POLÍGONOS REGULARES El término con el que los griegos denominaban los principios que representaba el círculo era MÓNADA, derivado de Menein (ser estable) y Monas (unicidad). La circunferencia es la línea que encierra la mayor superficie con el perímetro menor posible. Los filósofos, a partir de la observación de que el resultado de multiplicar el uno por sí mismo, por muchas veces que se realice, siempre es uno, se plantearon que la forma de convertirse en una cantidad mayor tiene que ser a través de la REFLEXIÓN.

La Reflexión es una transformación geométrica, en la que un elemento gira en el espacio alrededor de un eje, que se llama EJE DE SIMETRÍA, hasta situarlo enfrentado a sí mismo.

A B

A’ B’

C

C’ D=D’

La DÍADA, considerada el principio de la dualidad, en la metáfora aritmética, supone la puerta que permite acceder del uno a los muchos. Es la duplicación del uno. Como la circunferencia representa la unidad, la díada se representa por dos circunferencias (una reflejo de la otra).

Al ser el uno y el dos los generadores de los otros números, el tres se debe derivar de ellos, por lo que lo representa la TRÍADA, el triángulo equilátero que se forma naturalmente a partir de la díada. Es el polígono que tiene el mayor perímetro en relación con el área menor. El tres es el único número que se consigue con la suma de todos los inferiores a él (1 + 2 = 3). El resultado de su suma con estos mismos números inferiores es igual al resultado de su producto (1 + 2 + 3 = 6; 1 x 2 x 3 = 6). Para los flósofos antiguos, la tríada simbolizaba relación y equilibrio; en todo el mundo, el triángulo simboliza la divinidad. Al extender el triángulo hasta cortar las circunferencias que forman la díada y unir estos puntos entre sí, tenemos un triángulo de lado doble del anterior que engloba cuatro triángulos como éste.. Si trazamos paralelas a sus lados hasta cortar de nuevo las circunferencias, conseguimos formas Hexagonales. Por lo tanto, podemos considerar al hexágono regular como yuxtaposición de triángulos equiláteros con vértices que comparten un punto. Este punto es el centro de la Monáda que lo contiene. El Triángulo y el hexágono están íntimamente relacionados.

La TÉTRADA se puede construir a partir de la díada, al dibujar una perpendicular a ella por su punto medio, representar la circunferencia con centro en el corte de estas dos líneas que pase por los extremos de la díada (centros de las dos circunferencias). La unión de las intersecciones de esta circunferencia con las líneas perpendiculares forma un cuadrado.

La PÉNTADA es una estrella de cinco puntas, que aparece inscrita en el mismo círculo de la tétrada. El pentagrama es el símbolo de la péntada más utilizado; esta figura servía a los pitagóricos como símbolo secreto para reconocerse, lo consideraban el símbolo dela perfección. Su estudio se mantenía en secreto: sólo se transmitían sus relaciones y propiedades de forma oral. El diseño de las catedrales góticas explota a menudo las relaciones proporcionales derivadas de la estructura de la péntada, pero el secreto se transmitía de maestros a discípulos dentro de los gremios artesanos, de forma que no ha quedado nada escrito sobre ella hasta la publicación del libro del maestro de Leonardo da Vinci: Luca Pacioli, Divina Proportione, en 1509.

Flor de la Pasionaria

Equinodermo:Crinoideo Cúpula Geodésica diseñada por Fuller

La proporción áurea que presenta la péntada, y las características y relaciones derivadas de ésta, se muestran en estructuras de la naturaleza muy variadas, no sólo en las que tienen estructura pentagonal, sino también en las formas de crecimiento de numerosas plantas o la distribución de sus semillas o sus brotes.

También se ha considerado, sobre todo en el Renacimiento, que el hombre posee estas proporciones. La primera descripciones de las medidas armónicas del hombre proviene de Vitruvio, y Leonardo da Vinci realizó su famoso dibujo inspirado en estos escritos. También Cornelius Agrippa (1486-1535), que escribió sobre temas esotéricos, ilustra la simetría del cuerpo humano en base a estas proporciones; se muestra la imagen en las ilustraciones de la parte superior, en el centro.

CARACTERÍSTICAS DE LOS POLÍGONOS REGULARES

La Humanidad ha otorgado, desde siempre, muchos significados diferentes a los polígonos, sin adentarse en el estudio profundo de sus relaciones geométricas. Sin embargo, son éstas las que confieren a estas formas planas las características que sugieren dichos significados. No sólo se han empleado como estructura de construcciones arquitectónicas y en el diseño de parques, sino que han servido para idear ornamentos de objetos o ropas, signos de la alquimia o que representan elementos químicos, para represenar símbolos religiosos, de magia o pseudociencia y, sobre todo, como marcas (sellos de autor o propietario) y monogramas (dibujos de letras que representaban una palabra o frase completos), como son las marcas de cantero de los gremios constructores de catedrales, las marcas de casa medievales,como escudos de familias japonesas y en la heráldica.

En la actualidad estamos rodeados de formas basadas en estas estructuras, fundamentalmente las imágenes de identidad de empresas (los anagramas y logotipos) y los pictogramas (las señalesde tráfico, las utilizadas para marcar lugares y orientar en edificios públicos y en los grandes acontecimientos como los Juegos Olímpicos…). En general, las señales de servicio se han diseñado utilizando los polígonos fundamentales como estructura de sus formas.

POLÍGONOS REGULARES COMO RESULTADO DE SIMETRÍAS ROTACIONALES Todos los polígonos regulares poseen Simetría Axial, pues en todos los casos podemos trazar un eje que pase por un vértice y el centro (o el centro de un lado y el del polígono) y divida el polígono en dos partes enfrentadas. Pero, en el caso de la simetría central, parece que sea diferente. Si empleamos el concepto simplista de simetría, sólo los polígonos regulares de lados pares pueden tener Simetría Central. pues se suele considerar esta simetría como la que genera figuras al rotar 180° alrededor de un centro, llamado CENTRO DE SIMETRÍA. Ejes de simetría Axial 180°

Cerntros de simetría Central 180°

180°

?

C2

En las ilustraciones se muestran ejemplos de diseños de vidrieras que se han generado a través de simetrías. Halla sobre ellos el eje o los ejes de la simetría Axial o el centro de la simetría Central. Anota el tipo de simetría que muestran. Halla la relación entre puntos simétricos y explica en qué te basas para conocer cada tipo de simetría.

En geometría, todos los polígonos regulares tienen Simetría Central, porque se pueden considerar generados por un elemento que gira alrededor de un centro tantas veces como lados tiene el polígono. Esto significa que el ángulo de giro de la simetría central de un polígono es el mismo que su ángulo central. Así, un triángulo equilátero tiene un ángulo de giro de 120° y un pentágono de 72°. Esta simetría se llama SIMETRÍA CÍCLICA o Simetría de Leonardo, pues Leonardo da Vinci la empleó en muchas de las construcciones de basílicas. Como ejemplo, observamos cuántas veces debe girar un vértice alrededor del centro de simetría de un triángulo hasta que regresa a su posición inicial. Vemos que realizará un giro de 120°, 3 veces. A esta simetría se la llama C3, que significa Cíclica de 3 giros. C1 360°

C2 180°

C3 120°

C5 72°

C6 60°

3ª

120° 2ª

C4

1ª

90°

Analiza los dibujos que se muestran bajo el texto. Se trata de trabajos de simetría realizados por alumnos de 1º ESO • Escribe bajo cada imagen el tipo de simetría posee: si tiene un eje, dos ejes, centro de simetría o más de uno de estos elementos. • Dibuja estos elementos en su posición correcta sobre cada ilustración. Representa un punto en cada uno de los dibujos y halla su simétrico o simétricos. • Escribe el nombre de la simetría de cada dibujo, su clasificación exacta, y el polígono que genera (si es el caso).

SERPIENTES 1969 Se trata de una grabado en madera, el último trabajo de M.C.Escher. Observa los detalles y anota qué elementos son figurativos y cuáles son puramente geométricos. ¿Qué simetría posee el dibujo? ¿Qué polígono, o polígonos, esconde el diseño? ¿Cuál es su estructura?Dibuja las líneas estructurales básicas.

POLÍGONOS REGULARES: DIAGONALES El cuadrado queda inscrito en la circunferencia puesto que las dos diagonales son iguales y perpendiculares entre sí. Al ser el arco capaz de 90° una semicircunferencia, la parte superior contiene uno de los ángulos de 90° y la inferior, otro.

Como las diagonales de los polígonos regulares son iguales entre sí, deben ser iguales también los arcos capaces para todos los ángulos –que también son iguales–, respecto a diagonales de igual tamaño. Por lo tanto, TODOS LOS POLÍGONOS REGULARES SE ENCONTRARÁN INSCRITOS EN LAS CIRCUNFERENCIAS QUE COMPRENDEN LOS ARCOS CAPACES DE SUS ÁNGU-

90

LOS.

108 90

108

En todos los casos es necesario conocer la medida del ángulo interior del polígono. Si no conocemos esta medida, y conocemos la del central, la calculamos dividiendo esta última por dos. Cuando no disponemos de ninguna de ellas, se calcula la del ángulo central dividiendo 360° en las mismas partes que lados tiene el polígono, y se multiplica esta medida por el número de lados que abarca el ángulo central del inscrito que hay que medir.

Puesto que un triángulo no tiene diagonal, ésta se convierte en el otro lado.

60

Por ejemplo: para hallar el ángulo central para la diagonal del hexágono y su ángulo interior, dividimos 360° entre 6. Tenemos 60°. Como el ángulo interior abarca cuatro lados, multiplicamos los 60° por 4: el central medirá 240°. Para saber la medida del interior sólo tenemos que hallar la mitad del central, en este caso, mide 120°

60

120

120 60°

60°

central = 240°

Por ejemplo, para construir el heptágono regular pueden darte la medida de dos de sus diagonales, o de una de ellas. Observa que puedes hallar la medida del ángulo interior a partir de d al contar los lados que abarca su central: divides 360° entre 7 –que son los lados del polígono–, multiplicas el resultado por los lados que abarca el central. Construye un heptágono, empleando el Arco Capaz, a partir de la diagonal d. ¿Puedes realizar una construcción similar a partir de d'? ¿Por que?

d

d'

d' d

Se pueden construir polígonos de diferentes lados que compartan un misma diagonal.

60° 60°

POLÍGONOS REGULARES: LADOS

ÁNGULO INSCRITO IGUAL AL INTERIOR

60

Si observamos el triángulo anterior, vemos que el ángulo central mide 120°, que es 360° entre los tres lados del triángulo. Por lo tanto, lo que debemos hallar es la medida del central correspondiente al ángulo inscrito en la circunferencia que circunscribe al polígono, cuyo Arco Capaz abarca el lado de éste. Por ejemplo, para el cuadrado, puesto que el central que abarca el lado, mide 360°/4 = 90°, el inscrito medirá 90°/2 = 45°. ÁNGULO INSCRITO MITAD DEL INTERIOR

El lado es el segmento que abarca el Ángulo Central de un polígono regular. El ángulo inscrito que corresponde a ese lado del polígono mide, por lo tanto, la mitad del central. En el caso del triángulo equilátero es el mismo que el interior del polígono: 60°.

45 120 90 60 45

En todos los casos es necesario conocer la medida del ángulo central del polígono. Esta medida se calcula siempre dividiendo 360° en tantas partes como lados tiene el polígono.

ÁNGULO INSCRITO UN CUARTO DEL INTERIOR

ÁNGULO INSCRITO UN TERCIO DEL INTERIOR

Como los lados de los polígonos regulares son iguales entre sí, los arcos capaces para los ángulos inscritos que abarcan cada lado deben ser iguales. Las circunferencias que circunscriben a los polígonos regulares son la suma de arcos interiores de todos los lados de los ángulos.

30

36 60

72 30 36

Construye un heptágono y un octógono regulares a partir de los lados t y f respectivamente. Realiza el trazado a partir del arco que abarca el lado que se da y cuyo ángulo central sea el del polígono.

Observa las circunferencias que circunscriben los polígonos representados a la derecha: cada una de ellas contiene el arco que abarca el lado del polígono cuyo ángulo central es también el de este lado.

O6 60°

O5 72°

O4

90°

O3

120°

t

f