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Números racionales NÚMEROS DECIMALES

NO EXACTOS Y NO PERIÓDICOS

PERIÓDICOS

EXACTOS

PUROS

MIXTOS

FRACCIONES

FRACCIÓN EQUIVALENTE

OPERACIONES

FRACCIÓN IRREDUCIBLE SUMA

RESTA

NÚMEROS RACIONALES

14

MULTIPLICACIÓN

DIVISIÓN

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La senda de los recuerdos La sala del trono papal aparecía enorme y vacía a los ojos de Silvestre II. El otrora poderoso pontífice romano había perdido todo su poder político aunque a los ojos de cualquiera su presencia aún imponía un respeto casi místico. Ya anciano gustaba de pasear por su pasado, el único sitio adonde solo podía llegar él y se sentía libre. Recordaba feliz su estancia en el monasterio catalán de Ripoll, las frecuentes visitas a su imponente biblioteca y la ciencia que venía del sur. A su memoria volvían algunos de sus recuerdos iluminando su rostro, como aquel ábaco que él mismo construyó con los números arábigos escritos en sus fichas y cuyo uso describió con detalle, o el proyecto de aquella máquina que fraccionaría el tiempo, sustituta de la campana de los monjes: maitines, laudes, prima, tercia… Abrió el libro y, por azar, se encontró con el proyecto de la máquina que medía el tiempo cuyas primeras líneas decían: Día y noche son las dos partes en que se divide el día, mas no son iguales, el primero de diciembre durante el día se han consumido 3 velas y 6 durante la noche… De repente, como el humo de las velas tras un golpe de aire, el imaginario camino trazado en el tiempo se desvaneció al oír la voz de su secretario que, a cierta distancia, le informaba de su próxima audiencia. ¿Qué fracción del día le asignarías al día y a la noche?

Al día se le asigna:

3 1 = 9 3

A la noche se le asigna:

6 2 = 9 3

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Números racionales EJERCICIOS 001

Calcula. a)

4 de 450 5 a)

002

b)

3 de 350 7

4 ⋅ 450 = 360 5

b)

3 ⋅ 350 = 150 7

Comprueba si son equivalentes estas fracciones. a)

7 21 y 2 6

b)

12 10 y 60 25

a) Son equivalentes, ya que: 7 ⋅ 6 = 42 = 2 ⋅ 21. b) No son equivalentes, pues 12 ⋅ 25 = 300 ⫽ 600 = 60 ⋅ 10. 003

Representa, mediante un gráfico, estas fracciones como partes de la unidad. a)

4 10

b)

7 4

a)

004

d)

6 3

c)

d)

Escribe fracciones cuyo valor numérico sea: b) −2 14 =2 7 −6 = −2 b) 3

c) 0,5

d) 1,5

1 = 0, 5 2 3 = 1, 5 d) 2

a)

c)

Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de las siguientes por amplificación y otras dos por simplificación. a)

120 60

b)

690 360

AMPLIFICACIÓN

120 240 360 = = a) 60 120 180 690 1.380 2.070 = = b) 360 720 1.080 12 24 36 = = c) 28 56 84

16

5 5

b)

a) 2

005

c)

c)

12 28 SIMPLIFICACIÓN

120 60 40 = = 60 30 20 690 230 69 = = 360 120 36 12 6 3 = = 28 14 7

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SOLUCIONARIO

006

Calcula la fracción irreducible de estas fracciones. a)

007

1

18 40

b)

60 75

c)

42 56

a) m.c.d. (18, 40) = 2 ⎯→

18 9 = 40 20

b) m.c.d. (60, 75) = 15 →

60 4 = 75 5

c) m.c.d. (42, 56) = 14 →

42 3 = 56 4

Halla fracciones de denominador 100 que sean equivalentes 13 39 11 a las fracciones , y . 25 50 20 13 52 = 25 100 39 78 = 50 100 11 55 = 20 100

008

a es irreducible. ¿Seguirá siendo irreducible si multiplicamos b el numerador y el denominador por 7? La fracción

No seguirá siendo irreducible, ya que el numerador y el denominador tienen 7 como común denominador. 009

Ordena, de menor a mayor. 4 , 9 3 b) , 5 a)

1 , 3 3 , 4

2 , 5 3 , 7

11 30 4 9

a) m.c.m. (9, 3, 5, 30) = 90;

4 40 1 30 2 36 11 33 = , = , = , = 9 90 3 90 5 90 30 90 1 11 2 4 < < < 3 30 5 9

b) m.c.m. (5, 4, 7, 9) = 1.260;

3 756 3 945 3 540 = , = , = , 5 1.260 4 1.260 7 1.260

4 560 = 9 1.260

3 4 3 3 < < < 7 9 5 4

17

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Números racionales 010

011

Ordena, de menor a mayor:

5 −2 −3 8 6 , , , , . 9 3 4 5 7

m.c.m. (9, 3, 4, 5 ,7) = 1.260;

5 700 −2 −840 −3 −945 = , = , = , 9 1.260 3 1.260 4 1.260

8 2.016 6 1.080 = , = 5 1.260 7 1.260

−3 −2 5 6 8 < < < < 4 3 9 7 5

¿Cuánto tiene que valer a para que

a 7 > ? 5 5

a debe ser mayor que 7: a > 7. 012

Calcula. 7 3 + 8 8 7 b) 5 + 8

5 4 − 3 3 8 d) 4 − 3

a)

a)

7 3 10 5 + = = 8 8 8 4

b) 5 + c)

7 40 7 47 = + = 8 8 8 8

5 4 1 − = 3 3 3

d) 4 −

013

c)

8 12 8 4 = − = 3 3 3 3

Realiza estos productos. a)

12 7 ⋅ 5 3 a)

b) −5 −

9 3 − 4 14

11 −44 = = −22 2 2

Haz las siguientes operaciones. a) −

7 9 5 + − 2 4 8 a) −

7 9 5 28 18 5 −15 + − =− + − = 2 4 8 8 8 8 8

b) −5 −

18

11 2

12 7 84 28 ⋅ = = 5 3 15 5

b) (−4) ⋅

014

b) (−4 ) ⋅

9 3 140 63 6 209 − =− − − = 4 14 28 28 28 28

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SOLUCIONARIO

015

Completa con una fracción. a)

016

1 + 3

=

1 4

1 1 −1 1 −1 1 − = → + = 4 3 12 3 12 4

b)

3 1 10 3 10 −1 + = → − = 7 21 21 7 21 21

−1 21

c) 4 :

7 2

d) (−5) :

10 9

a)

9 4 63 : = 5 7 20

c) 4 :

7 8 = 2 7

b)

8 3 40 : = 11 5 33

d) (−5) :

10 −45 −9 = = 9 10 2

Calcula. a)

⎛7 5 4 ⎞⎟ ⎟⎟ + ⎜⎜⎜ − ⎝ 9 5 15 ⎠ 5 ⎛⎜ 7 4 ⎞⎟ 5 17 ⎟⎟ = +⎜ − + = a) ⎜ ⎟ 9 ⎝5 15 ⎠ 9 15 ⎛8 4 7 ⎞⎟ 4 73 ⎟⎟ = − ⎜⎜ − − b) ⎜ 25 ⎝ 2 20 ⎟⎠ 25 20

⎛8 4 7 ⎞⎟ ⎟⎟ − ⎜⎜⎜ − ⎝ 25 2 20 ⎠

b) 76 45 =

349 100

Opera. a)

019

=

Realiza las divisiones. 9 4 : 5 7 8 3 : b) 11 5

018

3 − 7

b)

a)

a)

017

1

⎛9 −7 ⎛⎜ 3 5 7 ⎞⎟ 5 8 ⎞ ⎛ −6 ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⋅⎜ + − + ⎟⎟⎟ : ⎜⎜⎜ b) ⎜⎜⎜ − ⎝4 3 ⎜⎝ 5 6 12 ⎠ 6 9⎠ ⎝ 5 ⎠ −7 ⎛⎜ 3 5 7 ⎞⎟ −7 51 357 ⎟⎟ = ⋅⎜ + − ⋅ = a) 3 ⎝⎜ 5 6 12 ⎟⎠ 3 60 180 ⎛9 5 8 ⎞ ⎛ −6 ⎞⎟ 83 ⎛⎜ −6 ⎞⎟ −415 ⎟⎟ = ⎟⎟ = + ⎟⎟⎟ : ⎜⎜ :⎜ b) ⎜⎜⎜ − ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝4 ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ 6 9 5 36 5 216

Completa con una fracción para que estas igualdades sean ciertas. a)

3 : 5 a)

=

21 20

3 21 60 4 : = = 5 20 105 7

:

b) b)

3 6 = 5 3 6 3 30 6 : = = 5 5 15 3

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Página 20

Números racionales 020

Indica la parte entera, la decimal, el período y el anteperíodo. a) 0,333… b) 234,4562525…

021

c) 3,37888… d) 0,012333…

a) Parte entera: 0. Período: 3.

c) Parte entera: 3. Anteperíodo: 37. Período: 8.

b) Parte entera: 234. Anteperíodo: 456. Período: 25.

d) Parte entera: 0. Anteperíodo: 012. Período: 3.

Clasifica estos números. a) 0,333… b) 34,45666…

c) 125,6

a) Periódico puro. b) Periódico mixto. c) Decimal exacto. 022

023

Completa hasta diez cifras decimales. a) 1,347347… c) 3,2666… b) 2,7474… d) 0,253737… a) 1,3473473473

c) 3,2666666666

b) 2,7474747474

d) 0,2537373737

Escribe dos números decimales no exactos y no periódicos. 2,12345678… y 56,12112111211112…

024

Sin realizar la división, clasifica estas fracciones según se expresen como un número entero, decimal exacto, periódico puro o periódico mixto. 5 3 7 b) 6 9 c) 5

d)

g)

a) Periódico.

f) Periódico.

b) Periódico.

g) Entero.

c) Decimal exacto. d) Entero.

−84 −2 = → Decimal exacto. 210 5 −346 −173 = → Periódico. i) −222 −111

e)

20

−85 17 −84 h) 210 −346 i) −222

175 25 111 e) 240 17 f) 6

a)

111 37 = → Decimal exacto. 240 80

h)

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Página 21

SOLUCIONARIO

025

Escribe dos fracciones que expresen: a) Un número entero. b) Un número decimal exacto. c) Un número decimal periódico. a)

026

1

4 20 y 2 4

b)

3 7 y 5 2

c)

5 8 y 3 35

Una fracción cuyo numerador no es múltiplo del denominador y el denominador tiene factores distintos de 2 y 5, ¿qué tipo de número decimal expresa? Expresa un decimal periódico puro, ya que no es entero y los factores del denominador son distintos de 2 y 5.

027

Obtén la fracción generatriz de estos números decimales. ) a) 3,54 f) 0,8 ) b) 9,87 g) 0,77 ) c) 0,000004 h) 5,211 ) d) 24,75 i) 37,111 ) e) −7,002 j) −2,02 354 177 = 100 50 987 b) 100 4 1 = c) 1.000.000 250.000 2.475 99 = d) 100 4 −7.002 −3.501 = e) 1.000 500 a)

028

f) g) h) i) j)

8 9 7 9 5.206 999 4.120 111 −200 99

Expresa en forma de fracción. ) ) ) b) 1,79 c) 15,9 a) 3,9 ¿A qué equivale el período formado por 9? 36 162 144 =4 = 18 = 16 b) c) 9 9 9 El número decimal periódico puro con período 9 equivale al número entero inmediatamente superior. a)

029

Completa:

a) 5,33 =

a) 5,33 =

533 100

533  b) 5,6 =

b) 5,6 =

 5

28 5

21

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Números racionales 030

Obtén la fracción generatriz de estos números. ) ) b) 11,87 a) 3,24 a)

031

292 90

b)

1.069 90

)

c) 5,925 c)

5.866 990

Calcula, utilizando fracciones generatrices. ) ) a) 2,75 + 3,8 b) 5,06 − 2,95 275 38 275 + 380 655 + = = = 6,55 100 10 100 100  456 266 190 − = = 2,1 b) 90 90 90 a)

032

Razona, sin hallar la fracción generatriz, por qué son falsas las igualdades.  55  = 241 a) 0,243 c) 12,37 = 999 45  56  = 321 , = b) 0,023 d) 0124 990 495 a) Es falsa, porque el denominador debe ser 990, 99 del período y 0 del anteperíodo. b) Es falsa, porque el numerador no puede ser mayor que la parte entera, el período y el anteperíodo juntos, en este caso 23. c) Es falsa, porque el cociente es menor que 2 (55 < 2 ⋅ 45) y el número es mayor que 12. d) Es falsa, porque el denominador debe ser divisor de 900 y no lo es.

033

Completa esta tabla, teniendo en cuenta que un número puede estar en más de una casilla. −0,224466881010… 0,67543 Número natural 24

034

−1,897897897…− −3,0878787…

Número Decimal Decimal Decimal no exacto Número entero exacto periódico y no periódico racional 24 0,67543 −1,897897897… −0,224466881010… 0,67543 −1,5 −3,0878787… −1,897897897… −3,0878787… 24 −1,5

Escribe cuatro fracciones que representen números racionales que sean: a) Menores que 1 y mayores que −1. a)

22

24 −1,5

−7 −2 2 48 , , , 9 3 5 65

b) Mayores que −1 y menores que 0. b)

−5 −1 −2 −51 , , , 9 3 5 65

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Página 23

SOLUCIONARIO

035

1

Escribe cuatro números que no sean racionales y que estén comprendidos entre: a) −1 y 1

b) −1 y 0

a) −0,01001000100001…; −0,12345678…; 0,122333444455555…; 0,135791113… b) −0,01001000100001…; −0,12345678…; −0,122333444455555…; −0,135791113…

ACTIVIDADES 036 ●

Expresa estos enunciados utilizando una fracción. a) b) c) d)

Una pizza se ha partido en 8 partes y Juan se ha comido 2. De una clase de 20 alumnos, 15 han ido de excursión. De un grupo de 7 amigas, 3 son pelirrojas. Una de cada cinco personas tiene problemas de espalda. a)

037 ●

●

b)

15 3 = 20 4

c)

3 7

d)

1 5

Escribe la fracción que representa la parte coloreada de cada figura. a)

c)

b)

d)

a)

038

2 1 = 8 4

1 3

b)

11 8

c)

2 1 = 8 4

d)

3 5

Representa, utilizando figuras geométricas, las siguientes fracciones. a)

3 7

b)

5 2

c)

7 6

d)

a)

c)

b)

d)

4 9

23

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Página 24

Números racionales 039

Colorea los

●

040 ●

Calcula. 1 de 180 2 5 b) de 420 6 a)

a) 90

041

2 de la figura. 3

−2 de 40 5 4 d) de 540 9

5 de 320 8 −3 f) de 1.342 11

c)

e)

c) −16

b) 350

d) 240

e) 200

f) −366

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE REPRESENTAN FRACCIONES IMPROPIAS EN LA RECTA NUMÉRICA? 16 . 3 PRIMERO. Se expresa la fracción como un número entero más una fracción propia. Representa en la recta numérica la fracción

16 16 → 3 1

3 5

→

16 1 = 5+ 3 3

La fracción está comprendida entre 5 y 6. SEGUNDO. Se divide el trozo de recta comprendido entre 5 y 6 en tantas partes como indica el denominador, 3, y se toman las que señala el numerador, 1. Para dividir el trozo de recta se traza una semirrecta con origen en 5, con la inclinación que se desee, y se dibujan tres segmentos iguales.

5

6

Se une el extremo del último segmento con el punto que representa a 6, y se trazan paralelas a esa recta desde las otras dos divisiones.

5 5

24

6 16 3

6

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1

SOLUCIONARIO

042 ●

Representa estos números racionales. a)

2 9

b)

13 3

c)

a)

●

−28 −8 −7 2 = −1 − 5 5

−2

1

2 9

13 1 = 4+ 3 3

4

043

d)

c)

0

b)

−7 5

d)

5

13 3

−1

−7 5

−28 28 4 = = 3+ 8 −8 8

3

28 8

4

¿Qué fracción representa cada letra? A

a) −3

−2

−1

B

b) 1

2

C

c) 6

2 −8 = a) −2 − 3 3 044 ●

7

b) 1 +

1 6 = 5 5

c) 6 +

2 38 = 6 6

Indica si son o no equivalentes estos pares de fracciones. 3 21 y 10 7 −1 −14 y b) 7 30 6 3 y c) 10 8 a)

−2 −4 y 3 5 2 8 y e) 5 20 20 120 y f) 50 450

d)

a) 3 ⋅ 7 ⫽ 10 ⋅ 21. No son equivalentes. b) −1 ⋅ 30 ⫽ 7 ⋅ (−14). No son equivalentes. c) 6 ⋅ 8 ⫽ 10 ⋅ 3. No son equivalentes. d) −2 ⋅ 5 ⫽ 3 ⋅ (−4). No son equivalentes. e) 2 ⋅ 20 = 5 ⋅ 8. Sí son equivalentes. f) 20 ⋅ 450 ⫽ 50 ⋅ 120. No son equivalentes.

25

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Números racionales 045 ●

Calcula el valor de x para que las fracciones sean equivalentes. a)

10 x = 4 6

b)

9 6 = x 4

10 ⋅ 6 = 15 4 9⋅4 b) x = =6 6

x 6 = 12 9

d)

14 x = 42 9

12 ⋅ 6 =8 9 14 ⋅ 9 d) x = =3 42

a) x =

046

c) c) x =

Completa. 2 4   30 = = = = 3  6 30 

●

2 4 4 20 30 = = = = 3 6 6 30 45 047

Agrupa las fracciones que sean equivalentes.

●

20 4 −1 −10 2 −3 , , , , , 40 2 2 −5 4 6 4 −10 y 2 −5

20 2 y 40 4 048 ●

Obtén dos fracciones equivalentes a cada una de las dadas por amplificación y otras dos por simplificación. 8 100

049 ●●

60 36

30 45

504 72

Amplificación:

8 16 24 30 300 600 = = = = . Amplificación: . 100 200 300 45 450 900

Simplificación:

8 4 2 = = . 100 50 25

Simplificación:

30 6 2 = = . 45 9 3

Amplificación:

60 300 600 = = . 36 180 360

Amplificación:

504 1.008 1.512 = = . 72 144 216

Simplificación:

60 30 10 = = . 36 18 6

Simplificación:

504 252 126 = = . 72 36 18

Amplifica las siguientes fracciones, de forma que el denominador de la fracción amplificada sea un número mayor que 300 y menor que 400. a)

26

−1 −3 y 2 6

5 18

b)

27 52

c)

3 11

d)

−3 37

a)

100 360

c)

900 330

e)

120 320

b)

162 312

d)

−30 370

f)

−770 350

e)

3 8

f)

−11 5

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Página 27

SOLUCIONARIO

050 ●

051 ●●

1

Simplifica hasta obtener la fracción irreducible de estas fracciones. a)

20 40

d)

15 12

g)

55 11

b)

210 8

e)

16 18

h)

30 21

c)

8 18

f)

40 60

i)

6 18

a)

1 2

d)

5 4

g)

5 =5 1

b)

105 4

e)

8 9

h)

10 7

c)

4 9

f)

2 3

i)

1 3

Señala cuáles de estas simplificaciones de fracciones están mal hechas y razona por qué. a)

22 11 + 11 11 = = 13 11 + 2 2

c)

20 15 + 5 5 = = 18 15 + 3 3

b)

22 2 ⋅ 11 11 = = 14 2⋅7 7

d)

40 40 : 20 2 = = 80 80 : 20 4

a) Mal, pues no se pueden simplificar sumandos del numerador y del denominador. b) Bien. c) Mal, ya que no se pueden simplificar sumandos del numerador y del denominador. d) Bien, aunque se podría simplificar más.

052 ●●

1 4 Escribe una fracción equivalente a y otra equivalente a , 5 6 ambas con el mismo denominador. m.c.m. (5, 6) = 30 →

053 ●

1 6 4 20 = y = 5 30 6 30

Ordena, de mayor a menor. a)

4 −7 , 9 8

d)

−4 −21 −5 , , 6 6 12

b)

−11 −7 , 8 8

e)

−43 10 −8 , , 60 40 10

c)

3 10 20 , , 8 24 48

f)

2 4 8 1 , , , 5 7 35 2

27

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Página 28

Números racionales

054

a)

4 −7 > 9 8

b)

−7 −11 > 8 8

c)

3 18 10 20 10 20 3 = , = → = > 8 48 24 48 24 48 8

d)

−4 −8 −21 −42 −5 −4 −21 = , = → > > 6 12 6 12 12 6 6

e)

10 15 −8 −48 10 −43 −8 = , = → > > 40 60 10 60 40 60 10

f)

8 2 28 4 40 8 16 1 35 4 1 2 > = , = , = , = → > > 5 35 5 70 7 70 35 70 2 70 7 2

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE OBTIENE UNA FRACCIÓN COMPRENDIDA ENTRE OTRAS DOS FRACCIONES? Encuentra y escribe una fracción comprendida entre las fracciones PRIMERO.

4 7 y . 9 6

Se suman ambas fracciones. 4 7 8 21 29 + = + = 9 6 18 18 18

SEGUNDO.

Se divide entre 2 la fracción obtenida. 29 29 :2= 18 36

La fracción

055 ●●

28

29 4 7 está comprendida entre y . 36 9 6

Escribe una fracción comprendida entre: a)

4 7 y 5 8

c)

7 8 y 6 6

e)

−1 1 y 6 5

b)

9 11 y 7 9

d)

−3 −2 y 7 5

f)

−5 −6 y 9 9

⎛4 7⎞ 67 a) ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ : 2 = ⎝5 8 ⎟⎠ 80

⎛ −3 −2 ⎞⎟ −29 ⎟⎟ : 2 = + d) ⎜⎜⎜ ⎝ 7 5 ⎟⎠ 70

⎛9 11 ⎞⎟ 158 ⎟⎟ : 2 = b) ⎜⎜⎜ + ⎝7 9 ⎟⎠ 126

⎛ −1 1⎞ 1 + ⎟⎟⎟ : 2 = e) ⎜⎜⎜ ⎝ 6 5 ⎟⎠ 60

⎛7 8⎞ 15 5 = c) ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ : 2 = ⎝6 6 ⎟⎠ 12 4

⎛ −5 −6 ⎞⎟ −11 ⎟⎟ : 2 = + f) ⎜⎜⎜ ⎝ 9 9 ⎟⎠ 18

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Página 29

SOLUCIONARIO

056 ●

057 ●

058 ●

059 ●

1

Calcula. a)

3 5 1 + + 4 4 4

7 8 +2+ 2 6

b)

c)

5 3 9 − − 2 2 2

d) 9 +

a)

8 4

c)

−7 2

b)

21 12 8 41 + + = 6 6 6 6

d)

63 5 6 62 + − = 7 7 7 7

5 6 − 7 7

Haz las siguientes restas. a)

33 10 − 11 11

b)

5 1 − 10 15

c)

3 1 2 − − 2 7 12

d)

7 1 1 − − 3 2 11

a)

23 11

c)

126 12 14 100 − − = 84 84 84 84

b)

15 2 13 − = 30 30 30

d)

154 33 6 115 − − = 66 66 66 66

Calcula. 25 11 2 + − 7 7 7 5 1 1 − + b) 7 10 3 a)

10 10 12 + − 11 7 11 1 7 + d) 4 − 6 6 c)

1 5 − 12 13 1 1 2 − + f) 3 − 21 7 9 e) 1 +

a)

34 7

d)

24 1 7 30 − + = =5 6 6 6 6

b)

150 21 70 199 − + = 210 210 210 210

e)

156 13 60 109 + − = 156 156 156 156

c)

70 110 84 96 + − = 77 77 77 77

f)

189 3 9 14 191 − − + = 63 63 63 63 63

Opera. 3 5 3 + − 2 16 8 5 5 5 + + b) 6 3 4 a)

−2 3 + −1 5 4 7 2 1 − − d) 15 3 6

9 5 + −8 12 8 6 7 f) − − 3 − 7 3

c)

e)

a)

24 5 6 23 + − = 16 16 16 16

d)

14 20 5 −11 − − = 30 30 30 30

b)

10 20 15 45 15 + + = = 12 12 12 12 4

e)

18 15 192 −159 + − = 24 24 24 24

c)

−8 15 20 −13 + − = 20 20 20 20

f)

−18 63 49 −130 − − = 21 21 21 21

29

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Página 30

Números racionales 060 ●

061 ●●

062 ●

Efectúa estas operaciones. a)

−5 −2 + 16 16

c)

b)

5 −1 + 7 10

d) 5 +

●●

7 1 5 + + 11 12 14

f)

13 1 11 + + 11 13 9

−7 16

d)

385 70 110 565 + + = 77 77 77 77

b)

50 −7 43 + = 70 70 70

e)

588 77 330 995 + + = 924 924 924 924

c)

9 −2 2 9 1 + + = = 18 18 18 18 2

f)

1.521 99 1.573 3.193 + + = 1.287 1.287 1.287 1.287

Completa los huecos. a)

1 + 3

=

1 2

c)

3 3 + 7 8

b)

4 − 5

=

4 6

d)

1 1 − − 4 5

a)

=

1 1 1 − = 2 3 6

c)

=

3 3 3 −79 − − = 9 7 8 504

b)

=

4 4 2 − = 5 6 15

d)

=

1 1 1 −7 − − = 4 6 5 60

=

3 9 =

1 6

Realiza estos productos. a)

2 6 ⋅ 3 5 12 4 = 15 5

b)

5 ⋅8 14

b)

40 20 = 14 7

c) c)

7 10 ⋅ 2 3

70 35 = 6 3

d) 21 ⋅ d)

84 28 = 9 3

Opera. 12 3 ⋅ 5 6 ⎛ 2 ⎜ −7 ⎞⎟ ⎟⎟ b) ⋅⎜ 9 ⎜⎝ 4 ⎠ a)

a)

36 6 = 30 5

b) − c)

30

10 10 + 11 7

e)

a)

a)

063

1 −1 2 + + 2 9 18

14 7 =− 36 18

27 9 = 42 14

9 3 ⋅ 6 7 ⎛ −1 ⎞⎟ ⎛ −3 ⎞⎟ ⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟ d) ⎜⎜⎜ ⎝ 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 6 ⎟⎠ c)

e)

9 6 ⋅ ⋅3 7 5

f)

9 3 11 ⋅ ⋅ 4 11 3

d)

3 1 = 24 8

e)

162 35

f)

9 ⋅ 3 ⋅ 11 9 = 4 ⋅ 11 ⋅ 3 4

4 9

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Página 31

SOLUCIONARIO

064 ●

065 ●

Calcula. a)

5 3 : 8 2

b)

5 7 : 12 4

9 6 : 5 7 8 ⎛⎜ −6 ⎟⎞ ⎟⎟ :⎜ d) 15 ⎜⎝ 5 ⎠ c)

a)

10 5 = 24 12

c)

63 21 = 30 10

b)

20 5 = 84 21

d)

−40 −4 = 90 9

Efectúa las divisiones. a)

7 21 : 5 2

b) 8 :

066

1

11 :7 3 5 ⎛⎜ −10 ⎞⎟ ⎟⎟ :⎜ d) 6 ⎜⎝ 3 ⎠ c)

3 8

a)

14 2 = 105 15

c)

11 21

b)

64 3

d) −

15 −1 = 60 4

Completa los huecos.

●●

a)

1 ⋅ 3

=

1 4

d)

b)

4 : 5

=

−4 6

e) (−5) ⋅

c)

3 3 ⋅ ⋅ 7 8

=

3 9

f)

1 1 : : 4 5

4 : 5

a)

=

1 1 3 : = 4 3 4

b)

=

4 −4 −6 : = 5 6 5

c)

=

3 3 3 56 : : = 9 7 8 27

d)

=

1 1 1 30 15 : : = = 4 5 6 4 2

e)

=

−10 2 : (−5) = 3 3

f)

=

4 −2 : (−2) = 5 5

=

1 6

=−

10 3

= −2

31

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Página 32

Números racionales 067 ●●

Calcula. 4 1 7 − ⋅ 5 4 3 ⎛4 1⎞ 7 b) ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⋅ ⎝5 4⎠ 3 3 4 3 − : c) 2 ⋅ 5 7 4 a)

a) b) c) d)

068 ●●●

069 ●

3 −1 4 7 2 ⋅ + 3 5 ⎛7 2⎞ ⋅ ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ ⎝3 5⎠ :

⎛ 1⎞ 7 2 + g) ⎜⎜⎜9 − ⎟⎟⎟ ⋅ ⎝ ⎠ 4 3 5 2 3 1 3 : − ⋅ h) 3 4 5 7

7 2 529 + = 12 5 60 1 41 41 499 = 9− = f) 9 − ⋅ 4 15 60 60 35 7 2 245 2 1.441 ⋅ + = + = g) 36 3 5 108 5 540 8 7 33 − = h) 3 15 15 e) 9 −

Realiza las operaciones. ⎛ 3 7 8 ⎞⎟ ⎟⎟ − ⎜⎜⎜ + d) ⎝ 6 20 15 ⎠ 4 ⎛⎜ 5 4⎞ ⋅⎜ − ⎟⎟⎟ b) e) 5 ⎜⎝ 24 9⎠ 8 ⎛⎜ 3 11 ⎞⎟ ⎟⎟ : ⎜⎜ + c) f) ⎝ 5 5 30 ⎠ 7 21 49 − = a) 6 60 60 4 ⎛⎜ −17 ⎞⎟ −17 ⎟⎟ = ⋅⎜ b) 5 ⎜⎝ 72 ⎟⎠ 90 8 7 48 : = c) 5 30 7 72 13 72 : = d) 15 15 13 a)

⎛ 8 5 ⎞⎟ ⎛ 6 ⎞ ⎜⎜ : ⎟ : ⎜⎜ − 1 ⎟⎟ ⎟ ⎜⎝ 3 9 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 3⎠ 2 3 5 ⋅ − 5 4 4 2 3 7 : − 5 10 18

2 21 +3: 7 35 1 6 7 4 ⋅ + : h) 2 5 5 3 g)

3 5 −19 − = 10 4 20 4 7 17 − = f) 3 18 18 2 37 +5= g) 7 7 3 21 33 + = h) 5 20 20 e)

Señala la parte entera y decimal de los siguientes números. a) 0,75 b) 274,369 a) b) c) d) e) f)

32

3 4 : 5 7 1 e) 9 − 4 1 f) 9 − 4 4 7 48 − 35 13 − = = 5 12 60 60 11 7 77 ⋅ = 20 3 60 6 16 46 − = 5 21 105 7 2 −1 = 5 5 d)

Parte entera: 0. Parte entera: 274. Parte entera: 1. Parte entera: 127. Parte entera: 2. Parte entera: −7.

c) 1,8989… d) 127,4555… Parte decimal: 75. Parte decimal: 369. Parte decimal: 8989… Parte decimal: 4555… Parte decimal: 161820… Parte decimal: 0222…

e) 2,161820… f) −7,0222…

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Página 33

SOLUCIONARIO

070 ●

071 ●●

1

Expresa, mediante una fracción y mediante un número decimal, la parte coloreada de cada una de las figuras. a)

c)

b)

d)

a)

1 = 0,5 2

c)

1 = 0,5 2

b)

3 = 0,75 4

d)

1 = 0,1666... 6

Indica cuáles de los números son periódicos y cuáles no. Señala el período para los que sean periódicos. a) 1,333… b) 2,6565… c) 3,02333…

d) 6,987654… e) 0,010101… f) 1,001002003…

a) Periódico, de período 3. b) Periódico, de período 65. c) Periódico, de período 3. d) No periódico. e) Periódico, de período 01. f) No periódico. 072 ●●

Clasifica estos números decimales en exactos, periódicos puros, periódicos mixtos o no exactos y no periódicos. a) b) c) d) e)

1,052929… 0,89555… −7,606162… 120,8 −98,99100101…

f) g) h) i) j)

13,12345666… −1.001,034034… 0,0000111… −1,732 0,123456777…

a) Periódico mixto.

f) Periódico mixto.

b) Periódico mixto.

g) Periódico puro.

c) No exacto y no periódico.

h) Periódico mixto.

d) Exacto.

i) Exacto.

e) No exacto y no periódico.

j) Periódico mixto.

33

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Números racionales 073 ●

Razona qué tipo de número: entero, decimal exacto o periódico, expresan las siguientes fracciones. a)

27 36

b) − c)

44 11

4 24

d)

51 20

g)

22 −1

e)

−34 30

h)

21 420

f)

15 21

i)

19 90

a) Exacto, porque el denominador de su fracción irreducible solo tiene 2 como factor. b) Entero, porque el numerador es múltiplo del denominador. c) Periódico mixto, porque el denominador de su fracción irreducible tiene como factores 2 y 3. d) Exacto, porque el denominador solo tiene como factores 2 y 5. e) Periódico mixto, porque el denominador de su fracción irreducible tiene como factores 5 y 3. f) Periódico puro, porque los factores del denominador son distintos de 2 y 5. g) Entero, porque el numerador es múltiplo del denominador. h) Exacto, porque el denominador de su fracción irreducible solo tiene como factores 2 y 5. i) Periódico mixto, porque el denominador tiene como factores 2, 3 y 5. 074 ●

075 ●

Obtén la fracción generatriz. ) a) 5,24 c) 3,7 ) b) 1,735 d) 5,43 a)

524 131 = 100 25

c)

34 9

e)

461 90

b)

1.735 347 = 1.000 200

d)

538 99

f)

233 990

Expresa en forma de fracción estos números. ) ) a) −7 d) 9,6 g) 9,54 ) ) b) 6,05 e) 4,07 h) 0,315 ) ) c) −0,00182 f) −14,413 i) 0,0123 a)

−7 1

d)

87 29 = 9 3

g)

859 90

b)

605 121 = 100 20

e)

403 99

h)

312 52 = 990 165

i)

122 61 = 9.900 4.950

c) −

34

) e) 5,12 ) f) 0,235

182 91 =− 100.000 50.000

f) −

14.399 999

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Página 35

SOLUCIONARIO

076 ●

Expresa en forma decimal las fracciones, y en forma fraccionaria, los decimales. 9 8 b) 7,35 ) c) 13,7 ) d) 8,91 a)

e)

f) g) h) i)

48 10

j)

9 11 0,278 ) 6,16 ) 18,57 ) 2,265

a) 1,125

k) l) m) n) ñ)

101 90 1,0435 ) 1,274 ) 0,315 ) 0,0123

) f) 0,81

) k) 1,12

b)

735 147 = 100 20

g)

278 139 = 1.000 500

l)

10.435 2.087 = 10.000 2.000

c)

124 9

h)

555 37 = 90 6

m)

1.273 999

d)

802 401 = 90 45

i)

1.839 613 = 99 33

n)

284 71 = 900 225

j)

2.039 900

ñ)

12 2 = 990 165

e) 4,8

077

Calcula, utilizando las fracciones generatrices.

●●

a) 0,2777… + 2,333… b) 3,5666… − 2,2727…

078 ●●

1

c) 0,44… ⋅ 2,5151… d) 1,13888… : 0,9393…

a)

25 21 235 47 + = = 90 9 90 18

c)

44 249 913 ⋅ = 100 99 825

b)

321 225 1.281 − = 90 99 990

d)

1.025 93 451 : = 900 99 372

Indica si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas, justificando tu respuesta. a) Todo número decimal puede expresarse en forma de fracción. b) Un número entero se puede expresar como una fracción. c) En un número decimal periódico, las cifras decimales se repiten indefinidamente después de la coma. d) Si un número decimal tiene como período 0, es un número exacto. a) Falso, los decimales no exactos y no periódicos no se pueden expresar como fracción. b) Verdadero, la fracción será el cociente del número y la unidad. c) Verdadero en el caso de los periódicos puros, pero no en los periódicos mixtos. d) Verdadero, ya que tiene un número exacto de cifras decimales.

35

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Página 36

Números racionales 079 ●

080 ●

Se dispone de 30 metros de tela. Calcula cuántos metros son: a)

3 de la tela 5

b)

a)

3 ⋅ 30 = 18 m 5

b)

7 ⋅ 30 = 7 m 30

c)

5 ⋅ 30 = 25 m 6

●

5 de la tela 6

2 ⋅ 12.300 = 4.920 €. 5

Un padre le da a su hija mayor 30 €, y a su hijo menor, la tercera parte de lo que ha recibido la mayor. ¿Cuánto ha recibido el hijo menor? El hijo menor ha recibido:

082

c)

Una empresa ha ingresado esta semana dos quintos de 12.300 €. Calcula el dinero que ha ingresado la empresa. Ha ingresado:

081

7 de la tela 30

1 ⋅ 30 = 10 €. 3

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS EN LOS QUE SE CONOCE UNA PARTE DEL TOTAL? 2 En la clase, las partes son chicos. ¿Cuántas chicas hay si son 25 alumnos 5 en total? 2 PRIMERO. Se resta la parte conocida, , al total, 1, para calcular la parte desconocida. 5 2 5 2 3 1− = − = son chicas 5 5 5 5 SEGUNDO.

Se calcula lo que representa esa parte en el total de alumnos, 25. 3 3 3 ⋅ 25 75 de 25 = ⋅ 25 = = = 15 chicas 5 5 5 5

083 ●●

Para el cumpleaños de mi madre, le hemos regalado una caja de bombones. 3 Hemos comido ya las partes de la caja. Si la caja contenía 40 bombones, 4 ¿cuántos bombones quedan? Queda

36

1 1 ⋅ 40 = 10 bombones. de la caja, es decir: 4 4

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Página 37

SOLUCIONARIO

084 ●●

1

Los tres octavos del total de alumnos de un IES llevan gafas. Si llevan gafas 129 alumnos, ¿cuántos alumnos son en total? 3 129 129 ⋅ 8 = → x = = 344 alumnos son en total. 8 x 3

085 ●●

086 ●●

Un granjero quiere vallar un terreno de 2.275 m de largo. El primer día hace 3 2 los del trabajo, y el segundo día, los . ¿Cuántos metros faltan por vallar? 7 5 ⎛3 ⎞⎟ 16 2 29 16 ⋅ 2.275 = 1.040 m faltan. 1 − ⎜⎜ + ⎟⎟ = 1 − = → ⎜⎝ 7 ⎟ 35 5⎠ 35 35 1 Unos amigos recorren 105 km en bicicleta. El primer día hacen del camino 3 4 y el segundo día , dejando el resto para el tercer día. 15 ¿Cuántos kilómetros recorren cada día? 1 ⋅ 105 = 35 km 3 4 ⋅ 105 = 28 km 2.o día → 15 1.er día →

087 ●●

1 de sus ingresos mensuales en el alquiler del piso, 15 1 1 en el teléfono y en transporte y ropa. 60 8 ¿Cómo se distribuyen los gastos si sus ingresos mensuales son de 3.000 €? Una familia gasta

1 ⋅ 3.000 = 200 € 15 1 ⋅ 3.000 = 50 € Teléfono → 60 Alquiler ⎯ →

088 ●●

3.er día → 105 − (28 + 35) = 42 km

Transporte y ropa →

1 ⋅ 3.000 = 375 € 8

3 1 En un campamento, de los jóvenes son europeos, asiáticos y el resto 8 5 africanos. Si hay en total 800 jóvenes: a) ¿Cuántos jóvenes europeos hay? b) Si la mitad de los asiáticos son chicas, ¿cuántas chicas asiáticas habrá? c) ¿Cuántos de estos jóvenes son africanos? 3 ⋅ 800 = 300 8 ⎛1 ⎞ b) Asiáticas → ⎜⎜⎜ ⋅ 800⎟⎟⎟ : 2 = 160 : 2 = 80 ⎝5 ⎠ a) Europeos →

c) Africanos → 800 − 300 − 160 = 340

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Números racionales 089

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DE UNA FRACCIÓN? Cristina debe leer un libro para el colegio. El primer día lee la cuarta parte del libro, y el segundo día, la mitad de lo que le quedaba. ¿Qué fracción representa lo que lee el segundo día? PRIMERO.

Se calcula la fracción de la que se hallará su parte.

El primer día lee SEGUNDO.

1 1 3 = . , y le quedan: 1 − 4 4 4

Se calcula la parte de la fracción.

El segundo día lee:

3 3 :2= . 4 8

Por tanto, el segundo día lee

090 ●●

3 del libro. 8

2 Tenemos una pieza de alambre de 90 m. Vendemos las partes a 3 €/m, 3 1 del resto a 4 €/m y los metros que quedan a 2 €/m. ¿Cuánto hemos ganado 6 si habíamos comprado el metro de alambre a 2 €? 2 ⋅ 90 = 60 m, a 3 €/m, son 180 €. 3 1 ⋅ (90 − 60) = 5 m, a 4 €/m, son 20 €. 6 90 − 60 − 5 = 25 m, a 2 €/m, son 50 €. El alambre costó: 90 ⋅ 2 = 180 € y hemos cobrado: 180 + 20 + 50 = 250 €. Por tanto, hemos ganado: 250 − 180 = 70 €.

091 ●●

Tres amigos se reparten 90 € que han ganado en la quiniela de la siguiente manera: el primero se queda con la quinta parte, el segundo con la tercera parte de lo que recibe el primero, y el tercero con la mitad de lo que recibe el segundo. a) ¿Qué fracción representa lo que obtiene cada uno? b) ¿Cuánto dinero se queda cada amigo? c) ¿Y cuánto dinero dejan de bote? a) 1.o →

1 5

2.o →

1 1 1 ⋅ = 3 5 15

3.o →

1 1 1 ⋅ = 2 15 30

b) 1.o →

1 ⋅ 90 = 18 € 5

2.o →

1 ⋅ 90 = 6 € 15

3.o →

1 ⋅ 90 = 3 € 30

c) 90 − (18 + 6 + 3) = 63 € dejan de bote.

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SOLUCIONARIO

092

1

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA EL TOTAL CONOCIENDO UNA PARTE? 7 de su capacidad. Aún se necesitan 880 litros 9 para que esté completamente llena. ¿Qué capacidad tiene la piscina? Una piscina está llena hasta los

PRIMERO.

Se calcula la fracción que representa la parte vacía de la piscina. 1−

SEGUNDO.

7 9 7 2 = − = 9 9 9 9

Se designa por x la capacidad total de la piscina. 2 2 de x = ⋅ x = 880 9 9

Despejando x : x = 880 :

2 880 ⋅ 9 7.920 = = = 3.960 9 2 2

La piscina tiene 3.960 litros de capacidad.

093 ●●●

De un calentador, primero se gasta la mitad del agua y luego la cuarta parte de lo que quedaba. Si todavía quedan 12 litros, ¿cuál es la capacidad del calentador? Primero:

1 . 2

Segundo:

1 4

⎛ 1⎞ 1 ⋅ ⎜⎜1 − ⎟⎟⎟ = . ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 8

Queda entonces: 1 − x = 12 :

094 ●●●

1 1 3 − = . 2 8 8

3 = 32 ¬ es la capacidad del calentador. 8

Unos amigos organizan una excursión a la montaña: el primer día recorren un cuarto de lo programado, el segundo día un tercio, dejando el resto (que son 25 km) para el tercer día. ¿Qué fracción representan los kilómetros recorridos el tercer día? ¿Cuántos kilómetros han recorrido en total? El tercer día recorren: 1 −

1 1 5 − = . 4 3 12

Han recorrido en total: x = 25 :

5 = 60 km. 12

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Números racionales 095 ●●●

Calcula las siguientes diferencias.

1-

1

1

2

2 1 4

-

-

1

1

3

3

1

1

5

5

-

-

1 4

1 6

a) Con los resultados, efectúa esta suma. 1 1 1 1 1 + + + + 2 6 12 20 30 b) A la vista del resultado anterior, ¿cuál crees que será el resultado de esta suma? 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + +…+ 2 6 12 20 30 42 1.001.000 1−

1 1 = 2 2

1 1 1 − = 3 4 12

1 1 1 − = 2 3 6 a)

1 1 1 − = 4 5 20

1 1 1 1 1 + + + + = 2 6 12 20 30 = 1−

b)

1 1 1 − = 5 6 30

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 + − + − + − + − = 1− = 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6

1 1 1 = − 1.001.000 1.000 1.001 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + +…+ = 2 6 12 20 30 42 1.001.000 = 1−

096 ●●●

1 1.000 = 1.001 1.001

Si vaciamos estos dos recipientes en una jarra, ¿cuál es la proporción de agua y de vinagre en la jarra? MEZCLA

MEZCLA

2 partes de agua

3 partes de agua

1 parte de vinagre

1 parte de vinagre

La mezcla resultante tendrá 5 partes de agua y 2 partes de vinagre. La proporción de agua es

40

5 2 y la de vinagre es . 7 7

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1

SOLUCIONARIO

097 ●●

Esta figura contiene nueve cuadrados, todos de lado 1. Los puntos señalados verifican:

T S

1 PQ = QR = RS = ST = 4 Una recta une a X con uno de esos puntos y divide la figura en dos regiones X de igual área. ¿Cuál es esa recta?

R Q P

Q

X

Es la recta XQ , que forma un triángulo y un cuadrado. El triángulo tiene ⎛ 3 7 7⎞ = , por lo que su área será: ⎜⎜4 ⋅ ⎟⎟⎟ : 2 = 3,5. de base 4 y de altura: 1 + ⎜ ⎝ 4 4 4 ⎟⎠ Por su parte, el área del cuadrado es 1. 9 = 4,5. El área es: 3,5 + 1 = 4,5, que es la mitad del área total: 2

EN LA VIDA COTIDIANA 098 ●●●

Una comunidad de vecinos quiere instalar placas solares para abastecer parte de la energía eléctrica que se consume en el edificio. Han consultado con una empresa instaladora y les ha proporcionado los siguientes datos. Según nuestros informes, la instalación de placas solares 2 permite un ahorro de del consumo 7 energético actual del edificio.

IÓN LAC STA A IN ES L A PAR OLAR ESTO ACAS S l, 23 L UPU el So PRES DE P : C/ d

inos e vec € dad d i n u 2.000 Com tal: 2 res a o l T o s s Placa alación. e inst

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Números racionales La empresa instaladora les ha informado de que ciertos organismos oficiales conceden subvenciones para la instalación de placas solares. INSTITUTO PARA LA DIVERSIFICACIÓN Y AHORRO DE LA ENERGÍA En relación con la subvención solicitada por su comunidad para la instalación de placas solares en el edificio situado en la calle del Sol, número 23, le informamos de que dicha subvención ha sido otorgada, y que su cuantía asciende a la mitad del coste de las placas y su instalación.

La compañía eléctrica suministradora de la comunidad cobra a 8,6726 céntimos el kilowatio. En el último recibo bimensual, cada uno de los 48 vecinos ha pagado 46,34 €. ¿Cuánto tiempo tardarán en amortizar las placas solares y su instalación, si el consumo de la comunidad se mantiene? Coste de las placas y la instalación: 22.000 €. 1 ⋅ 22.000 = 11.000 €. 2 Gasto mensual: (48 ⋅ 46,34) : 2 = 1.112,16 €. Subvención:

2 ⋅ 1.112,16 = 317,76 €. 7 Tiempo de amortización: (22.000 − 11.000) : 317,76 = 34,62 meses. Ahorro en el gasto:

Por tanto, tardarán algo menos de tres años en amortizar el gasto. 099 ●●●

Las noticias sobre los accidentes ocurridos durante la Semana Santa destacan un importante aumento de siniestros.

Siniestralidad durante la Semana Santa en la carretera

108 personas han muerto en accidentes de carretera La mitad de los fallecidos en turismos no utilizaba el cinturón. Uno de cada tres fallecidos en motocicletas no llevaba casco. La mitad de los fallecidos tenía menos de 35 años, y de estos, uno de cada cuatro era menor de 25 años. La distracción aparece como el factor fundamental en dos de cada cinco accidentes, la infracción de las normas de tráfico en uno de cada tres y el exceso de velocidad en tres de cada diez.

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Vehículo

Fallecidos

Turismos

91

Motocicletas

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SOLUCIONARIO

1

Fallecidos Medidas de seguridad No llevaba cinturón

1 ⋅ 91 = 45,5 ≈ 46 2

No utilizaba casco

 1 ⋅ 17 = 5,6 ≈ 6 3

Cumplía las medidas de seguridad

108 − 46 − 6 = 56

Edades Menores de 35 años

1 ⋅ 108 = 54 2

Mayores de 35 años

1 ⋅ 108 = 54 2

Menores de 25 años

1 ⋅ 54 = 13,5 ≈ 14 4

Causa principal accidente Distracción

2 ⋅ 108 = 43,2 ≈ 43 5

Infracción de normas de tráfico

1 ⋅ 108 = 36 3

Exceso de velocidad

3 ⋅ 108 = 32,4 ≈ 32 10

Ninguna de las circunstancias anteriores

El exceso de velocidad es una infracción de tráfico, luego 108 − 36 − 43 = 29. Hay 29 personas fallecidas en estas circunstancias. Estamos suponiendo que la causa principal de accidente es única, es decir, no se computan dos o más causas principales de accidente.

El último párrafo del artículo se refiere a accidentes, pero nosotros resolvemos el problema como si se tratara de fallecidos; así, el párrafo sería:

La distracción aparece como el factor fundamental en dos de cada cinco fallecidos, la infracción de las normas de tráfico en uno de cada tres y el exceso de velocidad en tres de cada diez. Si no se considerara de este modo, no podríamos determinar el número de fallecidos, pues en un mismo accidente puede haber más de un fallecido o no haber ninguno.

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