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PARTE 3 MODELADO Y SIMULACIÓN EN LA EDUCACIÓN
Tecnologías informáticas en la escuela 159
INTRODUCCIÓN Esta parte promueve una propuesta de integración interdisciplinaria, donde la informática constituye un recurso que aporta software especializado, con el cual es posible promover procesos de aprendizaje caracterizados por la construcción (modelamiento), la experimentación (simulación) y el uso con sentido de la información; es decir, procesos de construcción y reconstrucción de conocimiento. Se trata de responder a la pregunta por: ¿qué podemos hacer con la informática, que no posible hacerlo sin ésta? Se trata de reflexionar sobre nuestro hacer escolar y no sólo mejorarlo sino transformarlo con la ayuda de las TI. Debemos continuar en un proceso de mejoramiento y de transformación; las innovaciones de hoy, mañana serán una labor cotidiana y habrá que mejorarlas. Las innovaciones siempre serán necesarias; así viviremos el cambio y viviremos cambiando. Para asumir esta parte del libro, es apropiado recordar lo que creemos ya es un principio compartido en este acompañamiento: Siempre nuestro punto de partida para pensar en la informática en la escuela, es una postura frente a la Educación y un referente pedagógico que guía la reflexión, el hacer y el decidir en el proceso de construcción y ejecución de un proyecto escolar que asume las TI. En este orden de ideas, sin negar la variedad de opciones, CPE-UIS ha asumido para orientar la formación, el aprendizaje significativo, autónomo e integrado y se ha apoyado en la estrategia de aprendizaje basado en situaciones problémicas y en el diseño de actividades integradas, que reconocen la informática como disciplina a aprender formalmente y a ser usada como medio dinamizador y transformador de los procesos de aprendizaje, en todas las áreas del conocimiento y en todos los aspectos de la formación escolar. Este parte nos presenta el modelado y la simulación mediante una teoría tecnológica, la Dinámica de Sistemas (D.S), teoría pensada para apoyar nuestros procesos de aprendizaje, es decir, de reconstrucción y construcción de conocimiento con la ayuda del computador. La construcción de explicaciones y la experimentación simulada, sobre los fenómenos complejos se facilitará si asumimos y operamos con la D.S. En este contexto, se motiva reflexiones sobre la educación, en particular sobre el aprendizaje y se dan a conocer útiles informáticos que facilitan el llevar a la práctica la propuesta pedagógica que así surge, en el espacio de una propuesta de Micromundos para el aprendizaje en las diferentes áreas y en especial en el área de Ciencias de la Naturaleza. Para entender con mayor claridad las anteriores ideas, en esta parte, veremos la D.S en la práctica, al modelar un fenómeno poblacional; luego se presentará formalmente el proceso de modelamiento con D.S y un sencillo ejemplo asociado al juego de la epidemia. A continuación, se dará a conocer la propuesta de Micromundos de simulación para el aprendizaje de las Ciencias (MAC), se proponen actividades integradas con el enfoque MAC y se cierra dando a conocer las experiencias internacionales que se desarrollan en este campo y proponiendo tareas y compromisos que proyecten estas ideas en la vida escolar.
CAPÍTULO 7 MODELADO Y SIMULACIÓN CON DINÁMICA DE SISTEMAS
Tecnologías Informáticas en la Escuela 163
7 7.1
MODELADO Y SIMULACIÓN CON DINÁMICA DE SISTEMAS INTRODUCCIÓN
La D.S es un lenguaje que nos facilita explicar y recrear los fenómenos de interés en términos de modelos de simulación. Con estos modelos y el computador podemos observar cómo se puede comportar el fenómeno bajo diferentes condiciones (experimentación simulada). Es decir, podemos responder a la pregunta por: ¿Qué pasaría en …. (un fenómeno) si ….. (se presentan determinadas condiciones, hacemos … )? Según esto, un modelo es una explicación que nos es útil para contestarnos preguntas sobre el fenómeno que explica. Además, la D.S asume, para pensar los fenómenos a modelar, lo que llamamos el Paradigma de Pensamiento Dinámico Sistémico, esto es una manera de pensar sobre lo que nos interesa asumiendo los fenómenos como Sistemas Dinámicos. Es decir, como cosas que están en permanente cambio y que para comprenderlas debemos explicar cómo cambian, como son sistemas dinámicos, es decir, como constituidas por un conjunto de partes interrelacionadas generando una estructura realimentada. Este capítulo presenta la D.S en un proceso de modelamiento de una dinámica poblacional (por ejemplo de conejos). El modelado del fenómeno se desarrolla mediante prototipos de complejidad y cobertura crecientes, de tal forma que estos modelos permitan ir representando lo que se estudia en términos de los elementos fundamentales, hasta llegar a un modelo útil para el diseño y experimentación de políticas de intervención sobre el fenómeno mismo o a un modelo que satisface el propósito u objetivo plateado. El modelado por prototipos implica un desarrollo a partir de un núcleo central, que se va constituyendo en el modelo final, a medida que gana en detalle y en cobertura, es decir, como producto de la inclusión y desagregación de elementos del sistema y la clarificación de las relaciones entre ellos. A su vez este proceso de incremento de complejidad se utiliza aquí como recurso que posibilita la presentación progresiva de la D.S en términos de todos sus útiles. Es recomendable señalar al lector que lo modelos aquí presentados se implementaron con el software Evolución; software creado por el grupo SIMON, para modelar y simular con D.S. Así mismo es importante recalcar que, aunque la D.S. tiene sus fundamentos, lenguaje y metodología, su aprendizaje requiere un ejerció práctico con el recurso computacional. El modelar es como el pintar, no basta con conocer todos los fundamentos, historia y técnicas, es necesario pintar, es decir, es necesario modelar para hacerse modelador y para comprender profundamente un modelo. Por esto, este capítulo se debe estudiarse usando el computador, usando Evolución, modelando y simulando.
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7.2
UN PRIMER ACERCAMIENTO A LA DINÁMICA DE SISTEMAS COMPRENDIENDO LA EPIDEMIA DE LA TI
Este primer acercamiento con una actividad lúdica, el juego de la epidemia, nos permite: un primero acercamiento al modelado y la simulación con D.S, comprendiendo los conceptos de modelo, modelado y de simulación que aquí se utilizan. Además se propondrá una analogía para entender la dinámica de uso de las TI, en una organización, como una epidemia. 7.2.1
Juego de la epidemia, simulación en vivo
Este juego se propone recrear (simular) en vivo, la epidemia de una enfermedad que se propaga por el contacto directo entre personas sanas y personas enfermas (contagiadas). Las personas que se contagian, permanecen contagiadas indefinidamente; Aunque el contagio se da cuando hay contacto entre sanos y contagiados, no siempre, que hay un contacto de estos se genera contagio. Se juega de la siguiente manera:
Un árbitro y N jugadores. Antes de iniciar el juego el árbitro selecciona, en secreto, uno de los jugadores como el primer contagiado, él es el que inicia la epidemia. Los jugadores se sitúan en una sala en la cual se puedan mover libremente. El juego se desarrolla jugada a jugada y en cada una cada jugador saluda a otro. Los sanos que saluden a un contagiado podrán quedar contagiados El juego inicia cuando el árbitro le oriente a los jugadores registrar en una planilla: el número de la jugada (de 1 en adelante), apostarle al número 1 o al 2 y luego saludar a un compañero. Después que todos saludaron, el árbitro lanza un moneda y si cae cara dirá 1 , si cae sello indicará 2 Los jugadores sanos que habiendo saludado a un contagiado y que además el número registrado, antes de saludar, coincida con el indicado por el árbitro después de lanzar la moneda, pasaran a contagiados. En todos los demás casos el jugador seguirá en el estado que tenia antes de saludar (sano o contagiado), como se observa en la Tabla 6 Después de que los jugadores que cambie de estado y lo registren, el árbitro orientará iniciar la siguiente jugada, indicando a los jugadores que traten de saludar a un compañero que no hayan saludado antes. El juego se dará por terminado cuando el árbitro lo decida. Al terminar, cada jugador debe saber en cual jugada se contagió. Tabla 6: registro de Datos durante el juego
Jugada # 1 2 3 3 4 5
Apuesta al 1/2
Saludo a C/S
Moneda 1/2
Estado S/C
2 1 2 1 2 1
S S C C C S
2 2 1 1 2 1
S S S C C C
******
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Resultados del Juego: Antes de graficar los resultados del comportamiento del juego, el Árbitro hará las siguientes preguntas a los jugadores: ¿Cómo creen que se desarrollo el juego?, es decir, ¿cómo es la gráfica de personas sanas y personas contagiadas durante el juego?, ¿Cómo espera que sea la gráfica de contagio? Después de diluir las propuestas de gráficas plateadas por los jugadores, haciendo claridad de porque proponen una u otra gráfica, el árbitro pregunta a cada jugador en que jugada se contagio y hace la siguiente tabla, en este ejemplo se asume que hay 20 jugadores y desde el inicio del juego uno de ellos está contagiado: Jugada #
Contagiados jugada (contagio)
en
la Acumulado de contagiados Cantidad de (contagiados) Sanos
1
1
2
18
2
2
4
16
3
3
7
13
Con los datos de la tabla anterior cada jugador debe realizar las gráficas de Contagiados, Sanos y Contagio. Un debate entre los jugadores debe permitir aclarar el porqué de los errores en las graficas propuestas y cual es la forma general de la gráfica que resultó de los datos del juego. Hay que tener presente que entre más se cumplan las reglas del juego (modelo) las gráficas tendrán una forma más definida (simulación). La comprensión del comportamiento del juego y el porqué del mismo, se ampliará al desarrollar su modelado y simulación con D.S, la cual se presenta en el siguiente apartado de este capítulo.
7.3
MODELADO Y SIMULACIÓN DEL JUEGO DE EPIDEMIA DE LAS TI EN UNA ORGANIZACIÓN.
LA EPIDEMIA Y LA
Este modelo se desarrolla y simula describiendo la dinámica de propagación del uso de las TI en una organización, el lector fácilmente apreciará que se esta haciendo una analogía con la epidemia generada por una enfermedad contagiosa que tiene, al menos en el primer prototipo, características similares al juego de la epidemia descrito en el anterior apartado. De esta manera se habla de cuatro cosas simultáneamente: de D.S., de una epidemia real, del juego de la epidemia y de la difusión de las TI en una Organización.
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7.3.1
Primer prototipo
MODELO EN EL LENGUAJE EN PROSA Asumamos que existe una población constante (PT), que lentamente se irá contagiando de la TI, además, la epidemia la inicia alguien de esta población que se ha contagiado (está con la TI) externamente (efecto del medio). Los demás, se van contagiando resultado de los encuentros entre los contagiados y los sanos (sano: que no están con la TI). En una enfermedad, sabemos que no siempre en el contacto entre contagiado y sano, el sano se contagia; esto lo podemos representar con la tasa de contagio (T_C) la cual nos indica cuántos contagios se dan, por ejemplo, por cada 100 contactos. Es decir, entre más convincentes seamos con nuestras ideas y ejemplo de uso de la TI, más efectivos seremos para contagiar a otros. MODELO EN EL LENGUAJE DE FLUJOS Y NIVELES
Figura 27: Diagrama de Flujo Nivel. Primer Prototipo
Apreciamos que los vinculados a la TI, se van acumulando en un nivel que llamamos Contagiados, el comportamiento de este nivel nos dirá cuántos están con la TI en cada momento y cómo va cambiando esta cantidad resultado del contagio diario. El flujo de contagio nos indica cuántos se contagian en cada periodo de tiempo, resultado del encuentro entre sanos y contagiados y según la tasa de contagio. Los sanos, en cada momento, es una información que la podemos obtener de restar a la población total el número de contagiados. (Figura 27)
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MODELO EN EL LENGUAJE DEL COMPORTAMIENTO
Figura 28: Dinámica de Contagio. Primer Prototipo
Figura 29: Flujo de Contagio. Primer Prototipo
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Si definimos unas condiciones en las cuales se da la epidemia, en este caso el número de contagiados iniciales, y el valor de la tasa de contagio y la población total, con la ayuda del Software Evolución 3.5, podemos apreciar el comportamiento que van teniendo las diferentes variables. Principalmente nos interesa observar, cómo van incrementando los contagiados y disminuyendo los sanos y cómo se presenta el contagio, al principio lento porque hay pocos que contagian y luego rápido porque hay bastantes contagiados y bastantes sanos; cuando van disminuyendo los sanos el contagio va disminuyendo hasta que se hace cero porque ya todos están contagiados. (Figura 28 y Figura 29) 7.3.2
Segundo prototipo
MODELO EN LENGUAJE EN PROSA Asumimos todas las consideraciones del primer prototipo pero ahora contemplamos el hecho que las personas se pueden curar de la enfermedad, para nuestro caso pueden abandonar su vínculo con la TI, esto puede suceder pasado un tiempo de haberse contagiado, es decir, que hay un retardo o demora para que una persona abandone la TI. Además, la persona que abandona se convierte en un sano que más tarde se puede volver a contagiar de la TI, en el juego esta posibilidad de recuperación no se presentó. MODELO EN EL LENGUAJE DE FLUJOS Y NIVELES
Figura 30: Diagrama de Flujo Nivel. Segundo Prototipo
En este caso la cantidad de Sanos se representan por otro nivel, del cual salen los que se van contagiando (flujo de contagio) y llegan los que abandonan (flujo Recuperación). El parámetro P_contagio, define la Probabilidad de contagio (cuando se da el contacto entre un sano y un contagiado). La variable auxiliar P_Encuantro_S_C define la probabilidad de
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que se dé el encuentro entre un sano y un contagiado y la variable auxiliar T_recupera determina el tiempo promedio que dura un contagiado en ese estado (Figura 30). MODELO EN EL LENGUAJE DEL COMPORTAMIENTO
Figura 31: Dinámica de Contagio. Segundo Prototipo
En este caso, a diferencia del primer prototipo, los sanos no tienden a cero debido a que algunos pueden abandonar el estado de contagiado, regresando a sanos para luego tener la probabilidad de contagiarse nuevamente. De esta manera, parece evolucionar la dinámica de vinculación de los miembros de una comunidad educativa al uso de la TI, se presentan vinculaciones y abandonos y dependiendo de las diferentes acciones de la comunidad misma, es posible consolidar un proyecto sostenible y con la participación de un buen número de sus miembros.
7.4
APRENDIZAJE DE LA DINÁMICA DE SISTEMAS CON UNA POBLACIÓN DE CONEJOS
Deseamos explicarnos la dinámica de desarrollo de una población de conejos que viven en las mejores condiciones y sólo limita su crecimiento la disponibilidad de alimento. Este modelo tiene el propósito de explicar la dinámica poblacional señalada y apreciar en ella bajo que condiciones se presenta un comportamiento de crecimiento desaforado y caída vertiginosa (overshoot and collapse, si usamos los términos en inglés). Además, se ha implementado en un proceso de modelamiento por prototipos que permite ir dando a conocer la D.S. y cada uno de sus útiles de modelado, simulación y análisis.
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7.4.1
Primer prototipo
Al pensar sobre cómo se ha comportado una población de conejos, pensamos en cuánta población ha existido en cada momento y si ha venido aumentando, disminuyendo o ha permanecido estable. Además, si nos preguntamos qué la ha hecho cambiar, mínimo pensaremos en los nacimientos y en las muertes naturales. La anterior reflexión sobre el fenómeno identifica tres elementos fundamentales: Población (número de conejos en cualquier instante, por ejemplo día), Nacimientos (conejos que nacen por unidad de tiempo) y muertes (conejos que mueren por unidad de tiempo). Dependiendo de cómo se asuman estos tres elementos, se establecen relaciones de influencia entre los mismos, cuyo esquema representativo se denomina Diagrama Causal o de Influencias Figura 32 Generalmente será utilizado el término Influencias, por la amplitud del mismo, el cual contiene al de causalidad.
Figura 32: Diagrama de Influencias: Primer prototipo
En la Figura 32, se pueden apreciar dos secuencias cerradas de relaciones de influencias, esto es, dos bucles o ciclos de realimentación que se leen de la siguiente manera: El ciclo 1, a más población habrá más nacimientos y a más nacimientos habrá más población; esta lectura muestra cómo el efecto de la modificación inicial de la población (más) recorre el ciclo produciendo un resultado de retorno sobre la variable población, en el mismo sentido al de la modificación inicial (más). Los ciclos que presentan este efecto de retorno, en el mismo sentido al de la perturbación inicial, se denominan ciclos de refuerzo o de realimentación positiva y generalmente explican el crecimiento del sistema. El ciclo 2, a más población habrá más muertes y a más muertes habrá menos población. La anterior lectura muestra cómo el efecto de la modificación inicial de la población (más) recorre el ciclo produciendo un resultado de retorno sobre la variable población, en sentido contrario a la modificación inicial (menos). Los ciclos que presentan este efecto de retorno, en sentido contrario a la perturbación inicial, se denominan ciclos de control, compensadores o de realimentación negativa y explican la tendencia a la estabilidad del sistema. La lectura de los ciclos o bucles, se basó en las relaciones de influencia ya descritas entre parejas de elementos, pero no en términos de los signos que acompañan los extremos de las flechas, las cuales muestran el sentido de la influencia. Los signos usados son el menos (-) y el más (+); el signo menos refleja que la relación entre los dos elementos se da en sentido contrario, por ejemplo: a más muertes de conejos → menos conejos, el efecto contrario a la modificación inicial le asigna a la relación el carácter de relación de influencia negativa (-). Si leemos cualquiera de las otras parejas de relaciones observamos que se influyen con efectos en el mismo sentido, relación de influencia positiva (+). Por ejemplo: a más nacimiento de conejos → más conejos.
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Continuando con la reflexión sobre el fenómeno que estamos modelando, para lograr un primer prototipo muy fácil de entender y que reporte una idea general de la dinámica poblacional, asumamos que los nacimientos y las muertes se dan a una tasa de natalidad y una tasa de mortalidad constantes. Es decir, que por cada conejo (o por cada 100 si es %) nace una cantidad fija cada día, determinada por la tasa de natalidad (TN: número de conejos que nacen por cada conejo existente, cada día). Así mismo, por cada conejo (o por cada 100 si es %) muere una cantidad fija cada día, la tasa de mortalidad (TM: número de conejos que mueren por cada uno que exista, cada día). Obsérvese que lo que se está asumiendo constante son las tasas y no los que nacen cada día (N: natalidad), ni los que mueren cada día (M: mortalidad); cantidades que dependen de las tasas y de la Población existente en el momento del cálculo. DIAGRAMA DE FLUJO NIVEL En el modelo conceptual planteado (Modelo en prosa y diagrama de influencias), se concibe una población de conejos que se acumula, resultado de la dinámica de nacimientos (entradas) y muertes (salidas). Es decir, en este modelo existe una variable medible en cualquier instante de tiempo, que acumula el resultado de las dos acciones, nacimientos y muertes de conejos. La variable que acumula se denomina en D.S nivel y la que genera el cambio sobre el nivel se denomina flujo, cada una de ellas se dibuja y relaciona como se aprecia en la Figura 33 En este caso existe un nivel, Población (P), y sus flujos nacimientos (N) y muertes (M).
Figura 33: Diagrama de Flujo-Nivel. Primer Prototipo
Además de los flujos y el nivel, la Figura 33 incluye tres útiles más de la D.S para construir los diagramas de flujo-nivel: los elementos constantes Tasa de Natalidad (TN) y Tasa de Mortalidad (TM), se denominan parámetros. Son valores constantes durante toda la simulación, sólo posibles de modificar de un escenario a otro. Las líneas gruesas, que unen los flujos con los niveles se denominan canales de material, significando con el término material todo aquello cuya medición de acumulación se registra en los niveles, independientemente que se trate de algo físico (propiamente material) o de algo intangible. Las líneas delgadas que llevan a una variable la información necesaria para su cálculo, como en este caso a los flujos, se denominan canales de información. En términos generales a los niveles les llega “material”, determinado por los flujos, y la información “viaja” hacia los flujos para determinar sus valores. Para este primer modelo se asume que pueden nacer indefinidamente y no interesa el destino de los que mueren, para representar estas fuentes y sumideros anónimos con capacidad ilimitada se utilizan los símbolos en forma de “nubes”.
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ECUACIONES DEL MODELO. Trabajando con un software para D.S, como EVOLUCION15, la formulación de las ecuaciones inicia con la construcción del diagrama de Flujo-Nivel y continúa con la definición de los elementos variables del modelo. Para el prototipo que estamos construyendo, el diagrama de Flujo-Nivel (Figura 33), nos expresa que: la población que tenderemos pasado un periodo de tiempo denominado delta t (∆t), será igual a la población que se tiene inicialmente más los que nacen y menos los que mueren en ese periodo; esto se puede representar con la siguiente ecuación: P(t+∆t) = P(t) + (N(t) – M(t)) * ∆t (Ecuación 1) La ecuación 1 el modelador no tiene que escribirla directamente; la escribe cuando dibuja el diagrama de Flujo-Nivel y es la que el software usará para ir calculando los valores de la población en cada ∆t, por ejemplo cada día. ∆t corresponde al intervalo de tiempo con el cual se van registrando los eventos del fenómeno simulado. Este delta de tiempo debe ser seleccionado de tal forma que se garantice la exactitud numérica en los cálculos y la apreciación de los eventos del fenómeno. El ∆t corresponde a lo que se denomina paso de simulación o de integración y debe dar cobertura, o permitir el registro, al evento significativo de mayor velocidad considerado en el modelo. Además, el diagrama de Flujo-Nivel nos indica que para calcular los nacimientos sólo se requiere la información del valor de la tasa de natalidad y la población en ese momento. Esto indica que nacimientos (N) es función de la tasa de natalidad (TN) y de la Población (P), lo cual lo podemos escribir así: N(t)=ƒ (TN,P(t)) Igualmente podemos expresar que M(t)= ƒ (TM,P(t)). Además, por el diagrama de influencias y por la definición que ya se planteó para la Natalidad (N) y para la Mortalidad (M), se está asumiendo que las dos son directamente proporcionales a la población. Esto se puede escribir como: N(t) = TN * P(t) (Ecuación 2) M(t) = TM * P(t) (Ecuación 3) Las ecuaciones 1, 2 y 3 definen plenamente el primer prototipo, recordemos que la ecuación 1 la escribe el software cuando dibujamos el diagrama de flujo nivel y las ecuaciones 2 y 3 al definir con el software las variables nacimientos (N) y Muertes (M). COMPORTAMIENTO DEL FENÓMENO, SIMULADO POR EL MODELO Para este modelo elemental tenemos dos maneras de formular sus posibles comportamientos, es decir, de simular los comportamientos del fenómeno apoyados en el modelo: mediante simulación mental y con la ayuda del computador. 15 Software desarrollado por el Grupo SIMON de Investigación en Modelamiento y Simulación de la Universidad Industrial de Santander (Grupo SIMON, 1997).
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Teniendo en cuenta el fenómeno en estudio y el prototipo formulado podemos mentalmente decir: si se dan unas condiciones tales que desde el principio nazcan más de los que mueren, es decir TN > TM, la población crecerá y crecerá indefinidamente, haciéndolo cada vez más rápido, como manifestación del dominio del ciclo positivo de realimentación (Figura 34), es decir, presenta un crecimiento exponencial positivo. Por el contrario, si la TN < TM, es decir, que nacen menos de los que se mueren, domina el ciclo de realimentación negativa (Figura 34) y la población se irá acabando lentamente. Además, si TN = TM , es decir, si nace la misma cantidad que muere, la población permanecerá constante, no variará en cantidad. Estos comportamientos describen lo que llamamos el modo de referencia y nos serán útiles para evaluar los comportamientos que nos brinde el computador. Lo anterior, nos permite afirmar que los tres posibles comportamientos cualitativamente diferentes, son los que se aprecian en la Figura 34 Hablamos de comportamientos cualitativamente diferentes porque de cada uno de éstos se puede presentar infinito número cuantitativamente diferentes, es decir, hay muchos casos de crecimiento, muchos de decrecimiento y muchos de estabilidad.
Figura 34: Modo de referencia Prototipo 1
Para simular con la ayuda del computador se usa el software EVOLUCION y el modelo, definiendo un escenario, es decir, unas condiciones bajo las cuales se desarrollará la simulación. Esas condiciones están dadas principalmente por el valor inicial de los niveles, en este caso la Población y el valor de los parámetros (TN y TM). Simulación de ejemplo: Escenario: Población inicial: P(0) = 2 conejos Tasa de Natalidad: TN = 0.02 conejo/día Tasa de Mortalidad: TM = 0.01 conejo/día Otras condiciones de simulación: ∆t = 1 día; Tiempo inicial = 0; tiempo Final = 100 días
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La Figura 35, se obtuvo al realizar la solución numérica o simulación correspondiente.
Figura 35: Crecimiento Poblacional - Prototipo 1
Con el software EVOLUCION se puede observar el comportamiento de cualquiera de los elementos del modelo; por ejemplo, de los dos flujos del prototipo, donde se aprecia que los nacimientos siempre son más que las muertes. Además el software facilita usar un recurso que se denomina análisis de sensibilidad por parámetros, con éste, podemos ver cómo se comporta el modelo frente a modificaciones de sus parámetros. La Figura 36, es el resultado de un análisis de sensibilidad por parámetros que asume inicialmente el escenario de crecimiento ya descrito y para las dos siguientes simulaciones incrementa la tasa de mortalidad (TM) en un valor de 0.01. En la gráfica se aprecia un caso de cada uno de los tres comportamientos cualitativamente diferentes que ya discutimos.
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Figura 36: Análisis de sensibilidad - Prototipo 1
7.4.2
Segundo Prototipo
El primer prototipo es útil para concebir en general la dinámica poblacional y comprender los conceptos básicos involucrados, así como para iniciar el modelamiento; pero no refleja el comportamiento esperado para una población, ninguna población puede crecer indefinidamente, siempre hay límites en un crecimiento y en términos del modelo las tasas de natalidad y de mortalidad dependen de múltiples factores, es decir, no siempre son constantes como lo asume el prototipo 1. ¿Qué puede limitar un crecimiento poblacional?, ¿cuál es el factor fundamental que puede modificar las tasas de natalidad y de mortalidad? Pueden asumirse múltiples aspectos del fenómeno, como temperatura, comportamiento climático, enfermedades, etc.; y todos estos afectan el comportamiento poblacional. Pero hay un factor esencial: el alimento, su disponibilidad es un limitante determinante en la vida de todo animal. Para avanzar a un nuevo prototipo, en este segundo modelo se incluye el alimento asumiéndolo como una cantidad constante la cual se distribuye homogéneamente en toda la población, mediante una Ración Alimentaría (cantidad de alimento para cada animal) y aunque la ración afecta tanto la natalidad como la mortalidad, en este prototipo sólo se modela el efecto sobre natalidad. En términos generales es aceptable intuitivamente que a más ración alimentaría (RA) habrá más reproducción por animal, es decir, mayor será la tasa de Natalidad (TN); así mismo, al disminuir la RA disminuirá la TN, es decir, se presenta una relación positiva de influencia entre los dos elementos. Lo contrario se establece en la relación entre la Población y la ración, es una relación negativa o en sentido contrario, una variación en la población genera un cambio en la RA en sentido contrario a la variación poblacional (a más población
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menos ración y a menos población más ración). Estas consideraciones se han agregado al diagrama de influencias del primer prototipo generando una estructura con un nuevo ciclo de realimentación negativa que incluye el efecto del alimento disponible por animal sobre la TN y en general, sobre la dinámica poblacional (Figura 37).
Figura 37: Diagrama de influencias del Prototipo 2
El nuevo ciclo lo podemos leer de la siguiente manera: A más RA más TN más N más P menos RA. El efecto del incremento de la RA se transmite a través de todo el ciclo, retornando sobre la RA con un efecto en sentido contrario a la modificación inicial, es decir, procurando compensar dicha modificación, por esto, este ciclo es un ciclo compensador o de realimentación negativa el cual explica la tendencia del sistema a la estabilidad. DIAGRAMA DE FLUJO-NIVEL SEGUNDO PROTOTIPO Lo plasmado en el diagrama de influencias se ha expresado de manera directa en el diagrama de flujo nivel (Figura 38). En este diagrama, permanece, del primer prototipo, los flujos, el nivel y un parámetro o constante, la TM; Lo nuevo es un elemento que se representa con un círculo y se denomina variable auxiliar, en este caso RA y TN. Las variables auxiliares relacionan información de diferentes elementos del modelo como información intermedia en tránsito hacia los flujos. Además, este diagrama de flujo nivel incluye un parámetro (P_inicial) para asignarle el valor inicial al nivel de población; la línea punteada se usa para indicar que el nivel solo asumirá esta información en el instante inicial, a diferencia de las líneas de información continuas que indican que la información se trasmite en cada iteración.
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Figura 38: Diagrama de flujo-nivel, segundo prototipo
ECUACIONES SEGUNDO PROTOTIPO La ecuación de nivel así como las de cada flujo son iguales a las del primer prototipo, tan sólo hay que definir las ecuaciones para las variables auxiliares así: RA = Alimento/ P(t): la ración alimentaria es la cantidad de alimento que resulta de repartir todo el alimento, en igual cantidad para cada elemento de la población. La dificultad mayor surge al definir la ecuación que permita calcular la TN en función de la RA. Una primera aproximación, guiada por la relación de influencia directa entre las dos variables, es asumir TN igual a RA o directamente proporcional a ésta, es decir: TN(t) = RA(t) SIMULACIÓN SEGUNDO PROTOTIPO Si pensamos en un escenario que permita que la población crezca, debemos asignar unos valores a la población inicial (nivel), al alimento y a la tasa de mortalidad, tales que en un primer momento, al calcular RA, tengamos una TN > TM. Al crecer la población disminuirá la RA y la TN, la cual lentamente se irá acercando a la TM hasta igualarse; llegado ese momento se suspende el crecimiento poblacional y la cantidad de población permanece constante, aunque cambian los individuos (conejos), en cada periodo nace igual cantidad que la que muere. Los escenarios que permiten un comportamiento de crecimiento son infinitos, uno de éstos puede ser: P(0) = 100 ( o: P_inicial = 100 y P(0)= P_inicial) TM = 0.01 Alimento = 3000 Condiciones de simulación: ∆t = 1 día; Tiempo inicial = 0 ; tiempo Final = 500 días
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De esta manera el modelo reporta un comportamiento de la Población, Natalidad y Mortalidad como lo describe la Figura 39:
Figura 39: Comportamiento Poblacional y flujos de Natalidad y Mortalidad
Mediante escenarios apropiados, es posible simular los tres comportamientos cualitativamente diferentes que genera este modelo, el de crecimiento asintótico, decrecimiento asintótico y el estable desde el inicio de la simulación (Figura 40).
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Figura 40: Comportamientos Poblacionales Cualitativamente diferentes
7.4.3
Tercer prototipo
Seguramente, el lector tendrá varias objeciones al segundo prototipo; por ejemplo, el asumir la TN = RA, sólo es coherente con el hecho de que a más RA más TN; pero son posibles crítica como: los valores numéricos que asume la RA no coinciden con los que debe asumir TN; no hay consistencia dimensional, las unidades de RA son, por ejemplo, Kilos / conejo y las unidades de una tasa, ya lo explicamos, debe ser 1/ unidad de tiempo; en este caso, como hemos asumido la unidad de tiempo el día, debe ser 1/ día. Según lo anterior, con sólo cambiar la unidad de peso (Kilo, por ejemplo) cambiaría la TN. Además, la TN no puede ser definida plenamente por sólo la RA, ésta depende de otros factores. Conclusión, la expresión TN = RA sólo nos es útil para una aproximación a partir de la relación causal, pero se debe modificar para ir construyendo un modelo consistente dimensionalmente y más representativo, cualitativa y cuantitativamente, del fenómeno. Primero que todo reconozcamos el hecho de que la RA no puede definir plenamente la TN; pero, las variaciones de la RA si pueden, en algunos casos, modificar el valor de ésta tasa; no lo hará siempre porque si nuestros conejitos, por ejemplo, se comen máximo un cuarto de kilo diario de zanahorias, nada les afectará las variaciones de la RA cuando ésta esté por encima del cuarto de kilo diario; siguiendo el ejemplo, sí habrá un efecto cuando la RA cambie a valores menores al cuarto de kilo diario. Si RA no define plenamente la TN, pero la afecta, para modelar dicho efecto podemos asumir que se presenta una Tasa de Natalidad Normal (TNN) que la definen múltiples factores y además, se cumple cuando los conejos pueden comer una ración que la llamaremos Ración Ideal (RI), es decir, cuando RA = RI. Nuestros conejos se comerán una ración máximo igual a RI y cualquier cantidad que sobrepase RI simplemente se perderá. Si RA es menor de RI se comerán toda la RA y
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sufrirán los efectos de haber quedado insatisfechos o de sufrir hambre; ese sufrimiento tendrá un efecto sobre la TN, de tal manera que TN será menor que TNN. ¿Cómo mediremos que la ración disponible para comer, RA, es mayor igual o menor a RI? Mediante la Cobertura de la Ración Ideal (CRI), es decir, con la expresión: CRI = ( RA/RI), si este cociente es 1 o más de 1 ( >= 1 ) indicará que la RA es igual o mayor que RI (RA>=RI), los conejos estarán plenamente satisfechos con su ración y procrearán a una TN igual a TNN. Pero, si el cociente es menor de 1 ( CRI < 1 ), indicará que los conejos no quedan satisfechos con su alimento, es decir, RA < RI y esto afectará la TN colocándola en valores menores de la TNN. Todas las variables mencionadas se encuentran en el siguiente diagrama de flujo nivel (Figura 41).
Figura 41: Diagrama Flujo-Nivel del prototipo 3
Se observa en el diagrama, además de las variables ya mencionadas, la variable E_CRAI_TN, Efecto de la Cobertura de la Ración Ideal sobre la Tasa de Natalidad. Este efecto es un factor que multiplica TNN para obtener TN, es decir TN = TNN * E_CRAI_TN, puede ser definido analíticamente (una fórmula) o mediante una tabla (una función tabulada); en los dos casos, en D.S, se denomina Multiplicador y la forma más común de definirlo es mediante una función tabular. Un multiplicador constituye un recurso matemático mediante el cual se modela el efecto, generalmente no lineal, de una variable sobre otra. Asumiendo la primera variable no como causa propiamente, sino como catalizadora o mitigadora de las condiciones de desarrollo de la segunda. La forma de los multiplicadores y las parejas ordenadas de valores que los cuantifican, varían notoriamente de un caso a otro; cada caso es una situación particular que requiere un estudio cualitativo y cuantitativo específico. Es decir, ¿cuáles son los límites inferior y
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superior para el multiplicador? y ¿cuál la forma detallada del mismo?, es algo a definir en cada caso particular. El ejemplo de multiplicador incluido en este prototipo, representa las consideraciones que ya se hicieron sobre el efecto de la RA sobre la TN. Hay que tener en cuenta que la entrada al multiplicador corresponde a los valores en X de la tabla y la salida, o sea el multiplicador, los valores en Y. En este caso la entrada es CRAI y cuando su valor es 1 o más, significa que la RA cubre plenamente, o más, la RI y bajo estas condiciones se cumple la TNN, por consiguiente el valor del multiplicador (E_CRAI_TN) debe ser 1 para que la TN sea igual a la TNN. Por el contrario, si la CRAI es menor de 1, significa que el alimento no es suficiente y por consiguiente la TN será menor a la TNN, por esto el multiplicador será menor de 1, para que la TN sea menor de la TNN (recordar que TN = TNN * E_CRAI_TN). Las anteriores consideraciones se aprecian en la Figura 42.
Figura 42: Multiplicador de la TN debido a la CRAI
Teniendo en cuenta que la entrada al multiplicador, CRAI, es un valor adimensional (sin unidades), la salida igualmente lo será. De esta manera, se garantiza la consistencia dimensional en la expresión: TN = TNN * E_CRAI_TN. Además, la TN será siempre un valor razonable menor o igual a TNN. Observando nuevamente el diagrama de flujo nivel propuesto para este prototipo; además del multiplicador se aprecia que el valor inicial del nivel Poblacional se asignó mediante un parámetro. Se distingue por las líneas rojas punteadas, para representar que la información llega al nivel sólo para definir el valor inicial. Esto facilita, mediante análisis de sensibilidad por parámetros, evaluar cómo se comporta el fenómeno frente a variaciones del estado inicial del nivel.
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SIMULACIÓN TERCER PROTOTIPO El comportamiento poblacional, así como el de nacimientos y muertes, descrito por este prototipo, corresponde a la dinámica que se espera típicamente en una población (Figura 43)
Figura 43: Crecimiento poblacional y nacimientos – muertes
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El comportamiento en S que describe la trayectoria poblacional, se explica a la luz de la estructura del modelo, en la cual se conjugan dos ciclos de realimentación negativos y uno de realimentación positiva, los cuales cambian en su efecto durante el tiempo. Mientras domina el ciclo positivo se presenta una tendencia exponencial positiva, en el momento que el efecto de este ciclo empieza a disminuir y el de los ciclos de realimentación negativa crece, el sistema tiende a la estabilidad, en una trayectoria asintótica que marca el límite en el crecimiento poblacional. Si grafica el flujo neto que afecta el nivel (N – M), podrá observar en qué momento la dinámica poblacional abandona el crecimiento exponencial e inicia un crecimiento asintótico. Mientras el flujo neto vaya en incremento la población va creciendo a una velocidad cada vez mayor. Cuando el flujo neto inicia su disminución, la población sigue creciendo porque el flujo neto sigue positivo (mayor de cero), aunque lo hace cada vez más lentamente, hasta suspender el crecimiento (flujo neto = 0) y la Población permanece constante. 7.4.4
Cuarto prototipo
Un estudiante atento del fenómeno poblacional que venimos modelando, a la vez que conocemos la D.S, podrá señalar que efectivamente los cambios en la ración afectan la dinámica de nacimientos, pero que dicho efecto no se presenta inmediatamente se modifica la ración, requiere un tiempo para que se manifieste en términos de aumento o disminución de la tasa de natalidad y por consiguiente de la natalidad (los nacimientos por unidad de tiempo). El elemento, Retardo del efecto de la cobertura de la ración alimentaria ideal sobre la tasa de natalidad, Re_E_CRAI_TN; presenta el icono utilizado para representar los retardos de material o de información en D.S. En este caso corresponde a un retardo de información. Los retardos o retrasos constituyen elementos fundamentales en los diagramas de flujonivel, permiten representaciones del fenómeno, en las cuales las variables se relacionan considerando la demora de material o de información. Se usan para representar los casos en los cuales la influencia de una variable sobre otra requiere un tiempo para que se manifieste. Cuando el retraso es en el paso del material de un nivel, a otro nivel para cambiar de estado, como podría ser de conejos jóvenes a conejos adultos (si desagregáramos el nivel de conejos), corresponde a lo que se denomina retardo de material. Cuando el retraso es entre dos variables en las cuales al menos la segunda no corresponde a un nivel (como es el caso del ejemplo), es decir, de un nivel a otro elemento diferente de nivel o entre dos variables diferentes a niveles, corresponde a un retardo de información. La única diferencia entre el prototipo tres y éste (el cuarto) es el retardo de información (Re_E_CRAI_TN), es decir, no hay un cambio en la estructura de realimentación, sólo cambia el diagrama de flujo nivel (Figura 44) y las ecuaciones al incluir la definición del retardo, además, se presenta un significativo cambio en el comportamiento simulado.
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Figura 44: Diagrama de Flujo Nivel Prototipo 4
La expresión que define un retardo tiene la siguiente forma: RETARDO(fuente de datos, tiempo de ajuste, orden, valor inicial) Los cuatro parámetros del retardo se definen mediante informaciones que le llegan de otros elementos del modelo y/o con valores numéricos directos, cada uno de la siguiente manera: Fuente de datos: corresponde a la información que se retarda y proviene de cualquier variable del modelo. Tiempo de ajuste: este valor puede digitarse directamente o corresponder a una información que llega al retardo proveniente de un parámetro. Este valor define el tiempo promedio que se demora la información de la fuente de datos en afectar plenamente la variable a la cual llega el retardo. En nuestro ejemplo corresponde al tiempo promedio para que una variación en la ración alimentaria (RA) se manifieste plenamente en la tasa de natalidad (TN). Orden: se define de la misma manera que el tiempo de ajuste, mediante un valor igual o mayor de 1. El orden es para mostrar cómo se manifiesta el retardo, este puede iniciar su manifestación inmediatamente se modifica su fuente de datos y poco a poco puede ir haciéndose más plena dicha manifestación o puede no manifestarse en nada el efecto durante un tiempo y luego iniciar su manifestación. Valor Inicial: corresponde al contenido del retardo antes de iniciar la simulación. Si no se escribe, el software Evolución asume un valor de cero. El siguiente modelo elemental (Figura 45) ilustra lo planteado con relación a cada uno de los parámetros de un retardo. Representa cuatro casos relacionando una causa con un efecto, uno sin retardo y los otros con retardo de orden 2,6,10; en todos los caso con un TA = 10 . (Figura 45). Además se simula un efecto que es igual a la causa, es decir, el efecto es igual
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en magnitud a lo que recibe del elemento causa, directamente (sin retardo) o a través del retardo.
Figura 45: Diagrama de flujo del modelo elemental para ilustrar el concepto de retardo
Al simular con los datos señalados se aprecia (Figura 46), que cuando no existe retardo el efecto es igual a la causa tanto temporalmente (en el mismo tiempo) como en su magnitud. Cuando el orden es 2, el efecto se manifiesta a la tercera iteracción y lentamente se va incrementando hasta el efecto pleno; en el caso de orden 6, se demora en manifestarse inicialmente, para luego rápidamente llegar a su máximo y en el caso de orden 10, se demora exactamente 10 unidades en manifestarse plenamente, es decir, es como el caso de sin retardo pero desplazada 10 unidades y con un ∆t =1 este caso corresponde al orden máximo.
Figura 46: Relación causa efecto, sin y con retardos de diferente orden
Existe una restricción que debe respetarse al definir un retardo así: O