LA VALORACIÓN FINANCIERA DE LAS VARIANZAS COMO INSTRUMENTO DE MEDIDA DE RIESGO EN LAS OPERACIONES FINANCIERAS ALEATORIAS. Cantalejo García, Francisco García Lopera, Francisca Molina Ruiz, Salvador J. Profesores titulares del Departamente de Economía Aplicada (Matemáticas)

RESUMEN Esta comunicaación pretende cuantificar en unidades monetarias el riesgo inherentes a las operaciones financieras aleatorias y logicamente, dicha cantidad estará referida al momento de su disponibilidad. Por lo tanto el análisis y valoración del riesgo, que clásicamente se hace a través de las desviaciones típicas, lo completamos mediante la valoración de dichas desviaciones mediante una ley finanicera; para ello utilizamos como función de distribución la función de desviación típica de los procesos estocásticos de prestación y contraprestación.

Palabras y frases claves:Riesgo, Opraciones financieras aleatorias, Procesos estocásticos, Valoración financiera. Clasificación AMS:90C40

1.- INTRODUCCIÓN

El análisis de las Operaciones Financieras aleatoria, se realiza tradicionalmente, mediante la valoración financiera de la medida de centralización de los procesos estocásticos asociados a las corrientes de capitales que constituyen la prestación y contraprestación de una Operación Financiera. En el presente trabajo pretendemos extender el concepto de valoración financiera, a las medidas de dispersión de los procesos, en concretos a las varianzas, a partir de lo cual obtendremos una medida que recogerá el riesgo conjunto producido por la incertidumbre inherente a las dos corrientes de capitales que caracterizan la Operación. Este análisis nos premitirá la comparación de Operación Financiera aleatorias en base del riesgo asociado a cada una de ellas.

2.- VALOR FINANCIERO DE LAS DISTRUBUCIONES ALEATORIAS DE CAPITAL. Partimos de un modelo en el que prestación y contraprestación están caracterizadas por distribuciones aleatorias de capital definidas por sendos procesos estocásticos de la forma (X(t),T) y (X*(t),T), y donde (X(t),T) va a representar el total de cuantía acumulada hasta el momento t para la prestación, y (X*(t),T) el total de cuantía acumulada hasta el mismo instante t para la contraprestación, siendo T el intervalo de vencimientos de la operación. Logicamente al representar tanto X(t) como X*(t) cuantias acumuladas deberan verificar que :

X (t 2 ) ≥ X (t1 ) y X * (t 2 ) ≥ X * (t1 )

∀t 2 ≥ t 1 ∀t 2 ≥ t 1

A cada distribución de capital le podemos asociar la distribución

determinista

(mX(t),T), donde mX(t) = E [ X (t )] es la función de valor medio del proceso, que llamaremos distribución media de capital. Como es usual esta distribución determinista se puede valorar mediante una ley financiera Fp(t) en un instante α ∈ T , según

∫  F ( t ) F (α )  d m 

Vα,X = Vα(m X (t)) =

T



p

p

X

(t)

lo que posibilita definir las operaciones financieras a través de la igualdad de los valores financieros medios de (X(t),T) y (X*(t),T).

3.- VALOR FINANCIERO ALEATORIO DE LAS VARIANZAS. Esta metodología, aunque cómoda de utilizar, conlleva una pérdida de información estocástica pues al reducir la valoración de distribuciones aleatorias de capital a la valoración de las correspondientes distribuciones medias de capital (que son determinístas), prescinde automáticamente de la información que el resto de los momentos de orden superior pueden dar respecto del comportamiento de la operación.; Por tanto, proponemos un procedimiento alternativo para analizar la información aportada por las varianzas de la prestación y contraprestación, en orden a establecer una medida de riesgo asociada a la operación. Por esta

razón

estableceremos otro procedimiento alternativo, que partiendo de la naturaleza

probabilística de los proceso X(t) y X*(t) , nos permita una adecuado análisis del riesgo asociado a cada operación financiera. Esto se concreta con el hecho de que para una distribución aleatoria de capital (T, X(t)) en la que los momentos de segundo orden existen podemos afirmar que la integral:

Vα(σ X (t)) =

 F ( t ; p)   d σ ( t) F ( α ; p)  X T

∫

(2)

existe y es finita si T es acotado; donde σ X (t) es la función definida por las desviaciones típicas de X(t). La veracidad de la afirmación anterior se basa en que la función σ X ( t ) es de variación acotada, lo que se cumple ya que la raiz cuadrada de cualquiera función positiva y de variación acotada

da

como

resultado

otra

función

de

variación

acotada

y

como σ X 2 ( t ) = E ( X 2 (t )) − E 2 ( X (t )) y tanto E ( X 2 (t )) como E 2 ( X (t )) son monótonas crecientes, por serlo X(t ) y X 2(t), queda probada dicha afirmación.

4.- CUANTIFICACION DEL RIESGO EN LAS OPERACIONES FINANCIERAS ALEATORIAS. Comunmente se suele medir el riesgo asociado a las distribuciones aleatorias de capital mediante las desviaciones tipicas del proceso de cuantía acumulada de las mismas. Toda vez que estas desviaciones típicas están expresadas en unidades monetarias, parece lógico referir su valor financiero a un cierto instante de tiempo α , lo que realizamos en este trabajo mediante la expresión (2). Por tanto como toda operación financiera esta caracterizada por dos corrientes de capitales, correspondientes a prestación y contraprestación, el riesgo de dicha operación deberá venir recogido en un coeficiente que tenga en cuenta la aleatoriedad conjunta de ambas corrientes. Esto es, el riesgo de cada uno de los sujetos economicos que intervienen en la operación, está producido, no solo por la aleatoriedad de la mayor o menor cuantía de los capitales a recibir, sino también por la aleatoriedad que afecta a cada una de las cuantías que deberán desembolsar.

En consecuencia proponemos asociar a cada operación financiera una medida del riesgo que acarrea la incertidumbre inherente a cada una de las distribuciones de capital que la caracterizan. Lógicamente, una primera apreciación del riesgo vendrá dada por las funciones

σ ( X (t )) y σ ( X * (t )) , pero como hemos comentado anteriormente la expresión (2) aporta una mejor interpretación financiera del efecto de esta incertidumbre. Por esta razón, vamos a establecer la siguiente definición, que nos conducirá, mediante posterior desarrollo, a establecer un concepto más adecuado a nuestra finalidad.

Para una operación financiera de prestación X(t), contraprestación X*(t), y ley financiera Fp(t), llamaremos par de riesgo de la operación, valorado en el instante α , al par de números [Vα(σ X (t)) ,Vα(σ X *(t))]

(3)

y lo representaremos por prα(X,X*), que presenta cierta características interesantes, bajo el punto de vista financiero, que pasamos a exponer: - Lógicamente, cuando la prestación y la contraprestación de una operación financiera son determinísticas tendremos que: prα(X,X*)=(0,0) - El par de riesgo es invariante, salvo constante multiplicativa, frente a una traslación del instante α de valoración. La constante multiplicativa será el factor financiero de desplazamiento desde α al nuevo instante de valoración β, es decir

prα(X,X*)=

Fp ( β ) Fp (α )

prβ (X,X*)

Sin embargo, aún siendo interesante que se cumplan las propiedades anteriores, existen otras que sería deseable las cumpliera la medida de riesgo que adoptemos, como es el hecho de que el riesgo de dos operaciones financieras distintas sea comparables, esto no ocurre, en general, si utilizamos como medida el par de riesgo. Otra cuestión a tener en cuenta, en la posible medida de riesgo que adoptemos, es el hecho de que en una operación financiera aleatoria, con prestación cierta (prα(X,X*)=(0,b), con b>0 ) podría parecer, de manera intuitiva, que el riesgo sólo afecta a uno de los sujetos económicos (en este caso al prestatario); sin embargo, queremos hacer notar que el hecho de

que el primer elemento del par de riesgo sea cero, no significa que el prestamista no asuma riesgo, sino que, por el contrario, aunque las cantidades a entregar por él sean deterministas, este asume el riesgo que afecta a las cantidades que habrá de cobrar o recibir a su vencimiento, por ser estas variables aleatorias descritas por el proceso estocástico X*(t) correspondiente a la contraprestación. Análogamente para el caso en que prα(X,X*)=(a,0), con a>0 podremos afirmar que la contraprestación es determinística mientras que la prestación es aleatoria aunque tanto prestamista como prestatario estarán asumiendo riesgo, uno de ellos sólo en cuanto a las cantidades a pagar y, el otro en cuanto a las cantidades a recibir. Vamos, pues, a formalizar una medida del riesgo, que tenga en cuenta todas las cuestiones apuntadas anteriormente. Sean (T,X(t)) es (T*,X*(t)) la prestación y contraprestación de una operación financiera en la que supondremos que existen los momentos de segundo orden de los respectivos valores financieros aleatorios. Llamaremos Valor Financiero del Riesgo de la Operación en el Instante α al complemento con la unidad del producto {1+ Vα(σ X (t)) }{ 1+ Vα(σ X *(t))} que notaremos por rα(X,X). Es decir: rα(X,X*)={1+ Vα(σ X (t)) }{ 1+ Vα(σ X *(t))} - 1

(4)

5.- CONCLUSIONES. Esta forma de medir el riesgo presenta, obviamente las propiedades señaladas anteriormente para prα(X,X*). Sin embargo, no presenta sus inconvenientes, como se puede deducir de las siguientes características: 1ª ) Para una operación determinística rα(X,X*)=0, por eso diremos que una operación no tiene riesgo cuando tanto prestación como contraprestación sean ciertas o determinísticas. 2ª ) La función rα(X,X*) es estrictamente creciente con σ ( X (t )) y con σ ( X * (t )) , lo que nos indica que al crecer la dispersión de la prestación y/o de la contraprestación crecerá el riesgo de la operación financiera.

3ª ) Dos operaciones financieras serán siempre comparables a traves de su riesgo lo cual induce, de manera natural, una relación de orden en dicho conjunto. Esta relación de orden alcanza su mayor sentido cuando se restringe al subconjunto de operaciones financieras con el mismo valor financiero medio (calculado en el mismo instante α). Por otra parte, puesto que Vα(σ X (t)) y Vα(σ X*(t)) dependen de α, será conveniente fijar la medida de riesgo refiriéndola siempre a un instante notable de tiempo para todas la operaciones financieras, por ello haremos que α sea igual al origen o final de la operación.

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