PROBLEMAS SOBRE PROTUBERANCIAS Y ALETAS pfernandezdiez.es

pfernandezdiez.es

Aletas.IV.-79

€

IV.1.- Al realizar un estudio de calefacción se llegó a la conclusión de que era necesario utilizar aletas anulares de radio en la base rb = 30 cm y temperatura en la base Tb=120°C, para mantener un fluido exterior a 20°C, de forma que cada aleta disipe 225,2 Kcal/hora, con un rendimiento de aleta del 40%. El material de las aletas tiene una conductividad térmica, k=50 Kcal/h.m°C Determinar el radio exterior de la aleta y su espesor, sabiendo que el coeficiente de película es hcF = 5,6 Kcal/h.m2°C ____________________________________________________________ RESOLUCIÓN Flujo de calor disipado por la aleta anular Q = π (1 -

α 2an

)ke

Φ b β 2an

rb 2 r e2 h C ext α = ; β = an an G 2 (α an β an ) = re ke Φ b = T b - T F = 120 - 20 = 100ºC = π (1 -

=

r2b 2 r2e hcF ) k e Φb G2 (αan.β an) = π (r2e - r2b ) Φb 2 hcF G2 (αan.β an) 2 ke re

Despejando re: Q 225,4 Kcal/h = 0,3 2 m 2 + = 0,25 m 2 ⇒ re = 0,5 m 2 π Φ b h cF G 2 (α an β an ) 2 π x 100ºC x 5,6 Kcal/hm 2 ºC x 0,4 2 r2e hcF A partir de la ecuación: βan = , se obtiene el espesor de la aleta: ke r e2 = rb2 +

e =

2 r2e hcF k

2 βan

=

2

x

0,5 2 50

x

2 βan

5,6

=

0,056 2

β an

Como: µ = G2 (αan.β an), es el rendimieto de la aleta anular, mediante la gráfica de G2 se obtiene:

rb 0,3 ⎫ = = 0,6 0,056 re 0,5 = 0,00192 m ⎬ ⇒ β an = 5,4 ⇒ e = 5,4 2 G 2 (α an β an ) = 0,4 ⎭ ********************************************************************************************* α an =

IV.2.- Una varilla de aluminio de sección transversal rectangular de 2 mm de espesor y 80 mm de anchura, (aleta de la culata de un motor, extremo libre aislado), tiene en su base de contacto con la culata una temperatura de 250°C. Determinar a) La temperatura en su extremo libre situado a 5 cm de la base, si se supone que la temperatura TF del medio ambiente es de 15°C. b) La cantidad de calor disipada al exterior y la eficiencia de la aleta Otros datos: k = 200 Kcal/mh°C ; hcF = 40 Kcal/m2h°C _______________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN a) Temperatura en el extremo libre de la aleta situado a 5 cm de la base, si se supone que la temperatura TF del medio ambiente es de 15°C..- Protuberancia paralelepipédica con su extremo libre térmicamente aislado ξ = 1 TL = TF +

Tb - TF h p L2 40 (Kcal / hm2  C) {2 (80 + 2).10-3 } m x 0,05 2 m2 = Bi = cF = = 0,5125 = kS Ch Bi 200 (Kcal / hm C) (2 x 80).10-6 m = 15 + 250 - 15 = 200ºC Ch 0,5125

b) Calor disipado al exterior T -T (250 - 15)ºC Q = k S b F Bi Th Bi = 200 Kcal (2 x 80).10 -6 m 2 L h m ºC 0,05 m Th 0,5125 Th Bi Eficiencia de la aleta µ = = = 0,858 Bi 0,5125 pfernandezdiez.es

0,5125 Th

0,5125 = 66,14 Kcal hora

Aletas.IV.-80

********************************************************************************************* IV.3.- Una protuberancia de acero inoxidable k=20 W/m.K tiene una sección recta circular con un diámetro de 2 cm y una longitud de 10 cm. La protuberancia está unida a una pared que tiene una temperatura de 300°C. El fluido que la rodea tiene una temperatura ambiente de 50°C y el coeficiente de película es de 10 W/m2.°K. El extremo de la protuberancia está aislado térmicamente. Con estos datos determinar: a) El calor disipado por unidad de tiempo desde la protuberancia b) La temperatura en el extremo de la protuberancia c) La transferencia térmica por unidad de tiempo desde el área de la pared cubierta por la protuberancia si ésta no se utilizase d) La transferencia de calor por unidad de tiempo desde una protuberancia con la misma geometría si el acero inoxidable de ésta se sustituye por un material ficticio de conductividad térmica infinita _________________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN a) Calor disipado por unidad de tiempo desde la protuberancia con su extremo libre térmicamente aislado π x 0,02 2 π d2 S= = = 10 -4 π m 2 Tb - T F 4 4 Q= kS Bi Th Bi = = L h cF p L 2 10 (π x 0,02) x 0,12 Bi = = =1 kS 20 x 10 -4 π =

20 x 10 -4 π (300 - 50) 0,1

1 Th 1 = 11,96 W

b) Temperatura en el extremo de la protuberancia, ξ = 1 Φ(ξ) =

Ch { Bi (1 - ξ)} Ch

Bi

ξ=1

⎯⎯→ Φ(1) =

Ch { 1 (1 - 1)} T -T T - 50 = 1 = 0,648 = L F = L 1,543 Tb - T F 300 - 50 Ch 1

⇒ T L = 212ºC

c) Transferencia térmica por unidad de tiempo desde el área de la pared cubierta por la protuberancia si ésta no se utilizase.- El coeficiente de transmisión de calor en la superficie de la pared, cuando la protuberancia está en su sitio, le podemos suponer igual al de la protuberancia, por lo que: Q = hcF S (Tb - TF) = hcF π R2 (Tb - TF) = 10 W x (π x 10-4 m2 ) x (300 - 50)ºC = 0,785 W m2 .ºC La presencia de la protuberancia aumenta la disipación de calor procedente del área de la superficie cubierta por la misma, siendo la mejora: 11,96 - 0,785 x Mejora = 100 = 1423,5 % 0,785 d) Transferencia de calor por unidad de tiempo desde una protuberancia con la misma geometría, si el acero inoxidable de ésta se sustituye por un material ficticio de conductividad térmica infinita.- Para un material con k = ∞, Bi = 0, por lo que la protuberancia sería isoterma a Tb. La transferencia de calor por unidad de longitud desde la protuberancia ideal es: Q ideal = h cF A (T b - T F ) = h cF (π d L) (T b - T F ) = 10 W (π x 0,02 x 0,1) m 2 (300 - 50)ºC = 15,71 W m 2 ºC que es el calor máximo posible que se podría disipar en la unidad de tiempo por la protuberancia ideal. 15,71 - 11,96 x La protuberancia de acero inoxidable disipa: 100 = 24% 15,71 que es la cuarta parte de lo que disipa la protuberancia ideal q 11,96 x 100 La eficiencia de la protuberancia es: µ = q real = = 76,13% ideal 15,71 ********************************************************************************************* IV.4.- Se desea construir un radiador de tubo con aletas y para ello se utiliza una tubería de cobre puro de diámetro exterior 14 mm y diámetro interior 10 mm con aletas de aluminio puro de espesor 0,2 mm y radio exterior 28 mm. Las aletas están separadas entre planos medios una distancia de 5 mm. El radiador tiene que disipar una carpfernandezdiez.es

Aletas.IV.-81

ga térmica de 750 Kcal/hora cuando trabaja con agua a presión a la temperatura de 120°C, encontrándose el aire del medio ambiente a 20°C. El valor del coeficiente de película hce (aleta-aire) es 25 Kcal/h.m2°C, mientras que el valor del coeficiente de película hci para el fluido que circula por el interior del tubo es de 1000 Kcal/h.m2.°C. Se sabe que la conductividad térmica del cobre es kcobre= 326 Kcal/h.m.°C y la del aluminio kaluminio= 197 Kcal/h.m.°C. Determinar a) La temperatura en la base de la aleta b) El nº de aletas y la longitud del radiador necesaria para conseguir la mencionada disipación de calor _________________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN Q =

Ti - Tp i Tp i - Tb Tb - TF Tb - TF = = = r 1 b R + R 1 aletas tubo ln r Ai hci i hce (µ Aaletas + Atubo) 2 π kCu a

a) Temperatura en la base de la aleta Llamaremos N al nº total de aletas, y a a la longitud del tubo, de forma que: 0,005 N = a ; N = 200 a Area de intercambio térmico (aletas + tubo ) = A aletas + A tubo = 2 π (re2 - rb2 ) N + 2 π rb (a - N e ) Calor disipado el exterior: Q = (µ Aaletas + Atubo) hce (Tb - TF) = [µ 2 π (r2e - r2b ) N + 2 π rb (a - N e)] hce (Tb - TF)

A su vez entre el fluido interior a 120ºC y la base de la aleta se tiene: T i - T pi Tpi - T b Ti - T b Ti - Tb Q= = = = 1 r r rb 1 b 1 1 b 1 1 ln + ln + ln A i h ci 2 π k Cu a ri A i h ci 2 π k Cu a ri 2 π ri a h ci 2 π k Cu a ri Ti - Tb =

Q rb 1 1 750 1 1 7 24 ( + ln )= ( + ln ) = 2 π a ri h ci k Cu ri 2 π a 0,005 x 1000 326 5 a

⇒ T b = 120 -

24 a

Qaletas = 2 π (r2e - r2b ) Φ b N hce η an = 2 π (r2e - r2b ) Φ b N hcF G2 (α an βan) = ⎧ α = r b = 7 = 0,25 ⎫ ⎪ an re ⎪ 28 ⎨ ⎬ ⇒ G 2 (α an β an ) = 0,74 2 2 = ⎪ β = 2 re h C ext = 2 x 0,028 x 25 = 0,9974 ⎪ = an ke 197 x 0,0002 ⎩ ⎭ T b = 120 - 24 ; Φ b = T b - TF = 120 - 24 - 20 = 100 - 24 ; 0,005 N = a ⇒ N = 200 a a a a = 2 π (0,028 2 - 0,007 2 ) (100 -

24 ) x 200 a x 25 x 0,74 = 1708,1 a - 410,1 a

Q tubo sin aletas = 2 π rb (a - N e) h ce (Tb - TF ) = 2 π rb (a - 200 a e) h ce (Tb - TF ) = = 2 π x 0,007 a {1 - (200 x 0,0002)} x 25 (100 -

Longitud a del radiador: Kcal 24 Q = 750 = (1708,1 a - 410,1 ) + 1,0555 a (100 ) = 1834,25 a - 435,4 hora a T b = 120 -

24 = 82,84ºC 0,646

;

⇒

24 24 ) = 1,055 a (100 ) a a

a = 0,646 m

N = 200 x 0,646 = 129 aletas

********************************************************************************************* IV.5.- Una aleta anular de perfil rectangular, de acero k = 44 Kcal/h.m.ºC y dimensiones e = 0,5 mm y L = 15 mm, se coloca en un tubo de 20 mm de diámetro exterior. La temperatura en la base de la aleta es Tb = 90ºC, la temperatura del fluido es TF = 20ºC y el coeficiente de película hcF = 100 Kcal/h.m2.ºC pfernandezdiez.es

Aletas.IV.-82

Determinar a) La temperatura en el extremo de la aleta y en un radio r = 22 mm b) La eficacia de la aleta c) El calor transmitido al fluido desde la aleta d) El calor transmitido al fluido desde la aleta por unidad de superficie __________________________________________________ RESOLUCIÓN a) Temperatura en el extremo de la aleta: re = (10 + 15).10-3 = 25.10-3 m Φe K (m re ) I 0 (m re ) + K 0 (m re ) I1(m re ) 2 h cF 2 x 100 = 1 = m = = = 95,34 Φb K1 (m re ) I 0 (m rb ) + K 0 (m rb ) I1(m re ) ke 44 x 0,5.10-3 m rb = 95,34 x 10.10-3 = 0,9534 ; m re = 95,34 x 25.10-3 = 2,3836

=

€

K1 (2,3836) = 0,05456 π/ 2 = 0,08570 K 0 (2,3836) = 0,04569 π/2 = 0,07177

K1 (2,3836) I 0 (2,3836) + K 0 (2,3836) I1 (2,3836) = = K1 (2,3836) I 0 (0,9534) + K 0 (0,9534) I1 (2,3836) K 0 (0,9534) = 0,4545 ; I 0 (0,9534) = 1,2429 I 0 (2,3836) = 3,0148 ; I1 (2,3836) = 2,2666 (0,0857 x 3,0148) + (2,2666 x 0,07177) Textremo - 20 = = 0,3704 = ⇒ T extremo = 45,9ºC (0,0857 x 1,2429) + (2,2666 x 0,4545) 90 - 20

Gráficamente K1 (β an) I0 (βan) + K0 (β an) I1 (β an) Φ T - TF G1 (γ β) = = e = e T b - TF K1 (β an) I0 (γ βan) + K0 (γ βan) I1 (βan) Φb βan = m re = 2,3836 r 10 Para: α an = b = = 0,4 re 25

⇒

G1 (η βan ) = 0,37 ; Te = 20 + (0,37 x 70) = 45,9º C

€

€

=

βan = m re = 2,3836 r 10 ⇒ G1 (η βan ) = 0,40 ; Te = 20 + (0,4 x 70) = 48º C α an = b = = 0,4545 r 22 2 βan = 2,3836 k e β an G2 (α an βan) = G2 (αan βan) = = 0,51 b) Eficiencia de la aleta. µ = 2 α an = 0,4 k e βan ⎧ ⎫ 2 x 100 ⎪ L 2 h cF = 0,015 ⎪ = 1,43 ⎪ ⎪ he 44 x 0,5.10 -3 ⎬ ⇒ µ = 0,52 De otra forma: ⎨ ⎪ r e ⎪ 25 ⎪⎩ r = 10 = 2,5 ⎪⎭ b Para:

c) El calor transmitido al fluido desde la aleta Q = π (1 - α 2an ) k e Φ b β 2an G 2 (α an β an ) = π (1 - 0,4 2 ) x 44 x 0,5.10 -3 (90 - 20) x 2,3836 2 x 0,52 = 12 Kcal h pfernandezdiez.es

Aletas.IV.-83

Comprobación: Q = µ Q i = 0,52 h cF 2 A (T b - TF ) = 0,52

x

100

Kcal h m 2 ºC

x

2 π (25 2 - 10 2 ).10 -6 (m 2 ) x 70ºC = 12 Kcal hora

d) El calor transmitido al fluido desde la aleta por unidad de superficie, es el flujo térmico, de valor: Q Q 12 Kcal/hora Kcal = = = 3568 2 A 2 π (25 - 10 2 ).10 -6 m 2 0,003298 m 2 h m2

********************************************************************************************* IV.6.- Sobre un tubo de una determinada aleación, de 30 mm de diámetro exterior, se desea colocar aletas longitudinales de perfil triangular. La base de estas aletas tiene un espesor de 1,5 mm siendo el espacio vacío entre las bases de dos aletas consecutivas de aproximadamente 4 mm. El coeficiente de película para el tubo y las aletas es de 25 W/m2°C y la conductividad térmica del material de 75 W/m°C. Determinar: a) La altura óptima de la aleta b) El calor disipado al exterior por metro de longitud de tubería (en Kcal) si la temperatura exterior del tubo es de 100°C y la del aire de 25°C, en condiciones de diseño óptimo de la aleta. Mejora obtenida. c) La temperatura en el centro de gravedad de la aleta y en su vértice. _________________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN a) Altura óptima de la aleta (Se entiende que es la altura del perfil triangular) 2 b Lópt k 1/3 Ω hcF 1/3 Lópt = 1,196 ( Ω k )1/3 = 2 Ω = 1,196 ( ) = 1,196 ( b k )1/3 L1/3 ópt bópt = 1,6718 ( ) h b 2 h 2 hcF cF óp cF k b k )1/3 = 1,196 ( 0,0015 x 75 )1/3 = 0,1567 ; L L2/3 ópt = 0,062 m ópt = 1,196 ( 2 hcF 2 x 25 b) Calor disipado al exterior por metro de longitud de tubería (en Kcal) si la temperatura exterior del tubo es de 100°C y la del aire de 25°C, en condiciones de diseño óptimo de la aleta: Φ b = 100 - 25 = 75ºC Q1aleta = - Φ b k b

βt 8 f h cF L2 G 4 (β t ) = β t = = {f = 1} = 2L kb G 4 (β t ) = G 4 (2,614) = 0,77

8 x 25 x 0,062 2 = 2,614 = 75 x 0,0015

= - 75 x 75 x 0,0015 x

N º de aletas: π d b = (1,5 + 4) N

⇒

N=

30 π = 17,3 5,5

⇒

2,614 W x 0,77 = - 136,95 (calor cedido) 2 x 0,062 m

(17 aletas)

Q N aletas = 17 x 136,95 W = 2328,15 W m m Calor disipado por el tubo limpio de aletas: Q tubo sin

aletas

= 2 π rba h cF (Tb - TF ) = 2 π

Fracción de calor disipado por el tubo, cuando lleva aletas: €

€

Q tubo = a h cF (Tb - TF ) (π d b - N b) = 1 x 25 x 75 {0,03 π - (17 x 0,0015)} = 128,9 pfernandezdiez.es

0,03 W x 1 x 25 x 75 = 176,71 2 m

W m Aletas.IV.-84

Calor total disipado al exterior: Q = 128,9 + 2328,15 = 2457 W/m ⇒ Mejora =

c) La temperatura en el centro de gravedad de la aleta es: I 0 (2 n I 0 (2 n

T cdg = T F + (Tb - TF )

x) I (2 n = 25 + 75 0 L) I 0 (2 n

2457 - 176,7 100 = 1290% 176,7

Φ cdg Tcdg - TF I (2 n = = 0 Φb T b - TF I 0 (2 n

x) = L)

2 x 0,062 Centro de gravedad: x = 2 L = m = 0,0413 m 3 3 2 f h cF L 2 x 25 x 0,062 n= = { f = 1} = = 5,25 = kb 75 x 0,0015 I 0 (2 n I 0 (2 n

{2n x) = { 2n L)=

L = 2 x 5,25 x = 2 x 5,25

x) L)

= 25 + 75

} = I 0 (2,6144) = 3,5968 0,0413 = 2,1338 } = I 0 (2,1338) = 2,5134

2,5134 = 77,4ºC 3,5968

0,062 = 2,6144

De otra forma x 2 Φ ( c .d. g.) T(c.d.g.) - 25 β t = 2,614 ; η t = = = 0,8185 = G 3 (β t η t ) = = G 3 (2,1343) = 0,70 = ⇒ L 3 Φb 100 - 25 β t η t = 2,614 x 0,8165 = 2,1343 T(c.d.g.) = 25 + (75

x

0,7) = 77,5ºC

Temperatura en el vértice de la aleta Φvértice T - TF I (2 n x) = vértice = 0 = T T I b F 0 (2 n L) Φb

Vértice ⇒ x = 0 ; I0 (0) = 1 I0 (2 n L) = I0 (2,6144) = 3,5968

Tvértice = TF + 0,278 (Tb - TF) = 25 + 0,278

x

=

1 = 0,278 3,5968

75 = 45,86ºC

********************************************************************************************* IV.7.- Un determinado fluido de propiedades: ρ = 0,75 gramos/cm3; cp = 0,35 Kcal/kgºC, se calienta desde 80ºC hasta 120ºC, a razón de 50.000 kg/hora. Para mejorar el proceso térmico se utilizan tubos de acero de 20 mm de diámetro exterior, de conductividad térmica k = 60 Kcal/h.m.ºC, con aletas longitudinales triangulares del mismo material que el tubo, de base 1,5 mm, siendo la distancia entre los centros de sus bases de 4 mm. La temperatura media de la base de las aletas se estima en 150ºC en toda la longitud del tubo. El coeficiente medio de película es: hCF = 500 Kcal/h.m2.ºC Determinar: a) La longitud óptima de las aletas (Se entiende que es la altura del perfil triangular) y rendimiento b) La temperatura en el vértice de las aletas c) El número de tubos, si se utilizan tubos de 3 metros de longitud d) El número de tubos a utilizar, si se sustituyen las aletas longitudinales triangulares, por otras aletas transversales triangulares de rendimiento 60%, base 1,5 mm, y distancia entre los centros de sus bases 10 mm, sobre tubos de 3 metros de longitud, manteniendo la longitud óptima del apartado (a) _________________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN ALETAS TRIANGULARES LONGITUDINALES

b Lópt k 1/3 ) = 1,196 ( b k )1/3 L1/3 a) Longitud óptima de las aletas : Lópt = 1,196 ( Ω k )1/3 = 2 Ω = 1,196 ( ópt hcF bó p 2 hcF 2 hcF b k )1/3 = 1,196 ( 0,0015 x 60 )1/3 = 0,0536 ; L L2/3 ópt = 0,0124 m = 12,4 mm ópt = 1,196 ( 2 hcF 2 x 500

Rendimiento de las aletas: η =

2 G 4 (βt ) = βt

n =

βt = 2 π L = 2 x 11,74 12,41.10-3 = 2,616 ⇒ G 4 (βt ) =

pfernandezdiez.es

€

2 f h cF L 2 x 1 x 500 x 12,41.10-3 = 11,74 kb 60 x 15.10-3

I1 (βt ) I (2,616) 2,799 = 1 = = 0,775 I 0 (βt ) I 0 (2,616) 3,602 Aletas.IV.-85

=

2 x 0,775 = 0,594 = 59,4% 2,616 que es un resultado lógico puesto que está construida con dimensiones óptimas y en estas condiciones el rendimiento óptimo sabemos es del orden del 60% b) Temperatura en el vértice de las aletas Vértice: x = 0 ; I 0 (0) = 1 Φ vértice I 0 (2 n x ) 1 = = = = 0,2776 Φb 3,6 I 0 (2 n L ) I 0 (2 n L ) = I 0 (2,616) = 3,6 =

€

TF = 80 + 120 = 100ºC 2 Tvértice = TF + 0,2776 (Tb - TF) = 100 + 0,2776

x

(150 - 100) = 113,88ºC

c) Número de tubos, si tienen 3 metros de longitud Calor evacuado por una aleta longitudinal por 1 m de longitud de tubería: q 1aleta = µ h cF A (Tb - T F ) = A = 2

x

0,0124 m x 1 m = 0,0248 m 2

= 0,594

x

500

x

0,0248 (150 - 100) = 368,95

En 3 m de tubo el calor disipado por una aleta longitudinal es: q3m aletas = 368,95 Kcal hm πde N º de aletas longitudinales: = 15,7 ⇒ 16 (1,5 + 2.5).10 -3

x

Kcal hm

3 m = 1107 Kcal hora

Calor evacuado por las aletas en cada tubo de 3 m de longitud = q 3 m aletas x n = 1107 x 16 = 17712 Kcal h Calor evacuado por la fracción de tubo de 3 m sin aletas = 3 m x{π d e - (16 x 0,0015)} x h cF (150 - 100) = 2912,4 Kcal h Calor total evacuado por el tubo de 3 m con aletas = 2912,4 + 17712 = 20624,4 Kcal hora kg Kcal x (120 - 80)ºC = 700000 Kcal Calor total a disipar: m c p (T1 - T 2 ) = 50000 x 0,35 hora kgºC hora

N º de tubos de 3 m de longitud =

700000 = 33,9 20624,4

⇒

34 tubos

ALETAS TRIANGULARES TRANSVERSALES

d) Número de tubos a utilizar, si se sustituyen las aletas longitudinales triangulares, por otras aletas transversales triangulares de rendimiento 60%, base 1,5 mm, y distancia entre los centros de sus bases 10 mm, sobre tubos de 3 metros de longitud, manteniendo la longitud óptima del apartado (a) d e = d b + 2 L ópt = 20 + (2 x 12,4) = 44,8 mm A a = 2 π (re2 - rb2 ) = 2 π (22,4 2 - 10 2 )10 -6 m 2 = 0,00252 m 2 q1 aleta = µ hcF A (Tb - TF) = 0,6

x

500

x

0,00252

x

(150 - 100) = 37,86 Kcal hora

Nº de aletas en cada tubo de 3 m de longitud =

3 = 300 0,01

Calor evacuado por las aletas en cada tubo: 300

x

37,86 = 11358 Kcal hora

Calor evacuado por el tubo por la parte que no lleva aletas: = (π d b x 0,0085 x 300) h cF (150 - 100) = d b = 0,02m ; h cF = 500 Kcal/h m 2 ºC = 4005 Kcal/h Calor total evacuado por el tubo de 3 m con aletas = 4005 + 11358 = 15363 Kcal hora Número de tubos de 3 metros de longitud = 700.000 = 45,56 ⇒ 46 tubos 15363 ********************************************************************************************* IV.8.- Una aguja de 25 cm de longitud y 3 cm de diámetro sobresale de un objeto. La temperatura en la base Tb=150°C, mientras que el medio exterior se encuentra a T∞=30°C. Suponiendo un coeficiente de película constante hcF = 10 Kcal/h.m2°C, calcular para los siguientes casos: pfernandezdiez.es

Aletas.IV.-86

a) Varilla de Cu: k = 332 Kcal/h.m°C b) Varilla de acero de 0,5% C: k = 46 Kcal/h.m°C c) Vidrio: k = 0,94 Kcal/h.m°C 1) La temperatura en los puntos situados a 1/5,2/5,3/5,4/5 y 5/5 de la distancia entre la base y el extremo, suponiendo despreciable el flujo de calor en el extremo 2) El flujo calorífico por hora cedido por la varilla, con flujo de calor en el extremo, hcF= 10 Kcal/hm2°C 2b) El flujo calorífico por hora cedido por la varilla, despreciando el flujo de calor en el extremo 2c) El flujo calorífico por hora cedido por la varilla, considerándola muy larga _________________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN 1) Temperatura en los puntos situados a 1/5,2/5,3/5,4/5 y 5/5 de la distancia entre la base y el extremo, suponiendo despreciable el flujo de calor en el extremo.- Para el supuesto de flujo de calor despreciable en el extremo, la distribución de temperaturas es: Tξ - TF Ch{ Bi (1 - ξ)} x = , siendo: ξ = ; p = 2 π r ; S = π r2 Tb - TF L Ch Bi ⎧⎪ Cu ⇒ k = 332 Kcal/hmºC ; Bi = 0,25 h C p L2 1000 x 2 π x 0,015 x 0,25 2 83,33 Bi = = = ⇒ ⎨ Acero 0,5% C ⇒ k = 46 Kcal/hmºC ; Bi = 1,81 kS k k x π x 0,15 2 ⎪ Vidrio ⇒ k = 0,94 Kcal/hmºC ; Bi = 88,65 ⎩ T (ξ) = T F + (Tb - TF )

Ch{ Bi (1 - ξ)} Ch Bi

= T b - T F = 150 - 30 = 120ºC = 30 + 120

Ch{ Bi (1 - ξ)} Ch Bi

⎧ ξ 2 = 2/5 ; T2 = 141,24ºC 1 )} ⎪ 1 5 = 145,05ºC ⇒ ξ 3 = 3/ 5 ; T3 = 138,45ºC Para el Cu: Bi = 0,25 ; ξ 1 = 5 ; T1 = 30 + 120 ⎨ ξ 4 = 4/5 ; T4 = 136,95ºC Ch 0,25 ⎪ ; T5 = 136,42ºC ⎩ ξ 5 = 1 ⎧ ξ 2 = 2/5 ; T2 = 108,66ºC 1 Ch{ 1,81(1 - )} ⎪ 5 = 125,84ºC ⇒ ξ 3 = 3/ 5 ; T3 = 96,94ºC Para el Acero: Bi = 1,81 ; ξ1 = 1 ; T1 = 30 + 120 ⎨ 5 ξ 4 = 4/5 ; T4 = 90,42ºC Ch 1,81 ⎪ ; T5 = 88,3ºC ⎩ ξ 5 = 1 ⎧ ξ 2 = 2/5 ; T2 = 32,77ºC 1 Ch{ 88,65 (1 - )} ⎪ 5 = 48,25ºC ⇒ ⎨ ξ 3 = 3/5 ; T3 = 30,42ºC Para el Vidrio: Bi = 0,25 ; ξ1 = 1 ; T = 30 + 120 1 5 ξ 4 = 4/ 5 ; T4 = 30,066ºC Ch 88,65 ⎪ ; T5 = 30,02ºC ⎩ ξ 5 = 1 2) Flujos caloríficos por hora cedidos por las varillas: 2a) Con flujo de calor en el extremo (Coeficiente de película en el extremo 10 Kcal/hm2°C S Bi S = π r 2 = r = 0,015 = 0,03 Th Bi + k S (T b - T F ) Bi pL 2 L 2 x 0,25 Q= = pL 2 πrL = L S S Bi ( T T ) = 0,34 1 + Th Bi b F L pL Th Bi + 0,03 Bi = 0,34 k Bi 1 + 0,03 Bi Th Bi Ch{ 0,25(1 -

Para el Cu: Q = 0,34 x 332 Para el acero: Q = 0,34

pfernandezdiez.es

x

Kcal h m ºC

46

Kcal h m ºC

0,25

Th 0,25 + 0,03 1 + 0,03

1,81

0,25 Th 0,25

Th 1,81 + 0,03 1 + 0,03

0,25

= 26,84

1,81

1,81 Th 1,81

Kcal hora

= 18,56

Kcal hora Aletas.IV.-87

Para el vidrio: Q = 0,34

x

0,94

Kcal h m ºC

88,65

Th 88,65 + 0,03 1 + 0,03

88,65

88,65 Th 88,65

= 3,009

Kcal hora

Tb - T F Bi Th Bi = 0,34 k L Kcal Kcal Para el Cu: Q = 0,34 x 332 0,25 Th 0,25 = 26,03 h mºC hora Kcal Kcal Para el acero: Q = 0,34 x 46 1,81 Th 1,81 = 18,33 h m ºC hora Kcal Kcal Para el vidrio: Q = 0,34 x 0,94 88,65 Th 88,65 = 3,003 h mºC hora Tb - T F Bi = 0,34 k Bi 2c) Considerando aletas muy largas: Q = k S L Kcal Kcal Para el Cu: Q = 0,34 x 332 0,25 = 56,32 2 h m ºC hora Kcal Kcal Para el acero: Q = 0,34 x 46 1,81 = 21 h m ºC hora Kcal Kcal Para el vidrio: Q = 0,34 x 0,94 88,65 = 3,003 h mºC hora

2b) Despreciando el flujo de calor en el extremo: Q = k S

Bi Th Bi

A la vista de los resultados, y por lo que respecta a los calores desprendidos, se observa que cuando las conductividades son bajas, el hecho de considerar aletas muy largas es perfectamente válido. En casi todos los casos se puede considerar el flujo de calor en el extremo despreciable. ********************************************************************************************* IV.9.- Se desea incrementar el paso de calor desde una pared plana al medio ambiente que la rodea, instalando para ello aletas de diferentes tipos sobre dicha superficie, de tal forma que sobresalgan de la superficie de la pared una longitud de 20 cm, siendo el material utilizado un conductor de k=40 Kcal/h.m°C y suponiendo en cualquier caso un coeficiente de transmisión de calor sólido-fluido de 17 Kcal/h.m2.°C. Bajo estas condiciones se desea saber: a) La configuración que será la más eficaz de entre las siguientes: a.1) Aleta recta de perfil rectangular constante, de espesor e=1,25 cm y anchura unidad a.2) Aleta triangular de similar base de apoyo a la anterior b) Material con el que se debe construir la aleta triangular, tomando como referencia su conductividad térmica, para que en las condiciones anteriores tenga la misma efectividad que la encontrada para la aleta rectangular. _________________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN a.1) Aleta recta de perfil rectangular constante, de espesor e=1,25 cm y anchura unidad Bi =

p = 2 ( e + a ) = 2 (0,0125 + 1) = 2,025 m p h cF L 2 2,025 x 17 x 0,2 2 = = = 2,754 kS 40 x 0,0125 S = e a = 0,0125 x 1 = 0,0125 m 2

Aleta recta, aislada térmicamente en su extremo libre: Th 2,754 Th Bi η= = = 0,56 Bi 2,754 Aleta recta, con convección en su extremo libre: S Bi k S (Tb - TF ) Bi Th Bi + p L L S Bi 1+ Th Bi pL η= = A= 2 aL = h cF A (Tb - TF ) =

S

0,0125 2,754 Bi = = 0,05122 pL 2,025 x 0,2

pfernandezdiez.es

=

1 Bi

Th Bi + 1+

S Bi pL

S Bi Th Bi pL

=

Th 2,754 + 0,05122 1 = 0,547 2,754 1 + 0,05122 Th 2,754 Aletas.IV.-88

€

Aleta triangular η=

1 n

=

I 1 (2 n L ) 2 G 4 (β t ) = = βt L I 0 (2 n L ) n

L = 3,6878

I 0 (2 n

x

f= n=

b 2 0,0125 2 ) = 1+( ) = 1,00048 (cond. unidireccional 2L 2 x 0,2 = 2 f h cF L = 2 x 1,00048 x 17 x 0,2 = 3,6887 kb 40 x 0,0125

1+(

0,2 = 1,6492 ; 2 n

L= 2

L ) = I 0 (3,2993) = 6,258 ; I 1 (2 n

x

3,6878

x

0,2 = 3,2993

L ) = I 1 (3,2993) = 5,195

=

5,195 1 = 0,5033 1,6492 6,258

Se observa que el rendimiento de las aletas rectangulares es superior al de la aleta triangular. b) Material con el que se debe construir la aleta triangular, tomando como referencia su conductividad térmica, para que en las condiciones anteriores tenga la misma efectividad que la encontrada para la aleta rectangular. Hay que determinar la conductividad térmica del material I 1 (2 n L ) I ( 2 N) La ecuación a resolver es: 0,58 = 1 = n L=N = 1 1 N I 0 (2 N ) n L I 0 (2 n L )

{

N 1 1,5 1,4 1,3 1,35

0,58 N 0,58 0,87 0,812 0,754 0,783

}

I0 (2 N)

I1 (2 N)

I1 (2 N) I0 (2 N)

2,2796 4,8808 4,1573 3,5533 3,8553

1,5906 3,9534 3,3011 2,7554 3,0282

0,6967 0,8099 0,7941 0,7754 0,7854

0,58 < 0,6967 0,87 > 0,8099 0,812 > 0,794 0,754 < 0,7754 0,783 < 0,785

Un valor aceptable es: N = 1,35, luego: 2 hcF L = N ; N = 2 hcF L ; k = 2 hcF L2 = 2 x 17 x 0, 22 = 59,7 Kcal n = kb kb h m ªC L b N2 0,0125 x 1,3 52 ********************************************************************************************* IV.10.- A un tubo de 40 mm de diámetro exterior se le adosan aletas anulares de aluminio k=197 Kcal/h m°C, de 0,5 mm de espesor y 100 mm de radio exterior separadas entre si una distancia de 5 mm. Las aletas están aisladas térmicamente en su extremo. La presencia de un fluido exterior implica la existencia de un coeficiente de película de 60 Kcal/h.m2°C. Si existe una diferencia de temperaturas de 50°C entre la superficie del tubo y el medio exterior, determinar: a) El calor disipado en 1 metro de longitud de tubería sin aletas b) El calor disipado en 1 metro de longitud de tubería con aletas c) La temperatura en el extremo aislado de la aleta d) El aumento en % del calor disipado, por el hecho de colocar las aletas ________________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN a) Calor disipado en cada metro de longitud de tubería sin aletas Kcal q tubo (1 m) = (π d b1) h C ext Φb = π x 0,04 x 60 x 50 = 377 hm b) Calor disipado en cada metro de longitud de tubería con aletas.- Calor disipado por una aleta: α an = rb /re = 0,02/ 0,1 = 0,2 q 1 aleta = π (1 - α 2an ) k e Φ b β 2an G 2 (α an β an ) = β an =

2 re2 h C ext = ke

2 x 0,12 x 60 = 3,49 197 x 0,0005

=

α an β an = 0,7 ⇒ G 2 (α an β an ) = G 2 (0,7) = 0,18 = π (1 - 0,2 2 ) x 197 x 0,0005 x 50 x 3,49 2 x 0,18 = 32,56 Kcal h Calor disipado por la parte de tubo correspondiente a cada aleta: pfernandezdiez.es

Aletas.IV.-89

q tubo = (π d b 0,005) h C ext Φ b = π x 0,04

x

0,005

x

60

x

50 = 1,885 Kcal h

Kcal 445 Calor disipado por una aleta más el tubo correspondiente a la misma: q tubo+ qaleta= 1,885+ 32,56= 34, hm b) Si existe una diferencia de temperaturas de 50°C entre la superficie del tubo y el medio exterior, determinar el calor disipado por cada metro de longitud de tubería con aletas. 1 Nº de aletas por 1 m de longitud de tubería : = 182 a = 0,0055 Q disipado por 1 m de tubo con aletas = 34,445 x 182 = 6270 Kcal hm De otra forma: Rendimiento de la aleta anular : µ = G2 (αan βan) = 0,18 q aleta real = µ q aleta ideal = µ h c ext A (Tb - Text ) = A = 2 π (re2 - rb2 ) = 2 π (0,1 2 - 0,02 2 ) = 0,0603 m 2 = Kcal 2 = 0,18 x 60 Kcal x 0,0603 m x 50ºC = 32,56 2 hora hm ºC q tubo = (π d b x 0,005) h c ext Φ b = π x 0,04 x 0,005 x 60 x 50 = 1,8848 Kcal/hora Q tubo + aletas = (1,8848 + 32,57) x 182 = 6270,7 Kcal/h.m lineal

c) Temperatura en el extremo aislado de la aleta Φe G 1 (α an β an ) = = G 1 ( 0,7) = 0,06 ⇒ Φ e = 0,06 Φ b = 0,06 x 50 = 3 = Te - TF ⇒ Te = TF + 3 Φb d) Aumento en % del calor disipado por el hecho de colocar las aletas Mejora =

0,689 - 0,04147 = 15,60 0,04147

⇒

1560%

********************************************************************************************* IV.11.- Al realizar un estudio para instalar calefacción en una factoría en la que se dispone de agua caliente a 85°C, se llegó a la conclusión de que había que aportar 460 Kcal/h.m para mantener la temperatura ambiente a +24°C. Dado que en la factoría se dispone de hierro fundido k= 50 Kcal/h.m°C, del calibre 60/66 y de aletas anulares del mismo material y de radio exterior 66 mm, con un espesor de 3 mm y considerando que los coeficientes de película son 1000 y 8 Kcal/h.m2°C, determinar el número de aletas necesario para disipar el calor indicado. _________________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN Veamos si son necesarias las aletas: Q 2 π (T F - Text ) 2 π (85 - 24) Kcal Kcal = = = 100,25 < 460 a (1 m) r 1 1 33 1 h h 1 1 b 1 + ln + + ln + 0,06 x 1000 50 30 0,033 x 8 ri h cF k ri rb h c ext luego SÍ son necesarias, ya que el tubo limpio no puede aportar las calorías necesarias Cálculo de Tb: T F - TpF T pF - T b T F - Tb Q= = = 1 rb rb 1 1 1 ln + ln 2 π a ri h cF 2 πak ri 2 π a ri h cF 2 πak ri Q r 460(Kcal/h m ) 1 1 b 1 1 33 T F - Tb = ( + ln )= ( + ln ) = 2,58ºC 2 π a ri h cF k ri 2π x1 0,03 x 1000 50 30 Tb = TF - 2,58 = 85 - 2,58 = 82,42ºC

Calor disipado por una aleta: q 1 aleta = π (1 - α 2an ) k e Φ b β 2an G 2 (α an β an ) =

pfernandezdiez.es

Aletas.IV.-90

€

α an = rb /re = 0,033/ 0,066 = 0,5 = β an =

2 re2 h C ext = ke

2

0,066 2 x 8 = 0,682 50 x 0,03

x

= π (1 - 0,5 2 ) x 50 x 0,003 x (82,42 - 24) x 0,682 2 x 0,95 = 9,11

Kcal hora

α an β an = 0,34 ⇒ G 2 (α an β an ) = 0,95

ó también: q1 aleta = µ hc ext A (Tb - Text) = G2 (αan βan) hc ext 2 π (d2e - d2b ) (Tb - Text) = 4 = 0,95 x 8 x 2 π (0,13 22 - 0,06 62 ) x (82,42 - 24) = 9,11 Kcal 4 hora Para: a = 1 m habrá N aletas de espesor e que ocupan (Ne) metros, por lo que quedan (1 - N e) metros de tubo sin aletas q q tubo entre aletas = ( ) tubo (1 - N e ) = 460 Kcal = Calor total disipado: Q = q aletas + q tubo entre aletas = a hm q aletas = q 1 aleta N q = ( )tub (1 - N e) + q1 aleta N = 100,25 (1 - N x 0,003) + 9,11 N ⇒ N = 40,83 ≅ 41 aletas a 1 - (41 x 0,03) = 0,0219 m Separación entre aletas: 41 ********************************************************************************************* IV.12.- Al realizar un estudio para instalar calefacción en una factoría en la que se dispone de agua caliente a 85°C, se llegó a la conclusión de que había que aportar 5000 Kcal/hora para mantener la temperatura ambiente en +24°C. Dado que en la factoría se dispone de hierro fundido k= 50 Kcal/h.m°C, de diámetros 60/66 y de aletas anulares del mismo material, de radio exterior 66 mm, con un espesor de 3 mm, separadas 20 mm, y sabiendo que los coeficientes de película son 1000 y 8 Kcal/h.mºC, determinar el número de aletas necesario para disipar el calor indicado y la temperatura en la base de la aleta. _________________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN T F - TpF T pF - T b T F - Tb Q= = = 1 rb rb 1 1 1 ln + ln 2 π a ri h cF 2 πka ri 2 π a ri h cF 2 πka ri Q ln ( rb /ri ) ln (33/ 30) 28,042 28,042 5000 Kcal/h 1 1 T F - Tb = ( + )= ( + )= ⇒ Tb = TF 2 π a r i h cF k 2 πa 0,03 x 1000 50 a a 28,042 28,042 28,042 Φb = Tb - Text = TF - Text = 85 - 24 = 61 a a a Calor disipado total: Q = Q N aletas + Q tubo entre aletas

Calor disipado por una aleta: ⎧ α an = rb /re = 0,033/ 0,066 = 0,5 ⎪ 2 r e2 h C ext 2 x 0,066 2 x 8 2 2 β = = = 0,682 q 1 aleta = π (1 - α an ) k e Φ b β an G 2 (α an β an ) , con: ⎨ an ke 50 x 0,03 ⎪ ⎩ α an β an = 0,34 ⇒ G 2 (α an β an ) = 0,95 Calor disipado por el tubo entre aletas: Ne Q tubo entre aletas = (2 π rb a - N e 2 π rb ) h C ext Φ b = 2 π r b a (1 ) h C ext Φ b a 28,042 Ne Q = π (1 - α 2an ) k e Φ b β 2an G 2 (α an β an ) N + 2 π rb a (1 ) h C ext Φ b = Φ b = 61 = a a 28,042 0,003 N 28,042 = {π (1 - 0,5 2 ) x 50 x 0,003 x (61 ) x 0,682 2 x 0,95 N} + {2 π x 0,033 a (1 ) x 8 ( 61 )} = a a a

pfernandezdiez.es

Aletas.IV.-91

N (0,020 + 0,003) = a = N = a = 43,48 a = {π (1 - 0,5 2 ) x 50 0,023 + [2 π x 0,033 a {1 - ( 43,48 a=

5000 + 230,65 = 10,42 501,73

x

x

0,003 x (61 -

0,003)} x 8 ( 61 -

28,042 ) x 0,682 2 x 0,95 N} + a

28,042 )] = 501,73 a - 230,65 = 5000 Kcal a hora

⇒ n º de aletas = N = 43,48 a = 43,48 x 10,42 = 453 aletas

28,042 = 82,3ºC 10,42 ********************************************************************************************* IV.13.- Sobre un tubo de una aleación de aluminio de 20 mm de diámetro exterior se desea colocar aletas longitudinales de perfil triangular. La base de las aletas tiene un espesor de 1 mm y la distancia entre los centros de las bases de las aletas es de 3,5 mm lo que permite mantener un coeficiente de película hcF =50 Kcal/hm2°C. La conductividad térmica del material es, k = 100 Kcal/hm°C. Determinar a) Las dimensiones del perfil óptimo de las aletas triangulares longitudinales b) El calor transmitido al exterior por metro de longitud de tubo si la temperatura de la base es de 125°C y la del fluido exterior de 20°C c) La temperatura en el centro de gravedad de la aleta y en el vértice d) El calor evacuado por una aleta _________________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN a) Dimensiones del perfil óptimo de las aletas triangulares longitudinales b Lópt k 1/3 Lópt = 1,196 ( Ω k )1/3 = Ω = b L = 1,196 ( ) = 1,196 ( b k )1/3 L1/3 ópt hcF 2 2 hcF 2 hcF Temperatura en la base: Tb = 24 + 61 -

b k )1/3 = 1,196 ( 0,001 x 100 )1/3 = 0,1196 ; L2/3 ópt = 1,196 ( 2 hcF 2 x 50

Lópt = 0,04136 m = 41,36 mm ; Base = 1 mm

b) Calor transmitido al exterior por metro de longitud de tubo, si la temperatura de la base es de 125°C y la del fluido exterior de 20°C Φ b = Tb - TF 125 - 20 = 105ºC 8 f h cF L2 8 x 50 x 0,0412 = {f =1} = = 2,616 = kb 100 x 0,001 I (β ) I (2,616) G 4 (β t ) = 1 t = 1 = 0,775 I I 0 (β t ) 0 (2,616) 2,616 = - 105 x 100 x 0,001 0,775 = 257,35 Kcal 2 x 0,041 m 0,842 q1 aleta 0,842 q1 aleta ; 0,00413 = ; q1 aleta = 257,5 Kcal ó también a partir de: Lópt = hcF Tb - TF 50 105 20 π = 17,97 ⇒ 18 aletas Para N aletas: N º de aletas: N = π d e = 3,5 N ⇒ N = 3,5 Q N aletas = 257,35 (Kcal/m lineal) x 18 aletas = 4632,23 Kcal/m lineal Para 1 aleta: q 1 aleta = - Φ b k b

βt G (β ) = β t = 2L 4 t

Calor disipado por la fracción de tubo sin aletas: q tubo = (2π re - N b) a h cF (T b - TF ) =

= {(2 π x 0,01) - (18 x 0,001)} x 1 m x 50 (Kcal/hm 2 ºC) x 105ºC = 235,4 (Kcal/m. lineal) qTotal (1 m lineal) = 4632,23 + 235,4 = 4867,63 Kcal m lineal 2 G4 (βt ) 2 x 0,775 Rendimiento de la aleta: η = = = 0,5925 = 59,25% (Del orden del 60%) 2,616 β t

c) Temperatura en el centro de gravedad de la aleta: x 2 Φ = G (β η ) = β t = 2,616 ; η t = = = 0,8165 = 0,69 L 3 3 t t Φb β t ηt = 2,616 x 0,8165 = 2,1388 pfernandezdiez.es

Aletas.IV.-92

Tc.d.g. - TF Tb - TF = 0,69 ; De otra forma:

I (2 n Φ = 0 Φb I 0 (2 n

Tc .d.g. - 20 125 - 20 = 0,69

⇒

Tc .d.g. = 92,45ºC

L = 0,04136 m ; Centro de gravedad: x = 2 L/3 = 0,02757 m 2 f h cF L 2 x 50 x 0,04136 n= = {f = 1} = = 6,43 x) kb 100 x 0,001 = L) I 0 (2 n L ) = 2 n L = 2 x 6,431 0,04136 = 2,6153 = I 0 (2,6153) = 3,60 I 0 (2 n

Tcdg = T F + (Tb - TF )

I 0 (2 n I 0 (2 n

{ x)= { 2 n

} 0,02757 = 2,1356 } = I 0 (2,1356) = 2,522

x = 2 x 6,431

=

x) 2,522 = 20 + (125 - 20) 3,6 = 93,55ºC L)

I 0 (2 n 0 ) 1 = 49,16ºC = 20 + (125 - 20) 3,6 I 0 (2 n L ) *********************************************************************************************

Temperatura en el vértice de la aleta: Tvértice = TF + (Tb - TF )

IV.14.- Un tubo de una determinada aleación k= 80 W/m°K tiene un diámetro interior de 25 mm y un diámetro exterior de 30 mm, y sobre el mismo se han dispuesto 20 aletas rectas longitudinales, del mismo material que el tubo, uniformemente distribuidas, con su extremo libre aislado térmicamente, de espesor e=3 mm y longitud transversal L= 30 mm.El medio exterior (aire), se encuentra en reposo a la temperatura de 20°C, siendo de 100°C la temperatura de la superficie exterior del tubo. Suponiendo el mismo coeficiente de película en el tubo y en las aletas, determinar: a) El aumento en % que supone la disipación de calor con aletas, frente al tubo sin aletas b) Temperatura en el centro de gravedad de cada aleta y en su extremo libre. _________________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN Propiedades del aire exterior: Temperatura de película: ⎧ ρ = 1,025 kg/m 3 ; c pF = 1017 J/kgºK ; k = 0,0279 W/mºC ⎪ Propiedades del aire 100 + 20 T= = 60ºC ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ ⎨ gβ 2 ⎪ ν = 19,4.10 -6 m 2 /seg ; Pr = 0,71 ; = 0,782.10 8 ⎩ ν2 Gr =

g β ΔT L3 ν2

Gr . Pr = 168.912

= x

ΔT = 100 - 20 = 80ºC

= 0,782

L = d = 0,03 m 0,71 = 119927,5

x

10

x

80

x

0,0 33 = 168.912

El coeficiente de película se puede calcular a partir de: 4 0,518 Ra 1/ 0,518 4 119927,5 W d Para flujo laminar: Nu d = 0,36 + = 0,36 + = 7,64 ⇒ h cF = 7,1 2 0,56 9/16 4/ 9 0,56 9/16 4/ 9 m ºC {1 + ( ) } {1 + ( ) } Pr 0,71 a) Aumento en % que supone la disipación de calor con aletas, frente al tubo sin aletas.- Calor desprendido por metro lineal de tubería sin ninguna aleta: W W 2 q 1m lineal = h cF A L ΔT = 7,1 2 x 0,03 π (m ) (100 - 20)ºC = 53,53 m ºC metro de tubo Espacio de tubo no ocupado por las aletas = 0,03 π - (20 x 0,003) = 0,03425 m 0,03425 x 53,53 W = 19,45 Calor por metro lineal a través de la fracción de tubo no ocupado por las aletas = 0,03 π m Aleta con su extremo libre termicamente aislado:

T -T q N aletas = k S b F L

S = 0,003 x 1 = 0,003 m 2 ; p = 2 (1 + 0,003) = 2,006 m Bi Th Bi N = = h cF p L2 7,1 x 2,006 x 0,032 Bi = = = 0,0534 kS 80 x 0,003 = 80

x

0,003

100 - 20 0,03

0,0534 Th 0,0534

x

20 = 671,6

W m

Calor disipado total = 19,45 + 671,6 = 691 ( W/m ) pfernandezdiez.es

Aletas.IV.-93

Aumento en % =

691 - 53,53 100 = 1191% 53,53

T(ξ) - TF Ch { Bi (1 - ξ)} = Tb - TF Ch Bi Tc .d .g . - 20 Ch{ 0,0571(1 - 0,5)} Temperatura en el c.d.g. de la aleta (ξ = 0,5): = = 0,98 ⇒ Tc .d .g . = 98,32 ºC 100 - 20 Ch 0,0571

b) Temperatura en el c.d.g. de cada aleta y en su extremo libre: Φ(ξ) =

Tξ=1 - 20

1 ⇒ T ξ=1 = T L = 97,77ºC Ch 0,0571 *********************************************************************************************

Temperatura en el extremo libre de la aleta (ξ = 1):

100 - 20

=

IV.15.- Para realizar el control del calentamiento de un determinado reactor, que no debe sobrepasar los 250°C, se hace uso de un tubo especial de acero k= 45 W/m°C, en cuyo interior se ha hecho el vacío, que conecta el interior del reactor con un dispositivo electrónico exterior acoplado en su otro extremo y que no debe sobrepasar los 60°C. Si el tubo se asimila a un cilindro de 50 cm de longitud y 3 cm de diámetro, y el medio exterior se encuentra a 20°C, determinar: a) El coeficiente de película existente entre el cilindro y el medio exterior b) Sistema de refrigeración que habrá que utilizar en el cilindro c) La temperatura en la mitad del cilindro ________________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN El tubo de acero, cuyo diámetro interior no se da, y en cuyo interior se ha hecho el vacío (no existe convección en el interior), se puede asimilar a una protuberancia cilíndrica de 3 cm de diámetro, con uno de sus extremos a 250ºC y el otro extremo, sobre el que va el dispositivo electrónico que no permite intercambio térmico por el extremo, que consideraremos térmicamente aislado a 60ºC. a) Coeficiente de película existente entre el cilindro y el medio exterior Tb - TF = Ch Bi ; 250 - 20 = 5,75 = Ch Bi ; Bi = 5,9277 T(1) - TF 60 - 20 Bi =

h cF p L 2 h cF (p d) L2 4 h cF L2 4 h cF x 0,5 2 = = = = 5,9277 kS kd 45 x 0,03 k (p d 2 /4)

⇒

h cF = 8

W m 2 ºC

b) Sistema de refrigeración que habrá que utilizar en el cilindro Con este valor de hcF la convección es natural y no es necesario ningún otro tipo o medio de refrigeración T(ξ) - TF Ch { Bi (1 - ξ)} = c) Temperatura en la mitad del cilindro: Φ(ξ) = Tb - TF Ch Bi T(0,5) - 20 Ch{ 5,9277 x (1 - 0,5)} Temperatura en la mitad del cilindro ( ξ = 0,5) : ⇒ T ξ=0 ,5 = 93,5ºC 250 - 20 Ch{ 5,9277 ********************************************************************************************* IV.16.- Un cazo metálico contiene agua hirviendo a 100ºC. El mango metálico del mismo, es un tubo cilíndrico, de diámetro exterior de= 0,01 m, longitud L= 0,175 m, espesor 1 mm y conductividad térmica k= 40 W/mºK, y lleva en su extremo libre un aislamiento térmico. La temperatura del aire del medio exterior y del hueco del tubo es de 20ºC y el coeficiente de película correspondiente hc = 10 W/m2ºC. a) Determinar a partir de qué distancia en el tubo del mango la temperatura es inferior a 50ºC. Calor evacuado a través del mango y rendimiento. b) Suponiendo que el flujo térmico en la parte interior del tubo del mango es despreciable, determinar a partir de qué posición en el mango la temperatura es inferior a 50ºC. Calor evacuado a través del mango y rendimiento. c) Si se considera el mango macizo, calcular a partir de qué posición la temperatura sería inferior a 50ºC. _________________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN pfernandezdiez.es

Aletas.IV.-94

a) A partir de qué distancia en el tubo del mango la temperatura es inferior a 50ºC. T(ξ) - TF Ch { Bi (1 - ξ)} Distribución de temperaturas: Φ(ξ) = = Tb - TF Ch Bi Bi =

p = π (d e + d i ) = π (0,01 + 0,008) = 0,05655 m h cF p L 2 = π π kS S = (d 2e - d 2i ) = (0,012 - 0,008 2 ) = 2,827.10 -5 m 2 4 4

=

10

0,05655 x 0,175 2 = 15,31 40 x 2,827.10 -5 x

La temperatura en la base de la protuberancia, entronque con el cazo, es de 100ºC, ya que el coeficiente de película del agua en ebullición es muy elevado, por lo que la temperatura del agua y la del cazo será prácticamente la misma. Si llamamos x a la distancia a partir de la cual la temperatura del mango es inferior a 50ºC, se tiene: Ch { 25,31 (1 - x )} 0,175 50 - 20 = 0,375 = ⇒ x = 0,0439 m 100 - 20 Ch 25,31 Calor evacuado a través del mango y rendimiento T b - TL 80 q =kS Bi Th Bi = 40 x 2,827.10 -5 15,31 Th 15,31 = 2,02 W L 0,175 Th 15,31 Bi = = 0,2523 = 25,23% Bi 15,31 b) Suponiendo que el flujo térmico en la parte interior del tubo del mango es despreciable, determinar a partir de qué posición en el mango la temperatura es inferior a 50ºC. p = π d e = π x 0,01 = 0,0314 m h cF p L 2 10 x 0,0314 x 0,175 2 Bi = = = 8,5 π π 2 2 2 2 -5 2 = kS S = (d e - d i ) = (0,01 - 0,008 ) = 2,827.10 m 40 x 2,827.10 -5 4 4 η=

Th

50 - 20 = 0,375 = 100 - 20

Ch { 8,5 (1 Ch 8,5

x )} 0,175

⇒ x = 0,06 m

Calor evacuado a través del mango y rendimiento: T -T 80 q = k S b L L Bi Th Bi = 40 x 2,827.10 -5 0,175 8,5 Th 8,5 = 1,4985 W Th 8,5 Th Bi η= = = 0,3409 = 34,09% Bi 8,5 c) Si se considera el mango macizo, calcular a partir de qué posición la temperatura sería inferior a 50ºC. p = π d e = π x 0,01 = 0,0314 m h cF p L 2 10 x 0,0314 x 0,175 2 = = = 3,06 2 2 -5 2 kS S = π d e /4 = π x 0,01 /4 = 7,85.10 m 40 x 7,85.10 -5 Ch { 3,06 (1 - x )} 0,175 50 - 20 = 0,375 = ⇒ x = 0,128 m 100 - 20 Ch 3,06

Bi =

Calor evacuado a través del mango y rendimiento T b - TL 80 q =kS Bi Th Bi = 40 x 2,827.10 -5 L 0,175 Th 3,06 Th Bi µ= = = 0,538 = 53,8% Bi 3,06

3,06 Th

3,06 = 2,366 W

********************************************************************************************* IV.17.- Se tiene un cilindro de espesor uniforme k = 10 Kcal/h.m.ºC, de 120 mm de longitud y 20 mm de diámetro, entre dos paredes, que se encuentra a 300ºC y 100ºC respectivamente. Se supondrá que el fluido exterior (aire) está a una temperatura de 10ºC, y que el coeficiente de película es hC = 15 Kcal/h.m2.ºC. Determinar a) El calor evacuado al exterior b) La temperatura en la mitad de la aguja pfernandezdiez.es

Aletas.IV.-95

_________________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN Aleta con sus extremos a temperaturas Tb y TL a) El calor evacuado al exterior es la diferencia de los calores que pasan por las bases. (1 - Ch Bi ) {Φ(1) + 1} q = q ξ = 0 - q ξ = 1 = - k S (T b - T F ) Bi = L Sh Bi h cF p L2 ⎧ p = π d = π x 0,02 = 0,0628 m ⎫ 15 x 0,0628 x 0,12 2 Bi = = ⎨ = 4,32 2 2 -4 2 ⎬ = kS ⎩ S = π d /4 = π x 0,02 /4 = 3,14.10 m ⎭ 10 x 3,14.10 -4 = = 100 - 10 Φ(1) = = 0,31 300 - 10 10 x 3,14.10 -4 (1 - Ch 4,32 ) {0,31 + 1} =(300 - 10) 4,32 = 16 Kcal 0,12 h Sh 4,32 b) Temperatura en la mitad de la aguja Sh{ Bi (1 - ξ)} + Φ(1) Sh ( Bi ξ) Sh{ 4,32 (1 - 0,5)} + 0,31 Sh ( 4,32 Φ(ξ = 0,5) = = Sh Bi Sh 4,32 Tξ =

0,5 =

x

0,5)

= 0,4119

10 + (300 - 10) x 0,4119 = 129,45ºC

********************************************************************************************* V.18.- Se tiene un cilindro de espesor uniforme, de 30 cm de longitud y 2 cm de diámetro, que sobresale de una superficie plana A que se encuentra a 400ºC. El cilindro está conformado por dos tipos de material, de forma que los 5 primeros cm más cercanos a la pared tienen una conductividad térmica k1 = 2 Kcal/h.m.ºC, y el resto una conductividad térmica, k2 = 5 Kcal/h.m.ºC. Se supondrá que el fluido exterior (aire) está a una temperatura de 20ºC, y que el coeficiente de película lateral y en el extremo libre B es hC = 10 Kcal/h.m2.ºC. Determinar a) La temperatura TC de unión de los materiales que conforman el cilindro b) El calor evacuado al exterior c) La temperatura en el extremo libre B _________________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN El cilindro se puede considerar, con conducción unidimensional, conformado por una aleta (AC) entre 2 temperaturas y una aleta (CB) con convección por el extremo libre. Aleta con convección en el extremo libre y base a TC.- El calor disipado q2 es el que entra por la base C S Bi 2 k 2 S (TC - TF ) Bi 2 Th Bi 2 + p L 2 q2 = = L2 S Bi 2 1+ Th Bi 2 p L2 h cF p L22 ⎧ p = π d = π x 0,02 = 0,0628 m ; L 2 = 0,25 ⎫ 10 x 0,0628 x 0,252 Bi 2 = = ⎨ = 25 ⎬ = = k2 S = 5 x 3,14.10 -4 ⎩ S = π d 2 /4 = π x 0,02 2 /4 = 3,14.10 -4 m 2 ⎭ Φ C = TC - TF Kcal 2 Th 5 + 0,000314 x 5 5 x 0,000314 m x Φ C ºC x 5 0,06283 x 0,25 hmºC = = 0,0314 Φ C 0,25m 0,000314 x 5 1+ Th 5 0,06283 x 0,25 Aleta con sus extremos a temperaturas TA y TC .- El calor que atraviesa la base C es: Q=-

k1 S (T A - TF ) L1

pfernandezdiez.es

Bi 1

- Ch{ Bi 1 (1 - ξ )} + Φ(1) Ch ( Bi 1 ξ) Sh Bi 1

=

Aletas.IV.-96

TC - TF Φ = = Φ TA - TF 400 - 20 380 = L 1 = 0,05 m ; ξ = 1 = 2 p L21 h C Bi 1 = = 0,06283 x 0,05 x 10 = 2,5 ⇒ Bi 1 = 1,581 k1 S 2 x 0,000314 2 Kcal x 0,000314 m2 - 1 + Φ Ch 1,581 h.m.ºC 380 = (400 - 20)ºC x 1,581 x = 3,2445 - 0,02162 Φ 0,05 m Sh 1,581 Φ(1) =

Igualando los dos calores: 0,0314 Φ = 3,2445 - 0,02162 Φ ⇒ Φ = 61,2 ºC = TC - 20 ⇒ T C = 81,2ºC b) Calor evacuado al exterior.- El calor evacuado al exterior por el cilindro, es el mismo que penetra por la base A; por lo tanto: T -T - Ch{ Bi1 (1 - ξ)} + Φ(1) Ch ( Bi 1 ξ) k S Φ(1) = C F = 61,2 = 0,161 TA - TF 400 - 20 q A = - L1 (TA - TF ) Bi 1 = = 1 Sh Bi1 x= 0 ; ξ = 0 2 Kcal x 0,000314 m2 h.m.ºC - Ch 1,581 + 0,161 = (400 - 20)ºC x 1,581 x = 7,69 Kcal 0,05 m Sh 1,581 hora c) Temperatura en el extremo libre B ⇒ ξ = 1 (Aleta con convección en el extremo libre) T - 20 Ch 0 + 0 1 Φ(1) = = = 0,00674 = b ⇒ Tb = 20,4ºC 0,000314 x 5 81,2 - 20 S Bi 2 Ch 5+ Sh 5 Ch Bi 2 + Sh Bi 2 0,06283 x 0,25 p L2 ********************************************************************************************* IV.19.- Un soldador consiste, (a efectos térmicos), en una varilla cilíndrica metálica que se calienta eléctricamente por un extremo B alcanzándose en el otro extremo A (punta del soldador) una cierta temperatura. La temperatura del medio exterior es de 20ºC. Datos del soldador: k = 80 W/mºK ; hC = 20 W/m2ºK ; α = 1,93 x 10-4 m2/seg Las dimensiones del soldador son: Longitud L= 80 mm; Diámetro d= 5 mm Determinar, considerando sólo efectos convectivos: a) La temperatura en el extremo B cuando la temperatura en el extremo A sea de 400ºC (en régimen estacionario), y la potencia eléctrica a aplicar en B en estas condiciones b) Si se supone que al soldador se le aplica por el extremo B la potencia calculada en el apartado (a) y que el calentamiento se realiza uniformemente, hallar el tiempo que se tardará en conseguir en el mismo una temperatura de 300ºC, supuesto el medio exterior a 20ºC. ¿Qué temperatura máxima se podría conseguir en estas circunstancias? _________________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN a) Temperatura en el extremo B cuando la temperatura en el extremo A sea de 400ºC (en régimen estacionario) Se trata de una aguja cilíndrica (protuberancia) que intercambia calor con el medio exterior, con convección por el extremo libre: Se conoce: TA = 277ºC ; ξ = 1 h L Bi Ch[(1 - ξ) Bi] + C Sh[(1 - ξ) Bi] T(x) - TF Bi Ch(0) + 0 k = ; 400 - 20 = TB - TF h L TB - 20 h L Bi Ch Bi + C Sh Bi Bi Ch Bi + C Sh Bi k k 2 2 h pL 20 x 0,0157 x 0,082 πd Bi = cF = p = π d = 0,005 π = 0,0157 m ; S = = 1,96.10 -5 m 2 = = 1,2816 kS 4 80 x 1,96.10-5 1,28 400 - 20 = = 0,576 ⇒ TB =679,6ºC TB - 20 20 x 0,08 1,28 Ch 1,28 + Sh 1,28 80 Potencia eléctrica a aplicar en B en estas condiciones.- Hay que determinar una cantidad de calor igual a la que se desprende a través de toda la varilla

pfernandezdiez.es

Aletas.IV.-97

q conv =

k S (TC - TF ) L

Bi

Th Bi +

S Bi pL

S Bi 1+ Th Bi pL

=

80

-5 x 1,96.10 (679,6

0,08

1,96.10 -5 1,28 - 20) 1,28 0,0157x 0,08 = 12 W 1,96.10 -5 1,28 1+ Th 1,28 0,0157 x 0,08 Th 1,28 +

De otra forma.- A partir de la eficiencia de la aleta se tiene: Th 1,28 q conv = h C A (TB - TA ) η aleta = η aleta = Th Bi = = 0,7172 ; A = 1,276.10 -3 m 2 = Bi 1,28 = 20 x 1,276.10 -3 (679,6 - 20) x 0,7172 = 12 W b) Si se supone que al soldador se le aplica por el extremo B la potencia calculada en el apartado (a) y que el calentamiento se realiza uniformemente, hallar el tiempo que se tardará en conseguir en el mismo una temperatura de 300ºC, supuesto el medio exterior a 20ºC. Al realizarse el calentamiento uniformemente, se trata de un caso con condición de contorno con RESISTENCIA TÉRMICA INTERNA DESPRECIABLE, por lo que: ρ L cp q q t= ln = V k ln = h CF q - h cF A (T - TF ) A h CF α q - h cF A (T - TF ) (π d 2 / 4) L 0,005 x 0,08 V dL = = = = 0,00123 m A 4L+d (4 x 0,08) + 0,005 π d L + (π d 2 /4) = A = π d L + (π d 2 / 4) = (π x 0,005 x 0,08) + (π x 0,005 2 /4) = 0,001276 m 2 = h (V/A) 20 x 0,00123 Bi = C = = 0,000307 k 80 =

0,00123 m x 80 (W/mºC) 12 W ln = 23,07 seg 20 (W/m 2 ºC) x 1,93.10 -4 (m 2 /seg) 12 W - 20 (W/m 2 ºC) x 20 m 2 (300 - 20)ºC

Temperatura máxima que se podrá conseguir en estas circunstancias q 12 Para: t → ∞ ; q = h C A (Tmáx - TF ) ⇒ Tmáx = TF + = 20 + = 490,2ºC hCA 1,276.10-3 x 20 ********************************************************************************************* IV.20.- En una sala de maquinaria se desea mantener una temperatura uniforme de 20ºC y para ello se dispone de un sistema de calefacción, por agua caliente a presión, a una temperatura media de 100ºC, que consiste en un tubo de acero, k= 42 W/mºC, de diámetro interior di= 4 cm, diámetro exterior db=5 cm, y aletas longitudinales triangulares, de altura 4 cm y espesor en la base sobre el tubo de 0,785 cm, colocadas a una distancia entre centros de 15,7 mm, del mismo material que el tubo La velocidad del agua caliente es de 1,5 m/seg. La longitud del tubo con aletas es de 300 metros. El tubo se encuentra en posición horizontal y la nave tiene 100 m de longitud. Determinar a) El calor disipado por una aleta b) El calor cedido a la sala por la instalación de calefacción c) La caída de temperatura del agua calefactora que circula por el interior del tubo, y temperatura de la misma a la entrada del tubo d) La eficiencia de este sistema de calefacción, como intercambiador de calor e) La temperatura en el extremo de la aleta, y en su centro de gravedad, en el punto medio de la tubería. Datos del agua caliente: ρ = 958,4 kg/m3 ; cp = 4,211 kJ/kgºC ; k = 0,682 W/mºC ; ν = 0,294 x 10-6 m2/seg ; Pr = 1,75 ; gβ/ν2 = 85,09 (1/ºK.m3) Datos del aire: ρ = 1 kg/m3 ; cp = 1,01 kJ/kgºC ; k = 0,03 W/mºC ; ν = 20,76 x 10-6 m2/seg ; Pr = 0,7; α = 0,3 x 10-4 m2/seg _________________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN El problema se puede plantear como un intercambiador de calor compuesto por (tubo + aletas), por lo que se puede aplicar el concepto de (LMTD) una vez conocido el valor de (UA). d π Para hallar (UA) hay que conocer el nº de aletas: N = b = 50 mm x π = 10 l 15,7 Cálculo de hc ext (aire en reposo), En primera aproximación se puede suponer una temperatura de pared de 99,5ºC, pfernandezdiez.es

Aletas.IV.-98

que habrá que comprobar a posteriori. ΔT = 99,5 - 20 = 79,5ºC ; d base = 0,05 m g β ΔT d 3base m 1 Gr = = g β 9,8 seg2 273 + 20 (1/ºK ) = 7,76.10 7 x 79,5 x 0,053 = 771150 2 1 ν 7 = = 7,76.10 ν2 (20,76.10 -6 ) 2 (m 2 /seg) m 3 ºK Gr.Pr = 771.150 x 0,7 = 539.805 < 1 07 (laminar) 79,5 ΔT W = 1,18 4 = 7,45 2 db 0,05 m ºC a) Calor disipado por una aleta triangular.- No se conoce la temperatura en la base Tb, pero podemos suponer vale 99,5ºC, que es un poco inferior a la temperatura media del agua caliente, por ser k = 42 W/mºC. q 1 aleta long = η h c (ext ) A lateral aleta (T b - Text ) h c ext = 1,18

4

Alateral aleta = 2 (L*

x

300 m) = 2 (0,04

x

300) = 24 m2

Φb = Tb - TF = 99,5 - 20 = 79,5º

8 f h cF L2 8 x 1 x 7,45 x 0,04 2 = = 0,5378 ⇒ kb 42 x 0,785.10 -2 2 G 4 (β t ) 2 x 0,24 η= = = 0,8925 0,5378 βt q 1 aleta long. = 0,8925 x 7,45 x 24,1 x (99,5 - 20) = 12750 W βt =

G 4 (β t ) = 0,241

Calor disipado por todas las aletas triangulares: qN aletas long. = 12.750

x

10 = 127.503 W

b) Calor cedido a la sala por la instalación de calefacción q tubo = h c (ext ) A tubo (Tb - Text ) = A tubo = (π d b - 10 x 0,00783) a tubo = (0,05 π - 10 x 0,00783) x 300 = 23,57 m 2 = = 7,45 x 23,57 x (99,5 - 20) = 13.962 W Q total = q tubo + q aletas = 13962 + 127503 = 141465 W = (A tubo + η Aaletas ) h c( ext ) (Tb - Text ) De otra forma: Q=

η = 0,8925 TF - Text = = r Aaletas = 24 x 10 = 240 m 2 ; A tubo = 23,57 m 2 1 1 1 + ln b + A i h Ci 2πka ri (η Aaletas + A tubo ) h c (ext ) uF d i 1,5 x 0,04 Re d i = = = 204080 ν agua = 0,294.10 -6 = 0,8 0,3 0,8 0,3 2 Nu = 0,023 Re Pr = 0,023 x 204080 x 1,75 = 481,4 ⇒ h ci = 8207 W/m ºC =

1 π x 0,04 x 300

x

1 + 8207 2 π x 42

x

100 - 20 0,5 ln + 300 0,4 {( 0,8925

x

1 240) + 23,57} x 7,45

= 140.608 W

De aquí se puede obtener la temperatura de la pared exterior Tb del tubo: Q total =

1 A i h Ci

TF - T b = r 1 1 + ln b 2 π x 0,04 x 300 2 πka ri

100 - Tb x

1 + 8207 2 π x 42

x

0,5 ln 300 0,4

=

100 - T b 1,616.10 −6 + 2,819.10 -6

=

= 140.608 W ⇒ T b = 99,39ºC

que es una aproximación más que suficiente el haber considerado la temperatura de 99,5ºC. c) Caída de la temperatura del agua calefactora que circula por el interior del tubo *

Qtotal = 141.465 W = Gagua cp agua (Tentrada - Tsalida) = (Ωi uF ρi ) cp agua ΔT = π d 2i π x 0,04 2 = Ωi = = = 0,001257 m 2 4 4

= 0,001257 m 2 x 1,5

kg m x 958,4 seg m3

x

4211

J kgºC

x

ΔT*ºC = 7607,3 ΔT*

Temperatura del agua a la entrada y salida del tubo: pfernandezdiez.es

Aletas.IV.-99

⎧ Tent = 100 + (18,6/2) = 109,3ºC 141465 = 18,6ºC ⇒ ⎨ 7607,3 ⎩ Tsal = 100 - (18,6/2) = 90,7ºC d) La eficiencia de este sistema de calefacción, como intercambiador de calor ΔT* =

NTU =

U A (T F - Text ) = 141.465 W = U A (100 - 20) ⇒ U A = 1768,3 W/m ºC 1768,3 UA = = = 0,2324 C mín C mín = G agua c p agua = 7607,3 W/ºC 7607,3

ε = 1 - e-(NTU) = 1 - e-

0,2324

= 0,2074 = 20,74%

Comprobación: Q total = ε C mín (TC1 - TF1 ) = ε C mín (Tentrada agua - Text ) = 0,2474 x 7607,3 (109,3 - 20) = 140900 W e) Temperatura en el vértice de la aleta situada en el centro de la tubería I 0 (βt ηt ) I 0 (0) 1 = (99,5 - 20) = 79,5º C = 0,93 I 0 (βt ) I 0 (0,5378) 1,076 = 20 + (0,93 x 79,5) = 93,9ºC

Φ vértice = Φ b Tvértice

Temperatura en el centro de gravedad de la aleta: € x 2 I (β η ) I (0,4367) 1,0499 Φ cdg = Φ b 0 t t = β t = 0,5378 ; ηt = L = 3 = 0,812 = (99,5 - 20) I 0 (0,5378) = 79,5ºC 1,076 = 77,56ºC I 0 (β t ) 0 β t ηt = 0,5378 x 0,812 = 0,4367 T cdg = T F + 77,56ºC = 20ºC + 77,56ºC = 97,56ºC ********************************************************************************************* IV.21.- En una sala de maquinaria se desea mantener una temperatura uniforme de 20ºC y para ello se dispone de un sistema de calefacción, por agua caliente a presión, a una temperatura media de 100ºC, que consiste en un tubo de acero, k= 42 W/mºC, de diámetro interior di= 4 cm, diámetro exterior db=5 cm, y aletas anulares del mismo material que el tubo, de diámetro exterior de = 15 cm y espesor en la base sobre el tubo de 0,3 cm, colocadas a una distancia entre centros de 4 cm. La velocidad del agua caliente es de 0,5 m/seg. La longitud del tubo con aletas, horizontal, es de 50 metros. Las aletas están aisladas térmicamente en su extremo libre. Se puede suponer una temperatura en la base de 99,5ºC Determinar a) El calor disipado por una aleta b) El calor cedido a la sala por la instalación de calefacción c) La caída de temperatura del agua calefactora que circula por el interior del tubo, y temperatura de la misma a la entrada del tubo d) La eficiencia de este sistema de calefacción, como intercambiador de calor e) La temperatura en el extremo aislado de las aletas Datos del agua caliente:ρ = 958,4 kg/m3 ; cp = 4,211 kJ/kgºC ; k = 0,682 W/mºC ; ν = 0,294 x 10-6 m2/seg ; Pr = 1,75 ; gβ/ν2 = 85,09 1/ºK.m3 Datos del aire: ρ = 1 kg/m3 ; cp = 1,01 kJ/kgºC ; k = 0,03 W/mºC ; ν = 20,76 .10-6 m2/seg ; Pr = 0,7 _________________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN El problema se puede plantear como un intercambiador de calor compuesto por (tubo + aletas), por lo que se puede aplicar el concepto de (LMTD) una vez conocido el valor de (UA). Para hallar (UA) hay que conocer el nº de aletas en el tubo: N = 50 m = 1250 aletas 0,04 m Cálculo de hc ext (aire en reposo) ΔT = 99,5 - 20 = 79,5ºC ; d base = 0,05 m g β ΔT d 3base m 1 1 Gr = = g β 9,8 seg2 273 + 20 ºK = 7,76.10 7 x 79,5 x 0,053 = 771150 2 1 ν 7 = = 7,76.10 ν2 (20,76.10 -6 ) 2 m 2 /seg m 3 ºK pfernandezdiez.es

Aletas.IV.-100

Gr.Pr = 394830

x

0,7 = 539805 < 1 07 (laminar)

79,5 ΔT W = 1,18 4 = 7,45 2 db 0,05 m ºC De otra forma: El coeficiente de convección se puede calcular con la fórmula: h c ext = 1,18

4

4 0,518 Ra 1/ ⎧ 10 −6 < Ra d < 10 9 d Para flujo laminar: Nu d = 0,36 + , con: ⎨ 0,56 9/16 4/ 9 ⎩ Pr > 0,5 {1 + ( ) } Pr 0,518 (539805)1/4 0,03 x 10,96 k Nu W Nu d = 0,36 + = 10,96 ⇒ h c ext = = = 6,58 2 0,56 9 / 16 4 / 9 d 0,05 m  C {1 + ( ) } 0,7

a) Calor disipado por una aleta con su extremo libre térmicamente aislado: q 1 aleta = η h c ext A lateral aleta (Tb - Text ) re = 7,5 cm Alateral aleta = 2 π (r2e - r2b ) = = 2 π (0,075 2 - 0,025 2 ) = 0,031416 m2 rb = 2,5 cm Φ b = T b - T F = 99,5 - 20 = 79,5ºC

α an = Rendimiento de la aleta: η = G 2 (α an β an ) =

rb 0,025 = = 0,333 re 0,075

2 h c ext re2 2 x 6,58 x 0,0752 = 0,766 = ke 42 x 0,03 2 2 6,58 (W/m C) º x 0,031416 m x (99,5 - 20)º C = 15,63 W

= 0,84

β an =

q 1aleta = η h c ext A (TpF - TF ) = 0,84 x Calor disipado por todas las aletas: q N aletas = 15,63 W x 1250 = 18756 W b) Calor cedido a la sala por la instalación de calefacción: q tubo = h c ext A tubo (T b - Text ) = A tubo = π d b (0,04 - 0,003) = 5,812.10 -3 m 2 =

= 5,812.10 -3 m 2 x 6,58 (W/m 2 ºC) (99,5 - 20) ºC = 3,04 W

q tubo total = 1250 x 3,04 W = 3648,4 W Q total = q tubo + q aletas = 20000 + 3648,4 = 23648,4 W

De otra forma: Q total =

=

TF - Text

r 1 1 1 + ln b + A i h ci 2 πka ri N (η A aletas + A tubo ) h c ext u d 0,5 x 0,04 Re d i = F i = = 68027 ν agua 0,294.10 −6

Nu= 0,023 Re 0 ,8 Pr 0,3 = 0,023 =

1 π x 0,04 x 50

x

x

=

η = 0,84 = A aletas = 0,031416 m 2 ; A tubo = 0,005812 m 2

68027 0,8 x 1,75 0 ,3 = 200 ⇒ h ci =

100 - 20 0,5 1 + ln + 3410 2 π x 42 x 50 0,4 1250 {( 0,84

x

200

0,682 W = 3410 0,04 m ºC x

1 0,031416) + 0,005812} x 6,58

=

= 20964 W

c) Caída de la temperatura del agua calefactora que circula por el interior del tubo Q total = 20964 W = Gagua c p agua (Tentrada - Tsalida ) = (Ω i u F ρ i ) c p agua ΔT* =

= Ωi =

π x 0,04 2 = 0,001257 m 2 4

= 0,001257 x 0,5 x 958,4 x 4211 x ΔT* = 2525,8 ΔT*

Temperatura del agua a la entrada y salida del tubo 9,32 ⎧ T = 104,66C º ⎪ entrada = 100 + 23648 2 ΔT* = = 9,32C º ⇒ ⎨ 9,32 2535,8 = 95,34C º ⎪⎩ Tsalida = 100 2 d) La eficiencia de este sistema de calefacción, como intercambiador de calor

pfernandezdiez.es

Aletas.IV.-101

€

⎧ 23648 = U A (100 - 20) ⇒ U A = 295,6 W ⎪ mC º ε = 1 - e -( NTU) = NTU = U A = ⎨ C mín W ⎪ C mín = G agua c p agua = 2535,8 C º ⎩

⎫ ⎪ 295,6 ⎬ = 2535,8 = 0,1166 = ⎪ ⎭ = 1 - e- 0,1166 = 0,11

Comprobación: Q total = ε C mín (TC 1 - TF1 ) = ε C mín (Tentrada agua - Text ) = 0,11 x 2535,8 (104,66 - 20) = 23614 W € e) Temperatura en el extremo aislado de la aleta central Φe = Φb G1 (α an βan ) = α an = 0,33 ; βan = 0,809 ⇒ G1 (α an βan ) = 0,83 = 0,83 Φb ⎧ Te primera aleta = 20 + 0,83 {(104,66 - 0,5) - 20} = 89,85C T e = 20 + (0,83 x 79,5) = 86C (aleta central) ⎨ ⎩ Te última aleta = 20 + 0,83 {( 95,34 - 0,5) - 20} = 82,1C

********************************************************************************************* IV.22.- En una habitación se dispone de un sistema de calefacción por agua caliente que consiste en un tubo de acero de diámetro interior di = 4 cm y exterior db = 4,4 cm, y aletas anulares de diámetro exterior de = 10 cm y espesor 0,1 cm, colocadas a una distancia entre centros de 5 cm. El coeficiente k = 42 Kcal/hm°C La longitud del tubo es de 12 metros. El coeficiente de película al exterior es, hc ext = 5 Kcal/hm2°C El coeficiente de película por el interior del tubo correspondiente al {agua caliente-pared interior del tubo} es hci = 1000 Kcal/hm2°C Las aletas están aisladas térmicamente en su extremo. Se puede suponer que la temperatura exterior del tubo es igual a la temperatura en la base de la aleta Tb; Temperatura del aire, Text = 20°C Determinar a) El valor U A b) La temperatura de salida del agua calefactora que circula por el interior del tubo y el calor cedido a la habitación, si circulan 10 litros/minuto de agua, que entra en la tubería a 60°C c) La temperatura en el extremo aislado de la primera aleta Datos del agua, ρ = 1000 kg/m3 ; cp = 1 Kcal/kg°C _________________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN El problema se puede plantear como un intercambiador de calor compuesto por (tubo + aletas), por lo que se puede aplicar el concepto de (LMTD) una vez conocido el valor de (UA). Para hallar (UA) hay que conocer el nº de aletas: N = 12 m = 240 0,05 Calor disipado por una aleta.- No se conoce la temperatura en la base Tb q 1 aleta anular = η h c ext A lateral aleta (Tb - Text ) r e = 5 cm A lateral aleta = 2 π (re2 - rb2 ) = = 2 π (0,05 2 - 0,022 2 ) = 0,0127 m 2 r b = 2,2 cm η = G2 (α an .β an ) = α an =

q1 aleta = 0,92

x

5

2 re2 h C ext = ke

rb 0,022 = = 0,44 ; β an = re 0,05

Kcal h.m2 .ºC

x

0,01276 m2

x

2 x 0,05 2 x 5 = 0,77 = 0,92 42 x 0,001

(Tb - 20)ºC = 0,05842 ( Tb - 20) Kcal hora

qtubo (para 1 aleta) = hc ext Atubo (Tb - Text) = Atubo = π =5

Kcal h.m2 .ºC

x x

0,044

x

0,049 = 0,0068 m2 =

0,0068 m2

x

(Tb - 20)ºC = 0,034 ( Tb - 20) Kcal hora

a) Valor de (U A) Qtotal = N (qtubo + qaletas) = 240

pfernandezdiez.es

x

{0,05842 ( Tb - 20) + 0,034

x

(Tb - 20)} =

Tb - 20 Kcal 0,04508 hora

Aletas.IV.-102

Q total =

=

TF - Ti 1 2 π a r i h ci

=

Ti - Tb rb 1 ln 2 πka ri

=

T b - 20 = 0,04508

1 2 π a r i h ci

TF - 20 = rb 1 + ln + 0,04508 2 πka ri

TF - 20 T - 20 Kcal = F = U A (TF - 20) ⇒ U A = 21,847 1 22 0,045773 hora + ln + 0,04508 2 π x 0,02 x12 x 1000 2 π x 42 x 12 20 1

b) Temperatura de salida del agua calefactora que circula por el interior del tubo (que entra en la tubería a 60°C si circulan 10 litros/minuto de agua kg kg G agua = V ρ = 10 x 60 litros hora x 1000 m 3 = 600 hora kg Kcal x (60 - T )ºC Q total = G agua c p agua ( Tent - Tsal ) = 600 x 1 sal h kgºC ΔT2 = Tent - T ext = 60 - 20 = 40 ΔT 2 - ΔT1 60 - T sal = = 21,847 ΔT 2 40 ΔT1 = Tsal - T ext = Tsal - 20 ln ln T ΔT1 sal - 20 Igualando las ecuaciones anteriores de Qtotal se obtiene: 60 - Tsal 500 Kcal x (60 - Tsal )ºC = 21,847 Kcal ⇒ Tsal = 58,56ºC h h ln 40 Tsal - 20 Calor cedido a la habitación kg Kcal x (60 - 58,56)ºC = 858,2 Kcal Q total = G agua c p agua ( Tent - Tsal ) = 600 x 1 h kgºC hora Q total = U A

De otra forma: kg ε = 1 - e - NTU = NTU = U A = ⎧⎨ C mín = Gagua c p agua = 600 C mín h ⎩

x

21,847 1 Kcal = 600 Kcal ⎫⎬ = = 0,03641 = kg ºC h ºC ⎭ 600

= 1 - eQ total = ε Cmín (TC1 - TF1) = ε Cmín (Tentrada agua - Text) = 0,035756

x

600

x

0,03641

= 0,035756 = 3,57%

(60 - 20) = 858,16 Kcal hora

c) Temperatura en el extremo aislado de la primera aleta Φ e = Φ b G1 (α an β an ) = G1 (α an β an ) = G 1 (0,44 x 0,77) = 0,90 = 0,90 Φ b ⇒ T e - T ext = 0,90 (T b - T ext ) Tb - 20 T - 20 1ª Aleta (TF = 60ºC) ; = F = 60 - 20 = 873,877 ; Tb = 59,4ºC 0,04508 0,045773 0,045773

Te = Text + 0,90 x (Tb - Text) = 20 + 0,90

x

(59,4 - 20) = 55,45ºC

********************************************************************************************* IV.23.- En un tubo de acero que tiene una conductividad térmica de 40 Kcal/hm°C y diámetro exterior de=30 mm, se han dispuesto 20 aletas longitudinales de sección transversal constante, de 2 mm de espesor y altura 20 mm Las aletas se considerarán con su extremo libre aislado térmicamente. Se supondrá que el fluido que envuelve al conjunto se encuentra a una temperatura de 20°C, que la superficie exterior del tubo está a 90°C y que el coeficiente de película es hc=30 Kcal/h.m2.°C. Si las aletas se encuentran uniformemente distribuidas sobre la superficie exterior del tubo, determinar: a) El calor disipado y el aumento en % que supone esta disipación mediante aletas, frente al tubo sin aletas. b) Valor del coeficiente máximo de película que debería existir entre el tubo y el fluido, para que dejase de ser interesante el uso de superficies adicionales. c) El calor disipado, cuando en otro tubo de las mismas características se colocan 100 aletas anulares por metro lineal de tubo, de espesor constante igual a 2 mm, y radio exterior de 35 mm; el diámetro del tubo es de 30 mm. Las condiciones térmicas son las del enunciado. pfernandezdiez.es

Aletas.IV.-103

_________________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN a) Calor disipado y el aumento en % que supone esta disipación mediante aletas, frente al tubo sin aletas. Para el caso de no existir aletas, el calor desprendido por el tubo limpio, por metro lineal es: Kcal 2 q = h cF A ΔT = 30 Kcal x 0,03 π m (90 -20)ºC = 197,92 hm h m 2 ºC Calor disipado a través del espacio de tubo no ocupado por las aletas: 197,92 Kcal x Fracción tubo h m tub 197,92 x 0,054 Kcal q 1= = Fracción tubo = 0,03 π - (20 x 0,002) = 0,054 = = 113,9 h.m.lineal 0,03 π 0,03 π

Las aletas son longitudinales con el extremo térmicamente aislado; el calor disipado por las mismas es: Kcal ; S = 0,002 x 1 = 0,002 m 2 ; L = 0,2 m h m ºC Bi n = Tb - T F = 90 - 20 = 70 ºC ; p = 2 (1 + 0,002) = 2,004 m = 2 2 h pL 30 x 2,004 x 0,02 n = 20 aletas ; Bi = c = = 0,3006 kS 40 x 0,002 70 = 40 x 0,002 0,3006 Th 0,3006 x 20 = 1533 Kcal/h m 0,02 k = 40

q2= k S

T b - TF L

Bi Th

q disipado = q 1 + q 2 = 113,92 + 1533 = 1646,92 Kcal/h m

Aumento en % =

1646,92 - 197,92 197,92

x

100 = 732,1%

b) Valor del coeficiente máximo de película que debería existir entre el tubo y el fluido, para que dejase de ser interesante el uso de superficies adicionales. h cF e 2k 2 x 40 Kcal ; h cF < 0,002 ; h cF < 40000 2 k < 1 ; h cF < e h m 2 ºC luego se justifica el uso de aletas cuando hcF sea menor de 40000 Kcal/hm2ºC c) El calor disipado, cuando en otro tubo de las mismas características se colocan 100 aletas anulares por metro lineal de tubo, de espesor constante igual a 2 mm, y radio exterior de 35 mm; el diámetro del tubo es de 30 mm. Las condiciones térmicas son las del enunciado. q 1 = calor disipado a través del tubo = {1 - (100 x 0,002)} q = 0,8 x 197,92 = 158,3 Kcal/h m q 2 = Calor disipado a través de 100 aletas por metro = = π (1 - α 2an ) k e Φ b β 2an G 2 (α an βan ) n = r ⎫ α an = b = 15 = 0,4286 ⎪ re 35 = ⎬ ⇒ G2 (0,4286 x 0,9585) = 0,87 = 2 h cF re2 2 x 30 x 0,035 2 = 0,9585 β an = = ⎪ ke 40 x 0,002 ⎭ 2 = π (1 - 0,4286 ) x 40 x 0,002 x 70 x 0,9585 2 x 0,87 x 100 = 1147,86 Kcal/h m q disipado = q 1 + q 2 = 158,3 + 1147,86 = 1306,2 Kcal/h m

********************************************************************************************* IV.24.- Un pequeño dispositivo electrónico que genera calor por efecto Joule, lo disipa durante su funcionamiento al exterior. Este dispositivo se puede considerar como un cilindro de dimensiones, radio Ri = 0,002 m y altura, a= 0,006 m. Para que su funcionamiento sea lo más correcto posible se le inserta una camisa aleteada de aluminio k = 200 W/mºK con 12 aletas longitudinales en su superficie exterior, que tienen su extremo libre térmicamente aislado. Los datos de la camisa aleteada son, diámetro exterior De = 0,006 m, espesor de las aletas, e = 0,0007 m, y longitud de las aletas, L = 0,01 m. La resistencia de contacto (dispositivo electrónico-camisa aleteada) es muy importante, y vale, 10-3 m2.ºK/W pfernandezdiez.es

Aletas.IV.-104

El coeficiente de película al exterior es, hcF = 25 W/m2ºK. La temperatura exterior es Te = 20ºC La camisa aleteada se ha diseñado para que la superficie del dispositivo electrónico no supere los 80ºC. Determinar: a) El calor disipado al exterior b) La temperatura que adquiriría la superficie del dispositivo electrónico si no se utilizase la camisa aleteada. c) La temperatura de los diámetros interior y exterior de la camisa aleteada y en el extremo de la aleta _________________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN

El circuito térmico se puede poner en la forma: Ts - Text El calor evacuado es: Q = R contacto (dispositivo-camisa) + R camisa + R aletas + tubo

a) Calor disipado al exterior Calor disipado por la (aleta + tubo) = hcF (Atubo + µ Aaletas) (Tb - Text) = hcF

Tb - Text 1 (Atubo + µ Aaletas)

p = 2 (a + e) = 2 (0,006 + 0,0007) = 0,0134 m h cF p L2 25 x 0,0134 x 0,012 = = = 0,03988 kS S = a e = 0,006 x 0,0007 = 4,2.10 -6 m 2 200 x 4,2.10 -6 Th 0,03988 µaleta = Th Bi = = 0,9869 Bi 0,03988 Bi =

Atubo = (De π - 12 e) x 0,006 = [0,006 π - (12 x 0,0007)]

x

0,006 = 6,27

x

10-5 m2

12 = 1,44 x 10-3 m2 1 ºK Resistencia asociada a las aletas = = 26,96 W 25 {6,27.10 -5 + 0,9869 (1,44.10 -3 )} -3 2 -3 10 (m ºK/W ) 10 ºK ºK Resistencia contacto dispositivo-camisa: = = 13,26 2 2 π x 0,002 x 0,006 W W 2 π R a (m ) Re 0,003 1 1 ºK Resistencia conductiva de la camisa: ln = ln = 0,05377 2 πka Ri 2 π x 200 x 0,006 0,002 W 80 - 20 Q= = 1,49 W 13,26 + 0,05377 + 26,96

Aaletas = 2 (L x a) x 12 = 2 (0,01

x

0,006)

x

b) Temperatura que adquiere la superficie del dispositivo electrónico si no se utiliza la camisa aleteada.- En estas circunstancias el dispositivo tiene que eliminar la misma energía (1,49 W) generada por efecto Joule, por lo que: Ts - T ext Ts - 20 Q= = = 1,49 ⇒ Ts = 810,5ºC 1 1 2 π R i h cF a 2 π x 0,002 x 25 x 0,006 De otra forma: E Ri R i h cF r 2 h cF Q 1,49 W W T s - TF = (1 + )r = Ri = E = = = 1,976.10 7 = 2 h cF 2 k 2 k Ri A π x 0,002 2 x 0,006 m3 E Ri 1,976.10 7 x 0,002 = = = 790,4 ºC ⇒ Ts = 20 + 790,4 = 810,4ºC 2 h cF 2 x 25 c) Temperatura de los diámetros interior Ti y exterior Te de la camisa aleteada Ts - T i ºC Q= ⇒ Ti = Ts - Q R contacto = 80 - (1,49 W x 13,26 ) = 60,24ºC R contacto W Q=

Ti - Tb R camisa

⇒

Tb = Ti - Q R camisa = 60,24 - (1,49 W x 0,05377

ºC ) = 60,16ºC W

Temperatura en el extremo de la aleta pfernandezdiez.es

Aletas.IV.-105

€

T( ξ) - TF Ch{ Bi (1 - ξ)} 1 = = ξ=1 = Tb - T F Ch Bi Ch Bi

⇒ T(1) = T F +

Tb - TF 60,16 - 20 = 20 + = 59,37ºC Ch Bi Ch 0,03988

********************************************************************************************* IV.25.- Un dispositivo electrónico cilíndrico (k = 150 W/mºC) de dimensiones, R = 0,003 m y longitud a = 0,008 m, disipa al exterior el calor generado a través de una camisa que se inserta con 12 aletas triangulares longitudinales de aluminio (kaluminio= 200 W/mºC), siendo su radio exterior rb = 0,004 m. Las dimensiones de las aletas son: base = 0,8 mm; altura = 10 mm El coeficiente de convección es de 40 W/m2ºC La resistencia de contacto entre el dispositivo electrónico y la camisa es de 0,002 m2ºC/W El medio ambiente se encuentra a 15ºC Sabiendo que el centro del dispositivo electrónico no puede superar los 80ºC, determinar: a) El rendimiento de las aletas b) La temperatura de la superficie exterior del dispositivo electrónico y el calor disipado al exterior c) La temperatura en la base de las aletas y en su extremo d) La temperatura que adquiriría la superficie del dispositivo si no llevase aletas __________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN a) Rendimiento de las aletas.- Gráficamente se tiene: η=

2 G4 (β t ) = βt = βt

8 f h cF L2 = kb

8 x 1 x 40 x 0,012 = 0,4472 ⇒ G4 (β t ) = 0,22 = 0,984 = 98,4% 200 x 0,0008

que prácticamente es del 100%, ya que en este caso lo que interesa es disipar calor y no el efecto económico Analíticamente: I1 (2 n L ) 1 ⎛ β I (β ) ⎧ I 0 = 1,053 = n L = t ⎞ = 1 t 2 = β t = 0,447 ⇒ ⎨ = 0,977 = 97,7% 2 ⎠ ⎝ I 0 (β t ) β t I 0 (2 n L ) n L ⎩ I1 = 0,23 2 2 T centro - Tsup = ER {1 - ( 0 )} = E R c) Temperatura de la superficie del dispositivo: Tsup 4 k Tsup R 4 k Tsup Q R2 Q Q Q E R2 W π R 2a T sup = Tcentro = E= = = T centro = Tcentro = 2 3 4k V 4 k 4 π ak πR a m 80 - Tsup Q = 80 = 80 - 0,0663 Q ⇒ Q = 4 π x 0,008 x 150 0,0663 η=

que es una ecuación que relaciona Tsup con el calor Q Calor disipado al exterior: Calor disipado por 1 (aleta + tubo) = h cF (Atubo + µ Aaleta ) (Tb - Text )

0,002 ºK 0,002 m 2 ºK ºK W = 2 π R a W = 2 π x 0,003 x 0,008 = 13,26 W r 0,004 ln b ln Ri 0,003 ºK R camisa = = = 0,0286 2 π k al a 2 π x 200 x 0,008 W

R contacto = 0,002

S tubo = (2 π R b - 12 b) 0,008 = (2 π x 0,004 - 12 x 0,8.10 -3 ) 0,008 = 1,24.10 -4 m 2 1 R aletas = h (S = = cF tubo + µ S aleta ) Saletas = 12 (2 x 0,01) 0,008 = 1,92.10 -3 m 2 pfernandezdiez.es

Aletas.IV.-106

= Q=

1 ºK = 12,5 -3 W 40 {1,2426.10 + (0,977 x 1,92.10 )} -4

T sup - Text Tsup - 15 Tsup - 15 = = R contacto + R camisa + R aleta + tubo 13,26 + 0,0286 + 12,5 25,785

que es otra ecuación que relaciona Tsup con el calor Q. En consecuencia, se tiene un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, Tsup y Q: ⎧ Tsup = 79,83ºC (prácticamente la temperatura en el centro) ⎨ ⎩ Q = 2,51 W c) Temperatura en la base de las aletas Tsup - T b 79,83 - T b Q= = = 2,51 W ⇒ T b = 46,47ºC R contacto + R camisa 13,26 + 0,0286 Q=

80 - Tsup Tsup - 15 = 0,0663 25,785

⇒

Temperatura en el extremo libre de las aletas I 0 (0) TL - 15 Φ = 1 = = 0,95 = Φb 46,47 - 15 I 0 (2 n L ) 1,05258

⇒

TL = 44,85ºC

d) Temperatura que adquiriría el dispositivo electrónico de no llevar aletas:.- Entre el exterior del tubo y el medio ambiente se tiene Te - 15ºC 2,51 = ⇒ Te = 431,7ºC 1 40 x 2 π x 0,003 x 0,008 lo que motiva la colocación de estos elementos disipativos ********************************************************************************************* IV.26.- El par de conductores de un termopar tiene ambos hilos de cobre de (k = 385 W/mºK) de 0,25 mm de diámetro, embutidos en una capa aislante de polivinilo de k = 0,1 W/mºK de perímetro exterior 1,5 mm y sección 10-7 m2; la configuración de este tipo de hilo viene dada en la figura. La temperatura de los gases calientes es de 350ºK y la temperatura de la pared es de 300ºK. Determinar la longitud que deberá tener el hilo inmerso en la corriente de gases calientes para que el error de lectura en el termopar sea de 0,1ºK, sabiendo que el coeficiente de transferencia de calor hilos-gases calientes es de 30 W/m2ºK _________________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN Se puede suponer que la variación de temperatura en cada sección transversal a los hilos es pequeña comparada con la variación de temperatura a lo largo de los mismos, 50ºK. Por lo tanto este problema se puede equiparar al de una protuberancia de sección transversal uniforme. Para la distribución de temperaturas podemos tomar la correspondiente a una protuberancia con su extremo libre térmicamente aislado, de forma que, considerando toda la longitud del hilo L se tenga: h p L2 TL - TF = - 0,1ºK = 1 ; Bi = 47,7 = c Tb - TF 300 - 350 Ch Bi kS El valor de kS hay que evaluarlo para las resistencias térmicas de ambos hilos y del aislante, en paralelo. π (0,25 x 10 -3 ) 2 π d2 W Wm -8 Para el hilo: S hilo = = = 4,91.10 -8 m 2 ; k S hilo = 385 x 4,91.10 m 2 = 1,9.10 -5 4 4 mºK ºK W -7 2 -8 Wm -7 2 Para el aislante: Saisl = 10 m ; k Saisl = 0,1 x 10 m = 10 mºK ºK Se observa que la contribución del aislante kS es insignificante, por lo que su forma precisa o su composición son irrelevantes. h C p L2 30 (W/m 2 ºK ) x 0,0125 m x L2 Bi = 47,7 = = ⇒ L = 0,155 m kS 1,9.10 -5 ( Wm/ºK ) *********************************************************************************************

pfernandezdiez.es

Aletas.IV.-107

IV.27.- Una aleta recta de duraluminio (k = 187 W/mºK; ρ = 2770 kg/m3), tiene un perfil parabólico dado por la expresión: b x 3 x 2 z = ( ) 2 = b = 3 mm ; L = 20 mm = ( ) 2 L 2 20 Hallar a) El calor disipado por la aleta, y la eficiencia, cuando la temperatura en la base sea de 500ºK y la del medio exterior de 300ºK, sabiendo que el coeficiente de transferencia de calor es de 2800 W/m2ºK b) Masa de la aleta ________________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN a) Calor disipado: 4 hC Φb L 2 hC 4 x 2800 x 200 x 0,02 2 x 2800 = 99,91 = q= = m= = = 8750 W k b 187 x 0,003 m 2 2 2 2 1 + 1 + 4m L 1 + 1 + 4 (99,91 x 0,02 ) 2 = 1 + 4 m 2 L2 1+

2 = 0,39 ⇒ 39% 1+ 1 + 4 (99,912 x 0,02 2 ) b L ρ (1 m) = 0,003 x 0,02 m 2 x 2770 kg x (1 m ) = 0,0554 kg Masa de la aleta por 1 m de longitud: M = 3 3 m3

Eficiencia: η =

********************************************************************************************* IV.28.- Los intercambiadores de calor de placas perforadas se usan en sistemas de refrigeración criogénicos y consisten en un conjunto de placas de alta conductividad térmica, que van perforadas para que los fluidos circulen a través de ellas, y separadas por un aislante. El calor se transmite por conducción desde la corriente caliente a la corriente fría a través de las placas perforadas. Se puede suponer un intercambiador en contracorriente conformado por placas rectangulares de aluminio (k = 200 W/mºK), perforadas con orificios de 0,9 mm de diámetro dispuestos en disposición regular cuadrada, separados entre centros 1,3 mm, siendo las dimensiones de cada placa de 20 mm de ancho por 80 mm de longitud y 0,5 mm de espesor, separadas entre sí por un aislante de 0,85 mm de espesor; los dos grupos de placas perforadas caliente y fría van separadas por una placa de aluminio de 4 mm tal como se muestra en la figura. Determinar el coeficiente global de transmisión de calor entre los fluidos que circulan por los orificios de las placas calientes y las placas frías, sabiendo que el coeficiente de convección para ambos fluidos es de 400 W/m2ºK _________________________________________________________________________________________ RESOLUCIÓN Se puede suponer que las temperaturas de los fluidos permanecen constantes (cosa que no es verdad en un intercambiador de calor). La conducción de calor entre los fluidos se produce desde las placas perforadas superiores por las que, por ejemplo, circula el fluido caliente, hasta las placas perforadas inferiores por las que circula el fluido a calentar; dichas placas perforadas se pueden asimilar, por su pequeño espesor, a aletas, siendo el flujo de calor a lo largo de las placas unidimensional. El proceso de transferencia de calor de las placas calientes a las frías se puede asimilar considerando cada una de las placas calientes como una aleta, conectada a una pared de 4 mm de espesor yendo a continuación otra aleta constituida por cada una de las placas frías, de forma que el coeficiente global de transmisión de calor se puede interpretar en la forma: 1 1 + k e1W + h p b1 η = h p b2 η + k e1W UA = h pbη C

aleta

C

aleta

C

aleta

h h en la que p es el perímetro de la aleta y A la sección de intercambio térmico, de la forma: 2 W b π d2 Wb π d πde A = {2 W b ( 4 )} + 2 π d e = W b {2 - 2 ( c )2 + 2 } = c2 c c π 9 πx9x5 = (0,08 x 0,02) {2 - 2 ( 13 )2 + } = 0,003338 m 2 13 2 h p b2 Para calcular el n º de Biot de la forma: Bi = C , es necesario determinar p y S. kS A 0,003338 El perímetro p es = = = 0,1667 m b 0,02 pfernandezdiez.es

Aletas.IV.-108

b = 20 mm

Fluido caliente

h = 4 mm

Fluido frío

W = 80 mm

0,86 mm

e = 0,5

π d 2 /4 π x 9 2 /4 = = 0,376 = (0,08 x 0,0005) (1 - 0,376) = 2,496.10 -5 m 2 c2 13 2 hC p b 2 400 (W/m 2 ºC) x 0,167 m x 0,02 2 m 2 Bi = = = 5,35 kS 200 ( W/m ºC) x 2,496.10 -5 m 2 Th 5,35 Th Bi = = 0,424 Rendimiento de la aleta: η aleta = Bi 5,35 0,02 1 2 h 2 ºK = + = + = 3,537 + 0,5 = 4,037 UA h C p b η aleta keW 400 x 0,1667 x 0,02 x 0,424 200 x 0,0005 x 0,08 W 1 1 W U= = = 74,21 2 4,037 A 4,037 x 0,003338 m ºK ********************************************************************************************* S = W e (1 - ε v ) = ε v =

pfernandezdiez.es

Aletas.IV.-109