Principio de los Trabajos Virtuales

Estructuras II

PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES El Principio de los Trabajos Virtuales se expresa diciendo: “Para una deformación virtual infinitamente pequeña de un cuerpo que se encuentra en equilibrio, el trabajo virtual de las fuerzas exteriores es igual al trabajo virtual interno de deformación” Válido cualquiera sea la ley del estado de tensiones y su relación con las deformaciones. Es conveniente, antes de pasar al análisis general del principio, considerar algunos términos de la definición: •

• • •

En primer lugar estamos considerando un cuerpo en equilibrio, al que con posterioridad se le provoca una deformación. Dicha deformación es arbitraria y posible, compatible con las condiciones de vínculo, pero que no proviene de las cargas originales en el cuerpo. Las cargas externas multiplicadas por esos desplazamientos arbitrarios representan el trabajo virtual de las fuerzas exteriores, Ae. Los esfuerzos internos generados por las cargas en equilibrio originales, generan trabajo debido a la deformación virtual impuesta, dando origen al trabajo virtual interno de deformación, Ai. El Principio de Trabajos Virtuales puede entonces expresarse sintéticamente como:

Ae = Ai Consideremos ahora el caso de una estructura plana con barras resistentes a flexión sometido a un sistema de cargas reacciones de vínculo exteriores.

Pm

en su plano, siendo

C

las correspondientes

Para este sistema en equilibrio se desarrollan esfuerzos internos manera que existe equilibrio entre la acción interna y la externa.

M , N,Q ,

de tal

Sometemos al sistema a una deformación virtual, por lo que los puntos de aplicación de las cargas Pm y C , sufrirán desplazamientos δm y Δc (si existen corrimientos de apoyos) en la dirección de las mismas. Por lo tanto el trabajo virtual de las fuerzas externas estará dado por:

Ae = ∑ Pm δ m + ∑ C Δ c

(1)

Para expresar el trabajo virtual interno de deformación, es decir el trabajo de los esfuerzos internos ( M , N , Q ) debido a la deformación virtual a que sometimos al sistema, consideramos un elemento de una barra dx de altura h.

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La deformación virtual provocará, un desplazamiento relativo de las dos secciones del elemento que podrá expresarse por una traslación y una rotación dϕ. La traslación la podemos considerar compuesta por dos componentes; una a lo largo del eje de la barra Δds y otra normal Δdn. (Figura 1).

Δdn

h Δds dx

dϕ Figura 1

El trabajo diferencial de las fuerzas internas que actúan sobre el elemento dx será:

dAi = Mdϕ + N Δds + Q Δdn

(2)

La integración de esta expresión a toda la estructura representa el trabajo virtual de deformación Ai. Supongamos que la deformación virtual fue provocada por un sistema de cargas exteriores que incluye variación de temperatura, y que genera esfuerzos internos que designaremos como M, N y Q. Admitimos que la temperatura varía linealmente con la altura h de la sección transversal como se indica en la figura 2. ΔT

T1

CG

h

dϕ (+) = αΔT dx h

Tc

T2

dx

αΔT dx αTc dx = Δds

Figura 2

Donde definimos con T1 y T2 a las temperaturas de la fibra superior e inferior respectivamente, Tc la temperatura correspondiente al centro de gravedad de la sección y ΔT = T2 – T1.

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Observamos que la temperatura genera deformaciones Δds y dϕ en la sección. Con estas condiciones resultan para las deformaciones:

⎛ M ΔT ⎞ ⎫ α ⎟dx ⎪ dϕ = ⎜ + EJ h ⎝ ⎠ ⎪ N ⎛ ⎞ ⎪ Δds = ⎜ + αTc ⎟dx ⎬ ⎝ EA ⎠ ⎪ Q Δdn = χ dx ⎪ ⎪ GA ⎭

(3)

Donde: α:

coeficiente de dilatación térmica

A:

Sección transversal de la barra

J:

Momento de Inercia

E:

Módulo de elasticidad

G:

Módulo de elasticidad transversal

χ:

Coeficiente de forma que tiene en cuenta la distribución no uniforme del corte en la sección transversal de la viga

Reemplazando las expresiones (3) en la (2) e integrando:

Ai = ∫

MM ΔT NN QQ dx + ∫ Mα dx + ∫ dx + ∫ N αTc dx + χ ∫ dx EJ h EA GA

(4)

Finalmente igualando el trabajo externo y el interno resulta:

∑P δ m

=∫

m

+ ∑ C Δc =

MM NN QQ ΔT dx + ∫ Mα dx + ∫ dx + ∫ N αTc dx + χ ∫ dx EJ h EA GA

(5)

que es la expresión del Principio de Trabajos Virtuales, para el caso general de estructuras planas.

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En el caso de tener elementos sometidos a torsión se deberá agregar a la ecuación (5) el término:

MtMt ∫ CT dx Para sistemas reticulados, la expresión (5) puede simplificarse si consideramos: a) Q = M = 0 L

L

NN SS dx + ∫ N αTc dx = ∑ L + ∑ S αTc L b) ∫ EA EA 0 0

siendo L la longitud de la barra

la expresión (5) se transforma en: n Si Si Li + ∑ SiαTci Li ∑ Pmδ m + ∑ C Δ c = ∑ E A i =1 i =1 i i n

(6)

que es la expresión del Principio de Trabajos Virtuales, para reticulados.

TEOREMA DE BETTI Supongamos que sobre una estructura actúa un sistema de cargas Pm en equilibrio (por simplicidad no consideramos ni descensos de apoyos ni variaciones de temperatura). Si ahora introducimos otro sistema Pn de cargas, éste provocará desplazamientos δmn (desplazamientos donde actúa el sistema Pm producidos por el sistema Pn) sobre las fuerzas Pm (Figura 3)

Pn1 Pm1 δmn

Pm2 Figura 3

Pnj

Pmi

Pn2

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Por el Principio de Trabajos Virtuales (Ec. 5), podemos escribir:

∑ Pmδ mn = ∫ M m

Mn N Q dx + ∫ N m n dx + χ ∫ Qm n dx EJ EA GA

(7)

Si ahora suponemos que inicialmente está aplicado el sistema Pn en equilibrio con las tensiones internas y luego aplicamos el sistema Pm, éste provocará desplazamientos

δnm de las fuerzas externas, por lo que el trabajo quedará expresado como:

∑ Pnδ nm = ∫ M n

Mm N Q dx + ∫ N n m dx + χ ∫ Qn m dx EJ EA GA

(8)

Siendo iguales los segundos miembros de (7) y (8), también lo son los primeros, de donde resulta:

∑P δ m

mn

= ∑ Pnδ nm

(9)

que es la ley de Betti, que podemos expresar así:

“El trabajo virtual de un grupo de fuerzas Pm, durante la deformación debida a otro grupo de fuerzas Pn, es igual al trabajo virtual de las fuerzas Pn por efecto de las deformaciones debidas a las fuerzas Pm.”

TEOREMA DE MAXWELL Si los sistemas de fuerzas Pm y Pn se reducen a una sola fuerza unitaria, resulta de la ecuación (9)

δ mn = δ nm que expresa la reciprocidad de las deformaciones elásticas.

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Ejemplo: P=1 M=1 2

a) Cálculo del giro en 2 debido a P = 1 en el punto 1 (δ21): Debemos integrar el diagrama de momentos producido por P con en diagrama de momentos producido por M = 1

1

L/2 L P=1

δ 21 =

1⎛ L⎞ L 3L2 = ⎜ − L − ⎟(− 1) 2⎝ 2⎠ 2EJ 8EJ

-L L/2

-L/2

b) Cálculo del desplazamiento en 1 debido a M=1 en el punto 2 (δ12):

L Debemos integrar el diagrama de momentos producido por M con en diagrama de momentos producido por P = 1 -1 L/2

M=1

δ12 =

2 1 (− 1)⎛⎜ − L − L ⎞⎟ L = 3L 2 2 ⎠ 2EJ 8EJ ⎝

L

δ21 = δ12

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APLICACIÓN DEL P.T.V. AL CALCULO DE DEFORMACIONES: Supongamos una viga simplemente apoyada con un estado de cargas cualquiera, que genera el diagrama de momentos M indicado en la figura 4. M

m a

b L

Si queremos calcular la deformación de esa viga en el punto m (desplazamiento vertical), aplicamos en m una carga ficticia, unitaria, en la dirección que se quiere calcular la deformación. El correspondiente diagrama de momentos está indicado en la figura 4. Si aplicamos ahora la ecuación (5) y admitimos que no hay descenso de apoyos, ni variaciones de temperatura y despreciando los efectos de N y Q, resulta:

P=1 _ M ab/L

1 × δm = ∫ M

M ds EJ

Figura 4

Análogamente, si queremos calcular el giro del punto m, aplicamos una cupla unitaria en m, de donde por aplicación de la ecuación (5), resulta: M=1 m a/L b/L L

_ M

1 × ϕm = ∫ M

M ds EJ

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Ejemplo 1) L

P

1 × δ1 = ∫ M

1

0

L

M 1 L ds = PL × L × EJ 3 EJ

PL3 δ1 = 3EJ

PL

M

L

_ 1

L

1 × ϕ1 = ∫ M 0

_ M

_ 1

1

M 1 L ds = PL × 1 × EJ 2 EJ

PL2 ϕ1 = 2EJ

Ejemplo 2) Calcular el desplazamiento vertical del punto central de la viga usando P.T.V. El resorte en el punto A, simula un descenso de apoyo, el cual estará en función de la reacción del apoyo.

P = 1000 Kg A

T1 = 100 °C B h = 10

C K = 1000 Kg/cm

T2 = 0 °C L = 100 cm

b=3 E = 2 106 Kg/cm2 J = 250 cm4 α = 12 10-6 1/°C

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a) Cálculo de reacciones y diagramas de momentos debido a P (fig. a) P A

B C

P/2 = 500

ΔA

ΔA = R1/K = 0,5 cm

R1 = P/2 = 500

M

+ PL/4 = 25000

Figura a)

b) Cálculo de reacciones y diagramas de momentos debido a la carga ficticia en el punto C (fig. b) 1 A

B C

1/2

_ R1 = 1/2

_ M

+ L/4 = 25

Figura b)

c) Aplicación de P.T.V., ecuación (5)

α(T2 − T1 ) M 1 × δ C − R 1 × Δ A = ∫ M ds + ∫ M ds EJ h 0 0 L

L

α(T2 − T1 ) M δ C = ∫ M ds + ∫ M ds + R 1 × Δ A EJ h 0 0 L

L

⎛ 1 PL L L ⎞ ⎛ 1 L ΔT ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ δC = ⎜ L⎟ + ⎜ × ⎟ ⎟−⎜ ⎝ 3 4 4 EJ ⎠ ⎝ 2 4 h ⎠ ⎝ 2 2 ⎠

δ C = 0,0417 − 0,15 + 0,25 = 0,142 cm

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