PROPUESTA A 1. Dada la ecuación matricial I  3  X  A  X  B a) Resuelve matricialmente la ecuación. (0.75 puntos)  3 0  , calcula la matriz X que cumple A  X  I , donde I es la matriz identidad de b) Si A   7 1 orden 2. (0.75 puntos)

2. En una tienda de ropa figura la siguiente afirmación: Tres pantalones cuestan lo mismo que una camiseta y cuatro jerseys. Cinco pantalones cuestan lo mismo que cinco camisas y cuatro jerseys. Un pantalón, una camiseta y un jersey cuestan 85 euros. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (1.5 puntos) b) Determina el precio del pantalón, de una camisa y de un jersey. (0.5 puntos) ( x  1) 2  1 si x  0 3. Se considera la función f ( x)   . Se pide:  | x  1 | 1 si x  0

a) Continuidad en x = 0. (0.5 puntos) b) Extremos relativos en el intervalo ( – 2, 2). (1 punto) 4. La función f(x) = 2x2 + ax + b tiene un mínimo en el punto (2,– 5). Se pide: a) Determina el valor de “a” y de “b”. (1 punto) b) Para los valores hallados en el apartado anterior, escribe el intervalo en donde la función es creciente. (0.5 puntos) 5. En una empresa se producen dos tipos de sillas: A y B, en una proporción de 1 a 3, respectivamente. La probabilidad de que una silla tipo A sea defectuosa es 0.02 y de que una silla de tipo B sea defectuosa es 0.09. a) ¿Cuál es la proporción de sillas defectuosas? (0.75 puntos) b) Se escoge al azar una silla y resulta no defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tipo B? (0.75 puntos) 6. La duración de las llamadas de teléfono, en una oficina comercial, sigue una distribución normal con desviación típica 10 segundos. Se toma una muestra de 100 llamadas y la media de duración obtenida en esa muestra es de 50 segundos. Se pide: a) Calcular un intervalo de confianza al 97 % para la duración media de las llamadas. (1 punto) b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (0.5 puntos) c) ¿Crees que sería válido el intervalo de confianza obtenido, si la encuesta se hubiera realizado con 100 llamadas de un único empleado? Razona tu respuesta. (0.5 puntos)

PROPUESTA B 1. Queremos invertir una cantidad de dinero en dos tipos de acciones y queremos que la cantidad invertida en las acciones de tipo A no pueda superar los 10.000 euros, la cantidad invertida en acciones de tipo B no puede superar los 12.000 euros y la suma de las cantidades invertidas no pueda exceder de 15.000 euros. El interés anual estimado por las acciones de tipo A es del 10 % y el ofrecido por las acciones del tipo B es del 11 %. a) Dibuja la región factible. (1 punto). b) Determina las cantidades que debe invertir en cada uno de los tipos para que el beneficio sea lo mayor posible. (0.5 puntos) 2. Al 50 % del total de los alumnos de una clase les gusta sólo el fútbol, al 20 % del total les gusta sólo el baloncesto y el resto, que son 6 alumnos, no les gustan estos deportes. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (1.5 puntos) b) Calcula el total de alumnos y el número de aficionados al fútbol y al baloncesto. (0.5 puntos)

 x 2  6 x  8 si x  2  0 si  2  x  2 . Se pide: 3. Se considera la función f ( x)    x 2  6x  8 si x  2  a) Límites laterales de la función f en el punto x = – 2. (0.5 puntos) b) Representación gráfica de la función f. (1 punto) 4. La temperatura T, en grados centígrados, de una reacción química viene dada en función del tiempo t, en horas, por la expresión T(t) = 10t∙(3 – t), en donde 0 ≤ t ≤ 3. Se pide: a) Temperatura que habrá a los 30 minutos de comenzada la reacción. (0.25 puntos) b) ¿En qué momento se alcanza la máxima temperatura y cuál es ésta? (1.25 puntos) 5. Según un estudio, el 40 % de los hogares europeos tienen contratado acceso a internet, el 33 % tiene contratada televisión por cable, y el 20 % disponen de ambos servicios. a) Si elegimos un hogar al azar y tiene televisión por cable, ¿cuál es la probabilidad de que tenga acceso a internet? (0.75 puntos) b) Se selecciona un hogar europeo al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga contratado ninguno de los dos servicios? (0.75 puntos) 6. Se ha extraído una muestra de 10 familias de residentes en un barrio obteniéndose los siguientes datos: 19987, 20096, 19951, 20263, 20014, 20027, 20023, 19942, 20078, 20069. Se supone que la renta familiar de los residentes en el barrio sigue una distribución normal de deviación típica 150 euros. a) Encontrar un intervalo de confianza al 95 % para la renta familiar media. (1 punto) b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (0.5 puntos) c) ¿Crees que sería válido el intervalo de confianza obtenido, si la encuesta se hubiera elegido entre familias con más ingresos del barrio? Razona tu respuesta. (0.5 puntos) 2

SOLUCIONES – PROPUESTA A 1. Dada la ecuación matricial I  3  X  A  X  B a) Resuelve matricialmente la ecuación. (0.75 puntos)  3 0  , calcula la matriz X que cumple A  X  I , donde I es la matriz identidad b) Si A   7 1   de orden 2. (0.75 puntos)

Solución. a) Resuelve matricialmente la ecuación. (0.75 puntos) Mediante los siguientes cambios algebraicos llegamos a la solución,

I  3 X  A X  B  3 X  A X  B  I

 (3I  A)  X  B  I

Siendo I la matriz identidad del mismo orden que X. En tal caso, exclusivamente cuando la matriz (3I + A) tenga inversa (es decir, sea cuadrada y tenga determinante no nulo), podremos despejar la matriz X del modo: X  (3  I  A) 1  ( B  I )

Además, para que (3I + A) sea cuadrada sólo cabe la posibilidad de que lo sean A e I y además tengan el mismo orden. Por lo tanto, X  (3  I  A) 1  ( B  I ) , si (3∙I +A) posee matriz inversa, A e I a son del mismo orden y su número de columnas es igual que el de filas de (B – I).  3 0  , calcula la matriz X que cumple A  X  I , donde I es la matriz identidad b) Si A   7 1   de orden 2. (0.75 puntos)

La ecuación tendrá solución, siempre y cuando la matriz A tenga matriz inversa, esto es, cuando su determinante sea 2. Calculamos el determinante de A, A 

3 0 7 1

30

Por lo tanto, la ecuación tendrá solución. Para calcularla, resolvemos matricialmente según, A X  I

 X  A1  I  A1

3

Calculamos la matriz inversa de A, Para ello, procedemos a calcularla mediante la fórmula,

A 1 

 

Adj A t A

Siendo At la matriz transpuesta de A y adj[At] la matriz adjunta de la transpuesta. Realizamos las operaciones correspondientes: 3 7  At   0 1

 1 0    adj[ A) t ]     7 3

1  1 0  A 1    3   7 3 

En ese caso, la solución X será:  1/ 3 0  X  A 1     7 / 3 1

2. En una tienda de ropa figura la siguiente afirmación: Tres pantalones cuestan lo mismo que una camiseta y cuatro jerseys. Cinco pantalones cuestan lo mismo que cinco camisas y cuatro jerseys. Un pantalón, una camiseta y un jersey cuestan 85 euros. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (1.5 ptos) b) Determina el precio del pantalón, de una camisa y de un jersey. (0.5 puntos) Solución. a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (1.5 ptos) Llamamos “x” al precio de cada pantalón; “y” al precio de cada camiseta; y “z” al precio de cada jersey. En estas condiciones los siguientes enunciados corresponden a las siguientes ecuaciones: Tres pantalones cuestan lo mismo que una camiseta y cuatro jerseys Cinco pantalones cuestan lo mismo que cinco camisas y cuatro jerseys Un pantalón, una camiseta y un jersey cuestan 85 euros

  

3x  y  4 z 5x  5 y  4 z x  y  z  85

Por lo tanto, el sistema que responde a las condiciones del problema viene determinado por: 3x  y  4 z   5x  5 y  4 z  x  y  z  85

Que ordenado será: 3x  y  4 z  0   5 x  5 y  4 z  0 x  y  z  85 

4

b) Determina el precio del pantalón, de una camisa y de un jersey. (0.5 puntos) Resolvemos el sistema por el método de Gauss colocando la tercera ecuación como la primera. 3x  y  4 z  0  x  y  z  85    5 x  5 y  4 z  0  5 x  5 y  4 z  0 x  y  z  85  3x  y  4 z  0   

La matriz de Gauss queda determinada por:

x

y

z

 1  1  1 85    5  5  4 0  3 1  4 0    Cambiamos la columna de las “x” por la de las “z”:

z

y

x

  1  1 1 85     4  5 5 0   4 1 3 0    Multiplicamos la primera ecuación por 4 y la sumamos a las otras dos:

z

y

x

z

y x

1 1 85       1 1 1 85   1   F ´2  F2 4 F1     0  1 9 340    4  5 5 0     ´3  F3  4 F1   4  1 3 0  F    0 3 7 340    Multiplicamos la segunda fila por 3 y se la sumamos a la tercera,

z

y x

z

y x

1 1 85      1 1 1 85  1      0  1 9 340      0  1 9 340  ´´3  F ´3 3 F ´2 0 3 7 340  F    0 0 34 1360   Si reescribimos la matriz como sistema, podemos resolver de modo sencillo, z  y  x  85  z  y  x  85  z  y  x  85  z  y  40  85       y  9 x  340   y  9 x  340   y  9 x  340   y  9  40  340    34 x  1360  x  1360 / 34  x  40 x  40    

5

z  y  85  40  z  y  45      y  360  340   y  340  360    x  40 x  40  



z  y  45   y  20   x  40  

z  45  20  y  20   x  40  

z  20  45  y  20   x  40  

z  25   y  20 x  40  

Por lo tanto, hay 40 pantalones, 20 camisas y 25 jerseys. ( x  1) 2  1 si x  0 3. Se considera la función f ( x)   . Se pide:  | x  1 | 1 si x  0

a) Continuidad en x = 0. (0.5 puntos) b) Extremos relativos en el intervalo ( – 2, 2). (1 punto) Solución. a) Continuidad en x = 0. (0.5 puntos) Para que una función sea continua en un valor de abcisa x = a se debe cumplir que los límites laterales en el punto x = a coincidan con a imagen de la abcisa x = a. Dicho de otro modo, lim f ( x)  lim f ( x)  f (a)

x  a

xa

En nuestro caso, debemos estudiar la continuidad en x = 0. Por lo tanto, estudiaremos los límites laterales y el valor de la función en el punto x = 0.   





lim f ( x)  lim ( x  1) 2  1  2

x  0

x0

lim f ( x)  lim | x  1 | 1  2

x  0

x0

f (0)  (0  1) 2  1  2

Al coincidir todos los valores, concluimos que la función f es continua en x = 0. b) Extremos relativos en el intervalo (– 2, 2). (0.5 puntos) Para el estudio de los extremos relativos, descartamos realizar derivadas por cuanto la función es a trozos y hay un valor absoluto de por medio. Procedemos a localizarlos mediante la representación gráfica. 6

En tal caso, la primera expresión algebraica (x ≤ 0) es una parábola. El vértice lo tiene en el valor que anula la derivada. Por tanto, derivando la expresión, [ ( x + 1)2 + 1 ]´ = 2(x+1) e igualando a cero, obtenemos, 2(x + 1) = 0  x = – 1 Además, sabemos que la parábola es con ramas hacia arriba sin más que observar el coeficiente del monomio de grado dos. Calculamos algunos valores a izquierda y derecha de la abcisa del vértice, teniendo en cuenta que nuestro dominio para tal expresión es x ≤ 0. x –1 – 1.5 –2 – 0.5 0

y = ( x + 1)2 + 1 1 1.25 2 1.25 2

En esta tabla hay que tener en cuenta que – 2 no pertenece al intervalo (– 2, 2) aunque si pertenece al dominio de la expresión que representamos. Por otra parte, la expresión | x – 1 | + 1, tendrá un punto “especial” en aquel valor que anula el valor absoluto (ahí es donde se produciría el cambio de signo de la función si no es por el valor absoluto). En tal caso, ese valor es: |x–1|=0  x=+1 Observamos que, para valores de abcisa superiores a x = 1, el valor absoluto no cambia el signo de la función ya que, si 1 < x, |x–1| +1=x–1+1=x Mientras que para valores de abcisa inferiores a x = 1, el valor absoluto cambia el signo de la función ya que, si 1 < x, |x–1| +1= –x+1+1=2–x Puesto que el dominio de nuestra expresión es (0, 2) entonces, tendremos que la representación serán dos segmentos (parte de la rectas y = x + 2 e y = 2 – x ). Tomamos algunos valores, x 0, 4x – 8 > 0  4x > 8  x > 2 Concluimos que la función es creciente en (2, + ∞).

5. En una empresa se producen dos tipos de sillas: A y B, en una proporción de 1 a 3, respectivamente. La probabilidad de que una silla tipo A sea defectuosa es 0.02 y de que una silla de tipo B sea defectuosa es 0.09. a) ¿Cuál es la proporción de sillas defectuosas? (0.75 puntos) b) Se escoge al azar una silla y resulta no defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tipo B? (0.75 puntos) Solución. a) ¿Cuál es la proporción de sillas defectuosas? (0.75 puntos) El problema se puede expresar mediante el siguiente diagrama de árbol:

9

En ese caso, la sillas defectuosas se puede calcular mediante el teorema de la probabilidad total según:

P(defectuosa )  P(defectuosa / A)  P( A)  P(defectuosa / B)  P( B)) 1 3 2 1 9 3 29  0´02   0´09       4 4 100 4 100 4 400

Por lo tanto, la proporción de defectuosas es 29/400. b) Se escoge al azar una silla y resulta no defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tipo B? (0.75 puntos) En ese caso, la probabilidad de que la silla sea del tipo B se puede calcular mediante el teorema de Bayes según:

P( B / no defectuosa ) 

P( No defectuosa / B)  P( B)  P( No defectuosa / A)  P( A)  P( No defectuosa / B)  P( B)



0´91 

3 4

1 3 0´98   0´91  4 4

 0´736

Por lo tanto, la probabilidad pedida es de 0´736 aproximadamente. 6.

La duración de las llamadas de teléfono, en una oficina comercial, sigue una distribución normal con desviación típica 10 segundos. Se toma una muestra de 100 llamadas y la media de duración obtenida en esa muestra es de 50 segundos. Se pide: a) Calcular un intervalo de confianza al 97 % para la duración media de las llamadas. (1pto) b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (0.5 puntos) c) ¿Crees que sería válido el intervalo de confianza obtenido, si la encuesta se hubiera realizado con 100 llamadas de un único empleado? Razona tu respuesta. (0.5 puntos) Solución. a) Calcular un intervalo de confianza al 97 % para la duración media de las llamadas. (1pto) Sea la variable aleatoria X que mide la duración de las llamadas de teléfono. Según los datos del problema esta variable se distribuye mediante una Normal de desviación conocida e igual a σ = 10 s. Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = 100 componentes y nos dicen que su media muestral es X  50 s. En estas condiciones nos preguntan el intervalo de confianza con 1 – α = 0´97 respecto a la media poblacional. Este intervalo sigue la fórmula:      X  z / 2  , X  z / 2   n n 

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Puesto que 1 – α = 0´97, entonces α = 0´03 y α/2 = 0´015 por lo que zα/2 = 2´17. Por tanto, sustituyendo en la fórmula del intervalo:  10 10   50  2´17  , 50  2´17    (47´83, 52´17) 100 100  

Concluimos que el intervalo de confianza al 97 % para la duración de las llamadas es (47´83, 52´17).

b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (0.5 puntos) La interpretación es sencilla. Hay una probabilidad del 97 % de que tomada una llamada al azar, dure entre 47´83 segundos y 52´17 segundos.

c) ¿Crees que sería válido el intervalo de confianza obtenido, si la encuesta se hubiera realizado con 100 llamadas de un único empleado? Razona tu respuesta. (0.5 puntos) Únicamente sería válido si se entiende que estamos analizando la duración de las llamadas de ese empleado en concreto. Si lo que se está analizando es la duración de las llamadas de cualquier persona de una población determinada con más de un individuo, está claro que estamos sesgando la muestra al tomar un solo comunicante ya que este puede no representar a la población en estudio. Por ejemplo, si tenemos una población de personas que invierten mucho tiempo en sus llamadas, y tomamos como muestra al azar a aquella persona que no usa casi el teléfono, estamos claramente sesgando el resultado porque los resultados no serán representativos de lo que realmente ocurre.

11

SOLUCIONES – PROPUESTA B 1. Queremos invertir una cantidad de dinero en dos tipos de acciones y queremos que la cantidad invertida en las acciones de tipo A no pueda superar los 10.000 euros, la cantidad invertida en acciones de tipo B no puede superar los 12.000 euros y la suma de las cantidades invertidas no pueda exceder de 15.000 euros. El interés anual estimado por las acciones de tipo A es del 10 % y el ofrecido por las acciones del tipo B es del 11 %. a) Dibuja la región factible. (1 punto). b) Determina las cantidades que debe invertir en cada uno de los tipos para que el beneficio sea lo mayor posible. (0.5 puntos) Solución. a) Dibuja la región factible. (1 punto) Si llamamos “x” al número de acciones de tipo A e “y” al número de acciones el tipo B, tendremos que los datos anteriores nos llevan a una expresión algebraica de la región factible del tipo: 10.000  x  0, 12.000  y  0  x  y  15.000 

Las dos primeras expresiones nos determinan dos rectas verticales, x = 0 x = 10.000, junto con dos horizontales y = 0 e y = 12.000 que restringen la zona de soluciones a un rectángulo. En cuanto a la tercera expresión, x + y ≤ 15.000, representamos el semiplano de posibles soluciones a que da lugar a partir de, primeramente, la representación de la recta y = 15.000 – x x 0 15.000

y = 15.000 – x 15.000 0

Representamos la recta y el rectángulo en un mismo plano cartesiano determinando la pertenencia a los semiplanos que generan mediante la verificación o no del punto (1000,1000), (que la verifican todos). La región coloreada en amarillo es la región factible.

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Calculamos los vértices de la región factible:  Punto A de intersección de las rectas x + y = 15000 e y = 12000, da como solución A(3000, 12000).  Punto B de intersección de las rectas x + y = 15000 con x = 10000, da como solución B(10000, 5000).  Punto C de intersección de las rectas x = 10000 con y = 0, da como solución C(10000, 0).  Punto D de intersección de las rectas x = 0 con y = 12000, da como solución D(0, 12000).  Punto E de intersección de las rectas x = 0 con y = 0, da como solución E(0, 0). b) Determina las cantidades que debe invertir en cada uno de los tipos para que el beneficio sea lo mayor posible. (0.5 puntos) Sea la función que determina el beneficio y vendrá dada por la expresión algebraica: F(x,y) = 0.1x+ 0.11y Aplicando los puntos de la región factible a la función encontraremos de entre ellos a aquel que tenga mayor beneficio. Ese punto es el punto de mayor beneficio de toda la superficie limitada. F(3000, 12000) = 0.1∙3000 + 0.11∙12000 = 300 + 1320 = 1620 F(10000, 5000) = 0.1∙10000 + 0.11∙5000 = 1000 + 550 = 1550 F(10000, 0) = 0.1∙10000 + 0.11∙0 = 1000 + 0 = 1000 F(0, 12000) = 0.1∙0 + 0.11∙12000 = 0 + 1320 = 1320 F(0, 0) = 0.1∙0 + 0.11∙0 = 0 + 0 = 0 En conclusión, hemos obtenido que los valores de mayor beneficio se encuentran si compramos x = 3000 acciones de tipo A e y = 12000 acciones del tipo B.

2. Al 50 % del total de los alumnos de una clase les gusta sólo el fútbol, al 20 % del total les gusta sólo el baloncesto y el resto, que son 6 alumnos, no les gustan estos deportes. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (1.5 puntos) b) Calcula el total de alumnos y el número de aficionados al fútbol y al baloncesto. (0.5 puntos) Solución. a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (1.5 puntos) Llamamos “x” al número de alumnos de la clase; “y” al número de alumnos que sólo les gusta el fútbol; “z” al número de alumnos que sólo les gusta el baloncesto. Observar que si al 50 % sólo les gusta el fútbol y al 20 % sólo les gusta el baloncesto, entonces al 30 % no les gusta ninguno de estos deportes. En tal caso el sistema vendrá dado por: 0´5  x  y   0´2  x  z  0´3  x  6 

13

b) Calcula el total de alumnos y el número de aficionados al fútbol y al baloncesto. (0.5 puntos) Resolvemos el sistema anterior a partir de la tercera ecuación: 0´5  x  y  0´5  x  y  0´5  x  y  0´5  20  y  10  y       0´2  x  z   0´2  x  z   0´2  x  z   0´2  20  z   4  z  0´3  x  6  x  6 / 0´3 x  20  x  20  x  20     

Por lo tanto, el total de alumnos es 20, los alumnos que sólo les gusta el fútbol son 10 mientrás que los que sólo les gusta el baloncesto son 4.

 x 2  6 x  8 si x  2  0 si  2  x  2 . Se pide: 3. Se considera la función f ( x)    x 2  6x  8 si x  2  a) Límites laterales de la función f en el punto x = – 2. (0.5 puntos) b) Representación gráfica de la función f. (1 punto) Solución. a) Límites laterales de la función f en el punto x = – 2. (0.5 puntos) El límite lateral por la izquierda en x = – 2 será: lim f ( x)  lim  ( x 2  6 x  8)  (2) 2  6  (2)  8  4  12  8  0

x  2

x  2

El límite lateral por la derecha en x = – 2 será: lim f ( x)  lim  0  0

x  2

x  2

b) Representación gráfica de la función f. (1 punto) Para dibujar la gráfica vamos estudiando las tres funciones por separado en sus respectivos dominios.  Representación de y = – x2 – 6x – 8 para x ≤ – 2 Se trata de una parábola con ramas hacia abajo por ser un polinomio de grado dos. Su máximo lo alcanza para el valor de abcisa que anula su derivada y´ = 0, es decir, – 2x – 6 = 0  – 6 = 2x  – 3 = x que es un valor de abcisa dentro del dominio x ≤ – 2. El punto de Máximo es (– 3, y(– 3)) = (–3, 1). 14

Con cinco puntos sobre el dominio (hasta x = – 2 incluido) construimos la parte de las dos ramas que nos interesa: y = – x2 – 6x – 8 0´75 0 0 –3 –8

x – 2´5 –2 –4 –5 –6  Representación de y = 0 con – 2 < x ≤ + 2

Se trata de un segmento horizontal sobre el eje OX entre – 2 (sin incluir) y 2 (incluido).  Representación de y = x2 – 6x + 8 para x > 2 Se trata de una parábola con ramas hacia arriba por ser un polinomio de grado dos. Su máximo lo alcanza para el valor de abcisa que anula su derivada y´ = 0, es decir, 2x – 6 = 0  2x = 6  x = 3 que es un valor de abcisa dentro del dominio x > 2. El punto de Mínimo es ( 3, y(3)) = ( 3, – 1). Con cinco puntos sobre el dominio (a partir de x = 2) construimos la parte de las dos ramas que nos interesa: x lim f ( x)

y = x2 – 6x + 8

2´5 4 5 6

0 0 3 8

0

x2

Por lo tanto, la gráfica de la función a trozos determinada en el enunciado es:

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4. La temperatura T, en grados centígrados, de una reacción química viene dada en función del tiempo t, en horas, por la expresión T(t) = 10t∙(3 – t), en donde 0 ≤ t ≤ 3. Se pide: a) Temperatura que habrá a los 30 minutos de comenzada la reacción. (0.25 puntos) b) ¿En qué momento se alcanza la máxima temperatura y cuál es ésta? (1.25 puntos) Solución. a) Temperatura que habrá a los 30 minutos de comenzada la reacción. (0.25 puntos) Puesto que la variable t se mide en horas, y debemos saber qué temperatura habrá a los 30 minutos, deberemos sustituir en la función por el valor 0´5 horas. T(t) = 10 ∙ 0´5 ∙ (3 – 0´5) = 12´5º Concluimos que habrá una temperatura de 12´5º a la media hora del inicio de la reacción química.

b) ¿En qué momento se alcanza la máxima temperatura y cuál es ésta? (1´25 puntos) Primero hallamos una expresión más simplificada de la función T(t) operando: T(t) = 10t∙(3 – t) = 30t – 10t2 Calculamos los máximos relativos de la función T(t) por medio de la derivada: T´(t) = 30 – 20t Si anulamos la derivada tendremos que el valor de extremo relativo es t = 1´5 horas. En estas condiciones, y sabiendo que la función T(t) en realidad es una parábola con ramas hacia abajo, tendremos que t = 1´5 horas es un máximo absoluto de la función T(t) y por lo tanto, concluimos que una hora después de iniciada la reacción tendremos la máxima temperatura. El valor de la temperatura máxima queda determinado por T(1´5), T(1´5) = 15∙(3 – 1´5) = 22´5º

Concluimos que la temperatura máxima se alcanza a la hora de iniciada la reacción y ésta es de 22´5º

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5. Según un estudio, el 40 % de los hogares europeos tienen contratado acceso a internet, el 33 % tiene contratada televisión por cable, y el 20 % disponen de ambos servicios. a) Si elegimos un hogar al azar y tiene televisión por cable, ¿cuál es la probabilidad de que tenga acceso a internet? (0.75 puntos) b) Se selecciona un hogar europeo al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga contratado ninguno de los dos servicios? (0.75 puntos) Solución. a) Si elegimos un hogar al azar y tiene televisión por cable, ¿cuál es la probabilidad de que tenga acceso a internet? (0.75 puntos) Llamamos suceso A a “tener contratado acceso a internet” y llamamos suceso B a “Tener contratada televisión por cable. Se observa entonces que, por las condiciones del problema, P(A) = 0´4

P(B) = 0´33

P(A  B) = 0´2

En ese caso, se nos está preguntando por la probabilidad del suceso condicionado A/B. Dicha probabilidad se puede calcular a partir de la fórmula:

P( A / B) 

P( A  B) P( B)

Aplicando los valores correspondientes tendremos que,

P( A / B) 

P( A  B) 0´2   0´60 P( B) 0´33

Por lo que concluimos que hay una probabilidad de 6´61 % aproximadamente de que un hogar que tenga televisión por cable, tenga también internet.

b) Se selecciona un hogar europeo al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga contratado ninguno de los dos servicios? (0.75 puntos) Se nos está pidiendo la probabilidad del suceso complementario al suceso “tener contratado alguno de los dos servicios. La probabilidad de tener al menos uno de los dos servicios es la probabilidad del suceso A  B, cuyo cálculo se puede realizar mediante la fórmula: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) Aplicando las condiciones numéricas del problema tendremos que esta probabilidad es: P(A  B) = 0´4 + 0´33 – 0´2 = 0´53 17

Y entonces concluimos que la probabilidad de no tener contratado ninguno de los dos servicios es la probabilidad del suceso complementario a A  B, que se calcula mediante la fórmula, P((A  B)c) = 1 – P(A  B) Por lo tanto, P((A  B)c) = 1 – 0´53 = 0´47 y la probabilidad de no tener contratados ambos servicios es del 47 %. 6. Se ha extraído una muestra de 10 familias de residentes en un barrio obteniéndose los siguientes datos: 19987, 20096, 19951, 20263, 20014, 20027, 20023, 19942, 20078, 20069. Se supone que la renta familiar de los residentes en el barrio sigue una distribución normal de deviación típica 150 euros. a) Encontrar un intervalo de confianza al 95 % para la renta familiar media. (1 punto) b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (0.5 puntos) c) ¿Crees que sería válido el intervalo de confianza obtenido, si la encuesta se hubiera elegido entre familias con más ingresos del barrio? Razona tu respuesta. (0.5 puntos) Solución. a) Encontrar un intervalo de confianza al 95 % para la renta familiar media. (1 punto) Sea la variable aleatoria X que mide la renta familiar. Según los datos del problema esta variable se distribuye mediante una Normal de desviación conocida e igual a σ = 150 euros. Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = 10 de la que podemos calcular su media muestral: X 

19987  20096  19951  20263  20014  20027  20023  19942  20078  20069  20045 10

En estas condiciones nos preguntan el intervalo de confianza con 1 – α = 0´95 respecto a la media poblacional. Este intervalo sigue la fórmula:      X  z / 2  , X  z / 2   n n 

Puesto que 1 – α = 0´95, entonces α = 0´05 y α/2 = 0´025 por lo que zα/2 = 1´96. Por tanto, sustituyendo en la fórmula del intervalo:  150 150   20045  1´96  , 20045  1´96    (19952´03, 20137´17) 10 10  

Concluimos que el intervalo es (19.952´03, 20.137´17).

de

confianza 18

al

95

%

para

la

renta

familiar

b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (0.5 puntos) La interpretación es sencilla. Hay una probabilidad del 95 % de que tomada una familia al azar tenga una renta comprendida entre 19.952´03 € y 20.137´17 €. c) ¿Crees que sería válido el intervalo de confianza obtenido, si la encuesta se hubiera elegido entre familias con más ingresos del barrio? Razona tu respuesta. (0.5 puntos) Si lo que se está analizando es la renta familiar de las familias del barrio, está claro que estamos sesgando la muestra al tomar un sólo aquellas familias con más ingresos ya que puede no representar a la población en estudio. Por ejemplo, si tenemos una población de familias muy pobres y tomamos como muestra al azar las familias con más ingresos, obtendremos resultados acerca de la población que cuantitativamente van a ser superiores a lo que es la realidad del barrio.

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