Resumen de estabilidad de columnas Resumen del capítulo 14 del libro “Curso de Análisis Estructural” (Ed. Eunsa, 2003)

Juan Tomás Celigüeta

Resumen de estabilidad de columnas

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INTRODUCCIÓN

En el análisis lineal de estructuras a un aumento de las cargas exteriores corresponde un aumento proporcional de las deformaciones y de los esfuerzos internos, con lo que es posible ir aumentando las cargas, y todas las soluciones obtenidas son válidas (hasta alcanzar los límites del material). Sin embargo, la experiencia demuestra que existen unos valores de las cargas para los cuales la estructura se deforma de una manera excesiva, mucho mayor que lo que correspondería para dichas cargas en el rango lineal, y al producirse estas deformaciones excesivas se anula la capacidad de la estructura para soportar las fuerzas exteriores, provocando su colapso, todo ello sin que se supere el límite elástico del material. Estos valores de las cargas que provocan el colapso de la estructura se denominan cargas críticas de pandeo o de colapso. Se dice también que la estructura es inestable para dicho valor de las cargas, pues experimenta un crecimiento sin límite de las deformaciones, aún sin un aumento de las cargas exteriores. El estudio de la estabilidad estructural trata por lo tanto de determinar los valores de las cargas críticas que provocan el colapso por grandes deformaciones. Para este estudio es necesario suponer que las deformaciones no son pequeñas, y en consecuencia la posición deformada de la estructura no puede confundirse con la posición sin deformar. Por lo tanto las ecuaciones de equilibrio se deben plantear ahora en la posición deformada, y no en la inicial. Los conceptos de carga crítica y estabilidad del equilibrio pueden ponerse de manifiesto con gran facilidad mediante el siguiente ejemplo sencillo. Considérese el sistema mostrado en la figura siguiente, en el que la barra se supone infinitamente rígida, y por lo tanto sólo el muelle de torsión acumula energía. Un análisis de primer orden, planteando el equilibrio en la posición indeformada, indica que la barra está sometida a una compresión de valor P y que el resorte está descargado. Sin embargo, si se plantea el equilibrio en la posición deformada se obtiene que el resorte tiene un par de valor PLsinθ. K

K

P

θ

P

L

Es posible obtener más información sobre la estabilidad del sistema efectuando un análisis de segundo orden, considerando la expresión exacta del potencial total del sistema: Π=

a

1 2 kθ − PL 1 − cos θ 2

f

Para que haya equilibrio este potencial debe ser estacionario: dΠ = kθ − PL sin θ = 0 dθ

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Esta ecuación se satisface de dos formas. Si θ=0 cualquier valor de P la satisface, lo cual corresponde con la solución del análisis de primer orden, que permite cualquier valor de P. También se cumple la ecuación de equilibrio anterior si el valor de P es: P=

kθ L sin θ

Esta es la relación entre la carga axial P y el giro θ en cualquier posición de equilibrio, y en ella se observa que para θ=0 la carga vale P=k/L. Esto indica que k/L es un valor crítico de la carga, que hace pasar a la barra de la situación inicial θ=0 a una situación en la que la barra comienza a girar y el muelle empieza a tener esfuerzo. Este valor de la carga se denomina punto de bifurcación del equilibrio, y en él se pasa de la solución de primer orden a la de segundo. La figura siguiente muestra la representación gráfica del comportamiento del sistema. Para valores de la carga inferiores a k/L, el giro es nulo θ=0. Al alcanzarse dicho valor crítico k/L, se produce el colapso, y la barra comienza a girar. A partir de ese valor de la carga, el comportamiento es el indicado por el análisis de segundo orden. P

Estable

Pcr=k/L Estable

θ

Para estudiar la estabilidad del sistema se calcula la derivada segunda del potencial: d 2Π = k − PL cos θ dθ 2

Para la solución de primer orden, con θ=0, es decir con P 3.6 ⎪ ⎪ ⎩

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siendo μ el parámetro de esbeltez corregido para considerar las características del material: μ=λ

σy

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π 2E

Con este parámetro, el límite de la zona de pandeo elástico a inelástico correspondiente a una tensión de 0.5σy está situado en μ = 2 . Nótese que la fórmula utiliza una expresión parabólica para una esbeltez μ menor que 1, y a partir de este valor añade términos en forma de hipérbola de orden 1 y 2, como los incluidos en la fórmula de Euler. 12.4 Fórmula del AISC La fórmula 2 del SSRC resulta en algunas ocasiones algo conservadora para columnas de edificios, por lo que el American Institute of Steel Construction (AISC) propuso en 1986 la siguiente expresión de la tensión crítica:

σCR σy

2 ⎧ ⎪ e −0.419μ ⎪ =⎪ ⎨ ⎪ 0.877 μ−2 ⎪ ⎪ ⎩

μ ≤ 1.5 μ > 1.5

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12.5 Método del coeficiente ω Este método es de aplicación muy sencilla, y ha sido adoptado por varias normas, entre ellas la MV103. Consiste sencillamente en multiplicar la tensión nominal de trabajo de la columna por un coeficiente denominado coeficiente de pandeo ω, superior a la unidad, de tal forma que el producto resultante sea inferior al límite elástico, o la tensión de diseño del material en su caso. Por lo tanto, en el límite antes de producirse el pandeo se debe cumplir: ω σCR ≤ σy

En consecuencia la fórmula de diseño en este método se puede poner: σCR 1 20 ≤ λ ≤ 250 = σy ω El valor del coeficiente ω está tabulado en función de la esbeltez λ, para cada material.

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La figura 14.40 representa de forma gráfica las distintas fórmulas de diseño presentadas: en ordenadas se representa el cociente entre la tensión crítica y el límite elástico y en abscisas la esbeltez, para un acero típico de construcción, con límite elástico de 260 MPa. 1

CRC

Euler

Tensión crítica / Límite elástico

0.9 0.8 0.7 0.6

AISC

0.5 0.4 SSRC

0.3 0.2

Coef ω

0.1 0

0

50

100 150 Esbeltez λ

Figura 14.40

19

200

250