Matematica enju

ego

Para las chicas y los chicos que tienen muchas ganas de aprender matemática.

primaria | segundo ciclo

4

primaria | segundo ciclo

Y se animan a jugar con problemas. Y les gusta problematizar juegos. Y se atreven a desafíarse a sí mismos. Porque quieren saber cuántos nuevos modos de pensar y resolver es posible descubrir cuando la Matematica se pone en juego.

Problemas, juegos y desafíos Recursos

para el

docente

Flavia Guibourg Pierina Lanza Nora Legorburu (coord.) Ruth Schaposchnik (coord.)

4

Matematica en juego Problemas, juegos y desafíos… ¿por qué? Cada libro de esta serie ofrece una amplia variedad de problemas de aritmética y de geometría para que los alumnos utilicen múltiples estrategias al resolverlos. Se espera que, si los resuelven en grupo, intercambien ideas respecto del camino que le parece más adecuado a cada uno para llegar a la respuesta y que comparen tanto las respuestas que obtienen como los procedimientos que siguen. Las propuestas que requieren un poco más de tiempo y dedicación se incluyen en la sección desafíos, para que los niños disfruten de la gratificación que acompaña el hallazgo de la solución por sus propios medios. Los juegos están pensados para aprender más y para profundizar lo que ya aprendieron. Algunos se pueden jugar en forma individual y otros son para jugar en grupo, utilizando los materiales de la sección Recortables. El presente material tiene por finalidad acompañar a los docentes en el mejor aprovechamiento del libro, orientándolos en una manera posible de planificar sus clases, ofreciéndoles las respuestas de las actividades para que puedan chequear más rápidamente el proceso de aprendizaje y, además, proveyéndolos de material fotocopiable para las carpetas de los alumnos.

Proyecto didáctico y Dirección Editorial María Ernestina Alonso

Proyecto visual y Dirección de Arte Mariana Valladares

Proyecto y coordinación autoral de la serie Matemática en juego. Nora Legorburu y Ruth Schaposchnik

Diseño de tapa e interiores Mariana Valladares

Autoría Flavia Guibourg, Pierina Lanza, Nora Legorburu y Ruth Schaposchnik Edición Nora Legorburu y Ruth Schaposchnik Corrección Fernando Planas

Diagramación Matías Moauro Ilustración Tapa e interiores Lancman ink

Más recursos para enriquecer el trabajo en el aula BRESSAN, A. (COORD.) (1995), Contenidos básicos comunes para la EGB - Matemática, Buenos Aires, Ministerio de Cultura y Educación de la Nación Argentina.

SAIZ, I. “Dividir con dificultad o la dificultad de dividir” en:

BROITMAN, C. e ITZCOVICH, H., “Geometría en los primeros años de la EGB: problemas de su enseñanza, problemas para su enseñanza”, en: PANIZZA, M. (2003), Enseñar Matemática en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB. Análisis y propuestas, Buenos Aires, Paidós.

VERGNAUD, G. (COMP.) (1997), Aprendizajes y didácticas: qué hay

BROUSSEAU, G. (1987), Fundamentos y métodos de la didáctica de

la Matemática, Córdoba, Facultad de Matemática, Astronomía y Física, Universidad Nacional de Córdoba. CHEMELLO, G. (COORD.), HANFLING, M. y MACHIUNAS, V. (2001), El juego

como recurso para aprender. Juegos en Matemática EGB 2 (Material para docentes y recortable para alumnos), Buenos Aires, Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología (también en Internet). CHEVALLARD, I., GASCÓN, J. y BOSCH, M. (1997), Estudiar Matemática. El eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje, Barcelona, Ice-Horsori.

PARRA, C. Y SAIZ, I. (comps.) (1994), Didáctica de las Matemáticas.

Aportes y reflexiones, Buenos Aires, Paidós. de nuevo, Buenos Aires, Edicial. Documentos curriculares para Nivel Primario en Internet Matemática 4 serie Cuadernos para el aula En http://www.me.gov.ar/curriform/nap/matematica4_final.pdf Matemática. Documento de trabajo Nº 4. Actualización curricular, 1997. Matemática. Documento de trabajo Nº 5. Actualización curricular, 1998. En: http://www.buenosaires.gov.ar/educacion/docentes/ planeamiento/primaria.php Enseñar Geometría en el 1° y 2° Ciclo. Diálogos de la capacitación. En: http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/cepa/ geometria.pdf

FUENLABRADA, I., BLOCK, D., BALBUENA H., CARVAJAL, A. (2000), Juega y

aprende Matemática. Propuestas para divertirse y trabajar en el aula, Buenos Aires, Novedades Educativas. PANIZZA, M. (2003), “Reflexiones generales acerca de la enseñanza de la Matemática”, en Enseñar Matemática en el Nivel Inicial y el Primer Ciclo de la EGB. Análisis y propuestas, Buenos Aires, Paidós. PARRA, C. Y SAIZ, I. (COMPS.) (1994), Didáctica de las Matemáticas.

Aportes y reflexiones, Buenos Aires, Paidós. PONCE, H. (2000), Enseñar y aprender Matemática. Propuestas

para el Segundo Ciclo, Buenos Aires, Novedades Educativas. PUJADAS, M. y EGUILUZ, M. L. (2000), Fracciones, ¿un quebradero de cabeza? Sugerencias para el aula, Buenos Aires, Novedades Educativas. SADOVSKY, P. (COORD.), BROITMAN, C.; ITZCOVICH, H., QUARANTA, M. E.

(2001), “Acerca de los números decimales. Una secuencia posible”, en el documento Aportes para el Desarrollo Curricular Matemática, GCBA (también disponible en Internet).

Acerca de los números decimales. Una secuencia posible. En: http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/ primaria.php Propuestas para el aula. Material para docentes. Matemática EGB 2. Juegos en Matemática EGB 2. El juego como recurso para aprender (material para alumnos). Subsecretaría de Educación Básica, Ministerio de Educación. Juegos en Matemática EGB 2. El juego como recurso para aprender (material para docentes). Subsecretaría de Educación Básica, Ministerio de Educación. En http://www.me.gov.ar/curriform/matematica.html

Índice

1

E l sistema de numeración decimal Orientaciones para planificar la clase ............................................................................4 Comentarios sobre las respuestas ....................................................................................5

2

Para resolver con la suma y la resta Orientaciones para planificar la clase ............................................................................6 Comentarios sobre las respuestas ....................................................................................7

3

¡Cuántos ángulos! Orientaciones para planificar la clase ............................................................................8 Comentarios sobre las respuestas ....................................................................................9 La circunferencia y el círculo Orientaciones para planificar la clase ......................................................................... 10 Comentarios sobre las respuestas ................................................................................. 11 Para resolver con la multiplicación Orientaciones para planificar la clase ......................................................................... 12 Comentarios sobre las respuestas ................................................................................. 13

4 5 6

Para resolver con la división Orientaciones para planificar la clase ......................................................................... 14 Comentarios sobre las respuestas ................................................................................. 15

7

Trabajamos con fracciones Orientaciones para planificar la clase ......................................................................... 16 Comentarios sobre las respuestas ................................................................................. 17

9

También usamos los números decimales Orientaciones para planificar la clase ......................................................................... 18 Comentarios sobre las respuestas ................................................................................. 19 Triángulos por todos lados Orientaciones para planificar la clase ......................................................................... 20 Comentarios sobre las respuestas ................................................................................. 21

10

Y ahora… ¡los cuadriláteros! Orientaciones para planificar la clase ......................................................................... 22 Comentarios sobre las respuestas ................................................................................. 23

11

Tomemos medidas Orientaciones para planificar la clase ......................................................................... 24 Comentarios sobre las respuestas ................................................................................. 25

8

Para intercambiar ideas en el aula: 10 preguntas en juego....................... 26 Tabla pitagórica........................................................................................................................ 32

1

Orientaciones para planificar la clase sobre…

4

El

sistema de

numeracion

decimal

Es necesario que los alumnos amplíen sus habilidades y saberes acerca del sistema de numeración decimal, por lo que en el capítulo se proponen actividades enfocadas en abordar varios aspectos del sistema, que en parte constituyen una síntesis del trabajo sobre numeración realizado en los primeros años. Recapitulando, el trabajo en el primer ciclo se centra en la elaboración de estrategias personales para la resolución de situaciones problemáticas, la comunicación de los procedimientos utilizados y los resultados obtenidos en la resolución, el control de los resultados obtenidos y el inicio y avance en la comprensión del sistema de numeración y su utilización. En 4.º se trata de avanzar hacia otras regularidades y complejidades dadas por el tamaño de los números y posibilitadas por la maduración y los saberes previos con que cuentan los niños. Las actividades que están en el capítulo permiten avanzar sobre las prácticas matemáticas iniciadas en el primer ciclo, al trabajar: • lectura y escritura de números; • relación entre la numeración oral y la escrita; • descomposición de números basada en la organización decimal del sistema; • relaciones aditivas y multiplicativas que subyacen a un número (descomposición aditiva y descomposición polinómica) ; • la organización posicional y decimal del sistema;

• expresión de un número en términos de unidades, decenas, centenas, etcétera; • comparación de números: criterios, valor posicional; • regularidades del sistema de numeración; • tratamiento de la información. El trabajo con los desafíos y las situaciones de juego favorece la problematización de algunos de estos aspectos y de conceptos matemáticos que es interesante poner en discusión. Lo que pretendemos, por medio del planteo de desafíos, es la búsqueda de estrategias de resolución diferentes, que escapen a lo convencional, que superen aspectos muy mecánicos a menudo presentes en las prácticas de resolución que habitualmente emplean los chicos. Por ejemplo, el objetivo del trabajo con las series es que los chicos encuentren el algoritmo utilizado para poder completarlas. Un aparte para el sistema de numeración romano: es un sistema que tiene notorias diferencias con el nuestro; es aditivo, pero no multiplicativo, no es decimal, no es posicional, no hay ningún símbolo con la misma función del 0. Consta de 7 símbolos que no son suficientes para escribir todos los números naturales. Abrir el espectro a otros sistemas de numeración facilita la reflexión sobre el hecho de que los saberes se han ido construyendo a lo largo del tiempo, con el aporte de muchas civilizaciones y en base a dar respuesta a las necesidades que se han ido presentando.

Página 7 del libro del alumno Dictado de facturas 1.349 : mil trescientos cuarenta y nueve 1.014 : mil catorce mil ocho: 1.008 mil doscientos sesenta y nueve: 1.269 Tarjetas equivalentes 1.099 299.000 301.005 5.678 10.099 506.780

30 x 1.000 + 100 + 5 5.000 + 6 x 100 + 70 + 8 1.000 + 90 +9

29 u de mil + 99 d 29 d de mil + 9 u de mil 10 c + 9 d + 9 u

50.000 + 6.000 + 700 + 80 200 x 1.000 + 90.000 + 9.000 10.000 + 90 + 9

100 c + 9 d + 9 u 3 d de mil + 1 c + 5 u 3 c de mil + 100 d + 5 u

¿Cómo se escribe? Doscientos mil dos: 200 002 Doscientos mil veinte: 200 020 Doscientos veintidós mil: 222 000 Página 8 del libro del alumno Escribí estos números a) 7 - 9 - 0 - 3 9.730 8 – 2 - 1 - 5 8.521 0 - 1 - 6 - 4 6.410 b) 3.079 1.258 1.046 c) Un número de cinco cifras distintas, en el que: • el 8 valga 8 Por ejemplo: 17.458 • el 8 valga 80 Por ejemplo: 67.187 • el 8 valga 8.000 Por ejemplo: 58.912 • el 8 valga 800 Por ejemplo: 12.846 • el 8 valga 80.000 Por ejemplo: 85.710 Adivina, adivinador a) 787 b) 1.004 c) Hay 6 soluciones posibles: 8.415; 8.425; 8.435;

8.465; 8.475; 8.495. d) Hay 2 soluciones posibles: 404 o 448. e) 6.333 Página 9 del libro del alumno ¿Cuántos números podés encontrar? 5.833; 5.933; 6.033; 6.133; 6.233; 6.333; 6.433; 6.533; 6.633; 6.733; 6.833; 6.933. Dando saltos ¿Cuántos saltos de 10 hay entre el 300 y el 600? Hay 30 saltos. ¿Cuántos saltos de 100 hay entre el 3.000 y el 6.000? Hay 30 saltos. ¿Cuántos saltos de 1000 hay entre el 30.000 y el 60.000? Hay 30 saltos. ¿De a cuánto tienen que ser los saltos para que entre el 300 y el 600 haya 300 saltos? Los saltos tienen que ser de a 1. ¿De a cuánto tienen que ser los saltos para que entre el 3.000 y el 6.000 haya 300 saltos? Los saltos tienen que ser de a 10. Con la calculadora Escribí en la calculadora 5.428. • Con un solo cálculo, obtené el número 5.420. Se debe restar 8. Volvé a escribir 5.428. • Con un solo cálculo, obtené el número 5.028. Se debe restar 400. Volvé a escribir 5.428. • Obtené 5.028, pero sin usar la tecla del 4. Por ejemplo, se le debe restar 100 cuatro veces. ¿Cómo sigue? 1 2 4 2 4 8 2 6 12 2 6 18 3 8 18

7 16 20 54 33

11 32 30 162 53

16 64 42 486 78

Página 10 del libro del alumno Crucigrama de números romanos Crucinúmero 1

2

3

2 2 2

2

1 8 5

3

1

7

2

9 0

3

2

C L

3

X X V I

X I I

Sopa de números 4 0 3 8 0 1 3 1 1 0

0 2 3 0 1 8 4 2 1 0

1 1 0 0 0 1 0 0 1 8

7 6 1 0 1 9 9 0 0 5

1 4 1 2 0 2 0 5 0 0

8 0 1 0 1 0 8 9 1 0

0 0 6 1 0 0 0 0 9 8

5 8 0 0 0 2 5 9 0 0

4 1 5 4 1 0 0 0 8 0

1 1 2 1 0 0 1 1 0 0

Comentarios sobre las respuestas

Página 6 del libro del alumno La juguetería de Lucio a) El talonario Nº 3 b) 001353 - 001503 Llegó el pedido a) 2 billetes de 100, 3 billetes de 10 y 5 monedas b) 8 billetes de 100, 9 billetes de 10

5

2

Orientaciones para planificar la clase sobre…

6

Para resolver

suma y la resta

con la

Es importante destacar que, al mismo tiempo que se abordan las operaciones de suma y resta desde el punto de vista de la resolución de problemas, es importante presentar propuestas de cálculo mental que impliquen la selección de la estrategia de cálculo más pertinente en relación con los números y las operaciones. Asimismo, desde los primeros años de escolaridad debemos favorecer el trabajo no solo con el cálculo mental, sino también el trabajo con el cálculo aproximado, el cálculo estimativo y el cálculo algorítmico. En el primer ciclo, los niños han abordado los diferentes significados para la suma y la resta: composición de cantidades, transformación de una cantidad y comparación de cantidades. En el segundo ciclo continuarán resolviendo situaciones que involucren estos significados pero, además, complejizaremos el dominio numérico y el texto del enunciado. Por ejemplo, podríamos presentar problemas que involucren más de una operación o problemas que se resuelvan “en diferentes pasos”. Las actividades que están en el capítulo permiten trabajar: • suma y resta de números naturales: diferentes significados. Resolución de problemas, tratamiento de la información; • estrategias de cálculo para la suma y la resta; • estimación de resultados. La vida escolar está impregnada de procesos algorítmicos. A través de los desafíos, es

posible desarrollar la búsqueda de estrategias heurísticas que faciliten la entrada a los procesos algorítmicos por medio de diversas presentaciones como, por ejemplo, diagramas de cálculo o cuentas incompletas. Lo que pretendemos, a través de los juegos, es fomentar el ingenio y la creatividad, la elaboración de estrategias de actuación que “le permitan ganar”, la habilidad para motivar estrategias y formas innovadoras de jugar. La práctica del juego permite adquirir unas pocas estrategias simples que, repetidas a menudo, conducen al éxito. A medida que se practica el juego, se va tomando contacto con una diversidad de estrategias cada vez más efectivas. Con más experiencia, el jugador trata de resolver de forma original situaciones del juego que antes no había explorado. De lo afirmado anteriormente se desprende la importancia del juego en la clase de Matemática, donde resulta una herramienta efectiva para el aprendizaje de determinados contenidos. Cabe señalar la diferencia del juego en su uso social, del uso didáctico. Mientras que el niño siempre tiene como propósito ganar, el docente tiene como propósito que el alumno aprenda los conceptos involucrados en el juego.

Cuando llegaron a Cañada La Bienvenida, ¿cuántos kilómetros había recorrido cada uno de los cuatro en total? Gustavo: 277 km Agustin y Abril: 52 km Marco: 115 km

¿Dónde se ubican? a) 3 1

Página 13 del libro del alumno Visitantes al centro cultural Personas que visitaron el centro cultural en la semana: 2.037 Fueron más alumnos. Diferencia entre ambos 1.109 – 928 = 181

16 5 9 4

Página 14 del libro del alumno Consecutivos • Como suma de dos consecutivos, por ejemplo, 7 = 3 + 4; 9 = 4 + 5; 19 = 9 + 10 • Como suma de tres consecutivos, por ejemplo, 6 = 1 + 2 + 3; 18 = 5 + 6 + 7; 66 = 21 + 22 + 23 • Todos los números que sean suma de dos consecutivos se pueden generar de la siguiente manera: 1 + 2; 2 + 3; 3 + 4; 4 + 5; 5 + 6; 6 + 7; etcétera. Son todos los números impares entre 0 y 100, mayores o iguales que 3: 49 números. En el caso de los números que sean suma de tres consecutivos, se pueden generar de la siguiente manera: 1 + 2 + 3; 2 + 3 + 4; 3 + 4 + 5; 4 + 5 + 6; etcétera. Son todos los múltiplos de 3 entre 0 y 100, mayores o iguales que 6: 32 números.

9 7

8

b)

3 10 6 15

2 11 7 14

Si observamos la sucesión de los números del 1 al 9: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se descubre que los términos equidistantes suman lo mismo, 1 + 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 = 10. Entonces el número 5 tendrá que ir en el círculo central y el resto en los círculos de los extremos. c)

13 8 12 1

11 4 17 10 23

24 12 5 18 6

7 25 13 1 19

20 8 21 14 22

3 16 9 22 15

Página 15 del libro del alumno Cuadros vacios Hay varias soluciones posibles, por ejemplo: 5

11

11 5

11

5

7

11

8

5

6

Cuentas incompletas a) 2 3 8 4 9 + 1 2 5 3 5 2 7 1 5

En la biblioteca Había 1.185 revistas había al empezar el año y 1.503 revistas después de la donación. Para los más chiquitos 83 revistas.

4

5 6

Las ciudades y sus habitantes Diferencia entre habitantes de Villa Encantada y de Los Eucaliptos: 377.874 hay 603 habitantes más hay en la ciudad de Marco que en la de Agustín y Abril.

2

+ 3 8 4 1 9 2 5 7 6

b)

2 + 5 8 1 4 0 5 1 4 7 8

4 7 0 0 0

8

6

1

8

8

7

12

5 6 2 5 3 6 3 6 0 8 1 4 0 3 0 5 4 0 5 5 9 6 2 9 0 7 1 0 5 5 0 5 5 3 1 3 5 0 5 0

3 4 3 6 0 0 0 5 0 6 4 4 9 0 0 0

9

11 4

3

6

7 _ 7 0 9 5 4 0 1 6 9

_ 8.5 2 7 5 6 9 3 2. 8 3 4

Los cálculos posibles son: 414 + 143 = 324 + 233 = 234 + 323 = 144 + 413 = 557

Página 16 del libro del alumno Crucigrama numérico 4 2 6 6

8

Comentarios sobre las respuestas

Página 12 del libro del alumno Vacaciones con los primos Entre Villa Encantada y Los Eucaliptos: 125 km Entre Los Eucaliptos y Valle Ordenado: 37 km

+ 4 3 3 6 0 3 7 0

Página 17 del libro del alumno Juego de preguntas y respuestas Pregunta

Respuesta

1

87

2

220

3

339

4

254

5

Hombres

6

36

7

Carrera de velocidad

8

Carrera de velocidad

9

Hombres

10

Carrera de velocidad

3

Orientaciones para planificar la clase sobre…

8

! Cuantos angulos!

Las actividades con figuras propuestas en el capítulo permiten avanzar sobre las prácticas matemáticas iniciadas en el primer ciclo y, al mismo tiempo, abordar la noción de ángulo, que es de larga construcción para los chicos y se continúa más allá de 4.º.. Esta noción solo cobra “estatus de contenido” en este ciclo. Se presenta la definición de ángulo como un operador métrico que permite determinar la medida de una rotación o giro. El ángulo queda determinado por un cambio de dirección. Esto permite su clasificación: a los ángulos menores que 1 de giro, los llamamos agudos; a los 4 1 de 4 de giro, rectos y a los ángulos mayores que 14 de giro y menores que 12 giro, obtusos. Inicialmente, para medirlos podemos utilizar la escuadra; luego, el transportador. La necesidad de la medición de los ángulos surgirá como respuesta a la elaboración de la mejor representación de una figura. La intención no es aprender a utilizar los diferentes instrumentos geométricos y de medida, sino identificar y construir propiedades a partir de representaciones, “lo más fieles” que sea posible, del objeto geométrico estudiado. En estas páginas se proponen tareas relacionadas con: • reproducciones de dibujos con uso de distintos instrumentos geométricos; • uso de lenguaje específico a partir de la

elaboración de instrucciones para la reproducción de dibujos; • clasificación de los ángulos: agudos, rectos y obtusos; • determinación de la medida de un ángulo sabiendo que con otro suman 180º; • estimación de la medida de un ángulo. Medida usando el transportador. Medida usando el ángulo recto como unidad de medida. A través de los desafíos, especialmente, se aprecia cómo las percepciones y los patrones de pensamiento influyen en la resolución de problemas. A veces, nuestras suposiciones, nuestras “miradas rápidas”, limitan la habilidad de percibir “más abiertamente” o de percibir nuevas alternativas. La presencia de los desafíos posiciona a los niños, frente a la Matemática, desde un hacer científico genuino: conjeturan, ensayan posibles soluciones, corroboran afirmaciones, presentan contraejemplos, etcétera. Mediante los juegos se pueden afianzar los aspectos asociados al concepto de ángulo involucrados en las diferentes situaciones presentadas a lo largo del capítulo. Los juegos de construcción contribuyen al desarrollo de la imaginación y pensamiento espacial y de la intuición geométrica. En su realización, se desarrollan procesos de análisis y síntesis, se experimenta con transformaciones geométricas y se estimula la creatividad.

Página 19 del libro del alumno Estimar la medida de los ángulos 1. Recto. 2. Obtuso. 3. Agudo. 4. Obtuso. 5. Recto. 6. Agudo. El transportador 1. 90º 2. 135º 3. 45º 4. 110º 5. 90º 6. 20º Página 20 del libro del alumno Abanicos de ángulos Los 6 ángulos agudos de esta figura son:

La estrella Hay 15 ángulos agudos y 10 ángulos obtusos. No hay ángulos rectos. Página 21 del libro del alumno Ángulos rectos Son 8: las 6 numeradas y las 2 sombreadas.

Comentarios sobre las respuestas

Página 18 del libro del alumno El reloj y los ángulos a)12 y 15. b) Cualquier hora entre 12 y 1 minuto y 12 y 14 minutos. c) Cualquier hora entre 12 y 16 minutos y 12 y 29 minutos. d) 12 y 30.

Ángulos en los mosaicos a) Son 8: las 6 numeradas y las 2 sombreadas. 1 5 6

4

2

3

b) Son cuatro.

9 Cálculo de ángulos Los ángulos que faltan miden 145º y 40º, respectivamente. Página 22 del libro del alumno Palabra esondida 1 2

T

G

R

A

D

O

S

R

A

N

S

P

O

A

G

U

D

O

T

U

S

O

L

L

A

3

Hay 10 ángulos agudos en esta figura.

4

O

B

5 6

Hay 5 ángulos rectos

R

E

C

T

N

R

O

O

Rompecabezas geométricos Dos rectos, dos obtusos y uno agudo.

Dos rectos, uno agudo y uno obtuso. y 10 obtusos.

T

A

D

O

R

4

La

circunferencia

Orientaciones para planificar la clase sobre…

10

y el

-

circulo

La circunferencia es un objeto geométrico que resulta un “auxiliar matemático” fundamental para la construcción de diversos conceptos de geometría. Por ejemplo, para discutir y argumentar, más adelante, cómo bisecar un ángulo dado o cómo construir la perpendicular a una recta en un punto dado, ya que en ambas construcciones aparece la circunferencia como concepto necesario para fundamentar la construcción realizada. La reproducción de figuras en las que aparecen circunferencias tiene por objetivo la forzosa utilización del compás. Este es un instrumento, y su uso es necesario para “la mejor” representación de la figura. Avanzamos hacia la mejor representación para la definición de los objetos geométricos y la identificación de las propiedades que los caracterizan. El uso del compás no es un contenido matemático, pero muchas veces el trabajo geométrico en las escuelas queda reducido al uso de los instrumentos geométricos. Para la reproducción de las figuras, empezamos usando hojas cuadriculadas, pero luego utilizamos hojas lisas. En primer ciclo, la reproducción de figuras se realiza en diferentes cuadriculados, ya que la hoja cuadriculada facilita la reproducción, pero en 4.º se quiere instalar la necesidad del uso de los instrumentos geométricos para “representar mejor”. La hoja cuadriculada facilita la medición de longitudes y ángulos, los niños cuentan los “cuadraditos” y, por ejemplo, para reproducir un

cuadrado no necesitan considerar la perpendicularidad de los lados. Las actividades que están en el capítulo permiten trabajar sobre prácticas matemáticas relacionadas con: • circunferencia y círculo: definición y elementos. ; • reproducción de figuras, empleando regla, escuadra y compás; • utilización del compás para tomar una medida y como recurso para transportar segmentos; • reproducción de figuras; • tratamiento de la información: uso de lenguaje específico. Los desafíos ayudan a identificar tanto los elementos y propiedades de la circunferencia y el círculo como otros lugares geométricos y sus propiedades, a partir de las construcciones geométricas. También se resuelven situaciones que involucran el concepto de fracción en contexto de medida de figuras circulares. Los juegos de este capítulo favorecen el uso del lenguaje específico y la reproducción de figuras, y se avanza en el trabajo con figuras equivalentes.

Página 27 del libro del alumno Repartos en los círculos

Página 24 del libro del alumno La lata de los recuerdos Circunferencia de 2 cm de radio. Círculo de 2 cm de radio.

Comentarios sobre las respuestas

a)

Instrucciones geométricas

b)

1 2

c)

Página 26 del libro del alumno Más circunferencias para dibujar a) Se forma otra circunferencia igual a las anteriores, que tiene como centro al punto A. b) Forman una recta perpendicular al segmento que une los puntos A y B, es decir, la mediatriz del segmento AB. c) Para trazar la circunferencia, se necesita determinar el centro. Se trazan las diagonales del cuadrado y la intersección de ambas será el centro de la circunferencia.

11

Circunferencias y segmentos Todos los segmentos miden 2 cm.

Página 28 del libro del alumno Sopa de letras A B U R D I B K I O H U N G

C I R C O C M H J O N R S Y

E L C A V U R T I X H E Z E

N I Í N P A T D K R I D C A

T R R U E D A P M A Ú O E S

O U C F B R I O U D Q N Z C

N V U U A A E S D F U D O O

O E L Z E D X F Y Á I O R T

V T O M W O L L N Ñ A C T E

E D Ñ Í A D R I T U J U E É

L W Q U S O R T N E C E M O

A O F R U T A N E G R R Á L

T R I Á N G U L O J E R I M

A M I G A C O L O R E S D C

5

Orientaciones para planificar la clase sobre…

12

Para

resolver

con la multiplicacion

En el primer ciclo se trabaja la multiplicación relacionada con la resolución de problemas desde 1.er grado. En 2.º, se avanza con la construcción de las tablas y el repertorio multiplicativo. En 3.º, el foco en relación a las estrategias de cálculo está puesto en la multiplicación por la unidad seguida de ceros y el trabajo sobre el algoritmo de la multiplicación. La intención de este “racconto” es ubicar el trabajo que se propone en estas páginas en perspectiva con lo hecho anteriormente. Si el recorrido citado no fue hecho, es necesario comenzar por allí antes de abordar los desafíos y situaciones que se proponen en el libro. En 4.º se afianzará el algoritmo de la multiplicación. La naturaleza de los algoritmos de las operaciones no es solo instrumental; también es un proceso de construcción racional que se apoya en aprendizajes sobre la numeración y las operaciones. Esto significa la comprensión conceptual del algoritmo, cuya fundamental ventaja es la reducción de errores cometidos. Pero el dominio de los algoritmos no es suficiente para el dominio del cálculo, no alcanza con “hacer bien las cuentas”. Los niños deberán transitar a lo largo de la escuela primaria “buenos” problemas que les permitan estimar resultados, evaluar la necesidad de encontrar un resultado exacto o aproximado, utilizar adecuadamente la calculadora, utilizar diversas estrategias de cálculo, controlar los resultados.

Las actividades del capítulo permiten avanzar sobre las prácticas matemáticas iniciadas en el primer ciclo, al trabajar: • situaciones de proporcionalidad directa y combinatoria; • situaciones de organización rectangular; • cálculo mental utilizando propiedades de las operaciones. Uso de la calculadora; • multiplicación por unidades seguidas de cero; • estimación de resultados; • selección de la estrategia de cálculo más pertinente en relación con los números y las operaciones; • algoritmo de la multiplicación por dos cifras. Lo que pretendemos a través del planteo de desafíos es la focalización en las propiedades de la multiplicación con la intención de revisar y usar diferentes estrategias de cálculo. Y con los juegos, el cálculo de determinados productos que permitirán progresivamente la memorización de un repertorio multiplicativo. En general, tanto los desafíos como los juegos servirán para adquirir las destrezasnecesarias en un determinado algoritmo, o para resignificar las propiedades que, en la mayoría de las ocasiones, quedan reducidas a un nombre que rápidamente se olvida y que no se identifican como necesarias en el hacer matemático.

Paquetes de Botinazo

Cantidad de figuritas

Paquetes de Chiquilinas

Cantidad de figuritas

1

5

1

4

2

10

2

8

3

15

3

12

4

20

4

16

5

25

5

20

6

30

6

24

Calculadora rota Por ejemplo: 35 x 8 = 35 x 4 + 35 x 4 75 x 18 = 75 x 15 + 17 x 3 80 x 7 = 70 x 7 + 10 x 7 ¿Cuánto da? El triple del primero por el segundo es 120. El triple del primero por el triple del segundo es 360.

¿Cuántas son? En 7 hileras: 56; en 12 hileras: 96.

Página 33 del libro del alumno Figuras con cuadraditos a) 92 la anaranjada, 45 la violeta y 103 la verde. b) 92 la verde y 95 la azul. Página 35 del libro del alumno Crucicuentas

Página 31 del libro del alumno ¿De qué cuadro sos? Entre 12 premios. Si elige solo de Boca, entre 3.

1

Vestida de gala De 30 maneras. Si desea vestirla con pollera sobre calza, de 15 maneras.

x 3 1 1 1 5

9

1 x 4 7 1 7 5

15

4 5 2 5 7

2 3 9 9

Cuentas desafiantes a) Porque 30 x 45 es 1.350. En lugar de 125 debe decir 135 y dejar el lugar que ocuparía el cero de la última cifra. b) Por ejemplo: • 18 x 20 = 2 x 180 = 360 • 18 x 40 = 2 x 360 = 720 • 18 x 80 = 2 x 720 = 1.440 • 18 x 100 = 10 x 180 = 1.800 • 18 x 50 = 720 + 180 = 900

0

5

2

7

10

6

9

6

7

21

1

1

1

0

2

3

3

13 5

4 6

6

1

1

8

11

14

16

4

6

2

19

2

3

7

9

Página 32 del libro del alumno Números borrados

6 7 2 0 2

3 3

Torneo de figuritas 15 partidos.

5 2 9 2 1

Comentarios sobre las respuestas

Página 30 del libro del alumno ¡Figuritas para todos!

12

6

0

5 17

9

20

6 8

0

6

1

22

2

13

4 5

18

2

0

3 5

6

6

Orientaciones para planificar la clase sobre…

14

resolver con la

division -

6

Para

En el primer ciclo se trabaja la división relacionada con la resolución de problemas desde 1.er grado. En 2.º se avanza con la construcción de las tablas de multiplicar y la resolución de divisiones encuadradas en los resultados de la tabla pitagórica. En 3.º, el foco en relación a las estrategias de cálculo está puesto en la multiplicación por la unidad seguida de ceros y la resolución de divisiones encuadradas en los productos de la tabla pitagórica y números cercanos a esos productos, que sean útiles para analizar el comportamiento del resto. Nuevamente, la intención es ubicar el trabajo que se propone en estas páginas en perspectiva con lo hecho anteriormente. Si el recorrido citado no fue hecho, es necesario comenzar por allí antes de abordar los desafíos y situaciones que se proponen ahora. En el primer ciclo los niños exploran diversas estrategias heurísticas para resolver una división, pero en 4.º comenzarán a utilizar el algoritmo convencional. Es necesario transitar por diversas estrategias de cálculo mental antes de “registrar” al algoritmo como el procedimiento óptimo para encontrar el resultado de una división. Las actividades que están en el capítulo permiten trabajar: • significados de la división; reparto y partición, análisis del resto; • situaciones que combinen las cuatro operaciones con números naturales; • división entera de números naturales. Rela-

ción entre divisor, dividendo, cociente y resto; • estrategias de cálculo mental utilizando propiedades de las operaciones. División por la unidad seguida de ceros; • uso de la calculadora; • División por una y dos cifras: algoritmos y procedimientos heurísticos. Diversas escrituras para los pasos intermedios del algoritmo; • divisibilidad: múltiplos y divisores de un número. Los desafíos son un medio de focalizar en las propiedades de la división para revisar y usar diferentes estrategias de cálculo. Además, se presentan situaciones para el tratamiento de la divisibilidad en N: el estudio que se lleva a cabo sobre las divisiones exactas y las conclusiones que surgen de él. El estudio de los conceptos asociados a la divisibilidad permite la investigación de relaciones entre números, especialmente el análisis del algoritmo de la división. En 4.º grado se comienza con los conceptos de múltiplo y divisor de un número, y el inicio en las relaciones entre cociente, divisor, dividendo y resto. Lo que pretendemos a través de los juegos es, especialmente, el cálculo de determinadas divisiones que permitirán progresivamente la memorización de un repertorio de división.

b) Se pueden dibujar: 10 casilleros para 4 piedras en cada uno, 4 casilleros para 10 piedras cada uno, 8 casilleros para 5 piedras cada uno, 5 casilleros para 8 piedras cada uno, 20 casilleros para 2 piedras cada uno y 2 casilleros para 20 piedras cada uno. c) No le alcanzan 5 cajas, necesita 3 cajas más. Página 37 del libro del alumno La granja de Coco a) 8 y le sobraron 3. b) 10 frascos y le quedan 3. c) Llenó 35 cajones. Puede llevar 5 cajones a cada almacén, y le quedan 5 cajones. d) No, si quiere canjear con cada vecino la misma cantidad de gallinas. Le falta 1 gallina para darle 3 a cada uno, o le sobran 3 si les da 2 gallinas a cada uno. Podría darle 2 a cada uno, y le quedarían 3 gallinas sin canjear. O podría agregar 1 gallina, así tiene 12 para canjear y le da 3 a cada uno. Página 38 del libro del alumno Números borrados a) Los números borrados son: 6 en el primer dividendo, 1 en el segundo, 10 es el cociente de la tercera cuenta y 2, el de la cuarta. b) El divisor puede ser 35 y el cociente 2; o el divisor 70 y el cociente 1.

¿Cuál es el número? a) El número es 23. b) El número es 112. c) Los números pueden ser 24, 25, 26 o 27. Página 39 del libro del alumno Las estampillas de Agustín Tiene 91 estampillas. Los stickers de abril Tiene 96 stickers. Desafíos con la calculadora a) Para obtener el cociente de la primera cuenta se puede hacer 86 : 4 = 21, y para obtener el resto, 86 – 21 x 4 = 2. Para la segunda, se puede hacer 901 : 7 = 128 y 901 – 128 x 7 = 5. b) Para 96 : 4, se puede hacer primero 100 – 4 (o 92 + 4, 91 + 5, etcétera), y al resultado dividirlo por 4. Para 69 : 5, se puede hacer primero 70 – 1 (o 50 + 19, 40 + 29, etcétera), y al resultado dividirlo por 5. Para 45 : 6, se puede descomponer el 6, por ejemplo, 45 : (5 + 1).

Página 40 del libro del alumno Crucigrama numérico A

1

9

E

2 F

3

N

C

2

D

5 4

0

2

4

7

6

4

1

2

3

9

5

5

4 G

0 I

J

L

2

5

5

c) El resto es 6 y el cociente 13.

B

H

8 0

K

8 M

O

4

2

8

8

5

0

0

8

Comentarios sobre las respuestas

Página 36 del libro del alumno Piedras y piedritas a) Tiene 9 cajas: 8 cajas completas y una caja con 32 piedras.

15

7

Orientaciones para planificar la clase sobre…

16

Trabajamos con fracciones

Para construir el concepto de fracción, el niño debe encontrarse con la posibilidad de resolver diversos problemas mediante el uso de fracciones y comprobar que una fracción puede ser la expresión de una relación parte-todo, el resultado de una situación de reparto, el resultado de una medición. Estos son los significados del concepto de fracción que abordaremos en 4.º. El concepto de fracción es central en el segundo ciclo, por ello resulta indispensable definir qué aspectos de ese concepto deberán ser abordados en cada uno de los años del ciclo, pensando en el avance en la complejidad del objeto matemático. En 4.º grado definiremos la fracción a partir de situaciones de reparto y, paulatinamente, sumaremos situaciones que permitan componer una cantidad a partir de otras expresadas en fracciones, utilizar fracciones para medir longitudes, comparar fracciones, hacer cálculos mentales con fracciones, sumar y restar fracciones. Las actividades del capítulo permiten trabajar: • concepto de fracción; • fracciones en contexto de reparto: situaciones de reparto en partes iguales en las que tiene sentido repartir el resto ; • fracciones en contexto de medida; • diferentes representaciones de algunas fracciones; • relaciones entre fracciones, comparación de fracciones, reconstrucción de la unidad usando fracciones;

• cálculos mentales: qué fracción es necesario sumar a una fracción dada para obtener un entero y enteros mayores que uno. Lo que pretendemos a través del planteo de desafíos es el uso de la fracción en el contexto de la medida. Particularmente, el tangram favorece la experiencia en construcción de regiones de igual área y la práctica en transformaciones de figuras planas. Estimula la creatividad al construir nuevas figuras, combinando todas las piezas del tangram. En este capítulo, lo utilizaremos como soporte para el trabajo con fracciones. Lo que pretendemos a través de los juegos es reconstruir el entero a partir de fracciones usuales y el afianzamiento de propiedades, operaciones y comparación de fracciones. Los desafíos y juegos permiten identificar propiedades numéricas, establecer relaciones y practicar operatoria en forma amena, interesante y desafiante. Especialmente, los juegos con cartas, dados, dominó, etcétera, permiten el desarrollo de habilidades en el reconocimiento de propiedades de los números, de patrones, la práctica de operatoria y la resolución de problemas.

Hay más de un dibujo posible. 2

1

4

Respuestas posibles: 8 y 4 de pizza , 8 de pizza, 1 pizza, 2 de pizza. 2 4 Pizzas y pizzetas Respuestas posibles de las formas de repartir:

Concurso de talentos 220 x 3 = 660 alumnos. Página 44 del libro del alumno Desafíos con el tangram 1

a) Representan 2 . 1 b) Uno solo de los triángulos representa 4 . 1

c) El triángulo menor representa 4 del triángulo mayor. 1 d) El triángulo menor representa 2 del triángulo mediano. 1

Respuestas posibles de lo que le toca a cada uno: 34 o 12 y 14 . Respuestas posibles de las formas de repartir después de que se fue Bruno:

e) El triángulo menor representa 2 del cuadrado menor. f) En el cuadrado mayor entran 16 triángulos pequeños. Página 45 del libro del alumno Terreno repartido

17

Sombreá la zona Respuestas posibles: ¿Quién comió qué? Más sombreadas Respuestas posibles: Manuel Diego Ana

¿Qué parte está pintada? 1 Pecera: 2 1 4 Chocolate: 3 o 12 1 Bolitas: 4 1 Flores: 10

4

1 2 bolitas. 6 1 5 flores. 2

Página 47 del libro del alumno Lotería con problemas Las dos tarjetas que dan el mismo resultado son: ¿Cuánto le 3 para 4 llegar a 3?

falta a

/

1 3 trocitos.

1

b) Si sale 14 en el dado y hay disponibles dos fichas de 8 para levantar.

1 4 es lo mismo

9 vasos de

/

¡Ahora pintás vos! 15 2 pececitos.

Página 46 del libro del alumno Para resolver después de jugar a) Con Martina, porque 14 + 14 = 12

que…

El número que no tiene tarjeta es 1 14 .

Comentarios sobre las respuestas

Los enteros y sus dibujos Respuestas posibles:

Página 42 del libro del alumno Pizza partida

8

Orientaciones para planificar la clase sobre…

18

Tambien

usamos los

numeros decimales

Los números decimales representan una complejidad nueva para los alumnos del segundo ciclo. Los conocimientos numéricos que traen del primer ciclo tienen un dominio de validez limitado: el conjunto de los números naturales; en este dominio, su uso conduce a respuestas correctas, pero cuando los niños los aplican a otros dominios numéricos, como el de los números fraccionarios o el de los números decimales, les provocan errores duraderos que significan importantes pérdidas de sentido. Por ejemplo, “el siguiente de 2,5 es 2,6” o “ 1 + 1 es igual a 1 ”. Es5 2 7 tos errores sistemáticos y persistentes tienen origen en un conocimiento anterior que se constituye en un obstáculo para otros conocimientos. Las expresiones decimales son una forma de representar los números racionales y, por esto, mucho de lo trabajado con las fracciones se convierte en un saber recuperable para tratar con los números con coma. Sin embargo, las notaciones fraccionaria y decimal no permiten un reconocimiento inmediato del mismo número, entonces resulta necesario proponer situaciones de pasaje que hacen observables diferentes aspectos y al mismo tiempo, su equivalencia. Las actividades que se pueden encontrar en este capítulo permiten trabajar: • números decimales: lectura y escritura en contexto de uso social;

• los números decimales y el dinero, los centavos. Números decimales en la recta numérica. Comparación de números decimales ; • situaciones de proporcionalidad directa en las que una de las variables supone la utilización de números con coma; • suma y resta de números decimales; uso del cálculo aproximado en la resolución de problemas. Cálculos mentales utilizando calculadora. Estrategias de cálculo. Lo que pretendemos a través del planteo de desafíos es la identificación de regularidades en el sistema de numeración al trabajar con expresiones decimales y el uso de diferentes estrategias de cálculo mental y aproximado. En particular, se presenta un desafío que significa completar una serie. Estos desafíos contribuyen a ejercitar el grado de atención y concentración, y en el caso de las series numéricas, favorecen el empleo del cálculo mental y la identificación del algoritmo utilizado para poder completar la serie.

Moneda de

Monedas de 50 cts.

Monedas de 25 cts.

Monedas de 10 cts.

Monedas de 5 cts.

$1

2

4

10

20

Billete de

Monedas de 50 cts.

Monedas de 25 cts.

Monedas de 10 cts.

Monedas de 5 cts.

$2

4

8

20

40

$5

10

20

50

100

$10

20

40

100

200

Página 49 del libro del alumno El precio de los quesos El menor precio es del Fontina: $25,30 El mayor precio es del Gruyere: $42,75 Las ofertas no son buenas, porque, comprando Mar del Plata, el ahorro es 10 centavos y comprando queso de campo, sale más cara la oferta: 59, 80. El precio de los chipás 10 Chipás grandes: $ 25 10 Chipás medianos: $ 15 10 Chipás chicos: $ 7,5 100 Chipás grandes: $ 250 100 Chipás medianos: $150 100 Chipás chicos: $ 75 Página 50 del libro del alumno ¿Qué monedas tiene la vendedora? La vendedora tiene 4 monedas de 10 centavos, 1 de 25 centavos y 1 de 50 centavos. ¿De cuántas maneras puedo pagar? Puedo pagar con 32 de 10 centavos y 5 de 1 centavo; o 1 de 1 peso, 22 de 10 centavos y 5 de 1 centavo; o 2 de 1 peso, 12 de 10 centavos y 5 de 1 centavo. Y si quiero usar la menor cantidad de monedas pago con 3 de 1 peso, 2 de 10 centavos y 5 de 1 centavo. ¿Cuál es el número decimal? Para la primera tarjeta, el número decimal es 1,452; para la segunda 8,122 y para la última, 0,214.

Página 51 del libro del alumno ¿Cuál es el que sigue? 0,3 0,6 0,9; 1,2 0,2 0,4 0,6; 0,8 0,73 0,76 0,79; 0,82 2,25 2,30 2,35; 2,40 4,15 5,15 6,15; 7,15 3,22 4,44 5,66; 6,88 ¿Qué número obtengo? Si sumo 0,1 a 4,0023: 4,1023 Si sumo 0,001 a 5,2345: 5,2355 Si sumo 0,01 a 9,99: 10 Si resto 0,1 a 0,99: 0,89 Si resto 0,001 a 0,999: 0,998 Si resto 0,01 a 1,11: 1,1 ¿Cuál es el menor? El menor es 1,00110 Para hacer con la calculadora a) Por ejemplo, me aproximo con la suma: primero sumo 0,10 y luego 0,03. El resultado buscado es 0,13. b) Por ejemplo, me aproximo con la resta: primero pruebo con 5: 5 – 1,24 = 3,76; luego con 4,5: 4,5 – 1,24 = 3,26; sigo con 4,7: 4,7 – 1,24 = 3,46 y finalmente con 4,69: 4,69 – 1,24 = 3,45. El resultado buscado es 4,69. c) Por ejemplo: 1,21; 1,22; 1,23. Página 52 del libro del alumno Laberinto decimal 9,5

9,50

9,5 + 0,01

8,1 – 0,1

9 – 0,8

8,9 + 0,6

9,45

9,4 + 1,3

8,2 + 0,9

9 + 0,3

9 + 0,57

9,10

10 – 0,5

7,5 + 2,4

8 + 1,7

8 + 1,5

9,095

8,5 + 1,6

8,1 + 0,9

7 + 1,9

10 – 0,5

9,09

9 + 0,08

7,5 + 2,7

7 + 1,1

Comentarios sobre las respuestas

Página 48 del libro del alumno Los billetes y las monedas

19

9 lados

Triangulos

por todos

Orientaciones para planificar la clase sobre…

20

En el primer ciclo damos los primeros pasos en el trabajo con la geometría: construimos nociones espaciales; identificamos las figuras y los cuerpos, y los elementos y propiedades que las definen. Pero, especialmente, hacemos la entrada a determinadas prácticas matemáticas que permiten el avance en el uso de lenguaje específico y la elaboración de instructivos para construcciones geométricas. Por ejemplo, las situaciones que piden elaboración de pistas van en este sentido. Este tipo de actividades permite aprender a argumentar matemáticamente. En el segundo ciclo, centraremos la atención en el tratamiento de los triángulos y los cuadriláteros. En el caso de los triángulos, los clasificaremos a partir de sus propiedades, y evaluaremos en qué casos es posible construirlos a partir de la relación entre los lados y la suma de las medidas de sus ángulos interiores. Las actividades de este capítulo permiten avanzar sobre las prácticas matemáticas con figuras, iniciadas en el primer ciclo, al trabajar: • tratamiento de la información: uso de lenguaje específico; • triángulos: elementos, congruencia y clasificación. Clasificación según los lados y ángulos; • construcción de triángulos. Condición necesaria y suficiente para la construcción de triángulos: relaciones entre los lados, propiedad triangular. Lo que pretendemos a través del planteo de desafíos es la identificación de regularidades

en una serie geométrica, la copia de figuras con instrumentos geométricos, identificar los diferentes tipos de triángulos (clasificarlos según sus lados y según sus ángulos). En particular, se presentan actividades con fósforos, que desarrollan la imaginación espacial y contribuyen a la construcción de conceptos geométricos, de transformaciones, y en este caso, especialmente, sobre triángulos. Estas situaciones ayudan a la búsqueda de métodos sistemáticos de resolución de problemas y desarrollan la atención. Los desafíos con rompecabezas ayudan a identificar algunas figuras geométricas planas, la composición y descomposición de figuras y la elaboración de propiedades y relaciones geométricas, mediante las transformaciones que se realizan con ellas. Lo que pretendemos a través de los juegos es identificar las diferentes propiedades de los triángulos.

b)

azul

verde rojo

c)

anaranjado

amarillo

Página 55 del libro del alumno Figuras con triángulos

d) No. e) Formando una pirámide de base triangular.

Comentarios sobre las respuestas

Página 54 del libro del alumno ¿Cuál es el triángulo?

21

Rompecabezas con triángulos a)

Página 56 del libro del alumno ¿Cuántos triángulos hay? En la segunda figura hay 13 triángulos y en la tercera hay 27. Un sobre desafiante b) 9 triángulos. Página 57 del libro del alumno Triángulos equiláteros con fósforos a)

b)

Y ahora...

10

los

Orientaciones para planificar la clase sobre…

22

-

cuadrilateros

En el segundo ciclo comenzamos con la construcción de cuadriláteros, con el propósito de avanzar en la identificación de las propiedades que caracterizan a cada uno de los cuadriláteros, considerando los lados y los ángulos, que permitirán la definición de esas figuras. Asimismo, se decide sobre cuáles son los elementos necesarios para construir un único cuadrilátero, qué elementos permiten fijar su forma y su tamaño. Para definir los cuadriláteros se suelen presentar dos posibilidades: en función de que tengan solo un par de lados paralelos o dos pares; o en función de que tengan, por lo menos, un par de lados paralelos o dos pares de lados paralelos. Con esta definición los clasificamos en trapecios y no trapecios (trapezoides), y entonces los paralelogramos también serían trapecios. Entonces, considerando esta definición, el cuadrado es rombo, el cuadrado es rectángulo, y los cuadrados, rectángulos y rombos son paralelogramos. Las actividades de este capítulo permiten avanzar sobre las prácticas matemáticas con figuras, iniciadas en el primer ciclo, al trabajar: • Cuadriláteros: construcción, elementos, definición y propiedades. Lo que pretendemos a través del planteo de desafíos es la copia de figuras con instrumentos geométricos y el reconocer los diferentes tipos de cuadriláteros, identificando sus propiedades.

Como en el caso de los triángulos, se presentan actividades con fósforos, de cubrimientos y de construcción; también actividades de “visualización”, por ejemplo: ¿cuántos cuadrados hay en esta figura? Este tipo de actividades tiene por objetivo el desarrollo de habilidades específicas para la resolución de problemas: no siempre basta con la primera “mirada” para la resolución de un problema; resulta necesario identificar una estrategia óptima para la resolución de la situación (en este caso particular para el conteo de la cantidad de cuadrados), por ejemplo la identificación de regularidades. Los juegos posibilitan el uso del lenguaje específico y, junto con los desafíos, favorecen el desarrollo de habilidades para comprender conceptos y lenguaje específico matemático, identificar analogías y diferencias, seleccionar datos y procedimientos correctos, cambiar una metodología de trabajo cuando la que se está utilizando “no sirve”. Y fundamentalmente, colaboran en el desarrollo de una actitud positiva hacia la matemática.

rojo

celeste

celeste

verde

Comentarios sobre las respuestas

Un paralelogramo.

Página 60 del libro del alumno ¿De qué color es?

verde

rojo

violeta

Página 63 del libro del alumno ¡A mirar bien... y a contar! Hay 30 y 9 cuadrados, respectivamente. Hay 9 rectángulos. Cuadrados con fósforos a)

Página 62 del libro del alumno Construcciones desafiantes

c)

d)

e)

f)

23

Cuadrados en una cruz b) 5 cuadrados y 6 rectángulos. Rompecabezas con triángulos Un trapecio. 1

R

2 3

C

E

C

T

A

N

G

C

U

A

T

R

O

U

4 5

Dos rombos iguales.

6

10

P

V

A

E

R

P

A

R

T

A

12

U

L

O

L

A

D

R

A

D

D

I

A

G

O

N

A

R

A

L

E

L

O

S

L

O

I

C

E

7

L

A

D

O

8

A

N

G

U

9

O

T

R

A

P

E

C

I

O

L

E

L

O

G

R

A

M

O

11

R

O

M

B

O

D

O

S

11

Orientaciones para planificar la clase sobre…

24

Tomemos medidas

Las actividades que están en el capítulo permiten avanzar sobre las prácticas matemáticas relacionadas con la medida, iniciadas en el primer ciclo, al trabajar: • medidas de longitud: unidades convencionales (metro y centímetro). Comparación de longitudes. Estimación; • medidas de pesos y capacidades: unidades convencionales (kilo, gramo y litro). Comparación de pesos. Comparación de capacidades. Estimación; • unidades de tiempo. Relojes y calendarios; • cálculos de perímetros. Comparación. Estimación; • aproximación al concepto de área. El trabajo con las medidas en 4.º se puede iniciar en el marco de lo realizado en el primer ciclo: la realización efectiva de mediciones de longitud, capacidad y peso, empleando unidades no convencionales, identificando progresivamente el hecho de que el medir requiere el uso de unidades convencionales para establecer y comparar longitudes, pesos, capacidades. En el caso de los conceptos de perímetro y área, resulta importante abordar la relación entre los mismos y aproximarnos al concepto de área. Es la primera aproximación al concepto de área, por lo tanto, el objetivo es que los niños empleen diferentes estrategias para medir superficies: utilizar material concreto, dibujar sobre la superficie las baldositas, usar hoja cuadriculada, etcétera.

También se realizarán estimaciones, en contexto de medida, a lo largo de la escuela primaria. Es imprescindible, porque permite formular juicios subjetivos sobre diferentes medidas en situaciones cotidianas y, además, favorece el desarrollo de la capacidad de juzgar la razonabilidad de una medida. En el caso de la medida del tiempo, la intención es que se tome a la noción del tiempo como una magnitud, y esto significa identificar unidades de medida y también instrumentos de medición. Dada la complejidad de las nociones relacionadas con la medida del tiempo, la intención es que los chicos de 4.º vayan realizando un trabajo superador respecto del iniciado en el primer ciclo. Lo que pretendemos a través del planteo de desafíos es el trabajo con unidades convencionales de peso, longitud y capacidad; con el concepto de perímetro y la noción de área y, particularmente usando el tangram, que realicen actividades de cubrimiento del plano. Por medio de los juegos, se fomenta en los niños el uso de lenguaje específico y el trabajo con unidades para medir el tiempo. Tanto los desafíos como los juegos aumentan la posibilidad de probar, experimentar, argumentar, generalizar, que son todas prácticas propias del hacer matemático genuino

Estimar y medir: Una línea mide 5 cm y la otra, 8 cm. Página 67 del libro del alumno En el supermercado Para comprar 5 litros de agua mineral hay varias posibles respuestas. Las 2 botellas de 1 litro, y 2 de 1 12 litro. 1 1 También 3 botellas de 1 2 litro y 1 de 2 litro. 1 También 1 botella de 1 litro, 2 botellas de 1 2 litro y 1 2 de 2 litro. No es cierto lo que dice Andrés. 1 1 2 litro + 2 litros + 4 y 2 litro = 7 litros ¿Cuánto pesarán? Un auto chico : 1 t Una ballena adulta: 40 t Una goma de borrar: 3 g Cuatro manzanas grandes: 1.000 g o 1 kg El tiempo justo a) Lucía cumplió 834 semanas. b) Bianca aún no tiene 4 años. c) Viajamos menos que 1.000 minutos. Balanza en equilibrio Pesa 1 kg y 14 o 1.250 gramos. Página 68 del libro del alumno En hoja cuadriculada Hay 41 y 38 cuadraditos, respectivamente. La medida del área es: 26 cuadraditos y 12 cuadradito. Desafíos con el tangram 4 triángulos chicos equivalen a 1 triángulo grande. 2 paralelogramos equivalen a 1 triángulo grande. 2 cuadrados equivalen a 1 triángulo grande. 1 paralelogramo equivale a 1 cuadrado. 2 triángulos medianos equivalen a 1 triángulo grande.

Página 69 del libro del alumno Figuras equivalentes a)

b)

Pistas y perímetros Los perímetros son 55 cm y 20 cm, respectivamente. Más figuras equivalentes Los rectángulos pueden medir: 4,5 cm x 2 cm; 1 cm x 9 cm; 2,25 cm x 4 cm. Los perímetro serán 13 cm, 20 cm y 12,5 cm, respectivamente (todos diferentes).

Página 70 del libro del alumno Medidas hasta en la sopa X A E Y L M O N O P

O Q W K E M R J H M

R H Ñ T Ñ I T S A I

T E R I M N E E P L

E O H R A U M G L I

M X O Z B T I U I M

O G R A M O T N T E

L G A S V B N D R T

¿Cuál mide más? Los dos segmentos miden lo mismo.

I V W A Q Z E O O R

K A K O F C C K F O

I T O N E L A D A N

Comentarios sobre las respuestas

Página 66 del libro del alumno • Las lentejas son muy nutritivas y tienen mucho hierro. Compré 3 kilos. • Y también tomar 2 litros de agua por día es bueno para la salud. • ¿Me vas a comprar la tela que necesito para hacer la bandera del equipo? Tiene que medir 2 metros. • Dentro de 40 minutos empieza mi programa favorito.

25

El formato de las fichas fotocopiables de esta sección está pensado para que se las pueda pegar en las carpetas de los chicos. Está en manos de ustedes la elección del momento más adecuado para su uso. Una posibilidad es que estas 10 preguntas sean un medio para indagar las ideas previas de los chicos y dejar planteadas aquellas preguntas en las que es necesario profundizar más algunos conceptos para poderlas responder. Otra posibilidad es que las fichas se empleen para dar un cierre al tema estudiado. Ya sea que las usen de estas o de las demás maneras creativas que a ustedes se les ocurran, la idea es que se favorezca un intercambio de opiniones entre los chicos, para que surja la necesidad de argumentar sobre la manera en que cada uno cree que se responden.

para intercambiar ideas en el aula

10 preguntas en juego …

✃

decimal

numeracion

4

10) ¿Cuántas centenas hay que restarle a 5.300 para que dé un número menor que 5.000?

9) ¿Cuál es el menor de los números de cinco cifras? ¿Y el mayor?

8) ¿Cuántas cifras tiene el número sesenta mil cuarenta?

6) ¿Qué número se escribe con más cifras en sistema romano: 8 o 100? 7) ¿Qué número es mayor: cien mil o mil cien?

5) ¿Por qué está mal escribir 49 en números romanos así: IL?

4) ¿En qué número hay más centenas: en 1.000 o en 900?

3) ¿En qué número vale más el 5: en 1.305 o en 752?

2) ¿Cuántas decenas hay en 300?

1) ¿Qué maneras hay de descomponer el número 13.050?

1 sistema de

El

Matematica en juego

y la

suma resta

con la

4

10) El resultado de 1.999 + 50, ¿estará más cerca de 2.000 o de 2.100?

9) ¿Qué cálculo podría resolverse mentalmente pensando de esta manera: (100 – 1) + (30 + 3)?

8) ¿Cómo se puede restar 144 – 98 en una calculadora sin usar el 4?

7) ¿De qué maneras se puede resolver 3.876 + 9.54?

6) ¿Cuál es la diferencia entre 13 centenas más 50 unidades y 1.000 + 25 decenas?

5) Si, en la última ronda de un juego, alguien ganó dos veces 25 puntos y perdió tres veces 15 puntos, ¿tiene más o menos puntos que al empezar la ronda?

4) ¿Es útil saber que 5 + 7 = 12 para resolver 5.000 + 7.000?

3) Si al menor de los números de tres cifras le restás el mayor de los números de dos cifras, ¿cuánto te da?

2) ¿Siempre se pueden restar dos números que tienen la misma cantidad de cifras?

1) ¿Da lo mismo 340 + 592 que 592 + 340?

2

Para resolver

Matematica en juego Matematica en juego 4

10) Un cuadrilátero, ¿puede tener cuatro ángulos obtusos?

9) Un cuadrilátero, ¿puede tener dos ángulos obtusos?

8) ¿Cuántos ángulos obtusos puede tener un triángulo?

7) ¿Cuántos ángulos rectos puede tener un triángulo?

6) ¿Cuánto mide el ángulo que recorre el minutero de un reloj en 15 minutos?

5) ¿Cuánto mide el ángulo que recorre la aguja horaria del reloj en 6 horas?

4) ¿Cómo se llama el ángulo de medio giro?

3) ¿Cuánto mide cada ángulo de un cuadrado?

2) ¿Cuántos ángulos rectos caben en un ángulo de un giro?

1) ¿Cuántos grados mide un ángulo de un giro?

3 Cuantos angulos!

!

✃

4

La

circulo

y el

circunferencia

Matematica en juego

-

10) Si un punto está a una distancia del centro menor que el radio, ¿es un punto o del círculo?

9) Si un punto está a una distancia del centro menor que el radio, ¿es un punto de la circunferencia?

8) ¿Cómo se llama cada una de las partes en que queda dividido un círculo al trazarle un diámetro?

7) ¿Qué diferencia hay entre una circunferencia y un círculo?

6) ¿Puede haber un diámetro que no pase por el centro de la circunferencia?

5) ¿Cuántos radios caben en un diámetro de la misma circunferencia?

4) ¿Cuántos radios se pueden trazar en una circunferencia?

3) ¿Cómo se llama el punto donde se “pincha” el compás para dibujar una circunferencia?

2) Si querés saber si dos segmentos tienen la misma medida y no tenés ni regla ni escuadra, ¿qué otro instrumento de geometría podés usar?

1) Si marcás un punto O cualquiera en una hoja, ¿cuántos puntos podés marcar que estén a 2 cm de O?

4

✃

multiplicacion

4

10) Para multiplicar un número por 5, ¿se le puede agregar un 0 y dividirlo por 2?

9) ¿Se puede saber el resultado de 23 x 100 sin hacer la cuenta?

8) ¿Cómo se llaman los números que se multiplican?

7) ¿Cómo se llama el resultado de una multiplicación?

6) ¿De cuántas maneras se puede escribir 24 como multiplicación de dos números?

5) Si te acordás de la tabla del 7, ¿podés escribir la tabla del 14?

4) Si te acordás de que 3 x 8 = 24 y 10 x 8 = 80, ¿podés saber cuánto es 13 x 8?

3) ¿Está bien resolver 28 x 17 así: 2 x 17 + 8 x 17?

2) ¿De cuántas maneras distintas se puede resolver 23 x 58?

1) ¿Da lo mismo 34 x 98 que 98 x 34?

5 resolver

con la

Para

Matematica en juego

division

con la

-

4

10) ¿Cómo se puede averiguar cuál es el resto de 5.462 : 35 utilizando una calculadora?

9) ¿Podés saber cuánto es 2.300 : 100 sin hacer la cuenta?

8) ¿Cuántas cuentas de dividir hay que tengan divisor 7 y cociente 5?

7) ¿Cuántas cuentas de dividir hay que tengan divisor 7 y resto 5?

6) ¿Cuántas cuentas de dividir hay que tengan cociente 7 y resto 5?

5) Para saber cuántas páginas de 9 figuritas se necesitan en un álbum para pegar 87 figuritas, ¿alcanza con mirar el cociente de 87 : 9?

4) Para saber si 43 entra un número exacto de veces en 356, ¿qué parte de la cuenta 356 : 43 conviene mirar?

3) Si te dicen que 60 x 80 = 4.800, ¿podés saber cuánto es 4.800 : 30?

2) Si te dicen que 30 x 80 = 2.400, ¿podés saber cuánto es 2.400 : 30?

1) Sin hacer la cuenta, ¿podés saber cuántas cifras tiene el cociente de 3.456 : 14?

6

Para

resolver

Matematica en juego

✃

fracciones

4

1 de kilo de café? 4

3) Si al repartir un alfajor en partes iguales entre varios chicos, cada uno comió 1 y no sobró nada, ¿cuántos chicos eran? 3 1 4) ¿Cuánto es el doble de ? 3 1 5) ¿Cuánto es la mitad de ? 4 3 6) ¿Cuánto le falta a para llegar a 1? 5 1 1 7) ¿Cuánto le falta a para llegar a ? 2 8 8) ¿ 1 es mayor que 1 ? 5 4 2 2 9) ¿ es menor que ? 3 5 8 10) ¿Cuánto le falta a para llegar a 2? 5

2) ¿Cuánto pesan 4 paquetes de

1) ¿Cuántas maneras hay de repartir 4 chocolates entre 3 amigos sin que sobre nada?

7 Trabajamos con

Matematica en juego

4

10) ¿Cuántos centésimos hay en 2,1?

9) ¿Cuántos décimos hay en 2,1?

8) ¿Cuánto le sobra a 1,001 para llegar a 1?

7) ¿Cuánto le falta a 1,99 para llegar a 2?

6) ¿Cuántas cifras a la derecha de la coma tiene el número tres centésimos?

5) ¿Cómo se escribe en números treinta y cuatro milésimos?

4) ¿Qué número es mayor: 2,7 o 2,15?

3) ¿Cuánto dinero es 30 monedas de 25 centavos?

2) ¿Cuántas monedas de 5 centavos forman $1?

1) ¿Cuántas monedas de 10 centavos se necesitan para tener $2?

8

numeros decimales

usamos los

Tambien

Matematica en juego

✃

9 lados

4

10) ¿Cuántos triángulos distintos se pueden construir con tres lados de 3 cm?

9) ¿Cuántos triángulos distintos se pueden construir con tres ángulos de 60º?

8) ¿Puede construirse un triángulo escaleno con sus tres ángulos iguales?

7) ¿Puede construirse un triángulo con un ángulo recto y tres lados iguales?

6) ¿Cómo se puede dibujar un triángulo equilátero?

5) ¿Puede construirse un triángulo con un ángulo obtuso y dos lados iguales?

4) ¿Cómo se llaman los triángulos que tienen los tres lados de distinta medida?

3) ¿Y los que tienen solo dos lados iguales?

2) ¿Cómo se llaman los triángulos que tienen tres lados iguales?

1) ¿Puede construirse un triángulo que tenga los tres lados de 4 cm, 6 cm y 2 cm, respectivamente?

por todos

Triangulos

Matematica en juego

cuadrilateros

10

los

Y ahora...

-

4

Las diagonales de un rectángulo, ¿siempre son perpendiculares?

10) ¿Cuántos pares de lados paralelos tiene un trapecio?

9) Las diagonales de un rombo, ¿son perpendiculares?

8)

7) El rectángulo, ¿tiene sus diagonales iguales?

6) Las diagonales de un cuadrado, ¿son perpendiculares?

5) ¿Cómo se llama el cuadrilátero que tiene sus cuatro lados iguales pero no tiene los cuatro ángulos iguales?

4) ¿Cómo se llama el cuadrilátero que tiene sus cuatro ángulos iguales pero no tiene los cuatro lados iguales?

3) Si sabés que un cuadrilátero tiene cuatro ángulos iguales, ¿podés asegurar que es un cuadrado?

2) Si sabés que un cuadrilátero tiene cuatro lados iguales, ¿podés asegurar que es un cuadrado?

1) ¿Cuántos vértices tiene un cuadrilátero?

Matematica en juego

Tomemos medidas

Matematica en juego 4

1 l se pueden llenar con una jarra de 2 l? 4

10) ¿Puede haber dos rectángulos que tengan igual perímetro y distinta área?

9) ¿Puede haber dos rectángulos que tengan igual área y distinto perímetro?

1 8) ¿Qué pesa más: 5 paquetes de 250 g o uno de 1 2 kg?

7) ¿Cuántos kilos pesan 10 paquetes de 300 g cada uno?

6) ¿Cuántos centilitros caben en una botella de medio litro?

5) ¿Cuántos vasos de

4) Una distancia de 40 km ¿es más o menos que 4.000 m?

3) ¿Cuántos metros hay en 3 km?

2) ¿Qué distancia es más larga: una de 150 cm o una de 1,47 m?

1) ¿Cuántos centímetros hay en un metro?

11

✃

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

1

2

3

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5

6

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9

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18

16

14

12

10

8

6

4

2

2

Tabla pitagórica

30

27

24

21

18

15

12

9

6

3

3

40

36

32

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24

20

16

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8

4

4

50

45

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35

30

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20

15

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5

60

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18

12

6

6

70

63

56

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14

7

7

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8

8

90

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72

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54

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27

18

9

9

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

10