Profr. Efraín Soto Apolinar.

Lenguaje algebraico Las matemáticas son un lenguaje, hecho por los humanos para los humanos. Como todo lenguaje, tiene sus reglas, y si conoces sus reglas, podrás entender todas las matemáticas. Evidentemente, la base está en este lenguaje que nos ayuda a describir con palabras lo que dicen los objetos matemáticos, es decir, las ecuaciones, funciones, gráficas, vectores, etc. Para poder entender las matemáticas más elementales, debes conocer el significado de las siguientes palabras: Palabra

Significa

Suma Diferencia Producto Cociente Doble, triple,... Mitad, tercio,... Cuadrado Cubo Cuarta potencia Raíz cuadrada Raíz cúbica

resultado de una suma resultado de una resta resultado de una multiplicación resultado de una división multiplicar por 2, 3, etc. dividir entre 2, 3, etc. resultado de elevar al cuadrado resultado de elevar al cubo elevar a la potencia 4 calcular raíz cuadrada calcular raíz cúbica

En realidad esta lista ya debes conocerla. Cuando una persona te pide: «suma 3 al número 2», en realidad entiendes lo que debes hacer. Sin embargo, algunas palabras prácticamente nunca las utilizamos, a pesar de que ya sabemos realizar la operación. Traduce a lenguaje matemático, es decir, a una expresión algebraica, el siguiente enunciado: Ejemplo 1

El doble de un número menos el cuadrado de otro.

• Vamos a trabajar con dos cantidades desconocidas, la primera la llamaremos x y a la segunda y. • Como ya sabemos, la palabra “doble” nos indica que multipliquemos por dos: 2 x indica el doble del primer número. • “El cuadrado del otro” quiere decir: “multiplica el número por sí mismo dos veces”, es decir, “elevalo al cuadrado”. • Entonces, la expresión algebraica que expresa matemáticamente esa frase es: y2 . • Finalmente, la frase “El doble de un número menos el cuadrado de otro”, matemáticamente se escribe: 2 x − y2 • Con lo que hemos traducido al lenuaje matemático la frase.

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Elevar cuadrado significa tiplicar 2.

al NO mulpor

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Cualquier expresión matemática, por más compleja que parezca, siempre puede expresarse en palabras a través del lenguaje algebraico. Otras palabras que se usan frecuentemente en el lenguaje algebraico son las siguientes:

Ejemplo 2

Palabra

Significa

Aumentado Disminuido Razón Proporción Incrementado Semi

más o sumado a menos o restado de cociente cociente sumado mitad de...

Traduce a una expresión matemática la siguiente frase: «El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de uno de sus lados.» • Primero debemos notar que se está hablando de una fórmula de geometría. • Necesitamos una literal para denotar el área del cuadrado. • Por similitud, utilizaremos A. • Y para denotar la longitud del lado del cuadrado usaremos l. • Entonces, el área (A) la encontramos elevando al cuadrado la longitud del lado (l): A = l2 • Esta es la fórmula que nos expresa matemáticamente la frase que nos pidieron traducir al lenguaje algebraico.

Seguramente ahora podrás reconocer las fórmulas de geometría como expresiones que nos dan información acerca de las figuras a las cuales corresponden. La fórmula del área del círculo, por ejemplo: A = π r2 nos indica que su área depende solamente de una medida: su radio. Esto es semejante al caso del cuadrado: su área solamente depende de la longitud de uno de sus lados. Ejemplo 3

Traduce a una expresión matemática la siguiente información:«Carlos tiene 6 canicas más que Benjamín. Entre los dos tienen en total 78 canicas.» • Vamos a utilizar la letra C para denotar la cantidad de canicas que tiene Carlos. • Y B servirá para denotar la cantidad de canicas que tiene Benjamín. • Sabemos que Carlos tiene 6 canicas más que Benjamín, así que si sumamos 6 al número B obtenemos lo que tiene Carlos: C = B+6 • Si sumamos las dos cantidades, obtenemos lo que tienen los dos juntos, en este caso, 78 canicas: B + C = 78 www.aprendematematicas.org.mx

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• Pero ya habíamos encontrado que C = B + 6, por lo que podemos escribir también: B + ( B + 6) = 78 • Cualquiera de las dos ecuaciones sirve como solución al texto dado en el encabezado del ejemplo. • Más adelante estudiaremos cómo resolver estas ecuaciones.

Es importante que notes que dos ecuaciones distintas en el ejemplo anterior pueden servir para expresar exactamente la misma situación. Cuál utilizar dependerá de la situación en la que nos encontremos. Observa que algunas veces podemos expresar la misma información de varias maneras distintas. Después de todo, las matemáticas son un lenguaje. Expresa en forma de una ecuación la siguiente información: «Un rectángulo tiene un área de 84 metros cuadrados. Sabemos que su base mide 5 metros más que su altura.»

Ejemplo 4

• Denotemos con una literal la altura del rectángulo, por ejemplo, h. • Para nosotros la letra h representa los metros que mide la altura del rectángulo. • El texto nos dice que la base mide 5 metros más, es decir, tengo que sumar 5 a la altura para obtener lo que mide la base: b = h+5 • Además, sabemos que el área del rectángulo es igual a 84 metros cuadrados. Entonces:

= base × altura A = b · h = ( h + 5) · h 84 = (h + 5) · h

Área

• Esta ecuación expresa matemáticamente el texto que se dio en el encabezado del ejemplo.

El ejemplo anterior nos dice algo importante: las expresiones matemáticas nos dan información acerca de algún proceso. En este caso, la ecuación (h + 5) · h = 84 nos indica las condiciones para que el área de un rectángulo sea igual a 84 unidades cuadradas si su base mide 5 unidades más que su altura. No siempre es así de fácil obtener información de una ecuación, pero cuando sea posible, es importante reconocerla porque así tendremos mayor información acerca del problema que estamos resolviendo. Escribe en palabras la siguiente expresión algebraica: Ejemplo 5

x+y x−y

• Primero observamos que se trata de la división de dos cantidades, • La cantidad que está en el numerador es la suma de dos números, www.aprendematematicas.org.mx

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• y la cantidad que está en el denominador es la diferencia de los mismos números. • Ahora, debemos recordar que el resultado de una división, en matemáticas se llama: cociente. • Entonces,

x+y x−y

se lee: El cociente de la suma de dos números entre su diferencia.

El lenguaje algebraico es la forma como expresamos los procedimientos para resolver problemas matemáticos de todas sus áreas. Continuamos con la aplicación del lenguaje algebraico en la solución de problemas aritméticos y geométricos.

Algoritmos aritméticos y geométricos El lenguaje algebraico nos ayuda a expresar en palabras ecuaciones o a escribir en forma de ecuación una o varias operaciones que debemos realizar con algunas cantidades. Ejemplo 6

Escribe en forma de expresión algebraica el siguiente juego: Piensa un número, sumale dos; al resultado multiplícalo por 3, después réstale 6. Calcula la tercera parte de ese resultado y obtienes el número que pensaste.

• Primero debemos definir el número que pensó: x. • A ese número le van a sumar 2, así obtenemos: x + 2. • Al resultado van a multiplicarlo por 3, con lo que obtenemos: 3 ( x + 2). • Después le restan 6, y así se obtiene: 3 ( x + 2) − 6. • Finalmente, dividimos entre 3, esto se denota por: 3 ( x + 2) − 6 3 • Y terminamos.

Es importante que observes que cuando multiplican por 3, no escriben: 3 x + 2, porque en este caso, estamos multiplicando por 3 el número que pensaron y al resultado le sumamos dos. Para que te convenzas que los resultados son distintos, puedes considerar distintos valores y verás que no obtienes el mismo resultado. Por ejemplo, digamos que pensaste el número 10. Si sumamos 2 obtenemos 12, y después multiplicamos por 3 para obtener 36. Por otra parte si multiplicas 3 por 10 (el número que pensaste, sin sumar 2) obtienes 30, y después sumamos 2 para obtener 32. Como ya sabemos 36 6= 32. En matemáticas, cuando se explica un resultado, necesariamente debemos utilizar palabras que indiquen cada objeto o idea.

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Si no memorizas los significados de las palabras que aparecen en las tablas dadas anteriormente, no podrás aprovechar tus cursos de matemáticas, incluyendo éste. Explica si es correcta o incorrecta la siguiente aseveración: Ejemplo 7 El promedio de dos números es igual a su semisuma.

• Calculamos el promedio sumando los números y dividiendo entre el número de datos. • En este caso estamos hablando de 2 números, • ...entonces, el promedio en este caso es: x+y 2 • Por otra parte, «semi» significa mitad, es decir, dividir entre dos. • La semi suma de los números indica que debemos dividir entre dos la suma de los números... • y eso es precisamente lo que escribimos: x+y 2 • Esto nos indica que la aseveración es correcta.

Una paquete de galletas indica en la tabla de especificaciones nutricionales que cada galleta contiene 54.5 kilocalorías (kCal). Pedro también compró 250 mL de una bebida que contenía 505 kCal en total. Si él se tomó los 250 mL de bebida y además comió n galletas. (a) ¿Cuántas kilocalorías ingirió? (b) Traduce a lenguaje algebraico la expresión obtenida.

• Este es un problema clásico de dieta. • Llamemos C la cantidad de kilocalorías que ingirió Pedro. • Las kCal que ingirió al tomar la bebida son 545 kCal. • Hasta ahora, considerando solamente las kCal ingeridas debido a la bebida son: C = 505 • Pero no es lo único que ingirió... También comió n galletas. • Sabemos que cada galleta le provee de 54.5 kCal. • Si él come solamente una galleta, ingiere 54.5 kCal, • Si come dos galletas, ingiere (54.5)(2) kCal, • Si come tres galletas, ingiere (54.5)(3) kCal, etc., • Y en general, si come n galletas, está ingiriendo (54.5 · n) kCal.

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Ejemplo 8

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• Entonces, considerando la bebida, más las galletas que comió, en total ingirió: C = 505 + 54.5 n • Una vez que conozcamos el valor de n, el número de galletas que comió, podremos conocer el total de kCal que ingirió. • Ahora traducimos al lenguaje algebraico esta expresión: Comentario

Ejemplo 9

El número de kilocalorías que ingirió Pedro es igual a 505 kCal, que ingirió por tomar 250 mL de una bebida, aumentado con el producto de las kCal que contiene una galleta, es decir, 54.5 kCal, por el número de galletas que ingiera, que hemos denotado por n.

Un truco para multiplicar por 9 mentalmente. • Cuando tengas que multiplicar por 9, es mejor agregar un cero a la derecha del otro factor y restar el factor del número así obtenido. • Por ejemplo, 9 × 123 = 1 230 − 123 = 1 107. • La justificación de este procedimiento es muy sencilla. Cuando multiplicamos un número k por 9, en realidad estamos sumando k + k + · · · + k nueve veces. • Cuando agregamos un cero a la derecha del número k, obtenemos el resultado de multiplicarlo por 10. • Cuando restamos k a este resultado, obtenemos 9 k. • Es decir, 10 k − k = 9 k.

Debes recordar que multiplicar significa sumar de una manera abreviada. Por ejemplo, si multiplicas 3 × 4, en realidad estás sumando 3 + 3 + 3 + 3, o bien, 4 + 4 + 4. En ambos casos obtienes el mismo resultado porque 3 × 4 = 4 × 3. Ejemplo 10

Multiplicar un número por 99 mentalmente. • Este caso es similar al anterior: agregamos dos ceros a la derecha del otro factor y restamos el número. • Por ejemplo: 99 × 23 = 2 300 − 23 = 2 277. • La justificación está en que 100 = 99 − 1. • Es decir, multiplicamos 100 por el otro factor y después lo restamos, con lo que terminamos multiplicando por 99. 99 k = 100 k − k • Ahora generaliza este procedimiento para poder multiplicar por cualquier número cuyos dígitos sean solamente nueves.

Ejemplo 11

Multiplicar un número de dos cifras por 11

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• La regla es muy sencilla. Sumar las dos cifras, y escribir el número en medio de las cifras. • Cuando la suma es mayor o igual a 10, escribe en medio la cifra de las unidades (de la suma) y suma uno a la cifra de las decenas para escribirlo en las centenas. • Por ejemplo: 11 × 23 = 253. • Este truco se explica fácilmente cuando se desarrolla la multiplicación de manera convencional. 2 × 1 2 2 3 2 5

3 1 3 3

• Siempre quedan «en medio» los dígitos del número y se deben sumar. Por eso, cuando la suma es mayor o igual a 10, debemos escribir el dígito de las unidades (de la suma) y sumar uno al dígito de las decenas para escribirlo en las centenas. • Otra forma alternativa de realizar esta misma multiplicación consiste en agregar un cero a la derecha del número, que equivale a multiplicar por 10, y después sumar el número. En el caso del ejemplo anterior, tendremos: 11 × 23 = 230 + 23 • La justificación de este procedimiento se da con la ley distributiva para los números reales: 11 × 23 = 23 × 11 = 23 × (10 + 1) = 230 + 23

Con el procedimiento utilizado para multiplicar por 11, encuentra un método para multiplicar por 22, 33, etc. Multiplicar por un número entre 12 y 20 mentalmente.

Ejemplo 12

• Para realizar el cálculo mental de (13)(45) multiplicamos solamente por la cifra de las unidades del número entre 12 y 20, agregamos un cero al 45 y sumamos los resultados:

(13)(45) = 450 + 135 = 585

• La justificación de este procedimiento también está en la ley distributiva:

(13)(45) = (45)(13) = (45)(10 + 3) = (45)(10) + (45)(3) • Al multiplicar (45)(10) estamos agregando un cero a la derecha del número 45, y a este resultado le sumamos (45)(3). • En general, si vamos a multiplicar el número a por 10 + k, aplicamos de nuevo la ley distributiva y obtenemos: (10 + k)( a) = (10)( a) + (k)( a) www.aprendematematicas.org.mx

Reto 1

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• Ahora debes deducir un método como el que se explica en la multiplicación por 11, donde acomodes los números para sumarlos.

Ejemplo 13

Multiplicar por 15 mentalmente.

• La multiplicación por 15 es muy sencilla: agregamos un cero al otro factor y después sumamos la mitad del número que obtuvimos. • Por ejemplo, para multiplicar (15)(37), agregamos un cero al 37 y obtenemos 370, después sumamos a este número su mitad, es decir, 185. Entonces,

(15)(37) = 370 + 185 = 555 • Lo que justifica este procedimiento consiste en que al agregar un cero al otro factor (37 en este caso), equivale a haberlo multiplicado por 10. • Cuando calculamos la mitad de este número, en realidad estamos calculando el resultado de multiplicar el factor (37) por cinco, porque:

(37)( 1 0) = (37)(5) 2
• Entonces, si necesitamos multiplicar el número k por 15, agregamos un cero a la derecha del número k, y a ese resultado le sacamos mitad. • Sumamos estos dos últimos números y terminamos.

Ejemplo 14

Multiplicar por un número que termina en 9 mentalmente.

• Como es muy fácil multiplicar por un número que es múltiplo de 10, cuando debemos multiplicar por un número que termina en 9, es muy buena idea sumar 1 a ese número, realizar la multiplicación y después restar el otro factor. • Esto porque: m · (10 k + [9]) = m · (10 k + [10 − 1]) = m · (10 (k + 1) − 1) = 10 (k + 1) m − m donde hemos aplicado la ley distributiva para los números. • Por ejemplo,

(29)(47) = (30)(47) − 47 = (3)(470) − 47 = 1 410 − 47 = 1 363 • Ahora explica (utilizando la ley distributiva) la justificación de este procedimiento.

Ejemplo 15

Multiplicar por 50 mentalmente. • Por ejemplo, multiplicar 17 × 50. www.aprendematematicas.org.mx

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• Es muy sencillo multiplicar por 100, pues solamente agregamos dos ceros a la derecha del otro factor. • Sabemos que (2)(50) = 100, entonces, para multiplicar por 50, basta hacer:     100 1 700 2 (17)(50) = (17)(50) · = (17) · = = 850 2 2 2 Dividir por 5 mentalmente.

Ejemplo 16

• Dado que dividir por 10 significa correr el punto decimal un lugar a la izquierda, y que 10 = (2)(5), mejor multiplicamos por 2 y al resultado le corremos el punto decimal un lugar a la izquierda. • Por ejemplo, 37 = (37) 5

    1 2 (37)(2) 74 = (37) = = = 7.4 5 10 10 10

• La justificación del procedimiento para dividir por 5 es similar al truco anterior. • Supongamos que queremos dividir al número k entre 5. Es decir, queremos encontrar: k 2·k = 5 10 • Esta expresión indica: «Duplica al dividendo (es decir, el numerador de la fracción) y al resultado córrele el punto decimal un lugar a la izquierda.»

Encuentra un procedimiento para multiplicar cualquier número por un divisor de 100 mentalmente.

Reto 2

Para resolver el reto puedes tomar algunas ideas del ejemplo donde se explica cómo multiplicar por 50. Observa cómo puedes generalizar esta idea para los demás divisores de 100.

Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.

Albert Einstein

Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor.

Autor: Efraín Soto Apolinar. www.aprendematematicas.org.mx

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Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 2010 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 22 de agosto de 2010. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010. Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita.

Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: [email protected]

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