PROGRAMACIÓN LINEAL

Los estadounidenses George B. Dantzig (1914-2005), considerado padre de la Programación Lineal, y John Von Neumann (1903-1957), y el ruso Leonid Kantoróvich (1912-1986), tres de los más destacados desarrolladores de la teoría de la Programación Lineal.

MATEMÁTICAS aplicadas a las CC.SS. II Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. de Matemáticas

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I. INTRODUCCIÓN En este tema vamos a ver, a nivel básico, la teoría de Programación Lineal (PL). A grandes rasgos, «se trata de optimizar (maximizar o minimizar, según dependa) una expresión lineal (que puede reflejar beneficios, gastos, tiempo...) sometida a una serie de restricciones (dinero, recursos, o personal disponibles, etc) que vienen definidas por inecuaciones lineales». Conviene saber que la PL ha tenido y tiene importantes aplicaciones en industria y economía: problemas de mezclas, nutrición de animales, distribución de factorías, ubicación de personal en distintos puestos de trabajo, almacenaje óptimo, planes de producción, etc. Se ha estimado que si un país subdesarrollado aplicase PL aumentaría su PIB entre un 10 y un 15 %... Reseña histórica: Aunque en los últimos tres siglos varios matemáticos se ocuparon de obtener máximos y mínimos condicionados de determinadas funciones, fue el ruso Kantorovich quien, en 1939, por primera vez hace corresponder a una extensa gama de problemas una teoría matemática precisa y bien definida. En 1947 el estadounidense Dantzig formula, en términos matemáticos muy precisos, el enunciado estándar al que cabe reducir todo problema de PL, al mismo tiempo que su compatriota Von Neumann. Dantzig fue también el desarrollador del famoso Método Símplex. Como dato curioso, en 1958 se aplicó la PL al cálculo óptimo de transporte de materiales de construcción a las edificaciones en Moscú, y se consiguió rebajar en un 11 % los costes inicialmente previstos. Actualmente, se utiliza toda la potencia de las grandes computadoras para agilizar la enorme cantidad de cálculos que algunos problemas requieren.

¿En qué consiste la PL?: Antes de nada, vamos a enunciar un problema típico de PL, que después resolveremos: Ejemplo 1: «Con el fin de recaudar fondos para el viaje de fin de curso, los alumnos de una clase de 2º de Bachillerato acuden a una empresa de publicidad de la localidad, la cual les ofrece repartir dos tipos de artículos publicitarios: camisetas, con los que los alumnos logran un beneficio de 0,50 € / camiseta vendida, y relojes, por los que pueden sacar 0,70 € / reloj vendido. Por cuestiones de existencias la empresa puede repartir a cada alumno como máximo 120 camisetas y 100 relojes. Además, el centro ha decidido, para que no descuiden sus estudios, que cada alumno reparta 150 artículos como máximo» La cuestión lógica que se planteará un alumno es: ¿cuántos artículos coger de cada tipo para maximizar las ganancias? Algunos pueden pensar que es mejor coger el máximo de relojes (que son los que dan más beneficio), es decir, 100, y el resto camisetas, o sea, 50. Pero otra opción podría ser coger un número determinado de camisetas y mecheros (que sumaran, naturalmente, 150 artículos). La PL nos ayuda a ver cuál es la opción con la que conseguiremos máximo beneficio. Concepto: «Se trata de optimizar (maximizar o minimizar, según dependa) una determinada función (beneficio, gasto, etc) llamada función objetivo, sujeta a una serie de restricciones (dinero, recursos, personal disponible, etc) que vienen dadas por inecuaciones lineales» Obviamente, se trata de maximizar la función objetivo si representa un beneficio. "" minimizar "" "" "" coste Por tanto, en todo problema de PL tendremos los siguientes elementos: − Una función objetivo F(x,y), lineal . 1

− Varias restricciones, que vienen dadas por inecuaciones lineales que dependerán de x e y. Al representar todas las restricciones se obtiene una región poligonal convexa (región de validez), finita o infinita, formada por la totalidad de puntos (x,y) que cumplen todas las restricciones. 1

2

Lineal significa que puede ser, p. ej. F(x,y)=20x+3y, o F(x,y)=100-25x-7,5y, etc., pero no F(x,y)=2x +15y, o 5 , etc. F(x, y) = 18x + y

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− El problema consiste en encontrar en qué punto (x,y) de la región de validez se hace máxima (o mínima, según dependa) la función F(x,y). Lo que veremos en el apartado III es que dicha solución (caso de existir) se encuentra siempre en la periferia de la región de validez, no en el interior. Como acabamos de indicar, dado que las restricciones se pueden representar mediante inecuaciones, en el próximo apartado se repasará la forma de dibujar éstas en el plano.

II. REPASO de RECTAS e INECUACIONES RECORDAR: a x + b y = c representa una recta en el plano. Para representarla lo más rápido es hacer x=0 e y=0. a x + b y ≤ c, o bien a x + b y ≥ c

representan los dos semiplanos en que la recta anterior divide al plano (para ver de cuál de los dos se trata lo más fácil es ver si el origen verifica la desigualdad).

Ejemplo 2: a) Representar la recta 3 x + 2 y = 1 20 Como ya hemos comentado, para representar una recta basta con dos puntos; lo más sencillo, en la mayor parte de los casos, es obtener los puntos de corte con los ejes, los cuales se obtenían haciendo x=0 (corte eje y) e y=0 (corte eje x):

x = 0 ⇒ 2y = 120; y = 60 → A(0,60) y = 0 ⇒ 3x = 120; x = 40 → B(40,0)

b) Representar la solución de la inecuación x + 2 y ≤ 8 0 En primer lugar, representamos la recta x + 2 y = 8 0: x = 0 ⇒ 2y = 80; y = 40 → A(0,40) y = 0 ⇒ x = 80 → B(80,0) A continuación, sustituimos un punto cualquiera en la inecuación para ver si la 2 verifica. Lo más sencillo es utilizar el origen, es decir, dar los valores x=0 e y=0 ⇒ 0 ≤ 80 ⇒ se obtiene una desigualdad verdadera ⇒ el (0,0) ∈ región solución ⇒ la región solución es la que contiene el origen, es decir, el semiplano situado debajo de la recta.

2

¡Cuidado!: el (0,0) no vale si casualmente la recta ya pasa por el origen; en tal caso, habrá que recurrir a otro punto que no esté sobre la recta.

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Observaciones: 1. Puede comprobarse dando cualquier otro par (x,y) que se obtiene la misma región solución. 2. Los ∞ puntos que forman la recta también pertenecen a la región solución, y por eso se indica con trazo continuo. Si hubiera sido x + 2 y < 8 0, entonces la recta no formaría parte de la región solución, en cuyo caso se podría representar mediante una línea discontinua. 3. Evidentemente la solución de x + 2 y > 8 0 sería el semiplano superior. 4. Obsérvese cómo las flechas apuntan convenientemente hacia la región solución. Esto será particularmente útil para definir una región poligonal solución definida por varias inecuaciones.

x=5 x≥5

c) Representar la solución de la inecuación x ≥ 5 En este caso no es necesario dar valores sino aplicar el sentido común: x ≥ 5 representará el semiplano formado por los ∞ puntos cuya abscisa es mayor o igual que 5, es decir, el semiplano de la figura derecha.

d) Representar la solución de la inecuación y ≤ 3 En este caso tampoco es necesario dar valores pues y ≤ 3 representará el semiplano formado por los ∞ puntos cuya ordenada es menor o igual que 3, es decir, el semiplano de la figura izquierda. NOTA: Obsérvese que hemos dibujado la recta con trazo discontinuo, simbolizando así que sus ∞ puntos no pertenecen a la solución.

e) Por el mismo motivo, las soluciones de x ≥ 0 e y≥ 0 son las siguientes:

NOTA: Conviene recordar que x=0 es la ecuación del eje y, mientras que y=0 es la del eje x.

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Ejercicios final tema: 1 (resover inecuaciones), 2 y 3 (dibujar un recinto)

III. PLANTEAMIENTO MATEMÁTICO del PROBLEMA Vamos a resolver el ejemplo 1 planteado anteriormente, aplicando los procedimientos de la PL, y explicando todos los pasos. Recordemos el enunciado: Ejemplo 1: «Con el fin de recaudar fondos para el viaje de fin de curso, los alumnos de una clase de 2º de Bachillerato acuden a una empresa de publicidad de la localidad, la cual les ofrece repartir dos tipos de artículos publicitarios: camisetas, con los que los alumnos logran un beneficio de 0,50 € / camiseta vendida, y relojes, por los que pueden sacar 0,70 € / reloj vendido. Por cuestiones de existencias la empresa puede repartir a cada alumno como máximo 120 camisetas y 100 relojes. Además, el centro ha decidido, para que no descuiden sus estudios, que cada alumno reparta 150 artículos como máximo. ¿Cuántas camisetas y mecheros deberá vender cada uno para que el beneficio sea máximo?» er

1 paso: "Identificar las dos variables del problema (y llamarlas x e y)" x = nº de camisetas vendidas y = nº de relojes vendidos Aunque no es obligatorio, es muy recomendable construir al principio una tabla para organizar cómodamente los datos: CAMISETAS

RELOJES

BENEFICIO

0,50 €/camiseta

0,70 €/reloj

Restricción de la empresa

120 artículos máximo

100 artículos máximo

nº de artículos vendidos

x

y

Esta es restricción centro

una del

150 artículos máximo

o

2 paso: "Plantear algebraicamente la función objetivo y las restricciones" Función objetivo (a maximizar): Restricciones:

G ( x , y) = 0,50 x + 0,70 y x ≤ 120 y ≤ 100 x + y ≤ 150

Obviamente: x ≥ 0, y≥ 0

er

3 paso: "Representar el recinto definido por las restricciones" ■ Como ya sabemos del apartado anterior, la solución de x ≤ 120 es el semiplano situado a la izquierda de la recta vertical x = 1 20 (ver dibujo inferior). ■ Por su parte, la solución de y ≤ 100 será el semiplano inferior respecto a la recta horizontal y = 1 00 (ver dibujo inferior). ■ Representamos la recta x + y = 150:

x = 0 ⇒ y = 150 → (0,150) y = 0 ⇒ x = 150 → (150,0)

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Sustituimos x=0, y=0 en la inecuación x + y ≤ 150 ⇒ 0 ≤ 150 ⇒ se obtiene una desigualdad verdadera ⇒ el (0,0) ∈ región solución ⇒ la región solución particular de la restricción x + y ≤ 150 es la que contiene el origen, es decir, el semiplano situado debajo de la recta oblicua (ver dibujo). ■ Finalmente, y como vimos en el apartado anterior, la solución de x ≥ 0 es el semiplano situado a la derecha del eje y, mientras que y ≥ 0 se verifica en el semiplano superior respecto al eje x.

y (nº relojes)

El conjunto de puntos (x,y) que satisfacen a la vez todas las restricciones son los puntos del recinto sombreado, llamado REGIÓN DE VALIDEZ.

región de validez

x (nº camisetas)

¿Qué queremos hallar? Se trata de obtener qué valores x e y de los que verifican las restricciones (i.e. los situados en la

región de validez) hacen máxima la función objetivo. Se puede demostrar que la solución que buscamos se encuentra en un vértice del recinto, y no dentro: «La función objetivo alcanza su máximo (o mínimo) en alguno de los vértices del recinto» NOTA: En ciertos casos puede ser en todo un lado del recinto (ver ejemplo 6) Por lo tanto, los siguientes pasos consistirán en obtener las coordenadas de los vértices, y evaluar en ellos la fución objetivo: o

4 paso: "Calcular las coordenadas de los vértices" NOTA: Aunque en este caso las coordenadas de los vértices se aprecian a simple vista en el gráfico (de hecho, ya están señalados en él), se recomienda obtenerlos analíticamente, pues esta situación no siempre se da y, además, la vista nos puede "fallar"... ■ El vértice P (ver dibujo) no es necesario calcularlo: obviamente, es P ( 0 , 100 ) 0 0 1 , 0 5

R

0 3 , 0 2 1

? R ¿

■

Q

? Q ¿

■

x + y = 150   ⇒ x + 100 = 150; x = 50 → ( y = 100  x + y = 150   ⇒ 120 + y = 150; y = 30 → ( x = 120 

)

)

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■ El vértice S (ver dibujo) no es necesario calcularlo: obviamente, es S ( 120 , 0 ) NO T A: No nos molestamos en considerar el vértice ( 0 , 0 ), pues esa solución (0 camisetas y 0 relojes) no tiene sentido.

o

5 paso: "Evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices, para ver en cuál se obtiene el máximo (o el mínimo)" G ( P ) = 0,5 · 0 + 0,7 · 100 = 70 € G ( Q ) = 0,5 · 50 + 0,7 · 100 = 25 + 70 = 95 €

⇒

Soluc: Cada alumno tendrá que repartir 50 camisetas y 100 mecheros para obtener el beneficio máximo

G ( R ) = 0,5 · 1 2 0 + 0,7 · 30 = 60 + 21 = 81 € G ( S ) = 0,5 · 1 20 = 6 0 €

Observaciones: 1. No nos molestamos en considerar el vértice ( 0 , 0 ) pues ahí el beneficio sería nulo. 2. ¡Las soluciones deben ser enteras! (No tiene sentido vender 12,5 camisetas...) Pero en otros ejercicios no tiene por qué ser así. 3. Los puntos de la región de validez cumplen todas las restricciones y se llaman SOLUCIONES FACTIBLES. Pero, recordar: la solución óptima se encuentra siempre en un vértice (no en el interior).

Ejemplo 3: «Con el fin de recaudar fondos para el mencionado viaje de fin de curso, las 20 chicas y los 10 chicos de una clase de 2º de Bachillerato deciden colaborar por las tardes a tiempo parcial en la misma empresa publicitaria, que contrata dos tipos de equipos de jóvenes para hacer encuestas: TIPO A: Pareja de chico y chica TIPO B: Equipos de tres chicas y un chico Se paga a 30 € la tarde al equipo A y 50 € al B ¿Cómo les conviene distribuirse para conseguir la mayor cantidad posible de dinero? ¿Cuánto obtendrán la clase en total cada tarde?» Solución: er

1 paso: "Identificar las dos variables del problema (y llamarlas x e y)" x = nº de equipos tipo A y = nº de equipos tipo B Construimos una tabla para relacionar los datos: TIPO A

TIPO B

nº de equipos nº de chicas que intervienen

TOTAL:

nº de chicos que intervienen

TOTAL:

o

2 paso: "Plantear algebraicamente la función objetivo y las restricciones" Función objetivo (a maximizar):

G ( x , y) =

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← 20 chicas máximo

Restricciones:

← 20 chicos máximo Obviamente:

x ≥ 0, y≥ 0

←

el nº de equipos de cada tipo no puede ser negativo

er

3 paso: "Representar el recinto definido por las restricciones" 1ª restricción:

2ª restricción:

o

4 paso: "Calcular las coordenadas de los vértices" ¿P?

¿Q?

¿ R? o

5 paso: "Evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices, para ver en cuál se obtiene el máximo" ¡Ojo! no podemos considerar el vértice P, porque en este caso particular no tienen sentido soluciones decimales (no son soluciones factibles). Por lo tanto, nos vamos al punto de coordenadas enteras más 3

cercano a P y situado en la periferia , que será el ( 2 , 6 ) : 3

Recordar que la solución óptima siempre se encuentra en un punto de la periferia. Por otra parte, también podíamos haber considerado el ( 0 , 6 ) pero, evidentemente, dará menos beneficio que el ( 2 , 6 ) .

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G(2,6)= G(Q)= G(R)= (Soluc: Deberán formar 5 equipos A y 5 equipos B para conseguir el máximo beneficio, el cual será de 400 € cada tarde)

Ejemplo 4: Resolver el problema anterior si la agencia pagara a 10 € la pareja y 40 € el equipo de cuatro (algo no muy lógico...). Función objetivo: G ( x , y ) = G(2,6)= G(Q)= G(R)=

(Soluc: Deberán formar 2 equipos A y 6 equipos B para conseguir el máximo beneficio, el cual será de 260 € cada tarde)

Ejemplo 5 (Un problema con solución múltiple):

Resolver el problema anterior si la agencia pagara a 20 € la pareja y 60 € el equipo de cuatro.

Función objetivo: G ( x , y ) = 20 x + 60 y G ( 2 , 6 ) = 20 · 2 + 60 · 6 = 40 + 360 = 400 €

⇒ G ( Q ) = 20 · 5 + 60 · 5 = 10 0 + 300 = 400 € G ( R ) = 20 · 10 = 200 €

Soluc: Hay dos souciones: 2 equipos A y 6 equipos B, o bien 5 equipos de cada tipo; en ambos casos obtendrán 400 €

Nótese que en este caso la función ganacia toma el valor máximo en todos los puntos factibles del segmento PQ. Estos puntos factibles son sólo dos: ( 2 , 6 ) y Q ( 5 , 5 ) . Ejemplo 6: Resolver el problema anterior si la agencia pagara igual a ambos equipos, 30 €. Función objetivo: G ( x , y ) = G(2,6)= G(Q)= G(R)= (Soluc: Hay 6 soluciones: (5,5), (6,4), (7,3), (8,2), (9,1) y (10,0); en todos estos casos el beneficio será de 300 €)

Ejemplo 7 (Un problema con soluciones no enteras): «Una fábrica produce dos tipos de piezas: NORMAL: Lleva una mano de imprimación y otra de pintura. EXTRA: Lleva una mano de imprimación y tres de pintura.

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2

Disponen de imprimación para 100 m , pintura para 200 m y piezas sin pintar en cantidad ilimitada. Sus 2 2 2 ganacias netas son de 100 € / m la pieza normal y 400 € / m la extra. ¿Cuántos m de cada tipo les conviene fabricar para que las ganancias sean máximas?». Solución: er

1 paso: "Identificar las dos variables del problema (y llamarlas x e y)" x = nº de tableros NORMALES y = nº de tableros EXTRA Construimos una tabla para relacionar los datos (Ayuda: si cuesta completarla con x e y genéricos, empezar con un ejemplo cualquiera concreto...): NORMALES

EXTRA

2

m de cada pieza 2

m de imprimaciones

TOTAL:

2

m de pintura

TOTAL:

o

2 paso: "Plantear algebraicamente la función objetivo y las restricciones" Función objetivo (a maximizar):

G ( x , y) =

← 100 m2 de imprimación máximo

Restricciones:

← 200 m2 de pintura máximo Obviamente:

x ≥ 0, y≥ 0

er

3 paso: "Representar el recinto definido por las restricciones" 1ª restricción : 2ª restricción:

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4 paso: "Calcular las coordenadas de los vértices" ¿P?

¿Q?

¿ R? o

5 paso: "Evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices, para ver en cuál se obtiene el máximo" Aquí sí podemos considerar el vértice P, porque en este caso particular sí tienen sentido soluciones decimales: G(P)= G(Q)= G(R)= 2

m 6 , 6 6 ⌢ (Soluc: Lo ideal es producir

de piezas extra y ninguna pieza normal; la ganancia será de 26666,67 €)

Ejercicios final tema: 4, 5 y 6 (teóricos); 7 a 22 (de planteamiento) Ejercicio PAEG: jun 2014 1B; jun 2013 1A; sept 2013 1A (teóricos) jun 2015 1B; sept 2014 1B; jun 2012 1B; sept 2012 1A; jun 2011 1B; sept 2011 1B (de planteamiento)

jun 2010 3A; sept 2010 3B jun 2009 2A; sept 2009 2A; jun 2008 2A; sept 2008 2A; jun 2007 2A; sept 2007 2A; jun 2006 2A; sept 2006 2A; jun 2005 2A; sept 2005 2A; jun 2004 2A; sept 2004 2A .

IV. RESUMEN: EXISTENCIA y UNICIDAD de SOLUCIONES A la vista de los ejercicios que llevamos resueltos, y de los ejemplos que pueden verse en el anexo final del tema, desde el punto de vista del número de soluciones pueden darse los siguientes casos:

Q

1º) Solución única: En la mayoría de los casos hemos visto que, si el recinto es acotado, entonces suele existir una única solución, que se encuentra siempre en un vértice. Ello ocurre cuando, de todas las soluciones factibles, la fución objetivo toma el valor máximo (o mínimo) en dicho vértice, llamado solución óptima (ver figura dcha.).

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2º) Varias soluciones: Como hemos visto en algunos casos (ejemplos 5 y 6), cuando la función objetivo toma el mismo valor en dos vértices extremos del mismo segmento, entonces habrá varias soluciones (normalmente los puntos de dicho lado con coordenadas x e y ∈ Z) (ver figura izda. pág. anterior). 3º) Varias soluciones: Si el recinto no está acotado, es posible que no exista solución (ejercicio 2 resuelto anexo final) (ver figura dcha.).

ANEXO: Ejercicios tipo resueltos Ejercicio resuelto 1 (3 ejercicios teóricos sencillos)

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Ejercicio resuelto 2 (Recinto ilimitado, y sin solución)

Ejercicio resuelto 3 (Soluciones enteras)

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22 EJERCICIOS de PROGRAMACIÓN LINEAL

2º BACH. CC. SS.

INECUACIONES y RECINTOS:

1.

a) Representar el conjunto de puntos que satisfacen la inecuación 2 x - 3 y + 5 ≤ 0 b) Ídem con x + 3 y ≤ 3 c) Ídem con x - y + 1 > 0 d) Ídem con x + y - 2 ≥ 0

2.

Representar el conjunto de puntos que satisfacen simultáneamente las desigualdades x ≤ 7 , x ≥ 2

3.

Para cada uno de los siguientes sistemas, hallar el recinto solución e indicar las coordenadas de los vértices:

2x + 3y − 3 < 0    y < 0 a)  x ≥ 0 

x + y − 3 < 0  x ≥ 0  b)  y ≥ 0  x − y + 2 ≥ 0 

x ≥ 0   f) x + y − 2 ≥ 0   x − y + 1 ≤ 0 

(Soluc:

2x − y ≥ −2   x − y > −2 c)  x ≥1   2x − y < 3 

x + 3y ≤ 3   x ≥ 2  d)  x − y + 1 > 0  y ≥ 0 

y−x≤2   x + 5y ≥ 10  e)  x + 2y < 16   2x + y ≤ 20 

c) (1,3), (5,7), (1,-1) )

EJERCICIOS TEÓRICOS:

4.

a) Minimizar la fución F ( x , y) = 12 x + 4 y sujeta a las siguientes restricciones:

x+y≥2   1 x ≤  2  y