Proporcionalidad. 100 Ejercicios para practicar con soluciones

1

Señala cuál es la constante de proporcionalidad directa en las siguientes razones: a)

24 150

b)

5 40

c)

42 15

Solución: 24 4 a) = = 0,16 150 25

2

b)

5 1 = = 0,125 40 8

c)

42 14 = = 2,8 15 5

Reparte 90 en partes directamente proporcionales a 2 y 4. Solución: Sea k la constante de proporcionalidad directa: A 2 le corresponde: 2k A 4 le corresponde: 4k Por tanto: 2 k + 4 k = 90 6 k = 90 k = 15 Luego a 2 le corresponde 2 ⋅ 15 = 30 a 4 le corresponde 4 ⋅ 15 = 60

_____ 90

3

Completa la siguiente tabla para que las magnitudes sean directamente proporcionales: 6

2 8

5

1

0,5 4,5

Solución: 6 3,2 2 1,8 0,5 15

2 6 = ⇒ x = 15; 5 x

4

8

5 4,5 1,25

2 x = ⇒ x = 3,2; 5 8

2 x = ⇒ x = 1,8; 5 4,5

2 0,5 = ⇒ x = 1,25 5 x

Para hacer un pastel se emplean 600 gramos de harina y 250 gramos de azúcar. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad entre ambos ingredientes? Solución: Se emplean 600 gramos de harina por cada cuarto de kilo de azúcar. Por tanto, la constante de proporcionalidad directa es: 600 = 2 .4 250

5

Para componer una aleación se utiliza estaño y cobre. Si la constante de proporcionalidad entre los dos metales es 3/5, ¿cuánto cobre se utilizaría para 45 gramos de estaño? Solución: Se emplea 3 gramos de estaño por 5 gramos de cobre. Por tanto, 45 3 45 ⋅ 5 = ⇒x= = 75 x 5 3 Se utilizan 75 gramos de cobre

6

La constante de proporcionalidad directa entre dos números es 0,75. El mayor es 20. Calcula el menor.

Solución: x = 0,75 ⇒ x = 0,75·20 = 15 20 El menor es 15

7

La rueda de una bicicleta da 54 vueltas cada 90 metros. ¿Cuántas vueltas habrá dado después de recorrer un kilómetro? Solución: Relación de proporcionalidad: 54 x 54 ⋅ 1000 = ⇒x= = 600 90 1000 90

8

vueltas

En una biblioteca se colocan 2610 libros en dos muebles de 40 y 50 estanterías cada uno. ¿Cuántos libros se colocarán en cada mueble si se reparten proporcionalmente al número de estantes de cada uno?

2

Solución: Sea k la constante de proporcionalidad directa: En el primer mueble se colocarán: 40 k En el segundo mueble se colocarán: 50 k Por tanto: 40 k + 50 k = 2610 90 k = 2610 k = 29 Luego en el primer mueble se colocarán en el segundo mueble se colocarán

9

40 ⋅ 29 = 1160 libros 50 ⋅ 29 = 1450 libros _____ 2610

Reparte 4 475 proporcionalmente a 5, 7 y 13. Solución: Si k es la constante de proporcionalidad directa A 5 le corresponde 5k A 7 le corresponde 7k A 13 le corresponde 13k Así: 5k + 7k + 13k = 4475 ⇒ 25k = 4475 ⇒ k = 19 Luego a 5 le corresponde a 7 le corresponde a 13 le corresponde

5 · 179 = 895 7 · 179 = 1253 13 · 179 = 2327

10 Halla el valor de x en las siguientes proporciones: a)

6 12 = 5 x

b)

42 x = 15 45

c)

45 18 = 120 x

Solución: 6 12 12 ⋅ 5 a) = ⇒x= = 10 5 x 6 b)

42 x 42 ⋅ 45 = ⇒x= = 126 15 45 15

c)

45 18 120 ⋅ 18 = ⇒x= = 48 120 x 45

11 Un padre reparte entre sus dos hijos 72 euros en partes directamente proporcionales a la edad de cada uno. Si Luis tiene 9 años y Marta 15 años, ¿cuánto le corresponde a cada uno?

3

Solución: Sea k la constante de proporcionalidad directa: A Luis le corresponde: 9 k A Marta le corresponde: 15 k Por tanto: 9K + 15K = 72 24K = 72 K=3 Luego a Luis le corresponde 9·3 = 27 euros a Marta le corresponde 15·3 = 45 euros

_____ 72 12 Comprueba si las siguientes razones forman una proporción: a) b) c)

1 7 y 9 63 3 4 y 18 48 30 50 y 150 250

Solución: 1 7 a) y 9 63 1⋅ 63 = 63⎫⎪ 1 7 Forman una proporción ⎬⇒ = 9 63 9 ⋅ 7 = 63 ⎪⎭ b)

3 4 y 18 48

3 ⋅ 48 = 144 ⎫⎪ 3 4 ≠ No forman una proporción ⎬⇒ 18 48 18 ⋅ 4 = 72 ⎪⎭ c)

30 50 y 150 250

30 ⋅ 250 = 7500 ⎫⎪ 30 50 = Forman una proporción ⎬⇒ 150 250 150 ⋅ 50 = 7500 ⎪⎭

13 Un ciclista en 3 horas recorre 120 kilómetros y otro en 5 horas recorre 190 kilómetros. ¿Existe proporción entre las horas y la distancia recorrida por los ciclistas?

4

Solución: La razón de proporcionalidad del primer ciclista es: Y del segundo ciclista es:

120 = 40 3

190 = 38 5

Por tanto, la distancia recorrida y el tiempo empleado por ambos ciclistas no es proporcional ya que:

120 190 ≠ 3 5

14 Se sabe que la altura y la sombra de un edificio son proporcionales. Si la sombra de un edificio de 30 m es 8 m, ¿qué altura tendrá otro edificio cuya sombra en el mismo momento mide 12 m? Solución: Sea x la altura del edificio:

30 x = 8 12

⇒

x=

30·12 = 45m 8

El edificio mide 45 m

15 Una persona con 15/4 de litro de gasolina recorre 48 kilómetros ¿Cuántos kilómetros recorrerá con 12,5 litros? Solución: 15 de litro = 3,75 litros 4 Razón de proporcionalidad: 48 x 48 ⋅ 12,5 = ⇒x= = 160 3,75 12,5 3,75 Podrá recorrer 160 kilómetros

kilómetros

16 Se quieren repartir 396 m2 de un terreno entre tres familias, de forma directamente proporcional al número de hijos de cada una. Si cada familia tiene 2, 4 y 5 hijos respectivamente, ¿qué parte del terreno recibirá cada una? Solución: Sea k la constante de proporcionalidad directa: A la primera familia le corresponde: 2k A la segunda familia le corresponde: 4 k A la tercera familia le corresponde: 5k Por tanto: 2 k + 4 k + 5 k = 396 11 k = 396 k = 36

Luego a la primera familia le corresponde

2 ⋅ 36 = 72m 2

a la segunda familia le corresponde

4 ⋅ 36 = 144m 2

a la tercera familia le corresponde

5 ⋅ 36 = 180m 2 _____ 396

5

17 El monitor de senderismo de los cursos A, B y C de 3º de Secundaria les ha dado a los alumnos una bolsa de etiquetas para identificar las plantas. Si la bolsa tiene 624 etiquetas y los cursos tienen 11, 13 y 15 alumnos, respectivamente, ¿cuántas le tocan a cada uno si cada alumno debe recibir la misma cantidad? ¿Y a cada grupo?

Solución: Cantidad de reparto: 11 + 13 + 15 = 39. 624 = 16 Número de repartos iguales: 39 A cada uno le tocan 16 etiquetas. A 3º A le corresponden: 16 · 11 = 176 A 3º B le corresponden: 16 · 13 = 208 A 3º C le corresponden: 16 · 15 = 240

18 La constante de proporcionalidad directa entre dos números es 0,25 y el mayor es 48. ¿Cuál es el menor? Solución: x = 0,25 ⇒ x = 48 ⋅ 0,25 = 12 48

es el menor

19 Una bomba de agua tarda 20 minutos en verter 4 000 litros de agua. ¿Cuánto tardará en llenar una piscina de 140 m3? Solución: Como 4 000 l = 4 m3, la relación es:

20 x 20·150 = ⇒x= = 750 minutos = 12 horas y media. 4 150 4

20 Tres jugadores de fútbol se reparten 36 000 euros en proporción directa al número de partidos que ha jugado cada uno. Si jugaron 12, 15 y 18 respectivamente, ¿cómo se repartirán el dinero? Solución: Sea k la constante de proporcionalidad directa: Al primer jugador le corresponde: 12 k Al segundo jugador le corresponde: 15 k Al tercer jugador le corresponde: 18 k Por tanto: 12k + 15k + 18k = 36000 45k = 36000 k = 800 Luego al primer jugador le corresponde al segundo jugador le corresponde al tercer jugador le corresponde

12·800 = 9600 euros 15·800 = 1200 euros 18·800 = 14400 euros ________ 2 475 000

6

21

Halla los valores desconocidos de las siguientes razones:

12 y z 1,8 , , , sabiendo que la razón de t x 9 60

proporcionalidad vale 2. Solución: 12 =2⇒x=6 x y = 2 ⇒ y = 18 9 z = 2 ⇒ z = 120 60 1,8 = 2 ⇒ t = 0,9 t

22 Un coche recorre 700 km y ha gastado 35 litros de gasolina. Si continúa desplazándose en las mismas condiciones, ¿cuánto consumirá para recorrer 1 000 km? Solución: 35 x 35·1000 = ⇒x= = 50 litros 700 1000 700

23 Reparte 600 en partes directamente proporcionales a 1, 2 y 3. Solución: Sea k la constante de proporcionalidad directa: A 1 le corresponde: k A 2 le corresponde: 2k A 3 le corresponde: 3k Por tanto: k + 2 k + 3 k = 600 6 k = 600 k = 100 Luego a 1 le corresponde 1 ⋅ 100 = 100 a 2 le corresponde 2 ⋅ 100 = 200 a 3 le corresponde 3 ⋅ 100 = 300

_____ 600

24 Una fuente arroja 250 litros de agua cada minuto y medio. ¿Cuántos litros arrojará en una hora? Solución: Relación de proporcionalidad: 250 x 250 ⋅ 60 = ⇒x= = 10000 1,5 60 1,5

litros

7

25 Razona a cuál de las siguientes cantidades corresponde el reparto de 720 proporcional a los números 2, 6 y 12: a) 70, 210, 440 b) 72, 216, 432 c) 60, 120, 360

Solución: x+y+z x y z 720 = = = = = 36 ⇒ x = 36 · 2 = 72 y = 36 · 6 = 216 2 6 12 2 + 6 + 12 20 Por tanto, el reparto proporcional a 2, 6 y 12 es el del apartado b: 72, 216, 432.

z = 36 · 12 = 432

26 Forma tres proporciones directas con los números 4, 10, 6 y 15. Solución: 4 6 = ; 10 15

15 6 = ; 10 4

15 10 = 6 4

27 Completa la siguiente tabla para que las magnitudes sean directamente proporcionales. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

12

3 1,25

20

6,75 6,5

Solución:

3 12 3 x = ⇒ x = 80 = ⇒ x = 0,1875 20 x 20 1,25 La constante de proporcionalidad es 0,15

3 x = ⇒ x = 0,975 20 6,5

3 6,75 = ⇒ x = 45 20 x

28 En un mercado se venden bolsas de naranjas. Unas son de 6 kg y valen 2,40 euros y otras, de 7 kg, valen 3 euros. ¿Los precios de las naranjas son proporcionales a los kilogramos?

8

Solución: Si son proporcionales se tiene que verificar:

2,4 3 = 6 7

Los productos cruzados son:

2,4 · 7 = 16,8 3 · 6 = 18 Como son distintos, las magnitudes no son proporcionales.

29 Halla el valor de x en las siguientes proporciones: a)

10 8 = 10 + x 28

b)

25 x = x 4

c)

6 2x = 5 15

Solución:

⎧10 ⋅ 28 = 8 ⋅ (10 + x ) ⎪⎪ 10 8 a) = ⇒ ⎨280 = 80 + 8 x 10 + x 28 ⎪ ⎪⎩x = 25

⎧25 ⋅ 4 = x ⋅ x ⎪ 25 x ⎪ b) = ⇒ ⎨100 = x 2 x 4 ⎪ ⎪⎩x = 10 ⎧6 ⋅ 15 = 5 ⋅ 2x ⎪⎪ 6 2x c) = ⇒ ⎨90 = 10 x 5 15 ⎪ ⎩⎪x = 9

9

30 ¿Son proporcionales los lados de un triángulo que miden 14 cm, 16 cm y 20 cm con otro triángulo cuyos lados miden 21 cm, 24 cm y 30 cm respectivamente? En caso afirmativo, indica en qué proporción es más grande el segundo triángulo. Solución:

20 cm

24 cm

24 cm

30 cm

14 cm 21 cm

Si son proporcionales, ya que: 21 24 30 = = = 1,5 14 16 20 Por tanto el segundo triángulo es un 50% más grande que el primero. 31 Reparte 246000 en partes directamente proporcionales a 1500, 2000 y 2500. Solución: Sea k la constante de proporcionalidad directa: A 1500 le corresponde: 1500 k A 2000 le corresponde: 2000 k A 2500 le corresponde: 2500 k Por tanto: 1500 k + 2000 k + 2500 k = 246000 6000 k = 246000 k = 41 Luego a 1500 le corresponde a 2000 le corresponde a 2500 le corresponde

1500 ⋅ 41 = 61500 2000 ⋅ 41 = 82000 2500 ⋅ 41 = 102500 _______ 246000

32 La constante de proporcionalidad directa entre dos números es 6/5 y el mayor es 12. ¿Cuál es el menor? Solución: 12 6 12 ⋅ 5 = ⇒x= = 10 x 5 6

es el menor

10

33 En un bizcocho para 10 personas se tenían que emplear 5 huevos, 2 vasos y medio de leche, 75 gramos de mantequilla y 8 cucharadas de azúcar. ¿Qué cantidad de cada ingrediente habrá que emplear para 8 personas? Solución: -

5 x = ⇒ x = 4 huevos 10 8 2,5 x = ⇒ x = 2 vasos Leche: 10 8 75 x = ⇒ x = 60 gramos Mantequilla: 10 8 8 x = ⇒ x = 6,4 cucharadas Azúcar: 10 8

Huevos:

34 En un momento de la tarde, una persona de 1,80 m de altura proyecta una sombra que mide 3,60 m. ¿Qué altura tendrá un árbol que a esa misma hora proyecta una sombra de 34 m?

Solución: 1,80 x 1,80·34 = ⇒x= = 17 m 3,60 34 3,60

35 Luis hace una limonada con 12 litros de agua y 8 litros de zumo de limón. ¿Cuál es el porcentaje de zumo de limón que hay en la limonada? Solución: Líquido total:

12 + 8 = 20

Proporción de zumo de limón:

8 = 0,40 20

El tanto por uno es de 0,40. El porcentaje es: 0,40 · 100 = 40%

36 Un equipo de música cuesta 120 euros más el 16% de IVA, ¿cuánto habrá que pagar por el equipo? Solución: El 16% de 120 euros es: 16 x 16·120 = ⇒x= = 19,20 euros 100 120 100 Por tanto, el equipo costará 120 + 19,20= 139,20 euros.

37 En una tienda rebajan un juego que costaba 28 euros en un 18%, ¿cuánto habrá que pagar por el juego después del descuento?

11

Solución: El 18% de 28 es: 18 x 18·28 = ⇒x= = 5,04 100 28 100 Por tanto, el precio final es 28 - 5,04=22,96 euros.

38 Si 2 de cada 8 alumnos de la clase suspenden una asignatura, ¿qué tanto por ciento de alumnos aprobará la asignatura? ¿Cuántos alumnos suspenden si en la clase hay 36 alumnos? Solución: El tanto por ciento de alumnos que suspenden la asignatura es: 2 x 2 ⋅ 100 = ⇒x= = 25 ⇒ 25% 8 100 8 Por tanto, un 75% de los alumnos aprueba. El número de alumnos que suspende es: 25 x 25 ⋅ 36 = ⇒x= = 9 alumnos 100 36 100

39 De los 180 alumnos de 3º de ESO que hay en un colegio, el 45% son chicos. ¿Cuántas chicas hay en el curso? Solución: Si el 45% son chicos, el 55 % serán chicas. Por tanto: 55 x 55 ⋅ 180 = ⇒x= = 99 100 180 100

son chicas

40 Unas zapatillas deportivas están etiquetadas con 50 euros y tienen un descuento del 30%. a) ¿Cuántos euros se descuentan? b) ¿Cuánto hay que pagar?

Solución: a) Descuento: 50 · 0,3 = 15 euros b) Tiene que pagar: 50 − 15 = 35 euros

41 Expresa cómo se calcula la subida según el porcentaje: a) 25% b) 20% c) 30% d) 40%

12

Solución: Se multiplica el artículo por: a)

100% + 25% = 125%

⇒

b)

100% + 20% = 120%

⇒

c)

100% + 30% = 130%

⇒

d)

100% + 40% = 140%

⇒

125 100 120 100 130 100 140 100

= 1,25 = 1,20 = 1,30 = 1,40

42 ¿Quién es mayor, el 20% del 50% de 80 o el 250% del 5% de 50? Solución: 20 ⎛ 50 20 ⎞ ·⎜ ·80 ⎟ = ·40 = 8 100 ⎝ 100 ⎠ 100 250 ⎛ 5 ⎞ 250 ·⎜ ·50 ⎟ = ·2,5 = 6,25 100 ⎝ 100 ⎠ 100 Por tanto es mayor el 20% del 50% de 80

43

Halla la suma del 40% de Solución: 1 40% de : 4 1 50% de : 5 La suma:

1 1 y del 50% de . 5 4

4010 1 40 1 · = = 100 4 400 10 50 1 50 1 · = = 100 5 500 10 1 1 1 1 + = = 10 10 10 5

44 Calcula: a) b) c)

12% de 240 25% de 1080 33% de 900

13

Solución: a) 12% de 240: Relación de proporcionalidad: b)

25% de 1080: Relación de proporcionalidad:

c)

12 x 240 ⋅ 12 = ⇒x= = 28,8 100 240 100 25 x 1080 ⋅ 25 = ⇒x= = 270 100 1080 100

33% de 900: Relación de proporcionalidad:

33 x 900 ⋅ 33 = ⇒x= = 297 100 900 100

45 El precio de la habitación de un hotel es 55 euros por día, si sube los fines de semana un 30%, ¿cuál es el valor de la subida? Solución: El 30 % de 55 es: 30 x 55·30 = ⇒x= = 16,50 100 55 100 El hotel sube 16,50 euros los fines de semana.

46 Expresa en tanto por uno los siguientes valores: a) b) c)

2% 37% 67,5 %

Solución: a) 2% =

2 = 0,02 100

b) 37% =

37 = 0,37 100

c) 67,5% =

67,5 = 0,675 100

47 En un terreno que mide 16500 m2 únicamente el 12 ‰ urbanizada?

Solución: El 12 ‰ de 16500 es: 12 x 12 ⋅ 16500 = ⇒x= = 198 1000 16500 1000 Por tanto, la superficie urbanizada mide 198 m2

14

está urbanizado. ¿Cuánto mide la superficie

48 Expresa cómo se calcula el precio rebajado con el porcentaje: e) 20% f) 15% g) 30% h) 50%

Solución: Se multiplica el artículo por: e)

100% − 20% = 80%

⇒

f)

100% − 15% = 85%

⇒

g)

100% − 30% = 70%

⇒

h)

100% − 50% = 50%

⇒

80 = 0,8 100 85 = 0,85 100 70 = 0,7 100 50 = 0,5 100

49 Calcula el número: d) cuyo 5% sea 25 e) cuyo 15% sea 87 f) cuyo 76% sea 190

Solución: d) 5% de x es 25 Relación de proporcionalidad:

5 25 25 ⋅ 100 = ⇒x= = 500 100 x 5

e) 15% de x es 87 Relación de proporcionalidad: f)

15 87 100 ⋅ 87 = ⇒x= = 580 100 x 15

76 % de x es 190 Relación de proporcionalidad:

76 190 100 ⋅ 190 = ⇒x= = 250 100 x 76

50 En la clase de 3º A, 15 de los 20 alumnos estudian francés como segunda lengua, y en la clase de 3º B 18 de los 25 alumnos. proporcionalmente, ¿dónde estudian francés más alumnos? Solución: 15 x 15·100 = ⇒x= = 75% 20 100 20 y 18 18·100 Clase de 3º B: = ⇒y= = 72% 25 100 25 El porcentaje es mayor en 3º A.

Clase de 3º A:

15

51 Un cultivo de bacterias de un laboratorio tiene 120 000 bacterias y adquiere una enfermedad que produce la muerte del 16% de la población. Tratadas las bacterias supervivientes con un producto muy eficaz se consigue aumentar la población en un 14%. ¿Cuántas bacterias forman la población finalmente? Solución: 120 000 · 0,16 = 19 200 bacterias mueren. Quedan: 120 000 − 19 200 = 100 800 100 800 · 0,14 = 14 112 nacen. Luego forman la población: 100 800 + 14 112 = 114 912 bacterias

52 El 12% de los estudiantes del instituto al que va Carlos son de tercero de ESO, y Luis va a otro en el que el 17% de los estudiantes son de tercero de ESO. El instituto de Carlos tiene 950 alumnos y el de Luis 900. ¿Cuál es el porcentaje de alumnos que hay en tercero de ESO entre los dos institutos? ¿Será suma de los porcentajes de tercero de ESO que hay en cada instituto? Solución: Alumnos tercero de ESO en el instituto de Carlos: 950 · 0,12 = 114 Alumnos tercero de ESO en el instituto de Luis: 900 · 0,17 = 153 El total de alumnos de tercero de ESO entre los dos institutos es: 114 + 153 = 267 El total de alumnos entre los dos institutos: 950 + 900 = 1 850 Si x es el tanto por ciento de alumnos de tercero de ESO entre los dos institutos: x 267·100 1850· = 267 ⇒ x = = 14,43% 100 1850 Ese porcentaje no es la suma de los porcentajes de tercero de EXO que hay en cada instituto.

53 Calcula el tanto por ciento de alcohol en una mezcla de 3 litros de alcohol y 5 litros de agua. Solución: Líquido total: 3 + 5 = 8 3 = 0,375 es el tanto por 1. 8 El tanto por ciento es: 0,375 · 100 = 37,5%

54 Calcula: a) b) c)

27% de 15000 15,5% de 180 24,25% de 3010

Solución: g) 27% de 15000: Relación de proporcionalidad:

27 x 15000 ⋅ 27 = ⇒x= = 4050 100 15000 100

h) 15,5% de 180: Relación de proporcionalidad: i)

15,5 x 180 ⋅ 15,5 = ⇒x= = 27,9 100 180 100

24,25% de 3010: Relación de proporcionalidad:

24,25 x 3010 ⋅ 24,25 = ⇒x= = 729,925 100 3010 100

16

55 Expresa en tanto por ciento los siguientes valores: a) 0,13 b) 25 ‰ 17 c) 25

Solución: a) 0,13 =

13 = 13% 100

b) 25‰ =

25 = 2,5% 1000

c)

17 = 0,68 = 68% 25

56 Expresa en tanto por uno los siguientes valores: a) 25 ‰ b) 100 ‰ 4 c) 5

Solución: a) 25‰ =

25 = 0,025 1000

b) 100‰ = c)

100 = 0,1 1000

4 = 0,8 5

57 Una impresora cuesta 359 euros, pero como hay que pagar el IVA, al final vale 416,44 euros. ¿Qué tanto por ciento de IVA has pagado? Solución: x 359· = 3,59 x es la cantidad de IVA que hay que pagar. 100 416,44 − 359 Por tanto: 3,59 + 3,59 x = 416,44 ⇒ x = = 16 3,59 Se ha pagado el 16% de IVA.

Si el tanto por ciento de IVA es x, entonces:

58 En un anuncio de rebajas dice: Pijamas: Antes 15,75, ahora, 11,95. Zapatos: Antes 39,90, ahora 29,95. Se quiere saber: a) ¿Están rebajados estos artículos proporcionalmente? b) Si no es así, ¿cuál lo está más?

17

Solución: Rebaja pijamas:

15,75 − 11,95 = 3,80

⇒

Tanto por ciento de la rebaja:

Rebaja zapatos:

39,90 − 29,95 = 9,95

⇒

Tanto por ciento de la rebaja:

3,80 ·100 = 24,126% 15,75 9,95 ·100 = 24,937% 39,90

Las rebajas son prácticamente las mismas, pero no están rebajados proporcionalmente pues:

3,80 9,95 = 15,75 39,90

59 Un apartamento está valorado en 80 000 euros. Está previsto que se revalorice su precio un 5% por año. ¿Cuánto valdrá dentro de 3 años? Solución: Año

Valor inicial

Valor final

1

80 000

80 000 · 1,05 = 84 000

2

84 000

84 000 · 1,05 = 88 200

3

88 200

88 200 · 1,05 = 92 610

60 El salario de una persona es 1265 euros mensuales y aumenta en 22,77 euros. ¿Cuál es el porcentaje de la subida? Solución: El tanto por ciento de la subida es: x 22,77 22,77·100 = ⇒x= = 1,8 ⇒ 1,8% 100 1265 1265

61 Calcula qué porcentaje de: g) 120 es 30 h) 280 es 35 i) 1200 es 540

Solución: j) x % de 120 es 30 Relación de proporcionalidad:

x 30 30 ⋅ 100 = ⇒x= = 25 ⇒ 25% 100 120 120

k) x % de 280 es 35 Relación de proporcionalidad: l)

x 35 35 ⋅ 100 = ⇒x= = 12,5 ⇒ 12,5% 100 280 280

x % de 1200 es 540 Relación de proporcionalidad:

x 540 100 ⋅ 540 = ⇒x= = 45 ⇒ 45% 100 1200 1200

18

62 Si el 150% de cierto número es 300, ¿cuál es el 80% de ese número? Solución: N es el número: El 80% de 200:

150 300·100 ·N = 300 ⇒ N = = 200 100 150 80 ·200 = 160 100

63 Una moto está etiquetada, sin IVA (16%),en 800 euros. El vendedor le dice que puede hacerle una rebaja del 20%. Calcula su coste final con porcentajes encadenados. Solución: Coste: 800 · 0,8 · 1,16 = 742,40 euros

64 Un artículo que vale 120 euros, ante la excesiva demanda, sube un 20%. Luego, cuando se reduce la demanda, se rebaja un 20%. ¿Sigue valiendo lo mismo que antes? Solución: Subida: 120 · 1,20 = 144 euros Rebaja: 144 · 0,8 = 115,20 euros Vale menos que antes de la subida.

65 Expresa en tanto por mil los siguientes valores: a) 0,7% b) 2,8 6 c) 40

Solución: a) 0,7% = b) 2,8 = c)

7 70 = = 70‰ 100 1000

28 2800 = = 2800‰ 10 1000

6 150 = = 150‰ 40 1000

66 La producción de cebollas y zanahorias en España está en una relación de 8 a 5. Si a producción de cebollas disminuye en un 15% y la de zanahorias aumenta en un 20%, ¿en qué relación queda la producción? (Expresa la relación en números enteros) Solución: Cebollas: 8 − 8 · 0,15 = 6,8 Zanahorias: 5 + 5 · 0,20 = 6 La producción sería 6,8 a 6. Con números enteros, 68 a 60 que simplificado es 17 a 15.

19

67 Un programa de televisión fue visto en el mes de septiembre por 540 000 espectadores, lo que supone un 28% más que el mes anterior. ¿Cuántos espectadores vieron el programa en el mes de agosto? Solución: El porcentaje de espectadores en septiembre es el 128% con respecto al 100 % del mes de agosto. Por tanto, 540000 x 540000 ⋅ 100 = ⇒x= = 421875 espectadores lo vieron en agosto 128 100 128

68 Calcula: 1 5 k) 12 ‰ de 1400 l) 68 ‰ de 2150

j)

25% de

Solución: m) 25% de

1 5

Relación de proporcionalidad:

25 x 25 ⋅ 0,2 1 = ⇒x= = 0,05 = 100 0,2 100 20

n) 12 ‰ de 1400 Relación de proporcionalidad:

12 x 1400 ⋅ 12 = ⇒x= = 16,8 1000 1400 1000

o) 68 ‰ de 2150 Relación de proporcionalidad:

68 x 2150 ⋅ 68 = ⇒x= = 146,2 1000 2150 1000

20

69 Comprueba si las siguientes magnitudes son inversamente proporcionales y en caso afirmativo señala cuál es la constante de proporcionalidad inversa: a) Mag. A

2

4

Mag. B

8

4

b) Mag. A

10

20

Mag. B

3

6

c) Mag. A

6

10

Mag. B

2,5

1,5

Solución: a) Sí son inversamente proporcionales, ya que, 2 ⋅ 8 = 4 ⋅ 4 = 16 , que es la constante de proporcionalidad inversa b) No son inversamente proporcionales, ya que, 10 ⋅ 3 ≠ 20 ⋅ 6 c) Sí son inversamente proporcionales, ya que, 6 ⋅ 2,5 = 10 ⋅ 1,5 = 15 , que es la constante de proporcionalidad inversa.

70 Calcula el valor de x en el siguiente caso de proporcionalidad compuesta inversa: Mag A Mag B Mag C 25

6

4

12

x

10

Solución: Se reduce a una proporción simple: 12 10 6 120 6 6 ⋅ 100 ⋅ = ⇒ = ⇒x= =5 25 4 x 100 x 120

71 Completa la siguiente tabla para que las magnitudes sean inversamente proporcionales: 2 60

3

5 15

4

21

Solución:

2

3

8

5 30

60 40 15 24 4

60 ⋅ 2 = 3 ⋅ x ⇒ x = 40;

60 ⋅ 2 = x ⋅ 15 ⇒ x = 8;

60 ⋅ 2 = 5 ⋅ x ⇒ x = 24;

60 ⋅ 2 = x ⋅ 4 ⇒ x = 30

72 La constante de proporcionalidad inversa entre dos números es 63 y uno de ellos es el 14, ¿cuál es el otro? Solución: 14 ⋅ x = 63 ⇒ x =

63 = 4,5 14

73 Señala cuál es la constante de proporcionalidad inversa en las siguientes relaciones entre magnitudes: a) Mag. A

2

4

1,6

Mag. B

10

5

12,5

Mag. A

6

4,5

1,125

Mag. B

1,5

2

8

b)

Solución: a) La constante de proporcionalidad inversa es: 2 ⋅ 10 = 4 ⋅ 5 = 1,6 ⋅ 12,5 = 20 b) La constante de proporcionalidad inversa es: 6 ⋅ 1,5 = 4,5 ⋅ 2 = 1,125 ⋅ 8 = 9

74 Si al repartir cierta cantidad de dinero entre 6 personas cada uno recibe 20 euros. ¿cuánto recibirán si se repartiese entre 15 personas? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad inversa?

22

Solución: Buscamos la constante de proporcionalidad inversa: 6·20 = 120 6·20 = 120 = 15·x ⇒ x =

120 = 8euros 15

La constante de proporcionalidad inversa es 120

75 Calcula el valor de x en el siguiente caso de proporcionalidad compuesta inversa: Mag A Mag B Mag C 64

1

1

x

4

10

Solución: Método de reducción a la unidad: 64 - 1- 1 64 = 16 - 4 - 1 4 16 = 1,6 - 4 - 10 10 Por tanto x = 1,6.

76 La constante de proporcionalidad inversa entre dos números es 182 y uno de ellos es el 1´75, ¿cuál es el otro? Solución: 1,75 ⋅ x = 182 ⇒ x =

182 = 104 1,75

77 Calcula el valor de x en el siguiente caso de proporcionalidad compuesta directa: Mag A 1

Mag B 1

Mag C 5

3

5

x

Solución: Método de reducción a la unidad: 1 - 1- 5 3 - 1 - 3 ⋅ 5 = 15 3 - 5 - 15 ⋅ 5 = 75 Por tanto x=75.

78 Tres personas pintan una valla en 2 días, ¿cuánto tardará en pintarla una persona sola?

23

Solución: Buscamos la constante de proporcionalidad inversa: 3⋅2 = 6 3 ⋅ 2 = 6 = 1⋅ x ⇒ x = 6 días

79 Se quieren reunir 1 200 euros para el viaje de fin de curso entre todos los alumnos que quieran participar. Completa la siguiente tabla. ¿Son magnitudes inversamente proporcionales? Nº de alumnos

80

20

Dinero por cada alumno (pesetas)

30

75

Solución: Nº de alumnos

80

40

20

16

Dinero por cada alumno (pesetas)

15

30

60

75

La constante de proporcionalidad inversa es 1200 Por tanto: 1200 : 80 =15 euros 1200: 30= 40 alumnos 1200 : 20= 60 euros 1200 : 75= 16 alumnos Sí son magnitudes inversamente proporcionales

80 Calcula el valor de x en el siguiente caso de proporcionalidad compuesta directa: Mag Mag Mag A B C 25 6 4 12

x

10

Solución: Se reduce a una proporción simple: 3 5 6 15 6 6 ⋅ 12 ⋅ = ⇒ = ⇒x= = 4,8 6 2 x 12 x 15

81 Nueve trabajadores emplean cuatro días en realizar una reparación, ¿cuántas personas deberían trabajar en la obra si se precisara realizarla en 36 horas?

24

Solución: 36 horas son 1,5 días La constante de proporcionalidad inversa es: 9 ⋅ 4 = 36 9 ⋅ 4 = 36 = x ⋅ 1,5 ⇒ x =

36 = 24 trabajador es 1,5

82 Calcula el valor de x en el siguiente caso de proporcionalidad compuesta inversa: Mag A Mag B Mag C 45

120

84

56

45

x

Solución: Se reduce a una proporción simple: 56 45 84 2520 84 84 ⋅ 5400 ⋅ = ⇒ = ⇒x= = 180 45 120 x 5400 x 2520

83 Calcula el valor de x en el siguiente caso de proporcionalidad compuesta directa-inversa: Mag Mag Mag A B C D I 5 20 9 12

16

x

Solución: Se reduce a una proporción simple: 5 16 9 80 9 9 ⋅ 240 ⋅ = ⇒ = ⇒x= = 27 12 20 x 240 x 80

84 María tarda 42 días en preparar un examen estudiando 4 temas y medio diarios, ¿cuántos temas debería estudiar cada día si solamente dispone de 35 días para preparar el examen? Solución: La constante de proporcionalidad inversa es: 42 ⋅ 4,5 = 189 42 ⋅ 4,5 = 189 = 35 ⋅ x ⇒ x =

189 = 5,4 temas diarios 35

85 Completa la siguiente tabla para que las magnitudes sean inversamente proporcionales: 2

4 4,5

40 0,6

60 0,2

25

Solución: 2

4

30

40

60

90

9

4,5

0,6

0,45

0,3

0,2

4 ⋅ 4,5 = 2 ⋅ x ⇒ x = 9;

4 ⋅ 4,5 = x ⋅ 0,6 ⇒ x = 30;

4 ⋅ 4,5 = 60 ⋅ x ⇒ x = 0,3;

4 ⋅ 4,5 = 40 ⋅ x ⇒ x = 0,45

4 ⋅ 4,5 = x ⋅ 0,2 ⇒ x = 90

86 5 personas consumen en 2 días 100 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua consumirán 8 personas durante una semana? Solución: 5 personas 8 personas

⎯ ⎯

2 días ⎯ 100 litros 7 días ⎯ x litros

Proporcionalidad compuesta directa Se reduce a una proporción simple:

5 2 100 10 100 100 ⋅ 56 ⋅ = ⇒ = ⇒x= = 560 litros 8 7 x 56 x 10

87 Un ciclista para recorrer una distancia emplea 7 días, a razón de 60 kilómetros por día, pedaleando 6 horas diarias. ¿Cuántos kilómetros deberá realizar cada día si quiere cubrir la misma distancia en 5 días pedaleando 8 horas diarias? Solución: 60 km/día ⎯ x km/día ⎯

6 horas/día 8 horas/día

⎯ 7 días ⎯ 5 días

Proporcionalidad compuesta inversa Se reduce a una proporción simple:

60 8 5 60 40 60 ⋅ 42 = ⋅ ⇒ = ⇒x= = 63 km/día x 6 7 x 42 40

88 Con un bote de pintura de 1 kilogramo se pinta una pared de 4 metros. ¿Cuántos botes de 3 kilogramos serán precisos para pintar una pared de 24 metros?

26

Solución: 1 bote ⎯ 1 kilogramo ⎯ 4 metros x botes ⎯ 3 kilogramo ⎯ 24 metros

Proporcionalidad compuesta directa-inversa 24 = 6 botes de 1 kilogramo 4 6 Si emplea botes de 3 kilogramos serán precisos: = 2 botes 3

Para pintar 24 metros de pared utilizará:

89 Un mecánico trabajando una hora diaria tarda 6 días en reparar un vehículo. ¿Cuánto tiempo tardarán 3 mecánicos en repararlo si trabajan 5 horas diarias? Solución: 1 mecánico ⎯ 3 mecánico ⎯

1 horas/día 5 horas/día

⎯ 6 días ⎯ x días

Proporcionalidad compuesta inversa 6 = 2 días 3 2 = 0,4 días⇒ 9 horas y 36 minutos 3 mecánicos trabajando 5 horas diarias tardarán: 5

3 mecánicos trabajando 1 hora diaria tardarán:

90 Calcula el valor de x en las siguientes proporciones inversas y señala cuál es la constante de proporcionalidad inversa: a) b) c)

2 ⋅ 150 = 75 ⋅ x x ⋅ 18 = 42 ⋅ 3 2,5 ⋅ x = 3,75 ⋅ 5,5

Solución: a) 2 ⋅ 150 =4 75 La constante de proporcionalidad inversa es 300 b) 42 ⋅ 3 x ⋅ 18 = 42 ⋅ 3 ⇒ x = =7 18 La constante de proporcionalidad inversa es 126 c) 3,75 ⋅ 5,5 2,5 ⋅ x = 3,75 ⋅ 5,5 ⇒ x = = 8,25 2,5 La constante de proporcionalidad inversa es 20,625. 2 ⋅ 150 = 75 ⋅ x ⇒ x =

27

91 Para transportar 450 kilogramos de alimentos se contratan 3 camiones con una capacidad de 4 toneladas cada uno. ¿Cuántos camiones de dos toneladas y media habrá que contratar para transportar 750 kilogramos de alimentos? Solución: 450 kg ⎯ 750 kg ⎯

3 camiones ⎯ 4 Tn x camiones ⎯ 2,5 Tn

Proporcionalidad compuesta directa-inversa Se reduce a una proporción simple:

3 450 2,5 3 1125 3 ⋅ 3000 = ⋅ ⇒ = ⇒x= = 8 camiones x 750 4 x 3000 1125

92 Con el agua de un depósito se llenan 630 botellas de 3/4 de litro, ¿cuántas botellas de 3/2 se necesitarán para almacenar la misma cantidad de agua? Solución: La constante de proporcionalidad inversa es 630 ⋅ 0,75 = 472,5 630 ⋅ 0,75 = 472,5 = x ⋅ 1,5 ⇒ x =

472,5 = 315 botellas de litro y medio 1,5

93 Completa la siguiente tabla sabiendo que la magnitud B corresponde al 10%, 40 % y 62,5 % respectivamente de los valores de la magnitud A. Comprueba si ambas magnitudes son inversamente proporcionales y en caso afirmativo señala cuál es la constante de proporcionalidad. Magnitud A Magnitud B

10 50 40 0

28

Solución: Magnitud A Magnitud B

10 50 40 0 10 20 25

10% de 100 ⇒ 40% de 50 ⇒

10 x = ⇒ x = 10 100 100

40 x = ⇒ x = 20 100 50

62,5 x = ⇒ x = 25 100 40 Por tanto, las magnitudes A y B son inversamente proporcionales, ya que 100 ⋅ 10 = 50 ⋅ 20 = 40 ⋅ 25 = 1000 , que es la constante de proporcionalidad inversa 62,5% de 40 ⇒

94 Marta tarda 36 minutos en ir andando al colegio, ¿cuánto tardará si decide ir a 1/3 de la velocidad habitual? ¿y si decide ir el doble de rápido? Solución: Si decide ir a 1/3 de la velocidad tardará: Relación de proporcionalidad inversa: 1 36 ⋅ 1 = x ⋅ ⇒ x = 36 ⋅ 3 = 108 minutos 3 Si decide ir al doble de la velocidad tardará: Relación de proporcionalidad inversa: 36 36 ⋅ 1 = x ⋅ 2 ⇒ x = = 18 minutos 2

95 Para cubrir el suelo de una casa se necesitan 270 baldosas de 24 cm de largo y 15 de ancho. ¿Cuántas baldosas serían precisas si cada una mide 20 cm de largo y 12,5 cm de ancho? Solución: 270 baldosas ⎯ x baldosas ⎯

24 cm de largo 20 cm de largo

⎯ 15 cm de ancho ⎯ 12,5 cm de ancho

Proporcionalidad compuesta inversa Se reduce a una proporción simple:

x 24 15 x 360 270 ⋅ 360 = ⋅ ⇒ = ⇒x= = 388,8 baldosas 270 20 12,5 270 250 250

29

96 El tiempo que tarda un vehículo en recorrer una distancia depende de la velocidad empleada. Completa la siguiente tabla. ¿Qué tipo de relación hay entre ambas magnitudes? ¿Cuántos kilómetros tiene el recorrido? Velocidad (km/h) Tiempo (horas)

90 5

3

120 2,5

Solución: Las magnitudes son inversamente proporcionales, puesto que, a mayor velocidad menos tiempo tardará el vehículo en recorrer la distancia. Velocidad (km/h)

54

90

108

120

Tiempo (horas)

5

3

2,5

2,25

270 = 54 km/h 5 270 Si tarda 2 horas y media la velocidad es: 90 ⋅ 3 = 270 = x ⋅ 2,5 ⇒ x = = 108 km/h 2,5

Si tarda 5 horas la velocidad empleada es: 90 ⋅ 3 = 270 = x ⋅ 5 ⇒ x =

Si la velocidad es 120 km/h tardará: 90 ⋅ 3 = 270 = 120 ⋅ x ⇒ x =

270 = 2,25 h.⇒ 2 horas y cuarto 120

El recorrido tiene 270 kilómetros, que es la constante de proporcionalidad inversa.

97 Un campamento de 45 alumnos tiene provisiones para 16 días, ¿cuántos días podrá durar el campamento si fuesen 15 alumnos más? Solución: Si fueran 60 alumnos el campamento podría durar: buscamos la constante de proporcionalidad inversa: 45 ⋅ 16 = 720 45 ⋅ 16 = 720 = 60 ⋅ x ⇒ x = 12 días

98 Un ganadero quiere transportar cierto número de vacas. Para ello contrata 15 camiones con una capacidad de 8 vacas cada uno, que realizarán el trabajo en 10 días. ¿Cuánto tiempo tardarán si contrata la tercera parte de camiones con una capacidad para 12 vacas?

30

Solución: 15 camiones ⎯ 8 vacas c/u ⎯ 10 días 5 camiones ⎯ 12 vacas c/u ⎯ x días Proporcionalidad compuesta inversa Se reduce a una proporción simple:

5 12 10 60 10 120 ⋅ 10 ⋅ = ⇒ = ⇒x= = 20 días 15 8 x 120 x 60

99 Calcula el valor de x en las siguientes relaciones entre magnitudes: a) 4 y 6 son inversamente proporcionales a 60 y x , respectivamente. b) 10 y x son inversamente proporcionales a 30 y 50 , respectivamente. c) x y 100 son inversamente proporcionales a 12,5 y 8, respectivamente.

Solución: a) Relación de proporcionalidad inversa: 4 ⋅ 60 4 ⋅ 60 = 6 ⋅ x ⇒ x = = 40 6 b) Relación de proporcionalidad inversa: 10 ⋅ 30 10 ⋅ 30 = x ⋅ 50 ⇒ x = =6 50 c) Relación de proporcionalidad inversa: 100 ⋅ 8 x ⋅ 12,5 = 100 ⋅ 8 ⇒ x = = 64 12,5

10 Calcula el valor de x en el siguiente caso de proporcionalidad compuesta directa: 0 Mag A Mag B Mag C 20

66

12

44

80

x

Solución: Se reduce a una proporción simple: 20 66 12 1320 12 3520 ⋅ 12 ⋅ = ⇒ = ⇒x= = 32 44 80 x 3520 x 1320

31