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Polinomios. 68 Ejercicios para practicar con soluciones
1
Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta? a) 2x 3 + 6x 2 − 3x + 1 : (x + 1) ; b) 5x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 2x + 1 : (x − 1) ;
( c) (3x
)
3
)
+ 15x − 3x − 15 : (x + 5 ). 2
(
)
Solución: a) c(x) = 2 x 2 + 4 x − 7; r(x) = 8; b) c(x) = 5 x 3 + 9 x 2 + 12 x + 14; r(x) = 15; c) c(x) = 3 x 2 − 3; r(x) = 0 ⇒ exacta .
2
Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta? a) x 3 + 3 : (x + 1) ; b) 2x 4 + 3x 2 − 5 : (x − 2 ) ; c) 2x 3 − 18x 2 + 22x + 42 : (x − 7 ).
(
)
(
)
(
)
Solución: a) c(x) = x 2 − x + 1; r(x) = 2; b) c(x) = 2 x 3 + 4 x 2 + 11 x + 22; r(x) = 39; c) c(x) = 2 x 2 − 4 x − 6; r(x) = 0 ⇒ exacta
3
Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula: a) p(x) + q(x); b) p(x) - q(x); c) p(x) + q(x) - r(x); d) p(x) - q(x) - r(x). p(x) = 4x 2 − 13x + 20 ; q(x) = 10x 2 − 7x + 8 ; r(x) = 5x − 1. Solución: a) p(x) + q(x) = 14 x 2 − 20 x + 28; b) p(x) − q(x) = −6 x 2 − 6 x + 12; c) p(x) + q(x) − r(x) = 14 x 2 − 25 x + 29; d) p(x) − q(x) − r(x) = −6 x 2 − 11 x + 13.
4
Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula: a) p(x)·q(x); b) p(x)·r(x); c) q(x)·r(x). p(x) = 4x 2 − 13x + 20 ; q(x) = 10x 2 − 7x + 8 ; r(x) = 5x − 1.
1
Solución: a) p(x) ⋅ q(x) = 40 x 4 − 158 x 3 + 323 x 2 − 244 x + 160; b) p(x) ⋅ r(x) = 20 x 3 − 69 x 2 + 23 x − 20; c) q(x) ⋅ r(x) = 50 x 3 − 45 x 2 + 47 x − 8.
5
Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula: a) p(x)·q(x); b) p(x)·r(x); c) q(x)·r(x). p(x) = 3x 2 + 5x − 6 ; q(x) = 5x 2 + 8x − 9 ; r(x) = 3x + 4. Solución: a) p(x) ⋅ q(x) = 15 x 4 + 49 x 3 − 17 x 2 − 3 x + 54; b) p(x)·r(x) = 9 x 3 + 27 x 2 + 2 x − 24; c) q(x)·r(x) = 15 x 3 + 44 x 2 + 5 x − 36.
6
Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta? a) x 3 + 6x 2 + 5x − 12 : (x + 4 ) ; b) 4x 3 − 9x + 8 : (x + 2 ) ; c) 7x 4 − 5x 2 + 1 : (x − 1).
(
)
(
)
(
)
Solución: a) c(x) = x 2 + 2 x − 3; r(x) = 0 ⇒ exacta; b) c(x) = 4 x 2 − 8 x + 7; r(x) = −6; c) c(x) = 7 x 3 + 7 x 2 + 2 x + 2; r(x) = 3.
7
Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula: a) p(x) + q(x); b) p(x) - q(x); c) p(x) + q(x) - r(x); d) p(x) - q(x) -r(x). p(x) = 3x 2 + 5x − 6 ; q(x) = 5x 2 + 8x − 9 ; r(x) = 3x + 4. Solución: a) p(x) + q(x) = 8 x 2 + 13 x − 15; b) p(x) − q(x) = −2 x 2 − 3 x + 3; c) p(x) + q(x) − r(x) = 8 x 2 + 10 x − 19; d) p(x) − q(x) − r(x) = −2 x 2 − 6 x − 1.
8
Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta? a) 4x 2 − 13x + 10 : (x − 2 ) ; b) 5x 2 + 8x − 9 : (x + 1) ; c) x 4 − x 2 − 2 : (x − 1).
(
)
(
)
(
Solución: a) c(x) = 4 x − 5; r(x) = 0 ⇒ exacta; b) c(x) = 5 x + 3; r(x) = −6; c) c(x) = x 3 + x 2 ; r(x) = −2.
2
)
9
Dados los polinomios p(x) y q(x) escritos más abajo, calcula: a) p(x) + q(x); b) q(x) - p(x); c) p(x)·q(x). p(x) = x 3 − 5x 2 + 7 ; q(x) = 2x 3 + 6x 2 − 3x + 1. Solución: a) p(x) + q(x) = 3 x 3 + x 2 − 3 x + 8; b) q(x) − p(x) = x 3 + 11 x 2 − 3 x − 6; c) p(x)·q(x) = 2 x 6 − 4 x 5 − 33 x 4 + 30 x 3 + 37 x 2 − 21 x + 7.
10 Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta? a) x 4 + x 2 + 1 : (x − 1) ; b) 3x 4 + 15 : (x + 3 ) ; c) x 3 − 9x : (x − 3 ).
(
)
(
)
(
)
Solución: a) c(x) = x 3 + x 2 + 2 x + 2; r(x) = 3; b) c(x) = 3 x 3 − 9 x 2 + 27 x − 81; r(x) = 258; c) c(x) = x 2 + 3 x; r(x) = 0 ⇒ exacta .
11 Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula: a) p(x) + q(x); b) p(x) - q(x); c) p(x) - q(x) + r(x); d) p(x) - q(x) - r(x). p(x) = 3x 4 + 4x 3 − 2x 2 + 5 ; q(x) = x 4 − 3x 3 + 2x 2 − 1 ; r(x) = x 4 + x 2 + 1. Solución: a) p(x) + q(x) = 4 x 4 + x 3 + 4; b) p(x) − q(x) = 2 x 4 + 7 x 3 − 4 x 2 + 6; c) p(x) − q(x) + r(x) = 3 x 4 + 7 x 3 − 3 x 2 + 7; d) p(x) − q(x) − r(x) = x 4 + 7 x 3 − 5 x 2 + 5.
12 Realiza las siguientes divisiones: a) 3x 4 + 5x 3 + x − 7 : x 3 − 2
( b) (x
4
)(
)(
)
)
+ x 3 + 7x : x 2 + x + 1
Solución: a) c(x) = 3 x + 5
r(x) = 7 x + 3
b) c(x) = x 2 − 1
r(x) = 8 x + 1
3
13 Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula: a) p(x) + q(x); b) p(x) - q(x); c) p(x) + q(x) - r(x); d) p(x) - q(x) + r(x). p(x) = x 4 − x 2 + 3 ; q(x) = 2x 4 + 3x 2 − 5 ; r(x) = x 2 − 16 . Solución: a) p(x) + q(x) = 3 x 4 + 2 x 2 − 2; b) p(x) − q(x) = − x 4 − 4 x 2 + 8; c) p(x) + q(x) − r(x) = 3 x 4 + x 2 + 14; d) p(x) − q(x) + r(x) = − x 4 − 3 x 2 − 8.
14 Realiza las siguientes divisiones: a) x 3 − 3x 2 + 6x − 2 : x 2 + x − 1
( b) (x
4
− x3
)( + 8x + 4 ) : (x
Solución: a) c(x) = x − 4
2
) − x + 2)
r(x) = 11 x − 6
b) c(x) = x 2 − 2
r(x) = 6 x + 8
15 Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta? a) x 3 − x 2 − 42x : (x − 6 ) ; b) 4x 3 − 3x 2 + 6x − 5 : (x + 1) ; c) x 4 + 1 : (x − 1).
(
)
(
)
(
Solución: a) c(x) = x 2 + 7 x ; r(x) = 0 ⇒ exacta; b) c(x) = 4 x 2 − 7 x + 13 ; r(x) = −18; c) c(x) = x 3 + x 2 + x + 1 ; r(x) = 2.
16 Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula: a) p(x)·q(x); b) p(x)·r(x); c) q(x)·r(x). p(x) = x 4 − x 2 + 3 ; q(x) = 2x 4 + 3x 2 − 5 ; r(x) = x 2 − 16 . Solución: a) p(x)·q(x) = 2 x 8 + x 6 − 2 x 4 + 14 x 2 − 15; b) p(x)·r(x) = x 6 − 17 x 4 + 19 x 2 − 48; c) q(x)·r(x) = 2 x 6 − 29 x 4 − 53 x 2 + 80.
4
)
17 Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula: a) p(x) + q(x); b) p(x) - q(x); c) p(x) + q(x) - r(x); d) p(x) - q(x) -r(x). p(x) = 4x 3 + 3x 2 − 5x + 6 ; q(x) = x 3 − 6x 2 + 2x − 7 ; r(x) = x 3 − 7. Solución: a) p(x) + q(x) = 5 x 3 − 3 x 2 − 3 x − 1; b) p(x) − q(x) = 3 x 3 + 9 x 2 − 7 x − 13; c) p(x) + q(x) − r(x) = 4 x 3 − 3 x 2 − 3 x + 6; d) p(x) − q(x) − r(x) = 2 x 3 + 9 x 2 − 7 x − 6.
18 Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta? a) x 3 − 5x 2 + 7 : (x + 3 ) ; b) 7x 3 − 19x 2 − 91x + 105 : (x − 5 ) ; c) x 8 − 1 : (x − 1).
(
)
(
)
(
Solución: a) c(x) = x 2 − 8 x + 24 ; r(x) = −65; b) c(x) = 7 x 2 + 14 x − 21 ; r(x) = 0 ⇒ exacta; c) c(x) = x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 ; r(x) = 0 ⇒ exacta .
19 Dados los polinomios p(x) y q(x) escritos más abajo, calcula: a) p(x) + q(x); b) p(x) - q(x); c) p(x)·q(x). p(x) = 7x 4 − 5x 2 + 1 ; q(x) = 3x 4 + 5x 2 − 1 . Solución: a) p(x) + q(x) = 10 x 4 ; b) p(x) − q(x) = 4 x 4 − 10 x 2 + 2; c) p(x)·q(x) = 21 x 8 + 20 x 6 − 29 x 4 + 10 x 2 − 1.
20 Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula: a) p(x)·q(x); b) p(x)·r(x); c) q(x)·r(x). p(x) = 4x 3 − 9x + 8 ; q(x) = 5x 3 + 3 ; r(x) = 2x 3 − x 2 + 1 . Solución: a) p(x)·q(x) = 20 x 6 − 45 x 4 + 52 x 3 − 27 x + 24; b) p(x)·r(x) = 8 x 6 − 4 x 5 − 18 x 4 + 29 x 3 − 8 x 2 − 9 x + 8; c) q(x)·r(x) = 10 x 6 − 5 x 5 + 11 x 3 − 3 x 2 + 3.
5
)
21 Dados los polinomios p(x) y q(x) escritos más abajo, calcula: a) p(x) + q(x); b) q(x) - p(x); c) p(x)·q(x). p(x) = 5x 3 − 3x 2 + 7x − 1 ; q(x) = 3x 3 + 3x 2 + 3x + 1 . Solución: a) p(x) + q(x) = 8 x 3 + 10 x; b) q(x) − p(x) = −2 x 3 − 6 x 2 − 4 x − 2; c) p(x)·q(x) = 15 x 6 + 6 x 5 + 27 x 4 + 14 x 3 + 15 x 2 + 4 x − 1.
22 Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula: a) p(x)·q(x); b) p(x)·r(x); c) q(x)·r(x). p(x) = 4x 3 + 3x 2 − 5x + 6 ; q(x) = x 3 − 6x 2 + 2x − 7 ; r(x) = x 3 − 7. Solución: a) p(x)·q(x) = 4 x 6 + 27 x 5 − 15 x 4 + 14 x 3 − 67 x 2 + 47 x − 42; b) p(x)·r(x) = 4 x 6 + 3 x 5 − 22 x 3 − 21 x 2 + 35 x − 42; c) q(x)·r(x) = x 6 − 6 x 5 + 2 x 4 − 14 x 3 + 42 x 2 − 14 x + 49.
23 Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta? a) 1 − x 6 : (1 + x ) ; b) 4x 3 + 3x 2 − 5x + 6 : (x − 2 ) ; c) 2x 4 + 3x 2 − 5 : (x + 3 ).
(
)
(
)
(
)
Solución: a) c(x) = − x 5 + x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 ; r(x) = 0 ⇒ exacta; b) c(x) = 4 x 2 + 11 x + 17 ; r(x) = 40; c) c(x) = 2 x 3 − 6 x 2 + 21 x − 63 ; r(x) = 184.
24 Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula: a) p(x)·q(x); b) p(x)·r(x); c) q(x)·r(x). p(x) = 3x 4 + 4x 3 − 2x 2 + 5 ; q(x) = x 4 − 3x 3 + 2x 2 − 1 ; r(x) = x 4 + x 2 + 1. Solución: a) p(x)·q(x) = 3 x 8 − 5 x 7 − 8 x 6 + 14 x 5 − 2 x 4 − 19 x 3 + 30 x 2 − 5; b) p(x)·r(x) = 3 x 8 + 4 x 7 + x 6 + 4 x 5 + 6 x 4 + 4 x 3 + 3 x 2 + 5; c) q(x)·r(x) = x 8 − 3 x 7 + 3 x 6 − 3 x 5 + 2 x 4 − 3 x 3 + x 2 − 1.
25 Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta? a) 7x 4 − 5x 2 − 2 : (x + 1) ; b) x 5 + 1 : (x − 1) ; c) 2x 3 − x 2 + 2 : (x + 2 ).
(
)
(
)
(
)
6
Solución: a) c(x) = 7 x 3 − 7 x 2 + 2 x − 2 ; r(x) = 0 ⇒ exacta; b) c(x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 ; r(x) = 2; c) c(x) = 2 x 2 − 5 x + 10 ; r(x) = −18.
26 Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula: a) p(x) + q(x); b) p(x) - q(x); c) p(x) + q(x) - r(x); d) p(x) - q(x) - r(x). p(x) = 4x 3 − 9x + 8 ; q(x) = 5x 3 + 3 ; r(x) = 2x 3 − x 2 + 1 . Solución: a) p(x) + q(x) = 9 x 3 − 9 x + 11; b) p(x) − q(x) = − x 3 − 9 x + 5; c) p(x) + q(x) − r(x) = 7 x 3 + x 2 − 9 x + 10; d) p(x) − q(x) − r(x) = −3 x 3 + x 2 − 9 x + 4.
27 Calcula: a) 3 x − y 3 x + y ; b) (10a + 3b )(10a − 3b );
(
)(
)
1 ⎞⎛ 4 1 ⎞ ⎛4 c) ⎜ h − z ⎟⎜ − h − z ⎟. 3 7 3 7 ⎝ ⎠⎝ ⎠
Solución: a) 3 x 2 − y 2 ; b) 100 a 2 − 9 b 2 ; c) −
16 2 1 2 h + z . 49 9
28 Calcula: a) (4a + 6b)(4a − 6b ); b) (−5x + 8y)(−5x − 8y);
(
)
c) ( 5h − 3) 5h + 3 .
Solución: a) 16 a 2 − 36 b 2 ; b) 25 x 2 − 64 y 2 ; c) 5 h 2 − 9.
7
29 Calcula: a) (7x + 2y) 2 ; b) (a − 5b) 2 ; c) (4 + 3x) 2 .
Solución: a) 49 x 2 + 28 xy + 4 y 2 ; b) a 2 − 10 b+ 25 b 2 ; c) 16 + 24 x + 9 x 2 .
30 Calcula: 2 a) (4a − 6b ) ; b) (−5x + 8y) 2 ; c) (2 + 8h) . 2
Solución: a) 16 a 2 − 48 ab + 36 b 2 ; b) 25 x 2 − 80 xy + 64 y 2 ; c) 4 + 32 h+ 64 h 2 .
31 Calcula:
(
)
2
a) 3 x + y ; b) (10a − 3b ) ; 2
c) (− 2h − 3z ) . 2
Solución: a) 3 x 2 + 2 3 xy+ y 2 ; b) 100 a 2 − 60 ab+ 9 b 2 ; c) 4 h 2 + 12 hz + 9 z 2 .
32 Calcula:
a)(− 3x − 4y ) ; 2
b) (2a − 7b ) ; 2
c) (− 3h + 12m ) . 2
Solución: a) 9 x 2 + 24 xy + 16 y 2 ; b) 4 a 2 − 28 ab + 49 b 2 ; c) 9 h 2 − 72 hm+ 144 m 2 .
8
33 Calcula: a) (7x + 2y)(7x − 2y); b) (−a + 5b)(a + 5b); 7 ⎞⎛ 2 7 ⎞ ⎛2 c) ⎜ a + b ⎟⎜ a − b ⎟. 3 ⎠⎝ 5 3 ⎠ ⎝5
Solución: a) 49 x 2 − 4 y 2 ; b) − a 2 + 25 b 2 ; c)
4 2 49 2 a − b . 25 9
34 Calcula: a) (a − 2b) 3 ; b) (3x + 2y) 3 ; c) (−1 + 4h) 3 .
Solución: a) a 3 − 6 a 2 b+ 12 ab 2 − 8 b 3 ; b) 27 x 3 + 54 x 2 y + 36 xy 2 + 8 y 3 ; c) − 1 + 12 h− 48 h 2 + 64 h 3 .
35 Calcula: ⎛ 3 ⎞⎛ 3 ⎞ a)⎜ m − 5h ⎟⎜ m + 5h ⎟; ⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2
4 ⎞ ⎛3 b) ⎜ x − y ⎟ ; 5 ⎠ ⎝7 c) (5h + 2z ) . 3
Solución: 3 a) m 2 − 25 h 2 ; 4 9 2 24 16 2 b) x − xy + y ; 49 35 25 c) 125 h 3 + 150 h 2 z+ 60 hz 2 + 8 z 3 .
9
36 Calcula: 3 ⎞⎛ 1 3 ⎞ ⎛1 a)⎜ x + y ⎟⎜ x − y ⎟; 4 ⎠⎝ 2 4 ⎠ ⎝2 b)
( 7 − 3z )( 7 + 3z );
c) (− 5h + 3m)(− 5h − 3m).
Solución: 1 9 2 y ; a) x 2 − 4 16 b) 7 − 9 z 2 ; c) 25 h 2 − 9 m 2 .
37 Calcula: 3
⎛2 ⎞ a)⎜ m + 5h ⎟ ; ⎝5 ⎠ ⎛1 ⎞⎛ 1 ⎞ b) ⎜ a + 2b ⎟⎜ − a + 2b ⎟; 3 3 ⎝ ⎠⎝ ⎠ c) (− 7x + 8y ) . 2
Solución: 8 12 2 a) m3 + m h+ 30 mh 2 + 125 h 3 ; 125 5 1 b) − a 2 + 2 b 2 ; 9 c) 49 x 2 − 112 xy + 64 y 2 .
38 Calcula el cuadrado del siguiente trinomio utilizando las identidades notables y con la definición de potencia y comprueba que se obtiene el mismo resultado: (x + y + z )2 Solución:
((x + y ) + z )2 = (x + y )2 + 2(x + y ) z+ z 2 = x 2 + 2 xy+ y 2 + 2 xz+ 2 yz+ z 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy+ 2 xz+ 2 yz (x + y + z )(x + y + z ) = x 2 + xy+ xz+ yx+ y 2 + yz+ zx+ zy+ z 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy+ 2 xz+ 2 yz
39 Calcula el cuadrado del siguiente trinomio utilizando las identidades notables y con la definición de potencia y comprueba que se obtiene el mismo resultado: (x − y + z )2 Solución:
((x − y ) + z )2 = (x − y )2 + 2(x − y ) z+ z 2 = x 2 − 2 xy+ y 2 + 2 xz− 2 yz+ z 2 = x 2 + y 2 + z 2 − 2 xy+ 2 xz− 2 yz (x − y + z )(x − y + z ) = x 2 − xy+ xz− yx+ y 2 − yz+ zx− zy+ z 2 = x 2 + y 2 + z 2 − 2 xy+ 2 xz− 2 yz
10
40 Calcula: 3
5 ⎞ ⎛3 a)⎜ a + b ⎟ ; 3 ⎠ ⎝5 2
1 ⎞ ⎛ 1 b) ⎜ − h + m ⎟ ; 2 ⎠ ⎝ 4 c)
( 17m −
5h
)( 17m +
)
5h .
Solución: 27 3 9 2 125 3 a) a + a b+ 5 ab 2 + b ; 125 5 27 1 2 1 1 b) h − hm+ m 2 ; 16 4 4 c) 17 m 2 − 5 h 2 .
41 Calcula: a) h + 7 z h − 7 z ;
(
)(
)
2
2 ⎞ ⎛1 b) ⎜ x + y ⎟ ; 5 3 ⎠ ⎝ 2
1 ⎞ ⎛ 3 c) ⎜ − h + m ⎟ . 3 ⎠ ⎝ 4
Solución: a) h 2 − 7 z 2 ; 1 2 4 4 b) x + xy + y 2 ; 25 15 9 9 2 1 1 c) h − hm+ m 2 . 16 2 9
42 Calcula: 3 a)(3h − 4m) ; 3
1 ⎞ ⎛1 b) ⎜ x + y ⎟ ; 3 ⎠ ⎝2 c) (9m − 7h)(9m + 7h).
Solución: a) 27 h 3 − 108 h 2 m+ 144 hm 2 − 64 m 3 ; 1 1 1 1 3 b) x 2 + x 2 y + xy 2 + y ; 8 4 6 27 c) 81m 2 − 49 h 2 .
11
43 Calcula: a) 5 − 15 z − 5 − 15 z ;
(
)(
)
2
7 ⎞ ⎛6 b) ⎜ x + y ⎟ ; 7 6 ⎠ ⎝ 2
⎛4 ⎞ c) ⎜ h − z ⎟ . 3 ⎝ ⎠
Solución: a) − 25 + 15 z 2 ; 36 2 49 2 b) x + 2 xy + y ; 49 36 16 2 8 c) h − hz + z 2 . 9 3
44 Calcula:
a)(10a + 3b ) ; 3
b) (3h − 2z ) ; 3
c) (− 3x − y ) . 3
Solución: a) 1000 a 3 + 900 a 2 b+ 270 ab 2 + 27 b 3 ; b) 27 h 3 − 54 h 2 z+ 36 hz 2 − 8 z 3 ; c) − 27 x 3 − 27 x 2 y − 9 xy 2 − y 3 .
45 Calcula las siguientes potencias de polinomios: a) (x + 2y )
3
b) (4x − 5y )
3
c) (1 − xy )
3
Solución: a) x 3 + 6 x 2 y + 12 xy 2 + 8 y 3 b) 64 x 3 − 240 x 2 y + 300 xy 2 − 125 y 3 c) 1 − 3 xy+ 3 x 2 y 2 − x 3 y 3
46 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces: a) x 3 + 6x 2 − 31x − 36; b) x 3 − 9x 2 − 5x + 33; c) x 3 − 2x 2 − 45x + 126.
Solución: a) (x + 1)(x + 9)(x − 4) ; b) (x + 3)(x − 11)(x − 1) ; c) (x + 7)(x − 6)(x − 3). Raíces: a) -9, -1, 4 b) -3, 1, 11 c) -7, 3, 6
12
47 Obtén dos polinomios diferentes cuyas únicas raíces sean -6, 0, 1. Solución: Por ejemplo: x(x+ 6)(x − 1) = x 3 + 5 x 2 − 6 x
y
− x(x+ 6)(x − 1) = − x 3 − 5 x 2 + 6 x
48 Al descomponer factorialmente un polinomio se obtiene (x - 13)(x + 1)(x - 7)(x + 6). a) ¿De qué grado es el polinomio? b) ¿Cuánto vale el término independiente? Solución: a) El grado es 4. b) El término independiente vale -13·1·(-7)·6 = 546.
49 Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces: a) x 3 − 13x 2 + 42x; b) 4x 3 − 32x 2 + 4x + 168; c) x 3 − 3x 2 − 88x − 240.
Solución: a) x(x− 7)(x − 6) ; b) 4(x + 2)(x − 7)(x − 3) ; c) (x + 5)(x − 12)(x + 4). Raíces: a) 0, 6, 7 b) -2, 3, 7 c) -5, -4, 12
50 Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces: a) 2x 3 + 6x 2 − 50x + 42; b) 3x 3 − 15x 2 − 3x + 15; c) x 3 − 9x.
Solución: a) 2(x − 3)(x − 1)(x + 7) ; b) 3(x − 1)(x + 1)(x − 5) ; c) x(x− 3)(x + 3). Raíces: a) -7, 1, 3 b) -1, 1, 5 c) -3, 0, 3
51 Obtén un polinomio que tenga únicamente las siguientes raíces: a) -5, 3, 8 b) 0, 3, 6 Solución: a) (x + 5 )(x − 3 )(x − 8 ) = x 3 − 16 x 2 + 79 x − 120 b) x (x − 3 )(x − 6 ) = x 3 − 9 x 2 + 18 x
52 Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces: a) x 3 − 2x 2 − 11x + 12; b) 7x 3 + 7x 2 − 119x + 105; c) x 4 − 6x 3 − 69x 2 + 154x.
13
Solución: a) (x − 4)(x − 1)(x + 3) ; b) 7(x − 1)(x − 3)(x + 5) ; c) x(x− 11)(x + 7)(x − 2). Raíces: a) -3, 1, 4 b) -5, 1, 3 c) -7, 0, 2, 11
53 Obtén un polinomio que tenga únicamente las siguientes raíces: a) 0, 4, 5 b) 3, 4 Solución: a) x (x − 4 )(x − 5 ) = x 3 − 9 x 2 + 20 x b) (x − 3 )(x − 4 ) = 9 x 2 − 7 x + 12
54 Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces: a) x 3 − 4x 2 − 37x + 40; b) x 3 + 13x 2 + 42x; c) x 3 − 7x 2 + 7x + 15.
Solución: a) (x + 5)(x − 8)(x − 1) ; b) x(x+ 7)(x + 6) ; c) (x − 5)(x + 1)(x − 3). Raíces: a) -5, 1, 8 b) -7, -6, 0 c) -1, 3, 5
55 Obtén un polinomio que tenga únicamente las siguientes raíces: a) -5, -4, 1, 2 b) -1, 0, 1 Solución: a) (x + 5 )(x + 4 )(x − 1)(x − 2) = x 4 + 6 x 3 − 5 x 2 − 42 x + 40 b) x (x − 1)(x + 1) = x 3 − x
56 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces: a) x 3 + 4x 2 − 20x − 48; b) 7x 3 − 15x 2 + 58x − 8; c) x 3 − 6x 2 − 61x + 210.
Solución: a) (x + 2)(x − 4)(x + 6) ; b) (7 x − 1)(x 2 − 2 x + 8) ; c) (x − 3)(x + 7)(x − 10). Raíces: a) -6, -2, 4
b)
1 7
c) -7, 3, 10
57 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces: a) 9x 3 − 8x 2 − 271x − 30; b) x 3 − 5x 2 − 138x + 792; c) x 3 − 2x 2 − 73x − 70.
14
Solución: a) (9 x + 1)(x − 6)(x + 5) ; b) (x − 11)(x + 12)(x − 6) ; c) (x + 1)(x − 10)(x + 7). Raíces: a) -5, −
1 ,6 9
b) -12, 6, 11
c) -7, -1, 10
58 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces: a) x 3 − 9x 2 − 84x + 196; b) x 3 − 3x 2 − 97x + 99; c) x 3 + 6x 2 − 61x − 210.
Solución: a) (x − 2)(x + 7)(x − 14) ; b) (x − 1)(x + 9)(x − 11) ; c) (x + 3)(x − 7)(x + 10). Raíces: a) -7, 2, 14 b) -9, 1, 11 c) -10, -3, 7
59 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces: a) x 3 − 5x 2 + 11x − 28; b) 3x 4 + 16x 3 − 37x 2 − 14x; c) 3x 3 − 22x 2 − 47x + 18.
Solución: a) (x − 4)(x 2 − x + 7) ; b) x(3 x + 1)(x − 2)(x + 7) ; c) (3 x − 1)(x − 9)(x + 2). Raíces: a) 4
b) -7, −
1 , 0, 2 3
c) -2,
1 ,9 3
60 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces: a) 6x 3 + 19x 2 − 321x − 54; b) x 3 + 3x 2 − 97x − 99; c) x 3 + 9x 2 − 84x − 196.
Solución: a) (6 x + 1)(x − 6)(x + 9) ; b) (x + 1)(x − 9)(x + 11) ; c) (x + 2)(x − 7)(x + 14). Raíces: a) -9, -
1 ,6 6
b) -11, -1, 9
c) -14, -2, 7
61 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces: a) x 3 + 6x 2 − 55x − 252; b) x 3 + 27x 2 + 191x + 165; c) x 3 − 12x 2 + 44x − 48.
Solución: a) (x + 9)(x − 7)(x + 4) ; b) (x + 1)(x + 11)(x + 15) ; c) (x − 2)(x − 4)(x − 6). Raíces: a) -9, -4, 7 b) -15, -11, -1 c) 2, 4, 6
15
62 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces: a) x 3 + 8x 2 − 80x − 384; b) 11x 3 + 21x 2 − 35x + 3; c) x 3 − 23x 2 + 135x − 225.
Solución: a) (x + 4)(x − 8)(x + 12) ; b) (11 x − 1)(x − 1)(x + 3) ; c) (x − 3)(x − 5)(x − 15). Raíces: a) -12, -4, 8
b) -3,
1 ,1 11
c) 3, 5, 15
63 Al descomponer factorialmente un polinomio se obtiene (5x + 1)(3x - 1)(x + 6)(x - 2). a) ¿De qué grado es el polinomio? b) ¿Cuánto vale el término independiente? Solución: El grado es 4. El término independiente vale 1·(-1)·6·(-2) = 12.
64 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces: a) x 3 − 4x 2 − 103x − 182; b) x 3 − 7x 2 − 16x + 112; c) x 3 − 4x 2 + 9x − 10.
Solución: a) (x + 7)(x + 2)(x − 13) ; b) (x − 4)(x + 4)(x − 7) ; c) (x − 2)(x 2 − 2 x + 5). Raíces: a) -7, -2, 13 b) -4, 4, 7 c) 2
65 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces: a) x 3 − 6x 2 − 6x − 7; b) x 3 − x 2 − 89x − 231; c) x 4 + 9x 3 − 25x 2 − 225x.
Solución: a) (x − 7)(x 2 + x + 1) ; b) (x + 3)(x − 11)(x + 7) ; c) x(x− 5)(x + 5)(x + 9). Raíces: a) 7 b) -7, -3, 11 c) -9, -5, 0, 5
66 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces: a) 6x 3 + 32x 2 − 74x − 28; 14 2 93 18 b) x 3 + x − x+ ; 5 5 5 c) x 3 − 16x 2 − 19x + 34.
16
Solución: 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ a) 6⎜ x + ⎟(x − 2)(x + 7) ; b) ⎜ x − ⎟(x + 6)(x − 3) ; c) (x − 17)(x − 1)(x + 2). 3 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 Raíces: a) -7, - , 2 b) -6, , 3 c) -2, 1, 17 3 5
67 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces: a) 5x 3 + 36x 2 − 83x − 18; b) 10x 3 + 9x 2 − 301x + 30; c) x 3 + 3x 2 − 64x + 60.
Solución: a) (5 x + 1)(x + 9)(x − 2) ; b) (10 x − 1)(x + 6)(x − 5) ; c) (x − 1)(x + 10)(x − 6). Raíces: a) -9, −
1 ,2 5
b) -6,
1 ,5 10
c) -10, 1, 6
68 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces: a) 2x 3 + 5x 2 − 28x − 15; b) x 3 + 5x 2 − 29x − 105; c) x 3 − 7x 2 − 7x + 8.
Solución: a) (2 x + 1)(x − 3)(x + 5) ; b) (x + 7)(x − 5)(x + 3) ; c) (x + 8)(x 2 − x + 1). Raíces: a) -5, −
1 ,3 2
b) -7, -3, 5
c) -8
17