Probabilidades y Estad´ıstica (M) 2◦ cuatrimestre 2008

Pr´ actica 2: Probabilidad Condicional e Independencia Tiempo estimado: 3 clases

Probabilidad condicional 1. Hay 3 cajas A, B y C con 20 piezas cada una, conteniendo 20, 15 y 10 piezas buenas. La probabilidad de elegir la caja A es igual a la de B, y la de C es igual a su suma. Eligiendo al azar una caja se sacan de ella con reposici´on 2 piezas que resultan ser buenas. Hallar la probabilidad condicional de que provengan de la caja A. 2. Para el ejercicio 11 de la pr´actica 1: (a) ¿Qu´e probabilidad le asignar´ıa al (4, 3, 1)? (b) Calcular la probabilidad de sacar un 5 en la primera prueba dado que se obtuvo 1 en la segunda. 3. Se dispone de dos urnas cuyo contenido es el siguiente. Urna A: 5 bolitas rojas y 3 blancas Urna B: 1 bolita roja y 2 blancas Se arroja un dado equilibrado. Si el resultado es 3 ´o 6, se extrae una bolita de la urna A que se coloca en la urna B y luego se extrae una bolita de B. En caso contrario, el proceso se hace a la inversa. (a) Hallar la probabilidad de que ambas bolitas sean rojas. (b) Si ambas bolitas son del mismo color, ¿cu´al es la probabilidad de que sean blancas? 4. Cuando se realiza un an´alisis de laboratorio para diagnosticar una cierta enfermedad en un paciente se est´a frente a la posibilidad de cometer dos tipos de errores en el diagn´ostico. Sean E el evento “la persona examinada est´a enferma” y A el evento “el resultado del an´alisis es positivo, es decir que el an´ alisis concluye que la persona examinada contrajo la enfermedad”. Por supuesto, ambos eventos no tienen por qu´e coincidir (aunque eso ser´ıa lo deseable). Cuando no lo hacen, hay un error de diagn´ ostico: si el an´alisis da positivo pero el paciente est´a sano se dice que tenemos un falso positivo, si en cambio el an´ alisis da negativo pero el paciente est´a enfermo se dice que tenemos un falso negativo. Para cada an´ alisis se conocen la sensibilidad del test, es decir, la P (A|E) y la especificidad del test, es decir, P (Ac |E c ). (a) Supongamos que una prueba de laboratorio en particular es tal que P (A|E) = P (Ac |E c ) = 0.95. y que la probabilidad de que un paciente que se examina padezca la enfermedad es 0.005 (prevalencia de la enfermedad). ¿Cu´al es la probabilidad de que una persona cuyo an´alisis diagn´ostico es positivo en realidad est´e enferma? (b) Sean ahora P (A|E) = P (Ac |E c ) = p

P (E) = 0.005.

¿Para qu´e valor de p es P (E|A) = 0.95? Interpretar la respuesta. 5. Felipe busca sus medias rojas para vestirse para ir al dentista. En su placard hay n cajones en los cuales pueden estar sus medias. Sea pi la probabilidad de que est´en en el caj´on i. Felipe, apurado, le da un vistazo r´apido al contenido de los cajones, de manera tal que si las medias est´an en el caj´ on i, la probabilidad de que las vea es αi , pero si las medias no est´an en el caj´on i, la probabilidad de que las vea ah´ı es 0. Calcular la probabilidad de que las medias est´en en el caj´on j, dado que al mirar en el i-´esimo caj´on no las vio. Sugerencia: Considerar separadamente los casos j = i, j 6= i. 1

6. Consideremos el siguiente experimento llamado Esquema de Polya. De un bolillero que contiene B bolillas blancas, B ≥ 1 y R rojas, R ≥ 1 se extraen sucesivamente y al azar n bolillas, n ≥ 2, devolviendo cada bolilla extra´ıda al bolillero junto con otras c bolillas del mismo color, c ≥ 1. (a) Hallar la probabilidad de que: i. se obtenga una roja en la segunda extracci´on. ii. se obtenga una roja en la n-´esima extracci´on. Sugerencia: Ten´e cuidado al elegir el evento respecto del cual condicion´as. (b) Probar que para todo m < n la probabilidad de que se obtenga una roja en la m-extracci´on y una bolilla roja en la n-´esima extracci´on es R (R + c) (R + B) (R + B + c) y una roja en la m-extracci´on y una bolilla blanca en la n-´esima extracci´on es RB . (R + B) (R + B + c) Generalizar a m´as de dos extracciones. Sugerencia: Para el caso m = 1 y todo n usar el 6a. Continuar con la induccion en m. (c) Hallar la probabilidad de que: i. se obtenga una roja en la tercera extracci´on dado que en la segunda se obtuvo una roja. ii. se haya obtenido una roja en la primera extracci´on dado que se obtuvo una roja en la n-´esima. 7. Un dado se tira tantas veces como sea necesario para que aparezca un as. (a) Suponiendo que el as no aparece en el primer tiro, ¿cu´al es la probabilidad de que sean necesarios m´as de 3 tiros? (b) Supongamos que el n´ umero de tiros sea par, ¿ cu´al es la probabilidad de que sea 2? 8. Se tienen n + 1 urnas numeradas 0, 1, . . . , n. La urna i tiene i bolillas blancas y n − i negras. Se elige al azar una urna, (a) y se extrae de ella una bolilla al azar, i. hallar la probabilidad de que la bolilla extra´ıda sea blanca. ii. Si la bolilla extra´ıda fue blanca, ¿cu´al es la probabilidad de que provenga de la urna i, 0 ≤ i ≤ n? (b) y se realizan k extracciones con reposici´on de la urna elegida, i. hallar la probabilidad de que las k bolillas extra´ıdas sean blancas. ii. Sabiendo que las k bolillas extra´ıdas son blancas, si se realiza una nueva extracci´on de esa misma urna, ¿cu´al es la probabilidad de que esta u ´ltima bolilla sea blanca? 9. ¿Cu´al es la probabilidad condicional de que al tirar sucesivamente una moneda equilibrada, salga cara por primera vez en la n-´esima tirada, sabiendo que sali´o por lo menos una vez entre las (m + n) primeras tiradas? m ≥ 1. 10. Un modelo simplificado del pron´ostico del tiempo Supongamos que el tiempo (seco o lluvioso) de ma˜ nana tendr´a probabilidad p de ser el mismo que el de hoy. 2

(a) Si el d´ıa 10 de enero fue lluvioso, mostrar que pn = probabilidad de que el d´ıa (n+1)-´esimo de ese a˜ no sea lluvioso satisface ( pn = (2p − 1)pn−1 + (1 − p) n ≥ 1 p0

= 1

(b) Probar que 1 pn = [1 + (2p − 1)n ] n ≥ 0 2 11. Cadenas de Markov con tres estados. Supongamos que tenemos dos urnas, numeradas I y II. Cada urna contiene una bolilla blanca y una bolilla roja. Se extraen simult´aneamente una bolilla de cada urna y se devuelven a la urna de la que no fueron extra´ıdas. Consideremos los sucesos: Bn = la urna I contiene dos blancas despu´es de la extracci´on n−´esima, Rn = la urna I contiene dos rojas despu´es de la extracci´on n−´esima, An = la urna I contiene una blanca y una roja despu´es de la extracci´on n−´esima, y sus probabilidades definidas como pn = P (Bn ), qn = P (An ) y rn = P (Rn ). 1 1 (a) Muestre que q1 = , p1 = r1 = . 2 4 (b) Considere las probabilidades de transici´on definidas por: P (An+1 |Bn ), P (Bn+1 |Bn ), P (Rn+1 |Bn ) P (An+1 |An ), P (Bn+1 |An ), P (Rn+1 |An ) P (An+1 |Rn ), P (Bn+1 |Rn ), P (Rn+1 |Rn ) Muestre que las mismas no dependen de n y que se tiene : P (An+1 |Bn ) = 1, P (Bn+1 |Bn ) = 0, P (Rn+1 |Bn ) = 0 1 1 1 P (An+1 |An ) = , P (Bn+1 |An ) = , P (Rn+1 |An ) = 2 4 4 P (An+1 |Rn ) = 1, P (Bn+1 |Rn ) = 0, P (Rn+1 |Rn ) = 0. 1 (c) Deduzca que pn+1 = rn+1 = qn 4 1 qn+1 = pn + rn + qn 2 1 qn+1 = (qn + qn−1 ) si n ≥ 1 2 considerando en la u ´ltima ecuaci´on que q0 = 1 para el caso n = 1. (d) Usando (c) calcule la probabilidad de que la Urna I contenga 2 blancas despu´es de la cuarta extracci´on. 2 1 1 (e) Muestre que cuando n → ∞ se cumple que qn → , pn → y rn → . 3 6 6 Deduzca que la probabilidad de que la Urna I contenga dos blancas despu´es de 100 repeticiones es 1 aproximadamente 6

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Independencia 12. Mientras el futuro no sea completamente conocido con certeza, no existe ninguna inversi´on libre de riesgo. Gehm ( Gehm F., Risk–Free Trading is Risky Stuff Commodities, April 1979) observa que muchos operadores financieros todav´ıa siguen recomendando opciones comerciales libres de riesgo o conservadoras. Usualmente, los operadores comerciales buscan acumular sus ganancias, combinando ganancias despu´es de cada operaci´on exitosa para un n´ umero predeterminado de negociaciones. Pero, si una transacci´ on se pierde, el inversor pierde todo su dinero. Supongamos que el resultado de ganar en cualquier transacci´on es independiente del resultado de cualquier otra. Si el inversor invierte en una operaci´on de cinco comodidades corridas, calcular la probabilidad de: (a) que evite la bancarrota si la probabilidad de ganar en cada operaci´on individual es 0.9, (b) que evite la bancarrota si la probabilidad de ganar en cada operaci´on individual es 0.6, (c) ganar en cada operaci´on individual para que el inversor tenga m´as de un 50% de probabilidad de ganar en una operaci´on de cinco comodidades. 13. Se extrae al azar una bolilla de una urna que tiene 9 bolillas de las cuales 3 son blancas, 3 son negras y 3 son rojas, numeradas 1, 2, 3 en cada color. Adem´as las siguientes bolillas son rayadas: n◦ 1 blanca, n◦ 2 negra y n◦ 3 roja. Sean los sucesos: A: “la bolilla es n´ umero 1” B: “la bolilla es blanca” C: “la bolilla es rayada” (a) ¿Son los sucesos A, B, y C independientes de a pares? (b) ¿Son independientes los sucesos A, B y C? 14. Sean a, b y c tres jugadores que juegan por turnos a un juego que nunca se empata de acuerdo con la siguiente regla: Empiezan a y b. El perdedor es reemplazado por c. El juego continua de esta manera (el ganador juega con el que estaba afuera) hasta que un jugador gane 2 veces consecutivas convirti´endose en el ganador del juego. (a) Escribir un espacio muestral. (b) Supongamos que en cada partido cada uno de los 2 jugadores tiene probabilidad i. Calcular P (a

a) y P (a

c b

a c

b

1 2

de ganar.

b).

 \  ii. Sea Bi el evento ”el jugador a gana el partido i-´esimo”. Hallar P (B1 ) , P (B2 ) y P B1 B2 . ¿Son independientes los eventos B1 y B2 ? iii. Sea A4 el evento el juego termina en el cuarto encuentro. Calcular P (A4 ). iv. Sea w = (a c b a c b a c b . . . ). Calcular P (w). v. Mostrar que la probabilidad de que a gane es 5/14 y calcular la de los otros dos. Verificar que las probabilidades de ganar no son iguales para los tres jugadores (de paso, ¿conviene o no jugar el primer partido?) 15. (a) Probar que el evento A es independiente de cualquier evento B si y s´olo si P (A) = 1 ´o 0. (b) Si A ⊂ B y A y B son independientes entonces P (A) = 0 ´o P (B) = 1. (c) Probar que si: i. A es independiente de B ∩ C y B ∪ C, 4

ii. B es independiente de A ∩ C, iii. C es independiente de A ∩ B, iv. P (A), P (B), P (C) > 0, entonces A, B y C son independientes. (d) Probar que si Bi = Ai o Bi = Aci , siendo Ai independientes, 1 ≤ i ≤ n entonces ! m m \ Y P Bi = P (Bi ), ∀ 1 ≤ m ≤ n i=1

i=1

con lo cual B1 . . . Bm son independientes, ∀ 1 ≤ m ≤ n. Sugerencia: Hacer inducci´on en el n´ umero de complementos de Ai involucrados. 16. Sean S1 . . . Sn eventos independientes en un espacio de probabilidad (Ω, F, P ). Describir mediante uniones y/o intersecciones de ellos y hallar la probabilidad de que de los Si ocurra: (a) al menos uno. (b) exactamente uno. (c) ninguno. (d) exactamente k en el caso P (Si ) = p,

1 ≤ i ≤ n.

17. (a) De un bolillero que contiene n bolillas numeradas 1, 2, . . . , n se extrae una al azar. Sea p un n´ umero primo y Ap el evento: “el n´ umero de la bolilla elegida es divisible por p”. Probar que si p1 , p2 , . . . son distintos divisores primos de n entonces los eventos Ap1 , Ap2 , . . . son independientes. (b) Sea ϕ(n) la funci´on de Euler de la teor´ıa de n´ umeros, es decir ϕ(n) es el n´ umero de enteros coprimos con n y menores o iguales que n. Demostrar que   Y 1 . ϕ(n) = n 1− p p primos: p|n

Borel-Cantelli 18. Se tira una moneda equilibrada infinitas veces en forma independiente. Consideremos una racha fija (s1 , . . . , sk ) donde cada si ∈ {c, s} ; 1 ≤ i ≤ k. (a) ¿Cu´al es la probabilidad de que la racha aparezca entre el tiro n + 1 y el n + k? (b) Mostrar que la probabilidad de que la racha aparezca infinitas veces es 1. 19. Se elige al azar un n´ umero en el intervalo [0, 1]. (a) Encontrar la probabilidad de que la primera cifra decimal sea 2. (b) Encontrar la probabilidad de que la n-´esima cifra decimal sea 5 y la (n + 1)−´esima sea 7. (c) Sea B el suceso: “el n´ umero 57 aparece infinitas veces en el desarrollo decimal”. Probar que P (B) = 1. (d) Sea An el suceso: “el 9 aparece n veces consecutivas en los 2n primeros lugares”. Calcular P (A∞ ) ∞ S ∞ T con A∞ = {An infinitas veces} = lim sup An = Ak . n→∞

n=1 k=n

(e) ¿Cu´al es la probabilidad de que sea racional? Observaci´ on: Si un n´ umero admite dos desarrollos decimales se optar´a por el finito. Por ejemplo, se toma 0.745 y no 0.744ˆ9.

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