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Programación por Metas por Antonio Mejía

Introducción. Supóngase que usted desea comprar un nuevo carro, al analizar las posibles modelos desea considerar los siguientes atributos de cada uno: a. Tamaño del carro b. Economía del carro (km/galón) c. Estilo de carro d. Precio del carro Otro ejemplo sería en una planificación corporativa, donde se desean lograr los siguientes objetivos: a. Maximizar la utilización del equipo (alta producción) b. Maximizar la participación en el mercado (alta variedad) c. Minimizar el costo de producción d. Maximizar la tasa de efectivo En ambos ejemplos hay objetivos en conflicto y en muchas ocasiones no pueden ser logrados en forma directa o simultánea. La solución se encuentra en utilizar una de las técnicas de Programación por metas desarrollada por A. Charles y W. Cooper. A fin de entender esta técnica en la tabla inferior se definen ciertos términos. Esta técnica resuelve problemas de optimización con varios objetivos, aun y cuando éstos estén en conflicto. Puede ser usada para toma de decisiones en distribución de recursos, planeación financiera, distribución de presupuestos, decisiones de mercado y otras. El

algoritmo utilizado provee una alternativa donde las desviaciones de las diferentes metas se minimizan. Existen diversas técnicas para las medir las desviaciones de las metas y para ponderar y/o priorizar cada una de ellas. En el presente curso estudiaremos la técnica más sencilla y la más ampliamente utilizada. En Programación Lineal todas y cada una de las restricciones deben cumplirse, en Programación por Metas las metas pueden o no cumplirse. La Función Objetivo determinará aquella alternativa que primeramente satisfaga todas y cada una de las restricciones fijas o rígidas del modelo y segundo que cumplan de mejor forma todas las metas. Ventajas • La Función Objetivo minimiza las desviaciones de las múltiples metas • Existen diversos criterios para medir las desviaciones de las metas • Existe un peso o prioridad para cada meta • La alternativa óptima muestra el grado en que cada meta ha sido alcanzada, lo cual facilita tomar decisiones. Limitaciones: • Tanto las variables de decisión de la función objetivo como las de las restricciones deben de ser lineales • Las variables deben de ser continuas.

Objetivo. Refleja los deseos del tomador de decisiones (ej. Max o Min. algún criterio). Nivel de aspiración. Es un valor específico asociado con un deseo o un nivel de logro de un objetivo. Meta. Es un objetivo con un nivel de aspiración Desviación de la meta. Es la diferencia entre lo que se logra y lo que se deseaba alcanzar. Pueden ser categorizados como sub-logros o sobre-logros de las metas. 63

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• No existe una forma sistémica para llevar a cabo el análisis de sensibilidad. • Las Variables de decisión deben ser no-negativa. • No siempre se logra satisfacer todas las metas Variables de desviación: • Reflejan la desviación positiva o negativa del valor logrado con respecto a la meta. • Deben ser no-negativas. • Cuando el valor requerido para que la meta se cumpla es positivo se denomina desviación «faltante» (Ui) • Cuando el valor requerido para que la meta se cumpla es negativo se denomina desviación «sobrante» (Vi) Pesos de las variables de desviación Existen diversas técnicas para las medir las desviaciones de las metas y para ponderar y/o priorizar cada una de ellas. En el presente curso estudiaremos la técnica más sencilla y que es a la vez la más ampliamente utilizada. Los pesos se asignan de acuerdo a lo que el tomador de decisiones considere sea la penalización por la desviación (por unidad) con respecto a la meta. Los pesos pueden indicar penalizaciones monetarias o cualquier otra medida que se relacione a la meta. La meta más importante recibe el mayor peso. Transformación de Objetivos Y Metas Sea F(x) una representación matemática de un objetivo y Bi el nivel de aspiración asociado al objetivo, entonces las metas pueden ser de tres tipos: Tipo de Meta

Fi (x) Fi (x) Fi( x)

≤ Bi ≥ Bi = Bi

1. F(x) ≤ Bi 2. F(x) ≥ Bi 3. F(x) = Bi Sea cual sea la forma, la transformación a programación por metas se logra añadiendo una variable de desviación faltante (Ui ) y sustrayendo una variable de desviación de excedente (Vi). Ver tabla inferior. Al resolver el modelo, cualquier alternativa factible tiene como resultado que Ui = 0 ó Vi = 0, o ambas son igual a cero (0). Aquellas restricciones rígidas, propias del sistemas (que no se consideran metas) no sufren ninguna transformación. Estas restricciones deben ser cumplidas en su totalidad para que una alternativa pueda sean considerada factible y sea evaluada por la función objetiva. Ejemplos. I . Meta del tipo ≥ . Supóngase que desea obtener una ganancia mínima determinada. Tomemos una función de utilidad de la forma: 5*X1 + 7*X2. Si el nivel de aspiración es lograr al menos ¢ 10,000, se tiene la siguiente transformación: 5*X1 + 7*X2 ≥ 10,000 5*X1 + 7*X2 + U1 - V1 = 10,000 La obtención de la meta se logrará en la medida que Ui sea pequeño. O sea, la técnica buscará la alternativa que logre minimizar tanto el valor de Ui como el valor global de la Función Objetivo, y al mismo tiempo tratará de cumplir la meta lo más posible. II. Meta del tipo ≤ . Supóngase que se desea

Forma en Programación de metas F(x) + Ui - Vi = Bi F(x) + Ui -Vi = Bi F(x) + Ui -Vi = Bi

Variable de desviación a ser minimizada Vi Ui Ui + Vi

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limitar los costos a un valor determinado. Tome la función de costos 100*X1 + 200*X2. Si el nivel de aspiración establece que los costos no deben sobrepasar de ¢ 5,000. Se tiene la siguiente transformación: 100*X1 + 200*X2 ≤ 5,000 100*X1 + 200*X2 + U1 - V1 = 5,000 La obtención de la meta se logrará en la medida que V1 sea pequeño. La técnica encontrará la alternativa que minimice simultáneamente el valor de V1 y el valor de la función Objetivo, y al mismo tiempo tratará que la meta se cumpla lo más posible. III. Meta del tipo =. Si se desea cumplir con una igualdad. Supóngase se desea invertir una cantidad determinada de recurso, con un nivel de aspiración de digamos 30,000 colones. Se realiza la siguiente transformación: 100*X1 + 50*X2 = 30,000 100*X1 + 50*X2 + U1 - V1 = 30,000 En este caso, la obtención de la meta se logrará en la medida que U1 + V1 sea lo más pequeño posible. IV. Meta de intervalo. Supóngase que se tiene un producto que tiene que ser producido, y existe una producción mínima y otra máxima. Para este caso 25 ≤ X1 ≤ 50. Esta meta pueden reescribirse como: X1 ≥ 25 y X1 ≤ 50

propias del sistema? Estas no sufren ninguna transformación, o sea, no se les agrega ningún tipo de variable de desviación. Recuerde estas restricciones deben ser cumplidas en su totalidad para que una alternativa pueda sean considerada factible y sea evaluada por la Función Objetiva. Caso Burmit. La compañía publicitaria Burmit esta tratando de determinar una programación de comerciales a contratar para la compañía de autos Priceler. Priceler tiene tres metas. Meta 1: Sus comerciales deben de ser vistos por al menos 40 (mil) hombres de alto ingreso económico. (HAI). Meta 2: Sus comerciales deben de ser vistos por al menos 60 (mil) hombres de mediano ingreso económico. (HMI). Meta 3: Sus comerciales deben de ser vistos por al menos 35 (mil) mujeres de alto ingreso económico. (MAI) La compañía Burnit puede comprar 2 tipos de comerciales: el primero durante los juegos de fútbol y el segundo durante los programas de comedias. El máximo desembolso debe ser de $60,000. Los costos de los comerciales y la audiencia potencial de un anuncio de un minuto se muestra en la Tabla # 1. Burnit debe determinar el número de comerciales que deben de ser pasados en los partidos de fútbol y en las comedias a fin de satisfacer las metas de la compañía Priceler.

Transformando las desigualdades en forma de Programación por metas se tiene dos metas: X1 + U1 - V1 = 25 y X1 + U2 - V2 = 50 En la función objetivo se deben minimizarán tanto U1 como V2. ¿Qué sucede con las restricciones rígidas

Tipo de Costo HAI comercial ($/spot) (#) Fútbol 10,000 7,000 Comedias 6,000 3,000

HMI (#) 10,000 5,000

MAI (#) 5,000 4,000

Tabla # 1 65

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Presupuesto HAI HMI HMI

Figura #1

17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

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10*X1 + 5*X2 + U2 - V2 = 60 5*X1 + 4*X2 + U3 - V3 = 35

Variables de Decisión. Sea X1 = número de comerciales contratados durante los juegos de fútbol. Sea X2 = número de comerciales contratados durante las comedias. F.O. Min. (o Max) Z = 0*X1 + 0*X2 (o cualquier otra función objetivo equivalente) 10*X1 + 6*X2 ≤ 60 7*X1 + 3*X2 ≥ 40 10*X1 + 5*X2 ≥ 60 5*X1 + 4*X2 ≥ 35 X1, X2 ≥ 0

(Presupuesto en miles) (HAI) (HMI) (MAI)

Este modelo no tiene solución (vea figura #1), por lo que Burnit pide a Priceler identificar para cada meta, un costo (por unidad de faltante) en que se incurriría por no cumplir sus metas. Supóngase que Priceler determina que: - Por cada mil hombres, bajo la meta de HAI que no vean el comercial, un (1) hombre deja de comprar un vehículo y la compañia Priceler pierde $2,000 en concepto de ganancia neta. - Por cada mil hombres, bajo la meta de HMI que no vean el comercial, un (1) hombre deja de comprar un vehículo y la compañia Priceler pierde $1,000 en concepto de ganancia neta. - Por cada cuatro mil mujeres, bajo la meta de MAI que no vean el comercial, una (1) mujer deja de comprar un vehículo y la compañia Priceler pierde $2,000 en concepto de ganancia neta. El siguiente paso es transformar las «metas» en igualdades tomando las siguientes variables de desviación: Ui = Cantidad numérica por debajo de la meta i Vi = Cantidad numérica por sobre la meta i Metas transformadas: 7*X1 + 3*X2 + U1 - V1 =

40

Supongamos que Priceler desea minimizar el total de penalización de las pérdidas de sus ventas. Los coeficientes en la función objetivo son llamados «pesos». Cuando las unidades de las diversas metas son homogéneas y medidas en la misma unidad, la meta más importante debe tener el mayor peso de penalización. Burmit debe ahora resolver ahora el siguiente problema de PL F.O. Min. 2*U1 + 1*U2 + 0.5*U3 s.a 7*X1 + 3*X2 + U1 - V1 = 10*X1 + 5*X2 + U2 - V2 = 5*X1 + 4*X2 + U3 - V3 = 10*X1 + 6*X2 ≤ Todas las variables no-negativas

40 60 35 60

La solución al modelo proporciona los siguientes resultados: X1 = 6 X2 = 0

V1 = 2 V2 = 0

V3 = 0 U1 = 0

U2 = 0 U3 = 5

Sustituyendo tenemos que el valor de la función objetivo es: = 2*U1 + 1*U2 + 0.5*U3 = 2*0 +1*0 + 0.5*5 = 2.5 La alternativa óptima logra cumplir con las primeras dos metas y falla en la tercera, que tiene el menor peso (penalización) Supóngase que se decide modificar la restricción del presupuesto y considerarla como una meta. Si se decide penalizar con ¢ 0.30 cada unidad monetaria gastada por encima de la meta del presupuesto, el modelo apropiado de la programación por metas sería: Min. 2*U1 + 1*U2 + 0.5*U3 + 0.3*V4 s.a. 7*X1 + 3*X2 + U1 - V1 = 10*X1 + 5*X2 + U2 - V2 =

40 60 67

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5*X1 + 4*X2 + U3 - V3 = 35 10*X1 + 6*X2 + U4 - V4 = 60 Todas las variables no-negativas. La solución a este modelo es:

X2= 3.333 V1 =0.3333 V4 = 3.333 F.O. = 1.0

X1 = 4.333

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Priceler, Burmit Programacin por Metas -A

1 2 3 4 5 6 7 8

Variable X1 X2 U1 V1 U2 V2 U3 V3

Slack Variables 14 PRESUPUEST

OPTIMAL SOLUTION - DETAILED REPORT Value Cost Red. cost Status 6.0000 0.0000 0.0000 Basic 0.0000 0.0000 0.0000 Basic 0.0000 2.0000 2.0000 Lower bound 2.0000 0.0000 0.0000 Basic 0.0000 1.0000 0.5000 Lower bound 0.0000 0.0000 0.5000 Lower bound 5.0000 0.5000 0.0000 Basic 0.0000 0.0000 0.5000 Lower bound

0.0000 0.0000

0.7500

Lower bound

Objective Function Value = 2.5

1 2 3 4

OPTIMAL SOLUTION - DETAILED REPORT Constraint Type RHS Slack Shadow price HAI = 40.0000 0.0000 0.0000 HMI = 60.0000 0.0000 0.5000 MAI = 35.0000 0.0000 0.5000 PRESUPUEST = 2,200

Meta 5. (Reducir faltante semanal MT) XNMT ≤ 20 XNMT + U5 - V5 = 20 F.O. Min P1U1 +P2U2+P3V3 +P4U4 + P5U5 Ejercicio #4. Sean: X1: el número de lotes a ser adquiridos del proveedor #1 X2: el número de lotes a ser adquiridos del proveedor #2 X3: el número de lotes a ser adquiridos del proveedor #3 60X1 + 50X2 +40X3 + U1 - V1 = 5,000 (Chips excelentes) 20X1 + 35X2 + 20X3 + U2 - V2 = 300 (Chips buenos) 20X1 + 15X2 + 40X3 + U3 - V3 = 1,000 (Chips mediocres) 400X1 + 300X2 + 250X3 + U4 - V4 = 28,000 (presupuesto) F.O. Min 10U1 +6U2+4U3 +1V4 Ejercicio#5

Meta 3. (Horas extra semanal)

Sean: X1: el número de televisores a ser adquiridos para la temporada. y X2: el número de VCR’s a ser adquiridos para la temporada

XETC =< 100 (max. horas semana 5 empleados)

300X1 + 200X2 ≤ 20,000 (meta 1)

XETC + U3 - V3 = 100

2X1 + 0.64X2 ≤ 22 (meta 2)

Meta 4. (Reducir faltante semanal TC)

150X1 + 100X2 ≥ 11,000 (meta 3)

3*5*XN TC + 3*3*XN MT +3*5*XE TC - 500 6*XNTC + 3*XNMT -10*XETC + U2 - V2 = 2,200

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Transformando las metas II. Programación Meta 300X1 + 200X2 + U1 - V1 = 20,000 (meta 1) 2X1 + 0.64X2 + U2 - V2 = 22 (meta 2)

Meta de Utilidad 4000X1 + 2000X2 >= 48,000, se transforma en: 4000X1 + 2000X2 +U1 -V1 = 48,000

150X1 + 100X2 + U3 - V3 = 11,000 (meta 3) F.O. Min P1*V1 + P1*V2 +P3 *U3

Meta de Horas en tiempo normal disponibles 400 X1 + 200X2 = 3200, se transforma en: 400 X1 + 200X2 + U2 - V2 = 3200

Sustituyendo tenemos, F.O. Min 0.2*V1 + 1,000*V2 +0.4 *U3

Meta de número de unidades producto #1 X1 ≥ 7, se transforma en: X1 + U3 - V3 = 7

Ejercicio #6

Meta de número de unidades producto #2 X2 ≥ 10, se transforma en: X2 + U4 - V4 = 10

X1 número de unidades producidas del producto #1 X2 número de unidades producidas del producto #2

F.O. MIN 0.25*U1 + 100*U2 + 20*V2 + 500*U3 + 500*U4

Ejercicio #7 I. Programación Lineal Restricción de Utilidad 4000X1 + 2000X2 ≥ 48,000, se transforma en: 4000X1 + 2000X2 +S1 = 48,000 donde: S1 es la variable de holgura de la restricción) Restricción de Horas en tiempo normal disponibles 400 X1 + 200X2 = 3200, se transforma en: 400 X1 + 200X2 + S2 - T1 = 3200 donde: S1 es la variable de holgura de la restricción y T1 es la variable de excedente) Restricción de número de unidades producto #1 X1 ≥ 7, se transforma en: X1 + S3 = 7 Restricción de número de unidades producto #2 X2 ≥ 10, se transforma en: X2 + S4 = 10 F.O. MIN 0.25*S1 + 20*T1 + 10*S2 +500*S3 + 500*S4

Sea: XIN el número de Gobots fabricados en el “trimestre I” en tiempo normal. (para I = 1, 2, 3 y 4) XIN el número de Gobots fabricados en el “trimestre I” en tiempo extra. (para I = 1, 2, 3 y 4) Metas de producción: X1N + X1E + U1 - V1 = (13 -1) X2N + X2E + V1 + U2 - V2 = 14 (porque vienen V1 unidades del trimestre #1) X3N + X3E + V2 + U3 - V3 = 12 (idem) X4N + X4E + V3 + U4 - V4 = 15 (idem) Metas de máximo inventario al final de cada trimestre. V1 + U5 - V5 = 3 (≤) V2 + U6 - V6 = 3 (≤) V3 + U7 - V7 = 3 (≤) V4 + U8 - V8 = 3 (≤) Meta de costo 4*X1N + 4*X2N + 5*X3N + 6*X4N + 6*X1E + 7*X2E + 8*X3E + 9*X4E + U9 - V9 = 250 (≤)

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Restricciones del sistema X1N ≤ 9 X1E ≤ 5 X2N ≤ 10 X2E ≤ 5 X3N≤ 11 X3E ≤ 5 X4N ≤ 12 X4E ≤ 5 F.O. MIN .............................................................. ...........................................................................................

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