Probabilidad condicional e independencia

Probabilidad condicional ●

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La probabilidad de un determinado suceso en un experimento aleatorio puede modificarse si se posee alguna información antes de la realización del experimento. Si P(B)>0, la probabilidad condicionada de que se realice A si B se realiza, P(A|B), viene dada por: P(A∩B) P( A∣B)= P(B)

Ejemplo ●

Dos tenistas llevan un registro del número de juegos ganados, según el tiempo de calentamiento en cada encuentro. Corto Largo

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Deb 4 16

Bob 6 24

Calcule las siguientes probabilidades.

Ejemplo ●

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Si el tiempo de calentamiento ha sido corto ¿cuál es la probabilidad de que gane Deb? Si Deb ganó el último encuentro ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo de calentamiento haya sido corto? Si el tiempo de calentamiento ha sido corto ¿cuál es la probabilidad de que Bob gane el siguiente encuentro? Si el tiempo de calentamiento ha sido largo ¿cuál es la probabilidad de que gane Bob?

Ejemplo ●

Un banco ha clasificado a sus clientes según el tipo de tarjeta que manejan y si su cuenta está o no vencida. No vencida Vencida

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Estándar 154 87

Oro 117 101

Plata 56 12

Si una tarjeta está vencida ¿cuál es la probabilidad que sea Oro? Si una tarjeta es Plata ¿cuál es la probabilidad de que esté vencida?

Ejemplo ●

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En un restaurante local, el 20% de los clientes piden su orden para llevar. Si 7% de todos los clientes piden su orden para llevar y escogen hamburguesas. Determine la probabilidad de que un cliente que ha pedido su orden para llevar escoja hamburguesas.

Ejemplo ●

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La compra de 34% de los clientes de un sitio e-commerce excedió los $100, además, el 22% de los clientes excedió los $100 y pagó con tarjeta de crédito. Determine la probabilidad de que un cliente cuya compra excedió los $100 use tarjeta de crédito para pagar.

Regla del producto ●

De la fórmula de la probabilidad condicional se puede deducir la probabilidad de la intersección de dos sucesos A y B. P( A∩B)=P(A∣B)P(B) =P(B∣A)P( A)

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Donde hay que recordar que: A∩B=B∩A

Independencia ●

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Dos eventos A y B son independientes, si se cumple la siguiente condición: P( A∣B)=P(A ) Esto es que la probabilidad del suceso A es la misma si se sabe que ha ocurrido el suceso B que cuando no se sabe nada. Si A y B son independientes, la regla del producto se modifica. P( A∩B)=P(A )P(B)

Ejemplo ●

En un estudio sobre la relación entre el hábito de fumar y el cáncer de pulmón, se ha clasificado a 200 adultos mayores de la siguiente manera. Con cáncer Sin cáncer

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Fue fumador 70 40

No fue fumador 10 80

¿Son independientes los eventos haber sido fumador y padecer cáncer de pulmón?

Ejemplo ●

Dos tenistas llevan un registro del número de juegos ganados, según el tiempo de calentamiento en cada encuentro. Corto Largo

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Deb 4 16

Bob 6 24

Deb dice que tiene más oportunidades de ganar si el tiempo de calentamiento es largo ¿es cierto lo que reclama Deb?

Probabilidad total ●

Sea B1, B2, ..., Bn, una partición de Ω, y A un suceso en el espacio muestral, entonces: n

P( A )=∑ P( A∣Bi )P(Bi ) i=1

Ejemplo ●

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Un restaurante tiene contratado a dos camareros para atender el servicio de comedor. Ana pone el servicio el 70% de los días y se confunde al colocar la cubertería sólo 5% de las veces; Javier coloca mal alguna pieza el 25% de los días que pone el servicio. Si el encargado del restaurante revisa el servicio ¿Cuál es la probabilidad de que esté mal colocado?

Ejemplo ●

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En un edificio se usan dos ascensores, el primero lo usan el 45% de los inquilinos y el resto usan el segundo. El porcentaje de fallos del primer ascensor es de 5%, mientras que el del segundo es 8 por ciento. ¿Cuál es la probabilidad de quedar atrapado en un ascensor?

Ejemplo ●

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Una empresa manufacturera fabrica discos para computadora. La planta de Omaha produce el 30% de los discos, de los cuales 5% están defectuosos, la planta de Memphis produce el 50%, de los cuales 7% están defectuosos, y la planta de Kansas el restante 20% y defectuosos el 3 por ciento. Elegido un disco al azar ¿cuál es la probabilidad de que esté defectuoso?

Teorema de Bayes ●

Sea B1, B2, ..., Bn, una partición de Ω, y A un suceso en el espacio muestral, entonces, para cada Bj: P( A∣B j )P(B j ) P(B j∣A)= n ∑ P(A∣Bi)P(Bi) i=1

Ejemplo ●

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Un restaurante tiene contratado a dos camareros para atender el servicio de comedor. Ana pone el servicio el 70% de los días y se confunde al colocar la cubertería sólo 5% de las veces; Javier coloca mal alguna pieza el 25% de los días que pone el servicio. Si el encargado del restaurante revisa el servicio y está mal colocado ¿cuál es la probabilidad de que lo haya puesto Ana?

Ejemplo ●

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En un edificio se usan dos ascensores, el primero lo usan el 45% de los inquilinos y el resto usan el segundo. El porcentaje de fallos del primer ascensor es de 5%, mientras que el del segundo es 8 por ciento. Si un día un inquilino queda atrapado en un ascensor ¿cuál es la probabilidad de que haya estado en el primero?

Ejemplo ●

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Una empresa manufacturera fabrica discos para computadora. La planta de Omaha produce el 30% de los discos, de los cuales 5% están defectuosos, la planta de Memphis produce el 50%, de los cuales 7% están defectuosos, y la planta de Kansas el restante 20% y defectuosos el 3 por ciento. Si en una tienda se encuentra un disco defectuoso ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido en Memphis?