Cálculo con wiris. 4ºESO Polinomios. Fracciones algebraicas

Polinomios. Fracciones algebraicas EJERCICIOS GUIADOS 1.- Sabiendo que: P( x) = x 4 + 3 x 3 − 2 x + 1 Q( x) = − x 4 + 3 x 3 + 6 x 2 + 2 x − 5 realiza las siguientes operaciones:

R( x) = x 2 + 2 x − 5

a) P( x) + Q ( x ) b) Q( x) − R( x) c) P( x) ⋅ R ( x ) d) Cociente y resto de Q( x) ÷ R( x )

Solución: Escribe en la pantalla de trabajo de wiris los polinomios y las operaciones indicadas teniendo en cuenta las siguientes indicaciones: -

Los signos de las operaciones se teclean en el teclado numérico. Los exponentes de la variable se introducen con ayuda del botón Potencia de la pestaña Operaciones.

-

Después de teclear un exponente hay que pulsar la flecha de desplazamiento hacia la derecha (→) antes de escribir el siguiente carácter.

-

Una vez escrita la operación hay que teclear en el botón calcular

para obtener el resultado.

a)
( x + 3x − 2 x + 1 ) + ( − x + 3x + 6 x + 2 x − 5 ) 4

3

4

3

2

Resultado: P(x) + Q (x) = 6 x 3 + 6 x 2 − 4 b)
( − x 4 + 3x 3 + 6 x 2 + 2 x − 5 ) − ( x 2 + 2 x − 5 ) Resultado: Q( x) − R( x) = − x 4 + 3 x 3 + 5 x 2 c)
( x 4 + 3x 3 − 2 x + 1 ) · ( x 2 + 2 x − 5 ) Resultado: P( x) ⋅ R ( x ) = x 6 + 5 x 5 + x 4 − 17 x 3 − 3x 2 + 12 x − 5 d) Para efectuar la división entera (cociente y resto) usamos el botón División euclidiana de la pestaña de Operaciones.




−x4 + 3x3 + 6x2 + 2x − 5 (en el dividendo) x2 + 2x − 5 (en el divisor) Resultado: Cociente: − x 2 + 5 x − 9 Resto: 45 x − 50

1

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2.- Halla el valor numérico del polinomio P( x) = 2 x 3 − x 2 + 3x − 4 para x = – 3 y para x = 1

3

( P(−3) y P( 1 3 ) )

Solución: En primer lugar creamos la función P(x) escribiendo su fórmula. Para ello tecleamos el botón Definir de la pestaña de Símbolos ( o las teclas := del teclado).

, pulsamos intro para pasar de línea, escribimos P(−3) ,

A continuación, y antes de pulsar en calcular

intro de nuevo y en la siguiente línea P( 1 3 ) . Por último, pulsamos Para teclear la fracción

para calcular todo el bloque.

1 hacer uso del botón Fracción de la pestaña de Operaciones) 3

Teclea:





P( x) := 2 x 3 − x 2 + 3x − 4 intro P(−3) intro 1
P  (con ayuda del botón 3

)

Resultado: P(−3) = −76 y P( 1 3 ) = −

82 . 27

3.- Factoriza los siguientes polinomios: a) A( x) = 4 x 6 − 4 x 5 − 17 x 4 + 9 x 3 + 18 x 2 b) B( x) = 0.6 x 4 + x 3 − 3 x − 5

Solución: Para factorizar un número o un polinomio se utiliza la función factorizar de wiris.


factorizar( 4 x 6 − 4 x 5 − 17 x 4 + 9 x 3 + 18 x 2 )

Resultado: A( x) = 4 x 6 − 4 x 5 − 17 x 4 + 9 x 3 + 18 x 2 = x 2 ⋅ ( x − 2) ⋅ (x + 1) ⋅ (2 x + 3) ⋅ (2 x − 3)

Repite el proceso para factorizar B ( x ) .

(

Resultado: B( x) = 0.6 x 4 + x 3 − 3 x − 5 = 0.6( x − 1.5835) ⋅ (x + 1.9928) ⋅ x 2 + 1.2574 x + 2.6409

2

)

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4.- Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios: P( x) = 2 x 3 + 5 x 2 − 3x Q( x) = 4 x 3 − 2 x 2 Solución: El cálculo del máximo común divisor (mcd) y del mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números o polinomios se hace con las funciones mcd y mcm respectivamente.


mcd( 2 x 3 + 5 x 2 − 3x , 4 x 3 − 2 x 2 ) Resultado: mcd( 2 x 3 + 5 x 2 − 3x , 4 x 3 − 2 x 2 ) = 2 x 2 − 2 x


mcm( 2 x 3 + 5 x 2 − 3x , 4 x 3 − 2 x 2 ) Resultado: mcm( 2 x 3 + 5 x 2 − 3x , 4 x 3 − 2 x 2 ) = 4 x 4 + 10 x 3 − 6 x 2

5. - Calcula el valor de k para que la división 2 x 4 − 5 x 3 + kx 2 − 12 : ( x + 2) sea exacta.

(

)

Solución: Lo resolveremos aplicando el teorema del resto: el resto de la división entre x + 2 es igual al valor numérico del polinomio dividendo para x = − 2. Si la división es exacta el resto será igual a cero y por tanto, el valor numérico para x = − 2 será también cero. Con wiris daremos los siguientes pasos: 1.- Definir la función P( x) = 2 x 4 − 5 x 3 + kx 2 − 12 . 2.- Calcular el valor numérico de P ( x ) para x = − 2. 3.- Igual la expresión correspondiente a cero y resolver la ecuación obtenida. Los dos primeros pasos ya se han hecho en el ejercicio 2. Nota: Entre el parámetro k y la expresión x 2 debes escribir el signo de multiplicación. Por último, para resolver la ecuación se utiliza la función resolver de wiris.


P(x) := 2x4 − 5x3 + k·x2 − 12
P(− 2)


(verás que el valor numérico es 4k + 60)

resolver(4k+60=0) Resultado: k = − 15

3

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6.- Simplifica la siguiente fracción algebraica: 5 x 3 − 14 x 2 − 3x 25 x 3 − 75 x 2 − x + 3 Solución: Para simplificar una fracción numérica o algebraica simplemente se escribe la fracción, con ayuda del botón Fracción de la pestaña de Operaciones, y se pulsa en calcular Resultado:

.

5 x 3 − 14 x 2 − 3 x x = 3 2 25 x − 75 x − x + 3 5 x − 1

7.- Opera y simplifica: a)

x+2 2 x +1 − + 2x + 1 4x 2 −1 2x

 1  1  b)  x +  :  x −  ⋅ (x − 1) x  x       x  2 x  ⋅ − c) 11 − 2 x −1  x + 1 2x + 1    2   Solución: Para hallar el valor de las operaciones planteadas sólo tienes que escribir sus expresiones recordando que los signos de las operaciones son los del teclado numérico y que el corchete no hay que escribirlo: debes escribir sólo paréntesis. Si fuera el caso habrá paréntesis dentro de otros paréntesis. Resultados: x+2 2 x + 1 8 x 3 + 10 x 2 − 9 x − 1 a) − 2 + = 2x + 1 4x −1 2x 8x 3 − 2 x  1  1  x 2 +1 b)  x +  :  x −  ⋅ (x − 1) = x  x  x +1 

    x  2 x  22 x 3 + 12 x 2 − 26 x − 11 c) 11 − 2 ⋅ − = x −1  x + 1 2x +1  2x 3 + x 2 − 2x −1   2  

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Efectúa las siguientes operaciones con polinomios:

 x2 3   x4 5x 2 x  a)  − 3 x 4 + 2 x 3 − + 5 x −  −  + x 3 + − + 1 = 6 8  4 3 2    3x 3   1 x  ⋅ −  = b) 1 + x + x 2 + 3   2 2      x2 1 c)  x 4 − 2 x 3 + − x + 16  :  2 x 2 − 5 x +  Cociente: _______________ Resto: ___________ 9 3    2.- Halla el valor numérico del polinomio Q( x) = x 3 −

x2 3 2 + x + para x = 21 y para x = − 2 7 5

Q(21) = _____ Q(− 2 5 ) = _____ 3.- Factoriza los siguientes polinomios: a) P( x) = 4 x 5 − 25 x 4 − 70 x 3 − 221x 2 − 372 x + 108 = _______________________ b) Q( x) = 3x 4 − 5 x 2 + 0.7 x + 9 = ________________________

4.- Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios: a) P( x) = x 6 + 5 x 5 + 10 x 4 + 12 x 3 + 11x 2 + 7 x + 2

,

Q( x) = x 7 + x 6 + x 5 + x 4 − x 3 − x 2 − x − 1

mcm(P(x), Q(x)) = ___________________ MCD(P(x), Q(x)) = ___________________ b) A( x) = 2 x 6 + 20 x 4 + 22 x 3

,

B( x) = x 8 − 2 x 7 + 12 x 6 − 11x 5

mcm(A(x), B(x)) = ___________________ MCD(A(x), B(x)) = ___________________

5.- Determina el valor m para que al dividir 3x 4 − 6 x 2 + mx −

1 entre x + 8 el resto sea igual a − 3. 3

m = ____ 6.- Determina cuál de las siguientes pares de fracciones algebraicas son equivalentes : a)

5 x 4 + 15 x 3 + 20 x 2 + 60 x 10 x 3 + 335 x 2 − 525 x

x 4 − 6 x 3 − 23x 2 − 24 x − 108 2 x 3 + 49 x 2 − 708 x + 945

sí

no

b)

10 x 5 − 20 x 4 − 20 x 3 − 30 x 2 10 x 3 − 40 x

x 4 + x 3 − 8x 2 − 9x − 9 x3 + x 2 − 4x − 4

sí

no

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7.- Efectúa las siguientes operaciones : a)

x x 3 + 0.1 1 − x 2 + − = x − 4 2 x + 4 5 x − 20 2

x2 − 4 2 b) x +23x + 3x + 1 = x − 3x + 2 x 2 + 5x + 6 3

c) 2 x +

3 10 x + 10 ⋅ = 1− x 2 x 2 +1

8.- Opera y simplifica : a)

2a 3b a 2 + 3ab + 18b 2 − − = a − 3b a + 3b a 2 − 9b 2

 x− y  x− y x+ y  :   = b) 1 − −  x+ y  x+ y x− y

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