DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATO

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS 1 B 2

a

5

a/2

L4

M

4

b

3

A

a/2

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

DOS POLÍGONOS SON EQUIVALENTES CUANDO MANTIENEN LA MISMA ÁREA

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

TRIÁNGULOS EQUIVALENTES ENTRE SÍ

altura (h)

C

A

base

B

El área de un cuadrilátero es base x altura

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

h

TRIÁNGULOS EQUIVALENTES ENTRE SÍ

Todos los triángulos que tienen la base común y el tercer vértice sobre una recta paralela a esa base son equivalentes, ya que tienen la misma base y la misma altura, y por tanto, la misma área.

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

EQUIVALENCIA ENTRE TRIÁNGULO Y RECTÁNGULO C

altura (h)

altura (h)

D

E

A

base

B

A

base

El área de un cuadrilátero es base x altura, mientras que la del triángulo es base x altura / 2.

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

EQUIVALENCIA ENTRE TRIÁNGULO Y RECTÁNGULO

C Si tomamos una de las bases del triángulo y hallamos la mediatriz de su altura M

A

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

EQUIVALENCIA ENTRE TRIÁNGULO Y RECTÁNGULO

C Obtendremos la medida del lado menor de un rectángulo que tiene como lado mayor la base del triángulo

E

A

M

D

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

EQUIVALENCIA ENTRE TRIÁNGULO Y RECTÁNGULO

C Obtendremos la medida del lado menor de un rectángulo que tiene como lado mayor la base del triángulo

E

D

A

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

EQUIVALENCIA ENTRE TRIÁNGULO Y RECTÁNGULO

C Obtendremos la medida del lado menor de un rectángulo que tiene como lado mayor la base del triángulo

E

A

M

D

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN RECTÁNGULO DADO

A

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN RECTÁNGULO DADO

A

C

B

b

a/2

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN RECTÁNGULO DADO

A

b

M

EDIATRIZ AC

C

B

a/2

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN RECTÁNGULO DADO

L4

A

b

M

EDIATRIZ AC

C

B

a/2

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN RECTÁNGULO DADO

L4

A

b

M

EDIATRIZ AC

C

B

a/2

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO EQUIVALENTE A UN POLÍGONO DADO

E

D F C

A

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO EQUIVALENTE A UN POLÍGONO DADO

E

D F C

A

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO EQUIVALENTE A UN POLÍGONO DADO

E

D

C

A

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO EQUIVALENTE A UN POLÍGONO DADO

E

D

C

A

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO EQUIVALENTE A UN POLÍGONO DADO

D

C

A

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO EQUIVALENTE A UN POLÍGONO DADO

D

C

A

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO EQUIVALENTE A UN POLÍGONO DADO

C

A

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO EQUIVALENTE A UN POLÍGONO DADO

C

A

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN PENTÁGONO REGULAR

1 2

5

4

3

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN PENTÁGONO REGULAR

1 2

5

4

3

Primero transformamos el pentágono en el triángulo equivalente 1-M-A mediante las paralelas 5-M y 2-A a las diagonales 1-4 y 1-3 del pentágono

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN PENTÁGONO REGULAR

1 2

5

4

3

Primero transformamos el pentágono en el triángulo equivalente 1-M-A mediante las paralelas 5-M y 2-A a las diagonales 1-4 y 1-3 del pentágono

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN PENTÁGONO REGULAR

Primero transformamos el pentágono en el triángulo equivalente 1-M-A mediante las paralelas 5-M y 2-A a las diagonales 1-4 y 1-3 del pentágono

1 2

5

M

4

3

A

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN PENTÁGONO REGULAR

Teniendo el triángulo, a partir del mismo se obtiene el cuadrado equivalente: L2 = b · a/2

1 2

Basta construir la MEDIA PROPORCIONAL entre la base (b) y la mitad de la altura del triángulo (a/2)

a/2

a

5

M

4

b

3

A

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN PENTÁGONO REGULAR

1 2

a/2

a

5

M

4

b

3

A

a/2

Para construir la MEDIA PROPORCIONAL entre la base (b) y la mitad de la altura del triángulo (a/2), 1º: sumamos en un segmento b + a/2

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN PENTÁGONO REGULAR

1 2

a/2

a

5

M

4

b

3

A

a/2

2º: Trazamos la semicircunferencia de centro O y diámetro b+a/2

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN PENTÁGONO REGULAR

1 B 2

a

5

a/2

L4

M

4

b

3

A

a/2

2º: Levantamos una perpendicular en A (la unión de b+a/2), que cortará a la semicircunferencia trazada en el punto B AB = L4, lado del cuadrado resultante

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EQUIVALENTE A UN PENTÁGONO REGULAR

1 B 2

a

5

a/2

L4

M

4

b

3

A

a/2

3º. Una vez tenemos L4, podemos construir el cuadrado completo

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CUADRATURA DEL CÍRCULO Construir el cuadrado equivalente al círculo dado 1er PROCEDIMIENTO

O

Este problema no es exacto, porque interviene en el área el número inconmesurable . Sin embargo, se puede obtener graficamente con bastante aproximación. El área del círculo es r2 y la del cuadrado buscado es L2 . Igualando las dos superficies tenemos que r 2 = L2 , o lo que es 2 igual: L =r · r. Por tanto el lado del cuadrado es media proporcional entre los segmentos r y r

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CUADRATURA DEL CÍRCULO Construir el cuadrado equivalente al círculo dado 1er PROCEDIMIENTO

r

Q R O

A P

N

r

Primero, calculamos r, que es la rectificación de la semicircunferencia (suma de PR y PQ)

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CUADRATURA DEL CÍRCULO Construir el cuadrado equivalente al círculo dado 1er PROCEDIMIENTO

r

Q R O

A

M

r

P

N

r

A r le sumamos r para hallar la media proporcional de ambos segmentos. Luego trazamos la semicircunferencia de diámetro r +r (tenemos que trazar la mediatriz de MN para calcular el centro).

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CUADRATURA DEL CÍRCULO Construir el cuadrado equivalente al círculo dado 1er PROCEDIMIENTO

r

Q R

L

O

A

M

r

P

N

r

La media proporcional de r y r (calculada en este caso por el teorema de la altura), es L, lado del cuadrado equivalente a la circunferencia dada.

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CUADRATURA DEL CÍRCULO Construir el cuadrado equivalente al círculo dado 1er PROCEDIMIENTO

D

C

r

Q R

L

B

O

A

M

r

P

N

r

Teniendo L4, podemos trazar el cuadrado ABCD, solución del problema

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CUADRATURA DEL CÍRCULO Construir el cuadrado equivalente al círculo dado 2º PROCEDIMIENTO

O

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CUADRATURA DEL CÍRCULO Construir el cuadrado equivalente al círculo dado 2º PROCEDIMIENTO B

O

A

Determinamos el diámetro AB y trazamos una perpendicular en B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CUADRATURA DEL CÍRCULO Construir el cuadrado equivalente al círculo dado 2º PROCEDIMIENTO B

O 1

A

Dividimos el radio OA en 6 partes iguales

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CUADRATURA DEL CÍRCULO Construir el cuadrado equivalente al círculo dado 2º PROCEDIMIENTO N

B

O 1

2 AB

A A

Con centro en la división 1 y radio igual al doble del diámetro de la circunferencia, describimos un arco que corta a la perpendicular por B en el punto N

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CUADRATURA DEL CÍRCULO Construir el cuadrado equivalente al círculo dado 2º PROCEDIMIENTO N

B

O 1

2 AB

C A A

Unimos N y A con una recta que corta a la circunferencia en el punto C

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CUADRATURA DEL CÍRCULO Construir el cuadrado equivalente al círculo dado 2º PROCEDIMIENTO N

B

O 1

2 AB

C A A

El segmento CB es el lado del cuadrado equivalente a al círculo dado

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CUADRATURA DEL CÍRCULO Construir el cuadrado equivalente al círculo dado 2º PROCEDIMIENTO N

B

O 1

2 AB

C A A

El segmento CB es el lado del cuadrado equivalente a al círculo dado

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CUADRATURA DEL CÍRCULO Construir el cuadrado equivalente al círculo dado

r

C

A

1

2

3

4

5

6

7 B

3r PROCEDIMIENTO

P

H 1.Dividimos el diámetro en 7 partes iguales, sacamos tres partes hacia afuera (arco A3 = C). Haciendo centro en la 4ª división, trazamos una semicircunferencia radio 4C que corta a r en P

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CUADRATURA DEL CÍRCULO Construir el cuadrado equivalente al círculo dado D

r

C

A

1

2

3

4

5

6

7 B

3r PROCEDIMIENTO

P

2. Si trazamos una perpendicular a r en B, al cortar la semicircunferencia obtenemos el punto D. La distancia BD es el lado del cuadrado equivalente.

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CUADRATURA DEL CÍRCULO Construir el cuadrado equivalente al círculo dado D

r

C

A

1

2

3

4

5

6

7 B

3r PROCEDIMIENTO

E

P

F

M

3. Trazamos el cuadrado equivalente DBFE

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.

C 1. Trazamos el triángulo de 50 mm de lado

A

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.

C 1. Trazamos el triángulo de 50 mm de lado

A

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.

C 2. El primer paso es calcular el CUADRADO equivalente al triángulo dado. Para ello, calcularemos primero el rectángulo equivalente. Primero, empezamos por hallar la altura del triángulo

h

A

D

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.

C 3. Hallamos la mediatriz de la altura h M

A

D

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.

C 4. Trazamos el rectángulo equivalente ABFE, que tendrá de base AB y de altura la mediatriz de la altura del triángulo

h E M

A

D

F

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.

C 5. Trazamos un arco BF sobre la prolongación de AB y obtenemos el punto G h E F

A

D

B

G

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.

C 6. Hallamos la mediatriz de AG y trazamos una semicircunferencia cuyo centro sea dicha mediatriz, y su radio MA o MG

h E F

A

D

M

B

G

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.

C 7. Prolongamos el lado BF del rectángulo hasta tocar la semicircunferencia en el punto H. BH será el lado del cuadrado que buscamos

H h E F

A

D

M

B

G

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.

C

K

8. Trazamos el cuadrado JBHK, equivalente al triángulo dado

H

E F

A

J

D

B

G

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.

C

K

9. Trazamos, coincidiendo con uno de los vértices inferiores del cuadrado, un rectángulo cualquiera que tenga sus lados en relación 1:2

H

E F M N 1

A

J

D

L

2

B

G

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.

C

K

10. A continuación, hallamos el cuadrado equivalente a dicho rectángulo. Para ello, empezamos por abatir el lado BM sobre la prolongación de LB. Así obtenemos el punto P

H

E F M N

A

J

D

L

B

P

G

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.

C

K

11. Hallamos la mediatriz de LP y trazamos una semicircunferencia con centro en O y radio OL o OP

H

E F M N

A

J

D

L

O

B

P

G

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.

C

K

12. Trazamos el cuadrado RBQS, equivalente al rectángulo LBMN

H

E F Q

S

M

A

J

D

N

T

L

R

O

B

P

G

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.

C

K

13. Ahora, mediante una semejanza, vamos a determinar un rectángulo semejante a LBMN que será la solución. Empezamos por trazar la recta BT (T es la intersección del cuadrado con el rectángulo) que cortará al cuadrado JBHK en el punto U

H U

E

F Q

S

M

A

J

D

N

T

L

R

O

B

P

G

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.

C

K

H U

E

14. Trazamos una paralela a la recta AB por el punto U, que cortará al lado BH del cuadrado en el punto V

V

F Q

S

M

A

J

D

N

T

L

R

O

B

P

G

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.

C

K

E

H U

X

15. Trazamos la recta BN que cortará a la recta anteriormente trazada en el punto X

V

F Q

S

M

A

J

D

N

T

L

R

O

B

P

G

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Calcula gráficamente el rectángulo cuyos lados están en la relación 1:2, equivalente al triángulo equilátero de 50 mm de lado.

C

K

E

H U

X

16. Teniendo los puntos BVX, tres vértices del rectángulo, ya podemos completar el rectángulo buscado BVXY

V

F Q

S

M

A

Y

J

D

N

T

L

R

O

B

P

G

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm

E

D

C

F

G

A

B

1. Se dibuja un triángulo GHE equivalente al hexágono ABCDEF dado. Para ello, primero bajamos el punto F en perpendicular a la prolongación del lado AB, y obtenemos el punto G.. Trazamos un arco de centro B y radio BG, con el que obtenemos el punto H

H

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm

E

V

D 2. BH será la base del triángulo. El vértice V lo podemos colocar en cualquier punto de la recta que pasa por E y D

C

F

G

A

B

H

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm

E

V

D 3. Se dibuja un triángulo GHV equivalente al hexágono ABCDEF dado

C

F

G

A

B

H

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm

E

V

D 4. Hallamos la mitad de la altura del triángulo trazado con anterioridad

h

F

C

M

G

A

B

H

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm

E

V

h

F

5. Si trazamos un rectángulo de igual base que el triángulo anterior y altura la media altura del triángulo, obtendremos un rectángulo equivalente al triángulo, y por tanto, equivalente al hexágono ABCDEF

D

C

I

M

G

A

B

H

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm

E

V

D

h

F

6. Ahora comenzamos a trazar el cuadrado equivalente al rectángulo, que será la solución del problema. Primero abatimos el lado menor del rectángulo sobre la prolongación de la base GH, y obtenemos el punto J

C

I

M

G

A

B

H

J

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm

E

V

D

h

F

7. Ahora trazamos la mediatriz de GJ para hallar el centro de la semicircunferencia que nos permitirá sacar la media proporcional entre GH y HJ

C

I

M

H

M

G

A

B

J

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm

E

V

D 8. Trazamos la semicircunferencia de centro M y radio MG o MJ

h

F

C

I

M

G

A

B

M

H

J

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm

E

V

D

h

F

K

C

I

M

H

9. Levantamos el segmento HK, que es la media proporcional entre GH y HJ y a su vez, el lado del cuadrado que buscamos

M

G

A

B

J

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja el cuadrado equivalente a un hexágono regular de lado 20mm

E

V

D

K

L

h

F

C

I

M

H

10. Dibujamos el cuadrado HKLN, solución del problema

M

G

A

N B

J

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm.

r

C

A

1

2

3

4 H

5

6

7 B

P

1. Comenzamos a calcular el cuadrado equivalente a la circunferencia. Para ello dividimos el diámetro en 7 partes iguales, sacamos tres partes hacia afuera (arco A3 = C). Haciendo centro en la 4ª división, trazamos una semicircunferencia radio 4C que corta a r en P

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm.

2. Si trazamos una perpendicular a r en B, al cortar la semicircunferencia obtenemos el punto D. La distancia BD es el lado del cuadrado equivalente.

D

r

C

A

1

2

3

4

5

6

7 B

P

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm.

3. Trazamos el cuadrado equivalente DBFE D

r

C

A

1

2

3

4

5

6

E

7 B

P M

F

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm.

D

r

C

A

1

2

3

4 H

5

6

E

7 B

P M

F

4. Para transformar el cuadrado en triángulo, hallamos la mitad del lado del cuadrado y trazamos una semicircunferencia con centro en la mediatriz M y radio MD. Así obtenemos los puntos G y H

G

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm.

5. Trazamos el arco FG, que corta al cuadrado en el punto I D

E

I

r

C

A

1

2

3

4 H

5

6

7 B

P M

F

G

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm.

J D

E

6. Trazamos el arco IF, y obtenemos el punto J en la prolongación del lado FE

I

r

C

A

1

2

3

4 H

5

6

7 B

P M

F

G

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm.

7. Trazamos por el punto J una paralela a r

J D

E

I

r

C

A

1

2

3

4 H

5

6

7 B

P M

F

G

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja un triángulo equivalente a un círculo de radio 15 mm.

K

J

D

E

8. Cualquier triángulo que hagamos con base HF y altura FJ será equivalente a la circunferencia dada

I

r

C

A

1

2

3

4 H

5

6

7 B

P M

F

G

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dados cuatro cuadrados cuyos lados miden 15, 20, 25 y 30 mm, dibuja el cuadrado que tiene por área la suma de todos ellos.

L 25

L 30

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dados cuatro cuadrados cuyos lados miden 15, 20, 25 y 30 mm, dibuja el cuadrado que tiene por área la suma de todos ellos.

L

20

L 25

L 30

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dados cuatro cuadrados cuyos lados miden 15, 20, 25 y 30 mm, dibuja el cuadrado que tiene por área la suma de todos ellos.

L

20

L 25

L 30

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dados cuatro cuadrados cuyos lados miden 15, 20, 25 y 30 mm, dibuja el cuadrado que tiene por área la suma de todos ellos.

L 15

L

20

L 25

L 30

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dados cuatro cuadrados cuyos lados miden 15, 20, 25 y 30 mm, dibuja el cuadrado que tiene por área la suma de todos ellos.

L 46,6

L 15

L

20

L 25

L 30

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja la circunferencia que tiene por área la suma de otras tres circunferencias de radio 10, 15 y 20 mm

C

R

R

20

m

m

A

B

15

mm

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja la circunferencia que tiene por área la suma de otras tres circunferencias de radio 10, 15 y 20 mm

C

M

A

R

B

15

mm

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja la circunferencia que tiene por área la suma de otras tres circunferencias de radio 10, 15 y 20 mm

D R 10

C

M

A

R

B

15

mm

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja la circunferencia que tiene por área la suma de otras tres circunferencias de radio 10, 15 y 20 mm

D

C M M

A

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm 1er PROCEDIMIENTO

B

O R

25

mm

A

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm 1er PROCEDIMIENTO

B

O

A

C

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm 1er PROCEDIMIENTO

B

O

A

C

D

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm 1er PROCEDIMIENTO

B

O

A

C

M

D

E

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm 1er PROCEDIMIENTO

F

B

O´ O

A

C

M

D

E

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm 2º PROCEDIMIENTO

B

O

A

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm 2º PROCEDIMIENTO

B

O

A

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm 2º PROCEDIMIENTO

B

O

A

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Dibuja el pentágono regular que tiene por área el doble de otro que tiene por radio 25 mm 2º PROCEDIMIENTO

B

O

A

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS Construir un rectángulo, uno de cuyos lados es el segmento AB, equivalente a un cuadrado de 45 mm de lado

A

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

Si igualamos las áreas del rectángulo que se busca y del cuadrado de lado 45 mm resulta:

AB · x = 45

45 mm

Construir un rectángulo, uno de cuyos lados es el segmento AB, equivalente a un cuadrado de 45 mm de lado

x

2

AB = 45 45 x De ahí deducimos que el lado desconocido del rectángulo, el lado x, es tercera proporcional entre los segmentos AB y 45mm

A

m

45

B

m

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

Teniendo la medida del lado mayor del rectángulo, ya lo podemos trazar

45 mm

Construir un rectángulo, uno de cuyos lados es el segmento AB, equivalente a un cuadrado de 45 mm de lado

x A

m

45

B

m

x

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN CÍRCULO EQUIVALENTE A UNA ELIPSE

D

A

O

C Tenemos que igualar las áreas de las dos figuras

r 2 = ab, por tanto r 2= a·b.

B

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN CÍRCULO EQUIVALENTE A UNA ELIPSE

b

D

O

A

B

a

C Hay que hallar la media proporcional entre los semiejes a y b de la elipse para obtener el radio r del círculo equivalente.

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN CÍRCULO EQUIVALENTE A UNA ELIPSE

b

D

N

O

A

B

b

a

C Para ello, podemos abatir b sobre el eje mayor 2a, haciendo centro en O. Así obtenemos el punto N

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN CÍRCULO EQUIVALENTE A UNA ELIPSE

b

D

N

O

A

O1

B

b

a

C Trazamos la circunferencia de radio NB (Consultar tercer procedimiento para hacer la media proporcional)

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN CÍRCULO EQUIVALENTE A UNA ELIPSE

b

D

O

A

r

N

O1

B

b

a

C Hallamos la tangente de O a la circunferencia trazada de O1. La tangente r es el radio de la circunferencia equivalente al óvalo dado

POLÍGONOS. EQUIVALENCIAS

CONSTRUCCIÓN DE UN CÍRCULO EQUIVALENTE A UNA ELIPSE

b

D

O

A

r

N

O1

B

b

a

C Hallamos la tangente de O a la circunferencia trazada de O1. La tangente r es el radio de la circunferencia equivalente a la elipse dada