Notas de Probabilidad Probabilidad Condicional e Independencia

PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA

Definición Si A y B son dos eventos, se define la probabilidad de A dado B como la probabilidad de que ocurra el evento A cuando el evento B ya ocurrió o se tiene la certeza de que ocurrirá, y se calcula como P ( A ⏐B ) =

P( A ∩B ) ; P(B)

P(B)≠0

De la misma manera, se define la probabilidad de B dado A como la probabilidad de que ocurra el evento B cuando el evento A y ocurrió o se tiene la certeza que de ocurrirá. Esta probabilidad se calcula como P ( B ⏐A ) =

P( A ∩B ) ; P( A )

P(A)≠0

Teorema 4.1.1 ( Regla de la multiplicación )

Si A y B son dos eventos, entonces P ( A ∩ B ) = P ( B ) P ( A ⏐B ) Y también P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ⏐A )

M. en I. Isabel Patricia Aguilar Juárez

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Ejemplo 1

En una familia con dos hijos, se desea calcular las siguientes probabilidades: a) La probabilidad de que los dos hijos sean varones. b) La probabilidad de que si uno de los hijos es varón, los dos lo sean.

RESOLUCIÓN: Para poder resolver el problema es necesario empezar por definir algunos eventos. Sean

a)

A: el evento de que los dos hijos sean varones, y B: el evento de que al menos uno de los hijos sea varón. Si observamos en el espacio muestral S = { (h, h), (h, m), (m, h), (m, m) } y consideramos que todos los eventos probables, es claro que P ( A ) = 1 / 4 = 0.25

b)

y

simples son igualmente

P ( B ) = 3 / 4 = 0.75

Se desea calcular P ( A ⏐B ). Utilizando la definición de probabilidad condicional se obtiene P ( A ⏐B ) =

P ( A ∩ B ) 1/4 1 = = P(B ) 3/4 3

P ( A ⏐B ) = 1 / 3 M. en I. Isabel Patricia Aguilar Juárez

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Pero ¿qué pasa al imponer una condición?. En este mismo ejemplo consideremos la condición impuesta de que al menos uno de los hijos es varón, entonces, el evento ( m, m ) no es factible, con lo cual, el espacio muestral se modifica, es más, se reduce al conjunto S B = { (h, h), (h, m), (m, h) } Si calculamos ahora la P (A) a partir de este espacio muestral reducido, se puede observar con toda claridad que P ( A ) = 1/3.

¡Exactamente lo que habíamos calculado usando la definición !

Ejemplo 2

Se lanzan dos dados balanceados y se definen los eventos A: el resultado del lanzamiento del primer dado es par. B: el resultado del lanzamiento del segundo dado es 4. C: el resultado del lanzamiento del primer dado es 3. Calcular a) P ( A ⏐B )

f) P ( B )

b) P ( B ⏐C )

g) P ( C )

c) P ( A ⏐C ) d) P ( C ⏐A ) e) P ( A ) M. en I. Isabel Patricia Aguilar Juárez

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Definición

Dos eventos A y B son independientes si la probabilidad de A dado B es igual a la probabilidad de A, y también la probabilidad de B dado A es igual a la probabilidad de B, es decir, si la ocurrencia o no ocurrencia de un evento no modifica en nada la probabilidad de ocurrencia de otro. Esto es, A y B son independientes si P ( A ⏐B ) = P ( A ) y también P ( B ⏐A ) = P ( B )

Teorema

Dos eventos A y B son eventos independientes sí y sólo sí P(A ∩ B) = P(A) P(B)

Teorema (Fórmula de Probabilidad Total)

Sean los eventos B1 , B2 , ... , Bn una partición colectivamente exhaustiva del espacio muestral S, y sea A otro evento, entonces, P(A) = P[ (A ∩ B1) ∪ (A ∩ B2) ∪ ... ∪ (A ∩ Bn) ] n = ∑ P( A ∩ Bi ) i =1

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Pero sabemos que P(A ∩ Bi) = P(Bi) P(A ⏐Bi), de donde se obtiene el siguiente resultado.

Teorema (Teorema de Bayes)

Sean los eventos B1 , B2 , ... , Bn una partición colectivamente exhaustiva del espacio muestral S, y sea A otro evento, entonces, P(Bi )P(A⏐Bi ) P(Bi ⏐A) = n ∑ P(Bk )P(A⏐Bk ) k =1

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Ejemplo 3

Una fábrica de artículos eléctricos recibe un cierto tipo de partes de tres proveedores conocidos como A, B, C. De acuerdo con las pruebas de calidad que efectúa la fábrica al recibir cada remesa, se sabe que el 10% de las partes recibidas de A no satisface las especificaciones, mientras que por parte de B y C dichos porcentajes son 5% y 8% respectivamente. Ante tal experiencia, la política de la fábrica ha sido requerir el 20% de los pedidos a A, el 50% a B y el 30% a C. Una vez recibidas y revisadas las remesas se juntan todas las partes recibidas. Si se selecciona aleatoriamente una parte de las almacenadas, a. ¿Cuál es la probabilidad de que cumpla con las especificaciones ? b. Si la parte seleccionada no cumple con las especificaciones, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido vendida por A?

Procedimiento de solución

Definamos los siguientes eventos: A: La parte seleccionada fue fabricada por A B: La parte seleccionada fue fabricada por B C: La parte seleccionada fue fabricada por C D: El producto seleccionado está defectuoso. Datos

P(A) = 0.20 P(D⏐A) = 0.10

P(B) = 0.50 P(D⏐B) = 0.05

P(C) = 0.30 P(D⏐C) = 0.08

Problema

a. P(Dc) b. P(A⏐D)

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Resolución

a. P(Dc) = 1 – P(D) P(D) = P(A) P(D⏐A) + P(B) P(D⏐B) + P(C) P(D⏐C) = 0.2 (0.1) + 0.5 (0.05) + 0.3 (0.08) = 0.069 P(Dc) = 0.931 b.

P(A D) =

=

P(A) P(D A) P(C) P(D C) + P(B) P(D B) + P(C) P(D C) 0.20 ( 0.10) = 0.2898 0.069

P(A⏐D) = 0.29

Ejemplo 4

En una ciudad determinada, el 30% de las personas son conservadores, el 50% liberares y el 20% son independientes. Los registros muestran que en unas elecciones concretas votaron 65% de los conservadores, el 82% de los liberales, y el 50% de los independientes. a. Si se selecciona al azar una persona de la ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que haya votado? b. Si se selecciona al azar una persona de la ciudad y se sabe que no votó en las elecciones pasadas, ¿cuál es la probabilidad de que sea un liberal ? M. en I. Isabel Patricia Aguilar Juárez

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Resolución

Definamos los eventos siguientes: A: La persona seleccionada al azar es conservadora. B: La persona seleccionada al azar es liberal. C: La persona seleccionada al azar es independiente. D: La persona seleccionada al azar votó en las elecciones pasadas. a. P(D) = ? Usando un diagrama de árbol, D P(A) = 0.30

Dc

A B P(B) = 0.50

D Dc

C P(C) = 0.20

D Dc

P(A ∩D) = P(A) P(D⏐A) = 0.195 P(D⏐A) = 0.65 P(Dc⏐A) = 0.35 P(A ∩Dc) = P(A) P(Dc⏐A) = 0.105 P(B ∩D) = P(B) P(D⏐B) = 0.41 P(D⏐B) = 0.82 P(Dc⏐B) = 0.18 P(B ∩Dc) = P(B) P(Dc⏐B) = 0.09 P(C ∩D) = P(C) P(D⏐C) = 0.10 P(D⏐C) = 0.50 P(Dc⏐C) = 0. 5 P(C ∩Dc) = P(C) P(Dc⏐C) = 0.10

Entonces, P(D) = 0.195 + 0.41 + 0.10 = 0.705 b. P(B ⏐Dc) = 0.09 / 0.295 = 0.305

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