PLAN DE REFUERZO

COLEGIO BETHLEMITAS

PERIODO:  Dia 25 Mes 03 Año 2015 Fecha: META DE COMPRENSIÓN: La estudiante desarrolla comprensión sobre las características de localización de objetos geométricos en AREA: Matemáticas sistemas de representación cartesiana. DOCENTE: Yeiler Córdoba Asprilla

ASIGNATURA: Geometría

NOMBRE ESTUDIANTE:

Nº

GRADO: 10º

OBSERVACIONES Y RECOMENDACIONES: El siguiente plan de refuerzo contiene la ejercitación básica de los tópicos desarrollados durante el período. Se debe tener en cuenta para su realización las guías de desarrollo e informativa trabajadas, los apuntes de clase, las guías de control corregidas y los referentes bibliográficos que encontrará al final del plan. La metodología bajo la cual se desarrollará este consiste en el desarrollo guiado -por el docente. La participación en la jornada de retroalimentación y el desarrollo del plan de refuerzo equivale al 20% del porcentaje total de la nota de recuperación. (El estudiante debe presentarse a la retroalimentación con su respectivo plan de refuerzo impreso), la asistencia a dicha retroalimentación será de obligatorio cumplimiento para todos los estudiantes que hayan reprobado alguna de las asignaturas. Si el estudiante no se presenta a la jornada de retroalimentación, se asume como juicio valorativo 1.0 y se deja constancia en el anecdotario en “Atención especializada”. (SIEE Art 2, Nota 2) 2. IDENTIFICACIÓN DE TÓPICOS Distancia entre dos puntos Punto medio de un segmento de recta Pendiente de recta Ecuación general de la recta Ecuación de la recta punto pendiente Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Rectas paralelas y perpendiculares en el plano Ecuación de la circunferencia. 3. DESARROLLO CONCEPTUAL

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: Dados dos puntos del plano A=(x1,y1) y B=(x2,y2), se determina la distancia entre estos dos puntos a través de la fórmula:

d = 5 unidades Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

PUNTO MEDIO: Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son: A(x 1 ,y 1 )

B(x 2 , y 2 ), como lo muestra la imagen:

Las coordenadas del punto medio (m) de un segmento coinciden con la semisuma de las coordenadas de los puntos extremos.

Pendiente: la pendiente de una recta es una propiedad que indica el cambio relativo entre los incrementos en el eje y y el cambio asociado en el eje x. dicho de otro modo, es la razón que hay entre el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal entre dos puntos cualesquiera de la misma recta

Para encontrar la pendiente de una recta utilizamos la siguiente formula: ( )

Ejemplo: Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB. A(3,9) , B(-1,5) Solución: reemplazando en la formula tenemos:

Entonces el punto medio es: Pm (1,7)

Para cualquier triangulo rectángulo formado, la razón entre los catetos corresponde a la razón entre el desplazamiento vertical y horizontal esto es: 𝑦 𝑥

𝑦 𝑥

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃

Por lo anterior, la pendiente corresponde a la tangente del ángulo ( ) es decir: m Ejemplo:

Ahora encontremos el ángulo de inclinación

Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos p1(2,5) p2(6,-1) se halla la razón:

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA La ecuación general de una recta es una expresión de la forma Ax+By+C=0, donde A, B y C son números reales. La pendiente de la recta es el coeficiente de la x una vez puesta en forma explícita (es decir,despejada y):

La pendiente es: m = -A/B Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y − 7 = 0. Solución: despejando y de la ecuación tenemos:

La

ecuación

forma:

se

ajusta

por lo tanto

a

la

ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE: Un tipo de ecuación lineal es la forma puntopendiente, la cual nos proporciona la pendiente de una recta y las coordenadas de un punto en ella. La forma punto-pendiente de una ecuación lineal se escribe como . En ésta ecuación, m es la pendiente y (x1, y1) son las coordenadas del punto. Ejemplo: Encontrar la ecuación de la recta. Que pasa por el punto (1, 3) y tiene una pendiente de -1/2 Solución: reemplazando

en

la

ecuacion

tenemos: (

)

R/ ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación. Para ello tomemos un tercer punto R(x,y), también pertenciente a la recta. Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea

y Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

Reemplazando

en

la (

tenemos: (

ecuación )

)

La ecuación es:

RECTAS PARALELAS. Las rectas paralelas son dos o más rectas en un plano que nunca se intersectan Dos rectas no verticales en un plano son paralelas si tienen:  

La misma pendiente Distintas intersecciones en y

Cualquier par de rectas verticales en un plano son paralelas. Problema: Encontrar la pendiente de una recta que es paralela a la recta y = −3x + 4.

que también se puede expresar como

Ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1,2) y Q(3,4) Solución:

La recta dada se escribe como y = mx + b, con m = −3 y b = 4. La pendiente es −3. Identifica la pendiente de la recta dada. Respuesta: La pendiente de la recta paralela es −3 Ejemplo dos: Determina si las rectas:

y = 6x + 5 y y = 6x – 1 son paralelas. Solución: La recta dada se escribe como y = mx + b con m = 6 para la primera recta y m = 6 para la segunda recta. La pendiente de ambas rectas es 6, por lo tanto, las rectas son paralelas.

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (recordar que estamos hablando del Plano Cartesiano y es respecto a éste que trabajamos). Determinación

de

una

RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas no verticales son perpendiculares si la pendiente de una es el recíproco negativo de la pendiente de la otra. Si la pendiente de la primera ecuación es 4, entonces la pendiente de la segunda ecuación será -1/4 porque las rectas son perpendiculares. También puedes probar las pendientes para ver si las rectas son perpendiculares multiplicando las dos pendientes. Si son perpendiculares, el producto de las pendientes será −1. Problema Encontrar la pendiente de la recta perpendicular a la recta y = 2x – 6 La recta dada se escribe como y = mx + b, con m = 2 y b = -6. La pendiente es 2. La pendiente de perpendicular es -1/2

la

recta

Observa que el producto, lo que significa que las pendientes son perpendiculares. Ecuación de la circunferencia

circunferencia Una queda cuando conocemos:    

circunferencia determinada

Tres puntos de la misma, equidistantes del centro. El centro y el radio. El centro y un punto en ella. El centro y una recta tangente a la circunferencia.

También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro. para cualquier punto, P (x, y), de una circunferencia

cuyo centro es el punto C (a, b) y

Ejemplo: Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto 6,3 y cuyo centro se encuentra en C(0,0). con radio r─, la ecuación ordinaria es (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

Calcular el perímetro del triángulo cuyos vértices son: a) A(3, 4), B(-5, 1), C(2, -3) b) E(5, 6), F(-3, 4), G(0, -7) 4. Hallar las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son: a) P(4, 6), Q(8, 2) b) R(-3, -5), S(-7, -1) c) A(2, 8), B(3, -1) 1. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos: a) P(3, -5); Q(4, 6) b) A(-7,1); B(-8, -10)  1 4 c) F  ,   ;G  13,2 43  3 5 d) H 5,2 3  ;K  4 3  1, 5  3  3.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto y la pendiente indicada: a) P(-2, 3); m = -4 b) Q(1, -6); m = 2 3 2 1 c) R  ,   ;m   8 7 3 3. Encontrar la ecuación de la recta definida por los pares de puntos: a) G(7, 9); L(-3, 6) b) H(1, -2); J(-6, -3)  1 6  3  c) A  ,  ;B  1,  2 5  4 4. Calcular la pendiente de una recta perpendicular a otra recta cuya pendiente es: a) 3 2 b) 5 3 c)  4 2.

4. Ejercitación Hallar la distancia entre los siguientes puntos: a) P(7, 3), Q(4, -1) b) P(2, 4), Q(5, 6) c) A(-8, 4), B(-5, -10) 2. Hallar el valor de la incógnita sabiendo que: a) P(7, -4), Q(x, 1), D=5 b) H(x, 2), J(-5, -6), D=10 c) K(6, 9), L(-3, y), D=15 d) R(7, y), S(10, 4), D= 58 1.

a b 5. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P y es paralela a la recta indicada. a) P(1, -2); y = 3x-4 2 b) P(4, -6); y = x1 3 x 1  c) P  ,3  ;y   4 5 5  x y d) P  1,8  ;y    5  x 2 3 y x 2  e) P  ,4 73  ;   1  6  x 7  5 4 6. Realizar el problema anterior suponiendo que las rectas son perpendiculares. 7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, -9) y es paralela a la recta que pasa por los puntos A(4, -5); B(8, 2). 8. Encontrar la ecuación de la recta R1 que es perpendicular a la recta R2 en el punto P(3, -10) y R2 pasa por el punto Q(-2, 6). 9. Encontrar la pendiente y los interceptos con los ejes de la recta: a) y = 5x + 6 b) 3y – 1 = x c) 2x + y = x + 3 d)

5x + 6y = y – x y y e) x 7 3 2 10. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –4 y que pasa por el punto de intersección de las restas 3x – 2y + 9 = 0 y 2x + y – 8 = 0. 11. Encontrar las ecuaciones de los lados del triángulo cuyos vértices son los puntos: A(1, 2); B(3, -4); C(5, 6). 12. Determinar las ecuaciones de las circunferencias que se muestran a continuación. d)

5. METODOLOGÍA DE ESTUDIO PROPIA DE LA ASIGNATURA

1. Lea e interprete los enunciados de los ejercicios. 2. Seleccione los datos que le proporciona el enunciado y que sirven para solucionar el ejercicio. 3. Determine los datos que debe hallar y el procedimiento que debe seguir. 4. Realice el algoritmo o procedimiento que debe seguir para la solución del ejercicio. 5. Verifique que el procedimiento realizado este correcto.

6. Escriba claramente la respuesta con su procedimiento. 6. BIBLIOGRAFÍA:  URIBE CÁLAD, Julio Alberto y ORTIZ DÍEZ, Marco Tulio. Matemática experimental geometría 8º. Medellín: Uros editores, 2006. Páginas 67 – 73. OBONAGA G. Edgar, PEREZ A. Jorge y CARO M. Victor E. Matemáticas 3: álgebra y geometría. Cali: Pime Ltda. Editores, 1984. páginas 330 – 335.  SERRANO DE PLAZAS, Nelly. Conexiones Matemáticas 9º. Bogotá: Editorial Norma, 2006. páginas 114 – 116.