Ejercicios Planteamiento de Problemas Ejercicio 1: Una empresa desea planificar su producción para la próxima semana. Esta empresa produce un producto envasado en tres tamaños diferentes, de 120 gramos; de 200 gr y de 360 gr. En la bodega dispone de 3 toneladas del producto a envasar. No puede producir más de él, debido a que requiere de un proceso de cocción lento. El otro insumo para el envasado son los envases vacíos de cada tipo. Hoy se tienen 3000 envases de 120 gr; 2000 de 200 gr y 1500 de 360 gr. La única máquina que posee la empresa trabaja 20 horas al día de lunes a viernes; 12 horas los sábados y 8 horas los domingos. Para envasar los productos se requiere de 1 minuto para el envase de 120 gr; 2 minutos para el de 200 gr; y 4 minutos para el de 360 gr. Se tiene comprometida una venta de 300 unidades de envases de 200 gr a un conocido supermercado. Cada unidad del envase de 120 gr genera un ingreso neto de $25; el de 200 gr un ingreso neto de $50; el de 360 gr un ingreso neto de $110. • Plantee el problema matemático que permita realizar la planificación de producción • Si un proveedor le ofrece envases de 120 gr vacíos a un precio de $1 cada uno, describa lo que haría para determinar si le conviene comprarlos o no. Ejercicio 2: Un granjero desea determinar cuál es la mejor selección de ganado para su granja, con el objeto de maximizar las utilidades provenientes de las ventas de los animales al final del verano. Puede comprar ovejas, reses o cabras. Cada oveja necesita 0.5 Há de pastura y $15 de alimentación y tratamiento. Una oveja cuesta $25 y puede venderse en $60. Para las reses, estos valores son 2 há, $30, $40, $100. Y para las cabras estos valores son 0.25Há, $5, $10 y $20. La granja tiene 150 Há y el granjero dispone de $2500, para comprar y mantener su ganado. Por condiciones de explotación no es recomendable que existan cabras sin haber reses, luego se define la proporción: por cada 5 cabras deben haber al menos 2 reses. 1) Plantee el problema de programación lineal 2) Resuelvalo y responda: ¿Cuántas unidades (animales) según su tipo se recomienda comprar? ¿Cuántas hectáreas no se usan? ¿Cuánto dinero sobraría, después de los gastos reales? 3) ¿Alcanzaría el dinero para comprar un animal más?, ¿Lo recomendaría? (Justifique) Ejercicio 3: Una empresa elabora 3 tipos de productos perecibles, por lo tanto no puede sobrepasar la demanda en más de 1

40%. Los productos se elaboran en base a tres materias primas de acuerdo a la siguiente tabla:

MP1 MP2 MP3 Peso Kg.

P1 10% 30% 60% 0.25

P2 20% 50% 30% 0.15

P3 10% 20% 70% 0.3

Costo por KG 80 120 40

Disp. Inmed. e ilimit. No más de 400 Kg. Por periodo Inmed. e ilimit.

La posición de la empresa es satisfacer cuando menos la demanda y quisiera planificar su producción para los siguientes cuatro periodos maximizando los beneficios. Los productos son fabricados por dos maquinas y tiene un precio de venta según la siguiente tabla: P1 Maq. 1 10 min Maq2. 5 min Precio de vta. Unid. 25

P2 15 min 30

P3 5 min 5 min 40

Disp. Por periodo Costo por hora 200 horas 25 150 horas 45

La demanda para los siguientes cuatro periodos es: Periodos 1 2 3 4

P1 en Kg. 5 8 20 10

P2 en Kg. 10 12 5 10

P3 en Kg. 2 5 5 10

1) Plantee el problema de programación lineal Ejercicio 4: En una empresa se fabrican 3 productos: A, B y C. La empresa tiene una sola máquina para producir los tres artículos. Para producir una unidad de A se requieren 10 horas, para B 15 horas y para C 8 horas. La máquina puede producir durante 200 horas. Cada mes en tiempo normal y 400 horas extra. El costo de producir una unidad de A es 1 UF en horas normales y 1.5 UF en horas extra. Para B los costos son de 1 UF y 3 UF, para C de 2 UF y 3UF respectivamente. El costo de almacenar cualquier articulo de un mes al siguiente es de 0.1 UF por unidad. Actualmente no hay ningún artículo en bodega. La demanda estimada para cada mes se muestra en la siguiente tabla: Mes 1 2 3 4

A 10 15 12 15

B 20 22 24 22

C 10 12 15 20

Plantee el problema de programación lineal que permita conocer que cantidad de cada artículo se debe producir para cada mes, separando en horas, de forma de minimizar el costo total. Ejercicio 5:

2

Una empresa produce televisores de tres tamaños diferentes, pequeños, medianos y grandes. El precio de venta de cada uno de ellos es de $100, $120 y $150, respectivamente. La empresa posee una sola máquina que permite fabricar los tres tipos de TV. Para el tamaño pequeño requiere de media hora por TV; para el mediano 1 hora por TV; para el grande 1.5 hora por TV. El costo de operación de máquina es de $40. La principal materia prima a utilizar son unos componentes electrónicos que deben ser comprados con anterioridad. El nivel actual de stock es de 1000 unidades y no puede ser modificado. Cada componente tiene un costo de $3. El TV pequeño requiere de 3 componentes, el mediano 3 y el grande 5. Se desea determinar el plan de producción óptimo para el próximo mes. Durante el próximo mes se trabajan 200 horas. Considere que toda la producción puede ser vendida independiente del tamaño. Ejercicio 6: Una empresa constructora posee un terreno de 10000 metros cuadrados donde planea construir una casa de 80, 100 y 140 metros cuadrados. El costo de construcción de la casa es de 2500, 3000 y 3600 UF respectivamente. Por motivos legales, cada casa debe ocupar un terreno de al menos el doble de su construcción. La empresa cree que puede vender las casas en 2700, 3300 y 4100 UF respectivamente. Por motivos comerciales la empresa cree que no puede vender más de 5 casas de 140 metros cuadrados. El presupuesto de la construcción es de 150000 UF Ejercicio 7: Suponga que usted tiene cuatro proyectos de inversión (P1, P2, P3, P4). Sean los Ingresos y costos asociados a cada uno los siguientes: Proyecto 1 2 3 4

Ingresos 400 300 500 300

Costos 150 100 200 110

Usted dispone de $400 y sabe que no puede realizar los proyectos en forma parcial. Además se sabe que el proyecto 3 será posible sólo si se hace el 2 y que el proyecto 1 será posible si se lleva a cabo el 2 o el 4. Plantee el problema de programación lineal. Ejercicio 8: Usted desea aplicar los conocimientos adquiridos de programación binaria para definir su carga académica para el próximo semestre. La tabla siguiente muestra información de los ramos que pueden ser elegidos, los créditos que entrega cada ramo, el tiempo requerido para aprobarlos y la cantidad de vacantes en cada uno de ellos. Ramo A B

Créditos 10 10

Tiempo 8 7

Vacantes 40 30 3

C D E F G H I J K L

8 10 6 6 6 10 8 8 10 6

5 9 3 2 4 6 3 4 4 2

45 35 40 25 30 20 10 15 10 20

Usted dispondrá de 30 horas para dedicar al estudio el próximo semestre. Se puede tomar un máximo de 5 ramos. El ramo E fue aprobado este semestre, por lo cual debe tomarlo El ramo C se imparte por última vez el próximo semestre Los ramos G y E se imparten en el mismo horario Los ramos A y B también tienen tope de horario Los ramos H y F son ambos prerrequisitos de un ramo posterior y deben ser tomado ambos en conjunto o ninguno de ellos El ramo L va a ser impartido por un profesor que le tiene mala barra, por lo cual no lo tomará el próximo semestre. Plantee el problema de programación lineal que le permita tomar la decisión optima. Ejercicio 9: Suponga que tiene los proyectos P1, P2, P3 y el retorno por cada uno de ellos es de MM$ 25; 20 y 30 respectivamente. Por otra parte se sabe que cada proyecto tiene una inversión de MM$ 15; 10 y 20 con un capital disponible total de MM$ 40 Plantee el problema de programación entera binaria si usted sabe que se debe realizar a lo menos 2 proyectos y que si hace el P1 no puede hacer el P3 y por ultimo por un asunto estrategico debe realizar P2. Ejercicio 10: Chile desea enviar un equipo de basketball a un campamento sudamericano. Se puede elegir a 9 de 11 seleccionados. Se busca escoger la combinación más apropiada maximizando los puntos del equipo que viajará, sujeto a varias restricciones. • Debe haber cuando menos tres defensas (Posición G) • Debe haber cuando menos tres delanteros (Posición F) • Debe haber cuando menos dos medio campo (Posición C) • Si va Pedro entonces Tomás debe quedarse y viceversa. 4

• Si va Reimundo entonces, el entrenador lleva a Benjamín, pero no necesariamente al contrario. Número Nombre Posición 1 Santiago C 2 Pedro C 3 Tomás C 4 Benjamín F 5 Reimundo F 6 Claudio F 7 Carlos G 8 Horacio F 9 Ignacio G 10 Felipe G 11 Jaime G Plantee el problema de programación binaria que lo resuelve.

Puntos por juego 12 9 8 15 10 5 20 18 12 7 2

Ejercicio 11: La Fábrica de agua mineral Aguita Fresca, ha decidido optimizar la producción de sus tres productos, X, Y, Z, los que se pueden vender en $50, 80 y 60 cada cajón respectivamente, se sabe que todos estos productos deben pasar por el Departamento de llenado el cual tiene 15 horas para repartir entre los tres productos; los que utilizan 3,2 y 1 hora respectivamente en la fabricación de cada cajón. Por otro lado el departamento de Marketing obliga a efectuar al menos 20 promociones en los supermercados para no perder posicionamiento en el mercado, se sabe por experiencia que cada cajón que se fabrique utilizará 1, 5 y 4 promociones respectivamente para ser vendido. Finalmente se cuenta con 60 horas como máximo de mano de obra, sabiendo que cada cajón X utiliza solo 1, Y no utiliza y Z utiliza 5. Se le pide responder las siguientes preguntas sabiendo que la restricción a los supermercados es inactiva. • Plantear el problema de programación lineal • Resolver el problema por medio del método simplex • ¿Cuántos cajones y de que tipo optimizan la producción de Agüita Fresca? • Si le ofrecieran venderle una hora extra del departamento de llenado ¿Cuánto pagaría? Ejercicio 12: La empresa PAV se dedica a la fabricación de dos productos A y B. Los inputs necesarios en el proceso productivo por cada unidad fabricada son los siguientes:

Producto A B

Mat. Prima

Precio de Venta

(u.f./u) 2 4

(u.m./u) 550 900

Mano de Obra (h.h./u) 3 1

5

La materia prima para ambos productos se adquiere a un proveedor capaz de suministrar hasta 800 unidades físicas a un precio de 200 u.m./u.f. La planilla de la firma supone una disponibilidad para el periodo de 600 horas efectivas de trabajo. Exigencias contractuales obligan a la empresa a fabricar una cantidad mínima de 50 u.f. del producto A. A partir de la información anterior se pide: • Plantear el modelo de programación lineal que determina el plan óptimo de producción. ¿Cuánto fabrica la empresa por cada producto? • De acuerdo a la pregunta anterior, determine el menor y mayor precio del producto A, para que su fabricación sea rentable y no cambie su nivel de producción. Ejercicio 13: Un fabricante de Whisky combina dos tipos de licores (A y B) para la fabricación de éste y los prepara de acuerdo a las siguientes especificaciones: Whisky Blue Dog Highland Funny Girl

Especificación 60% A y 40% B 50% A y 50% B 45% A y 55% B

Precio Venta ($/Lt.) $ 15,80 $ 17,5 $ 15,35

Las cantidades disponibles de cada uno y sus costos son: Licor A B

Cantidad (Lt/dia) 2000 1500

Costo Unitario ($) $7 $4

Se pide: • Plantear el problema de programación lineal que determine la producción y los tipos de mezcla que maximice las utilidades • Determinar el beneficio diario que obtiene el productor a través del método simplex Ejercicio 14: ENDESA cuenta con un parque generador de electricidad compuesto por catorce centrales distribuidas a lo largo del Sistema Interconectado Central (SIG), que totalizan 2.000 MW de potencia. EN la VI región existen dos plantas (Rapel y el Suazal) que generan 120 y 80 MW respectivamente. Dicha potencia es distribuida a los clientes EMEL, CGE y COOPERATIVA LOS ANGELES que demandan 100, 70 y 30 MW, respectivamente. Los costos unitarios de distribución (miles de US$ por MW) de las plantas a los centros de distribución son los siguientes:

RAPEL SAUZAL

EMEL

CGE

14 12

13 13

COOPERATIVA LOS ANGELES 11 12 6

Se pide: Formular el problema de programación lineal que minimice el costo total para las plantas de la VI región, de forma tal que satisfaga toda la demanda de sus clientes. Ejercicio 15: En vísperas del 18, un administrador de fondos desea producir dos tipos de tragos, los denominados Jote y Navegado. Cada producto es caracterizado por el sabor, grado alcohólico y la cantidad de vino tinto, coca−cola y jugo de naranja que contiene. Producto

Especificación No menos del 70% de vino tinto

Precio por litro $ 1.000

JOTE No más del 30% de coca−cola No más del 65% de vino tinto NAVEGADO

$ 1.200

No menos del 35% de jugo de naranja

Las cantidades de los ingredientes son los siguientes: Producto Vino tinto Coca−Cola Jugo de Naranja

Máxima Cantidad Disponible 20.000 3.000 8.000

Costo por litro $600 por litro $400 $360

Se pide: • Plantear el problema de programación lineal que determina la producción y maximiza la utilidad. • Determinar las cantidades a producir a través del método simplex. • Cuales son las cantidades de Combinado y Jote que maximizan la utilidad, si el administrador producto de la demanda decide aumentar el precio de éste último en un 30%. Ejercicio 16: Una empresa tiene 2 fábricas para abastecer el mercado, la tabla muestra los costos por cada barril y la demanda en cada ciudad. Fábrica Cerveza Fábrica A Fábrica B Demanda

Ciudad 1 21 10 200

Ciudad 2 15 14 250

Ciudad 3 18 16 400

Ciudad 4 9 23 350

Oferta 550 650

• Plantee el problema de programación lineal que minimice los costos. Ejercicio 17: La tabla indica el flujo de una red de gas líquido a ser transportado e indica la capacidad máxima a ser bombeada desde la ciudad con un número menor a la ciudad denotada con un número mayor. 7

Litros

1

2

3

4

5

6

7

8

9

8