Problema 5.154 a

24 kN

A

wA 1.8 m

30 kN

0.3 m

La viga AB soporta dos cargas concentradas y descansa sobre el suelo el B cual ejerce una carga wB linealmente distribuida hacia arriba como se muestra. Determine a) la distancia a para la cual wA = 20 kN/m, b) el valor correspondiente wB.

Problema 5.154

Resolución de los problemas por 0.3 m a sí mismo La viga AB soporta dos A B cargas concentradas y wA wB descansa sobre el suelo el cual ejerce una carga linealmente distribuida hacia 1.8 m arriba como se muestra. Determine a) la distancia a para la cual wA = 20 kN/m, b) el valor correspondiente wB 1. Reemplace la carga distribuida por una sola fuerza equivalente. La magnitud de la fuerza es igual al área bajo la curva de la carga distribuida y su línea de acción pasa por el centroide del área. 24 kN

30 kN

2. Cuando sea posible, las cargas complejas distribuidas deben de dividirse en áreas de formas comunes.

Problema 5.154 Solución 24 kN

a

30 kN

C A 20 kN/m

Reemplace la carga distribuida por un par B de fuerzas equivalentes. wB

0.6 m

0.6 m RI

Se tiene

0.3 m

RII

1 RI = 2 (1.8 m)(20 kN/m) = 18 kN 1 RII = 2 (1.8 m)(wB kN/m) = 0.9 wB kN

Problema 5.154 Solución 24 kN

a

30 kN

0.3 m

C A

B

wB 0.6 m

0.6 m RI = 18 kN

RII = 0.9 wB kN

a) +

MC = 0: (1.2 - a)m x 24 kN - 0.6 m x 18 kN - 0.3m x 30 kN = 0 o a = 0.375 m

b) +

Fy = 0: -24 kN + 18 kN + (0.9 wB) kN - 30 kN= 0 o wB = 40 kN/m

Problema 5.147 y

20 mm

30 mm

Localice el centroide del área plana que se muestra. 36 mm

24 mm

x

y

20 mm

Problema 5.147 30 mm

Resolución de los problemas por sí mismo Localice el centroide del área plana que se muestra.

36 mm

Al resolver estos tipos de problemas, se deben de hacer resaltar varios puntos.

24 mm

x

1. Decida cómo construir el área dada a partir de formas comunes.

2. Se le recomienda con firmeza que construya una tabla que contenga las áreas o líneas y las coordenadas respectivas de los centroides. 3. Cuando sea posible, use la simetría para ayudarse a localizar el centroide.

Problema 5.147 Solución

y 20 + 10

Decida cómo construir el área dada a partir de formas comunes. C1 C2 24 + 12

30

10

Dimensiones en mm

x

Problema 5.147 Solución

y 20 + 10

Construya una tabla que contenga las áreas y las coordenadas respectivas de los centroides.

C1 C2 24 + 12

30

10

x Dimensiones en mm

A, mm2 1 20 x 60 =1200 2 (1/2) x 30 x 36 =540 1740

x, mm 10 30

y, mm 30 36

xA, mm3 12 000 16 200 28 200

yA, mm3 36 000 19 440 55 440

Problema 5.147 Solución

y 20 + 10

Entonces X A =

xA X (1740) = 28 200 o X = 16.21 mm

C1 C2

y

24 + 12

30

10

x Dimensiones en mm

A, mm2 1 20 x 60 =1200 2 (1/2) x 30 x 36 =540 1740

x, mm 10 30

Y A = yA Y (1740) = 55 440 o Y = 31.9 mm y, mm 30 36

xA, mm3 12 000 16 200 28 200

yA, mm3 36 000 19 440 55 440

Problema 5.158

A

d 1.8 ft

30o

B

La compuerta cuadrada AB está sostenida en la posición que se muestra por bisagras a lo largo de su borde superior A y por un pasador empotrado en B. Para una profundidad del agua d = 3.5 ft, determine la fuerza ejercida sobre la compuerta por el pasador.

Problema 5.158

Resolución de los problemas por sí mismo A

d 1.8 ft

30o

B

La compuerta cuadrada AB está sostenida en la posición que se muestra por bisagras a lo largo de su borde superior A y por un pasador empotrado en B. Para una profundidad del agua d = 3.5 ft, determine la fuerza ejercida sobre la compuerta por el pasador.

Suponiendo que el cuerpo sumergido tiene un ancho b, la carga por unidad de longitud es w = b gh, en donde h es la distancia por debajo de la superficie del fluido. 1. Primero, determine la distribución de presión que actúa perpendicular a la superficie del cuerpo sumergido. La distribución de presión será triangular o trapezoidal.

Problema 5.158

Resolución de los problemas por sí mismo A

d 1.8 ft

30o

B

La compuerta cuadrada AB está sostenida en la posición que se muestra por bisagras a lo largo de su borde superior A y por un pasador empotrado en B. Para una profundidad del agua d = 3.5 ft, determine la fuerza ejercida sobre la compuerta por el pasador.

2. Reemplace la distribución de presión con una fuerza resultante y construya el diagrama de cuerpo libre. 3. Escriba las ecuaciones de equilibrio estático para el problema y resuélvalas.

Problema 5.158 Solución

1.7 ft

PA

A

(1.8 ft) cos 30o

B PB

Determine la distribución de presión que actúa perpendicular a la superficie del cuerpo sumergido.

PA = 1.7 g PB = (1.7 + 1.8 cos 30o) g

Problema 5.158 Solución

Ay A 1.7 g

Ax

(1.8 ft) cos 30o

LAB/3

P1 LAB/3 LAB/3

P2

FB B

(1.7 + 1.8 cos 30o) g

Reemplace la distribución de presíón con una fuerza resultante y construya el diagrama de cuerpo libre. La fuerza del agua sobre la compuerta es 1 1 P = 2 Ap = 2 A( gh)

1 P1 = 2 (1.8 ft)2(62.4 lb/ft3)(1.7 ft) = 171.85 lb 1 P2 = 2 (1.8 ft)2(62.4 lb/ft3)(1.7 + 1.8 cos 30o)ft = 329.43 lb

Problema 5.158 Solución

Ay A

Ax

1.7 g

(1.8 ft) cos 30o

LAB/3

P1 LAB/3 LAB/3

FB

P2

B

(1.7 + 1.8 cos

30o)

P1 = 171.85 lb

1 3

Escriba las ecuaciones de equilibrio estático para el problema y resuélvalas.

g

MA = 0:

+

( 13

2 3

LAB)P1 + ( LAB)P2 - LABFB = 0

P2 = 329.43 lb

(171.85 lb) +

2 3

(329.43 lb) - FB = 0

FB = 276.90 lb

FB = 277 lb

30o

Problema 9.187

y

Resolución de lo problemas por sí mismo

a a a

x

C a

Determine los momentos de inercia del área sombreada que se muestra, con respecto a los ejes x y y, cuando a = 20 mm.

1. Calcule los momentos de inercia de un área compuesta con respecto a un eje dado.

1a. Divida el área en secciones. Las secciones deben de tener una forma para la cual puedan determinarse con facilidad el centroide y los momentos de inercia (por ejemplo, de la figura 9.12 del libro).

Problema 9.187

y

Resolución de los problemas por sí mismo

a a a

x

C a

Determine los momentos de inercia del área sombreada que se muestra, con respecto a los ejes x y y, cuando a = 20 mm.

1b. Calcule el momento de inercia de cada sección. El momento de inercia de una sección con respecto al eje dado se determina aplicando el teorema del eje paralelo: I = I + A d2 En donde I es el momento de inercia de la sección alrededor de su propio eje centroidal, I es el momento de inercia de la sección alrededor del eje dado, d es la distancia entre los dos ejes y A es el área de la sección.

Problema 9.187

y

Resolución de los problemas por sí mismo

a a a

x

C a

Determine los momentos de inercia del área sombreada que se muestra, con respecto a los ejes x y y, cuando a = 20 mm.

1c. Calcule el momento de inercia de toda el área. El momento de inercia de toda el área se determina sumando los momentos de inercia de todas las secciones.

Problema 9.187 Solución

y a a a

Divida el área en secciones. x

C a

4a 3

y C’

2 B

B

x 1

C

4a 3

x’

x’’

C’’

3

y a

C’

x

C a

2 B

B

a a

y

4a 3

C

4a 3

C’’

x’ x 1

Problema 9.187 Solución

Calcule el momento de inercia de cada sección.

x’’

3 Momento de inercia con respecto al eje x 1 (IBB)2 = 8 a4 Para la sección 2:

(IBB)2 = ( Ix’)2 + A d2 1 ( Ix’)2 = (IBB)2 _ A d2 = 8 a4 _ 1 (Ix)2 = ( Ix’)2 + A d2 = 8 a4 _ 5 4 (Ix)2 = 8 a4 + 3 a4

8 4a 1 a2 ( 3 )2 = 8 a4 _ 9 a4 8 4 4a 2 1 2 9 a + 2 a (a+ 3 )

1 2

y

4a 3

a

a

x a

C’

2 B

B

a

C

y

x 1

C

4a 3

x’

Problema 9.187 Solución

x’’

C’’

3 Para la sección 1: (Ix)1 =

1 4 4 (2a) (2a)3 = a 12 3

4 4 Calcule el mo5 4 Para la sección 3: (Ix)3 = (Ix)2 = a + 3a 8 mento de inercia de toda el área. Momento de inercia de toda el área: 4 4 5 4 4 5 4 4 4 4 Ix = (Ix)1 + (Ix)2 + (Ix)3 = a + 8 a +3 a + 8 a + 3 a 3 (Para a = 20 mm) 5

Ix = 4 a4 +

a4 = 1.268 x 106 mm4 I = 1.268 x 106 mm4 4 x

y a

B

x

C

2

C’

B

a a

y

4a 3

a

4a 3

x’

C

x 1

C’

x’’

Problema 9.187 Solución

3

Momento de inercia con respecto al eje y

1 4 4 (2a) (2a)3 = a 12 3 1 1 a4 (I ) = (I ) = Para la sec. 2: y 2 Para la sec. 3: y 3 8 8 Para la sección 1: (Iy)1 =

a4

Momento de inercia de toda el área:

Iy = (Iy)1 + (Iy)2 + (Iy)3 =

4 4 1 a +8 3

1 a4 + 8

Iy = 339 x 103 mm4

(Para a = 20 mm)

a4 =

4 4 1 a + 4 3

a4

Ejemplo: En un balancín de 4 m de largo se columpian dos niños de 20 y 30 kg en sus extremos ¿En dónde se tendría que colocar un adulto de 70 kg para lograr el equilibrio? 120 kp 2m 20 kp

d

2m 30 kp

70 kp

M=0 20 kp · 2 m + 70 kp · d – 30 kp · 2m = 0 30 kp · 2m – 20 kp · 2 m d = ——————————— = 0,286 m 70 kp