lógicos simples y al diseño de circuitos eléctricos [251 . El cálculo de proposiciones y predicados pus de presentarse como un modelo de lenguaje y de proceso de pensamiento [261 .

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Las matrices se introducen como cuadros de mercaderías y precios, para describir transformaciones geométricas lineales y para resolver sistemas de ecuaciones lineales. A un nivelmás avanzado, aunque siempre elemental, las matrices pueden usarse también para tratar la relatividad especial, como hace Schiffer [111. Otros temas de álgebra, de la matemática de la escuela secundaria, son las desigualdades lineales y algunos problemas simples de optimización, así como elementos de la teoría de juegos. Una vez conocidas las notaciones del álgebra de conjuntos, se pueden discutir sin dificultad muchas fórmulas referentes a probabilidades y estadgstica, con sus aplicaciones naturales. Para esto se pueden ver los libros del S.M.P., M.M.E. y S.S.M.C.1.S.y varios 2 tros. Si ya se han dado los primeros elementos sobre grupos, un ejemplo interesantede aplicación, fuera de la matemática misma, es el estudio de ciertos sistemas primiti vos de matrimonio [25]. Los grupos pueden también ayudar a entender ciertos cálculos de permutaciones y combinaciones.

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3, GearneL'Úu. Una vez que se conocen algunos teoremas básicos de la geometrla e 2 clidiana, toda la geometrra puede pensarse como una rama de la flsica. Aparecen aplicaciones inmediatas al dibujo de planos a escala, al dibujo de perspectivas y a la t o pografla, La serie de textos M,M.E. [27] empieza con problemas deinavegaci6n y una rápida introducción a los vectores. Es tradicional el uso de la. trigonometrla, desde sus primeras definiciones, al cálculo de alturas, angulos de techos, rumbos, etc. Tam bién son muy conocidos los problemas sobre cambios de escala, por ejemplo, como al a 2 mentar 10 veces las dimensiones lineales de un animal, se produce un aumento de 1000 veces en un sistema interno de calefacción y sólo un aumento de 100' veces en su sistema de refrigeración a trav'es de la piel. Esto plantea problemas de tarneño Óptimo, que han sido tratados, por ejemplo, en artzculos de Haldane [281 , D'Arcy Thomson[ 29]y Newman [301. En la serie S.M,P. se encuentran tratados los grafos lineales, que pueden ser usados en problemas referentes a buscar caminos sujeiíos a condiciones dsdas, por ejemplo, el camino más corto entre dos puntos de una red complicada, La topología de los espacios métricos se puede introducir en los primeros años de la escuela secundaria. Marczewski y Steinhaus, en Polonia, han señalado la siguiente e interesante aplica ciÓn a la biología:

-

Sean A y B dos bosques que contienen, respectivamente, a y b especies de árboles, de las cuales w especies son comunes a ambos bosques, ¿Se puede definir una buena dig tancia entre A y B? Aquz la distancia no tiene, naturalmente, significado geográfico, se trata de dar una medida numérica a la diferencia de composici6n de los dos bosques. Es interesante que una definición conveniente, esta dada por la fórmula:

d(A,b)

=

a+-b-2w a + b - w

Se puede demostrar, como ejercicio instructivo, que esta expresio'n sotisface a los postulados de la distancia.Se presentan entonces varias cuestiones: LQué significa d(A,B)=l? ¿Para qué C se cumple d(A,B) = d(A,C) I- d(C,B)?, etc. Otra métrica que motíva interesantes discusiones sobre posibles modelos, es métrica "del taxista", definida (en el plano) por d(P,Q)

=

Ix(P>

- x(Q)I

+

ly@)

la

- y(Q)I

donde x(P), x(Q) son las abscisas e y(P), y(Q) las ordenadas de los puntos P, Q referidas a un sistema cartesiano ortogonal. Esta m'etrica es apropiada para muchas ciudades americanas, construidas en forma de red ortogonal, Otro tipo de cuestiones se refieren a la disposición Óptima de tiendas, escuelas y casas de una ciudad, todo 10 cual está vinculado con recientes técnicas topológacas usadas por urbanistas y geÓgr2 fos [41. También se presentan posibles métricas con dastancias no simétricas; por ejemplo, en una ciudad con calles unidireccionales, no siempre es d(P,Q) = d(Q,P). Ciertos problemas de geometría pueden resolverse como aplicacio'n de las propieds des de la reflexión y refracción de la luz. A este respecto se puede ver Yaglom [ 3 1 ] , Courant y Robbins [321 y Schiffer [111 .

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-

Una vez los alumnos han estudiado geometrza analítica, cabe estudiar muchos prg blemas como intersección de gráficos. También son bien conocidas las aplicaciones del trazado de curvas, cálculo de áreas con papel milimetrado y calculo de gradientes. Al gunas propiedades de las cónicas son anteriores al cálculo infinitesimal. Por ejempl;, el hecho de que un foco luminoso o calórico colocado en el foco de un espejo parabóli co produce un haz de rayos paralelos, tiene aplicación a los faros de los automóviles, antenas de radar y hornos solares. Las parábolas aparecen también como trayectoríasde los proyectiles con aceleración constante (ver Polya [81 y Schiffer [111 ) .

4. cÚ&dO. Actualmente existe la tendencia de ir disminuyendo cada vez más la 2 dad en que se enseñan los elementos del cálculo infinitesimal. A partir de la cinemática elemental y del problema del cálculo de gradientes, es fácil enseñar el manejo del cálculo, sin entrar en su estudio riguroso. Así se ha hecho en muchos países desde hace más de medio siglo. Sin embargo, de esta manera no se entra en el estudio"for mal"de1 cálculo, a través del álgebra lineal y del análisis, entendiendo por análisi; el enfoque riguroso del cálculo mediante los conceptos de límite y continuidad. Quienes aprenden el cálculo por el primer método, como herramienta práctica, encuentran en general dificultades para estudiar luego el análisis, pero hay que reconocer quede esa manerad cálculo se hace accesible a muchos alumnos para quienes el1 análisis pre senta dificultades y falta de interés. Algunos problemas de máximos y mínimos son pronto accesibles. Viene luego el problema de introducir las funciones exponencial y logarítmica cuyas muchas aplicaciones ofrecen excelentes motivaciones para ello. Por ejemplo, el decaimiento radiactivo y el crecimiento de la población conducen a la ecuación en diferencias finitas A N = k.N.At y este modelo discreto puede sustituirse por el modelo continuo dN/dt=k.N Esta ecuación se puede resolver de varias maneras, incluso a partir de las propieda des del crecimiento deducidas de la ecuación, que permiten inferir la forma como N de pende de t. El resultado es la función esponencial exp, cuya. inversa es el logaritmo. Otra manera de obtener la función logaritmo, consiste en definirla por la integral

s;

dt t

-1 como antiderivada de la función t ; su inversa es luego la función exponencial. Las propiedades de ambas funciones pueden estudiarse a partir de las ecuaciones funcionales que las definen 1351.

El concepto de integral puede introducirse de manera apropiada a sus aplicacio nes a ia física. Para eiio se A L L ~ O W que la j-ntegrai~ ( x )es ¡e área limitada por la gráfica y=f(x) en el intervalo a < x < b. Se tiene así la aproximación 6A=f(x)6xy que permite pasar a la ecuación diferencial dA/dx = f(x), la cual muestra que A es la antiderivada de f. Naturalmente que este procedimiento supone (implícitamente) que A(x) existe y depende de x de manera continua. El método es interesante porque aparece en la formulación de muchas ecuacíones diferenciales de la física, como son las r s ferentes a cambios de masa (motor de los cohetes, vehículos que se abastecen en vuelo) en las cuales la ley de Newton toma la forma d(mv)/dt = fuerza. Una vez que se ha vi? to que el proceso de integración es Útil e interesante, se puede pasar a una descripción más rigurosa del mismo, pudiendo esta escala de rigor variar según las circuns tancias de cada caso (ver Griffith-Hilton [261 y Armitage-Griffiths [361 ).

-

- 107

-

Establecidas la integral y la función exponencial, se tiene abierto el camino pa ra estudiar algunas ecuaciones diferenciales. El enfriamiento de los cuerpos conduce a la ecuación d0/dt = 0 0, y los problemas de depredación conducen al sistema

-

dN - aN + bM

-dM_ -

,

dt

pN + qM

dt

así como a la discusión del significado de las constantes B0, a,b,p,q dentro de sus respectivos modelos. La aparición de un sistema de ecuaciones lineales ofrece una buz na oportunidad para usar el cálculo matricial, a la vez que el estudio de las solucig nes se presta a la aplicación de otras técnicas (no lineales) (ver [371 [381, [391 y Newman [301 ). Otros problemas conducen a la ecuación de primer orden (D

- k)

Y

=

f(t)

(D

7

=

d/dt)

donde k es una constante, y por interación a la ecuación de segundo orden (D

- 1) (D - k) y

=

f(t)

que se presenta en la teoría de circuitos eléctricos y en la mecánica de sistemas viljratorios amortiguados. Escribiendo la aceleración como vdv/dx (v = dx/dt=velocidad), resulta que en muchos problemas de mecánica aparecen ecuaciones no lineales de la for ma v-dv

=

f

dx que sólo se pueden integrar elementalmente para ciertos tipos de funciones f. Con cada integración, viene la discusión y el gráfico de la solución, junto con las conse cuencias para la situación real que la ecuación diferencial representa (ver Polya[ 81 , p. 175-205) . Las aplicaciones anteriores son ejemplos de la física clásica. Para ejemplos en biología, ver Rosen [61. En muchos programas actuales en que la teoría de la probabilidad juega un papel importante, figuran también muchas aplicaciones del cálculo, en particular de la integración, relativas a las funciones de probabilidad (ver el proyecto S. S.M. C.I. S. [401 y la serie S.M.P., nivel A, [41.1). Los matemáticos aplicados y los ingenieros exponen en general sus trabajos en forma difícil de entender, principalmente porque con frecuencia descuidan partes del razonamiento matemático, sin dar las razones para ello. Sin embargo, estas razones existen y es un problema interesante ponerlas de manifiesto y anelizarlas. Por ejemplo, en ciertos problemas la tierra se considera plana, en otros se considera esférica, en otros como una esfera aplastada y en otros como una masa puntual. La razón de uno u 2 tro caso depende, en general, de los cocientes entre el radio de la tierra y los de más parámetros que figuran en el problema; estimando estos cocientes, aparece clara mente y explicado racionalmente el porqué algunos términos pueden despreciarse y otros no. Otras veces, algún término de una ecuación no lineal se suprime para simplificar el problema y hacer más fácil la solución, pero ello supone un cambio de modelo cuyas consecuencias deben ser analizadas. Un ejemplo interesante ocurrió hace poco tiempo con un problema referente a la luna: uno de los descensos realizados sobre ella

-

108

-

tuvo ciertas dificultades por no haberse tenido en cuenta, en los cálculos, las fluctuaciones de la gravedad lunar, En general, las simplificaciones pueden ser muy interesantes desde el punto de vista matemático, para lograr elegantes soluciones, pero sin embargo hay que tener siempre en cuenta que estas simplificaciones no hagan per der el interés físico del problema. Esto es fundamental tenerlo en cuenta en la enseñanza de la matemática; en caso contrario se da pie a que muchos científicos diganque "los cálculos sin sentido son matemática, las reflexiones serias son ciencia". Las rg flexiones serias consisten generalmente en buscar un modelo que sea tratable y se adapte bien a la realidad. Se ha dicho muchas veces que dado el tiempo destinado a la matemática en la es cuela secundaria, no es posible tratar la matemática pura y, además, sus aplicaciones. Esto es muy cierto, pero es parte del problema general de la educación, que consiste en buscar tiempo para dar más biologTa, más economía, más idioma, más de todo. La ÚnL ca posibilidad, además de la selección de los contenidos y el desarrollo de métodospg dagógicos para que puedan ser desarrollados en menos tiempo, consiste en dejar algu nos temas como optativos, después de una cuidadosa selección del "nÚcleo" de cada materia que debe ser común a todos los alumnos. Por ejemplo, en Inglaterra, los alumnos de sexto año que estudian matemática pura deben elegir, además, entre mecánica y estadística. En la práctica, no es fácil ponerse de acuerdo entre los profesores de mg temática acerca del contenido del "nÚcleo" del programa que debe ser seguido por to dos los alumnos debido a que la matemática es muy extensa y cada uno considera esencial la parte que conoce mejor. Se han hecho encuestas para saber la matemática que es necesaria para la industria (ver Hastad [451, McLone [461 , [471 )pero ello plantea más problemas que resuelve, debido a que los usuarios de la matemática que contesta ron al cuestionario, estaban muy influidos, en general, por la educación matemática que habían tenido.

-

-

Sin embargo, el objetivo a largo plazo de la enseñanza de la matemática,en cuanto a sus aplicaciones, es claro: los alumnos deben aprender a utilizar la matemática de los libros cada vez que la necesiten y, por tanto, deben ser educados para poder leer estos libros y entender su contenido.

Vamos a terminar esta sección, dando unos cuantos ejemplos de temas de examen, tomados de algunos textos ingleses y directamente de algunos exámenes, que consideramos representativos de las aplicaciones tradicionales de la matemática. Sus ventajas e inconvenientes se deducen fácilmente de las consideraciones anteriores.

V.

Algunos temas de examen referentes a las aplicaciones de l a matemática

1. La fuerza de atracción de la tierra sobre un cuerpo exterior a ella,es igual a M/x2, donde M es una constante y x es la distancia del cuerpo al centro de la tie rra. El valor de esta fuerza sobre lkgr/masa situado en la superficie de la tierra(es decir, a 6.300 km del centro) es el peso de 1 kgr. ¿Cuál será la fuerza de atracción sobre 1 kgr/masa situado: (a) A 1000 km de la superficie de la tierra; (b) a 2000 km de la superficie; (c) a x km de la superficie de la tierra?

-

2. En navegación, la velocidad media de una marea que dura 6 horas, se considera igual a los 2/3 de SU valor maximo. Suponiendo que la velocidad es una función sinu soidal del tiempo, de período igual a 12 horas y u es su valor mzximo, probar que la velocidad media durante una marea (6 horas) es 2u/r(=2u/3, si se toma 3 como valor aproximado de T).

-

-

109

-

3. Observemos la siguiente tabla relativa al vuelo de algunos pájaros e insectos:

Longitud de las alas (metros) Cigüeña

1

Paloma

0,91

1

5Y7

2

I

0,30

I

6

57 7

200

0,Ol

Abeja

Velocidad de los extremos de las alas m/=g

Aletazos por seg .

6,3

Entendiendo por aletazo la mitad de una oscilación completa, que la velocidad ig dicada es la velocidad máxima y que el movimiento de las alas es armónico simple, buscar la amplitud de las vibraciones de los extremos de las alas. Si los datos anteriores son correctos, resulta que el ángulo descrito por las alas en cada aletazo, es el mismo en los tres casos; ¿cuál es, aproximadamente, el valor en grados de este angula?

4. Supongamos una línea eléctrica de alta tensión. Sean A, B y C,.. . los extremos superiores de una serie de postes que sostienen el cable y que supondremos se encuentran a 300 m. de distancia entre sá. Si el cable conductor es de cobre, la forma que toma entre A y B es una curva que referida a un sistema de ejes cartesianos ortogonales de origen A y cuyo eje x pasa por B y se puede considerar dada por la ecuación y = x(x-300)/2080 (unidad el metro). Se pide: (i) La flecha del alambre entre A y B (es decir, la máxima distancia vertical del alambre a la recta 0); (ii) El ángulo entre los dos tramos de alambre AB , BC en el punto B; (iií) Si el alambre conductor es de aluminio en vez de cobre, la ecuación de la curva que adopta es y = kx(x-300) y la flecha resulta ser la mitad de la correspondiente al caso del cobre. Hallar k y el án, gulo entre los tramos que concurren en B. 5, La compuerta de un dique tiene 16 m de alto y 10 m de ancho y está sostenida contra la presión del agua por fuerzas horizontales que actúan en la parte superior y en la parte inferior de la compuerta, perpendicularmente a ella. Determinar la magnitud de estas fuerzas cuando el agua tiene de un lado 13 m de altura y del otro 8 m. 6. La velocidad de un tren que se supone parte del reposo, está dada por la bla siguiente (en km/h) t, minutos v, km/h

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

10

18

25

29

32

20

11

5

2

O

Estimar aproximadamente la distancia recorrida en los 20 minutos.

ta-

-

110

-

7. Una partícula cae a partir del reposo en de masa está dada por la fórmula gv2/c2, donde v (gzaceleración de la gravedad). Probar que en un distancia de calda X y adquirirá una velocidad V 2 2 g x = c

[c2/(c2

un medio cuya resistencia por unidad es la velocidad y g una constante tiempo T, la partícula recorrerá una relacionadas por las fórmulas

- V2) 1

Demostrar también que si la partícula es lanzada verticalmente hacia arriba con velocidad inicial c, alcanzará la máxima altura, que será igual a (c210ge2)/2g,en un tieg PO 7rc/4g. 8. Un corredor de anchura h desemboca en ángulo recto en otro corredor de anchura b. Una viga de longitud 1 debe pasar horizontalmente de un corredor a otro. Des preciando el espesor de la viga, probar que la longitud máxima que puede tener para poder doblar la esquina y pasar de un corredor a otro es (b2/3 + h2/3)3/2.

9. (i) Un mazo de 52 cartas, contiene 4 ases y 4 reyes. Se sacan tres cartas al azar. Se pide la probabilidad de que ellas sean: (a) 3 ases; (b) 2 ases y 1 rey. (ii) La probabilidad de que un motor de un avión cuadrimotor falle durante un cierto viaje es el 5%. Si falla un solo motor, la probabilidad de que el avión pueda completar el viaje es 80%. Si fallan dos motores de distinto lado, la probabilidad de terminar el viaje es 50%. Si fallan dos motores de un mismo lado, el avión no puede continuar el viaje. Se desea la probabilidad de que el avión pueda terminar el viaje. Naturalmente que las probabilidades que aquí se dan no guardan ninguna relación con las verdaderas probabilidades en los servicios regulares de las líneas aéreas.

VI.

Perspectivas

Muchas de las aplicaciones del cálculo han pasado a ser tradicionales en la mayoría de los textos. Actualmente, van apareciendo muchas nuevas aplicaciones, sobre todo en un nivel avanzado, que pueden verse en revistas técnicas como el SIAM Review (USA), Bu11 Institute o€ Mathematics and Applications (Inglaterra), etc. Como ya dijimos, en muchas revistas profesionales aparecen sugestiones para los profesores de matemática, las cuales, sin embargo, son casi siempre demasiado difíciles para ser epuestas en las clases de enseñanza secundaria. Por otra parte, se dispone actualmente de colecciones de problemas referentes a aplicaciones [48], [ 4 9 ] , por lo cual apare cen muy favorables las perspectivas de su introducción y extensión en la enseñanza. Tal vez sería interesante desarrollar métodos visuales, como existen para la enseñanza de la matemática pura, para la matemática aplicada. En este sentido hay que mencig nar las películas sobre mecánica de fluidos presentadas por el "Education and Development Center'l (Massachussetts, USA). Con todo esto, las perspectivas para un rápido incremento de la enseñanza de las aplicaciones de la matemática, son grandes y bien fundamentadas.

-

Sin embargo, existen también algunas críticas a estos esfuerzos. Pollak [161 ha llamado la atención sobre algunos problemas que quieren aparecer como "aplicaciones", pero son artificiales y caprichosos. Si bien algunas veces pueden resultar divertidos,

- 111 otras veces confunden más que ilustran. Como ejemplo tzpico Pollak menciona el siguíe2 te problema: "Sabiendo que el calor específico s está dado por la fórmula s = 1 f at + bt2 4 ct3 , donde t es la temperatura, hallar el punto crítico de s mediante el uso de la derivada ds/dt". Según Pollak, el hecho de elegir esta expresión cúbica para s, en lugar de otro polinomio, es una cosa que llama la atención, y la naturaleza o significado de los coeficientes necesitarra cierta explicación para que el problema tuviera carácter de matemática aplicada. Para una "real" aplicación, sería preferible buscar el punto crítico a partir de la gráfica de los datos, en vez de calcular la de rivada ds/dt. Sin embargo, el mismo Pollak reconoce que malos ejemplos pueden, a veces, ser buenas fuentes como primeras aproximaciones a modelos mejores, y al mismo tiempo pueden servir para incitar a los alumnos a la crítica y al mejoramiento de los mismos. Debemos también mencionar las críticas de Hammersley [50], que aunque reflejan cierta ignorancia de los problemas de la enseñanza de la matemática proporcionan algunos problemas interesantes sobre posibles aplicaciones, que pueden ser utilizados para medir la habilidad de los alumnos para aplicar la matemática de manera ingeniosa. Es de esperar que la colaboración de matemáticos y profesores, pueda encontrar nuevas y abundantes fuentes de aplicación de la matemática, adaptadas a la enseñanza elemental y secundaria. Sin embargo, subsiste un obstáculo muy importante, que es el de los exámenes de tiempo limitado. La experiencia demuestra que son muy pocas las aplicaciones de la matemática que pueden desarrollarse dentro del tiempo disponible en un examen. Los buenos problemas, tomados de la realidad, no pueden resolverse muchas veces de manera completa, y sin embargo, puede ser muy instructiva una solución parcial o aproximada, como suele ocurrir en ingeniería y en investigación operativa.Esto obligará a cambiar las técnicas de los exámenes y de calificación, en aquellas escuelas en que el examen es indispensable para seleccionar a los alumnos que deben pasar a un grado superior de la enseñanza, en el cual el número de plazas es limitado. La realización de proyectos, ensayos, trabajos en equipo, son métodos posibles para juzgar las habilidades de los alumnos, pero por tradición se consideran difíciles de calificar, porlo menos por los matemáticos, aunque no tanto por los historiadores,maestros de tareas manuales y otros. Se necesitará mucho tiempo para que esta califica ciÓn sea posible, sobre todo en el caso de muchos alumnos, pero algo se está haciendo (ver Biggs y Hirst [511, [521 , y "Spectrum" [531 ). Todos los faccores tendientes al buen tratamiento de las aplicaciones de la matemática están en desacuerdo con los ex& menes convencionales de tiempo limitado, en que los examinadores mismos deben usar un mal modelo (la ordenación de los candidatos por orden de méritos). Existen perspectivas de que la lógica de los modelos, obligará la reconsideración de los actuales métg dos de examen.

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CAPITULO 8 TENDENCIAS EN METODOS Y MEDIOS PARA LA ENSEk4MZA DE LA MAYEMATICA

A mediados de la década 1950-1960, se extendió por todo el mundo el afán para rg formar la organización de la enseñanza de la matemática en todos los niveles. El comienzo deia era espacial, entre otros progresos científicos, obligó a examinar cuidadosamente el tipo de matemática y de pensamiento matemático que debza ser presentado a los alumnos para sus futuras necesidades. A medida que las reformas iniciales iban teniendo lugar, 5e llegó al convencimiento de que hacía falta una reforma integral y que había que preparar nuevos programas y nuevos métodos de enseñanza, más adaptados a la "nueva matemática". En este capftulo vamos a consíderar los nuevos métodos y los nuevos medíos que han sido puestos en práctica, así como las tendencias importantes a este respecto, que al parecer deberán prevalecer en los próximos años.

1.

Introducción

Durante la última década se han producido en muchos países cambios importantesm la enseñanza de la matemática. A pesar de ello, los cambios continúan y parece ser evidente que en los próximos años la reforma iniciada en la primera enseñanza, deberá ser seguida de nuevos e importantes reajustes en la enseñanza secundaría. En la mayoría de los países, la. reforma se ha orientado principalmente hacia los contenidos. En efecto, a pesar de que se han introducido nuevos medios pedagÓgícos,cg mos los diagramas de Venn y los de flechas, que han facilitado el aprendizaje de los nuevos conceptos abstractos, los métodos para presentar estas innovaciones y las técnicas para conducir las experiencias y el funcionamiento de las clases, se ha dejado casi siempre al criterio del profesor. La mayoría de los programas oficiales de matemática no mencionan, o 10 hacen vagamente, estas Últimas características, limitándose a señalar los requerimientos mínimos en cuanto a contenido. Análogamente, los cursos de perfeccionamiento o actualización de profesores,están generalmente orientados hacia la presentación de nuevos contenidos. En ambos casos, se deja en manos de los prg píos profesores la búsqueda de los medios y m'etodos más eficientes para hacer asequible a los alumnos los nuevos temas matemáticos. a Sin embargo, se han iniciado y llevado a cabo muchas experiencias destinadas encontrar nuevos mékodon y nuevos rno&on para una mejor enseñanza de la matemá.tica.Ez ta tendencia se observa, particularmente, en los países adeptos a una nueva filosofía la para la educación primaria, tendiente al aprendizaje individual, orientado hacía invesLigación y el descubrimiento. Este capítulo está destinado a tratar los nuevos métodos y medios actualmente en uso. La descripción va a ser forzosamente resumida, recomendando a los lectores que deseen tener información más detallada, hacer uso de la bibliografía citada al final. Hemos añadido también una breve sección destinada a informar sobre las posibles consg cuencias de las tendencias actuales.

- 116 11.

Objetivos fundamentales de la educacion en general

A. U n a b j&va

c e W de Ru educuc¿Ún en h nac¿e&d mún y uu;CévLZ;¿cue&cuc¿ún pcutcc. ,toda ciududuno

m a d m w en pnuvem unu cu-

Aunque en las Últimas décadas se han hecho muchos progresos, todavía la democratización de la educación encuentra serios problemas en muchos países, como ser la faL ta de recursos (maestros y profesores calificados, edificios escolares, textos y matg ríales de enseñanza, etc.), aumento de la población, trabas administratívas y políticas, resistencia de la sociedad al cambio, necesidad de enseñar nuevos temas o bien de enseñar de manera diferente los temas tradicionales (como en el caso de la matemática), etc. Aun en los casos en que estas dificultades locales o nacionales, de carácter general, se van venciendo, queda luego el problema de buscar medios eficientes para lograr una educación uU~QWU y común para &do alumno, en las aulas ordinarias. Los progresos en psicología y sociología así como la influencia de unos pocos innovadores en pedagogía, y sobre todo el enorme desarrollo tecnológico, han conseguido algunos dios para ir logrando ese objetivo central:

Una de mQ;tadan e~Lc¿em2hp m u ,tenen en cuer~&~~ J Ad¿baenc¿uh Rnd¿vLduden. Actualmente, casi todos los educadores aceptan que es conveniente diferenciar de alguna manera la enseñanza, para tener en cuenta las diferencias en habilidad, experiencia y particular manera de ser de cada alumno [l]. Hasta ahora, la manera más común, de hacer esta diferenciación ha sido el agrupamiento de los alumnos por edades (separación en grados o en años) y por rapidez de aprendizaje (dividiendo los grados o los años en secciones paralelas, con alumnos "lentos", "medios" y "rápidos" en cuanto a la velocidad de aprendizaje). Si bien este sistema tiene sus ventajas administrativas, org gina muchos problemas pedagógicos [21. Aún suponiendo que los alumnos de cada sección formen un grupo homogéneo, es ilusorio pensar que todos los alumnos de una clase pueden mantenerse siempre juntos en su desarrollo matemático, procurando elevar el nivel de los más lentos al del resto de la clase; en general, los esfuerzos para elevar el nivel de unos, termina por rebajar el nivel de los mejores [31. Para terminar con las grandes diferencias entre los alumnos de una misma clase, se han propuesto varias medidas, por ejemplo la creación de escuelas para alumnos más o menos dotados de lo nor mal [41, o bien, individualizando el aprendizaje por medio de la enseñanza programada. Por razones obvias, para la mayorla de las escuelas, hay que pensar en medios más modestos, pero que también sean eficaces. Una técnica frecuente consiste en distri buir a los alumnos en dos o mas grupos dentro de una misma clase. El método funciona si la división en grupos es flexible y hecha con criterio satisfactorio y si, al mismo tiempo, se puede proporcionar material adecuado a los distintos grupos [5].

R. impahAun15iu de Ru ucLLvLdud y deh~mpeiíapmavlcLe de Ron &uwinun

en eL uphenc&

zuje La obra de varios psicólogos, como Piaget y Bruner, ha causado un fuerte impacto en la educación durante los Últimos años [6]. Como consecuencia de esta obra, se ha insistido mucho en la importancia de la actividad y desempeño personal de los alumnos en el aprendizaje, tanto para la formación de conceptos y retención de los mismos, como para facilitar el traspaso de unas situaciones a otras. De acuerdo con esto, exis-

- 117 -te actualmente una fuerte tendencia a dar mayor importasxia al aprendizaje (entendido como adqLLínLc¿úl de conocimientos, en un sentido actívo) que a la enseñanza (entendida como knuvlnin¿ni6n de conocimientos, y aÚ.n en un sentido pasivo). En la escuela primaria, la frase "aprender haciendo'' está ganando adeptos en todas partes. A este respecto se suele citar un proverbio chino: "Oigo y olvido, veo y recuerdo, hago y entiendo". Aunque la enseñanza expositiva subsiste en muchos países, ktLClvéh deR daCuse está defendiendo mucho, para todos los niveles, ZaQMeYiUnzu bILíwL¿eyLfu, como medio para que la enseñanza adquiera un mayor significado e interés. Hasta que punto el descubrimiento debe ser guiado por el'maestro o ayudado co? el uso de distintos medios, es un problema todavía en discusión [71.

c. Durante la Última década, se ha insistido en otro objetivo de la educación en general, a saber: emencut U h n duunmn p m w u CU&MLLCL educaciún en QR Bukww. La cantidad de conocimientos está creciendo tan rápidamente, que la enseñanza en las escuelas debe restringirse, inevitablemente, a unas pocas áreas. Es por tanto imperativo desarrollar habilidades y medios para que el alumno pueda proseguir más tarde su auto-educación. Es necesario que el alumno adquiera la capacidad necesaria para leer por su cuenta la información básica sobre muchos temas que no le podrán ser ensg ñados en la escuela. Por otra parte, los cambios en la sociedad actual son tantos y tan rápidos, que es imposible predecir cuales serán las necesidades de mañana. Algu nos sociólogos predicen que muchos de los alumnos actualmente en las escuelas,deberán ser reentrenados una o más veces durante su vida, debido a la evolución continua de la tecnología y la aparición de nuevos oficios y profesiones. Esto hace pensar en la necesidad de una educación dirigida a desarrollar una gran flexibilidad intelectual y una gran adaptabilidad a los cambios sociales, tanto en conocimiento como en tecnología. Aprender a aprender y el desarrollo de la facultad para pensar de manera indepen diente y creativa, son unos de los objetivos fundamentales de la educación actual.

111. Objetivos actuales de la enseñanza de la matemática

A. Las tendencias señaladas, válidas para toda la educación en general, se reflg jan de manera especial en la educación matemática. En muchos países, por ejemplo, el deseo de tener en cuenta las diferencias individuales en el aprendizaje de la matemática, ha dado lugar a muchos e importantes pro yectos. Por ejemplo, el proyecto I.M.U. [81, en Suecia, ha publicado una serie de "mg dulos" para la enseñanza de la matemática en la escuela secundaría, cada uno incluyen do texto y tests (en general en tres versiones) y posibles "audiotapes" y material de uso manual, que permiten al alumno avanzar a su propio paso y mantenerse en el nivel adecuado. Un segundo ejemplo es el proyecto C.S,M.P. 191, en U.S.A., el cual ha ini ciado la producción de "paquetes de actividades" para las escuelas primaria y secunda ría. Estos paquetes son de contenido variable y la idea es adaptar sus contenidos : a p ra formar sucesiones Óptimas de paquetes adaptadas a cada alumno. Como tercer ejemplo, mencionaremos que algunos proyectos han gastado mucho dinero para conseguir una enseñanza de la matemática altamente individualizada por medio de computadoras [lo].

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118

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El entrenamiento de los alumnos para una educación continua, durante toda su vida, tiene particular importancia en la educación matemática. Este objetivo es mencionado en muchos proyectos, por ejemplo, en el informe escandinavo se dice: ".. como un objetivo que debe tener prioridad desde el punto de vista de la educación futura, se debe mencionar la capacidad de los alumnos para estudiar por sí solos los libros y publicaciones matemáticas. Debe haber una investigación sistemática sobre este punto, analizando y buscando tipos de textos que puedan ser estudiados por los alumnos por sí solos. En cooperación con las demás disciplinas, debe estar siempre presente la idea de que el fin principal de la educación en el momento actual es lograr que h A GLeumy10~ A u n cupucu dc udquhth cunaMe&un y cupucddud de PQMCUL, rz&m2andu ,pan nX huL06, de rnunmu Lndepcndieruk. No hay que pensar que la matemática solamente se puede aprender con la ayuda y consejo del maestro" [111.

R. En los Gltimos 15 años, debido a la influencia de matemáticos profesionales y a las recomendaciones de numerosas conferencias nacionales e internacionales, se ha insistido abundantemente, en que los programas de matemática de las escuelas elemental y secundaria eran obsoletos y se han fijado nuevos objetivos de la enseñanza de la matemática [12] Como resultado de investigaciones realizadas en distintas partes del mundo y de la insistencia de calificados especialistas, actualmente están prácticamente fuera de discusión las siguientes características de la enseñanza de la matemát ica : e

Mientras que algunos temas tradicionales (como la aritmética comercial) o cier (1 ) EM e ñ m rnu;temNca u c W z u d u , LncLuyendu p/wbub&&LdQt, ;temmcn nwnéjúcu

y ~t,XuciLuXcc~ y mu

tas habilidades (como largos cálculos con números de varias cifras) se consideran de menor importancia, el interés por otros temas y su forma de exposición han crecidovE ticalmente, haciendo que los mismos sean tratados, en forma de espiral, en todos los niveles de la enseñanza. La aritmética y el álgebra elemental se tratan actualmentede manera muy distinta de la tradicional, dándoles un mayor y más profundo significado. En muchos programas, algunos en curso de experimentación, se está reemplazando el trs dicional tratamiento sintético de la geometrza, por otro más dingmico, a través de les transformaciones, coordenadas, vectores y a veces métodos algebraicos. Algunos tE mas, como proposiciones abiertas, números enteros, etc., han sido pasados de la enseñanza secundaria a la primaria.

El lenguaje de la teoría de conjuntos, con las relaciones y aplicaciones entre 2 llos, se enseña tanto en su forma verbal como en la forma escrita y diagramada. También algunos elementos de lógica, como proposiciones y proposiciones abiertas, significado preciso de los principales conectivos lÓgicos, algunas reglas de inferencia, etc. se incluyen generalmente en todos los programas. En cuanto a los sistemas numéricos (&meros naturales, enteros, racionales,etc.) , actualmente se definen y distinguen de manera mucho más precisa que antes. La aritmética modular suele formar parte de los programas. Aunque es necesario todavía mucho trabajo experimental, es cada día mayor la tendencia a introducir, desde los primeros años, los elementos de la probabilidad y de la estadística [131 y también los del cálculo y matemática numérica, pues se considera que estos temas, en sus rudimentos, forman parte esencial de la cultura matemática actual. Por "matemática num&ica" se

- 119 entiende algo más que la simple calculatoria. Ella incluye la teoría de los algorit mos numéricos procesos iterativos, diagramas de flujo, combinatoria, estimación de errores, uso de operadores, sistemas lineales, programaci6n lineal, etc. Si bien no hay que pensar en enseñar con detalle las técnicas especiales de cada uno de estos tg mas, conviene mostrar aquellas que tienen aplicación general, a manera de ejemplo de como la matemática pura puede ser aplicada a la soluci6n (exacta o aproximada) de prg blemas de la vida real [141. La tradicional exclusividad en el estudio de las ecuacig nes y fenómenos bien determínados, ha sido sustituida por el énfasis hacia las desi gualdades, inecuaciones, aproximaciones y fenómenos aleatorioso

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(2) ErueñGYt Ru rnc&m&ticu &wt&me~.& uvú&Lcadu paft medio de Ron cancep;ton b&Lcan y de RUA a;t;rtuW& n & e W a En los nuevos programas de matemática, los conceptos modernos del álgebra juegan un papel unificador que se nota en todas las camas. Muchos capítulos de la matemática clásica, aparentemente no vinculados entre sí, se pueden presentar ahora de manera unificada o muy relacionada, gracias a los poderosos conceptos básicos de los conjun tos, relaciones, aplicaciones, operaciones, morfismos, etc. y a las estructuras funda mentales, como los monoides grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales, álgebra de Boole, etc. La terminología y el simbolismo básico de la teoría de conjuntos se acostumbran a introducir muy temprano (desde la escuela primaria), pero el momento en que estos conceptos unificadores y las estructuras deben estudiarse explícitamente y en forma separada, lo mismo que la mayor o menor amplitud que debe darse a este estudio, son cuestiones todavía en discusión, variando mucho según las distintas ooinio nes personales. Por ejemplo, los programas inglés y francés discrepan profundamente al respecto.

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~

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Tanto en la escuela primaria f 153 como en la secundaria [161, de manera inde pendiente, se han elaborado y experimentado programas con fuerte tendencia unificadora. Se trataría ahora de elaborar un programa verdaderamente unificado de matemática, desde el jardh de infantes hasta la universidad. En esto se está trabajaado a.ctua1 mente [171.

Actualmente se considera más importante que 10s alumnos adquieran CUfiCep&A, que habilidad en el cálculo basada en práctica rutinaria. En la escuela primaria, se esti ma que las actividades manuales y la incitación al descubrimiento son los métodos más apropiados para que los niños aprendan y asimilen, con todo su significado, los con ceptos matemáticos de los números naturales y sus operaciones, así como los nÚmeros E teros, fracciones, conjuntos, relaciones, etc. En todos los niveles, el punto de vista de los conjuntos y de las estructuras es muy útil para relacionar unos conceptos con otros. Mostrando explícitamente las propiedades matemáticas básicas, como la conmutatividad de ciertas operaciones, la transitividad de ciertas relaciones o la monotonía de ciertas funciones, los alumnos entienden mejor el cómo y el porqué de la manera de proceder en los cálculos, en el manipule0 de expresiones algebraicas, en la resolución de ecuaciones, etc.

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Es cierto que este énfa,sis en la parte conceptual de la matemática, ha hecho que algunas veces se descuidara la ejercitación práctica, hasta el punto que han sido frg cuentes las críticas a la “nueva matemática”, achacándole inutilidad para los cálcu los. Sin embargo, una buena comprensión de los conceptos lleva unida la habilidad pa-

- 120 ra aplicarlos y transferirlos a nuevas situaciones. Esto sin perjuicio de que algunos conceptos deban completarse con otros para que lleguen a ser operacionales, siendo a veces necesario el desarrollo de algunas técnicas formales (cálculo con expresiones gebraicas, un mínj-mo de cálculo mental, familiaridad con las operaciones numéricas bg de sicas) que deben ser conocidas y practicadas periódicamente. Es decir, un mínimo cálculo rutinario sigue siendo necesario. Pero aún este cálculo debe presentarse a partir de situaciones que atraigan la atención del alumno y justifiquen su necesidad, con lo cual resultará seguramente menos aburrido y más eficiente.

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Ru muakmÚaZcsGL hw..$a como ( 4 ) €n~Gut un úzx amSLuuneao 0 p m c L u M . u R

UM. cuehpo

de cunocírn¿evl;tan ubn;trtu&n,

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La matemática ha sido siempre, y sigue siendo, un instrumento de la mayor importancia en fzsica, biologla y en todas las ciencias naturales y sociales que utilizan modelos matemáticos para resolver sus problemas. Llama la atención, sin embargo, que este papel fundamental de la "reina de las ciencias" no ha sido tenido mayormente en cuenta en muchos de los nuevos prcigramas. Una razón de ello, es la siguiente. En muclios palses, la modernización de los cg rricula ha consistido esencialmente en una nueva presentación unificada y rigurosa de la matemática, a cargo de matemáticos puros, que empezó en el nivel de investigación, fue descendiendo a la universidad y luego a las escuelas secundaria y elemental. Los ejercicios contenidos en los nuevos textos, raramente se refieren a situaciones exter nas a la matemática misma, siendo muchas veces artificiales y sin nada o muy poco que ver con problemas de la vida real. Aunque hay algunas excepciones [183, las aplicaciones de la matemática son generalmente olvidadas en la enseñanza de la matemática. Actualmente se insiste en que eE to debe corregirse y que la matemática debe enseñarse tanto como un cuerpo de conocimientos autónomos y abstractos, como un instrumento operacional de suma utilidad[ 191.

(5) Enn e R m Ru muAmú%ícu coma unu dínc,¿pUvm evz wm5ínuln expun~iGn En la mayoría de los palses, siguiendo una larga tradición, la matemática ha sido siempre presentada como un cuerpo de conocimientos pre-fabricados , en el cual todo parece estar hecho y terminado, Algunas partes de la matemática, como la geometría,se han enseñado casi siempre como disciplinas estáticas, axiomatizadas desde afuera,mieg tras que otras partes se han enseñado como colecciones de recetas para ser aplicadas mecánicamente. Destacados matemáticos, como Polya, han dicho y repetido con insisten cia, que enseñar la matemática de esta manera era dar una imagen distorsionada de lo que es la verdadera actividad matemática, en gran manera inductiva, Análogas críticas han sido hechas a ciertos programas de la ''nueva matemática" [201. Hay que ir dando a los alumnos, a medida que progresan en sus estudios, más opor tunidades para intervenir de manera actíva en los procesos tlpicos de la actividad m z temática,como buscar modelos,ensayar generalizaciones posibles, hacer demostraciones propias, etc. Hay que mostrar problemas abiertos (algunos no resueltos) de los que tan.to abundan, incluso a un nivel elemental, tanto en geometrga como en aritmética [211. De esta manera se va desarrollando en el alumno, el sentimiento de que la matemática es una disciplina con vida, siempre creciente, con muchos problemas no resueltos y que 18 actividad matemática es un quehacer dinámico, poderoso e importante.

- 121 (6) P ~ QYL&VL A unu hugen cecutcl de Ru meAuduRugXu dQ Ru wv&m&cu As: como en la enseñanza de las ciencias naturales se insiste mucho en que los 2 lumnos deben aprender el "método científico", con su poder y sus limitaciones,tambíén en la enseñanza de la matemática hay que procurar instruir a los alumnos acerca de la metodología usada en las actividades matemáticas. Esto incluye la comprensión de la naturaleza y del poder y limitaciones del proceso de mcLte.m~zuc¿ún,que comprendelos (construcción de un modelo matemático adaptado a una situaprocesos de hhbufiZU&'n ción real), &t&V~pX~?&&6fi (pasar del modelo a la situación) f 221, de&vL¿c¿dn y Ux¿Umcc;t¿zao¿o'a [23]. Los papeles complementarios de 1-a inducción y de la deducción, deben también señalarse con insistencia.

También es importante a este respecto, llamar la atención sobre el proceso de d E mostración en matemática y hacer mención explícita de distintos métodos de demostra ci6n. En ciertos puntos no hay unanimidad de opiniones, por ejemplo, acerca de si COE viene o no iniciar a los alumnos en el análisis de la equivalencia de sistemas axiomg ticos, consistencia e independencia de un sistema de axiomas, distinción entre lenguz je y metalenguaje, etc.

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Desde luego que la metodología mencionada debe aprenderse a través de mucha actL vidad matemática y durante un período de varios años.

(7) Phen;tun clkendún u Ru mo;t¿vuc¿Ún y dacurrto.Uo de u&Ltudu ku de Ru mclkmáLLcu

poa~XLvcln nupec-

La motivación tradicional para el estudio de la matemática ha sido a través de factores externos: utilidad para las otras ciencias y para la vida diaria, transaccig nes comerciales, etc., pero estas motivaciones pueden producir, a veces efectos con trarios [241

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Hay otras maneras para inducir a los alumnos a dedicarse seriamente a las activL dades matemáticas y desarrollar en ellos actitudes positivas respecto de la misma. ''...hacer que el alumno sienta la misma emoción que experimenta un ínvestigador cuando encuentra la solución de un problema que le preocupaba, o el placer que produce la belleza y simetría de ciertas formas o ideas. Puede ser una maravillosa experiencia para el alumno ver la forma que toma la representación gráfica de una relación en un sistema de coordenadas, o puede sentirse atraído por la teoría que representa lo que de sucede cuando 100 bolillas son sacadas al azar de una urna que contiene bolillas distintos colores, o interesado por la búsqueda de un &mero natural que tenga 317 d i visores. Tal vez se despierte en 61 una profunda curiosidad y afán de mayores conocimientos ante la demostración de que existen infinitos números primos" [251 . En el informe del simposio de la Unesco, en 1962, sobre la enseñanza de la matemática, se mencionaron varías posibles formas de motivación: interés en ciertos juegos; problemas individuales a elección del alumno; aplicaciones de distinta 5ndole;sS ticfacción al resolver ejercicios; espíritu de competencia (olimpíadas); nociones bistóricas sobre el desarrollo del pensamiento matemático; belleza de la construcción r z cional de la matemática, etc.

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1.22

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¿Cuál es el mínimo de conocimientos matemZticos qpe debe poseer el ciudadano medio de nuestra sociedad? ¿Cuál es el papel de la matemática dentro del concepto moderno de cultura? LCu'il debe ser la matematica b'lsica q,ue debe enseñarse en las es cuelas, com& a todos los alumnos, cualquiera que sea su futura actividad? Estas cueg tiones adquieren actualmente una importancia primordial, sobre todo ante la general mocratización de 1.a educacia'n, Se trata de decidir cuales deben ser los conocimientos matemáticos de una persona, para poder ser considerada como "alfabeto matemático". I'

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Hay indicios de que,por ejemplo, unos conocimientos básicos sobre probabilidad y estadística, una introducci6n a la computación y a la programación, unos elementos de cálculo infinitesimal y ciertas cuestiones de"matemkka num&ica", deben considerarse integrantes del alfabetismo matemztico, sobre todo pensando en los alumnos que no seguirán estudios universitarios. Puesto que el tiempo destinado a la matemática en las escuelaspimaria y secundaria probablemente no ha de aumentar en los próximos años,rá necesario un reajuste importaEte en sus programas y tal vez resultará necesario d g jar como optativos, o suprimir dt?l todo, algunos temas que actualmente parecen importantes.

IV. Tendencias actuales en los métodos para la enseñanza de la matemática En muchos países, el empeño en llevar a la práctica nuevos objetivos y nuevos m& todos de enseñanza, en particular en el área de la matemática, y la adopciOn de nuevos programas, ha impuesto sensibles cargas a, los maestros, que en general habían sido insuficientemente preparados para estos ca,inbios, Una gran variedad de métodos para presentar los temas y de técnicas para conducir las clases, son y van a seguir siendo necesarios para conseguir un aprendizaje eficiente de la matematica para la gran masa, cada día creciente, de alumnos de edad escolar. Vamos a indicar algunas tendencias acerca de los metodos utilizados en experiencias recientes, que si bien no son aplicables 2 todos los países, responden a las niones y recomendaciones de muchos especialistas en educación matemática. Lamentablemente, algunas de estas ideas son de difácil aplicación práctica, pues se refieren a condiciones Óptimas que muchas veces no se dan: por ejemplo, es difícil que algunasde las recomendaciones que siguen puedan aplicarse con éxito a clases de 40 alumnos.

OPA

Todavía hoy, la enseñanza. expositiva, sigue siendo la más común en las clases de matemática. Cualquiera qi?e sea e1 mgtodo usado: verbal, visual o escrito; o el medio empleado: proyectores, textos, televisión, pelícdas, materiales didácticos, etc,.1 la enseñanza expositiva se concentra en la transmisi6n de los conocimientos del maestro o del material preparado, al alimno. Hay varias razones para que este método sea el más popular: los programas están sobrecargados y los alumnos deben pasar los exámenes oficiales, de los cuales depende su ingreso a cursos más avanzados o la obtención de empleos, y para preparar alumnos para rendir un examen, el &todo expositivo tiene e videntes ventajas. Por otra pa-rte, los maestros tienen mucho trabajo y no demasiado& ter& en aprender otros métodos.

- 123 "Aprender haciendo" es un lema muy recomendado para los primeros grados. Se da oportunidad a los niños para que hagan juegos y manipulen con materiales concretos;pa ra estudiar fenómenos y datos de su medio ambiente; para experimentar y explotar situaciones sobre volúmenes, áreas, pesas, etc. ; para descubrir o crear modelos (geométricos, numéricos o de otro tipo); para sugerir problemas; para preparar informes sobre trabajos realizados, etc. Se supone que todo esto contribuye a una mejor comprensión y a una mayor motivación, así como a una retención más duradera y a una mayor ha bilidad de transferencia [261 . Existe también una tendencia, en todos los niveles, a dejar que los alumnos "des a p cubran" las leyes o reglas, las definiciones o axiomas adecuados, o los sucesivos : sos de una demostración, en lugar de presentárselo todo hecho y preparado de antemano, Algunos especialistas insisten en la importancia de que el alumno sea conducido a for mular o a descubrir por sí mismo las ideas esenciales, antes de oír los enunciados pcisos o las propiedades que ellas involucran. Por ejemplo, se pueden proponer ejercicios y preparar actividades que lleven al alumno a descubrir por s í mismo un cierto goritmo, o la fórmula del volumen del paralelepípedo, o la no asociatividad de una operación. Las situaciones y problemas particulares deben presentarse a los alumnos sin la solución, invitándolos a pensar sobre ellos y llegar a ciertas conclusiones.0 bien, siguiendo el método socrático del diálogo, se pueden discutir en clase, bajo la guía del maestro, las posibles soluciones del problema o la viabilidad de ciertas defini ciones o sistemas de axiomas [271.

&

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Es evidente que la enseñanza basada en la investigación y el descubrimiento es más eficiente si el maestro tiene tiempo y habilidad para especular sobre distintaspótesis, discutir las contradicciones e inconsistencias, cometer errores y experímentar el desarrollo de las ideas matemáticas de primera mano [28]. Por otra parte, este sistema de enseñanza supone cierta guía del maestro, no se sabe todavía hasta que grz do, el cual puede variar desde una enseñanza estrechamente vigilada (por ejemplo, mediante materiales programados) hasta una enseñanza prácticamente libre ("Qué desean Uds. hacer o discutir hoy?"). Sobre este puntos las investigaciones realizadas no han tenido mucho éxito y hay todavía fuertes discrepancias al respecto [291. El trabajo con materiales adecuados, sea en forma individual o en equipo, suele también dar buenos resultados, como medio para fomentar la actividad y el interés de los alumnos.

(2) E a y u n d ~ .n u w a kécvL¿ccrn pu,f~ucanduuh La &ctr,e Para poder diferenciar a los alumnos de clases numerosas, muchos maestros, de mg nera ocasional o permanente, sustituyen la clase general para todos los alumnos, por clases parciales destinadas a cada uno de los dos o más grupos en que dividen la clase. Este método de dividir la clase en grupos tiene ciertas ventajas. Permite a los alumnos seguir el curso a paso más lento o más rápido de acuerdo con sus posibilida des, suponiendo que la división ha sido bien hecha y que ha sido posible reunir en cada grupo alumnos relativamente homogéneos, Por otra parte, tratándose de grupos más reducidos, la enseñanza se hace más personal y más activa. Otra modalidad importante consiste en el trabajo en equipo: las discusiones entre los alumnos de un mismo equipo y la colaboración de todos en un mismo trabajo, tiene ventajas sociales evidentes y muchas veces beneficia también el aprendizaje de todos los componentes.

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Sin embargo, la subdivisión en grupos no es suficiente. Algunos temas o proyec tos conviene que sean presentados o discutidos con toda la clase reunida, antesde que los grupos empiecen a trabajar. Por otra parte, el maestro no puede dejar que cada alumno o cada grupo progrese a su propj-o paso, pues todo el grado tiene un programa m k i m o que cumplir, dentro de la organización de la enseñanza en la escuela. Esto hace que de vez en cuando convenga reunir los grupos y trabajar conjuntamente,para tratar de homogeneizarlos en lo posible, por lo menos en ciertos puntos básicos. Una enseñanza completamente individual es im?osible.

La eficacia del trabajo en equipo depende mucho de la posibilidad de disponer de materiales adecuados: hojas de trabajo o textos semi-programados, extractos de libros, medios audiovisuales (transparencias, películas, -..) y diversos tipos de materrial para trabajos manuales. Para simplificar la labor del maestro, es posible conseguir, a veces, hojas de trabajo o gulas especiales que contienen e7 detalle específico de los materiales necesarios, cómo y dónde se pueden conseguir, así como las actividades que con dios se pueden desarrollar o Para alumnos de edad más avanzada, bastan muchas vg ces , directrices verbales e

Tanto si se practica o no el trabajo en equipo, el bajo CndLVCdLLCLe de cada alumno (deberes en casa, lecturas, pruebas, proyectos individuales, recolección de datos, descripción de las actividades del equipo,...) es un complemento indispensable para cumplir con los objetivos d.e la educación y, en particular, de la educación mate mática. Es conveniente permitir, y aún fomentar, el trabajo individual que a algunos alumnos les gusta hacer después del trabajo en equipo, con los elementos y materia les del mismo.

En resumen, la tendencia actual es hacer mily flexible la conducción de la clase y usar en ella algunas técnicas complementarias 1301. La eMeñaBza en eqLL¿p~ es otra técnica actualmente en experimentación. Consiste en que varios profesores se r e h a n y compartan la responsabilidad de organizar, enseñar y evaluar, un grupo de alumnos relativamente numeroso (,porlo menos del orden de dos clases). Pueden convenir, por ejemplo, en que los miembros del equipo se vayanprg parando y desarrollando, alternativamente, una clase para todo el grupo, en una aula grande, para después separar a los alumnos en grupos reducidos que trabajarán, cada 2 no, bajo la guía de uno de los profesores, en aulas separadas. El sistema tiene evi dentec ventajas, pero sin embargo ofrece varios inconvenientes administrativos y huma nos, aparte de que muchas escuelas carecen de las aulas necesarias del tamaño conve niente [311.

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(3) Nuevm uc2LvCduúa deL muaktro En las escuelas en que se ensayan nuevos métodos de enseñanza y nuevas maneras de organizar la clase, recaen sobre los maestros nuevas tareas. En primer lugar, ellos deben ser g&ÚU y cUl%hi.d%hU de los alumnos, estimulando sus actividades y su aprendizaje. Esta tarea no es nada fácil, pues requiere del maestro un cambio de personadad y un cambio de actitud respecto de los alumnos y de los objetivos de la enseñanza, dejando de ser un simple transmisor de conocimientos previamente organizados, como tal vez estaba acostumbrado a ser antes de ensayar los nuevos métodos. Esto significa una extra carga para el maestro, puesto que para ser un buen consultor y un buen asesorde los alumnos, se necesita mucha competencia en mateniática y tambign en psicología prác

- 125 tica. La selección y preparación del material y de las actividades para los trabajos en equipo de los alumnos, requiere también una competencia especial, y sin embargo ng cesaria, puesto que el uso de un material uniiorme para todos los alumnos O todos los equipos, impide sacar el mejor provecho de cada uno, al no tener en cuenta su particu lar manerade ser. El maestro debe ser también un "empresario" de la clase, aunque raras veces hasL do preparado para ello. Las técnicas empresarias requieren experiencia, saber hacer, flexibilidad y confianza. Seguir la trayectoria de cada alumno en sus estudios y saber el estado en que se encuentra en cada instante, no es una tarea fácil, sino que al contrario, ella requiere mucha competencia y buen criterio para poder ser llevada a cabo con éxito [321. Este incremento de las tareas de los maestros, que se añade al que originan los cambios en los programas, obliga a ciertas medidas más o menos positivas, como la apa rición de textos y guías escritas que contienen con todo detalle lo que deben hacer los maestros en el aula y la contratación de matemáticos como asesores en las escue las elementales.

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Para interesar a los alumnos en el estudio de la matemática y motivar el aprendi zaje de la misma, y al mismo tiempo ayudar a la comprensión, retención y transferen cia de sus conceptos y relaciones, los educadores hacen frecuente uso de 6,Úh%&b~fieC, phübLeMíLicU, cada vez que se inicia el estudio de un nuevo tema. Entendemos por ello, que se propone al alumno explorar 'luna situación concreta o abstracta, que porsu presentación viene a ser un desafío a su poder de discernimiento o de invención". Durante esta exploración, las ideas se van clarificando, algunos factores aparecen como importantes o imprescindibles, mientras que otros se van dejando de lado. Algunos esquemas, adaptables a uno o varios problemas, van tomando forma. La solución conduce a establecer ciertas propiedades o a aceptar otras como hipótesis de trabajo. Gradual mente se va construyendo un sistema de relaciones, que luego necesitará ser verificado por alguno de los métodos disponibles: modelos intuitivos, deducciones lÓgicas,cog traejemplos [331. Un punto muy importante, señalado por varios educadores, es que las situaciones deben ser problemáticas p W h h &&JJ?I~~A, es decir, deben tener interés y ser estimulantes para ellos, aparte del entusiasmo que puedan despertar en el profe sor.

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Esta "metodología de las situaciones", como se llama muchas veces, suele dar bug nos resultadas en todos los niveles y ha sido muy defendida por Caleb Gattegno [341. Contrasta con el método más fácil, pero considerado ya obsoleto, de introducir los mas empezando por bien preparadas definiciones o ejemplos y siguiendo con algunos ejercicios o problemas de aplicación o con el aprendizaje de memoria de algunas reglas o propiedades. En la actualidad, sin embargo, el método de las situaciones problernát-L cas no puede usarse en toda su extensión, debido a que los programas están sobrecarga dos, los planes y horarios son rígidos y la preparación de los maestros muchas veces insuficiente.

tz

Las situaciones, en el sentido que aqu? se entienden, pueden ser de muchos tipos: (a) familiares o ambientales (en sentido amplio), como las referentes a problemas de la vida diaria; (b) artificiales, como historias, anécdotas, cuentos,. .. [351 ;

- 126 (c) abstracción progresiva de ciertos conceptos o estructuras matemáticas a partir de acciones sobre materiales concretos [361 , o de representaciones gráficas [371 ; (d) aplicaciones de la matemática a otros campos; (e) temas históricos [381 ; (f) problemas abiertos (en los cuales no está explícito lo que debe buscarse ni, a veces, los medios para ello); (g) juegos, curiosidades, adivinanzas,...; (h) ejemplificación o íG terpretación de temas o hechos matemáticos [39].

El uso de las situaciones problemáticas favorece mucho la comprensión del proceso de matematización y la construcción de modelos matemáticos, así como contribuye a despertar la afición por la matematica. Naturalmente que debe ser complementado con la práctica de la inducción y deducción y del sentido heuristico para resolver problg mas. Para la cuestión fundamental de iniciar en la abstracción de los conceptos y estructuras de la matemática ¿es conveniente usar mucha variedad de situaciones? En caso afirmativo ¿deben las situaciones ser realmente distintas, o es suficiente conside rar una misma situación desde diversos aspectos o con diferentes interpretaciones?¿El paso de lo simple a lo complicado, es siempre lo más efectivo para el aprendizaje, o conviene a veces partir directamente de un concepto muy general para luego particularizar? Estos problemas psicológicos han sido estudiados por Z.P. Dienes quien ha introducido los principios de "final profundo", "encaje m'utiple" y "variabilidad perceptiva", todos los cuales tienen cierta evidencia empírica, pero sin que haya unanimidad sobre los mismos, ni hayan sido confirmados mediante investigaciones [401 .

(51 Abuncluncia de rn&dab

g~&Lad

Una gran variedad de métodos gráficos se han introducido en la enseñanza de la? temática, en general con mucho éxito. Su uso es muy frecuente en todos los países,taG to en la enseñanza primaría como en la secundaria, si bien en los primeros grados y en los jardines de infantes, a veces se prefiere darles una inlerpretación física(por ejemplo, los diagramas de Venn se materializan con cuerdas que rodean conjuntos de ob jetos, las llamadas ''cajas negras" sustituyen a los diagramas o mzquinas de entrada y salida). Los métodos gráficos pueden usarse de distintas maneras. Suelen ser muy Gtiles para desarrollar imágenes mentales e intuiciones de conceptos matemáticos , sobre todo cuando estos son muy abstractos, al mismo tiempo que para poner en evidencia sus características esenciales. Ejemplos muy conocidos son los siguientes: diagramas de Venn-Euler, diagramas de Carroll, diagramas de flechas (con o sin colores) ; gráficos cartesianos de relaciones; * arboles (regulares o no), para las relaciones de orden, temas de combinatoria, etc.; máquinas y flechas; máquinas con muchas entradas y circuitos (para operaciones) ; histogramas, diagramas de barras (para presentar datos) ; diagramas de flujo; figuras geométricas etc. Otros medíos visuales que pueden facilitar y aclaxar la presentación de la matemática son: colores (por ejemplo, la convención de Papy sobre el rojo y el verde)[41] ; películas de muestran la sucesión de pasos de un razonamiento [42]; diagramas de flechas para demostraciones [431 ; historietas cómicas enios libros de texto [441 , etc.

- 127 (6) PnuentctcLanen na UnecLeef, y aphoximu~LunuPhOghUhVdLC, u,Ras concepas Excepto en algunos pocos palses, como Inglaterra., ha sido cosrumbre muy generazadas en el pasado, la de estudiar los temas en forma lineal, siguiendo el Órden 1ÓgL co o el orden de lo simple a 10 complicado, Cuando el 'ilgebra y la geometrla, por ejemplo, se estudiaban separadamente, se hacía una presentación lineal de ambas, en forma paralela, las cuales, por otra parte y a. pesar de sus analoglas no se vincula ban entre SE.

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En la actualidad, la matematica de la escueia primaria ya no se limita a la armética básica y a la medida con las unidades tlpicas, sino q,ue incluye muchos otrostg mas natemáticos presentados en forma concreta y desarrollados en forma paralela, en presencia de conceptos y estructuras unificadoras que penetran en cada detalle del programa. En algunas escuelas, por ejemplo, los alumnos saltan con frecuencia de un tema a otro, volviendo cada. vez a los puntos matematicos esenciales, que están en la base de codos ellos. Una enseñanza En e i l p M , de manera que cada tema a,parezca. varias veces, con diferentes grados de formalismo, generalidad o abstracción, es muy re comendable, y esta siendo aplicada cada vez más, en custí~uciÓnde la clásica enseña2 za fined. Un ejemplo interesante a este respecro, 10 ronsti%uyen las hojas de trabajo hhgaras de Munkalapok [451

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En la escuela secundaria, el tratamiento lineal do los temas matemáticos, es todavía el más frecuentemente usado, tanto en las exposiciones como en los textos. Sin embargo, 10 mismo que en la escuela primaria, se recorniendanmn insistencia, los curr2 cula en e A p d d (por ejemplo en la Conferencia sobre la Enseñanza. de la Matem'itica de Cambridge [46]), en los cuales cada tema aparece varias veces, ca.da una de ellas tratado con mayor profundidad y rigor. Algunos proyectos han producido materiales didácticos paxa toda la escuela secundaria, de acuerdo con esta filosoffa [471 * Esta ten dencía, por otra parte, está de acuerdo con elm'etodo de ir introduciendo las definíciones y conceptos, as? como los axiomas y el simboliszno, de manera progresiva, como una necesidad para seguir adelante o matematizar situaciones naturales, en vez de hacerlo bruscamente y sin previa motivación, como imposiciones que no se comprende de dónde provienen, ni la necesidad de las mismas, La formación de los conceptos matemáticos en 10. mente, desde el punto de vista psicolÓgico, es un tema que necesita todavza ser muy investigado, si bien algunas t e 2 rías sostienen que el aprendizaje es siempre en espiral, Naturalmente que los conceptos presentados en un principio de manera intuitiva, a través de situaciones cgncre cas, deben ir formando un cuerpo capaz de ser presentado de manera deductiva y axiomática. Los conceptos fundamentales no deben detenerse en la etapa inductiva y, por lo menos para muchos alumnos, hay que desarrollar la habilidad para leer ^y comprender ejemplos seleccionados de demostraciones rigurosas"

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(7) EAduettzan punu cuondinuh Ru emefiu~lzude

&%

rncc;¿-Qm~Cu~ COK u,#mh

d í n d Q A ? . & t G L i S

Siempre se ha señalado la falta de coordinaci6n en'cre la enseñanza de la mate&tica y la de o m a s disciplinas, sobre todo en la escuela, secundaria. En la escuelapri, maria, en que las distintas 'ireac son enseñadas por un mismo maeslro, esta falta de coordinación es menos frecuente, si bien existe en mclyor grado de lo que debiera. Los inconvenientes de este proceder se ha.n señalado en muchas publica-cionecy conferencias

- 128 pero es muy poco lo que se ha logrado para mejorar la situación. Los motivos de la subsistencia de esta falta de coordinación son varios, por ejemplo: (a) Los curricula son elaborados, en general, por grupos diferentes de personas, que actúan de manera independiente; (b) Las distintas disciplinas son enseñadas por distintos profesores, quienes deben cubrir programas en general .sobrecargados, no quedando tiempo ni lugar para pensar en ampliarlos con aplicaciones; (c) La ialta de indicaciones y ejemplos al respecto en la mayoría de los libros de texto; etc, Este problema de la falta de coordinaci6n, que siempre ha existido, se agrava en la actualidad a medida que la matemática va extendiendo su campo de acción y su 22 fluencia en otras disciplinas va siendo más grande y más importante. Sobre esta cuesy tión se han organizado reuniones con la de Dakar (1965) [481, Lausana (1967) [491 Varna (1968) [501, además de otras, como la de Cambridge, sobre la correlación de la matemática con otras ciencias en La escuela secundaria [511. En todas estas conferencias se han hecho propuestas y recomendaciones sobre el problema, por ejemplo: "El mundo físico se hace inteligible gracias a la formación de conceptos y su fo-rmulz ciÓn matemática. Por tanto, no se puede admitir que el divorcio entre la enseñanza de la matemática y la enseñanza de la física en la escuela secundaria, sea debido a las tendencias modernas de la matemática, las cuales precisamente tratan de desarrollar en los alumnos el pensamiento lógico y la habilidad para matematizar situaciones. Es necesario desarrollar en el alumno, tanto la habilidad para reconocer las estructuras matemáticas que aparecen en las situaciones de la física (transferencia de conocimieg tos) como su pericia en el uso de las herramientas de la matemática, en particular el cálculo con expresiones algebraicas" 521 .

V.

Tendencias actuales en los medios para la enseñanza de la. matemática

Se acepta comúnmente que todo el aprendizaje elemental tiene un motor basico, alimentado por la experiencia sensorial, del cual nacen los conceptos por procesos de discriminación. De aquá, que cualquier clase de medios sea importante en educación,e= tendiendo por "medios" a todos los modos de comunicación, incluyendo material impreso o audiovisual y su inherente tecnología. Durante mucho tiempo, los medíos usados en la enseñanza de la matemática eranmy limitados: tiza y pizarrGn, libros, ábacos, aparatos de medida, modelos geométricos, láminas, gráficos, y algunos otros. Actualmente han aparecido otros muchos medios, como proyectores de transparencias, películas, audiotapes, videotapes,..., aunque en gg neral resultan, en muchos países, demasiado caros para ser utilizados masivamente en todas las escuelas, aparte de que muchos maestros no han sido preparados para su uso. Otros medíos más recientes, como materiales programados, enseñanza ayudada por computadoras, televisión, etc. se están desarrollando con gran actividad y tal vez estén destinados en un futuro no lejano a tener una influencia fundamental en el aprendizaje de la matemática. Según muchos educadores, esta abundancia de medíos permitirá una gran diferencia ciÓn en el aprendizaje y contribuir5 de manera importante al desarrollo cle las actividades de los alumnos en l a clase. Hay qu.e esperar, por otra parte, que los acelerados progresos de estos medios vayan acompañados de una reducción en los precios, por lo menos en muchos países.

- 129

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Vamos a señalar algunas tendencias que se observan en cuanto a medios para la e2 señanza de la matemática, aunque naturalmente ellas varían de un país a otro y no todas son aplicables a todos los pakes,

(1 ) Cnecien;Ce pkuducchún y uno de nIed¿vb puhu pmrnuueh k ucfivXduá, 51 expRomciún y QR danubnÁrn¿e&, QM WA&J u uyudcut eR uphencüzuje de Ru mcctemúAicu Tradicionalmente, fuera del material impreso, no existían prácticamente otros mg dios que se usaran en la enseñanza de la matemática, Actualmente, en cambio, es muy grande la cantidad de medios que se producen para dícho fin, sobre todo para la escue la primaria y para que sean usados por los alumnos en la clase. Vamos a dar algunos g jemplos, para mostrar la gran variedad de ellos. Para una información más completa, hay que consultar revistas y libros dedicados a. temas de enseñanza de la matemática.

Apcü~CLt06 [531 (para ser usados junto con la enseñanza) : regletas de Cuisenaíre,a paratos de Stern, aparatos de Kern, Unifix, aparatos de Montessorf., bloques aritmétir cos multibase de Dienes, minicomputador de Papy, ábacos (para varios sistemas de nume ración) , geoplanos, tarjetas perforadas, etc.

ERemevLtoi uu,x¿e¿cuter,ptutc; QR upkend¿zuje de. &a gevmeSz¿u [541 (construidos en ca sa o producidos comercialmente): modelos trid.imencional.es de cuerpos o superficies (dg madera, cartulina, material plástico, alambres,...>, referencias espaciales que p e m A ten construir distintas figuras tridimensionales retroproyectos de láminas (a veces con la posibilidad de pr0yecta.r láminas superpuestas), fotocopias o dibujos de fígu ras geométricas que se encuentran en la naturaleza o en obras de arte (ver el libro ""he Graphic Work" de M.C. Escher), laberintos bi o tridimensionales, materiales para construir modelos (espejos, geobloques, material Mira o Babylon, etc.)

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JUegVb y U d h h % ~ Z U 4[551 : Juegos operac,ionales de Steiner sobre estructuras al gebraicas finitas, juegos sobre conjuntos, juego de Nim, torre de Wanois, juegos sobre redes y caminos,...

P&cuRclf, (mudas o sonoras, generalmente de 8 mm, con dispositivos especiales pa ra su fácil manejo en clase). Aud¿ua%pU (presentados en general para ser usados junto con otros medios, en f o ~ ma de "cassettes") M~~teh¿cLe a-:

olimpíadas, etc.

revistas, colecciones de problemas presentados en exámenes

u

571

(21 PtruGi~Qn¿LoiU'n de Lon med¿ab díakinudvb u L V b mue.&%%vb e&íic¿en& y mh Lndividud

p"L¿I unu QVL~QY~CLMZCL rnb

Además de los medios tradicionales usados en la enseñanza de la matemática, que han sido perfeccionados y ampliados en varios aspectos (pizarrones especiales, tizas de colores, cuadernos de trabajo, ábacos, .), los maestros disponen en la actualidad LI

- 130 de una gran variedad de nuevos medios para lograr una enseñanza más eficiente de la matemática y un aprendizaje m5s individual por parte de los alumnos. Se trata de medios, sin embargo, que todavía no se usan en muchos países, por no ser de fácil adquL sición. Por otra parte, se necesita tiempo para seleccionar entre la gran variedad de medios que se produxen, y tarnbién para informar y preparar a los maestros sobre su uso correcto y eficaz. Vamos a indicar algunos ejemplos de estos medios.

A ~ I ~ L L X O Ade dmünktLCIc¿úfi: reglas graduadas, reglas de cálculo, modelos geométric o ~ ,pizarrones magnéticos, etc. Pueden ser de diversos tamaños y pueden ser usados& dividualmente por los alumnos o pos el profesor en. las explicaciones generales. ñ&Wpmy&&ühU y &tampcJJLenc¿uA. Son de mucha utilidad [581 . Perfeccíonamien tos posibles son: el uso simultáneo de dos retroproyectores, posibilidad de superpo ner transparencias o ZZminas, aparatos de reproducción rápida de figuras 'o textos,etc.

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€qLL¿po de f i ~ e d c i u ' ~ 1Ejemplo: , el maestro hace una pregunta que admite tres respuestas (a) (b) (c). Cada alumno elige una respuesta y aprieta un botón corres pondiente a la misma. El equipo da inmediatamente al maestro las respuestas de los alumnos, el número de respuestas correctas, las abstenciones, etc. El maestro utiliza estos resultados para continuar la clase de acuerdo con ellos.

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C L a a p n e p m d med¿uvLte uudiuAc~p~n, p&cLCRub, ieRevhL6~y u&un medio& CIU d i o v a ~ & U , Aunque se ha hablado y escrito mucho sobre las posibilidades de las pelz culas [591 o de la televisión [601 ,para la enseñanza de la matemática, las encuestas realizadas parecen indicar una relativa escasez de buenas películas [611 , dentro de la un impresionante número de ellas [62] y también el poco provecho que se saca de potencialidad de la televisión [631 teniendo en cuenta, la abundancia de material gra bado para ella referente a la enseñanza de la matemática. Esto no quiere decir que no haya habido excelentes producciones, como la Serie.de pelzculas de geometría de J. L. Nicolet, varios dibujos animados de T.J. Fletcher, la película "Donald en el país de la matemática" de Walt Disney, algunas películas producidas por el proyecto Nuffield y por el proyecto Madison, otras del proyecto "Minnesota College Geometry", algunos dibujos animados de Norman MacLaren y muchas películas documentales sobre aplicacio nes de la matemática a otros campos. Se han hecho también interesantes experimentos,como la película canadiense "Dance Squared", para iniciar en las actividades artísticas o geométricas a los alumnos de los primeros grados [641. Otras iniciativas que pueden ser fecundas se refieren a la producción de películas o programas de televisión por maestros y alumnos para ser usados en la misma escuela, o bien, más modestamente, la producción de transparencias, diagramas,... para el uso en clase. El uso de la radio como medio auxiliar para la enseñanza de la matemática, ha sido mucho más restringido 651.

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G d u p m QR muQ.ilktLu,rnuXQn¿CLe nupLeunevLtrhu y rnClke,hLc& h p h a u p m Run muaktwh pmducido pah Ron gobiehnun u popt u.Aoc¿uc¿onu phodQ.ilhMC&ecl, hevhAk4 eclpec¿& zuah QM. edume¿ún mcLcQwI~cu,eXc, Los maestros y supervisores de la enseñanza de 1; matemática, interesados en conocer los puntos de vista actuales y los cambios que se estan produciendo en ella, pueden consultar las publicaciones de la Unesco al respecto, las revistas internacionales como "Educational Studies in Mathematics", informes de comités nacionales e internacionales y las noticias y críticas publicadas en el "Zentralblatt für Didaktik der Mathematik" o por el "Eric Center" en U.C.A. etc,Otros ejemplos se mencionan en otros puntos de este capítulo.

- 131 (3) EL muXten¿d ~u/zmun

pmu eR Uphenckzuje d& R.u mu,tQyM¿ÜXcuphe.Aen&

dink¿nXiu

La mayor parte del material escrito destinado a la enseñanza de la matemática,se publica en forma de libro. Los textos de matemática proliferan actualmente a una vecidad sin precedentes. Es frecuente la publicación de libros por varios autores, en algunos casos muy numerosos, en contraste con la costumbre tradicional de uno o, a lo sumo, dos o tres autores. Además, se ha dicho con razón, que los libros actuales "son más atractivos y ricos en ideas", "están escritos con más rigor de 10 que era costumbre", ''su ordenación ha cambiado, presentando a la matemática como una disciplina basada en las ideas de conjunto y de estructura''. Actualmente, empiezan a surgir libros de un nuevo estilo, destinados a que puedan ser leídos por los alumnos, sin ayuda del maestro. Los libros actuales, además, debido a que contienen muchas figuras y diagramas de distintos colores, son más atractivos y menos pesados que los tradicionales.El estilo con que están escritos ha perdido la clásica aridez de un tratamiento muy gene ral e impersonal, para tomar un carácter familiar, con uso del mismo lenguaje que en la conversación corriente [661 . Algunos libros presentan novedades en el formato y en las figuras: por ejemplo,a veces se usan hojas transparentes superpuestas o diagramas estereoscópicos en colores. Los aparatos de reproducción se han también generalizado, siendo muy Útiles para imprimir hojas individuales de ejercicios , tablas o díagramas. Existen también libros de trabajo o libros-cuaderno, como el "Stretchers and Shrinkers" de J.M. Phillips y el "Motion Geometry" de R.E. Zwoyer [671, y libros para el maestro como los del proyecto Nuffield [68] o "L'Enfant et les Graphes" de F. Papy, con nuevos estilos y nuevas foz mas de presentación [691. Ha tenido también lugar una creciente producción de tarje tas de distintos tipos y hojas de trabajo para los alumnos [701 . Para varios temas peciales, como aritmética, lógica, estadística, álgebra elemental, conjuntos y rela ciones, cálculo, trigonometría, etc., se ha pu,blicado material para la enseñanza pro gramada o semi-programada,

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pmghu(4)Auwienko de Ru pmduccitín de mcctenicce pmgnumudo, uunque La ev~~,eñunzu mudu ec, Zuduvh d¿&&iL de pmck¿ccur. No podemos en este capítulo, entrar en detalles sobre la enseñanza programada y su valor en el aprendizaje de la matemática [711. Nos limitaremos a algunos comenta rios y algunas citas de informes sobre ella.

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"La enseñanza programada se ha expandido enormemente en su breve tiempo de vida y,auG que no tanto como anunciaban algunos de sus más entusiastas defensores, no hay ninguna duda de que ha hecho (y seguirá haciendo) un destacado servicio dentro de los métg dos educativos, al mismo tiempo que contribuirá a la comprensión de los procesos de aprendizaje. Actualmente se están realizando muchas experiencias al respecto y segusz mente seguirán siendo necesariás.nwchas más, hasta que toda la potencialidad del méto do sea puesta de manifiesto. Sin tmbargo, ya se puede adelantar, que si bien la enseñanza programada se va a converti?r en un método muy Útil y eficaz, no será, como algg no de sus promotores opinaba, la solución de muchos problemas candentes, por ejemplo la falta de maestros y su actualización. Las experiencias realizadas hasta la fecha, parecen indicar que la enseñanza programada puede ser un gran auxiliar para el maestro de matemática, pero no suplantarlo" [721

- 132 "...las pretensiones acerca de los meritos presentes y futuros de la enseñanza progra.mada, en cuanto a la matemztica se refiere, son muy exageradas en comparación con la evidencia obtenida a través d.e eva.luaciones objetivas y con las inversiones ma teriales y mentales realizadas... Como antes dijimos, los métodos de evalua.ci6n son más sensibles respecto de los elementos formales del aprendizaje y menos sensibles res pecto de otros elementos, como la comprensión o la evolución del pensamiento. Se podría pensar, por tanto, que los méritos de la enseñanza programada radican en estos Últimos elementos. Pero no es as?: los materiales programados pretenden tomar a su cargo la ejercitación de rutina, 1ibera.ndo al maestro de este aspecto del trabajo.,.. Esta situación puede cambiar. Por ejemplo, algunos sostienen que mediante el uso de las computadoras, se podrá2 en el futuro introducir masivamente muchos programas de apren.dizaje flexibles, para mejor adaptarse a cad.a alumno. La enseñanza basada en cog putadoras es, tal vez, la mayor esperanza de los partidarios de la enseñanza programa da'' [731 .

Las calculadoras de mesa y las computadoras han invadido nuestra saciedad, y están siendo instrumentos de uso común en todos los campos. Esto ha sido posj-ble debido al alto grado de perfección alcanzado por estas máquinas, lo que ha extendido mucho sus posibilidades, y también a que sus precios han empezado a descender notoriamente, Las simples calculadoras mecánicas tenTan ya muchas aplicaciones (descubrimiento y comprensión de los principios matemgticos básicos de los algoritmos aritméticos usuales, facilitar los cálculos desarrollar aproxTimaciones, como las necesarias para introducir los números reales, etc,) [741 pero las modernas calculadoras de mesa electrónicas, especialmente las más recientes que pueden tratar programas, ofrecen muchas ventajas suplementaria,s, por lo menos pa.ra los alumzlos más avanzados : flexibilidad, rapidez, tamaño reducido,..,, al mismo tiempo que permiten iniciarse en la phognrCWcha'Yl cuando no se dispone de computadoras. Además, dado el creciente uso de es tas ca.l~culadorasen las oficinas y en la industria, es muy conveniente que los alum nos puedan familiarizarse con ellas desde la escuela. El proyecto inglés de matemática para la escuela secundaria, ha publicado un libro muy bueno sobre calculadoras de mesa y computadoras para alumnos de escuela medía [751 a

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El uso de las computadoras en la educación se está experimentando actualmente en muchos países y en gran escala, pero es todavía un poco prematuro poder indicar cuáles son sus caracter&ticas, resultados y perspectivas. Todo parecería indicar que las computadoras tendrán, en el futuro, una influencia decisiva en la enseñanza de la matemática, pero hace falta seguir investigando y experimentando para ver la mejor mg nera como las computadoras, junto con otros instrumentos técnicos auxiliares (televísión, terminales de computadoras, compiladores .o pueden ser un medio eficiente y 2 conómico para el aprendizaje. Existen proyectos, como el Plato de Urbana (Illinois, USA), que han progresado mucho en este sentido, opinando que el aprendizaje ayudado por computadoras será muy pronto posible a muy bajo precio por hora y por alumno [761. Otros, sin embargo, como Oettinger [77], creen que dicha opinión es demasiado optimista y que puede conducir a una desilusióa, tambien exagerada. Hay varías maneras de utilizar las computadoras con fines educativos, todas ellas aplicables al caso d.e la matemática. En primer lugar, la computadora puede ser un &A krtu&~f~:los alumnos avanzan siguiendo materiales programados más o menos detallados,

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133

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parece y se comunican con la computadora por teletipo o métodos visuales. El método muy efectivo para que los alumnos vayan aprendiendo a través de un lenguaje programado, en forma de conversación y también para ir controlando ejercicios de rutina en aritmética o álgebra. En segundo lugar, la computadora puede servir como un poderoso pnra resolver problemas numéricos o para tratar muchos datos numéricos de ~?A,?!~LUYMC?&~ distintas maneras. Esto permite a los alumnos de enseñanza secundaria obtener solucig nes aproximadas de ecuaciones polinómicas de grado superior o soluciones de sistemas de ecuaciones lineales con muchas incógnitas, lo mismo que invertir matrices o buscar valores propios de las mismas, etc., todo lo cual sería imposible con sólo lápiz y p a pel. En tercer lugar, el manejo de las computadoras permite dar a los alumnoslRCL bEY1hüoi6n he& deR p o d M y de RCU,l.&nhíxc,t:o~a de RUA wLínmctn, de manera que puedan entender mejor el papel y la influencia real de las computadoras en la sociedad actual. En general, los alumnos aprenden los elementos de algún lenguaje (BASIC o FORTRAN,por ejemplo) con el cual practican el cálculo numérico. Algunos proyectos, como el SSMCIS y el S M P [ 7 8 ] , inician a los alumnos de enseñanza secundaria en los elementos de programación para computadoras; otro proyecto interesante es el CAMP, que ha producido 2 na serie de textos de matemática que incluyen el uso y aplicación del lenguaje BASIC para los alumnos de los Últimos años de la escuela secundaria [79]. En cuarto lugar, las computadoras pueden ser usadas para resolver problemas en base a situaciones sims ladas. Por ejemplo, supongamos el caso de un alumno que ha descrito una cierta situación, basándose en unos pocos datos disponibles, y se le pide que haga alguna predicción o decisión a partir de dicha situación. El alumno puede acudir a la computadora y hacerle tantas preguntas como estime conveniente hasta que, gracias a las respues decitas obtenidas, adquiere la sensación de que puede contestar a la predicción o sión solicitadas. En quinto lugar, las computadoras pueden actuar como crdm¿vc¿-l&dühal,, decidiendo la actividad que debe emprender cada alumno al terminar una de ellas, bassndose en su actuación anterior y en el registro de los resultados de otros alum nos cuando se encontraban en situaciones análogas. Una sexta aplicación de las computadoras en educación, tal vez menos conocida, es la llevada a cabo por Seymour Papert en el Massachussets Institute of Technology, en Boston. Las experiencias de Papert, con alumnos de escuela primaria, son muy originales y consisten en utilizar la compuo tadora como hd&Wt?edi#~Lu. entre el alumno y ciertos aparatos técnicos ("tortugas" aparatos que dibujan curvas en el suelo de acuerdo con instrucciones recibidas, cajas musicales, títeres, grabaciones de televisión,...). Mediante instrucciones transmitidas usando un lenguaje muy simple, el alumno puede programar movimientos de la tortuga o de los títeres, o sonidos de las cajas de música, de manera tal que por dispositivos de realimentación puede ir mejorando su programa hasta obtener los efectos deseados. Papert afirma que se trata de un método sin precedentes y muy poderoso para desarrollar la creatividad y la habilidad para resolver problemas, todo lo cual favorece el nacimiento de una verdadera acrividad matemática en el alumno.

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ch~c¿evctede m6dCLeo6, p q u e A a y ccrjun de ac;t¿widaden, u ~ d u d ade ñüfizu, exc.

(69 &o

E ~ Q -

Los esfuerzos para facilitar el aprendizaje de la matemática han llevado a la producción de una gran cantidad de "mÓdulos", ''cajas:',"multimedios" y otros conjuntos de elementos por el estilo, destinados a la enseñanza de temas especiales de los programas y, a veces, a capítulos enteros de los curricula. Por ejemplo, una "unidad de enseñanza" para la multiplicación de números naturales puede incluir: material para uso manual o para juegos, transparencias, tarjetas numeradas, audiotapes e incluso v 2 deotapes,... y puede ser iisada por un solo alumno o por varios a la vez. Otros "mult2

- 134 medios" más complicados pueden contener materid programado (para uso directo o para computadora), ''tests" para computadora, etc. Los proyectos C.S.M.P. y I.M.U. [801 ponen especial interés en la producción de paquetes o módulos para muchos temas de los programas de matemática. Los proyectos americanos que desean aplicar el sistema de aprendizaje llamado "audio-tutorial" (a través del estudio independiente y de experie2 cias integradas), se apoyan en el uso de este tipo de material con técnicas especia les. Los paquetes o multimedios actualmente existentes para la enseñanza de la matemg tica son difíciles de evaluar. Es posible que su calidad y eficiencia mejoren en los próximos años, siendo necesaria todavía mucha experimentación para analizar los efectos de la integración o uso simultáneo de varios medios. Estos medíos se usan también en la educación continua de los adultos. La "Universidad Abierta" de Inglaterra, por ejemplo, ha iniciado un proyecto ambicioso con cursos por correspondencia, programas de televisión, películas, etc. con la esperanza de que todos estos "multimedios" resulten eficientes para la enseñanza, en particular para la matemática.

(7) lm;tzLeuc¿án de Rubon&n¿oh

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L a e~ncudcln

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La enseñanza de la matemática activa se desarrolla mejor en aulas diseñadas especialmente para favorecer el uso de los materiales disponibles. Naturalmente que todo depende de los recursos de que dispone la escuela, Sin embargo, es posible modernL zar la enseñanza, aún en condiciones desfavorables, si el maestro pone suficiente cos vicción e ingenio. Inversamente, el mejor equipo resulta iníitii si no se usa correctz mente. En los nuevos edificios escolares hay que pensar en espacio para laboratorios de matemática, del mismo modo que existen laboratorios de física, química y de cien cias naturales. Se han publicado interesantes trabajos destinados a los diseñadores de aulas y a los encargados de su equipamiento" [811.

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Los laboratorios de mztemática deben incluir materiales manípulables y distintos medios destinados a favorecer la actividad y el aprendizaje de la matemática. Sin embargo, como es evidente, la existencia de estos laboratorios no es de ninguna manera una panacea que garantice una enseñanza eficiente. Sobre estos puntos ha insistido Mdeleine Coutard [821 .

VI.

Posibles consecuencias de las tendencias actuales

Las tendencias que hemos señalado referentes a métodos y medios para la enseñanza de la matemática, tienen algunas implicaciones que vamos a señalar.

A.

cüPUUU&y1&

heó&UkZ&!A

U RU )?he)9UhU&fK

de w i c L U h A

Los futuros maestros de matemática deben estar bien informados acerca de los métodos y medios disponibles. Hay que poner énfasis sobre la variedad, flexibilidad y ficacia de tales medios, sin pensar en la existencia de un método o de unos mediospar ticulares que sean los mejores de todos, en todos los casos. En consecuencia, los maestros deben haber practicado varios estilos de enseñanza, lo que significa un gran progreso, teniendo en. cuenta que en muchas escuelas de forma ciÓn de maestros, el método expositivo de enseñanza es el Único utilizado. Los futu ros maestros deberlan también familiarizarse, durante su fomacio'n, con abundantes y

bien seleccionados medios de enseñanza, especialmente medios baratos, de fabricación casera y aparatos simples. En las clases para maestros deben practicarse todos los m& todos y medios que se recomiendan para el futuro maestro, aunque sea por tiempo más reducido que el necesario para las clases con alumnos de edad escolar (usando películas o trabajando en grupos si es necesario). Las actividades de taller deben servir para que los futuros maestros practiquen con el uso de los medios más comunes (hojas de trabajo, textos, material programado, transparencias, juegos, material estructurado,..,)sobre los cuales pueden ingeniar mg dificaciones y ensayarlas con los alumnos. Durante sus estudios, los maestros deben tener numerosas oportunidades para intervenir en el aprendizaje de la matemática de manera activa, de manera que la expe riencia adquirida pueda ser Útil a sus futuros alumnos. Deben también ser entrenados en la verdadera actividad matemática (opuesta a la simple contemplación de temas matg máticoc pre-fabricados), en particular en la inducción y deducción, como actividades fundamentales y complementarias. Los cursos de metodologla deben referirse a la metodología actual e ir acompañados de la práctica con alumnos. Este trabajo con alumnos debe ser una parte integral y continua en todo lo referente a la formación de rnaestrcs, no solamente una práctica aislada para ensayar una metodología.

B.

CünhidQnUc¿üWh puhcc RU p h 6 U h U dkCUdU

Como posibles realizaciones, desarrollos y tendencias de la próxima década, podg mos señalar las siguientes: 1. Redacción de un curriculum unificado de matemática, desde el jardín de infantes hasta el ingreso a la universidad, en el cual figuren nuevos temas (como por ejem plo una introducción al cálculo infinitesimal, matemática numérica, probabilidad y es tadística) y en el que prevalezca un enfoque'en espiral para el tratamiento de los conceptos, junto con métodos y medios variados para la enseñanza. 2. Creciente importancia de las ideas categóricas y de los métsdos gráficos enla enseñanza de la matemática.

3. Progresos masivos en el aprendizaje individual de la matemática, continuación de investigaciones básicas y especializadas, grandes progresos en tecnología educativa, extraordinario impacto de las computadoras en educación, facilidades para conse guir "video-cassettes"y equipos de reproducción, prolifera.ciÓn de"mÓdu1os" o unidades multimedios, gran flexibilidad en los programas, etc.

4. Importantes progresos sobre algunos problemas llpsicomatemáticosll, como el de la formación de los conceptos matemáticos, con la correspondiente influencia sobre los métodos y medíos para el aprendizaje de la matemática. 5. Mayor coordinación entre la enseñanza de la matemática y la de otras ciencias, principalmente en los niveles inferiores. Aumento de la investigacíón básica sobre la integración de disciplinas. 6. Acuerdo sobre cuales deben ser los conocimientos matem"aicos mlnimos de una persona, en la sociedad actual, para poder ser considerada "alfabeto matemático". Si se llega a un acuerdo al respecto, ello tendrá seguramente una gran influencia en la enseñanza de la matemática y en los curricula destinados a alumnos que no piensen seguir estudios universitarios.

- 136 7. Enfasis en el desarrollo de la creatividad y del pensamiento heurEstico en la enseñanza de la matemática, con el desarrollo paralelo de los medios para llevarlo a cabo. 8. En muchos países aumentará seguramente el interés por la educación y por la investigación de sus problemas, lo que habrá de tener notable influencia en la educación matemática. En USA, durante los Últimos años, se han instituido ciertos “contratos con garantía de ejecución” para dichos fines, con efectos sin duda positivos. 9. Existencia de bancos de información (impresos, computabilizados, microfilms. .) sobre trabajos publicados, temas para tests , materiales de uso corriente, resultados de investigaciones, recomendaciones de conferencias, etc. referentes a la enseñanzade la matemática. El centro ERIC de los USA, por ejemplo, está actualmente coleccionando y seleccionando datos para tal información. El desarrollo creciente de los medios de comunicación (vía satélite, radio,...), así como la eficiente ordenación y procesado de grandes cantidades de datos por las computadoras, harán que tales informaciones pu. dan ser utilizadas por muchos interesados, lo cual evidentemente influirá, en varios aspectos, sobre la enseñanza de la matemática. 10. Aumento de lasinvestigaciones sobre métodos y medios para la enseñanza de la matemática a grupos especiales (superdotados, retrasados, etc.).

11. Proliferación de nuevos medios y materiales para la enseñanza de temas especiales de la matemática, como probabilidad y estadística, computación, etc. (ya sea en forma de equipos especiales, o programas para computadoras, aparatos de simulación, juegos, etc.).

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137

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Bi bl iografía

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(L)

LLuaiec son

LOS

aos numervs q u e suti sviuciories ae la

-

~ C U ~ C ~ n U L Ln

-AL

- u:

En el segundo ejemplo, la solución puede hallarse por comprobación de cada uno de los pares dados, o bien, resolviendo la ecuación y viendo cuál es el par resultante. Queda, por tanto, la duda acerca de 10 que se ha querido evaluar y por tanto convendría, o bien preguntar directamente la solución, prescindiendo de la elección mÚ1tiple, o bien buscar otro enunciado en que la sustitución fuera el camino inevitable para la respuesta.

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148

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Indiscutiblemente, el método de elección mcltiple tiene muchas ventajas y

es

muy recomendable, tanto por la relativa simplicidad de su preparación, como por la co-

modidad de su posterior análisis. Además, es un método que permite evaluar varias habilidades al mismo tiempo. Por otra parte, aunque comúnmente se piensa que el método de elección múltiple es Únicamente aplicable a la evaluación de habilidades elementales, como el conocimiento de fórmulas y reglas, en realidad puede aplicarse a cualquier nivel, como muestra el siguiente ejemplo: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa la relación entre las bases (b) las alturas (h) de los triángulos de igual área?

y

\

b Para evaluar las habilidades C~XU%J~A del alumno se considera, sin embargo,que es necesario algo más que señalar una respuesta correcta entre varias posibilidades. Una dificultad estriba en que muchas de las preguntas que usualmente se toman para evaluar la creatividad, como ser "Escribir todos los usos que puede tener un ladrillo", parece que tienen poco que ver con la creatividad matemática. En su lugar se están en sayando preguntas como la siguiente: Investigar, algebraicamente más bien que geométricamente, el conjunto de matrL ces

Aparece luego la dificultad de calificar las respuestas a preguntas de este tipero se espera que si la habilidad creadora es fomentada por los maestros y profz po, sores, aparecerán los medios para su evaluación. Respecto del problema de calificar las respuestas, se han hecho muchos estudios referentes al caso de la enseñanza del h dioma y parece probado que la calificación múltiple (realizada por más de una persona) con una calificación de conjunto, es mucho más confiable que la calificación detallaa da por una sola persona. No parece haber razón para que lo mismo no sea aplicable la matemát'ica, pura o aplicada.

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Este mGtodo tiene sus puntos de contacto con el que trata de evaluar sin necesda.d de un examen de tiempo 1imita.do. El fundamento es que ciertas habilidades no pueden evaluarse en el tiempo limitado de un examen, puesto que los mismos matemáticosne cesitan a veces muchas horas para tratar sus problemas. Es necesario tener en cuenta el trabajo del alumno en la escuela, durante un período largo de tiempo, tal vez incorporándolo a un proyecto de trabajo en equipo o algo parecido. El maestro debe observa continuamente al alumno en su trabajo, sólo o en equipo, y llevar un registro lo más detallado posible de cada alumno. Esta evaluación continua-dapresenta también sus problemas. Muchos opinan que es imposible para una misma persona ser a la vez un maestro afectuoso y un juez objetivo, y que este doble papel deteriora las relaciones entre el alumno y el maestro. Respecto de la evaluación de la actitud del alumno, en muchos países se está e x perimentando con las típicas exposiciones verbales sobre un cuestionario dado, pero los resultados no parecen ser satisfactoríos Las exposiciones orales son poco dignas de confianza y difíciles de conducir, además de la dificultad fundamental que consiste en saber luego como usar la información obtenida. Sin embargo, a medida que se vaya progresando en la evaluación en general y en su utilidad para orientar a maestros y alumnos en su acción futura, aumentará el interés para evaluar aptitudes y se mejorarán las técnicas para ello.

V.

Conclusiones

Una de las dificultades para discutir la evaluación en la educación, es que ella tiende fácilmente a ser un tema emocional. No ha sido la intención delautor traer aquí sus propias emociones, ni presentar ejemplos para excitar las emociones del lector. La intención ha sido hacer una exposición crítica y objetiva del estado actual de la evaluación en la enseñanza de la matemática. Como se indicó al comienzo del capítulo, la evaluación es una parte integral de la educación, que afecta de distintas maneras a todos quienes están vinculados con ella. Debido a su importancia, es auspicioso observar el número de ensayos que se están haciendo para ordenar y clarificar sus objetivos, así como para mejorar sus métodos. Es de esperar que estos ensayos continúen sin interrupción en el futuro.

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CAPITULO 10

LA LNVESTTGACION EN EDUCACIOM MATEMATICA

En toda disciplina, al buscar nuevos conocimientos y nuevas aplicaciones, se e 2 tra en la investigación. Las personas relacionadas con la enseñanza de la matemática, para buscar nuevas ideas acerca de la manera como los niños aprenden, acuden a la investigación psicológica; para conseguir nuevas ideas acerca del curriculum, acuden a la investigación filosófica o a las novedades que surgen de la investigación matemátg ca; para nuevas direcciones referentes a los métoaos de enseñanza, consultan a la llg mada investigación metodológica o didáctica. Este caprtulo expone el estado actual y las tendencias de la investigación en educación matemática, la cual se apoya y rela ciona con todos los campos de investigación que acabamos de mencionar. Termina el capítulo con una visión panorámica sobre lo que, al respecto, cabe esperar en los prÓx2 mos años.

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1.

Introducción

Hasta hace poco más de diez años, en la mayoría de los países del mundo, la enseñanza de la matemática recibía poca atención como estudio cientzfico y carecía de 2 valuación crítica. En realidad, críticos de la enseñanza han existido siempre, pero escasas veces ellos han podido examinar la enseñanza de la matemática en gran escala y con otras bases que los juicios subjetivos. Los psic6logos de la educación han esta do analizando la enseñanza durante décadas, pero hasta muy recientemente no se han d g dicado a la enseñanza de la matemática "per se" y, cuando lo han hecho, se han referk do casi siempre a situaciones que eran modelos excesivamente simplificados de la realidad. La investigación en educaci6n matemática es un campo relativamente joven, quesi bien no constituye todavía una disciplina, utiliza los conceptos Y teorlasde otras dis ciplinas, como psicología, sociolog$a, estadística y la misma maremática. Como ocurre en todo dominio joven, los investigadores en educación matemática suelen no estar muy seguros acerca de los límites de su campo y se colocan muchas veces a la defensivares pecto de su propia obra. Careciendo de una teorla unificada y conscientes de que usan materiales prestados de otros campos, se encuentran presionados por dos fuerzas opuesel tas; el hecho de que sus investigaciones se refieren a la realidad de la clase y deseo de conducir las investigaciones o o m experiencias de laboratorio. En todo campo de investigación poco desarrollado, es difícil crear métodos adecuados, pero ello es mucho más difícil cuando los propios invesigadores tienen conceptos diferentes, a veces contradictorios, acerca de cuáles son las investigaciones más apropiadas. Las reformas curriculares de las Últimas décadas, referentes a la enseñanza de la matemática, estuvieron dirj-gidas fundamentalmente a mejorar la práctica educativa; no estaban planeadas pensando en incrementar el número y calidad de las investigaciones en educación matemática. Sin embargo, el movimiento reformista estimuló grandeme2 te estas investigaciones, en parte porque los reformadores de curricula fueron exigidos a demostrar que su trabajo presentaba cambios en la manera de conducir las clases, y en parte, porque los reformadores mismos reconocieron que los futuros cambios pue-

- 152 den realizarse mejor si se sabe más acerca de la enseñanza y del aprendizaje de la mg temática, y en parte también porque las discusiones sobre los curricula atrajeron muchos estudiosos hacia los problemas de la educación matemática. La rapidez con quehan cambiado los curricula de matematica y el reconocimiento de que en lo sucesivo ellos necesitarán una continua actualización, han obligado en muchos países a estimular la dedicacion a la investigación en educación matemática y a mejorar la organización de la misma. Estas investigaciones han proliferado tanto que, aunque es difícil distinguir tendencias generales, se puede analizar las características más sobresalientes. Este capítulo contiene un resumen del panorama actual en educación matemática, en cuanto a investigación, y un intento de extrapolar las actividades actuales a las posibles actividades futuras.

11.

¿Qué es la investigación en educación matemática?

Antes de discutir el estado y los problemas actuales de la investigación en eds cación matemática, conviene que intentemos caracterizar su campo de acción, si bien una definición muy precisa no parece posible. Tal vez la mejor manera de caracterizar dicho campo, sea examinar algunas alternativas acerca de lo que debe entenderse por investigación en el mísmo. Los puntos de vista de estas alternativas son extremos y estereotipados. Posiblemente nadie los acepta actualmente en la forma radical en que los vamos a enunciar, pero todos ellos tienen sus partidarios. Ellos nos van a permitir comprender mejor las posibilidades de la investigación y tal vez sirvan para vi2 lumbrar nuevas alternativas. El problema recuerda la parábola de los ciegos y el elefante, excepto que por el momento todavía debemos ponernos de acuerdo acerca del elefante.

A. El punta de vhka emp&ca El empirista considera que la educación matemática es una ciencia aplicada. Opi na que los investigadores deben tomar el modelo y usar las técnicas de las ciencias sociales, las cuales a su vez deben tender a alcanzar los niveles de las ciencias naturales. Puesto que el trabajo científico persigue la exploración de los fenómenos a través de ciertas leyes establecidas, el empirista es partidario de estudios experi mentales. Recomienda un cuidadoso control de las condiciones bajo las cuales los datos son recolectados, mucha precaución al analizar estos datos y mucha limitación en las generalizaciones hechas en base de un solo estudio. Trata de hacer mediciones cuidadosas y objetivas y de evitar los efectos de prejuicios personales. Su objetivo es encontrar hechos que sean confiables, en el sentido de que puedan ser obtenidos por cualquier otro investigador en las mismas circunstancias, y que entren dentro de algún esquema teórico. El enfoque empirista ha sido seguido principalmente por investigadores en educs ciÓn matemática con experiencia en psicología. La influencia de los empiristas ha sido casi siempre saludable, pues ha permitido fijar la atención en la necesidad de decidir entre varias alternativas y ha obligado a diseñar experiencias para ello. La actitud del empirista es de precaución, de juicios en suspenso y de reconocimiento de que se debe actuar en base a evidencia limitada.

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153

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El peligro del proceder empirista en la investigación, es que puede llegar a SZ crificar la importancia por la elegancia. Es decir, en su deseo de controlar los feng menos que desea estudiar, puede verse obligado a establecer hipótesis simplificadoras que lleguen a destruir la validez del trabajo. Puede ocurrir que estudie los fenóme nos bajo condiciones tan artificiales, que sus conclusiones no sean aplicables a las situaciones de la vida real. Al llevar su trabajo al laboratorio, puede ocurrir que pierda en parte la realidad de la clase. En casos extremos, puede alejarse completa mente de la realidad.

B, €2p u d o de vhak

~ ~ ~ ~ o I Ú L & x

En oposición al empirista, vamos a considerar el intuicionista. TeÓricamente,el intuicionista introduce en la investigación en educación matemática, una gran canti dad de conocimientos, como ser: (1) lo que es la matemática y (2) cómo puede ella ser enseñada en las escuelas. Sostiene que la enseñanza de la matemática es un arte y que de ninguna manera puede llegar a ser una ciencia, ni pura ni aplicada. En consecuen cia, opina que la investigación en educación matemática debe concentrarse en la experiencia de sus practicantes mejor dotados y de sus intuiciones respecto de como la m s temática debe enseñarse. Algunos intuicionistas opinan que la mejor manera de enseñar un tema particular de matemática, puede deducirse razonando sobre las posibles alternativas. Otros opinan que siempre es necesaria cierta elección entre varías alternatA vas. Pero todos ellos concuerdan en que los datos empíricos -por ejemplo los resultados de pruebas de alumnos que han sido instruidos de acuerdo con las distintas alternativas- no son el mejor medio para decidir acerca de la alternativa más eficiente. Los datos siempre contienen errores -dicen los intuicíonistas- y, además, son necesariamente incompletos, dejando sin medir varias de las consecuencias más importantes de cualquier enseñanza. En consecuencia, el intuicionista tiene siempre mucha más coz fianza en su propio juicio, o en el juicio de otros, que en los datos experimentales. La investigación intuicionista -uno está tentado de decir investigación "impresionista"- es con frecuencia característica de los reformadores de curricula. El crez dor de algún nuevo material o técnica de enseñanza, desea probar su eficacia mediante alguna prueba, más o menos controlada, realizada directamente sobre el terreno real. Se preocupa menos de diseñar y analizar experimentos adecuados, que de ver si el material o la técnica funcionan bien o si deben ser modificados. El enfoque intuicionista ha sido muy usual entre investigadores en educación matemática, cuya formación básica es esencialmente matemática. Conscientes de la importancia de la intuición para resver problemas matemáticos, adoptan e1 mismo criterio para problemas pedagógicos. La fuerza de la actitud intuicionista es que dirige siempre la atención hacia los problg mas de mayor importancia. No hay peligro de convertir un problema en trivial para hacerlo manejable; al contrario, se ataca el problema en toda su complejidad y con la mejor de las armas: la inteligencia. El peligro del intuicionista es que puede convertirse en un prisionero de sus propias inclinaciones. Es decir, convencido de la validez de su particular punto de vista, puede creer que el mundo funciona tal como él cree verlo funcionar, corriendo con ello el peligro de inferir relaciones de c.ausa a efecto sin que estas relaciones existan. Insistiendo en la primacía de la intuición, considera innecesaria toda com probación de los modelos opuestos al suyo.

- 154 Desde luego que no hay ninguna razón para que el maestro no pueda ser un empirk ta, o un intuicionista, o una combinación de las dos cosas, pero,sin embargo,los maeg tros tienen con frecuencia su propio punto de vista acerca de So que debe ser la investigación en educación matemática y vale la pena que intentemos exponerlo. El maestro opina que la investigación en educación matemática debe ser, antes que nada, apropiada a sus necesidades. Es decir, debe ser algo que le provea de conse jos Útiles sobre la manera de llevar a cabo su labor en la clase. Comprende que las situaciones con que se encuentra diariamente en la clase son complejas, y está dispuesto a aceptar las soluciones aproximadas que se le indiquen. Pero le ponen nerviosolas teorías, más o menos fantásticas, que tratan de explicarlo todo y terminan por no decir nada concreto, y es escéptico sobre los consejos basados en experiencias ajenas que no se adaptan a la propia. El maestro es propenso a no hacer caso de la literatura empirista, ni de la fantasía de muchos diseños experimentales. Por otra parte, rechaza también los trabajos intuicionistas por considerarlos pura palabrerfa. Para el maestro, el lugar para investigar en educación, no es ni el laboratorio ni la butaca, sino el aula.

En los Últimos años, se ha generalizado en muchos países el reconocimiento dela validez de estos puntos de vista del maestro respecto de la educación matemática. La investigación se va haciendo cada día más en el aula. Muchos investigadores se han d s do cuenta de que hay muchas vías de investigación, pero que en todas ellas la investL gación debe, en algún momento, tomar contacto con el maestro, o si no, corre el peligro de quedar en la nada. El propósito de exponer estos tres puntos de vista, no ha sido el de convencer al lector de que uno es bueno y los otros dos son malos, sino piira mostrarle que en la investigación en educación hay varios puntos de vista, cada uno con sus virtudes y sus defectos. En su esfuerzo para mejorar la calidad de la investigación, los investigadores en educación matemática de todos los países deben reconocer esta pluralidad de objetivos y esta pluralidad de legítimos intereses sobre temas y métodos de investigación, El progreso vendrá cuando los investigadores terminen de discutir entre ellos sobre lo que la investigación realmente es, para empezar el estudio serio y disciplinado de cada problema. En los próximos años van a ser necesarias todas las investigaciones de alta calidad que se puedan conseguir.

111.

Características de las actividades recientes en investigación

La cantidad de investigaciones en educación matematica ha crecido de manera drg mática en las dos Últimas décadas. En general, también ha aumentado la calidad de las investigaciones publicadas, aunque tal vez no tan dramáticamente. La mayor parte del incremento en investigación se debe a las reformas curriculares, como ya observamos anteriormente, pero también se debe a la tendencia general en muchos países de dedi car mayor presupuesto a la educación, tendencia que va acompañada de una mayor demanda de investigadores, para poner en evidencia que talesincrementos de presupuesto han sido justificados. En muchos centros e institutos de investigaci6n se ha favorecido a la "investigación básica", pero la mayor contribuci6n ha venido de parte de la "investigación aplicada", principalmente para desarrollar y experimentar nuevos métodos y nuevos materiales.

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- 155 En educación matemática es todavla cierto, como ha sido costumbre general en todos los campos, que la mayor parte de las investigaciones son debidas a graduados que preparan sus tesis de doctorado, la mayorla de los cuales, una vez aprobada su tesis, no publican otros trabajos de investhga,ci&i. Tarribiih es cierto que el motivo de ello es que la mayoría de estos investigadores jóvenes no alcanzan a consegu.ir un empleo con dedicación exclusiva a La investígaciEk, Sin embargo, este panorama está cambiando. Se están creando en muchas instituciones de educación superior, nuevas carreras en las que se aprenden las técnicas de la investigaci6rr educativa, cuyos egresados pg dr'an seguir trabajando en el tema, Se están creando también, en escuelas y uni.vessi.dE des, nuevos puestos para los cuales el trabajo de investigación en educación matemátz ca es requisito indispensable, En vaxios pa5ses se han creado centros para estimular y coordinar las investigaciones educativas, como los centros de desarrollo e investígación educativa y los laboratorios regionales de los Estados Unidos de Norteamérica, el Centro de Invest5gaciones en Psico-materí6tica del Canadá, el Centro Belga de Pedagogía Matemática en Bruselas y el Instituto de Investigaciones para la Enseñanza de la Matemática en Francia. Otros centros, como el "Educational Resources Information Center in Science and Mathematics" en la Universidad Estatal de Ohio y el "Zentral blatt fÜr Didaktik der Mathematik"de la Universidad de Karlsruhe, se encargan de reunir y propagar las investigaciones realizadas en todo el mundo, como parte de sus actividades. Algunas organizaciones nacionales e internacionales han emprendido investi gaciones sobre educaci6n matematica en gran escala (por ejemplo , el "International Study of Achievemeiit in Mathematics" y en los Estados Unidos, el "National Longitudinal Study of Mathematical Abilities") Los investigadores en educacign matems.tica están tomando conciencia de s11 prosiÓn y han empezado a formar asociaciones, como el "Gñioupe International de Recherche en Pédagogie de Mathématique", la sDCofmnissionIntemationale pou-r laEeude et 1'Amelig ration de 1'Enseignement des Math'ematiques", el "International Study Group for Mathematics Leaming" y la "American Educational Research Association's Special Interests Group in Mathematics Education", para no nombrar mas que cuatro. Se ha iniciado tarnMUhewia bién la publicación de revistas especializadas, como Educc&LüRGLe SkUa!d k.i~n, Thg 30uhfiGLe düfi Reh~cvtchLM M U X ~ ~ U L C L ~EU ~ U C ~ yU KThe S ü w L ~ d SA%~C;cbnnd L e c u t ~ Ú ~ g .Se han empezado a realizar conferencias y reuniones (Fehr, 2966; Long, Melt zer y Hilton, 1970; Proceedings of National Conference on Needed Research in Mathematics Education, 1967) y, finalmente, en muchas reuniones de organizaciones profecions les, patrocinadas por la "International Commission for Mathematical Ins'cructiod'@CMI) o por otras organizaciones naciondes o internacionales, se han dedicado sesiones especiales a comunicar y discutir investig,a,ciones sobre educación matemática.

UB

Debido a esta abundancia de investigaciones en educación matemstica, es difícil dar una idea sobre las caracter5sticas predominanees, La crítica bibliográfica sobre las investigaciones recientes es escasa, y cuando se consigue, muchas veces es incomprensible. Es probable que e1 lector accidental de los trabajos de investigación en e ducación matemática, se sienta desalentado por La cantidad de los mismos y por su calidad no demasiado alta. Es un hecho evidente que la mayoría de los trabajos de inves tigación publicados sobre educación maternZtica, lo mismo que sobre educación en general, presentan muchas deficiencias de redacción y de información. Las siguientes frg ses del "Committee on Educational Research" de la "National Academy of Education" de los Estados Unidos (Cronbach y Suppes, 1969) se aplican igiialmente a la situación de la educación matemática:

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"Creemos que no más de la décima parte de las tesis doctorales en educación y no más de una décima parte de los trabajos publicados en las revistas que no son las de primera fila, pueden considerarse trabajos de investigación serios y dignos de me2 ciÓn" (p. 226). Sin embargo, quienes desprecian todos los trabajos de investigación en educa& matemática como carentes de valor, cometen un gran error. Aunque el progreso es lento, en las dos Últimas décadas se ha mejorado mucho en estas investigaciones. LOS investL gadores experimentales están viendo la necesidad de relacionar su obra con algún modg 10 teórico, de hacer investigaciones piloto planificadas de antemano, de usar la teoría de muestras y otros esquemas probabilísticos, de verificar estadísticamente las hipótesis hechas sobre sus modelos, de describir cuidadosamente los métodos usados y de considerar distintas alternativas en sus estrategias, análisis y explicación de sus resultados. Los investigadores sobre temas más teóricos (analíticos, históricos o filosóficos), están también empezando a ver la necesidad de un esquema conceptual y de la consideración de modelos alternativos, a la vez que van siendo más conscientes de la necesidad de autocrítica y de la verificación de sus conclusiones. La investigación en educación matemática, aunque todavía en su infancia, ha empezado a gatear. Tal vez pronto empezará a caminar.

IV.

Areas de investigación

Para dar al lector una perspectiva sobre la variedad de tópicos tratados reciez temente en las investigaciones sobre educación matemática, vamos a discutir a conti nuación algunas corrientes de investigación, ordenándolas en tres títulos: investigaciones sobre curricula, métodos y materiales; investigaciones sobre el aprendizaje y el alumno; investigaciones referentes a la enseñanza y al maestro. Estas tres grandes corrientes de investigación no son, naturalmente, mutuamente exclusivas; puede haber investigaciones que toquen a las tres. Pero de todas maneras, ellas constituyen un e 2 quema útil para el análisis.

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A. 1nve.haXgathna nabhe cwLh¿cLLea, m m d a n y mukdden Los estudios comparativos entre distintos programas educacionales, hansido sipre tema muy común de investigación educativa (un resumen de estudios recientes se puede ver en Romberg, 1969; Begle y Wilson, 1970). La mayorza de estos estudios se presta a fuertes críticas por motivos conceptuales (por ejemplo, es frecuente que es piecen por la falsa premisa de que existe un programa mejor que todos los de&s)y tas bién por motivos metodológicos (por ejemplo, imperfecciones en el diseño y un número insuficiente de muestras, invalidan muchas veces el trabajo o restringen mucho su generalidad). Algunos autores opinan que los trabajos sobre evaluación no pueden consL derarse investigaciones. Aunque esta opinión parece ser indebidamente dura, es cierto que muchos investigadores han fracasado por intentar forzar la investigación sobre cg rricula, métodos y materiales, en moldes experimentales, En algunos países está la cual puede caracterizarse gador explora varias maneras la consecuencia de tratar un

apareciendo una estrategia potencialmente más productiva, como "investigación evolucionista". En ella, el investide tratar un tema particular, o una sucesión de temas, o tema en lugar de otro. Ensaya estas alternativas de mans

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ra real, frecuentemente como parte de un proyecto experimental de curriculum. Una vez obtenida una información preliminar sobre las ventajas o inconvenientes de las disti2 tas alternativas, se repite el proceso a una escala mayor, con más maestros y más c l ~ ses, procurando actuar lo más sistemáticamente posible. Las informaciones sobre estos ensayos van pasando continuamente a los autores del curriculum, quienes las utilizan para hacer las correcciones correspondientes Los resultados son luego publicados, siempre que ello sea posible, con detalles sobre los métodos de enseñanza y con un ig tento de encuadrar el trabajo en el marco de un esquema teórico más amplio. Como un valioso complemento a esta obra evolucionista, algunos investigadores (por ejemplo, Krygowska) son partidarios de más "investigación teórica" sobre los curricula. En esta clase de investigaciones, el investigador elige un tema del curriculum y hace un examen crítico de varios caminos para tratarlo, analizando las implicaciones matemáticas y pedagógicas de cada tratamiento. Tomando varios de estos temas y mostrando sus relaciones mutuas, el investigador contribuye a fundamentar teóricamente el curriculum y puede motivar interesantes y nuevas estrategias, que podrán ser eperimentadas en estudios posteriores. Muy pocos investigadores individuales, disponen de los recursos necesarios para llevar a cabo estudios experimentales sobre curricula, medios y métodos. Romberg(l969) ha predicho que el número de evaluaciones sistemáticas, bien concebidas, de los pro gramas de matemática aumentará en los próximos años. Si es así, tales estudios debe rán provenir necesariamente de institutos y grupos de investigación. Como es difícil que los proyectos para mejorar los curricuia, contemplen su comparación con los proyectos de otros grupos, estas comparaciones, cuya utilidad es evidente, deberán ser hechas probablemente por instituciones independientes.

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Una importante clase de investigaciones, todavía no realizadas, consiste en hacer un estudio comparativo de como han funcionado en la práctica distintos curricula experimentales y deducir de ello cuáles han sido los métodos más efectivos. Un estu dio de esta naturaleza, en gran parte sociológico y antropológico, demandaría considg rables recursos, pero produciría valiosa información para la próxima generación de r s formadores de curricula.

73. lnvu;t¿guc¿onu nobhe

eL upnend¿zuje y e l GLewnno

Los investigadores en educación matematica, han estado siempre dispuestos a aceptar todo lo necesario de las teorías psicológicas del aprendizaje. La teoríade las jerarquías de Gagne, la teoría de Bruner sobre el aprendizaje medianteei descubrimien to y el modelo de Carro11 sobre el aprendizaje dominante, han estimulado todas ellas, junto con otras, las investigaciones en educación matemática y han servido como guías para su organización (para una Útil exposición sobre estas ideas, ver Shulman, 1970,y para una puesta al día de las investigaciones recientes referentes al aprendizaje de la matemática, ver los artículos de Atkin y Romberg, 1969). Sin embargo, muchas de estas ideas, sin duda Útiles para ciertos fines específicos, no han dado resultados satisfactorios al ser trasladadas al campo matemático y ha surgido la necesidad de pensar en alguna teoría más adaptada al aprendizaje de la matemática. Es posible que en la próxima década surja y se experimente una tal teoría. En una conferencia reciente sobre el estado de la matemática en el nivel secundario en 1970 (School Mathematics Study Group, 1971), el tema del aprendizaje fue uno de los más debatidos, señalándose como uno de los que necesitan ser más investigados. A este respecto, no se vislumbra

que pueda haber una teoría del tipo "todo para el ganador", que sirva para todos los problemas. Más bien se requerirá una mayor especificación de las condiciones bajo las cuales una teoría dada puede explicar mejor los fenómenos que se presentan. Natural mente que simultáneamente con este trabajo de elaborar y experimentar teorías especia les del aprendizaje matemático, seguirán haciéndose estudios sobre teorías del aprendizaje en general. La resolución de problemas sigue siendo un tema de investigación importante, si bien su situación con referencia a posibles teorías, es mucho más pobre. La simulaciOn por medio de computadoras del proceso heurrstico que puede seguirse al resolver pro blemas matemáticos, parecía un campo prometedor al comienzo de la Última década, pero se ha llegado a pocos resultados. Además de la falta de modelos teóricos, los investz gadores interesados en el proceso de la solución de problemas, necesitan pensar y ponerse de acuerdo sobre los tipos de problemas a que deben referirse sus investigaciones. Una zombrosa variedad de pruebas han sido utilizadas en estudios recientes, para medir la "habilidad para resolver problemas matemáticos", pero muchas de ellas son cls ramente inapropiadas para tal propósito, Para proseguir con las investigaciones sobre los procesos inherentes a la resolución de problemas matemáticos, se necesita, como primera prioridad, desarrollar nuevos medios y nuevos procedimientos.

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El desarrollo de las habilidades matemáticas, va a ser seguramente un tema fecundo de investigación en los años venideros. La teoría evolucionista de Piaget continiia siendo el punto de partida para muchos de estos estudios, pero parecería exis tir un cambio de rumbo y en vez de seguir intentando verificar la validez de las etapas, se trataría de aplicar la teoría (o alguna modificacíón de la misma) a cuestio nes vinculadas con los curricula de matemática (ver Rosskopf, Steffe y Taback, 1971). Algunas críticas a la teoría de Piaget han sido hechas por Sullivan (1967), quien 112 ga a la conclusión de que la contribución de Piaget a la educación es menor de lo que se suponía, y por Fogelman (1969), quien afirma que la confiabilidad de los métodos sados para verificar las hipótesis de Piaget dejan frecuentemente mucho que desear.Pc siblemente aparezcan más críticas, pero la teoría sigue llamando la atención. En la teoría de Piaget faltan algunas indicaciones sobre la mejor manera como el maestro puede ayudar al alumno al pasar de una etapa a la otra. Una exploración del papel del maestro en el desarrollo de las habilidades matemáticas del alumno, ahora que ya se conoce algo sobre éstas, parece ser el próximo paso lógico de investigación. La evidencia de que ciertas habilidades mentales están vinculadas con el aprendizaje de la matemática y que estas habilidades pueden ser desarrolladas mediante programas convenientemente elaborados (como, por ejemplo, en la obra de Land y Bishop, 1969),sg guramente habrá de estimular las investigaciones sobre dichas habilidades.

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Wheeler (1970) ha dado un buen argumento concerniente al desarrollo de las habi lidades matemáticas en el niño:

"Considerar la matemática como una invención, más que un descubrimiento, y como aplicable a cualquier materia prima, puede darnos un nuevo enfoque en cuanto a su lugar dentro de la educación. Podría considerarse como una actividad especial de una "élite" si no fuera por el hecho de que podemos descubrir en niños de edad pre-escolar, com portamientos espontáneos indudablemente dirigidos hacia actividades mentales que incorporan, por ejemplo, sustituciones, inversiones, transposiciones y combinaciones.La revolución en la enseñanza de la matemática llegará si y sólo si, estas potencias son reconocidas como pertenecientes al niño, antes de que nadie le enseñe nada de matemática" (pp. 149-150) .

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El ''modelo de habilidades" es particularmente Útil para considerar el permanente problema de reconocer la diferencia entre un niño y un matemático. El Único camino viable para tratar el problema, es aceptar la continuida.d, o sea, aceptar un desarrollo y una diferenciación variables de manera continua. Wheeler señala esto en su artículo y Bandet (1968) lo apoya, aunque desde un punto de vista más tradicional, el de la "cimentación de los fundamentos del pensamiento matemático". Wheeler opina que estos fundamentos, no sólo han sido previamente cimentados, sino que el maestro no es tampoco quien construye sobre ellos, sino el propio niño.

C, lnvaLLgucLvna nobne. Ru enneñunza y e l wiccafio El método más corriente de obtener modelos pedagógicos, ha consistido siempre en tomarlos del aprendizaje. Se arguye que de los conocimientos sobre el aprendizaje, se debe poder deducir la manera como los maestros deben enseñar. Este criterio ha sido discutido recientemente. Psicólogos como Hílgard y Bugelski afirman que la psicología del aprendizaje, en su estado actual, no puede ser usada como base para la práctica de la enseñanza. Además de ser incompletas, las teorías d d aprendizaje usuales han sido basadas en experiencias sobre la manera de aprender de los animales y, por consiguiente, no tienen en cuenta la principal herramienta de que dispone el maestro: el lenguaje. Es frecuente estudiar la enseñanza en sí misma. Cintas grabadas, ''videotapes'', películas y discos, permiten un análisis detallado de la comunicación entre el maes tro y los alumnos en la clase. A partir de ello se pueden desarrollar y experimentar modelos pedagógicos que describan la manera de enseñar del maestro. A este respecto, parece altamente promicoria la obra de Henderson y sus colaboradores en la Universi dad de Illinois (ver Fey, 1969,para un informe detallado sobre investigaciones recites acerca de la enseñanza en la clase).

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Es muy probable que en los próximos años, a medida que contínúen las investigaciones referentes a las mejores estrategias para la enseñanza de la matemática,el nÚmero de estudios descriptivos sobre la enseñanza en el aula, aumentará consLderable mente. En la actualidad existe cierto descontento por estos estudios descriptivos, ds bid0 a la minuciosidad con que a veces se detallan las disertaciones de clase (como ha ocurrido en algunas descripciones de clases en los Estados Unidos) y, especialmente en Inglaterra, ha skgido la tendencia de estudiar las decisiones del maestro ming to por minuto, como función de sus valores, sus conocimientos y sus esperanzas. Estas investigaciones pueden terminar de una vez por todas con la búsqueda del "maestro efL caz", fijando la atención sobre ias decisiones del maestro y sus estrategias, más bim que sobre sus características personales. Puesto que en el estudio de los métodos de enseñanza, es difícil difere-nciarlos efectos de los diferentes factores que pueden haber influido en el resultado, algunos investigadores proponen el desarrollo de unidades de enseñanza modelo. En estas unida des, las actividades son claramente ordenadas y estudiadas, de manera que cualquier modificación puede hacerse en forma individual y sus efectos estudiados separadamente. Begle (1971) en la Universidad de Stanford, ha iniciado esta dirección, desarrollando unos "métodos canónicos de enseñanza". Estos estudios constituyen un suplemento valig so para otros estudios hechos en situaciones más naturales, pero menos controladas.

- 160 V.

Pronóc ti coc y recomendaci ones

En el pasado las investigaciones en educación matemática, raramente prestaban atención a la naturaleza j7 a los propósitos de la misma. No se tenía en cuenta, casi nunca, lo que la sociedad o la profesión de maestro esperaban de las investigaciones. En la actualidad podemos darnos cuenta de la inutilidad de la mayor parte de esas investigaciones. Sin embargo, ellas no fueron totalmente en vano, pues gradualmente di2 ron lugar a críticas que permitieron delinear, con mayor exactitud, los problemas pe2 dientes. Las investigaciones de interés son aquellas cuyos resultados incitan a mejorar los curricula o a hacer cambios en los métodos de enseñanza o en el aprendizaje. La investigación educativa está tomando nuevas actitudes acerca de 10 que realmente es, de lo que pueden ser sus procedimientos y de las funciones que puede tener. Ha dejado de estar compuesta tan solo de estudios normativos o de contribuciones indk viduales pseudo-experimentales. Procura encontrar resultados que sirvan para guiar e informar a la práctica educativa. En su auto-crztica se pueden detectar, con respecto a la educación matemática, significativos y promisorios enfoques, entre los cuales es importante señalar los siguientes:

1. La investigación debe estar estrechamente vinculada con la escuela, la práctica escolar y la clase. A pesar de algunas críticas recientes al actual proceso educativo, la mayoría de los críticos suponen que la escuela y la clase continuarán, con algunos cambios operativos, manteniendo el esquema existente. Estos cambios, sin embargo, nunca han sido definidos claramente, ni tan solo descritos, y los conocimientos necesarios sobre enseñanza y aprendizaje, para llevar a cabo tales cambios, son en su mayor parte desconocidos. Las investigaciones deberán ser proyectadas, dirigidas y vulgadas, para asegurar el mejoramiento de la educación en la clase.

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Los problemas que deben resolverse, tal como aparecen actualmente en la bibliografía son del tipo siguiente: (a) ¿Cómo debe enseñarse la matern'atica para que sea Útil? Este problema exige una descripción previa y precisa de 10 que se entiende por 'IÚtil". (b) ¿Cómo se forman en el niño los conceptos matemáticos? (c) ¿Cómo se pueden medir el "valor" y la "efectividad" de un nuevo curriculum para las escuelas? ¿Es posible esta medida? (d) ¿Qué es lo más importante de un método de enseñanza? ¿Querelaciones existen entre los métodos de aprender y los métodos de enseñar? (e) LQuégra do de habilidad para el cálculo es esencial para todos los ciudadanos? ¿Cómo se puede conseguir? Es decir, ¿cuáles son las proporciones necesarias de memoria, comprensión y conocimiento, suponiendo que estos elementos pueden ser definidos y medidos? La lista puede prolongarse casi hasta el infinito. El punto esencial es que, si bien la investigación sola no puede responder a todas estas cuestiones, sin la investigación en el aula ninguna respuesta puede ser completa.

2. La investigación educativa deberá hacer cada vez más uso de los métodos cien tíficos y experimentales, es decir, deberá usar métodos estadísticos de análisis y r ng todos experimentales controlados (métodos de laboratorio). La disponibilidad de nuevas técnicas estadísticas, junto con la disponibilidad de computadoras para llevar a cabo los cálculos numéricos abren grandes posibilidades a estas investigaciones. Los factores como azar, control, mensurabilidad (expresión de la cantidad de ciertos rasgos en niímeros reales) , modelos estad.ísticos, repetición de experiencias y conclusiones probabilísticas, serán elementos característicos de toda investigación. ~

,l 1

- 161 Las computadoras hacen posible operar de distintas maneras con los datos obtenL dos, a veces de manera muy complicada. Entre las publicaciones recientes abundan las que no usan correctamente el análisis estadístico, en las que parecería que el investigador no ha comprendido bien las técnicas estadzstícas que ha estado usando (o más exactamente, que la computadora ha usado por él). La afición de los investigadorespor las técnicas complicadas, como el análisis de varianza, posiblemente disminuya un poco en el futuro, a medida que se den cuenta de que las hipótesis necesarias para el uso de estas técnicas, muchas veces no se cumplen en el caso que están estudiando,Una tendencia aparecida recientemente va dirigida hacia la presentación de los datos mediante gráficos y tablas y hacia el uso de la estadística no paramétrica.

3. Las computadoras se han convertido en el gran instrumento para los cambiosen las actividades de todos los campos, social, económico y científico. Sin embargo, su influencia en la educación es todavía escasa. Parecerla haber indicios de que en la próxima generación, gran parte de la actividad en investigación educativa, estara dirigida a explotar las posibilidades en ella de Las computadoras. Esta actividad se rg ferirá no sólo a los métodos de enseñanza con ayuda de computadoras, sino al empleode las mismas para ordenar datos sobre aprendizaje, enseñanza y solución de problemas o

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El elevado costo de las computadoras hace que su uso esté restringido, por el momento, a ciertos centros de experimentación, pero los resultados en ellos obtenidos seguramente alentarán nuevas investigaciones y motivarán esfuerzos en todas partes del mundo.

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4. La tendencia hacía un curriculum unificado de la matemática secundaria, desde el primer año hasta el ingreso a la universidad, que actualmente existe y posible-

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mente tendrá que continuar en muchos países, tiene implicaciones para las futuras actividades en investigación. Harán falta más estudios teóricos sobre las consecuencias matemáticas y pedagógicas del contenido y ordenación de los programas. Es bien sabido que muchas experiencias recientes han demostrado que los niños son capaces de apren der cosas mucho más avanzadas de 10 que se creía. Hará falta ahora estudiar detenidamente el porqué se desea enseñar estas cosas más avanzadas a los niños y los efectos que ello produce. En algunos curricula, ciertos t6picos se han movido de un lugar a otro, sin que se vea claro el motivo de ello. Un curriculum totalmente unificado debe suponer un replanteo completo de los programas y este replanteo debe estar avalado,si es posible, por investigaciones teórícas y experimentales. Como dice Gail Young(l971) "la mayor parte de nuestro esfuerzo debe estar dirigido a encontrar cómo el niño aprende la matemática y enseñarle los distintos tópicos en el orden más adecuado a su psicología, sin tener demasiado en cuenta el orden lógico" (p.17)

5. Otro problema digno de Consideración es el crecimiento de la empresa educati va. En los próximos años se vaticina un fuerte incremento en el número de alumnos, en todos los niveles, desde la escuela primaria a la universidad, y también de adultos, puesto que probablemente muchas personas, durante su vida, tendrán que volver a la escuela para actualizar sus conocimientos. Hay que pensar en la manera de adecuar los programas de matemática a este crecimiento del número de alumnos. A1 ampliar las posL bilidades de recibir educación para los habitantes de un país, se hace necesario al mismo tiempo, investigar la manera de ordenar y dirigir este aumento de posibilidades, para mejor adaptarlas a las capacidades y conocimientos previos de los alumnos. Los programas actuales se redactaron pensando en un cierto estilo de aprendizaje y en una cierta velocidad de progreso por parte de los alumnos. Habrá que investigar si estas

- 162 características están cambiando y,al mísmo tiempo, buscar el mejor compromiso entre la conveniencia de atender alas características particulares de cada alumnoy la necesi dad de una enseñanza colectiva. Hay que tener en cuenta que, al parecer no existe una manera óptima de conducir la enseñanza que sirva para todos los alumnos y bajo todas las condiciones. Se debe investigar la maneradeordenar la enseñanza (estudio individual, trabajo en equipo, exposiciones magistrales, discusiones) ,no con la pretensión de : e de contrar un sistema que sea el mejor de todos, sino con el propósito más realista conocer los efectos de determinadas disposiciones en determinadas circunstancias.

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6. El crecimiento del número de trabajos de investigación en educación matemátL ca, está haciendo necesaria la publicación de análisis críticos y resúmenes de todos los trabajos publicados. Algunos investigadores se han mostrado, a veces, remisos a redactar críticas sobre las obras de otros autor,es,por estimar que ellas podrían interpretarse como ataques personales y desanimar otras investigaciones. Sin embargo,no es razonable publicar Únicamente los resihenes de todos los trabajos referentes a un determinado tema, sin alguna crítica que haga resaltar la diferencia en calidad que ellos pueden presentar. Indudablemente, habrá que ir enunciando de manera expllcita las condiciones exigidas a los trabajos de investigación. Aún reconociendo que los trz bajos de investigación en educación matemática pueden presentar características muy variadas, y que no hay razón para preferir unas a otras, debe reconocerse también que hay ciertos niveles académicos que se aplican a todas las investigaciones. Por tanto, ante la necesidad de elevar la calidad de las investigaciones, un problema que en el futuro se planteará a los educadores en matemática, será el de juzgar el valor de las , investigaciones en su campo, en forma objetiva y como contribución a su mejoramiento. h

7. En algunos lugares ha aparecido la tendencia perturbadora de minimizar el pa pel del maestro de matemática. Descartando la posibilidad de que puedan prepararse un 1 número siificiente de maestros, con el nivel necesario para satisfacer las necesidades de la sociedad, algunos redactores de curricula de matematizayhanprobado de diseñar cierto tipo de material que permita al alumno aprender por sí solo, sin la interven ciÓn del maestro. El papel del maestro se reduce entonces al de un empleado de oficina: distribuir el material y registrar los progresos de los alumnos. Si bien esta estrategia puede dar buenos resultados como emergencia, en el caso de no existir sufi cientes maestros en un momento dado, ella es indefendible como solución a largo plazo de los problemas de la enseñanza de la matemática. Más prometedor, a la larga, es el movimiento iniciado en algunos países, de hacer que el maestro sea una parte integral en el proceso de desarrollo del curriculum, reconociendo su autonomía y autoridad de2 tro del aula e incluyéndolo, si es posible, en los programas de investigación. En todos los países existe un inexplorado recurso de maestros con inclinaciones al estudio, que están interesados en la investigación y que, tal vez con alguna ayuda, podríanlle var a cabo Útiles investigaciones en sus clases. Un desaflo a los investigadores en ducación matemática de los próximos años, será el conseguir que sus investigaciones sean tenidas más en cuenta y su influencia sea más efectiva, Lo cual, tal vez, pueda lograrse con la incorporación de maestros en las tareas de investigación.

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Todo lo expuesto acerca de la investigación en educación matemática, puede ampliarse através de algunos de los trabajos citados en la bibliografíaque figura a con tinuación. Por otra parte, hay que agregar que ademásdelos miembros del Seminario de Royaumont, cooperaron con los autores del presente capítulo,con sus puntos devista so bre las tendencias de la investigación en educación, las siguientes personas:E.C.Begle, de la Universidad de Stanford; ICenneth Henderson, de la Universidad de Illinois; Thomas A. Romberg, de la UniversidaddeWisconsin; Myron F. Rosskopf,del Teachers' College de la Universidad de Columbia; James W. Wilson, de la Universidad de Georgia.

- 163 Bibliografía 1. Atkin, J.M.and Romberg, T.A.(Eds.) Scicnce urzd mutheniutics cciucutiorz. Rcview of Educatioiial Kcscarcli. 1969.39.No.4. Contiene cinco artículos que reseñan investigaciones en educación matemática llevadas a cabo entre 1965 y 1969.Entre los tópicos considerados figuran:apreG dizaje,solución de problemas,enseñanza en el aula, actitudes, efectividad de los programas y evaluación. 2. Bandet, J., Towurds uti uppreiiticesliip itt tnutlieinutics. Páedagogica Europaca, 1 968, 4, ..

59-72. 3. Beele. E.6. Rescwclz and evaluation in matliemutics educutioii. Schooi Mathematics Stidy Group, Report of a conference o n responsibilities for school mathematics in the 70's. Stanford. Calif.: SMSG,1971, pp. 27-34. Una puesta al día del estado de la investigación y de la evaluación en educa ciÓn matemátíca,junto con algunas recomendaciones para la próxima década. E.G.Bcgle (Ed.), 4. Be&, E.G..and Wilsoii, J.W.,L'wuluatioiz of'muthcmutics programs. Matheinatics Education. Sixtytmiith yearbook of the National Society for the Study of Education. Part 1. Chicago: University of Chicago Press, 1970. pp. 367-404. Presenta un modelo de las realizaciones en matemáticas, reseñas de proyectos r cientes y concluye con una discusión detallada de los métodos de evaluación em pleados en el National Longítudinal Study of Mathematical Abilities. 5. Caiie, B., and Scliroeder. C.,Tlic Toac1ic.r m i l Rc~.scarcli.Siough, Englaiid: National Foundation for Educatioiial Research. 1970. Un estudio de las opiniones de los maestros acerca de las prioridades.en investigación y otros tópicos. 6. Cronbach, L.J., and Suppes, P. (Eds.)Researcli fBr tumorrow 's sclzools: Discip1inc.d iizquiry fbr educutiorz. New York: Maciiiillan, 1969, La evolución de la investigación educativa en los Estados Unidos y el papel p g tencíal de tales investigaciones para mejorar la educación. Informe presentado a la National Academy of Education por su Comisión de Investigación Educativa. 7. Fehr, H.F. (Ed.), Necdcd rcJwurclt in matlzeiiiaticul c~ducutioiz.New Y ork: Teachers College

Press. 1966.

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Informede una conferencia patrocinada por el Teachers' College Columbia Univer síty, 1965. 8. Fey, J., c'lussroonz tcaclzirzg of mutliemutics. Review of Educationai Research, 1969. 39,

535-551. 9. Fogeiman, K.R. DijJlculties oj'usiiig Piugetiun tests iri ttze classroom- 1. Education Research, 1969. 12 ( 1 1. 36-40. 1 O. Gieiinon, V.J. and Callahaii, L.C., Elcmvrtuy* Scliool Mutlieniutics: A guide to currcizt researclr. (3rd cd.1 Washington, D.C.:National Educational Association, Association for Supervision and Curriculuin Development. 1968. Librito para personas interesadas en las aplicaciones de la investigación a d g cisiones sobre curricula de matemática elemental. 1 1. Husén, T. (Ed.), iirtcrirutiortcrl Stud!. oj*Adiiewemcvit irz mathernatics: A comparison of twelvc,coutitricx Ncw York: Wiley, 1967. 2 vols. 1 2. In ternational Study Group for Mathematics Learning. Mutlzetnutics in primury education: Lcw-rzirig of'rnatliernaiics bj. y w n g children. Mainburg: Unesco Institute for Education,

1966. 13. Informes de varias conferencias del iSGML, con discusiones de teorías importan les, investigaciones, métodos, etc. Contiene extensa bibliografía. 14. Land, F.W.and Bishop, A.J. Reports of thc mutli@matics Teuchirzg Research Project. Hull. England: University of Hull, Departmcnl of Educational Studies, 1969.

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164

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15. Long, R.S.,Melbzer, N.S. and Milton, P.J.,Research in mathernatics education. Educational Studies in Mathehatics, 1970.2,446-468. Reidel, Holland. 16. Informe de la Conferencia sobre educación matemática realizada en la UniversL dad de Cornell, en la primavera de 1968, patrocinada por el Cornell Centerfor Research in Education. Las discusiones de la conferencia comprenden los siguientes títulos : (1)Problemas en educación matemática; (2)ProbLemas acerca de las relaciones entre la educaci6n y la investigación matems,tj-ca;(3) Prepara-ciÓn para la educación matemática; (4)Un doctorado en educaci0n matemática.La ultima sección contiene una lista de temas sugeridos para tesis o proyectos en educación matemática. 1 7. PeeI, EA.,Psychological and Educational Research Bearing on Ma fhhematics Teaching. W.Servais and T.Varga (Eds.), Teaching School Mathernatics. Publicado por la UNESCO ., /

Harmondsworth, England: Penguin Books,1971.pp. 15 1-1 77. Discusión de estudios seleccionados sobre investigación psicolÓgica (hasta 1965) que se vinculan con los aspectos intelectual y cognoscitivo del aprendL zaje de la matemática. Los temas considerados incluyen 1a.s habilidades mate@ ticas, la evolución del pensamiento, la formación de conceptos y la resolución de problemas, el aprendizaje en matemática y el estudio d e los curricula.

P 8. Proceedings of National Confereme On Needed Researcb in Maithem?rnatksEdueation. Journal of Research and Development in Education, 1967,1, No.1. Trabajos y discusiones de una conferencia realizada en la Universidad de Geor gia en setiembre de 1967, sobre la necesidad de la investigación en la ense ñanza, aprendizaje y curricula en matemática.

19. Romberg, T.A., Current research in mathernatics educatiole. RevJevlr of Educational Recearch, 1969,39,473-491 .. Exposición de investigaciones recientes (1965-1969)sobre educación matemática.

20. Rosskopf, M.F.,§te€fe, L.B. and Taback, S.,Piagetian cognitive devsloptnent research and mathematical edwcstion. Washington, D.C.:National Council of Teachers OC Mathematics,

1941. Trabajos de una conferencia de educadores en matemática y psicólogos realizada en la Universidad de Columbia en octubre, 1970.

21. School Mathematics Steidy Group. Report of a conference on uesponsibilities for school mathematics in the 70’s.Stsnford,Calif.: SMSG, 1971. Informe del consejo asesor del SMSG sobre una conferencia- realizada en Francisco en octubre de 1970.

San

E.G.Begke (Ed), Mathernatics 22. Shulman, L.S., Psyckology and mathernatics education. 69” anuario de la National Society for the Study of Education. Part 1. education. Chicago: University of Chicago Press, 1970.pp. 23-71. Examen de las contribuciones de la psicología a problemas de educación matems tica, con énfasis a la idea del aprendizaje por medio del descubrimiento.

23. Siallivan, E.V., Piaget and the sckzosl curriculum: A critica1 appmissal. (Bulletin No.2) Toronto,Canada: Qntario Institute for Studies in Education, 1967. 24. Wheeler, D.H.Curriculurn reform in the seventies -matkematics. Jownal of Curricullrm Studies, 1970,2 (21,144-151. 25. Wllliams, I.D.Teaching technique in primary maths. Slough,England : National Foundation for Educational Research, 1971. Discusión dirigida hacia la investigación de los métodos de enseñanza en escuela primaria, con exteasa bibliografía.

la

26. Wllson, J.W.and Carry, L.R. (Eds),Reviews of recent research in IínaEhematics education. Studies in mathernatics, Vol. 19.Stanford, Calif.: School Mathematics Sludy GFOU~, 1969. Cinco artículos sobre investigaciones recientes en actitudes, clases, estudios referentes a Piaget, computadoras y solución de problemas.

27. Young, G.S.,Problems of curriculum developrnent for the 70’8. School Mathernatics Study Group, Report oE a conference on sesponsibilities for school rnathematics in the 70’s. Stanford,Calif.: SMSC,1971.pp. 15-25.

- 165 EPI LOGO

En los capítulos precedentes se han descrito varias tendencias que actualmente se manifiestan en la enseñanza de la matemática. Es importente tener presente que las tendencias señaladas, así como los nuevos temas de enseñanza que en ellas aparecen,no se refieren a un país determinado, sino que han sido tomadas de muchos países, de manera que en conjuirto constituyen una cantidad muy grande de información, que puedesir uti-lízada por cualquier paEs, en cualquier momento. También cabe señalar, que si bien la mayoría de los cambios, ya realizados o en proyecto, se refieren al contenido mate de mático, más bien que a otros aspectos más generales de la educación, no hay duda que mejorand.0 los contenidos y la pedagogía, se alcanzarán los objetivos deseables pa ra todos los alumnos. En la bibliografla sobre educación no se suele mencionar el hecho de que la sociedad contemporánea, tanto en costumbres como en el comportamiento diario, está cambiando a una velocidad nunca vista en la historia del hombre, Esto exige, para la mayoría de los hombres, una habilidad especial para adaptarse al cambio. De aquí la necesidad de orientar la enseñanza de manera que motive en los alumnos esta CtabdXd~d de pG(hci c?k! c m b h . Tal motivación debe ser estimulada a través de ios contenídos y los métodos de enseñanza, procurando crear la sensación de que el cambio es razonable (comprensíble) y que está bajo control (que es progresista y no destructivo). Por tanto, si se quiere mejorar, hay que buscar Pos contenidos y los métodos más conve nientes para iniciar y dominar el cambio.

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Las siguientes reflexiones son debidas al grupo de autores del presente fascícg lo, que mirando hacia adelante, vislumbran ciertas tendencias y objetivos que desearían llegaran a ser realidades en la educación matemática de la década de los años se tenta. El lector notará entre ellas, muchas tendencias ya mencionadas en los capítu los precedentes. Por otra parte, el orden en que figuran no significa orden de importancia.

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1. Aunque la habilidad para calcular correctamente en el sistema decimal, sigue siendo uno de los objetivos,primordiales, el curriculum de la escuela elemental ha d z jado de ser puramente aritmético, y actualmente abarca un programa matemático bastante más amplio. Se incluyen en el mismo los elementos de geometría y probabilidad, así como las ideas fundamentales sobre conjuntos, relaciones, aplicaciones y operaciones en su concepto moderno. Diagramas de flechas, reticdados, aplicaciones del plano en sí mismo, simetrías, ideas sobre probabilidad y el uso simple de la nomenclatura e ideas de la lógica, todo presentado de manera correcta en situaciones concretas infor males, son tópicos que deben presidir toda la enseñanza. Deben desarrollarse las herramientas básicas de usr) diario, pero al mismo tiempo deben darse las bases necesa rías para los posteriores estudios de matemática en la escuela secundaria (ver el capítulo l.). 2. El álgebra sobresale actualmente como la disciplina unificadora de toda l a m temática. El punto de vista contemporáneo de usar los conjuntos, relaciones, aplica ciones y operaciones como base de toda la matemática de nivel elemental y medio, es universalmente aceptado. El uso de las estructuras -grupos, anillos, cuerpos,espacios vectorialos- debe incluirse en todos los programas de enseñanza secundaria, aunque a

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- 166 veces los nombres no figuren en forma explícita. El álgebra debe enseñarse en su sentido actual (conjuntos, estructuras), según el cual los sistemas numéricos son realizaciones o ejemplos de estructuras, y la ejercitación incluye todo el trabajo usualbre gráficos, funciones y resolución de ecuaciones e inecuaciones. La importancia de las estructuras no radica en su formalismo, sino en su capacidad para generalizar los conceptos y presentarlos en toda su amplitud (ver el capltulo 2).

3. El estudio largo y detallado de la geometría euclidiana sintética, está des2 pareciendo de los curricula. El contenido mas conveniente de los estudios geométricos, es un tema todavía sujeto a discusión. En algunos países se suele empezar por una introducción deductiva a la geometr5a afín (sintética), que tiene la ventaja de conte ner sistemas axiomáticos de modelos finitos (geometrías finitas). En genera1,hay coiE cidencia de que el estudio de la geometría debe comprender el uso de coordenadas,trars_ formaciones y vectores como medios para,el estudio del espacio. Este enfoque debe empalmarse con las estructuras algebraicas, formando una unidad que es una de las características de la matemática contemporhea. Por otra parte, todos estos elementos con2 tituyen una sólida base para los alumnos que deseen seguir estudios más avanzados de matemática (ver el capítulo 3).

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4. Desde el comienzo de la enseñanza elemental hay que tender a unificar los estudios matemáticos, es decir, a relacionar las distintas ramas en que clásicamente se subdividían y colocarlas en el marco de los puntos de vista actuales, de manera que los elementos comunes a todos los temas (clásicos y modernos) formen la base de todo el estudio posteri,or. La insistencia sobre los conceptos básicos y sobrelas estructuras, es tan importante como el "saber cómo hacer" de la presentación clásica (ver los capEtulos 2 y 8). 5. Debido a sus mÚltiples aplicaciones, la probabilidad y la estadística han pa cado a ser disciplinas matemáticas muy importantes. Su intervención en muchos queha ceres modernos -políticos, sociales, económicos, tecnológicos, científicos y comercia les- hace que en la actualidad su conocimiento sea indispensable a todo hombre educado. Su estudio debe empezar en la escuela primaria, con juegos de azar y con la ini ciacíón informal a las ideas concretas de frecuencia relativa, estabilidad, certidumbre, incertidumbre y predicción. En la escuela secundaria estos conceptos deben ser estructurados en base a la probabilidad y se deben tratar muchas aplicaciones. El es tudio se hace cómodamente con el uso de las operaciones con conjuntos, combinatoria análisis, de manera que se puede ir reforzando y ampliando a medida que se introducen estos temas. De esta manera se mantienen los objetivos de unidad y utilidad de la matemática (ver el capítulo 4).

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7

6. El estudio de los espacios vectoriales y el álgebra lineal, incluida el áIg2 bra de matrices, debe formar parte de la matemática secundaria. En realidad, estos t e mas ya forman parte de los programas de muchas escuelas secundarias, por haber sido los temas que más rápidamente descendieron de la universidad a esas escuelas. Su ini portancia radica en la generalidad de sus conceptos, en su poder de penetr-aciÓn.entg das las ramas de la matemática y en su capacidad para unificar estas Últimas. Por ejemplo, las estructuras algebraicas se vinculan íntimamente con los sistemas geométrL COS de la matemática secundaria. El estudio de los espacios vectoriales puede limitar se a los de tres dimensiones, con los modelos de la geometrla vectorial de la recta, del plano y del espacio. Sin embargo, la extensión a un número mayor de dimensiones (finito) no ofrece dificultad y es muy Útil (ver el capítulo 2).

- 167 7. En muchos países, desde hace más o menos medio siglo, los elementosdel cálcx 10 infinitesimal han formado parte de los programas de algunas escuelas secundarias, sobre todo de las escuelas técnicas y para los alumnos de la rama científica del ba chillera.to. Actualmente,las ideas básicas del cálculo -continuidad, variación conti nua, procesos infinitos- deben formar parte de los conocimientos de toda persona educada, no solamente de las que van a seguir carreras científicas. El cálculo es todavía la rama de la matemática que tiene más aplicaciones. Sus ideas fundamentales son más complicadas y más abstractas que las restantes de la matemática elemental, por lo cual hay que introducirlas paulatinamente, pero desde un principio de la enseñanza se cundaria, para disponer del tiempo necesario para su desarrollo. Las primeras ideas pueden introducirse informalmente, pero de manera correcta y de acuerdo con las ideas actuales del análisis (ver el capítulo 5).

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8. Las computadoras electrónicas han invadido todos los aspectos de la vida moderna, pública, privada e industrial. No solamente calculan, sino que ordenan y controlan automáticamente la prodixción industrial, enseñan a través de la instrucción programada y regulan los sistemas mundiales de comunicación. Cada día se descubrenmák aplicaciones de estas máquinas. En los próximos años, millones de personas en todo el mundo estarán vinculadas directamente con la producción, operación, mantenimiento y uso de las computadoras. Por tanto es indispensable que las personas educadas conoz can lo que estas máquinas pueden hacer y lo que no pueden hacer. Aún sin disponer de una computadora, ni terminal de la misma, se pueden enseñar los diagramas de flujo de ciertos algoritmos y su programación mediante lenguajes simples. Hay que incluir en los programas de matemática de la escuela secundaria los métodos numéricos para resol ver ecuacionec polinómicas y trascendentes por iteración, así como las aplicaciones del cálculo numérico (cálculo de derivadas e integrales aproximadas)(ver el capltulo7).

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9. La matemática y la lógica han estado siempre muy vinculadas entre sí. No pug de haber matemát/ca abstracta formal, sin lógica matemática. En el pasado, la íhica aplicación de la lógica en los programas de matemática secundaría, era el desarrollo axiomático de la geometría sintética. Actualmente se dispone de estructuras más simples en las cuales se puede aplicar el método axiomático de demostración (implicación, inferencia, regla de la cadena) y la cuantificación. La lógica tiene tambign importan cia en el lenguaje de comunicación. Actualmente, no se propone que la lógica sea ensz ñada en las escuelas como un estudio separado, sino junto con la matemática, en diferentes etapas y niveles (primero informalmente y luego de manera m"as formal), desarrg llando los conectivos, implicaciones, tablas de verdad, esquemas de inferencia y cuag tificación. Aunque no hay acuerdo general sobre la intensidad y la manera como debe enseñarse la lógica en la escuela secundaría, parece indudable que su estudio será i 2 tensífícado en la próxima década (ver el capítulo 6). .

10. La matemática ha sido una disciplina Útil en todos los tiempos. Actualmente ha invadido todas las ciencias (físicas, naturales y humanas), con lo cual su utili dad es mayor que nunca. Muchos de sus usos actuales son nuevos, como la programación lineal, teoría de juegos, simulación, teoría de la decisión, etc. Hay que incluir ejemplos de estas nuevas aplicaciones en los programas de escuela secundaria. En la enseñanza tradicional, las aplicaciones de la matemática solían consistir en problemas vinculados directamente con la teoría. Actualmente, sin que este tipo de aplicaciones desaparezca, se da importancia a "matematizar" situaciones o a la crea ciÓn de modelos matemáticos adaptados a situaciones diversas. Como ejemplo, vamos a

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168

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considerar el simple caso del &ea limitada por una recta en un sistema cartesianortangular. En la figura siguiente, indiquemos por k el área limitada por la recta 1 y y el eje x entre los puntos O y A (o sea el área OACB), por 5 el punto medio de OA por m la pendiente de la recta 1. Por simples consideraciones de álgebra y geometría se tiene que para todo valor d.e x (abscica de A) valen las ecuaciones

1

i 2 1 1

<

O

A

Xm

t

X

donde la ecuacio'n 5 se ha obtenido eliminando x entre las ecuaciones 1 y 3. Hagamos ahora en todas las ecuaciones el cambio de variables X-t con lo cual resulta

1.

;I

- vo = --__ t

:

Y-V

:

k - ~ 3. v =

:

V,)

4. s = vot

iii-a

+ at 1

1

,t'

d

Estas ecuaciones representan la teorza del movimiento uniformemente aceleradode la física. Cuando existe una correspondencia biyectiva (uno a uno) entre los elemen tos de una teoría cient'afieaylos de un sistema matemático, como ocurre en el ejemplo anterior, se dice que el sistema es un modelo matemático de la teoría. Se dice también que entre el modelo y la teoría hay un harnuh&2mo.. Otros ejemplos son los a~ U C L OdeS pfiubub.X.Ldctd wn unu mecüdrn, existentes para cada proceso a.1eatori.o; por ejemplo, tomando el espacio y la medida de manera convenientes, se puede tener un modelo matemático del juego de dados. Este aspecto de la matemática debe ser tenido muy en cuenta, no solamente por su utilidad como método de descubrimiento, sino porquepez mite una mejor comprensión de los progresos cientlfícos.

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11. La psicología ha hecho notables progresos en la explicación del comporta miento o entrenamiento de los animales, que es un aprendizaje no verbal. Respecto del aprendizaje en los seres humanos, en cambio, no existe una teoría del aprendizaje suficientemente satisfactoria para que sobre ella se puedan basar los curricula y los métodos de enseñanza. Hasta hace poco, las investigaciones sobre el aprendizaje en el hombre y sobre los métodos de enseñanza basados en ellas fueron relativamente estériles. Recientemente, sin embargo, se han anunciado diversas teorías que deben tenerse

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169

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en cuenta para la experimentación de curricula y métodos de enseñanza. Es conveniente

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intensificar más y más las investigaciones sobre estrategias de enseñanza y reaccio nes de los alumnos respecto de ellas, lo que supone una estrecha cslaboracion entre profesores y alumnos, estos Últimos considerados más bien como colaboradores en la investigación que como conejitos de indias. Esto llevará consigo la necesidad de nuevos métodos para registrar y analizar leas tareas del maestro y de los alumnos. Una cg sa que puede considerarse como segura, es la transformación del aprendizaje memorístz co de las exposiciones del maestro, en un diálogo e intercambio de ideas entre los alumnos y entre los alumnos y el maestro. Junto con este intercambio, aparecerán gran cantidad de nuevos medios (circuitos cerrados de televisión, retroproyectores, terminales de computadoras, materiales para el aprendizaje individual, etc.) para comple mentar las clases regulares. Todo e110 supone un cambio en la manera de conducir el trabajo en el aula (ver los capítulos 8 y 10).

12. Para que las innovaciones anteriores puedan tener lugar, van a ser necesa ríos cambios en la preparación de los maestros y en los exámenes de evaluací8n. Todavía, en muchos países, los exámenes tienen mucho de adivinanza y los maestros adaptan su enseñanza al fin primordial de que los alumnos puedan pasar el examen, el cua.l,por otra parte, se basa casi siempre en matemática clásica. Este tipo de exámenes oficiales han permanecido en general adheridos a los programas tradicionales y han sido uno de los mayores obstáculos para la introducción de mejores y más eficientes métodos de enseñanza. Habrá que cambiar la actitud de poner trabas para evitar que los incapaces pasen de una etapa de la enseñanza a la otra, por otra basada en pruebas de autoeva luación y orientación vocacional, Los organismos responsables deben permiti,r ensayar los nuevos programas y evaluarlos respecto de los nuevos objetivos de la enseñanza. Los alumnos deben desear ser examinados como una guía para su aprendizaje, y con ello perder el miedo actual, consecuencia de que un fracaso en el examen puede significar la detención en los estudios. El estudio de los métodos más convenientes de evalua ción, seguramente seguirá en aumento en los próximos años (ver el capltulo 9).

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13. Finalmente, se observa una creciente preocupación para conseguir una sólida y adecuada preparación matemática para &dan los alumnos, asegurando para ellos la ad quisición de los conocimientos matemáticos que todo ciudadano necesita. Esto se suele enunciar diciendo que hay que lograr la u&ab&CLzuC¿6lZ rna;tmúLLca de todos los ciudadanos. En el pasado, se ha sostenido que solamente quienes hayan pasado la segunda en señanza pueden seguir adelante en sus estudios de matemática u otras cienclas en la universidad o escuelas especiales; los demás, están sentenciados a no conocer nuncala ciencia ni su lenguaje matemático. Desde el punto de vista de un conocimiento profundo, el hecho puede ser cierto, pero desde el punto de vista de la educación en gene ral, es falso. La mayoría de los alumnos de la escuela secundaria están en condicio nes de aprender una cantidad modesta de conocimientos matemáticos que les permita,por lo menos como aficionados (no como profesionales), leer y comprender intuitivamenteb que se está haciendo en el mundo científico y matemático. Este alfabetísmo matemático es análogo al que todo el mundo posee, en mayor o menor grado, en arte, humanidades, economía o política. En los próximos años deberíamos procurar definir de manera preci sa, e incluirlo en los curricula, cual debe ser la matemática para ,tudoh.

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Hemos pasado revista de las tendencias y resultados que se vislumbran para un futuro inmediato, Todos los educadores del mundo pueden usar estos pronósticos para nuevas investigaciones, para realizar ‘estudios particulares y para tomar decisiones 5 cerca de cómo mejorar la enseñanza de la matemática en su ambiente. Ellos conocerán

- 170 las dificultades y problemas que surgen al preparar currícula, producir buenos libros de texto, organizar cursos de perfeccionamiento para maestros en actividad y preparar buenos maestros en su ciudad, región o pazs. También experimentarán la sensación de retroceso cuando no se hace nada y la sensación de peligro al iniciar experiencias iz controladas, debiendo en cada caso actuar según las circunstancias. Los autores han cumplido con su misión de señalar y presentar opiniones filos& ficas sobre la dirección que estiman debe tomar la enseñanza de la matemática. Durante siglos, los matemáticos han estado estudiando su disciplina, as5 como la naturaleza de la misma, sus posibilidades, sus limitaciones y su papel en la solución de los problemas humanos. La matemática ya no trata exclusivamente con elementos del espacio y su medida (es decir, conjuntos de puntos y conjuntos de nÚmeros),sino que su domi nio está formado por conjuntos de elementos cualesquiera (conjunto de funciones, conjuntos de celdas, conjuntos de elementos lingülsticos, conjuntos de entes psicológi COS) y por el proceso según el cual las estructuras de la lógica matemática actúansobre ellos. La matemática ha invadido prácticamente todos los dominios de las activids des humanas. Precisamente para adaptarse a este nuevo concepto de la matemática, es que los educadores han hecho las reformas actuales en los curricula de las escuelas g lemental y secundaria, confiando en que ellas permitirán que todo ciudadano aprendala matemática que necesita, de acuerdo con sus necesidades y con su habilidad y diligencia para aprender. La continua investigaciónabusca de nuevos medios para mejorar el alfabetismo matemático, debe proseguir sin desmayo,

-

- 171 PARTICIPANTES DEL SEMINARIO DE ROYATJMONT A.Z. KRYGOWSKA Wyazra Skota Pedagogiezna Krakow Smoenchowskiego 1, Krakow (Polonia)

A. J. BISHOP Department of Education University of Cambridge

17 Brookside Cambridgz (Inglaterra)

A. D.NIJDAM lnstituut OntwikkelingWiskunde Onderwys Tiberdreet 4 Utrecht: (Ho1anda)

H.F. FEHR 165 West 66th Street N e w York, N.Y. 10023 (USA)

H. FREUDENTHAL IOWO Tiberdreef 4 Utrecht (Holanda)

Zolrístaw OPl AL lnstytut Matematyczny UJ Reymonta 4 Krakow (Polonia)

C. GAULIN Faculté des Sciences de I'Education Université Laval Cité Universitaire Québec 10,Quebec (Canadá)

G. PAPY 69,Bld Mettewie 1080 Brussels (Bélgica)

A. R E V U Z

M.GLAYMANN I.R.E.M.de LYON 43,Boulevard du 1 1 Movernbre 1918 69621 - Villeurbanne (Francia)

16,rue de R o m e 78 Les Essarts le Roi (Francia)

5.G R I F F I T H S Department of Mathematics

. STEINER Paedagogische Hochschule D 858 Bayreuth Geschw. Scholl PI 3 (Alemania)

-

~

The University Highfield Southampton (Inglaterra)

W. SERVAIS lnstitut Supérieur de Pédagogie Université de I'Etat Mons (Bélgica)

M. HASTAD Hostigen . 16 18274.Stocksund (Suecia)

J. KILPATRICK Department of Mathernatical Education Teachers College,Columbia University New York, N.Y. 10027 (U.S.A.)

J. SURANYI Research Institute for Mathematics of the Hungarian Academy of Science Realtanoda u. 13/15 Budapest V (Hungría)

OTRO S COLABOU D 0RES John S. CAMP Teachers College,Columbia New York, N.Y.10027 (USA.)

David FUYS Teachers College, Columbia N e w York,N.Y.(U.S.A.) Jaraslav SEDIVY University of Praha Przha (Checoeslovaquia)