AVANZA. Vol. I. FM - IIT, UACJ (2011) 19–34.

´ ´ dicas de sistemas planos* Orbitas perio Osvaldo Osuna, Gabriel Villase˜ nor-Aguilar **

Resumen En este trabajo presentamos un resumen de los principales criterios para determinar la existencia o no-existencia de soluciones peri´ odicas para ecuaciones diferenciales en el plano; discutimos adem´ as en cada caso ejemplos para ilustrar aplicaciones de estos resultados. 2000, N´ umeros de Clasificaci´ on AMS. 34-02, 34-01, 34C25. ´ Palabras clave: Orbita peri´ odica, ´ Indice de curvas, Teorema de BendixsonDulac.

1.

Introducci´ on y preliminares

Las ecuaciones diferenciales, como es bien conocido, modelan una gran cantidad de situaciones de las matem´aticas, f´ısica, ingenier´ıa y otras ciencias aplicadas. Sin embargo, muchas preguntas y problemas b´asicos siguen sin responderse. En este trabajo realizamos una revisi´on de criterios para determinar la existencia o no existencia de ´ orbitas peri´odicas e incluimos varios ejemplos ilustrativos. Esperamos que estas notas sean de utilidad como material de apoyo did´actico y muestren algunas preguntas abiertas que existen en torno a las ´orbitas peri´ odicas, por ejemplo: se desconocen cotas sobre el n´ umero de ´orbitas peri´ odicas aisladas, su localizaci´on y expresiones anal´ıticas de ´estas (ver u ´ltima secci´ on para otras cuestiones); por supuesto tambi´en esperamos que motiven su futuro estudio. Empezamos recordando material b´asico necesario para nuestro desarrollo. Las ecuaciones que estudiaremos ser´an ecuaciones diferenciales ordinarias aut´ onomas, en forma m´ as precisa. Si Ω es una regi´ on abierta (i.e., un conjunto abierto y conexo) de Rn , y f : Ω → Rn es una funci´on continua, decimos entonces que una ecuaci´ on de la forma x˙ = f (x), x ∈ Ω,

(1)

* Este trabajo se present´o en el Seminario de Ecuaciones Diferenciales y Sistemas Din´ amicos. ** Instituto de F´ısica y Matem´aticas, Universidad Michoacana, [email protected], [email protected]

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es una ecuaci´ on diferencial ordinaria. La inc´ognita x es una funci´on diferenciable x(t) y x˙ denota su derivada dx on de la ecuaci´on (1) es dt (t), es decir, una soluci´ una funci´ on diferenciable x : I → Rn , definida en un intervalo abierto acotado o no I, tal que ∀t ∈ I, x(t) ∈ Ω, y x(t) ˙ =

dx (t) = f (x(t)). dt

Si t0 ∈ I, x0 ∈ Ω diremos que una soluci´on x de (1) que satisface x(t0 ) = x0 es una soluci´ on con condici´ on inicial x0 en t = t0 . Recordemos un resultado que asegura la existencia y unicidad de soluciones con condiciones iniciales, imponiendo una condici´on Lipschitz que definimos a continuaci´ on: Def inici´ on 1.1. (Lipschitz). Diremos que f : Ω ⊂ Rn → Rn es localmente Lipschitz si para cada x0 ∈ Ω existe una constante K > 0 y un abierto V ⊂ Ω que contiene x0 , tales que ||f (x) − f (y)|| ≤ K||x − y|| ∀x, y ∈ V. As´ı, por el Teorema del Valor Medio, si f : Ω → Rn es C 1 (i.e., diferenciable y con derivada continua sobre Ω), entonces f es localmente Lipschitz. Teorema 1.2. (Existencia y Unicidad). ([7], [4]) Sea Ω ⊂ Rn una regi´ on abierta, f : Ω → Rn localmente Lipschitz, x0 ∈ Ω, entonces existe a > 0 y una u ´nica soluci´ on x : I := (−a, a) → Rn del problema x˙ = f (x),

x(t0 ) = x0 .

Del Teorema de existencia y unicidad, tenemos que para cada x0 ∈ Ω existe un intervalo abierto maximal conteniendo 0, Ix0 = (αx0 , βx0 ) sobre el cual existe una u ´nica soluci´ on (posiblemente el intervalo sea no acotado). Tenemos que para cada x ∈ Ω existe una u ´nica soluci´on (llam´emosle φ) definida en Ix = (αx , βx ), al variar la x tenemos una funci´on φt (x) := φ(t, x), para x ∈ Ω y t ∈ Ix , tal funci´ on se llama el flujo local asociado a (1) y podemos ver que satisface las siguientes propiedades: Lema 1.3. (ver [4]) El flujo local asociado a la ecuaci´ on (1) cumple: i) φt+s (x) = φt (φs (x)) = φs (φt (x)), ∀s, t ∈ Ix , tal que s + t ∈ Ix ∀x ∈ Ω, ii) φ0 (x) = x, ∀x ∈ Ω, iii) La funci´ on φt (·) : Ω → Ω es continua, para cada t donde est´e definida.

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En el presente trabajo asumiremos que las soluciones est´an definidas para todo tiempo, es decir, para todo x ∈ Ω suponemos que Ix = R y en tal caso llamaremos flujo al flujo local antes definido. Dada una ecuaci´ on diferencial de la forma (1) pueden existir dos trayectorias especiales y de sumo inter´es (pues como se puede ver son fundamentales en el estudio del comportamiento global de las trayectorias de ecuaciones en el plano), ´estas son: puntos cr´ıticos y ´ orbitas peri´ odicas. Def inici´ on 1.4. Para una ecuaci´ on como en (1), decimos que un punto p ∈ Ω es un punto cr´ıtico, si φt (p) = p, para todo t ∈ R. Tambi´en decimos que una soluci´ on φt (x) es una ´ orbita peri´ odica, si x no es punto fijo y existe T > 0, tal que φT (x) = x. Como ya fue mencionado, nuestro inter´es se centrar´a en el estudio de la existencia o no de ´ orbitas peri´odicas; como la mayor´ıa de tales resultados s´olo son v´ alidos en dimensi´ on dos (aunque hay valiosos avances en dimensiones mayores, ver [2], [10]) nos restringiremos a este contexto. En tal caso la ecuaci´on diferencial (1) se escribe como:  x˙ 1 = f1 (x1 , x2 ), 0 (1 ) x˙ 2 = f2 (x1 , x2 ), con x1 , x2 ∈ R y f1 , f2 : Ω ⊂ R2 → R. Recordemos que una curva de Jordan en el plano es un subconjunto de R2 homeomorfo a la frontera del c´ırculo S 1 . Notemos entonces que por el Teorema de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales una curva peri´odica es una curva de Jordan.

2.

Criterios de peri´ odicas

no-existencia

de

o ´rbitas

Dada una ´ orbita peri´ odica γ ⊂ R2 nos interesa saber qu´e tipo de ´orbita hay en la regi´ on acotada por la curva, denot´emosla por int(γ). Enunciemos primero un resultado que nos ser´ au ´til: Teorema 2.1. (De punto fijo de Brouwer, [8]). Sea U ⊂ R2 homeomorfo a una bola cerrada en R2 y g : U → R2 una funci´ on continua, tal que g(∂U ) ⊂ U . Entonces g tiene al menos un punto fijo en U , es decir, existe un punto x ∈ U , tal que g(x) = x.

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Teorema 2.2. Sea γ ⊂ R2 una curva peri´ odica para φt (x). Entonces int(γ) contiene al menos un punto cr´ıtico. Demostraci´ on. Si γ ⊂ R2 es una curva de Jordan, entonces int(γ) es homeomorfo a una bola cerrada en R2 . Del Lema 1.3 el flujo es continuo y satisface φt (int(γ)) = int(γ), as´ı podemos aplicar el Teorema anterior. Dado un punto p ∈ int(γ) tenemos que φt (γ) ∈ int(γ) para todo t ≥ 0, en particular esto implica que cualquier t1 > 0 se tiene que φt1 : int(γ) → int(γ). Por el Teorema anterior existe un punto p1 ∈ int(γ), tal que φt1 (p1 ) = p1 . Escogemos una sucesi´ on decreciente {tn } con l´ımn→∞ tn = 0 y la correspondiente sucesi´ on de puntos fijos {pn }, es decir, φtn (pn ) = pn . Supongamos que l´ımn→∞ pn = p∗ , para cada t ∈ R y cualquier n ∈ Z existe un kn ∈ Z, tal que kn tn ≤ t < (kn + 1)tn ; por lo tanto, 0 ≤ t − kn tn < tn ; ahora sea  > 0, entonces existe δ > 0, tal que si tn < δ, entonces ||φt−kn tn (pn )−pn || < /3. Por la continuidad del flujo existe N1 ≥ 1, tal que si n > N1 , entonces ||φt (pn ) − φt (p∗ )|| < /3. Adem´ as, tenemos que existe N2 > 1, tal que si n > N2 se tiene ||pn − p∗ || < 3 . En consecuencia, φt (pn ) = φt (φ−tn (pn )) = φt (φ−kn tn (pn )) = φt−kn tn (pn ), entonces tomando N ≥ m´ ax{N1 , N2 } se tiene que |φt (p∗ ) − p∗ || ≤ ||φt (p∗ ) − φt (pn )|| + ||φt (pn ) − pn || + ||pn − p∗ || < . Esto implica que φt (p∗ ) = p∗ para todo t ∈ R y por lo tanto, p es un punto cr´ıtico.  Ejemplo 2.3. Consideremos el sistema:  x˙ 1 = 1 + x42 , x˙ 2 = 4x1 x22 . Este sistema no tiene puntos cr´ıticos. De acuerdo al resultado previo, no puede tener ´ orbitas peri´ odicas. Teor´ıa de ´ Indice: Consideremos f := (f1 , f2 ) y la ecuaci´on (1’), es decir, el sistema  x˙ 1 = f1 (x1 , x2 ), x˙ 2 = f2 (x1 , x2 ). Si reescribimos la ecuaci´ on anterior como una ecuaci´on escalar no aut´ onoma:

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(

dx2 dx1

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f2 (x1 ,x2 ) f1 (x1 ,x2 ) , 1 ,x2 ) := ff21 (x (x1 ,x2 ) ,

=

tan(θ)

angulo que el campo vectorial f := (f1 , f1 ) tiene con el eje x donde θ es el ´ positivo. Sea γ ⊂ R2 una curva de Jordan orientada positivamente que no contiene puntos cr´ıticos de f = (f1 , f1 ). El ´ındice de f con respecto a γ est´a dado por: I I 1 f1 df2 − f2 df1 jf (γ) := dθ = . (2) 2π γ f12 + f22 γ ultiplo entero de 2π. Intuitivamente representa el Note que jf (γ) es un m´ n´ umero de vueltas que f da al recorrer γ, el ´angulo que f tiene con respecto al eje x cambia conforme γ es recorrido una vez; se puede probar ([11]) que Lema 2.4. Sea γ ⊂ R2 una curva de Jordan orientada positivamente que no contiene puntos cr´ıticos de f , entonces: a) Si int(γ) no contiene puntos cr´ıticos, entonces jf (γ) = 0. b) Sean γ1 y γ2 dos curvas de Jordan con γ1 ⊂ int(γ2 ), si no hay puntos cr´ıticos fuera de γ1 y dentro de γ2 , entonces jf (γ1 ) = jf (γ2 ). El resultado anterior nos motiva a definir el ´ındice de un punto cr´ıtico x0 en la siguiente manera: sea γ una curva de Jordan, tal que x0 ∈ int(γ) y que no contenga ning´ un otro punto cr´ıtico de f , entonces: jf (x0 ) := jf (γ). Si γ encierra una cantidad finita de puntos cr´ıticos, una aplicaci´on del Lema anterior nos da: Lema 2.5. Sea γ ⊂ R2 una curva de Jordan orientada positivamente cuyo interior contiene los puntos cr´ıticos x1 , . . . , xn , entonces jf (γ) =

n X

jf (xk ).

k=1

Recordemos que una funci´on g : Ω → R2 continua es una deformaci´ on continua de f , si existe una funci´on continua F : [0, 1] × Ω → R2 , tal que F (0, x) = f (x) y F (1, x) = g(x) para todo x ∈ Ω. Para calcular el ´ındice jf (x0 ) de un punto cr´ıtico aislado x0 , sean f y g dos campos vectoriales, tales que f (x0 ) = g(x0 ) = 0 y supongamos que g es

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una deformaci´ on continua de f , entonces para  > 0 suficientemente peque˜ no existe δ > 0, tal que para γ := ∂B(x0 , δ) se tiene ||f (x) − g(x)|| < . Dado que f (x) 6= 0 sobre γ, tomando  > 0 suficientemente peque˜ no se puede garantizar que f y g pr´ acticamente apunten en la misma direcci´on a todo lo largo de γ. Por definici´ on esto implica que jf (x0 ) = jg (x0 ).

(3)

En otras palabras, el ´ındice es igual para peque˜ nas perturbaciones del campo vectorial f ; por lo tanto, tenemos: Lema 2.6. Consideremos el sistema x˙ = Ax + r(x), donde ||r(x)|| = O(||x||2 ), x ∈ R2 , entonces tenemos que: jAx (0) = jAx+r(x) (0). Como consecuencia del Lema 2.6, para calcular el ´ındice de un punto cr´ıtico es suficiente calcular el ´ındice del sistema linealizado asociado. Usando la definici´ on de ´ındice, tenemos: I det(A) x1 dx2 − x2 dx1 jAx (0) = . (4) 2π (a x + a x2 )2 + (a21 x1 + a22 x2 )2 11 1 12 γ Asumiendo que det(A) 6= 0, se puede ver que el ´ındice es invariante bajo transformaciones lineales no singulares. Por lo tanto, cuando calculamos jAx (0) es suficiente con considerar las matrices con la forma can´onica de Jordan:       a 0 a 1 a −b Ar := , Ad := , Ac := . 0 b 0 b b a Suponiendo que a 6= 0, tenemos que existe una deformaci´on continua de Ad a alguna matriz de la siguiente forma: 

a + 1 0 

0 a + 2

a+ b

 ,

−b a+

sign(a + 1 ) = sign(a + 2 ) = sign(a),  ,

sign(a + ) = sign(a), b ∈ R+ .

En consecuencia de la ecuaci´on (2), tenemos que jAd x (0) = jAr x (0) en el caso de que sign(b) = sign(a), o jAd x (0) = jAc x (0). Por lo tanto, es suficiente calcular el ´ındice para los casos Ar , Ac .

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Primero para Ar . Evaluamos la ecuaci´on (3) sobre la elipse   1 1 γ := {(x1 , x2 ) = cos(t), sen(t) : 0 ≤ t ≤ 2π}. a b Observemos que la curva es orientada positiva si ab > 0 y orientada negativa si ab < 0; evaluando obtenemos:  −1, si ab < 0, jAr x (0) = +1, si ab > 0. Para Ac evaluamos la ecuaci´on (3) sobre el c´ırculo unitario positivamente orientado y obtenemos que jAc x (0) = +1. Recordemos que el origen para un sistema lineal se dice punto silla si tiene dos valores propios reales de signo diferente, por lo que tenemos como consecuencia el siguiente resultado: Lema 2.7. Consideremos A ∈ M2×2 (R) bajo la condici´ on que det(A) 6= 0, tenemos que jAx (0) = −1 si 0 es un punto silla; jAx (0) = +1 en otro caso. Como consecuencia de los Lemas 2.6 y 2.7, obtenemos el siguiente resultado para puntos cr´ıticos de sistemas no lineales: Corolario 2.8. Consideremos el sistema: x˙ = f (x), Donde f (x0 ) = 0. Supongamos que det(Df (x0 )) 6= 0, entonces  −1, si x0 es un punto silla, +1, en otro caso. El siguiente resultado puede encontrarse en [11]: Teorema 2.9. Si γ es una ´ orbita peri´ odica para el flujo de x˙ = f (x), entonces jf (γ) = +1. Por el Corolario 2.8 y el Teorema 2.9, tenemos: Corolario 2.10. Si γ es una ´ orbita peri´ odica de x˙ = f (x), la cual encierra un u ´nico punto cr´ıtico, entonces ´este punto no puede ser punto silla. Demostraci´ on. Supongamos que el punto cr´ıtico es punto silla. Por el Teorema 2.9 se tiene que jf (γ) = +1 y por el Corolario 2.8 el ´ındice de un punto silla es −1, pues el ´ındice es invariante bajo deformaciones continuas de γ. 

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Ejemplo 2.11. Sea 

x˙ 1 = x1 + x2 , x˙ 2 = x1 − 2x2 + x31 + x32 .

El u ´nico punto cr´ıtico es (0,0), ´este es punto √ silla, pues los eigenvalores del sistema linealizado asociado son λ1,2 = (−1 ± 13)/2. Por lo tanto, no existen ´orbitas peri´ odicas para el sistema. De hecho, se cumple el siguiente resultado m´as general: Lema 2.12. Sea x˙ = f (x) Supongamos que para cada punto cr´ıtico x0 , se tiene que det(Df (x0 )) 6= 0. Sea γ una ´ orbita peri´ odica para el flujo. Entonces: a) int(γ) debe contener una cantidad impar de puntos cr´ıticos. b) De los 2n + 1 puntos cr´ıticos contenidos en int(γ), n son puntos silla. Pn Demostraci´ on. (a) Por el Lema 2.5 tenemos que jf (γ) = k=1 jf (xj ) y el ´ındice de cada punto cr´ıtico es ±1. As´ı, si tenemos una cantidad par de puntos cr´ıticos la suma es diferente de +1, lo cual contradice al Teorema 2.9, que dice que una ´orbita peri´ odica bajo el flujo tiene jf (γ) = +1. Por lo tanto, debe contener una cantidad impar. (b) Como un punto cr´ıtico que es punto silla tiene ´ındice -1 y si no es punto silla su ´ındice es +1. La u ´nica forma en que la suma de ´ındices sea +1 es de que se tengan n puntos silla.  Resultados de no existencia del Tipo Bendixson: Continuamos discutiendo otros resultados para la no-existencia de soluciones peri´ odicas [4], [3], pero primero recordemos el siguiente Teorema cl´asico: Teorema 2.13. (Green). Sea f = (f1 , f2 ) : D → R2 de clase C 1 , i.e., funciones con primeras derivadas parciales continuas en un dominio simplemente conexo D (i.e., D no posee hoyos), sea γ ⊂ D una curva de Jordan y int(γ) la regi´ on limitada por la curva, entonces se cumple   I ZZ ∂f1 ∂f2 − dx1 dx2 . f1 dx1 + f2 dx2 = ∂x2 γ int(γ) ∂x1

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Teorema 2.14. (Criterio de Bendixson). Sea f = (f1 , f2 ) : D → R2 de clase C 1 en un dominio simplemente conexo D ⊂ R2 , tal que la divergencia de ∂f1 ∂f2 f, div(f ) := ∂x + ∂x no es id´enticamente cero, y no cambia de signo en D, 1 2 entonces el sistema  x˙ 1 = f1 (x1 , x2 ), x˙ 2 = f2 (x1 , x2 ), x1 , x2 ∈ R, no tiene o ´rbitas peri´ odicas en D. Demostraci´ on. Supongamos que el sistema tiene una ´orbita peri´odica γ con periodo T > 0 en D, entonces por el Teorema de Green tenemos   Z ZZ ∂f1 ∂f2 dx1 dx2 = (f1 dx2 − f2 dx1 ) + ∂x2 γ int(γ) ∂x1 Z T Z T = (f1 x˙ 2 − f2 x˙ 1 )dt = (f1 f2 − f2 f1 )dt = 0. 0 ∂f1 ∂x1

0 ∂f2 ∂x2

Pero como + no es id´enticamente cero, y no cambia de signo en el int(γ), esto no es posible.  Ejemplo 2.15. Consideremos 

x˙ 1 = x2 , x˙ 2 = (1 + x21 )x2 .

Calculamos la divergencia de este sistema ∂f2 ∂x2 ∂[(1 + x21 )x2 ] ∂f1 + = + = 1 + x21 > 0, ∀x1 ∈ R, ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 por el criterio de Bendixson el sistema no tiene ´orbitas peri´odicas. Ejemplo 2.16. Determinar si el siguiente sistema tiene o ´rbitas peri´ odicas en el plano:  x˙ 1 = (x2 − 2)x21 , x˙ 2 = ax1 + 4x2 . Obs´ervese que ∂f1 ∂f2 ∂[(x2 − 2)x21 ] ∂(ax1 + 4x2 ) + = + = (x2 −2)2x1 +4 = 2x1 x2 −4x1 +4. ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x2 Note que el criterio de Bendixson no aplica en este caso. Un resultado m´ as general al criterio de Bendixson, se muestra en el siguiente Teorema (su demostraci´ on es similar a la anterior):

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Teorema 2.17. (Criterio de Bendixson-Dulac.) Sean f1 (x1 , x2 ) , f2 (x1 , x2 ) y h(x1 , x2 ) funciones con primera derivada parcial continua en un dominio sim∂(f2 h) 1 h) no es id´enticamente cero, y plemente conexo D ⊂ R2 , tales que ∂(f ∂x1 + ∂x2 no cambia de signo en D, entonces el sistema  x˙ 1 = f1 (x1 , x2 ), x˙ 2 = f2 (x1 , x2 ), x1 , x2 ∈ R, no tiene ´ orbitas peri´ odicas en D. Notemos que si la funci´ on h(x1 , x2 ) = 1, entonces estamos en el caso del Teorema 2.14. Ahora aplicamos este resultado al ejemplo 2.16. Ejemplo 2.18. Tenemos el sistema  x˙ 1 = (x2 − 2)x21 x˙ 2 = ax1 + 4x2 y consideremos h(x1 , x2 ) = x−2 1 , entonces ∂(x2 − 2)x21 x−2 ∂(ax1 + 4x2 )x−2 ∂(f1 h) ∂(f2 h) −2 1 1 + = + = 0 + 4x−2 1 = 4x1 : ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 por lo tanto, puesto que el resultado no es id´enticamente cero y no cambia de signo, por el criterio de Bendixson-Dulac el sistema no tiene ´orbitas peri´ odicas. Usualmente se propone una funci´on h(x1 , x2 ) en la forma 1, xs1 xr2 , e(sx1 +rx2 ) , r, s ∈ R o algunas combinaciones de ´estas. Ejemplo 2.19. Consideremos el sistema  x˙ 1 = x2 , x˙ 2 = −x1 − x2 + x22 . Obs´ervese que el criterio de Bendixson no aplica. Sea h(x1 , x2 ) = e−2x1 , entonces ∂(f1 h) ∂(f2 h) ∂x2 e−2x1 ∂(−x1 − x2 + x22 )e−2x1 + = + = −e−2x1 < 0, ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 as´ı el sistema no tiene ´ orbitas peri´odicas en el plano. Una variante del Teorema de Bendixson-Dulac es la siguiente:

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Corolario 2.20. Sea U0 ⊂ U un conjunto abierto anular (i.e., homeomorfo a un anillo del plano), supongamos que existe una funci´ on con derivadas parciales ∂(hf2 ) ∂(hf1 ) continuas h : U0 → R, tal que la divergencia ∂x1 + ∂x2 no es id´enticamente 0, ni cambia de signo en U0 . Entonces el sistema tiene a lo m´ as una ´ orbita peri´ odica enteramente contenida en U0 . Demostraci´ on. N´ otese que si hubiera alguna ´orbita peri´odica, ´esta debiera contener en su interior a la frontera interior de U0 , pues, de no ser el caso, tendr´ıamos una contradicci´ on con el Teorema de Bendixson-Dulac. Ahora, sup´ongase que existen 2 ´ orbitas peri´ odicas γ1 , γ2 , por la observaci´on anterior podemos suponer que γ1 est´ a contenida en el interior de γ2 y el resto de la prueba se sigue en forma similar al Teorema de Bendixson-Dulac, pues al integrar sobre la frontera a (−hf2 , hf1 ) obtenemos cero, pero por el Teorema de Green esto coincide con ∂(hf2 ) 1) la integral ∂(hf on limitada por las curvas γ2 y γ1 , lo cual ∂x1 + ∂x2 sobre la regi´ es diferente de 0. Esta contradicci´on prueba que no puede haber dos ´orbitas peri´ odicas; por lo tanto, a lo m´as hay una. 

3.

Criterios afirmativos para la existencia de soluciones peri´ odicas

Dado un punto x ∈ Ω, supongamos que la soluci´on de (1’), φt (x) est´a definida para todo tiempo, entonces su ´ orbita positiva (negativa) se define como {φt (x)}t≥0 ({φt (x)}t≤0 ). Decimos que un conjunto D en el plano es positivamente (negativamente) invariante por el flujo φt de la ecuaci´on (1’), si φt (x) ∈ D, ∀x ∈ D, ∀t ≥ 0 (∀t ≤ 0). Por [9] otro lado, un resultado positivo para la existencia de ´orbitas peri´odicas es dado por la siguiente Proposici´on, la cual es una consecuencia del Teorema de Poincar´e-Bendixson ([9], [1], [7], [5], [4]): Teorema 3.1. Un conjunto cerrado, acotado y no vac´ıo K ⊂ R2 , que es positivamente (negativamente) invariante por el flujo φt de (1’) contiene una o ´rbita peri´ odica o un punto cr´ıtico. Para ilustrar su uso, veamos algunos casos: Ejemplo 3.2. Consideremos la ecuaci´ on  x˙ 1 = (1 − x21 − x22 )x1 − x2 , x˙ 2 = x1 + (1 − x21 − x22 )x2 .

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Para aplicar el resultado anterior trabajaremos en coordenadas polares: tomamos x1 := rcos(θ), x2 := rsen(θ) con (r ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π). Recordemos que se cumple r2 = x21 + x22 , θ = arctan( xx21 ); derivando respecto a t, por la regla de la cadena obtenemos  rr˙ = x1 x˙ 1 + x2 x˙ 2 , (5) θ˙ = W (xr12,x2 ) . Donde W (x1 , x2 ) es el Wronskiano, i.e.,   x1 x˙ 1 W (x1 , x2 ) := det = x1 x˙ 2 − x2 x˙ 1 . x2 x˙ 2 Sustituyendo x1 , x2 , x˙ 1 y x˙ 2 de la ecuaci´on en las ecuaciones (5), se obtiene  r˙ = (1 − r2 )r, θ˙ = 1. Integrando la segunda ecuaci´on obtenemos θ(t) = t+θ0 , es decir, no hay otro punto cr´ıtico diferente del origen. De la primera ecuaci´on del sistema anterior tenemos que { 12 ≤ r ≤ 2} es un conjunto negativamente invariante y sin puntos cr´ıticos; as´ı, del Teorema de Poincar´e-Bendixson la regi´on { 12 ≤ r ≤ 2} contiene una ´ orbita peri´ odica. Ejemplo 3.3. Consideremos la ecuaci´ on  x˙ 1 = −x2 + x1 (r4 − 3r2 + 1), x˙ 2 = x1 + x2 (r4 − 3r2 + 1), donde r2 = x21 + x22 , y asuma el hecho que el origen es el u ´nico punto cr´ıtico. Procediendo como en el Ejemplo 3.2, usando coordenadas polares obtenemos r˙ = (r4 − 3r2 + 1)r y podemos ver que {1 < r < 3} es negativamente invariante; de nuevo por el Teorema de Poincar´e-Bendixson {1 < r < 3} contiene al menos una ´ orbita peri´ odica.

4.

Casos particulares y otros criterios

Existen adem´ as familias de ecuaciones diferenciales para las que es posible probar resultados relativos a la existencia de ´orbitas peri´odicas, las cuales, a pesar de su particularidad, son importantes en aplicaciones o para fines te´oricos. Por ejemplo, tenemos los sistemas gradiente. Sistemas Gradiente

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Def inici´ on 4.1. Sea U ⊆ R2 abierto, un sistema gradiente es una ecuaci´ on de la forma x˙ = −gradv(x). Donde v : U → R es una funci´ on C 2 y gradv(x) =



∂v ∂v ∂x1 , ∂x2



.

Ejemplo 4.2. Sea v(x1 , x2 ) = x21 x2 + x1 x22 , entonces grad v(x1 , x2 ) = (2x1 x2 + x22 , x21 + 2x1 x2 ); as´ı el sistema gradiente asociado es 

x˙ 1 = −2x1 x2 − x22 , x˙ 2 = −x21 − 2x1 x2 .

Def inici´ on 4.3. Sea y := (y1 , y2 ) : I → U una funci´ on diferenciable y v : U → R, entonces   ∂v ∂v y˙ 1 + y˙ 2 , Dv(y) = ∂y1 ∂y2 es la derivada de v a lo largo de y.

Proposici´ on 4.4. Un sistema gradiente x˙ = −grad v(x) no posee ´ orbitas peri´ odicas. Demostraci´ on. Sea x : I → U una soluci´on no trivial del sistema gradiente, entonces   dv(x) ∂v ∂v (t) = Dv(x)· x˙ = · x˙1 + · x˙2 dt ∂x1 ∂x2 = − < gradv(x), gradv(x) >= −kgradv(x)k ≤ 0. Es decir, el valor de la funci´on v es decreciente a lo largo de trayectorias no triviales; por lo tanto, no puede haber soluciones peri´odicas.  Note que es posible definir sistemas gradientes en Rn y la Proposici´on 4.4 sigue siendo v´ alida.

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Ecuaci´ on de Li´ enard Una ecuaci´ on diferencial se llama de Li´enard, si es una ecuaci´on de la forma x ¨ + f (x)x˙ + g(x) = 0. Pasando al sistema asociado, tomando x1 = x, x2 = x˙ 1 , obtenemos  x˙ 1 = x2 , x˙ 2 = −f (x1 )x2 − g(x1 ). En este caso es posible dar condiciones relativamente generales sobre f, g para probar la existencia de una u ´nica ´orbita peri´odica; en forma m´as precisa se tiene: Teorema 4.5. Sean f, g funciones C 1 , tales que: a) g es una funci´ on impar y g(x) > 0 si x > 0. Rx b) F (x) = 0 f (s)ds tiene exactamente un cero positivo c, F (x) < 0, si 0 < x < c, positiva y no decreciente si x > c, si adem´ as F (x) → +∞ cuando x → +∞. Entonces la ecuaci´ on de Li´enard tiene exactamente una ´ orbita peri´ odica. Un caso particular del sistema de Li´enard es dado por la ecuaci´ on de Van der Pol, que resulta de tomar f (x) = µ(x2 − 1) y g(x) = x, ver [5].

5.

El problema 16H

Aun cuando en el caso de ecuaciones diferenciales en dos dimensiones presenta muchos resultados fuertes, dista mucho de estar completa. El problema de decidir la existencia de ´ orbitas peri´odicas es en la actualidad un ´area muy activa y vigorosa. Muestra de ello es el famoso problema 16 de Hilbert. Para enunciarlo, diremos que una ´ orbita peri´odica para un sistema plano es aislada (tambi´en llamado ciclo l´ımite) si existe una regi´on alrededor de la ´orbita que no contiene otras ´ orbitas peri´ odicas. Por ejemplo, las ´ orbitas peri´ odicas de la ecuaci´on  x˙ 1 = −x2 , x˙ 2 = x1 , no son aisladas.

´ ´ dicas de sistemas planos Orbitas perio

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El problema 16 de Hilbert (la segunda parte) pregunta sobre el n´ umero de ´rbitas aisladas que puede tener un sistema polinomial, es decir, una ecuaci´on o de la forma  x˙ 1 = p1 (x1 , x2 ), x˙ 2 = p2 (x1 , x2 ), con p1 y p2 polinomios en dos variables del mismo grado. Esta pregunta sigue sin tener respuesta, aun en el caso de que el grado de los polinomios es 2. Sin embargo, este problema ha propiciado un desarrollo profundo y abundante de varias ´ areas de las matem´aticas contempor´aneas. Para profundizar en este interesante tema, ver [12] y las referencias all´ı contenidas.

Bibliograf´ıa [1] Bendixson, I. Sur les curbes d´efini´es par des ´equations diff´erentielles. Acta Math. No. 24 (1901), pp. 1-88. [2] Busenberg, S.; Van Den Driessche. A Method for Proving the Nonexistence of Limit Cycles. J. Math. Anal. Appl. 172 (1993), pp. 463-479. [3] Dulac, H. Recherche des cycles limites. C. R. Acad. Sci. Paris No. 204 (1937), pp. 1703-1706. [4] Guckenheimer, J.; Holmes, P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer-Verlag, New York (1983). [5] Hirsch, M.; Smale, S. Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra. Academic Press (1997). [6] McCluskey, C.; Muldowney, J. Bendixson-Dulac Criteria for Difference Equations, J. Dyn. Diff. Equations No. 10 (1998), pp. 567-575. [7] Perko, L. Differential Equations and Dynamical Systems. Springer-Verlag (2006). [8] Petrovski, I. Ordinary Differential Equations, Dover Publications, Inc (1993). [9] Poincar´e, H. Sur les courbes d´efinies par une ´equations diff´erentielle. Oeuvres, 1, Paris (1892). [10] Smith, R. An Index Theorem and Bendixson’s Negative Criterion for Certain Differential Equations of Higher Dimension. Proc. Royal Soc. Edinburgh Sect. A 91 (1981), pp. 63-77.

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˜ or-Aguilar O. Osuna, G. Villasen

[11] Strogatz, S. Nonlinear Dynamics and Chaos. Addison-Wesley (1994). [12] Yu, Ilyashenko. Centennial History of Hilbert’s 16th Problem. Bulletin of the American Mathematical Society, No. 39 (2002), pp. 301-354.

Osvaldo Osuna ([email protected]). Instituto de F´ısica y Matem´aticas, Universidad Michoacana., Edif. C-3, Cd. Universitaria, C.P. 58040, Morelia, Mich., M´exico.

Gabriel Villase˜ nor-Aguilar ([email protected]) Departamento de Ciencias B´asicas, Instituto Tecnol´ ogico de Morelia, Edif. Z-3, Morelia Mich., M´exico.