Unidad 1. Conjuntos de números II. Operaciones y expresiones 1. Operaciones con números racionales. Las operaciones con números racionales las estamos realizando desde los grados primarios. 1 + 2 = 3; 5 – 4 = 1; 2(3) = 6;

12  3 . Observa todos los valores usados en 4

estas operaciones pertenecen al conjunto de los números racionales. Solo nos falta añadir a este proceso los números negativos, las fracciones y los decimales. Operaciones con enteros. Para efectuar las operaciones con números enteros tienes que conocer las reglas para trabajar con signos. Reglas: Suma. Si las cantidades a sumar tienen signos iguales, se suman y el signo se mantiene. Ejemplo: 3 + 7 = 10 -6+-3=-9 Si las cantidades a sumar tienen signos diferentes, se restan y utilizamos el signo del número con mayor valor real. Ejemplo: - 6 + 9 = 3 12 + - 18 = - 6 Comentario. Si necesitamos agrupar más de dos números con signos diferentes, agrupamos los positivos y los sumamos, agrupamos los negativos y los sumamos y luego restamos las cantidades y colocamos el signo correspondiente de acuerdo a la regla. Ejemplo. 2 + - 3 + 5 + - 4 + - 2 + 6 + - 1 = 2 + 5 + 6 = 13

- 3 + - 4 + - 2 + - 1 = - 10 13 + - 10 = 3

Resta. Para efectuar la operación de resta: a) primero expresamos la resta como la suma del opuesto. b) utilizamos las reglas de suma. Ejemplo: 1) – 5 – 3 = - 5 + - 3 = - 8

2) 6 - - 2 = 6 + 2 = 8

3) 9 – 12 = 9 + - 12 = - 3

4) -3 - - 8 = -3 + 8 = 5

Multiplicación y división. Para multiplicar y dividir, solo cuenta la cantidad de números negativos. a) Si la cantidad de números negativos es par (0, 2, 4, 6, …), el resultado es positivo. b) Si la cantidad de números negativos es impar (1, 3, 5, …) el resultado es negativo. Ejemplos: 1) 2 x 3 x -4 = - 12 (un signo negativo, impar, resultado negativo) 2) - 6 x -3 = 18 (dos signos negativos, par, resultado positivo) 3) - 2 x -4 x -1 = - 8 (tres signos negativos, impar) Operaciones con decimales. Las reglas que se estudiaron con los enteros no son exclusivas del conjunto de números. Se aplican a todos los otros conjuntos. Recuerda que los números enteros son parte de los números racionales. Suma y resta con decimales. Para sumar y restar decimales, solo tienes que tener cuidado de que el punto decimal esté alineado y luego suma como si tratara con enteros. Ejemplo. a) 1.7 + 2.49 = 1.7 + 2.49 4.19

b) 16.48 – 12.3 = 16.48 - 12.3 4.18

c) 15.5 – 9.47 = 15.50 - 9.47 6.03

Es necesario el cero para poder reagrupar.

Multiplicación con decimales. Para multiplicar con decimales, multiplicas los números como si fueran enteros y cuentas los espacios que hay después del punto y la respuesta debe tener la misma cantidad de espacios decimales. Ejemplos: a) 4.5 x 3 = 4.5 x 3

c) .2  .2 

b) 3.92 ( 1.4) = 3.92 Un espacio

13.5

x 1.4

.2 Tres espacios

1468

x .2

Dos espacios

.04

392 4.388 División con decimales. Para dividir números decimales hay tres casos. Caso 1. Decimal en el dividendo. Subes el punto, y divides como si fueran enteros. .31 a) 4 1.24

cociente Recordar: divisor dividendo

Caso 2. Decimal en el dividendo y divisor. 3.1 a) .4 1.24

Como en el divisor hay punto, se mueve hacia la derecha la cantidad de lugares y luego se sube. Y a dividir como enteros. Caso 3. Decimal en el divisor. 310 a) .4 124.0.

Como en el divisor hay punto, se mueve hacia la derecha la cantidad de lugares, se añaden los ceros necesarios y luego se sube. Y a dividir como enteros.

Herramienta necesaria. Al efectuar las operaciones con fracciones es conveniente expresar la solución en forma simplificada. ¿Sabes cómo simplificar fracciones? Mira los pasos a seguir: 1) Hallar el máximo común divisor (MCD) para el numerador y el denominador. 2) Dividir el numerador y el denominador entre el MCD.

Ejemplos: Simplifica cada fracción. a)

8 84 2   12 12  4 3

b)

 15  15  3  5 5    El MCD es 3. Como es división, 2 signos negativos, (par), 9 93 3 3

El MCD para 8 y 12 es 4. Estudiando en lección anterior.

el resultado es positivo. c)

9 20

El MCD es uno, por lo tanto está en su forma más simple.

Operaciones con fracciones. Multiplicación. Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores, se multiplican los denominadores y luego se simplifica el resultado. Regla de multiplicación:

A C AC   , B  0 yD  0 B D BD

Ejemplo: a)

 3 5  15  3  5    Se multiplicaron los numeradores, se multiplicaron los 8 6 48  3 16

denominadores. El MCD para 15 y 48 es el 3 y ambos se dividieron entre 3 para simplificar. b)

5 5 4 20  2 10 4     El 4, que es un entero, se expresó en forma racional. 6 6 1 62 3

c)

3 7 21   2 8 16

¿Simplifica?

División. Para dividir dos fracciones, expresamos la división como la multiplicación del recíproco y luego procedemos con la multiplicación. Regla de división.

A C A D AD     ; B C y D  0. B D B C BC

Ejemplo: a)

 3 5  3 6  18  2  9      8 6 8 5 40  2 20

Una vez se expresa como multiplicación, se repite lo aprendido en ésta.

Suma y Resta con fracciones. Para sumar y restar fracciones, podemos encontrar dos situaciones: 1) Fracciones homogéneas: Denominadores iguales 2) Fracciones heterogéneas: Denominadores diferentes. Denominadores iguales. (Homogéneas) Para sumar o restar dos o más fracciones con denominadores iguales, se mantiene el denominador y se suman o restan los numeradores (de acuerdo a la regla de los signos) Regla:

A C AC   , B  0 . Luego observar si la fracción del resultado simplifica. B B B

Ejemplo: a)

5 3 53 82 4     6 6 6 62 3

b)

 9 3  9  3  12  2  6     10 10 10 10  2 5

c)

3 9 39 6    7 7 7 7

Denominadores diferentes. (Heterogéneas) Para sumar o restar dos o más fracciones con denominadores diferentas, las expresamos como fracciones homogéneas, hallando el mínimo común múltiplo, MCM, para los denominadores (lección anterior). Ejemplo: a)

3 1 9 4 9  4 13      8 6 24 24 24 24

Nota: 3 9 El MCM para 8 y 6 es 24. Una fracción equivalente para es y una fracción 8 24

equivalente para

1 4 es . Una vez se expresan como fracciones equivalentes, son 6 24

homogéneas y podemos sumar o retar. b)

 4 5  8 15  8  15 7      9 6 18 18 18 18

¡Éxito!