Números Complejos y DFFT

Números Complejos y DFFT Ing. Abel Augusto Durand Loaiza IBEROTEC

05 de Diciembre de 2016

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Resumen La presente guía didáctica comprende una aproximación para enseñar a los estudiantes de las carreras técnicas y universidades sobre los números complejos y la transformada discreta de Fourier. Abstract The present teaching guide comprises an approach to teach students of technical careers and universities about complex numbers and discrete Fourier transform. Adaptación libre de los textos:  Lyons, Richard G. “Undertanding digitalsignal processing” 3ª edición Prentice Hall USA. 597pp (2015).  Lyons, Richad G.& Fugal, D. Lee “The Essential Guide to Digital Signal Processing (Essentiaal Guide Series)” Prentice Hall USA. 239pp (2014).

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1. Fundamentos de los números complejos: En la siguiente figura se presenta la notación empleada para la representación de números complejos:

Fig. 1 Interpretación gráfica de un número real y de uno complejo

Podemos apreciar que solamente utilizado dos ejes podemos representar todas las posibilidades de representar un número, recuerde que cualquier número al cuadrado es positivo y su raíz nunca será negativa: qué hacemos para solucionar esto: se crea “j” igual a la raíz de “-1”. ¡Sorprendente!, con este “artificio” logramos salir de la recta numérica de los números reales. Un número complejo puede ser representado de diferentes formas, como se muestra en la tabla siguiente:

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Tabla 1 Representaciones matemáticas de un número complejo

Nombre de la notación Forma rectangular

Expresión matemática c = a + jb

Forma c = M[cos(φ) + jsen(φ)] trigonométrica Forma polar

c = Mejφ

Forma de magnitud y ángulo

c=M

φ

Consideraciones

Nº

Usada para propósitos de explicación. Fácil de entender. (También se le llama forma Cartesiana) Usada comúnmente para describir señales en cuadratura en los sistemas de comunicaciones. Más misteriosa, pero la forma primaria usada en ecuaciones matemáticas. [También llamada forma Exponencial. Algunas veces se escribe como Mexp(jφ)] Usada con propósitos descriptivos, pero incómodo en expresiones algebraicas.

(1)

Fig. 2 Representación fasorial de un número complejo c = a + jb

Donde: M = |c| = √𝑎2 + 𝑏 2

(5)

𝑏

φ = tan -1(𝑎) ejφ = [cos(φ) + jsen(φ)]

(6) (7)

(2) (3)

(4)

Números Complejos y DFFT • Si hacemos (2) = (3) se tiene: Mejφ = M[cos(φ) + jsen(φ)] y por tanto: Esta es la famosa fórmula de Euler. ¿Cómo se origina esta?. Herr Leonard Euler un gran experto en series infinitas, que condujeron a la definición del número e como base de los logaritmos naturales, como se muestra a continuación: Haciendo z = jφ en la serie de Euler, se tiene:

Fig. 3 Derivación de la ecuación de Euler usando la expansión de la serie de ez , cos(φ), y sen(φ).

Para valores negativos: e-jφ = [cos(φ) - jsen(φ)] • •

(8)

Sustituyendo z por –jφ se tiene la siguiente expresión: Las ecuaciones (7) y (8) son muy utilizadas porque: • Simplifican las derivaciones matemáticas y el análisis: • Tornando las ecuaciones trigonométricas en simple algebra de exponentes • Las operaciones matemáticas en números complejos siguen exactamente las mismas reglas de los números reales. • Hacen que la suma de señales sea tratada simplemente como la suma de números complejos (suma de vectores). • Es la notación más concisa. • Es un indicativo de cómo se implementas los sistemas de comunicación digital y se describen en la mayoría de la literatura sobre la teoría de las comunicaciones. Si hacemos φ = π/2 en la ecuación (7) tendremos: ejπ/2 = [cos(π/2) + jsen(π/2)] = 0 + j1 ejπ/2 = j •

(9)

De acuerdo con la fórmula anterior recordemos lo siguiente: si multiplicamos un número complejo por j o por ejπ/2 resulta un nuevo número rotado 90° anti-horario (con respecto al número inicial), en el plano complejo.

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•

Fig. 4 Qué sucede con el número real 8 cuando empieza a multiplicarse por j.

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Números Complejos y DFFT 2. Representando señales reales por medio de fasores complejos. El número complejo que varía en el tiempo puede representar una señal real ya que tiene amplitud (distancia desde la referencia cero (M) y fase es el ángulo φ.

Fig. 5 Una instantánea en tiempo, de dos números complejos cuyos exponentes cambian con el tiempo.

Si representamos en tres dimensiones los fasores girando y a su vez desplazándose en el tiempo, se tiene la figura 6 a continuación:

Fig. 6 . Movimiento del fasor eJ2πfot

3. Fasores girando en sentidos opuestos: Si el la figura 6 hacemos que dos fasores giren en sentidos opuestos, la parte en j (imaginaria) se cancelará, mientras que la parte real será el doble. Ver el gráfico 7: Representando estos fasores en forma exponencial, se tendría: Representación de la suma de dos fasores girando en sentidos opuestos (dividimos entre dos para que no sea el doble:

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Si se restan los fasores que giran en sentidos opuestos, se tendrá:

Una representación de estos fasores en la figura 7 a continuación:

Fig. 7 Función coseno representando la suma de dos fasores complejos rotando

4. Representando señales en cuadratura en el dominio de la frecuencia Utilizamos las siguientes convenciones:

Fig. 8 Interpretación de los exponenciales complejos

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Números Complejos y DFFT Con esas convenciones, podemos representarlas ecuaciones para el seno y el coseno mediante los siguientes gráficos:

Fig. 9 Representación en el dominio complejo de una onda coseno y seno.

En esta figura (9) se muestra que el coseno (ecuación 10) consta de dos fasores de valor ½ en el plano real en las frecuencias fo y –fo: Para la función seno (ecuación 11) se tienen dos fasores en el plano j (imaginario) de valores ½ opuestos: Para la identidad de Euler se tiene:

Fig. 10 Vista en el dominio complejo de la frecuencia de la identidad de Euler ej2πfot = cos(2πfot) + jsen(2πfot)

5. Transformada continua de Fourier

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Con la notación exponencial podemos entender que la transformada continua de Fourier es la suma de todos los componentes de frecuencia de la señal en el tiempo En el campo del procesamiento de señales continuas, se utiliza para transformar una función continua en el tiempo x(t) en una función continua en el dominio de la frecuencia X(f). X(f) nos permite determinar el contenido de frecuencias de cualquier señal de nuestro interés y abre la posibilidad de un amplio arreglo de posibilidades de análisis y procesamiento en ingeniería y física. Sin embargo, la resolución de esta integral es un procedimiento complejo, por lo cual se utiliza la versión discreta. 6. Transformada discreta de Fourier

Con las computadoras digitales, se puede calcular esta expresión, utilizando la DFT (Discrete Fourier Transform – Transformada discreta de Fourier). De la relación de Euler: e-jφ = [cos(φ) - jsen(φ)], la ecuación anterior es igual a:

Hemos separado el exponencial complejo en sus partes real e imaginaria, donde:

Por ejemplo: para N = 4, tanto m como n (los dos) van de 0 a 3:

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Escribimos todos los términos correspondientes a m = 0,

Para m = 1;

Para m = 2;

Y finalmente para m = 3; se tiene:

Vemos que cada término es la suma punto a punto entre los valores de la secuencia de entrada y el sinusoide de la forma cos(φ) – jsen(φ). Por esta razón es más fácil utilizar la notación de sumatoria (Σ) para la DFT. La frecuencia exacta de los diferentes sinusoides depende de:  la frecuencia de muestreo fs a la cual la señal original ha sido muestreada,  y el número de muestras N. Por ejemplo: si estamos muestreando una señal continua a una tasa de 500 muestras/segundo, y a continuación realizamos la DTF de 16 puntos de la data muestreada, la frecuencia fundamental de los sinusoides es: fs/N = 500/16 = 31.25 Hz. • Las otras frecuencias del análisis de X(m) serán múltiplos integrales de la frecuencia fundamental.

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Las N frecuencias separadas del análisis DFT son:

fanálisis(m) = mfs N Definimos los términos utilizados en el análisis de funciones complejas en la frecuencia:

Fig. 11 Vista en el dominio complejo de la frecuencia de un fasor en función de su componente real e imaginario.

Si representamos un valor arbitrario de DFT X(m) por sus partes real e imaginaria, se tiene: • La magnitud de X(m) es:

•

Por definición el ángulo fase de X(m) es Xφ(m)

La potencia de la señal, conocida también como espectro de potencia, es la magnitud al cuadrado:

7. Ejemplo de aplicación de la DFT para 8 puntos Tenemos la siguiente función de entrada: (dos sinusoides el primero a 1K Hz y el segundo a 2K Hz con un desfase de 3π/4 – 135°)

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La velocidad de muestreo es fs esto quiere decir que cada 1/fs se toma una muestra. Además, analizamos 8 valores para la DFT, entonces N = 8. Por tanto,la señal muestreada (en el tiempo) a 8000 muestras por segundo será:

Si escogemos una frecuencia de muestreo de 8000 muestras por segundo, los resultados de la DFT tendrán los siguientes valores mfs/N: Fs/N = 0KHz, 1KHz, 2KHz, 3KHz, …. Hasta 8KHz Los ocho valores serán:

Dibujo de los 8 valores en el tiempo:

•

Para m = 1 ó 1kHz (mfs/N = 1 . 8000/8) se tiene:

Desarrollamos la sumatoria: Para m = 1:

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Notar que para m=1 las ondas seno y coseno tienen M=1 ondas completas en el intervalo de muestreo. Vemos que la señal tiene una componente en la frecuencia de 1kHz Para m = 2:

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Para m = 3:

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Números Complejos y DFFT Para m = 4:

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Números Complejos y DFFT Para m = 5:

Para m = 6:

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Y finalmente para m = 7:

Gráficos de la solución:

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Caso especial para m=0

Nuestra señal no tiene componente de continua. Su promedio es cero.

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