1 POLINOMIOS Parte de la introducción aquí presentada fue adaptada de: http://escritoriodocentes.educ.ar/recursos/pdf/matematica/polinomios_historia.pdf

Significado Polinomio significa literalmente "muchas partes" en referencia a "muchos términos". Su expresión sirve para describir y predecir gran cantidad de fenómenos naturales y conductas a través del uso de funciones polinómicas.

Funciones polinómicas Estas funciones están definidas para todos los números reales, y constituyen una de las familias de funciones que representan la mayor cantidad de fenómenos naturales.

¿Para qué sirven estas funciones? En la Física... Sabemos que al suspender un peso de un resorte, éste se alarga, ¿podríamos determinar la ley que rige este alargamiento, al menos para un determinado intervalo? Sería como tratar de expresar el alargamiento del resorte en función del tiempo. En la Química... En el laboratorio de Química, ¿podemos estudiar la temperatura de una masa de agua con respecto al tiempo en que es sometida al calor? Se trata de relacionar la temperatura en función del tiempo. En la Economía... Un investigador suele expresar el consumo en función del ingreso, también la oferta en función del precio, o el costo total de una empresa en función de los cambios de producción, entre otros muchos ejemplos donde se analiza cómo se comporta una variable en respuesta a los cambios que se producen en otras variables. En la Biología... Cuando se trata se precisar: el crecimiento de una población animal o vegetal en función del tiempo, el peso de un bulbo en función del diámetro del mismo, el consumo de oxígeno en función del trabajo realizado, etc. En la Vida Cotidiana … Si se fijan en algunas de las facturas de servicios de sus casas van a ver que el monto que pagan se basa en un cálculo hecho a partir de una función polinómica; sólo que son un poco más complicadas que las que vamos a ver nosotros en el curso. En la Escuela … Anteriormente estudiaron, aunque sin saberlo, las siguientes funciones polinómicas: f(x) = b, función constante (recta horizontal).

Ej: y=3; Ej: y= -1

f(x) = mx + b, donde "m" es diferente de cero, función lineal (recta oblicua) Ej: y = − 2 x + 1 3 Tengan en cuenta que si se toman un taxi, el costo del viaje va a estar dado por una función polinómica del tipo: f(x)= mx+b donde: • • •

"x" representa la cantidad de "calles" recorridas "m" representa el costo por "calle" "b" lo que se conoce como "bajada de bandera" que es el valor inicial por sólo subirnos al taxi.

Otra que estudiamos es la función cuadrática; f(x)=ax2+bx+c

Ej: y=-2x2+3x-1

Para poder operar con las funciones polinómicas vamos primero a ver qué es un polinomio, para lo cual vamos a describirlos y luego a definirlos. Matemática: "Introducción a Polinomios", 3° año

Prof: Marcelo Stigliano

2 1) Fíjense bien en las siguientes expresiones algebraicas (números y letras)

a) 12yx + ax −1

n)

x4 2

t) 3c - 8 + c 3 y)

c) x − a +

x3 −5−x h) 5 cx

g) m 3 + 3 m) x

b) b 2 3.x 3

3

d)

2x − 2 3

e) 10 x + x 10

f) − x + 12x 4 + x 3

1

i) m5 x 2

o) x 3 + 2 3

j) 7 − 3x 2 − 2x

p) 6 + x 3 − 3x + x 2

u) - x - 1 = 7

5 x - 3x + x 2 - x - 1 4

2 yzx 2 3

v) x x

w)

k) log (x )

q) 4 + x +

l) - 3x + 2x 2 + x 4

1 2 x r) abcd + x 2

1 4 3 3 x - x + x2 - x - 1 2 4

x)

s) x 5 − 5 x

x 4 - 3x 3 + x 2 - x - 1 x

z) seno (-x)

Identifiquen y descarten aquellas expresiones en las que las letras (no los números) estén: a. b. c. d. e. f.

afectadas por operaciones que no sean potencias (conocidas o desconocidas) afectadas por potencias negativas o fraccionarias ubicadas en el denominador estén debajo de raíces estén como potencia como parte de una ecuación

2) Sobre las restantes, indiquen en una tabla para cada caso: a. cantidad de términos b. cantidad de indeterminadas (letras); identifíquenlas c. números que aparecen como factores en cada término; identifiquen a qué conjunto numérico pertenecen (N, Z, Q, I) d. operaciones involucradas (suma, resta, producto, división, potenciación, radicación, etc.) e. operaciones que afectan directamente a cada una de las indeterminadas

Definición: Una definición nos permite saber claramente qué es un polinomio y qué no lo es. Ya tenemos una idea de qué es un polinomio; ahora vamos a usar letras para dar una formulación más general: La expresión:

P(x) = an .xn + an-1. x n-1 + an-2 . xn-2 + ... + a1x + a0

donde:

se lo conoce como Polinomio "P" de indeterminada "X" , y se lee: "pé de equis"

• "P" es el nombre del polinomio (usamos mayúsculas de imprenta) • "x" es la indeterminada porque su valor, al menos en principio, no interesa a los efectos de las operaciones que vamos a considerar • an, a n-1, ..., a1, a0 son todos números (N, Z, Q o I) y son llamados coeficientes del polinomio • an es un número distinto de cero, llamado "coeficiente principal" • a0 es llamado término independiente, pues no depende de "x" (término sin equis) • "n" es algún número natural y se lo llama "grado del polinomio" (es el mayor exponente de "x") Ej:

P(x) = 3x4 - 4 x3 +2x -1

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Ej:

Q(x) = -2x5 +2 x4 +x +3 Prof: Marcelo Stigliano

3 Notas •

Una constante (número), diferente de cero, es un polinomio de grado cero

Ej: P(x) = 4

El polinomio P(x) = 0 , se lo considera como un polinomio, llamado Polinomio nulo, pero no se le

•

asigna ningún grado. Existen polinomios con más de una indeterminada pero nosotros no vamos a estudiarlos.

•

3) Sobre los polinomios considerados en el punto 2: a. Tomen solamente los que cuentan con una sola indeterminada. Si éstos figuran con una letra que no es la “x“, reescríbanlos con “ x “. b. En cada polinomio, ¿cómo podríamos distinguir los distintos tipos de términos entre sí? ¿Qué resulta más relevante, el coeficiente o la potencia de la indeterminada? ¿Por qué? c.

¿Cuándo podríamos decir que dos términos son semejantes? ¿Cuándo son iguales?

d. ¿Es posible utilizar el criterio hallado en el punto anterior para ordenar un polinomio de alguna manera? ¿Cómo sería eso? e. ¿Qué está indicando el hecho de que no aparezcan todos los exponentes menores al mayor (enteros no negativos)? ¿Cómo los harían aparecer sin modificar los coeficientes del polinomio? 4) Completen el cuadro indicando: nombre, indeterminada, grado, tipo, coeficiente principal y término independiente. Luego completen y ordenen el polinomio Polinomio

Nombre

Indeterminada

Grado

Tipo

Coeficiente Principal

Término Independiente

Completo y ordenado

A (x) : 3x 4 − 2x 6 + 1 − 3x G(s) : 2s 3 + 5s5 − s 8 + 2s - 3

F(x) : − x M(x) : − x + 2

C(x) : − x 3 T(x) : x 3 + 5 x 5 − x 8 + 2x + 2

D (x) : 19 H(z) : - z − z12 −

2 3

B (x) : 2 − x 4 3

E (x) :

x − x5 + 1 4

J(x) : − x 5 + 1 N(t) : −t 3 + 2t − t 8 I (m) :

2 m − m4 − 2 3

U (y) :

3 y − y5 + 1 2

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4 Polinomio

Nombre

Indeterminada

Grado

Tipo

Coeficiente Principal

Término Independiente

Completo y ordenado

Q( x ) : 2x 3 − 1 W( x ) : 7 − x 2 − 2 x + x 4 Y( x ) :

3 6 x + x2 + x3 + 1 4

R ( x) : −x 6 +

1 8 x + x3 + 3 6

S( x ) : x 6 + x 2 + x 3 U( x ) :

3 4 7 1 3 3 2 x − + x − x 4 2 5 4

5) Den un ejemplo de un polinomio que cumpla con las condiciones dadas Grado

Tipo

Coeficiente Principal

Término Independiente

3

Trinomio

2

1

4

Binomio

1

-2

1

Monomio

1 3

0

0

Polinomio

-------

4

7

Polinomio

2

Binomio

-1

5

Trinomio

-3

−

3 4

Polinomio

3 4 7 − 2 −

0

Operaciones Suma Solamente se pueden sumar entre sí los "términos semejantes". Como ya dijimos, son los que presentan la misma indeterminada elevada al mismo exponente. Luego, lo único que debemos hacer es operar entre los coeficientes y mantener el grado de la indeterminada (salvo que sean opuestos, entonces se anulan). Ej:

Sean P(x) = 5x4 y

Q(x) = 2x4

Ej:

Sean R(x) = x2

S(x) = -7x2 semejantes, entonces R(x) + S(x) = (1-7)x4 = - 6x4

y

semejantes, entonces P(x) + Q(x) = (5+2)x4 = 7x4

Si los polinomios tienen más de un término sólo operamos entre los semejantes, el resto los copiamos igual. Una forma de hacerlo es completando los polinomios y encolumnarlos según su grado 0x5 + 3x4 - 4 x3 + 0x2 + 2x - 1

P(x) + Q(x) = +

-2x5 + 2x4 + 0 x3+ 0x2 +4x +3 -2x5 + 5x4 – 4x3 +0x2 +6x + 2

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5 Si tenemos confianza con nuestras habilidades para operar podemos hacer el cálculo de otra forma: empezamos por el término de grado mayor entre ambos y vamos viendo si hay alguno semejante a él, si no hay lo copiamos tal cual, si hay operamos con los semejantes a él; luego seguimos con el siguiente grado menor hasta terminar Ej: P(x) = 3x4 - 4 x3 +2x -1

Q(x) = -2x5 + 2x4 +4x +3

y

entonces P(x) + Q(x) = -2x5+(3+2)x4 - 4x3+(2+4)x +(-1+3) P(x) + Q(x) = -2x5+5x4 – 4x3 +6x+2 Nota: Hasta aquí hemos visto siempre polinomios que presentan, a lo sumo, sólo un término por cada grado. Cuando demos la expresión de un polinomio deberemos darla de este modo: sólo un término por cada grado, en caso contrario tenemos que operar entre los términos semejantes a fin de optimizarlo. 6) Dados los siguientes polinomios, hagan las sumas indicadas

7 1 5 3 + x − x 4 2 5 1 5 3 2 :+ x − x 5 4

P( x ) : − x 4 − S (x)

Q ( x ) : − x 5 − 4 + x − 2x 2

R ( x) : −x 3 + 1

T( x ) : x 3 − 1

U ( x ) : −1 − x +

a)P( x ) + Q ( x ) =

b)R ( x ) + S ( x ) =

c ) T( x ) + U ( x ) =

d)P( x ) + Q ( x ) + R ( x ) =

e)S ( x ) + T( x ) + U ( x ) =

f ) T( x ) + R ( x ) =

2 3 1 2 x − x 3 2

Resta Se trabaja del mismo modo que para la suma sólo que le cambiamos el signo a todos los términos del polinomio "sustraendo". Siguiendo con el mismo ejemplo que para la suma: 0x5 + 3x4 - 4 x3 + 0x2 + 2x - 1

P(x) - Q(x) = +

2x5 - 2x4 - 0 x3 - 0x2 - 4x - 3 P(x) - Q(x) =

Hemos cambiado de signo todos los términos de Q(x)

2x5 + x4 – 4x3 + 0x2 - 2x - 4

7) Dados los polinomios del punto anterior, hagan las restas indicadas

a)P( x ) − Q ( x ) =

c ) T( x ) − U ( x ) =

b)R ( x ) − S ( x ) =

d) T( x ) − P( x ) =

e)S ( x ) − U ( x ) =

f ) T( x ) − R ( x ) =

Multiplicación Sólo debemos multiplicar entre sí al número por el coeficiente del monomio: signo con signo, número con número. La indeterminada la mantenemos tal cual como estaba. Ej: 3. 2 x 3 = 3. 2 x 3 = 2x 3 3

Ej: 3 . − 5 x 4  = − 3 x 4

3

5  4



4

Si el polinomio tiene más de un término, sólo debemos hacer una simple distributiva y proceder como ya vimos.

(

)

Ej P( x ) : −x 5 − 4 + x − 2x 2

entonces

- 2 . P( x ) = −2. − x 5 − 4 + x − 2x 2 = 2x 5 + 8 − 2x + 4 x 2

Ej Q : 2 x 4 − 1 − 3 x 3 + x (x)

entonces

3 4 2 2  2  2 2 Q ( x ) . -  =  x 4 − 1 − x 3 + x . -  = − x 4 + + x 3 − x 3 3 2 3 9 3 3     

3

2

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6 8) Dados los siguientes polinomios, hagan los productos indicados 7 1 5 3 + x − x 4 2 5 1 5 3 2 :+ x − x 5 4

P( x ) : − x 4 − S( x )

Q( x ) : − x 5 − 4 + x − 2x 2

R ( x) : −x 3 + 1

T( x ) : x 3 − 1

U( x ) : −1 − x +

a)3.P( x ) =

b) − 2.S ( x ) =

c) T( x ) .6 =

e)(−1).S ( x ) =

f ) T( x ) .( −2) =

1 g) Q ( x ) .(− ) = 4

2 3 1 2 x − x 3 2

d) P( x ) .

1 = 2

4 h) U( x ) .(− ) = 3

Multiplicación de un monomio por otro Es igual que el caso anterior sólo que esta vez debemos recordar la propiedad del producto entre potencias de igual base para hallar el grado de x: xa . xb = xa+b Ej: P( x ) : 2 x 3 y Q( x ) : 3x 4

entonces

P( x ) . Q( x ) = 2 x 3 . 3x 4 = 6 x 3+ 4 = 6 x 7

9) Dados los siguientes monomios, hagan los productos indicados

P( x ) : −x 4 a) P( x ) . Q(x) =

Q ( x ) : −2 x 2

S (x) :

1 5 x 5

d) P( x ) . S ( x ) =

c) T( x ) . U (x) =

b) S( x ) . T( x ) =

T( x ) :

x3 3

U(x) : −

e) S ( x ) . U (x) =

5 7 x 2

f ) S ( x ) . S (x) =

De un polinomio por otro Combinamos los dos casos anteriores, es decir, aplicamos la distributiva y hacemos, signo por signo, número por número y letra por letra sumando sus exponentes. Si luego de esto quedan términos semejantes, debemos operar entre ellos para obtener un solo término de cada grado. Ej:

P( x ) : − x 4 − 1

se tiene:

;

Q ( x ) : −x 5 + x − 4

entonces

(

) (

P( x ) . Q (x) = − x 4 − 1 . − x 5 + x − 4

)

por distributiva

x 9 − x 5 + 4 x 4 + x 5 − x + 4 = x 9 + 4 x 4 − x + 4 = P(x) . Q(x)

10) Dados los siguientes polinomios, hagan los productos indicados P( x ) : − x 4 −

7 2

a) S ( x ) . T( x ) =

Q (x ) : −x 5 + x − 4

b) T( x ) . P(x) =

R ( x ) : −x 3 + 1

c) P( x ) . Q (x) =

S(x) :

1 5 x 5

d) P( x ) . S ( x ) =

T( x ) : x 3 − 1

U ( x ) : −1 − x + 2 x 3 − x 2

e) S ( x ) . U (x) =

f ) R ( x ) . R (x) =

En general se tiene para los polinomios las siguientes propiedades: Propiedad

Suma

Producto

Conmutativa

P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x)

P(x) . Q(x) = Q(x) . P(x)

Asociativa

[P(x) + Q(x)] + R(x) = P(x) + [Q(x) + R(x)]

P(x) . [Q(x) . R(x)] = [P(x) . Q(x)] . R(x)

Elemento neutro Elemento opuesto

P(x) + N(x) = N(x) + P(x) = P(x), entonces N (x) = 0

P(x). S(x) = S(x). P(x) = P(x), entonces S(x) = 1

P(x) + [-P(x)] = [-P(x)] + P(x) = 0

No se cumple

Distributiva

P(x) . [Q(x) + R(x)] = P(x) . Q(x) + P(x). R(x)

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