PREDIMENSIONADO DE COLUMNAS Introducción La columna es el elemento estructural vertical empleado para sostener la carga de la edificación. Es utilizado ampliamente en arquitectura por la libertad que proporciona para distribuir espacios al tiempo que cumple con la función de soportar el peso de la construcción; es un elemento fundamental en el esquema de una estructura y la adecuada selección de su tamaño, forma, espaciamiento y composición influyen de manera directa en su capacidad de carga. Para la columna se indica las características que la definen así como el comportamiento para definir los aspectos a tomar en cuenta en el diseño de las columnas de madera, acero y concreto armado; adicionalmente se incluye un ejemplo para cada tipo de material.

Definición La columna es un elemento sometido principalmente a compresión, por lo tanto el diseño está basado en la fuerza interna, conjuntamente debido a las condiciones propias de las columnas, también se diseñan para flexión de tal forma que la combinación así generada se denomina flexocompresión. Según el uso actual de la columna como elemento de un pórtico, no necesariamente es un elemento recto vertical, sino es el elemento donde la compresión es el principal factor que determina el comportamiento del elemento. Es por ello que el predimensionado de columnas consiste en determinar las dimensiones que sean capaces de resistir la compresión que se aplica sobre el elemento así como una flexión que aparece en el diseño debido a diversos factores1. Cabe destacar que la resistencia de la columna disminuye debido a efectos de geometría,lo cuales influyen en el tipo de falla. El efecto geométrico de la columna se denominan esbeltez2y es un factor importante, ya que la forma de fallar depende de la esbeltez, para la columna poco esbelta la falla es por aplastamiento y este tipo se denomina columna corta, los elemento más esbeltosse denominan columna larga y la falla es por pandeo. La columna intermedia es donde la falla es por una combinación de aplastamiento y pandeo. Además, los momentos flectores que forman parte del diseño de columna disminuyen la resistencia del elemento tipo columna (Galambos, Lin y Johnston, 1999; Singer y Pytel, 1982).

Comportamiento Dentro de los requisitos fundamentales de una estructura o elemento estructural están: equilibrio, resistencia, funcionalidad y estabilidad. En una columna se puede llegar a una condición inestable antes de alcanzar la deformación máxima permitida o el esfuerzo máximo. El fenómeno de inestabilidad se refiere al pandeo lateral, el cual es una deflexión que ocurre en la columna (véase Figura 3); cuando aparece incrementa el momento flector aplicado sobre el elemento, el aumento de la deflexión agranda la magnitud del momento flector, creciendo así la curvatura de la columna hasta la falla; este caso se considera inestable. Por ello la resistencia de la columna sometida a compresión tiene dos límites, el de resistencia para columnas cortas y el de estabilidad para columnas largas (véase Figura 1). La estabilidad es así el nuevo parámetro que define además de la resistencia y la rigidez, las dimensiones de la columna (Beer y Johnston 1993; Popov, 1996; Timoshenko y Young, 2000). 1

Imperfecciones iniciales en la línea vertical de la columna o imperfecciones en el material, también la continuidad de la columna con la viga hace que los momentos aplicados en la viga se transmitan a la columna. 2

Relación entre el tamaño de la sección transversal y la longitud del elemento.

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Figura 1. Disminución del esfuerzo de trabajo a compresión según la esbeltez de la columna. (Tomado de Timoshenko y Young, 2000, p. 282)

Carga crítica La deformación de la columna varia según ciertas magnitudes de cargas, para valores de P bajosse acorta la columna, al aumentar la magnitud cesa el acortamiento y aparece la deflexión lateral. Existe una carga límite que separa estos dos tipos de configuraciones y se conoce como carga críticaPcr(véase Figura 2). P>Pcr

P 1,5 ⇒ Fcr =

0,877

λc 2

Fy

(6.a)

(6.b)

Figura 6. Valores de k según el tipo de apoyo (De McCormac, 1996, p.109).

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Tabla 1. Esfuerzo crítico de pandeo. KL/r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

øFcr 2125 2125 2124 2123 2122 2121 2120 2118 2116 2114 2112 2110 2107 2104 2101 2098 2094 2091 2087 2083 2078 2074 2069 2064 2059 2054 2048 2043 2037 2031 2024 2018 2011 2005 1998 1990 1983 1976 1968 1960

KL/r 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

øFcr 1952 1944 1936 1927 1918 1910 1901 1892 1882 1873 1864 1854 1844 1834 1824 1814 1804 1793 1783 1772 1761 1750 1739 1728 1717 1705 1694 1683 1671 1659 1648 1636 1624 1612 1600 1588 1575 1563 1551 1538

KL/r 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

øFcr 1526 1513 1501 1488 1476 1463 1450 1437 1425 1412 1399 1386 1373 1360 1347 1334 1321 1309 1296 1283 1270 1257 1244 1231 1218 1205 1192 1179 1166 1154 1141 1128 1115 1103 1090 1077 1065 1052 1040 1027

KL/r 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160

øFcr 1015 1002 990 978 966 953 941 929 917 905 893 882 870 858 847 835 823 811 800 788 777 766 756 745 735 725 715 705 696 687 678 669 660 651 643 635 627 619 611 604

KL/r 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200

øFcr 596 589 582 574 568 561 554 547 541 535 528 522 516 510 505 499 493 488 482 477 472 466 461 456 451 447 442 437 433 428 424 419 415 411 406 402 398 394 390 386

Fy=2500 kg/cm²

(a)

(b)

(c)

Figura 7. Tipos de columnas de concreto armado. (De Nilson y Winter, 1994, p.20; McCormac, 1996, p.479).

Columna de concreto armado Las columnas de concreto armado pueden ser de tres tipos que son:

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− − −

Elemento reforzados con barras longitudinales y zunchos (véase Figura 7.a), elementos reforzados con barras longitudinales y estribos (véase Figura 7.b), elementos reforzados con tubos de acero estructural, con o sin barras longitudinales, además de diferentes tipos de refuerzo transversal (véase Figura 7.c).

Para las columnas de concreto armado, la cuantía de acero4 oscila entre 1 y 8% con un mínimo de 4 barras longitudinales (Nilson y Winter, 1994). Método para predimensionar columnas de concreto armado Existen dos tipos de métodos para predimensionar las columnas de concreto armado, el primero es una aproximación, ya que se basa en la carga axial únicamente, debido a que esta carga es fácil de obtener por métodos aproximados para cálculos preliminares de pórticos. El segundo método es más preciso y está basado en la carga axial y el momento flector conocido, valores que son los necesarios para diseñar una columna. Conocido Pu Existen una gran variedad de fórmulas para predimensionar columnas con Pu conocido, solo se presenta dos tipos. Método sugerido por Nilson y Winter Las dimensiones de las columnas se controlan principalmente por cargas axiales, aunque la presencia de momento incrementa el área necesaria. Para columnas interiores, donde el incremento de momento no es apreciable un aumento del 10% puede ser suficiente, mientras que para columnas exteriores un incremento del 50% del área sería apropiado (Nilson y Winter, 1994).

Ac = incremento

Pu φf c′

(7)

Método sugerido por Arnal y Epelboim El área de concreto armado puede estimarse por la fórmula (Arnal, y Epelboim, 1985)

Ac = Donde:

Pu αφf c′

(8)

Ac≡Area de la columna, α ≡ Factor según la posición de la columna indicado en la Tabla 2, ø≡ Factor de minoración de resistencia. ø=0,65 para columnas con estribos y ø=0,70 para columnas con zunchos.

Tabla 2. Factores α según la ubicación de la columna Tipo de columna Esquina Borde Central

α 0,20 0,25 0,28

Conocido Puy Mu Este método está basado en el empleo de ábacos basados en diagramas de interacción de resistencia que definen la combinación de carga axial y momento flector de falla para una columna determinada, con un intervalo completo de excentricidades desde cero hasta infinito (véase Figura 8). Los pasos para obtener las dimensiones son: 4

Relación entre el área de acero (As) y el área de concreto (Ag) y se define por ρ.

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a)

Calcular la excentricidad e

;

b) seleccionar la cuantía de acero ρ=[0,02; 0,03] y calcular c)

,

;

escoger un valor tentativo para h o D y escoger el ábaco con

;

d) calcular el valor e/h o e/D con el valor de h o D del paso anterior y trazar una línea radial que represente este valor

e e μ ; o = h D ν

e)

donde corta la línea radial e/h o e/D con la curva ω leer el correspondiente ν;

f)

calcular el área requerida Ag con

Ag =

Pu ;ø=0,65 para columnas con estribos y ø=0,70 φ 0,85 f cν′

para columnas con zunchos. g) Calcular

b=

Ag h

o

D=

4 Ag

π

;

h) Si es necesario revisar el valor tentativo de h para obtener una sección bien proporcionada

b = [0 ,6 ;1] o si es el mismo valor para D (Nilson y Winter, 1994). h

Figura 8. Diagrama de interacción para la resistencia nominal de una columna (De Nilson y Winter, 1994, p.244).

Dimensiones mínimas de una columna de concreto armado 20x20 o 30x30 para zona sísmica.

Ejemplos Diseño de columna de madera Determinar las dimensiones de una columna con madera tipo A sometido a las siguientes cargas:

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P= 11034 kgf M= 993 kgf*m

l=3

2

Madera Tipo A:

Fc= 149 kgf/cm ; Fb= 210 kgf/cm2; E= 130000 kgf/cm2

1.

El procedimiento de diseño en columnas consiste en comprobar la columna propuesta, por ello se propone una columna de 14x14 y se determina el esfuerzo admisible a compresión para ello se debe aplicar las Ecuaciones 5 y 4.

FcE =

K cE E 0,3 *130000 ⇒ FcE = ⇒ FcE = 201,03 kgf/cm2 2 2 (Le d ) ⎛ 0,65 * 300 ⎞ ⎜ ⎟ 14 ⎝ ⎠ 1

,

1 2

1,47

2 0,8 1,47

2.

,

1,47

1,69

1,69

0,8 0,78

Se aplica la Ecuación 3, donde se determinan todos los esfuerzos de trabajo antes de aplicar la Ecuación. 56,30 149 0,78 1

,

,

116,22 1,52

,

217,13

; yFb= 210 kgf/cm2

1no sirvela columna de 14x14, por lo tanto se debe probar

otra sección y repetir el procedimiento. Segunda prueba, sección 14x19 cm (ver nota 5)

201,03

0,78 41,48

116,22 1

;

117,89

yFb= 210 kgf/cm2 ,

, ,

0,92

1sirve por lo tanto la columna es de 14x19.

Diseño de columna de acero Determinar el perfil de acero de la Figura 8 a diseñar por flexocompresión, para la carga indicada: Pu =15447 kgf; Mu = 1390 kgf*m De la Figura 6 se tiene que k= 0,65 al contrastar con la Figura 9 y L es 3 m. Siguiendo el procedimiento de elementos sometidos a fuerzas de compresión en acero, tenemos: 5

Por ser la misma dimensión mínima el resultado es igual al caso anterior, ya que los valores del material son iguales. Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes, Venezuela.

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1. Se selecciona un perfil de tanteo (en este caso un perfil IPN 160) del cual se obtiene las propiedades geométricas A, Zmax y rmin,para luegocomprobar que kL rmin ≤ 200 ; para el perfil, las propiedades geométricas son: Designación A (cm2) Zy (cm3) ry (cm) Zz(cm3) rz (cm) k*L/rmin IPN 160

22,8

135

6,4

25

1,55

125,8

l=3

Figura 9. Esquema del elemento a flexocompresión.

2. Se calcula øcFcr y øcPn para el perfil de tanteo, con el coeficiente de esbeltez redondeado a cero cifras se emplea la Tabla 1;

(

)

kL 0,65 * 300 kL tabla ⎯→φc Fcr ⇒ 126 ⎯tabla ⎯⎯1→φc Fcr = 953 kgf/cm2 = ⇒ = 126 ; kL rmin ⎯⎯ rmin 1,55 rmin

φc Pn = φc Fcr A ⇒ φc Pn = 953 * 22,8 ⇒ φc Pn = 21728,4 kgf 3. El perfil de tanteo se revisa con la fórmula de interacción, si la resistencia de diseño es muy cercana al valor requerido puede ensayarse el siguiente tamaño tabulado.

Pu = 0,71 > 0,20 (se aplica la Ecuación 4a) φc Pn Pu 8 Mu 8 139000 + ≤ 1 ⇒ 0,71 + = 1,12 > 1 φc Pn 9 φb M n 9 0,9 * 2500 * 135 El perfil IPN 160no cumple para la columna, por lo que se realiza una segunda prueba con un perfil más grande ya que la Fórmula de Interacción dio mayor a 1. Se selecciona el perfil IPN 180 y repitiendo el procedimiento anterior tenemos: Designación A (cm2) Zy (cm3) ry (cm) Zz (cm3) rz (cm) k*L/rmin k*L/rmin φFcr Pu/Pn Interacción IPN 180

27,9

185

7,2

33,6

1,71

114,0

114

1103 0,502

0,80

Al emplear la primera Fórmula de Interacción (Ecuación 4a Pu/Pn> 0,20), tenemos que el perfil IPN 180 cumple con la condición.

Diseño de columna de concreto armado Conocido Pu Determinar las dimensiones de una columna interior de concreto armado aflexocompresión, para la carga y materiales indicados Pu =15447 kgf;

= 210 kgf/cm2 ;fy= 4200 kgf/cm2.

Método sugerido por Nilson y Winter 

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1,1

1,1

15447 0,65 210

124,48

11,15. Dado que las dimensiones Suponiendo sección cuadrada √124,48 mínimas son de 20x20 o 30x30 para zona sísmica, se adopta una de las dos dependiendo de la zona donde se diseñe. Método sugerido por Arnal y Epelboim  Aplicando la Ecuación 6 con α=0,28 por ser columna interna (véase Tabla 1) y ø=0,65, tenemos 15447 0,28 0,65 210

404,16 √404,16

Suponiendo sección cuadrada redondearse al múltiplo de 5 superior.

20,1

. La solución es 25x25 cm por

Conocido Pu y Mu Determinar las dimensiones de unacolumna de concreto armado, para la carga y materiales indicados: = 210 kgf/cm2 ;fy= 4200 kgf/cm2.

Pu =15447 kgf; Mu = 1390 kgf*m;

Para el diseño de columnas de concreto armado, se siguen las indicaciones señaladas para el diseño conocida Pu y Mu. i.

Se selecciona la cuantía de acero ρ entre [0,02; 0,03] y calcular ω ρ=0,025 y la cuantía mecánica es

ω=

ρf y 0,85 f c′

, por ello se escoge

0,025 * 4200 ⇒ ω = 0,59 . 0,85 * 210

ii. Se escoger como valor tentativo para h=40 cm

γ=

=

γ=

h − 2r por lo que la relación de forma queda h

40 − 2 * 5 ⇒ γ = 0,75 , se escoge el ábaco γ=0,80. 40

Figura 10. Abaco seleccionado.

iii. Calcular el valor e/h y trazar una línea radial que represente este valor.

e = M u Pu ⇒ e = 1390 15447 ⇒ e = 0,09 m; por lo tanto trazar la línea radial se aplica la relación correspondiente de μ para 0,2;ν

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e 9cm e = ⇒ = 0,22 . Para h 40cm h

e μ y se escoge ν=0,2 para establecer el valor = h ν

e = μ ⇒ 0,2 * 0,22 = μ ⇒ μ = 0,04 . El punto señalado en la h enero 2013 12

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Figura 11 corresponde a estas coordenadas (μ=0,04; ν=0,2). Este punto se une con el origen para obtener la línea radial.

Figura 11. Trazado de la línea radial e/h=0,22.

iv. Donde corta la línea radial e/h= 0,22 con la curva ω=0,59 se lee el correspondiente valor de ν de 0,68 (véase la Figura 12).

Figura 12. Valor de ν obtenido del corte de la línea radial e/h=0,22 con la curva ω=0,59.

v. Se calcula el área requerida Ag con el valor obtenido de ν, según la relación tenemos

Ag =

ν=

Pu , φ 0,85 f c′Ag

15447 ⇒ Ag = 195,79 cm2. 0,65 * 0,85 * 210 * 0,68

vi. Se determina b =

Ag h

con el área obtenida y altura h establecida b =

vii. Se revisa la proporción de la sección bien proporcionada

195,79 ⇒ b = 4,9 cm. 40

b 5 = = 0,125 que está fuera del rango h 40

[0,6; 1], por lo que el procedimiento se repite otra vez con un valor de h menor. Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes, Venezuela.

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Se supone h= 20 cm y se vuelve a determinar γdesde el paso ii

20 − 2 * 5 ⇒ γ = 0,5 , se escoge el ábaco γ=0,60. 20

iib.

γ =

iiib.

e 9cm e e = ⇒ = 0,45 . Se traza la línea radial;ν = μ ⇒ 0,2 * 0,45 = μ ⇒ μ = 0,09 . h h 20cm h Coordenadas (μ=0,09; ν=0,2).

ivb. Valor de νcorrespondiente al cortede la línea radial e/h= 0,45 con la curva ω=0,59; ν =0,34. vb. Area requerida

vib.

b=

Ag h

b=

Ag =

15447 ⇒ Ag = 391,57 cm2. 0,65 * 0,85 * 210 * 0,34

391,57 ⇒ b = 19,6 cm 20

b=20 cm por redondearse al mínimo múltiplo de 5

superior. viib.

b 20 = = 1 está dentro del rango [0,6; 1]. h 20

Las dimensiones de la columna son 20x20.

Referencias −

Arnal, E. y Epelboim S. (1985). Manual para el proyecto de estructuras de concreto armado para edificaciones. Caracas, Venezuela: Fundación “Juan José Aguerrevere”, Fondo Editorial del Colegio de Ingenieros de Venezuela.

−

Beer, F. y Johnston, E. (1993). Mecánica de materiales. Santafé de Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Interamericana, S.A.

−

Galambos, T., Lin, F.J. y Johnston, B. (1999). Diseño de estructuras de acero con LRFD. Naucalpan de Júarez, México: Prentice Hall Hispanoamericana, S.A.

−

McCormac, J. (1996). Diseño de estructuras de acero (Método LRFD). México D.F., México: Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V.

−

Nilson, A. y Winter, G. (1994). Diseño de estructuras de concreto. Santafé de Bogota, Colombia: McGrawHill Interamericana S.A.

−

Parker, H. y Ambrose, J. (1995). Ingeniería simplificada para Arquitectos y Constructores. México D.F., México: Editorial Limusa, S.A. de C.V. Grupo Noriega Editores.

−

Popov, E. (1996). Introducción a la mecánica de sólidos. México D.F., México: Editorial Limusa, S.A. de C.V. Grupo Noriega Editores.

−

Segui, W. (2000). Diseño de estructuras de acero con LRFD. México D.F., México: Internacional Thomson Editores, S.A. de C.V.

−

Singer, F. y Pytel, A. (1982). Resistencia de materiales. México D.F., México: Editorial Harla, S.A. de C.V.

−

Timoshenko, S. y Young, D. (2000). Elementos de resistencia de materiales. México D.F., México: Editorial Limusa, S.A. de C.V. Grupo Noriega Editores

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