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DETERMINACIÓN DE ASÍNTOTAS EN UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito. Una definición más formal es: DEFINICIÓN : Si un punto (x, y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.  asíntotas verticales Las asíntotas pueden ser: asíntotas horizontales  asíntotas oblicuas 

ASÍNTOTAS VERTICALES Las asíntotas verticales son paralelas al eje OY:

 y → +∞   o  y → −∞ 

Entonces existe un número “a” tal que: lim f (x ) = +∞ o lim f (x ) = −∞ A. V. : x=a x→a

x→a

Procedimiento para determinar las asíntotas verticales de una función 1º Determinamos el dominio de la función, pues para los valores de x dónde deja de existir puede tener una asíntota vertical. 2º Si la función deja de existir en x=a, existirá vertical “ x=a “ si lim f (x ) = +∞ o lim f (x ) = −∞ . x→a

asíntota

x→a

Ejemplo 1: Determina las asíntotas verticales de y =

x 2 + 2x x2 − 4

1º Determinamos el dominio de la función, pues para los valores de x dónde deja de existir puede tener una asíntota vertical. Dominio: Función racional fraccionaria no existe si el denominador se anula x 2 − 4 = 0;

x = 2;

x = −2

D[ f ( x)] = ℜ − {−2 ,2}

Luego tiene como posible asíntotas verticales: ¿ x=2 y x=-2.?

1

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2º ¿ A.V. en x=2. ? ¿ lim f (x ) = +∞ o lim f (x ) = −∞ ? x→a

  lim− hay que hacer límites laterales  x → 2  lim  x → 2 +

lim

x + 2x 8 = x2 − 4 0

lim

x No existe x2 − 4

2

x→2

x→2

x→a

8 x2 + 2x = = −∞ 2 − 0 x −4 8 x2 + 2x = = +∞ 2 +0 x −4

Estos límites nos sirven para determinar que x=2 es ASÍNTOTA VERTICAL pues lim− f (x ) = −∞ y lim+ f (x ) = +∞ y con ellos también observamos las tendencias x→2

x→2

de la función (Observar gráfica) ¿ A.V. en x=-2. ? ¿ lim f (x ) = +∞ o lim f (x ) = −∞ ? x→a

x + 2x 2

lim

x → −2

x −4 2

=

0 0

⇒

x→a

x(x + 2 ) −2 1 x = lim = = x → −2 ( x + 2 )( x − 2 ) x → −2 x − 2 −4 2 lim

No hay asíntota vertical, en x=-2 la función es discontinua evitable. Gráfica:

2

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Ejemplo 2: Determina las asíntotas verticales de y =

x2

(x − 4 )2

1º Determinamos el dominio de la función, pues para los valores de x dónde deja de existir puede tener una asíntota vertical. Dominio: Función racional fraccionaria no existe si el denominador se anula

(x − 4)2 = 0;

x=4

D[ f ( x)] = ℜ − {4}

Luego tiene como posible asíntota vertical: ¿ x=4? 2º ¿ A.V. en x=4. ? ¿ lim f (x ) = +∞ o lim f (x ) = −∞ ? x→a

lim

x→2

x2

( x − 4 )2

x→a

4 = = +∞ +0

Este límite nos sirve para determinar que x=4 es ASÍNTOTA VERTICAL pues lim− f (x ) = +∞ y lim+ f (x ) = +∞ con ellos también observamos las tendencias de la x→4

x→4

función (Observar gráfica)

3

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Ejemplo 3: Determina las asíntotas verticales de y = log(− x + 4) 1º Determinamos el dominio de la función, pues para los valores de x dónde deja de existir puede tener una asíntota vertical. Dominio: Función logarítmica sólo existe si − x + 4 > 0 ⇒ − x > −4 ⇒ x < 4 luego D[ f ( x)] = ∀x ∈ (− ∞,4) Puede tener como asíntota vertical cuando se acerca a la izquierda de x=4 2º ¿ A.V. en x=4. ? ¿ lim f (x ) = +∞ o lim f (x ) = −∞ ? x→a

lim log(− x + 4) = log(+0) = −∞

x→4−

x→a

Este límite nos sirve para determinar

ASÍNTOTA VERTICAL, pues

lim f (x ) = −∞

x→4−

que

x=4 es

y con el también observamos

la

tendencia de la función (Observar gráfica)

4

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Ejemplo 4: Determina las asíntotas verticales de y = log( x 2 − 9) 1º Determinamos el dominio de la función, pues para los valores de x dónde deja de existir puede tener una asíntota vertical. Dominio: Función logarítmica sólo existe si x 2 − 9 > 0; Resolvemos la inecuación: x 2 − 9 > 0 ∀x ∈ (− ∞,−3) ⇒ x 2 − 9 > 0  x − 9 = 0 si x= 3 y si x= -3,  ∀x ∈ (− 3,3) ⇒ x 2 − 9 < 0  ∀x ∈ (3,+∞ ) ⇒ x 2 − 9 > 0  D[ f ( x)] = ∀x ∈ (−∞,−3) ∪ (3,+∞ ) 2

luego

Puede tener como asíntota vertical cuando se acerca a la izquierda de x=-3 y como asíntota vertical cuando se acerca a la derecha de x=3, por ser los valores dónde empieza a no existir. 2º ¿ A.V. en x=-3-. ? ¿ lim f (x ) = +∞ o lim f (x ) = −∞ ? x→a

x→a

lim log( x − 9) = log(+0) = −∞ 2

x → −3−

Este límite nos sirve para determinar que x=-3 es ASÍNTOTA VERTICAL, pues lim − f (x ) = −∞ y con el también observamos la tendencia de la función (Observar x → −3

gráfica) ¿ A.V. en x=3+. ? ¿ lim f (x ) = +∞ o lim f (x ) = −∞ ? x→a

x→a

lim log( x − 9) = log(+0) = −∞ 2

x →3 +

Este límite nos sirve para determinar que x=3 es ASÍNTOTA VERTICAL, pues lim+ f (x ) = −∞ y con el también observamos la tendencia de la función (Observar x →3

gráfica)

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ASÍNTOTAS HORIZONTALES Las asíntotas horizontales son paralelas al eje OX: Si existe lim f (x ) = k ∈ ℜ o x → +∞

lim f (x ) = k ∈ ℜ

x → −∞

 x → +∞   o  x → −∞ 

entonces “y=k” será una asíntota

horizontal.

Procedimiento para determinar las asíntotas horizontales de una función Se calcula

el

lim f (x )

x → +∞

y

lim f (x )

x → −∞

si alguno de ellos toma un

valor finito “k”, existirá asíntota horizontal y=k. Nota: -

En el caso de funciones del tipo y =

P( x)  P( x)  Q( x) Q( x)

polinomio polinomio

horizontal si “grado de P(x) ≤ grado de Q(x)”. = lim f (x ) =k lim f (x ) x → +∞

-

En estos casos:

x → −∞

En el caso de funciones del tipo exponencial y = a f ( x ) existirá asíntota 0 < a < 1 y y  a >1

horizontal “y=0” si  -

existirá asíntota

f ( x) → +∞ f ( x) → −∞

Para determinar la posición relativa de la curva hacemos lo siguiente: Y1=f(x)

x=100

y = f (100)

x=-100

y = f (−100)

Y1 - K Y1- K > 0 Y1- K < 0 Y1- K > 0 Y1- K < 0

y la asíntota “y=k”

Situación relativa de la gráfica y la asíntota La gráfica esta por encima de la asíntota en el +∞ La gráfica esta por debajo de la asíntota en el +∞ La gráfica esta por encima de la asíntota en el -∞ La gráfica esta por debajo de la asíntota en el -∞

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Ejemplo 5: Determina las asíntotas horizontales de y = lim f (x )

1º Se calcula el

x → +∞

:

lim

x → +∞

1− x x

2

=

−∞ ∞

lim

−x

x → +∞

x

2

= lim

x → +∞

1− x x2

−1 −1 = = −0 x +∞

El -0 indica que la curva se encuentra por debajo de la asíntota y=0 2º Tenemos dos opciones: - Calcular lim

x → −∞

1− x x2 x

= por

−x

lim

x → −∞

1+ x x2

=

−∞ ∞

lim

x → +∞

x 1 1 = lim = = +0 x 2 x → +∞ x + ∞

El +0 indica que la curva se encuentra por encima de la asíntota y=0 - O directamente calculamos la posición relativa de la gráfica y la asíntota: y=

1− x x

x=100

y1 =

x=-100

y1 =

2

1 − 100 = −0,0099 100 2 1 + 100

(− 100)2

= 0,0101

Y1-k

Situación relativa de la gráfica y la asíntota

-0,0099-0 0

La gráfica esta por encima de la asíntota en el -∞

(como se observa en la gráfica adjunta)

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Ejemplo 6: Determina las asíntotas horizontales de y = 1º Se calcula el lim f (x )

2x2 x2 − 4

x → +∞

2

lim

x → +∞

2x2 = 2 Luego “y=2” será una asíntota horizontal. x → +∞ x 2

2x = x2 − 4 ∞

lim

∞

2º Se determina la posición relativa de la gráfica y la asíntota: y=

x=100

y=

2x2 x2 − 4

2(100)2

(100)2 − 4

=

Y1- 2

Situación relativa de la gráfica y la asíntota

2,00080032-2>0

La gráfica esta por encima de la asíntota en el +∞

2,00080032-2>0

La gráfica esta por encima de la asíntota en el -∞

2,00080032 x=-100

y=

2(− 100)2

(− 100)2 − 4

=

2,00080032 > 2

(como se observa en la gráfica adjunta)

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Ejemplo 7: Determina las asíntotas horizontales de y =

x 2 + 2x x2 − 4

(ejemplo 1)

1º Se calcula el lim f (x ) x → +∞

x + 2x = x2 − 4 ∞ 2

lim

x → +∞

lim

x → +∞

∞

x2 = 1 Luego “y=1” será una asíntota horizontal. x2

2º Se determina la posición relativa de la gráfica y la asíntota: y=

x=100

y=

x 2 + 2x x −4 2

(100) + 2.100 = (100)2 − 4

Y1- 1

Situación relativa de la gráfica y la asíntota

1,020408163-1>0

La gráfica esta por encima de la asíntota en el +∞

0,9803921-1 < 0

La gráfica esta por debajo de la asíntota en el -∞

2

1,020408163 x=-100

y=

(100)2 − 2.100 = (100)2 − 4

0,9803921569

(como se observa en la gráfica adjunta)

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Ejemplo 8: Determina las asíntotas horizontales de y =

− 2x2 + x − 8 x2 + 4

1º Se calcula el lim f (x ) x → +∞

− 2x + x − 8 = ∞ x → +∞ x2 + 4 2

lim

∞

− 2x2 = −2 Luego “y=-2” será una asíntota horizontal. x → +∞ x 2 lim

2º Se determina la posición relativa de la gráfica y la asíntota: y=

x=100

y=

− 2x2 + x − 8 x2 + 4

− 2.(100)2 + 100 − 8

(− 100)2 + 4

=

Y1-(-2)

Situación relativa de la gráfica y la asíntota

-1,990003998+2>0

La gráfica esta por encima de la asíntota en el +∞

-2,00999960+2 < 0

La gráfica esta por debajo de la asíntota en el -∞

− 1,990003998 x=-100

y=

− 2.(− 100)2 − 100 − 8

(− 100)2 + 4

=

− 2,0099996002

(como se observa en la gráfica adjunta)

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Ejemplo 9: Determina las asíntotas horizontales de y = 10 + 3 x . Nota: En este caso por no ser una función del tipo y =

calcular lim f (x )

y

x → +∞

lim f (x ) :

x → −∞

lim f (x )

1º Se calcula el

x → +∞

:

(

P( x)  P( x)  Q( x) Q( x)

polinomio polinomio

hay que

)

lim 10 + 3 x = 10 + 3+∞ = +∞ Luego no existe asíntota

x → +∞

horizontal en el +∞. (como se observa en la gráfica adjunta) 2º Se calcula el lim f (x ) :

(

lim 10 + 3 x

x → −∞

)

x → −∞

(x

= por

− x)

(

)

lim 10 + 3− x = 10 + 3− ∞ = 10 +

x → +∞

1 3

+∞

= 10 +

1 = 10 + 0 = 10 +∞

Luego “y=10” será una asíntota horizontal. 3º Posición relativa de la gráfica y la asíntota.

x=-100

y = 10 + 3 x

Y1-(10)

y = 10 + 3−100

10 + 3−100 − 10 > 0

Situación relativa de la gráfica y la asíntota La gráfica esta por encima de la asíntota en el -∞

(como se observa en la gráfica adjunta)

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Ejemplo 10: Determina las asíntotas horizontales de y = 3− x

2

+1

.

P( x)  P( x) Nota: En este caso por no ser una función del tipo y =  Q( x) Q( x)

calcular lim f (x ) x → +∞

y

polinomio hay que polinomio

lim f (x ) :

x → −∞

1º Se calcula el lim f (x ) x → +∞

:

lim 3− x

2

+1

x → +∞

= 3− ∞ =

1 1 = = +0 3+ ∞ + ∞

Luego “y=0” será una asíntota horizontal y el “+0” del límite indica que la gráfica está por encima de la asíntota en el +∞. (como se observa en la gráfica adjunta) 2º Se calcula el lim f (x ) x → −∞

: lim 3− x x → −∞

2

+1

(x

= por

− x)

lim 3− x

x → +∞

2

+1

= 3− ∞ =

1 3

+∞

=

1 = +0 +∞

Luego “y=0” será una asíntota horizontal y el “+0” del límite indica que la gráfica está por encima de la asíntota en el +∞. (como se observa en la gráfica adjunta)

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ASÍNTOTAS OBLICUAS Son rectas asíntotas a una función del tipo y = mx + n siendo Si una función tiene asíntotas horizontales no tiene oblicuas.

m≠0

Procedimiento para determinar las asíntotas oblicuas de una función f (x ) f (x ) 1º Se calcula m: m = lim ∈ ℜ y m ≠ 0 o m = lim ∈ℜ y m ≠ 0 x → +∞

x

2º Se calcula n: n = lim ( f ( x) − mx ) x → +∞

x → −∞ x si n ∈ ℜ o n = lim ( f ( x) − mx ) si n ∈ ℜ x → −∞

Nota: - Si una función tiene asíntotas horizontales no tiene oblicuas. -

En el caso de funciones del tipo y =

P( x)  P( x)  Q( x) Q( x)

polinomio polinomio

existirá asíntota

oblicua si “grado de P(x) = grado de Q(x) + 1 ”. -

Si m ≠ 0 en el caso de funciones del tipo y =

P( x)  P( x)  Q( x) Q( x)

polinomio polinomio

este

valor es el mismo cuando x →+∞ y x →-∞, por lo tanto sólo es necesario calcular el valor cuando x →+∞. 3º Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota hacemos lo siguiente: Y1=f(x)

Y2=mx+n

x=100

y1= f (100)

y 2 = 100m + n

x=-100

y1= f (−100)

y 2 = −100m + n

Y1 - Y2 Y1- Y2 > 0 Y1- Y2 < 0 Y1- Y2 > 0 Y1- Y2 < 0

Situación relativa de la gráfica y la asíntota La gráfica esta por encima de la asíntota en el +∞ La gráfica esta por debajo de la asíntota en el +∞ La gráfica esta por encima de la asíntota en el -∞ La gráfica esta por debajo de la asíntota en el -∞

Ejemplo11: Determina las asíntotas oblicuas de y = 1º Se calcula “m”: x2 m = lim 2 x − 2 x → +∞ x

-

x2 2x − 2

x2 x2 1 = lim = x → +∞ 2 x 2 − 2 x ∞ x → +∞ 2 x 2 2

= lim

∞

Si m≠0 en el caso de funciones del tipo y =

P( x)  P( x)  Q( x) Q( x)

polinomio este valor polinomio

es el mismo cuando x →+∞ y x →-∞ por lo tanto sólo es necesario calcular el valor cuando x →+∞. Por lo tanto existe una asíntota oblicua y =

1 1 x+n→ n = y− x 2 2

2º Se calcula el “n”:

13

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 x2 n = lim  − x → +∞ 2 x − 2 

x  x2 − x2 + x = lim  x → +∞ 2( x − 1) 2

=

lim

x → +∞

x x 1 = lim = 2 x − 2 ∞ x → +∞ 2 x 2 ∞

1 1 Luego “ y = x + ” será una asíntota oblicua. 2 2

Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota hacemos lo siguiente: x2 2x − 2 100 2 y1 = = 2.100 − 2 50,505050... y=

x=100

x=-100

y1 =

(− 100)2 2.(− 100) − 2

− 49,5049505...

y=

1 1 x+ 2 2

Y1- Y2

situación

100 1 + 2 2 = 50,5

50,505050.... − 50,5 > 0

−100 1 + 2 2 = −49,5

− 49,5049505 − (− 49,5) < 0

y2=

= y2=

-

La gráfica esta por encima de la asíntota en el +∞

La gráfica esta por debajo de la asíntota en el -∞

( como se observa en la gráfica adjunta)

Ejemplo 12: Determina las asíntotas oblicuas de y = 1º Se calcula “m”: x3 2 m = lim x + 9 x → +∞ x

-

= lim

x → +∞

x3 x2 + 9

x3 =1 x3 + 9 x

Si m≠0 en el caso de funciones del tipo y =

P( x)  P( x)  Q( x) Q( x)

polinomio este valor polinomio

es el mismo cuando x →+∞ y x →-∞ por lo tanto sólo es necesario calcular el valor cuando x →+∞. Por lo tanto existe una asíntota oblicua y = x+n → n = y -x 2º Se calcula el “n”:

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 x3  − 9x n = lim  2 − x  = lim 2 x → +∞ x + 9 x → +∞ x + 9  

= ∞ ∞

lim

x → +∞

− 9x −9 = lim = −0 x → +∞ x x2

Luego “y=x” será una asíntota oblicua. Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota hacemos lo siguiente: y=

x=100

x2 + 9

1003 = 100 2 + 9 99,91008093 y1 =

y1 = x=-100

x3

(− 100)3 (− 100)2 + 9

− 99,91008093

Y=x

Y1- Y2

y 2 = 100

99,91008093 − 100 < 0

y 2 = −100

− 99,91008093 − (− 100) > 0

-

situación

La gráfica esta por debajo de la asíntota en el +∞

La gráfica esta por encima de la asíntota en el -∞

( como se observa en la gráfica adjunta)

15

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Ejemplo 13: Determina las asíntotas oblicuas de y = x 2 − 9 A) cuando x →+∞. 1º Se calcula “m” : m = lim

x → +∞

x2 − 9 x

x2 =1 x

= lim

∞ x → +∞ ∞

Por lo tanto existe una asíntota oblicua y = x+n → n = y -x

2º Se calcula el “n”: n = lim  x 2 − 9 − x  x → +∞ 

 x 2 − 9 − x  x 2 − 9 + x       lim  2 x → +∞ x −9 + x

=

∞ −∞

=

lim

x → +∞

−9 x2 − 9 + x

=

−9 = −0 +∞

Luego “y=x” será una asíntota oblicua. Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota hacemos lo siguiente: Y=x

y = x2 − 9 y1= 100 2 − 9

=

y 2 = 100

99,95498987

x=100

Y1- Y2

99,95498987 − 100 < 0

situación La gráfica esta por debajo de la asíntota en el +∞

( como se observa en la gráfica adjunta) B) cuando x →-∞. 1º Se calcula “m” : m = lim

x → −∞

x2 − 9 x

= x

por

−x

lim

x → −∞

x2 − 9 −x

= lim

∞ x → +∞ −∞

x2 = −1 −x

Por lo tanto existe una asíntota oblicua y =- x+n → n = y +x

2º Se calcula el “n”: n = lim  x 2 − 9 + x  x → −∞ x lim

x → +∞

−9 x −9 + x 2

=

= por

−x

lim  x 2 − 9 − x  = x → +∞  ∞ −∞

 x 2 − 9 − x  x 2 − 9 + x       lim  2 x → +∞ x −9 + x

=

−9 = −0 +∞

Luego “y=-x” será una asíntota oblicua. Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota hacemos lo siguiente: y = x2 − 9 y1 = x=-100

(− 100)2 − 9

99,95498987

Y=-x

y 2 = +100

Y1- Y2

99,95498987 − 100 < 0

situación La gráfica esta por debajo de la asíntota en el +∞

16

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( como se observa en la gráfica adjunta)

Ejemplo 14: Determina las asíntotas oblicuas de y = 4 x + 3 x 2 − 1 A) cuando x →+∞. 1º Se calcula “m” : 4x + 3 x2 − 1 x → +∞ x

m = lim

= ∞ ∞

4x + 3 x2 7x = lim =7 x → +∞ x → +∞ x x lim

Por lo tanto existe una asíntota oblicua y = 7x+n → n = y -7x 2º Se calcula el “n”: n = lim  4 x + 3 x 2 − 9 − 7 x  = lim  3 x 2 − 9 − 3 x  = x → +∞ x → +∞   ∞ −∞ lim

x → +∞

− 27 3 x − 9 + 3x 2

=

 3 x 2 − 9 − 3 x  3 x 2 − 9 + 3 x       lim  2 x → +∞ 3 x − 9 + 3x

=

− 27 = −0 +∞

Luego “y=7x” será una asíntota oblicua. Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota hacemos lo siguiente: y = 4x + 3 x2 − 1 y1= 400 + 3 100 2 − x=100

= 699,9849996

Y=7x

y 2 = 700

Y1- Y2

699,9849996 − 100 < 0

situación

La gráfica esta por debajo de la asíntota en el +∞

( como se observa en la gráfica adjunta)

17

Departamento de Matemáticas

B) cuando x →-∞. 1º Se calcula “m” : 4x + 3 x2 − 1 x → −∞ x x

m = lim

= por

−x

− 4x + 3 x2 − 1 x → −∞ −x lim

− 4x + 3 x2 −x = lim =1 ∞ x → +∞ x → +∞ − x −x

= lim ∞

Por lo tanto existe una asíntota oblicua y = x+n → n = y -x

2º Se calcula el “n”: n = lim  4 x + 3 x 2 − 1 − x  x → −∞ x lim

x → +∞

−3 3 x − 1 + 3x 2

=

= por

−x

lim  − 4 x + 3 x 2 − 1 + x  = x → +∞  ∞ −∞

 3 x 2 − 1 − 3 x  3 x 2 − 1 + 3 x       lim  2 x → +∞ 3 x − 1 + 3x

−3 = −0 +∞

Luego “y=x” será una asíntota oblicua. Para determinar la posición relativa de la curva y la asíntota hacemos lo siguiente: y = 4x + 3 x2 − 1

Y=x

y1= −400 + x=-100

3 (− 100)2 − 1 =

y 2 = −100

Y1- Y2

− 100.0150004 − (− 100) < 0

situación La gráfica esta por debajo de la asíntota en el +∞

− 100.0150004

( como se observa en la gráfica adjunta)

18

=