Primera parte

FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD

44

1.1

OBJETO DE LA PROBABILIDAD

L

a probabilidad es la rama de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios. Empecemos por distinguir fenómeno: Para la Real Academia Española, un fenómeno es todo aquello que podemos percibir a través de los sentidos o de la conciencia; por ejemplo, la gravedad, la temperatura o el placer.

1.1.1 FENÓMENOS

Fenómenos deterministas y aleatorios Cuando un fenómeno, bajo ciertas condiciones de observación, se presenta con regularidad determinista, es decir, cuando siempre se percibe de la misma manera, se dice que se trata de un fenómeno determinista; por ejemplo, la aceleración de la gravedad en un punto de la superficie terrestre. Un fenómeno aleatorio, en cambio, es aquel que al ser observado bajo las mismas condiciones, su percepción no es siempre la misma, es decir, se presenta con una regularidad de tipo estadístico; por ejemplo, el peso de un recién nacido. En general, la comunidad científica acepta la existencia de auténticos fenómenos aleatorios naturales, a nivel atómico. Los deterministas, sin embargo, consideran que tal aleatoriedad es aparente y lo que hay es un desconocimiento de las leyes físicas que los rigen, y definen un fenómeno aleatorio como aquel en el que un pequeño cambio en sus factores produce grandes diferencias en su resultado. En contraparte, también se reconoce la existencia de algunos fenómenos deterministas, cuya evolución futura no es posible predecir, de manera que pareciera que se comportan aleatoriamente.

E

n los fenómenos aleatorios no se puede predecir el resultado de cada experiencia y observación particular. Tener incertidumbre es simplemente no poder asegurar lo que va a ocurrir y, en este sentido, existen muchísimas cosas inciertas para el hombre.

Incertidumbre probabilística La incertidumbre proviene de tres elementos fundamentales: En primera instancia, el fenómeno mismo es incierto; son demasiados los factores que influyen en la ocurrencia del fenómeno y en la forma en que puede ocurrir, de manera tal que éste no pude predecirse con certeza aún con un cúmulo de información disponible y un alto grado de conocimiento del propio fenómeno. Esta es una incertidumbre probabilística, natural, intrínseca al fenómeno y, por tanto, irreducible.

1.1.2 INCERTIDUMBRE

46 OBJETO DE LA PROBABILIDAD

Incertidumbre estadística El segundo elemento de incertidumbre es el proveniente de la falta de información, de la ignorancia parcial respecto al fenómeno o desconocimiento de cómo es que puede ocurrir. Esta incertidumbre puede reducirse en la medida en que se cuente con más información respecto del fenómeno y de la ocurrencia del mismo, por lo que se dice que éste es un tipo de incertidumbre estadística.

Incertidumbre del modelo Finalmente, la incertidumbre proveniente del modelo, cuyo creador, al abstraer la realidad, al tratar de representarla en forma simplificada, puede soslayar propiedades que son relevantes. Esta incertidumbre también es reducible, depende más que nada del analista, del modelador; mientras más apegado sea el modelo a la realidad, mientras más representativo de ésta, menor será la incertidumbre. “Una inteligencia que conociera todas las fuerzas que actúan en la Naturaleza en un instante dado y las posiciones momentáneas de todas las cosas del universo, sería capaz de abarcar en una sola fórmula los movimientos de los cuerpos más grandes y de los átomos más livianos del mundo, siempre que su intelecto fuera suficientemente poderoso como para someter a análisis todos los datos; para ella nada sería incierto, y tanto el futuro como el pasado estarían presentes a sus ojos” Laplace “Azar es una palabra vacía de sentido, nada puede existir sin causa” Voltaire

Los deterministas sostienen que la incertidumbre no es sino una medida de nuestra ignorancia, que todos los fenómenos son perfectamente predecibles con exactitud, partiendo de las relaciones causa-efecto de todos los elementos que intervienen; por lo tanto, la probabilidad es, para ellos, un mero ejercicio matemático. Pero resulta que el conocimiento humano casi nunca permite establecer tales relaciones y que, en todo caso, sería demasiado tardado y costoso tratar de conocerlas con exactitud. Quizá se les dé la razón dentro de algunos milenios, cuando hasta los humanos dejemos de ser impredecibles; mientras tanto, la probabilidad parece indispensable. Creer que nuestro mundo es no-determinista no significa que sea un mundo libre de relaciones causa-efecto, o un mundo sobre el que no podamos tener certezas; existen muchísimas cosas sobre las que los humanos tenemos absoluta certeza. Si la física cuántica nos enseña que este nuestro mundo está totalmente gobernado por leyes probabilísticas, ello no impide que muchas probabilidades interesantes converjan a 1, lo cual nos lleva a un mundo que también es determinista. La incertidumbre que enfrenta el jugador es principalmente de tipo probabilístico, porque los juegos de azar son intrínsecamente azarosos, la incertidumbre estadística para él no aplica y ocasionalmente puede llegar a tener incertidumbre atribuible al modelo, cuando el algoritmo de cálculo es complejo. En cambio, el estadístico, el experto y el neófito, normalmente tienen que desafiar los tres tipos de incertidumbre, con distintos niveles de participación.

4 EXPERIMENTOS

C

uando un fenómeno es observado con la finalidad de conocer su comportamiento, se dice que se está experimentando y, en este sentido, un fenómeno puede ser provocado. Así, un experimento implica la observación del resultado de una acción; por ejemplo, el aforo en un río o la medición del flujo en un pozo petrolero. En atención a la certidumbre o incertidumbre en los resultados de los experimentos, éstos se clasifican en dos tipos: En los experimentos deterministas siempre se obtiene el mismo resultado y, por lo tanto, éste siempre puede ser predicho; por ejemplo, la velocidad de la luz. En los experimentos aleatorios, en los que el resultado no puede predecirse con certeza, pues éste no es el mismo en todos los casos; por ejemplo, el aforo en un río.

Experimentos repetibles y no repetibles Antes de intentar medir la posibilidad de ocurrencia de un resultado asociado a un experimento aleatorio, es menester saber en qué consiste tal experimento. Existen experimentos que pueden ser repetidos una y otra vez, en condiciones aparentemente idénticas o muy similares y que, cada vez que se realizan, se tiene incertidumbre en cuanto a su resultado. Son experimentos aleatorios repetibles indefinidamente y cada realización de tales experimentos se le conoce como ensayo; por ejemplo, la precipitación pluvial en un suburbio. Hay también experimentos que no pueden repetirse, pues corresponden a situaciones muy particulares, cuyas condiciones nunca se han presentado y no volverán a presentarse; se trata de experimentos aleatorios no repetibles; por ejemplo, el Big Bang. En ocasiones se puede tener un experimento determinista que, si se repitiera una y otra vez, se obtendría siempre el mismo resultado; sin embargo, si el experimento nunca se ha realizado, su resultado puede ser totalmente incierto. En este caso se trata de experimentos deterministas inciertos. Los frecuentistas afirman que la teoría de la probabilidad sólo es aplicable a experimentos aleatorios repetibles indefinidamente. Los subjetivistas, en cambio, también aceptan los experimentos no repetibles y los experimentos deterministas inciertos.

Experimentos simples y combinados Los resultados de un experimento pueden tener una o varias componentes; conforme a esto, los experimentos se clasifican en dos tipos: Un experimento simple es aquel cuyos posibles resultados tienen una sola componente. Un experimento combinado es aquel que considera simultáneamente dos o más experimentos simples, o que involucra realizaciones repetidas del mismo experimento. Los posibles resultados de un experimento combinado tienen dos o más componentes.

1.1.3 EXPERIMENTOS

48 OBJETO DE LA PROBABILIDAD

Ejemplo 1.1 MONEDA. Considere el experimento consistente en lanzar una moneda y observar la cara que queda hacia arriba. Tal experimento es aleatorio, simple y repetible indefinidamente. Ahora considere el experimento consistente en repetir tres veces consecutivas el experimento simple descrito anteriormente, es decir, realizar tres ensayos del lanzamiento de una moneda y la observación de su resultado. El experimento es aleatorio, combinado y repetible. Otro experimento muy similar al anterior es el de lanzar tres monedas simultáneamente y observar las caras que quedan hacia arriba. El experimento también es aleatorio, combinado y repetible. Ejemplo 1.2 POZOS PETROLEROS. Considere la perforación de n pozos petroleros; si un pozo resulta productor, en el tablero de control se enciende un foco verde y si no se enciende un foco rojo. Sea el experimento consistente en observar el tablero con n focos encendidos, unos verdes y otros rojos. Tal experimento es aleatorio y repetible indefinidamente, pues cada uno de los pozo puede resultar productor o no, y es posible observar otros n pozos de la misma cuenca, de una similar o de otra parcialmente distinta. El experimento es combinado, ya que considera n experimentos simples idénticos: observar el resultado de cada uno de los n pozos por separado. Ahora considere otro experimento consistente en sumar los focos verdes sobre el tablero de control, es decir contar el número de pozos que resultaron productores. Este experimento también es aleatorio y repetible, sólo que ahora es un experimento simple, puesto que su resultado tiene una sola componente. Ejemplo 1.3 AGUAS PROFUNDAS. El Activo Regional de Exploración Norte tiene el objetivo de explorar, en aguas profundas, el área de Alaminos, una estructura geológica totalmente nueva que, de resultar exitosa, significaría para Pemex la incorporación de reservas que posiblemente compensen, en el mediano plazo, el decaimiento de Cantarell, pero en caso contrario implicaría una cuantiosa pérdida. Sea el experimento consistente en explorar el área, considerando que la empresa jamás ha realizado algo similar. El experimento es aleatorio simple, puesto que la estructura puede resultar productora o no, pero es un experimento que, como tal, no se volverá a repetir. En todo caso, para cada experimento es de interés conocer el conjunto de los posibles resultados y la medida numérica que refleja la posibilidad de ocurrencia de cada resultado. Ha de ser posible conocer de antemano todos los posibles resultados del experimento, lo cual no significa que éstos tengan que ser igualmente posibles. Aunque no se puede predecir el resultado de cada experimento particular, ha de ser posible medir la posibilidad de ocurrencia de cada resultado básico o elemental. Los resultados elementales se definen de tal forma que no pueden ocurrir dos simultáneamente y debe ocurrir al menos uno de ellos, necesariamente.

4 ESPACIOS MUESTRALES

U

na vez identificado el experimento, procede entonces determinar cuáles son los posibles resultados. El espacio muestral o espacio de eventos de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados que pueden ocurrir. Notación:  o S

Cabe hacer notar que, para el matemático, el experimento aleatorio termina con la observación del resultado, tal como ocurre; cualquier manipulación del resultado constituye una actividad posterior, que no se debe considerar parte del experimento; de manera que, por ejemplo, un experimento combinado que tiene dos componentes, necesariamente tiene asociado un espacio muestral de dos dimensiones. Para el ingeniero, que no es tan estricto, el experimento aleatorio puede ser definido, de entrada, como la concatenación de dos actividades secuenciales: la observación del resultado y su manipulación aritmética posterior. Así que, por ejemplo, un experimento combinado de tres componentes puede ser traducido a un espacio muestral unidimensional. Por eso es tan importante que la descripción del experimento, pues es claro que una ligera variación modifica radicalmente el espacio muestral. Un punto muestral es cada uno de los posibles resultados del experimento aleatorio. Notación: 1 ,2 ,3 ,... o a, b, c, ... Y el cardinal de un espacio muestral es el número de posibles resultados. Notación: n Muestral es lo perteneciente o relativo a una muestra o porción de un conjunto, que puede ser considerada como representativa de éste; de modo que el espacio muestral es el conjunto del cual se pueden obtener muestras.

Espacios muestrales finitos e infinitos Un espacio muestral finito es aquel que consta exactamente de n puntos muestrales; es decir, aquel que está asociado a un experimento con n posibles resultados. Entonces, el cardinal de  es n   donde  es el conjunto de los números naturales. Notación: ____ (1.1)   1 ,2 ,3 ,...,n  Un espacio muestral infinito es aquel asociado a un experimento cuyo número total de posibles resultados es infinito, esto es, está constituido por un número infinito de puntos muestrales. Un espacio muestral infinito numerable es aquel constituido por un número infinito de puntos muestrales, que pueden ser ordenados en forma se sucesión. En tal caso, el cardinal de  es el número transfinito alef sub cero, 0 . Notación: ____(1.2)   1 ,2 ,3 ,...

Espacios muestrales discretos y continuos. Un espacio muestral es discreto si es finito o infinito numerable. Las sucesiones de un espacio muestral discreto son:   1 ,2 ,3 ,...   1 ,2 ,3 ,...,n  o

1.1.4 ESPACIOS MUESTRALES

50 OBJETO DE LA PROBABILIDAD

Un espacio muestral continuo es aquel constituido por un número infinito de puntos muestrales pertenecientes a un continuo, es decir, es un intervalo del eje real. El cardinal de  es el número transfinito alef sub uno, 1. Notación: ____ (1.3)  Los intervalos pueden ser de varios tipos: Un intervalo cerrado es aquel que incluye sus valores extremos. Notación:

a,b 

axb

ó

Un intervalo abierto es aquel que excluye sus valores extremos. Notación:

 a,b 

axb

ó

Un intervalo semiabierto es aquel que incluye uno de sus valores extremos y excluye al otro. Notación:

a,b   a,b 

ó

axb

ó

axb

Son de particular interés los intervalos de la forma:

 ,a  a,  

ó

xa

ó

xa

Espacio muestral n-dimensional Un espacio muestral n-dimensional es aquel que tiene n dimensiones, aquel cuyos puntos muestrales tienen n componentes. Notación:    , ,...,  ,  , ,...,  ,... ____ (1.4)



11

12

1n

21

22

2n



Los espacios muestrales n-dimensionales corresponden a experimentos combinados: n experimentos simples simultáneos o n ensayos repetidos del mismo experimento. 1  1 üüüüüü 2 k1 2  1 2  k2 Al considerar dos experimentos simples E1 y E2, el primero con k1 posibles resultados y el segundo con k2 posibles resultados; sus espacios muestrales correspondientes son:









Si se consideran simultáneamente los experimentos E1 y E2, se genera un nuevo experimento E, cuyos posibles resultados son parejas ordenadas de la forma (i, j):   i , j | i  1 , j  2 Todas las parejas ordenadas que se pueden formar con los k1 elementos de 1 y los k2 elementos de 2 constituyen un nuevo conjunto denominado producto cartesiano de 1 y 2. Notación: 1  2  i , j  | i  1 , j  2 ,i  1,2,...,k1 , j  1,2,...,k2 ____ (1.5) Y su número de elementos se obtiene del producto: k1  k2











El espacio muestral  del nuevo experimento E es un subconjunto del producto cartesiano de 1 y 2:   1  2

ESPACIOS MUESTRALES

Si los experimentos E1 y E2 están relacionados de alguna manera, incluso funcionalmente, el espacio muestral del experimento E es un subconjunto propio del producto cartesiano de 1 y 2:

  1  2

Si los experimentos E1 y E2 son independientes, es decir, si el resultado del experimento E1 no influye en el resultado del experimento E2, el espacio muestral del experimento E es precisamente el producto cartesiano de 1 y 2.

  1  2

Generalizando, si E1, E2,..., En son experimentos simples cuyos espacios muestrales correspondientes son 1, 2.,..., n., al considerar tales experimentos en forma conjunta se define un experimento combinado cuyo espacio muestral  es un subconjunto de producto cartesiano de 1, 2.,..., n.:

  1  2  ...  n

Por lo que  es un espacio muestral n-dimensional. En particular, si un experimento combinado consiste en realizar n ensayos repetidos de un mismo experimento simple, cuyo espacio muestral es S, el nuevo espacio muestral del experimento combinado es precisamente el pron ducto cartesiano:   S  S  ...  S  S Los espacios muestrales más frecuentes en ingeniería son espacios contin nuos y n-dimensionales. Notación:    Ejemplo 1.4. MONEDA. El espacio muestral correspondiente al lanzamiento de una moneda es: S  águila,sol   a,s , donde a y s son los puntos muestrales del experimento simple, cuyos dos posibles resultados son águila y sol. El espacio muestral es discreto, finito y unidimensional, pues consta de dos puntos muestrales que tienen una sola componente. Si se considera el experimento combinado consistente en lanzar la moneda tres veces consecutivas y observar los resultados, el espacio muestral es entonces: S2   a,a,a  ,  a,a,s  ,  a,s,a  ,  s,a,a  ,  a,s,s  ,  s,a,s  ,  s,s,a  ,  s,s,s  , donde cada una de las ocho ternas, como la (a, s, a) es un punto muestral del experimento, puesto que es uno de sus ocho posibles resultados. El espacio muestral S2 es discreto y finito, puesto que su cardinal es 8. Y es tridimensional, ya que sus puntos muestrales tienen tres componentes. Corresponde a un experimento combinado que considera tres ensayos repetidos del experimento cuyo espacio muestral es S1; en consecuencia: S2  S13 . Y el cardinal de S2 es: 2  2  2  8 Ejemplo 1.5. DADOS. Considere el experimento consistente en lanzar dos dados y observar las caras que quedan hacia arriba. Su espacio muestral correspondiente es: (1,1), (1,2 ), (1,3 ), (1,4 ), (1,5 ), (1,6 ),  ( 2,1),( 2,2 ),( 2,3 ),( 2,4 ),( 2,5 ),( 2,6 ),   ( 3,1),( 3,2 ),( 3,3 ),( 3,4 ),( 3,5 ),( 3,6 ), S1    ( 4,1),( 4,2 ),( 4,3 ),( 4,4 ),( 4,5 ),( 4,6 ), (5,1),(5,2 ),(5,3 ),(5,4 ),(5,5 ),(5,6 ),   (6,1),(6,2 ),(6,3 ),(6,4 ),(6,5 ),(6,6 ) 

52 OBJETO DE LA PROBABILIDAD

Donde cada uno de los 36 arreglos de dos dimensiones, como el (3,4) es un punto muestral, puesto que es un posible resultado del experimento. El espacio muestral es discreto y finito, ya que su cardinal es 36 y es bidimensional, ya que sus puntos muestrales tienen dos componentes; cada componente forma una sucesión finita {i}, donde i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. El experimento puede verse como la combinación de dos experimentos simples idénticos, simultáneos e independientes, por lo que el espacio muestral del experimento combinado es el producto cartesiano de dos espacios: S1  S 2 , donde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Si el experimento hubiera consistido en sumar los valores de las caras que quedan hacia arriba, el espacio muestral sería entonces: S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Tal espacio es discreto, finito y unidimensional, constituido por 11 puntos muestrales con una sola componente, formado por una sucesión finita {i}, donde i = i + 1, i = 1, 2, 3,…, 11. Ejemplo 1.6. POZOS PETROLEROS. El espacio muestral correspondiente a la perforación de 4 pozos, que pueden resultar productivos (1) o no (0) es:

(0,0,0,0 ), (1,0,0,0 ), (0,1,0,0 ), (0,0,1,0 ),  (0,0,0,1), (1,1,0,0 ), (1,0,1,0 ), (1,0,0,1),   S1    (0,1,1,0 ), (0,1,0,1), (0,0,1,1), (1,1,1,0 ),  (1,1,0,1), (1,0,1,1), (0,1,1,1), (1,1,1,1)  Donde cada uno de los 16 arreglos ordenados de cuatro dimensiones, tales como el dado por (1, 0, 1, 0) es un punto muestral, pues corresponde a uno de los posibles resultados del experimento. El espacio muestral es discreto y finito, pues consta de 16 puntos muestrales. Y es tetradimensional, ya que sus puntos muestrales tienen cuatro componentes; cada componente es una variable binaria 0, 1. El experimento simple consistente en observar el resultado de cada pozo por separado, conduce al espacio muestral S2 = {0, 1}. El considerar simultáneamente el resultado de los cuatro pozos es un experimento combinado, cuyo espacio muestral S1 es el producto cartesiano de cuatro espacios S2: S1  S 4 , y el cardinal de S1 se obtiene multiplicando entre sí los cardinales de los cuatro espacios S2: 2  2  2  2  16 Si el experimento consistiera en sumar los valores observados en los cuatro casilleros, el espacio muestral sería entonces: S = {0, 1, 2, 3, 4}. Tal espacio es discreto, finito y unidimensional, constituido por 5 puntos muestrales con una sola componente, formando una sucesión {i}, donde i = i + 1, i = 1, 2, 3, 4, 5. Ejemplo 1.7. INTERRUPCIONES EN LA PERFORACIÓN. Considere el experimento consistente en observar el número de interrupciones en la perforación de un pozo, durante un día.

ESPACIOS MUESTRALES

El experimento es simple, aleatorio y puede repetirse indefinidamente; su resultado puede ser: ninguna interrupción, una interrupción, dos interrupciones, etc., y teóricamente puede haber un número infinito de interrupciones. El espacio muestral correspondiente es entonces:  = {0, 1, 2, 3,...} Donde cada uno de los 0 valores pertenecientes a , como el 7, es un punto muestral del experimento: • • • • • 0 1 2 3 4 ... El espacio muestral es infinito numerable, por lo que su cardinal es 0 , por lo tanto es discreto. Es un espacio unidimensional, ya que sus puntos muestrales tienen una componente. Los puntos muestrales forman una sucesión {i}, donde i = i - 1, i = 1, 2, 3,... Ejemplo 1.8. PRESA. El espacio muestral correspondiente al nivel de agua de una presa con cortina de 125 m es: S  e | 0  e  125 Donde cada uno de los valores pertenecientes al intervalo [0, 125), como el 47.83, es un punto muestral. El espacio muestral es continuo, por lo que su cardinal es 1 y es unidimensional, pues sus puntos muestrales tienen una sola componente. Ejemplo 1.9. VIGA. Considere una viga libremente apoyada de 10 m de longitud, sometida a una carga concentrada que varía entre 1000 y 2000 kg y que puede estar colocada en cualquier punto a lo largo de la viga. Sea el experimento consistente en observar las reacciones en los apoyos. El espacio muestral del experimento está constituido por los pares ordenados (Ra, Rb), tales que, tanto Ra como Rb pueden tomar cualquier valor en el intervalo [0, 2000], pero cuya su suma está en el intervalo [1000, 2000]: S   Ra ,Rb  | 0  Ra  2000,0  Rb  2000,1000  Ra  Rb  2000 Donde cada uno de los 1 valores pertenecientes a S, como el [1500, 500], es un punto muestral del experimento. Este espacio muestral es continuo, por lo que su cardinal es 1 . Y es bidimensional, pues sus puntos muestrales tienen dos componentes. La observación de las reacciones Ra y Rb, por separado, constituye dos experimentos simples, cuyos espacios muestrales son: S1 = S2 = [0, 2000] , los que a pesar de ser idénticos, guardan cierta relación; por lo tanto, el espacio muestral de S, asociado al experimento combinado, es un subconjunto propio del producto cartesiano de S1 y S2: S1  S2   Un evento es un conjunto de resultados que pueden ocurrir. Notación: A, B,... Nótese que, al definir espacio muestral y evento, se utilizó el concepto de conjunto; manejar eventos es manejar conjuntos y, por lo tanto, toda la teoría de conjuntos y el álgebra de conjuntos son aplicables a eventos. Sin embargo, conviene puntualizar que los eventos son una clase particular de conjuntos; un evento siempre tiene un significado físico que implica ocurrencia, es un conjunto asociado a un experimento.

1.1.5 EVENTOS

54 OBJETO DE LA PROBABILIDAD

Si un evento A está constituido por los puntos muestrales a y b, es decir, si A = {a, b}, entonces a y b pertenecen a A y c no pertenece a A. _____ (1.6) a  A, b  A, c  A En el desarrollo de la teoría de la probabilidad es de gran utilidad el empleo de diagramas de Venn-Euler, que son la manera más sencilla de representar los eventos gráficamente. Se considera que el experimento consiste en seleccionar de manera aleatoria un punto en el plano S y que los eventos son conjuntos de puntos de ese plano.

En el diagrama,  representa el espacio muestral, en el que A y B son dos eventos, y a, b, c, d y e son puntos muestrales.

Eventos simples y eventos compuestos Un evento es simple si consta de un sólo punto muestral, es decir, si no puede ser expresado en términos de resultados más simples. Por ser un evento con un sólo elemento, también se le conoce como evento elemental. Notación: B = {} _____ (1.7) Obsérvese que {}tiene un significado de evento, mientras que  se refiere a un punto muestral. Un evento compuesto es el constituido por dos o más puntos muestrales. Notación: A = {a, b, c, d} _____ (1.8)

Evento seguro y evento imposible. Un evento es seguro si existe la absoluta seguridad de que, al realizar el experimento, siempre ocurre. El espacio muestral es el evento seguro, pues está constituido por todos los puntos muestrales asociados al experimento. Notación: S. Un evento es imposible si existe la absoluta seguridad de que, al realizar el experimento, nunca ocurre. El conjunto vacío es el evento imposible, pues no tiene asociado al experimento, punto muestral alguno. Notación: 

Eventos igualmente posibles. Dos eventos son igualmente posibles si no hay ninguna razón para sospechar que uno pueda ocurrir con más frecuencia que el otro.

EVENTOS

Este concepto de equiposibilidad se usa generalmente para indicar la ocurrencia de eventos asociados con juegos de azar; en general, es bastante raro que se puede hacer extensivo a otro tipo de experimentos.

Espacio muestral condicional. Un espacio muestral condicional es un espacio muestral reducido, resultado de suponer la ocurrencia de un evento. Ejemplo 1.10. MOTORES. Si x, y, z y w representan, respectivamente, el funcionamiento del primero, segundo, tercero y cuarto motores de un avión, y sabiendo que son variables binarias 0, 1, sean los eventos: A   x,y ,z,w  | x  y  z  w  1 , B   x,y ,z,w  | x  y  z  w  0 C   x,y ,z,w  | x  1 ,

D   x,y ,z,w  | x  y  z  w  5

E   x,y ,z,w  | y  z  3 ,

F   0,1,0,0 

G   0,0,0,1 ,

H  1,0,1,1

El evento A significa que ocurre la falla de un motor, cualquiera de los cuatro; de manera que: A = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}. Los cuatro puntos muestrales de A son resultados posibles del experimento, por lo que:  0,1,0,0   A y, por ejemplo, 1,1,1,1  A El evento B significa que no falla ningún motor y es un evento simple, pues tiene únicamente un punto muestral: B = {(0, 0, 0, 0)}. El evento C significa que el primer motor falla, independientemente del funcionamiento de los otros tres; de manera que el evento C es compuesto y consta de 8 elementos: C = {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 1)}. El evento D es un evento seguro, pues cualquiera que sea el resultado que se observe en el tablero, siempre cumplirá con la condición de que la suma es menor de 5; D es, de hecho, el espacio muestral: D = S. Los eventos F y G son igualmente posibles, si se considera que los motores segundo y cuarto son idénticos y tienen exactamente el mismo tipo de funcionamiento. En cambio, los eventos F y H no son igualmente posibles, aún cuando ambos tiene un solo punto muestral; es de suponer que es mucho más fácil que sólo falle un motor a que fallen tres. Si se supone que no pueden fallar dos motores del mismo lado, el espacio muestral se reduce a: S’ = {(0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 0)}, que es un espacio muestral condicional, dada la ocurrencia de un evento. Ejemplo 1.11. VIGA. Suponiendo que los valores que pueden tomar la magnitud y la posición de la carga son igualmente posibles, sean los eventos: A   Ra ,Rb  | Ra  Rb  1000 , B   Ra ,Rb  | Ra  1000

C   Ra ,Rb  | Ra  3500,Rb  500 ,

D   Ra ,Rb  | Rb  2000

56 OBJETO DE LA PROBABILIDAD

E   Ra ,Rb  | Ra  2000,Rb  0 , F   Ra ,Rb  | Rb  1000 El evento A es un evento simple, pues consta de un solo punto muestral y significa que la carga P es de 2000 kg y que está en el centro de la viga. El evento B es un evento compuesto, constituido por un número infinito de puntos muestrales y significa que la reacción en el apoyo a es mayor de 1000 kg. La condición Ra > 1000 implica que Rb  1000 y, entonces: B   Ra ,Rb  |1000  Ra  2000,0  Rb  1000,1000  Ra  Rb  2000 El evento C = {(3500, 500)} es imposible, pues cualquiera que sea la magnitud y la posición de la carga P, la reacción Ra no podrá ser nunca de 3500 kg. El evento C es el conjunto vacío: C = . El evento D es un evento seguro, pues cualquiera que sea la magnitud y la posición de la carga P, la reacción Rb será, cuando más, de 2000 kg. El evento D es el espacio muestral: D = S. Los eventos A = {(1000,1000)} y E = {(2000,0)} son igualmente posibles, pues una carga P de 2000 kg puede estar colocada en cualquier punto de la viga; cuando está en el centro de la viga, se presenta el evento A y cuando está sobre el apoyo a, se produce el evento B. Los eventos B y F son igualmente posibles, puesto que el área de B y el área de F son iguales:

Si se sabe que la carga P es exactamente de 1500 kg, el espacio muestral se reduce a: S'   Ra ,Rb  | 0  Ra  1500,0  Rb  1500,0  Ra  Rb  1500 , el cual es un espacio muestral condicional, dada la ocurrencia de ese evento.

ÁLGEBRA DE EVENTOS

Ejemplo 1.12. CONMUTADOR TELEFÓNICO. Si n representa el número de llamadas que entran al conmutador en un minuto, n  N, sean los eventos: A  n | n  3 , B  n | n  3 , C  n | n  4 , D  n | n  4 , E  n | n  4 , F  n | n  4 Los eventos A y B son simples, pues constan de un solo elemento. Los eventos C, D, E y F son eventos compuestos. El evento C consta de 4 puntos muestrales: C = {0, 1 ,2 ,3}. El evento D tiene 5 puntos muestrales: D = {0, 1, 2, 3, 4}. Los eventos E y F constan de un número infinito de puntos muestrales: E = {5, 6, 7,...} y F = {4, 5, 6,...}. Si se supone la ocurrencia del evento F, el espacio muestral se reduce a: S’ = {4, 5, 6,...}, el cual es un espacio muestral condicional.

Los eventos aleatorios son conjuntos del espacio muestral, de manera que es aplicable el álgebra de conjuntos. Se distingue con claridad, que las operaciones entre eventos son también eventos.

No ocurrencia de un evento La no ocurrencia de un evento A es expresada a través de su complemento. El evento complementario de un evento es el evento contrario del evento A. Notación: Ac ,A' o A

Como el evento seguro siempre ocurre, su complemento nunca ocurre, porque es el conjunto vacío: Como el evento imposible nunca ocurre, su complemento siempre ocurre, porque es el espacio muestral: El complemento del complemento de un evento es el evento mismo, porque c negar la ocurrencia de un evento es afirmarla:  Ac   A

Eventos mutuamente exclusivos. Dos eventos A y B son mutuamente exclusivos o excluyentes si, y sólo si, la ocurrencia de uno impide la ocurrencia del otro, es decir, si y solo si, A y B no tienen puntos muestrales en común; su intersección es nula. Notación: ____ (1.9) AB  Se lee: “A y B son eventos mutuamente exclusivos”. También se dice que A y B son conjuntos disjuntos o eventos incompatibles, porque es imposible que ocurran simultáneamente.

1.1.6 ÁLGEBRA DE EVENTOS

58 OBJETO DE LA PROBABILIDAD

Los eventos complementarios son mutuamente exclusivos: A  A Los eventos simples son mutuamente exclusivos. Notación:

i    j    ,

i  j ,

c



i , j  1,2,...,n

Generalizando, los eventos A1, A2,..., An son mutuamente exclusivos si y sólo si, la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia de los otros; la incompatibilidad se garantiza si, al tomar los eventos por parejas, éstos no tienen puntos muestrales en común. Notación:

Ai  Aj   , i  j , i , j  1,2,...,n

Ocurrencia conjunta. Si dos eventos A y B no son mutuamente exclusivos, es decir, si la ocurrencia de uno no impide la ocurrencia del otro, significa que tienen puntos muestrales en común, que son compatibles y pueden ocurrir conjuntamente. La ocurrencia conjunta de dos eventos A y B es expresada a través de su intersección. El evento de intersección es el conjunto formado por todos los puntos muestrales que pertenecen a A y B, a la vez. Notación: A  B , que se lee: “ocurre A y ocurre B”.

La ocurrencia conjunta de un evento cualquiera A y del evento seguro, se da cuando ocurre el evento A: A  S  A La ocurrencia conjunta de un evento cualquiera A y un evento imposible, no es posible: A     La ocurrencia conjunta de dos eventos A, idénticos, se da cuando ocurre el evento A: A  A  A La operación intersección es conmutativa: A  B  B  A La operación intersección es asociativa: A   B  C    A  B   C

ÁLGEBRA DE EVENTOS

Generalizando, la ocurrencia conjunta de los eventos A1, A2,..., An es expresada a través de su intersección, que es el evento constituido por todos los puntos muestrales comunes a esos eventos. Notación: n

A

i

 A1  A2  A3  ...  An

i 1

Ocurrencia de al menos un evento La ocurrencia de al menos uno de dos eventos A y B, es expresada a través de su unión. El evento unión es el conjunto formado por los puntos muestrales que pertenecen a A o bien que pertenecen a B, incluyendo los que están en ambos simultáneamente. Notación: A  B, que se lee: “ocurre A o B, o ambos”

La ocurrencia de al menos uno de los eventos: uno cualquiera A y el otro el evento seguro, es un evento seguro: A  S  S La ocurrencia de al menos uno de los eventos: uno cualquiera A y el otro el evento imposible, se da cuando ocurre ese evento cualquiera: A    A La ocurrencia de al menos uno de dos eventos A, idénticos, se da cuando ocurre el evento A: A  A  A La operación unión es conmutativa: A  B  B  A La operación unión es asociativa: A   B  C    A  B   C La operación unión es distributiva respecto a la intersección:

A  B  C    A  B    A  C 

La operación intersección es distributiva respecto a la unión:

A  B  C    A  B    A  C 

Generalizando, la ocurrencia de al menos uno de los eventos A1, A2,..., An es expresada a través de su unión, que es el evento constituido por todos los puntos muestrales que pertenecen a alguno d esos eventos. Notación: n

A

i

 A1  A2  A3  ...  An

i 1

Ocurrencia de uno y no ocurrencia del otro La ocurrencia del evento A y la no ocurrencia del evento B, es expresada a través de su diferencia. El evento diferencia es el conjunto formado por los puntos muestrales que pertenecen a A y no pertenecen a B. Notación: A  B, que se lee: “ocurre A y no ocurre B”

60 OBJETO DE LA PROBABILIDAD

El evento diferencia se puede expresar a través de la ocurrencia conjunta de los eventos A y B : A  B  A  B La operación diferencia no es conmutativa: A  B  B  A Un evento complementario siempre puede expresarse a través de un evento diferencia: A  S  A

Leyes de De Morgan Las leyes de De Morgan, que combinan las tres operaciones fundamentales entre conjuntos: unión, intersección y complemento, merecen una mención muy especial, por su gran utilidad en el cálculo de probabilidades. El complemento de la unión de dos eventos es igual a la intersección de sus complementos: ____ (1.14) AB  AB El complemento de la intersección de dos eventos es igual a la unión de sus complementos: ____ (1.15) AB  AB

AB

AB

La negación de la disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones

AB

AB

La negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones.

ÁLGEBRA DE EVENTOS

Las Leyes de Morgan permiten cambiar el operador de conjunción por el operador de disyunción y viceversa. Las proposiciones conjuntivas o disyuntivas a las que se aplican las leyes de Morgan pueden estar afirmadas o negadas, en todo o en sus partes. Si tenemos una proposición conjuntiva totalmente negada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición disyuntiva, con cada uno de sus miembros negados. Si tenemos una proposición disyuntiva totalmente negada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición conjuntiva con cada uno de sus miembros negados. Si tenemos una proposición conjuntiva afirmada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición disyuntiva negada en su totalidad y en sus miembros. Si tenemos una proposición disyuntiva afirmada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición conjuntiva negada en su totalidad y en sus miembros. La generalización dec las leyes de De Morgan se expresa como: c n  n  c   Ai    Ai i 1  i 1 

n  n  c   Ai    Ai i 1  i 1 

Eventos colectivamente exhaustivos Los eventos A1, A2,..., An son colectivamente exhaustivos si, y sólo si, ocurre al menos uno de ellos en cualquier realización del experimento, es decir, si su unión abarca todonel espacio muestral. Notación: ____ (1.12)

A

i

S

i 1

Los eventos complementarios son colectivamente exhaustivos: puesto que al realizar el experimento, alguno de los dos eventos ocurre.

Partición del espacio muestral Si los eventos A1, A2,..., An son mutuamente exclusivos y colectivamente exhaustivos, entonces los eventos Ai, i = 1, 2,..., n constituyen un grupo completo de eventos o una partición del espacio muestral S, similar a un rompecabezas.

62 OBJETO DE LA PROBABILIDAD

Los eventos complementarios constituyen una partición de S, puesto que son mutuamente exclusivos y colectivamente exhaustivos.

Descomposición de un evento Si un evento B es la unión de n eventos Ai mutuamente exclusivos, se dice que el evento B puede descomponerse en los eventos A1, A2,..., An.

Ocurrencia de un subevento Si la ocurrencia de un evento A implica ocurrencia de otro evento B, es decir, si todos los puntos muestrales de A pertenecen a B, se dice que A es subevento de B, que A está contenido en B, o que B contiene a A. Notación:

Todo evento es subconjunto de sí mismo: A  A Todo evento es subconjunto del evento seguro: A  S El evento imposible es subconjunto de cualquier evento:   A Todo evento es subconjunto de su unión con otro: A  A  B, B  A  B Toda intersección de eventos es subconjunto de ellos:

A  B  A,

AB  B

ÁLGEBRA DE EVENTOS

La ocurrencia del evento A implica la ocurrencia del evento B si, y sólo si, su ocurrencia conjunta se da cuando ocurre el evento A:

A  B  AB  A

La ocurrencia del evento A implica la ocurrencia del evento B si, y sólo si, la ocurrencia de al menos uno de ellos se da cuando ocurre el evento B:

A  B  AB  B

La ocurrencia del evento A implica la ocurrencia del evento B si, y sólo si, la no ocurrencia del evento B implica la no ocurrencia del evento A:

A  B  B c  Ac

La ocurrencia de un evento implica la ocurrencia de otro y viceversa si, y sólo si, éstos son idénticos:

AB y BA  BA

Si la ocurrencia del evento A implica la ocurrencia del evento B y la ocurrencia del evento B implica la ocurrencia del evento C, entonces la ocurrencia del evento A implica la ocurrencia del evento C:

AB y B C  AC

Ejemplo 1.13. MOTORES. Considere los siguientes eventos, algunos de los cuales ya fueron definidos en el ejemplo 1.10, pero se transcriben aquí para pronta referencia: A   x,y ,z,w  | x  y  z  w  1 , B   x,y ,z,w  | x  y  z  w  0 C   x,y ,z,w  | x  1 ,

D   x,y ,z,w  | x  y  z  w  5

E   x,y ,z,w  | y  z  3 ,

F   0,1,0,0 

G   0,0,0,1 ,

H  1,0,1,1

I  1,1,0,1 ,

J   x,y ,z,w  | x  y  z  w  2

K   x,y ,z,w  | x  y  z  w  2 , L   x,y ,z,w  | x  y  z  w  2 M   x,y ,z,w  | x  y  z  w  2 La no ocurrencia del evento A es expresada a través de su complemento: c A   x,y ,z,w  | x  y  z  w  1 y significa que no ocurre ninguno de los 4 puntos muestrales pertenecientes a A, que la suma de las cifras del tablero no es 1, que la falla de un solo motor no ocurre. O también significa que ocurre el evento Ac, que ocurre alguno de los 12 puntos muestrales pertenecientes a Ac, que la suma de puntos del tablero es 0, 2, 3 o 4, que fallan dos o más motores, o ninguno. Los eventos A y B son mutuamente exclusivos: A  B   , pues no hay ningún punto muestral de A, que pertenezca a B y, por lo tanto, la ocurrencia de A, que falle un motor, impide la ocurrencia de B, que no falle ninguno, y viceversa. Los eventos A, B y L son mutuamente exclusivos, pues es imposible que, a la vez, no falle ningún motor, falle uno y fallen dos: A  B  , A  L  , B  L  ;

Los eventos J y K son mutuamente exclusivos; pues uno es complemento del otro: J  K   , que fallen menos de dos impide que fallen dos o más.

64 OBJETO DE LA PROBABILIDAD

Los eventos D y E son mutuamente exclusivos, en virtud de que son complementarios; si ocurre uno el otro no puede ocurrir. Los eventos B, F, G, H e I son mutuamente exclusivos, puesto que todos ellos son eventos simples. Los eventos A y C no son mutuamente exclusivos, puesto que tienen un punto muestral en común: {(1, 0, 0, 0)} y, por ende, pueden ocurrir conjuntamente; la intersección de estos eventos es: A  C   x,y ,z,w  | x  y  z  w  1 . Para la ocurrencia conjunta del evento A, que falle un motor, y el evento C, que falle el primer motor, se requiere precisamente que ocurra el evento A  C, que falle únicamente el primer motor. Para que ocurran conjuntamente los eventos K, que fallen dos o más motores, L, que fallen dos motores, y M, que fallen dos o menos motores, se requiere que ocurra precisamente el evento K  L  M, que fallen dos motores. Para que ocurra al menos uno de los eventos A, que falle un motor, o C, que falle el primero, se requiere que ocurra alguno de los once puntos muestrales del evento A  C, es decir, que falle un sólo motor o que falle el primero, sin importar si los otros tres fallan o no. Para que ocurra al menos uno de los eventos K, que fallen dos o más motores, L, que fallen dos motores, o M, que fallen dos o menos, se requiere que ocurra el evento seguro y ése siempre ocurre; esto es, cualquiera que sea el resultado del experimento, es seguro que siempre ocurrirá el evento K  L  M. Los eventos K, L y M son colectivamente exhaustivos, pues K  L  M  S obsérvese que, en este caso, K  L  M  L, esto es, los eventos no son mutuamente exclusivos. Los eventos A, B y K son colectivamente exhaustivos, puesto que: A  B  K  S pero nótese que, en este caso, A  B   , A  K   , B  K   ; esto es, los eventos también son mutuamente exclusivos. Por ende, los eventos A, B y K constituyen una partición de S. Los eventos J y K son colectivamente exhaustivos: J  K  S, puesto que son complementos y como también son mutuamente exclusivos, igualmente constituyen una partición de S. El evento M se puede descomponer en los eventos A, B y L, que son mutuamente exclusivos, puesto que su unión es el evento M: A  B  L  M Los eventos A, B y L son subconjuntos del evento M, puesto que todos los puntos muestrales de cada uno de esos tres eventos también son puntos muestrales de M. Si el evento M no ocurre, no puede ocurrir ninguno de los eventos A, B y L. Ejemplo 1.15. VIGA. Considere los siguientes eventos, algunos de los cuales ya fueron definidos en el ejemplo 1.11, pero se transcriben aquí para pronta referencia: A   Ra ,Rb  | Ra  Rb  1000 ,

B   Ra ,Rb  | Ra  1000

C   Ra ,Rb  | Ra  3500,Rb  500 ,

D   Ra ,Rb  | Rb  2000

E   Ra ,Rb  | Ra  2000,Rb  0 ,

F   Ra ,Rb  | Rb  1000

G   Ra ,Rb  | Rb  1000 ,

H   Ra ,Rb  | Rb  1000

ÁLGEBRA DE EVENTOS I   Ra ,Rb  | Rb  500 ,

J   Ra ,Rb  | Rb  500

K   Ra ,Rb  | Rb  1000

La no ocurrencia del evento B es expresada a través de su complemento: B   Ra ,Rb  | Ra  1000 y significa que no ocurre ninguno de los puntos muestrales pertenecientes a A, que la reacción Ra no es mayor de 1000 kg. O también significa que ocurre el evento Ac, que ocurre alguno de los puntos muestrales pertenecientes a Ac, que la reacción Ra es menor o igual a 1000 kg. Los eventos F y G son mutuamente exclusivos, pues no hay ningún punto muestral de F, que pertenezca a G y, por lo tanto, la ocurrencia de F, que la reacción Rb sea mayor que 1000 kg, impide la ocurrencia de G, que sea menor o igual que 1000 kg. Los eventos H e I no son mutuamente exclusivos, puesto que tienen puntos muestrales en común: 500  Rb < 1000 y, por ende, pueden ocurrir conjuntamente; la intersección de estos eventos es: H  I   Ra ,Rb  | Rb  1000  H. Para que ocurran de manera conjunta el evento H, que la reacción Rb sea mayor o igual que 1000, y el evento I, que la reacción Rb sea mayor o igual que 500, se requiere que ocurra precisamente el evento H, que la reacción Rb sea mayor o igual que 1000. Para que ocurra al menos uno de los eventos: I, que la reacción Rb sea mayor o igual que 500, o J, que la reacción Rb sea mayor que 500, se requiere que ocurra el evento seguro y ése siempre ocurre; esto es, cualquiera que sea el resultado del experimento, es seguro que siempre ocurrirá el evento I  J Los eventos F y G son colectivamente exhaustivos, pues F  G  S; obsérvese que, en este caso, F  G   , esto es, los eventos son mutuamente exclusivos, por lo que F y G constituyen una partición de S. El evento H se puede descomponer en los eventos F y K, que son mutuamente exclusivos, puesto que su unión es el evento H: F  K  H Los eventos F y K son subeventos de H, puesto que todos los puntos muestrales de cada uno de esos dos eventos también son puntos muestrales de H. Si el evento H no ocurre, no puede ocurrir ninguno de los eventos F y K. c