UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA ´ Y HUMANIDADES FACULTAD DE EDUCACION

´ PROPUESTAS DIDACTICAS PARA LA ˜ ENSENANZA DE LAS PROBABILIDADES EN ´ MEDIA EDUCACION

Tesina presentada a la Facultad de Educaci´on y Humanidades de la Universidad de La Frontera. Como parte de los requisitos para optar al t´ıtulo de Profesor de Estado en Matem´atica.

´ MANUEL ALEJANDRO GONZALEZ NAVARRETE TEMUCO - CHILE 2008

UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA ´ Y HUMANIDADES FACULTAD DE EDUCACION

´ PROPUESTAS DIDACTICAS PARA LA ˜ ENSENANZA DE LAS PROBABILIDADES EN ´ MEDIA EDUCACION

Tesina presentada a la Facultad de Educaci´on y Humanidades de la Universidad de La Frontera. Como parte de los requisitos para optar al t´ıtulo de Profesor de Estado en Matem´atica.

´ MANUEL ALEJANDRO GONZALEZ NAVARRETE PROFESOR GU´IA: ANTONIO SANHUEZA CAMPOS TEMUCO - CHILE 2008

Dedicado a quienes me ense˜ naron a dar esos primeros pasos ...

´INDICE – INDICE DE ACTIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV – INTRODUCCION – OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI ´ – MARCO TEORICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII – DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 – CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 – BIBLIOGRAF´IA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

I

INDICE DE ACTIVIDADES

1 EL 1.1 1.2 1.3 1.4

D´IA DEL AZAR Explicaci´on de la Actividad . . . . Desarrollo de la Actividad . . . . . Conclusi´on y Cierre de la Actividad Sugerencias Finales . . . . . . . . .

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2 LA 2.1 2.2 2.3 2.4

PROBABILIDAD DE UNA HISTORIA Explicaci´on de la Actividad . . . . . . . . . . Desarrollo de la Actividad . . . . . . . . . . . Conclusi´on y Cierre de la Actividad . . . . . . Sugerencias Finales . . . . . . . . . . . . . . .

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8 . 8 . 10 . 11 . 12

3 EXPERIMENTANDO EN LO COTIDIANO 3.1 Explicaci´on de la Actividad . . . . . . . . . . 3.2 Desarrollo de la Actividad . . . . . . . . . . . 3.3 Conclusi´on y Cierre de la Actividad . . . . . . 3.4 Sugerencias Finales . . . . . . . . . . . . . . .

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13 13 14 18 19

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20 20 21 26 26

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27 27 28 36 37

4 UN 4.1 4.2 4.3 4.4

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CONJUNTO DE PROPIEDADES Explicaci´on de la Actividad . . . . . . Desarrollo de la Actividad . . . . . . . Conclusi´on y Cierre de la Actividad . . Sugerencias Finales . . . . . . . . . . .

5 NUEVAS FORMAS DE CONTAR 5.1 Explicaci´on de la Actividad . . . . 5.2 Desarrollo de la Actividad . . . . . 5.3 Conclusi´on y Cierre de la Actividad 5.4 Sugerencias Finales . . . . . . . . .

II

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3 3 4 6 7

INDICE DE ACTIVIDADES 6 A CONTAR, QUE NO SE NOS DEBE OLVIDAR 6.1 Explicaci´on de la Actividad . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Desarrollo de la Actividad . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Conclusi´on y Cierre de la Actividad . . . . . . . . . . 6.4 Sugerencias Finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 LO 7.1 7.2 7.3 7.4

´ CLASICO EN PROBABILIDADES Explicaci´on de la Actividad . . . . . . . Desarrollo de la Actividad . . . . . . . . Conclusi´on y Cierre de la Actividad . . . Sugerencias Finales . . . . . . . . . . . .

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47 47 48 55 55

8 CONDICIONADAMENTE PROBABLE 8.1 Explicaci´on de la Actividad . . . . . . . . 8.2 Desarrollo de la Actividad . . . . . . . . . 8.3 Conclusi´on y Cierre de la Actividad . . . . 8.4 Sugerencias Finales . . . . . . . . . . . . .

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56 56 57 62 63

9 APLICAR Y RESOLVER 9.1 Explicaci´on de la Actividad . . . . 9.2 Desarrollo de la Actividad . . . . . 9.3 Conclusi´on y Cierre de la Actividad 9.4 Sugerencias Finales . . . . . . . . .

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66 66 66 78 78

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III

´ INTRODUCCION Actualmente en nuestro sistema educativo, los contenidos de probabilidades se encuentran dentro de los que m´as complicaciones traen a los profesores de matem´atica a la hora de ense˜ narlos; ya sea por la dificultad de abordar algunas situaciones o por el escaso material did´actico disponible para su ense˜ nanza. Motivo por el cual en muchos establecimientos es com´ un que los docentes de la especialidad prefieran ense˜ nar dichos contenidos de escasa manera, y al mismo tiempo de una forma poco contextualizada; inclusive, en el peor de los casos, los educadores evitan trabajar dichas unidades.

Bastante com´ un resulta encontrarnos con propuestas de ense˜ nanza que mayoritariamente acuden a los ejemplos del lanzamiento de dados o monedas y/o extracciones de cartas desde una baraja. Es claro que el estudio de las probabilidades en sus inicios se encarg´o de analizar situaciones relacionadas con los juegos de azar, pero en la actualidad resulta importante poder vincular los conceptos de esta teor´ıa a nuevas situaciones y de forma contextualizada.

El convencimiento de que esta labor es posible, se vuelve hoy en d´ıa una necesidad para que nuevas propuestas emerjan, promoviendo el cambio y el intercambio respecto del tipo de actividades y ejemplos en la ense˜ nanza de la unidad de probabilidades.

IV

´ INTRODUCCION De esta manera surge la iniciativa de presentar las siguientes propuestas did´acticas, orientadas a la ense˜ nanza de la probabilidad en educaci´on media; que buscan ser un referente para que los docentes puedan incluir en el proceso de ense˜ nanzaaprendizaje nuevas actividades y tomen la iniciativa para construir, bajo sus propias visiones y realidades, otras propuestas que se adecuen al tipo de situaciones que ellos deseen estudiar en este contenido.

Se presenta de este modo, un conjunto de nueve actividades que est´an orientadas a los contenidos introductorios de la teor´ıa de probabilidades, equivalentes a las unidades de segundo y tercer a˜ no medio. En ellas son propuestas situaciones que intentan mostrar novedosas formas en que los contenidos pueden ser tratados, as´ı como tambi´en, se contextualizan los ejemplos para una mejor comprensi´on por parte de los estudiantes.

V

OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL: - Plantear propuestas de ense˜ nanza de las probabilidades que sean dirigidas a los docentes de educaci´on media.

OBJETIVOS ESPEC´IFICOS: - Mostrar actividades relacionadas con los contenidos de probabilidades, que pueden servir de gu´ıa a los docentes para su desempe˜ no en el aula. - Sugerir el desarrollo del pensamiento cr´ıtico, tanto del estudiante, como del profesor sobre la importancia del estudio de la teor´ıa de probabilidades en la ense˜ nanza media, como herramienta para la toma de decisiones en la vida diaria. - Reconocer la importancia del an´alisis combinatorio y particularmente el principio de la multiplicaci´on en el c´alculo de las probabilidades.

VI

´ MARCO TEORICO La Inferencia Estad´ıstica y la Teor´ıa de la Probabilidad complementariamente se han convertido hoy en d´ıa en ramas de la matem´atica con las m´as diversas aplicaciones. As´ı como plantea Ross:

La estad´ıstica inferencial se ha vuelto indispensable en salud p´ ublica y en investigaciones m´edicas, en ingenier´ıa y en estudios cient´ıficos, en mercadotecnia y control de calidad, en educaci´on, contadur´ıa, econom´ıa, predicciones meteorol´ogicas, encuestas de opini´on, deportes, seguros, apuestas, y en toda investigaci´on que se precie de ser cient´ıfica. La estad´ıstica se ha enraizado en nuestra herencia intelectual. (2002, p. 6)

A pesar de ello, es necesario dar cuenta que el desarrollo de la teor´ıa de la probabilidad no ha estado exenta de controversias. Para muchos te´oricos matem´aticos, la estad´ıstica y la probabilidad con sus imprecisiones o manejo de los errores, dejan de poseer el fundamento caracter´ıstico de la matem´atica, ese indiscutible rigor axiom´atico que ha permitido construir las relaciones entre los conceptos manejados por esta misma. Todo lo que hasta ahora ha permitido que la matem´atica tenga un lugar privilegiado dentro de las ciencias. Para De Le´on (2006) la raz´on es clara: las matem´aticas mantienen desde hace ya milenios una bien ganada fama de fiabilidad, fama bien ganada porque constituyen el m´as s´olido edificio conceptual construido VII

´ MARCO TEORICO por la humanidad.

La matem´atica por si sola se ha convertido en una herramienta preferida por muchas ciencias para dar explicaci´on a diversos fen´omenos; pero es claro que al tratar de modelar procesos sociales, y como se˜ nalan Jim´enez y Jim´enez (2005), los fen´omenos de la naturaleza, el hombre se ha encontrado con que hay situaciones que obedecen a un modelo determinista y otras que en cambio obedecen a un modelo aleatorio.

Santal´o (1999) considera que este tipo de matem´atica, que es menos precisa y menos referida a casos concretos, es m´as u ´til que las exactas para tratar las ciencias no exactas. Est´a convencido tambi´en de que es imperativo incluirla en la educaci´on matem´atica de todo individuo.

As´ı como lo se˜ nala Kline:

Afortunadamente, las ciencias sociales y las biol´ogicas han adquirido un m´etodo matem´atico, nuevo por completo, de obtener informaci´on sobre sus fen´omenos respectivos: el m´etodo estad´ıstico. (...) Sin embargo, con el uso de los m´etodos estad´ısticos, ha surgido tambi´en el problema de determinar la confiabilidad de los resultados. Este aspecto de la estad´ıstica se trata por medio de la teor´ıa matem´atica de la probabilidad. (1998, p. 496)

Esta emergente relevancia que ha adquirido esta teor´ıa hace que cada vez m´as autores respalden su importancia y la trascendencia de ´esta en el futuro de los sistemas educacionales, entre ellos Dacunha-Castelle (1996), que ha propuesto la necesidad VIII

´ MARCO TEORICO de que todo ciudadano posea una base s´olida en probabilidad y estad´ıstica, que le permita comprender, juzgar y criticar la avalancha de informaci´on que los medios de comunicaci´on le brindan d´ıa a d´ıa. De manera similar, Andradas (2002) opina que la probabilidad es capaz de predecir el comportamiento de fen´omenos de masas con una precisi´on extraordinaria, de ah´ı la importancia de que los individuos se familiaricen con estos conceptos. Es claro que en la actualidad los ciudadanos tienen el derecho y el deber de dudar sobre lo que se les est´a informando, de lo contrario podr´ıan ser v´ıctimas de las intenciones de manipulaci´on, que un determinado estudio sobre alg´ un tema en particular tiene como finalidad.

Se intenta por tanto afirmar que la estad´ıstica y la teor´ıa de la probabilidad; se han ido ganando el car´acter de ciencia, siendo en la actualidad un respaldo indiscutiblemente aceptado para cualquier estudio cient´ıfico que quiera trabajar con datos num´ericos y relaciones entre variables. Todo ello a pesar de que la probabilidad encuentra su formalizaci´on hace pocas d´ecadas atr´as. De la forma en que Maibaum (1988) plante´o: La teor´ıa de probabilidades y la Estad´ıstica matem´atica, son disciplinas matem´aticas relativamente j´ovenes por si mismas, donde la teor´ıa de probabilidades, como teor´ıa independiente - que incluye a sus vez numerosas disciplinas y campos de aplicaci´on - y como fundamento de la Estad´ıstica matem´atica, posee una significaci´on particular.

En virtud de esto u ´ltimo, Mart´ın-Pliego y Ruiz-Maya (2004), plantean que existe cierta pol´emica a la hora de ubicar el origen del C´alculo de Probabilidades. Seg´ un Mode (2005), a mediados del siglo XVI, Girolamo Cardano, el matem´atico, m´edico y jugador italiano escribi´o Liber de Ludo Aleae (El Libro de los Juegos de Azar) en el que apareci´o el primer estudio conocido de los principios de probabilidad. Para

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´ MARCO TEORICO De Lara (2005), Cardano fue quien introdujo por primera vez el concepto de probabilidad. A pesar de ello, la obra creada por Cardano es m´as bien un manual para jugadores; ya que en palabras de Ugochukwu (2004) este libro trat´o acerca de la probabilidad en las apuestas de dinero, dando consejos, basado en su experiencia, sobre c´omo hacer trampa.

Sin embargo, para la mayor´ıa de los autores, el c´alculo de probabilidades comienza con los primeros estudios sobre los juegos de azar, plasmado en la correspondencia epistolar entre Pascal y Fermat, originada por el famoso problema planteado por el Caballero de Mer´e, lo que se tradujo en un avance sustancial en el desarrollo de la teor´ıa de probabilidad. Aunque para Veloso y Wisniewski (2001), hoy en d´ıa el problema del Caballero de Mer´e lo puede resolver con facilidad cualquier estudiante de un primer curso de probabilidad, en aquella ´epoca fue novedoso.

Etayo et al. exponen que el famoso problema del Caballero de Mer´e,

Consist´ıa en explicar c´omo pod´ıa ser que fuera m´as ventajoso sacar por lo menos un 6 en cuatro jugadas con un solo dado, que sacar por lo menos una vez 6 con dos dados en 24 jugadas (a pesar -dec´ıa el Caballero de Mer´e- que 4 es a 6 como 24 es a 36). (1995, p. 113)

Para Autor (1997), el primer libro sobre probabilidad fue el trabajo de Christian Huygens (1629-1695), que apareci´o en 1657. En ´el (el razonamiento en los juegos de azar), se explora la noci´on de esperanza matem´atica. Esto permite el c´alculo de ganancias o p´erdidas que un jugador puede esperar, conociendo las probabilidades involucradas en el juego. Sin embargo, a´ un hasta estas ´epocas el tratamiento de los

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´ MARCO TEORICO fen´omenos aleatorios eran vistos como casos particulares.

Veloso y Wisniewski (2001) han planteado que algunos a˜ nos despu´es de la aparici´on del libro de Huygens, Jacob Bernoulli public´o en Basilea, Suiza, su obra Ars Conjectandi, en la cual aparecen por primera vez las f´ormulas y las leyes de la teor´ıa de las probabilidades. Considerado de esta manera como el primero en dar la definici´on cl´asica de probabilidad; esto influenciado por los trabajos de Graunt y Petty, que hab´ıan demostrado las ventajas de incluir en sus tablas no s´olo los n´ umeros absolutos, sino tambi´en las proporciones respecto del total. De acuerdo a Hacking (1995), con Jacob Bernoulli, la probabilidad hab´ıa emergido completamente.

Seg´ un Carneiro (2005), la tradici´on abierta por Bernoulli fue retomada por Abraham de Moivre en su libro Teor´ıa del Azar de 1718 y por Thomas Bayes, aunque el verdadero continuador fue el f´ısico y matem´atico Pierre Simon de Laplace.

En palabras de De Oliveira, Pitombeira, Pinto y Fernandez; “el matem´atico ingl´es Thomas Bayes (1702 - 1761), inici´o las investigaciones sobre el problema de hallar las probabilidades de las causas de un evento observado”(2006, p. 9). Estas ideas dieron sentido a la conocida probabilidad a posteriori y permitieron el desarrollo de la estad´ıstica bayesiana.

Del mismo modo, De Oliveira et al. (2006); se˜ nala que De Moivre, mediante su libro, desarroll´o la teor´ıa se las sucesiones recurrentes, las que us´o para resolver varios problemas de probabilidades.

En cuanto al trabajo y, refiri´endose particularmente al libro de Abraham de

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´ MARCO TEORICO Moivre, Uspensky (1954) menciona:

De Moivre no contribuy´o mucho al desarrollo de los principios, pero este trabajo tiene un renombre merecido por los m´etodos nuevos y de gran poder que expone para la resoluci´on de los m´as dif´ıciles problemas. Muchos resultados importantes ordinariamente atribuidos a Laplace y Poisson pueden hallarse en el libro de De Moivre.

Como exponen Levin y Rubin (2004), en el siglo XIX, Pierre Simon, marqu´es de Laplace (1749-1827), unific´o todas estas ideas y compil´o la primera teor´ıa general de probabilidad. Laplace desde 1774 escribi´o muchos art´ıculos sobre el tema de la probabilidad. En 1812 public´o en Par´ıs su Th´eorie Analytique des Probabilit´es, donde hace un desarrollo riguroso de la teor´ıa de probabilidad con aplicaci´on a problemas demogr´aficos, jur´ıdicos, sociales y adem´as astron´omicos. De acuerdo a Obagi (2003), esta teor´ıa, aparte de que es la primera exposici´on sistem´atica del c´alculo de probabilidades, tambi´en presenta un an´alisis, que hasta entonces s´olo empleaba los recursos de la aritm´etica, de esta forma Laplace pone el c´alculo de probabilidades sobre una base moderna y general.

A partir de Laplace, las dos disciplinas, c´alculo de las probabilidades y estad´ıstica, que hab´ıan hasta entonces permanecido separadas, se fusionan de manera que el c´alculo de las probabilidades se constituye en el andamiaje matem´atico de la estad´ıstica.

El alem´an Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), quien en palabras de Veloso y Wisniewski (2001) es considerado por muchos como el matem´atico m´as notable en toda XII

´ MARCO TEORICO la historia de la humanidad hasta nuestros d´ıas, no tanto por la cantidad sino por la impresionante calidad y originalidad de sus trabajos, los cuales tuvieron influencia relevante en casi todas las ´areas de la matem´atica. Gauss desarroll´o la teor´ıa de los errores; conjuntamente con Bessel y Laplace, llegaron a establecer el m´etodo de los m´ınimos cuadrados, como procedimiento matem´atico para resolver el problema fundamental de la teor´ıa de los errores.

Posteriormente, las aportaciones a la teor´ıa de la probabilidad se caracterizan por su proveniencia, principalmente de los matem´aticos rusos de la Escuela de San Petersburgo. Mart´ın-Pliego et al. (2004), destacan a V. Y. Buniakovskii (1804-1889), M. V. Ostrogradskii (1801-1862), pero sobre todo a Pafnuttii Lvovich Chebichev (18211894), con su conocida desigualdad tambi´en atribu´ıda al franc´es I. Bienaym´e (17961878), creador de una escuela, entre los que destacan A. Liapunov (1857-1918) y su disc´ıpulo predilecto A. Markov (1856-1922); con un trabajo importante en la teor´ıa de los procesos estoc´asticos, proponiendo secuencias de valores de una variable aleatoria en las que el valor de la variable en el futuro depende de su valor en el presente, pero de manera independiente a la historia de la variable, conocidas como Cadenas de Markov.

Ya en el a˜ no 1900, durante el Segundo Congreso Internacional de Matem´aticas realizado en Par´ıs, el doctor David Hilbert se˜ nal´o como uno de los problemas matem´aticos m´as importantes: la necesidad de una rigurosa fundamentaci´on de los conceptos b´asicos del c´alculo de probabilidades. A pesar que muchos matem´aticos se preocuparon de esta tarea, fue solamente en 1933, cuando el matem´atico sovi´etico Andr´ei Kolmog´orov propuso los llamados axiomas de probabilidad, basados en la teor´ıa de conjuntos y en la teor´ıa de la medida, desarrollada a˜ nos antes por Lebesgue,

XIII

´ MARCO TEORICO Borel y Frechet entre otros. Este modelo matem´atico es lo que dio forma a lo que hoy en d´ıa conocemos como teor´ıa de probabilidades. Esta aproximaci´on axiom´atica que vino a generalizar lo hasta ahora conocido como probabilidad cl´asica, permiti´o dar la rigurosidad necesaria a muchos argumentos ya utilizados, as´ı como permiti´o el estudio de problemas fuera de los marcos cl´asicos y aclarar las aparentes paradojas existentes. Dando paso a un desarrollo tanto cuantitativo como cualitativo de los conceptos y las aplicaciones relacionadas con las m´as diversas ´areas de conocimiento.

Un aspecto importante que se desprende de la reciente formalizaci´on de la teor´ıa de la probabilidad es que lentamente el tratamiento acad´emico de esta misma se ha venido observando en los sistemas educativos; en las u ´ltimas d´ecadas del siglo XX se comienzan a tratar en las reformas educacionales los t´opicos de estad´ıstica y probabilidad, tal como ha ocurrido en el sistema educacional chileno. Al respecto Santal´o (1999) apuntaba que la teor´ıa de las probabilidades se fue desarrollando por cuenta separada, tambi´en por matem´aticos, pero fuera de los claustros acad´emicos, sin que figurara en los planes de estudio de las carreras universitarias, mucho menos en los de la ense˜ nanza elemental y media.

Considerando entonces la idea de P´erez, Castillo y De Lobos, quienes plantean que: “la probabilidad tiene la enorme cualidad de representar adecuadamente la realidad de muchos procesos sociales y naturales, y, por lo tanto, su conocimiento permite comprender y predecir mucho mejor el mundo en que vivimos” (2000, p. 15). Y de lo ya dicho sobre el hecho que la estad´ıstica y la teor´ıa de la probabilidad son ciencias complementarias, siendo rec´ıprocamente un fundamento la una de la otra. De la forma en que expresan Walpole, Myers, Myers y Ye (2007), debemos considerar que los conceptos de probabilidad forman un componente significativo

XIV

´ MARCO TEORICO que complementa los m´etodos estad´ısticos y ayuda a evaluar la consistencia de la inferencia estad´ıstica. Por consiguiente, la disciplina de la probabilidad brinda la transici´on entre la estad´ıstica descriptiva y los m´etodos inferenciales.

Por estas razones como plantean Jim´enez y Jim´enez (2005): la sociedad se ve inevitablemente obligada a adaptar y reestructurar su sistema educativo, para cumplir con su compromiso de formar a los individuos que la componen. La educaci´on, por tanto requiere entender que una persona que vive en esta sociedad moderna debe tener un mejor manejo de aquellas situaciones de car´acter aleatorio, porque tambi´en a los procesos dependientes de la casualidad le son inherentes ciertas regularidades, ya que la casualidad no significa ausencia total de reglas ni menos a´ un caos.

Como se˜ nalaban N´ un ˜ez, Sanabria y Garc´ıa (2004), para el caso de Costa Rica el hecho de que hace falta un an´alisis profundo de posibles metodolog´ıas del trato de la incertidumbre en la ense˜ nanza secundaria. No es antojadizo. El cuestionamiento de los contenidos plantea toda una profundizaci´on en los temas que se van a desarrollar.

En este sentido, es inevitable destacar la labor del Consejo Nacional de Profesores de Matem´aticas, (NCTM por sus siglas en ingl´es) de los Estados Unidos de Norteam´erica que estableci´o en el a˜ no 2000 los est´andares de la educaci´on matem´atica para primaria y secundaria. Documento que presenta los niveles de aprendizaje requeridos desde el nivel pre-kinder hasta el egreso de secundaria; incluyendo t´opicos ´ de N´ umeros y Operaciones, Algebra, Geometr´ıa y Estad´ıstica y Probabilidades. En el caso del ´area de Probabilidades, existen propuestas para ni˜ nos desde Tercer Grado, quienes deben poseer al momento de completar el Quinto Grado, las capacidades de:

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´ MARCO TEORICO - Describir eventos como probable o improbable y discutir el grado de probabilidad usando palabras como certeza, igualmente probable, e imposible. - Predecir la probabilidad de los resultados de experimentos sencillos y probar las predicciones. - Entender que la medida de la probabilidad de un evento puede ser representado por un n´ umero entre 0 y 1. En el caso de los estudiantes entre el Sexto y el Octavo Grado, ellos deber´an: - Comprender y utilizar la terminolog´ıa adecuada para describir eventos complementarias y mutuamente excluyentes. - Usar la proporcionalidad y poseer una comprensi´on b´asica de la probabilidad de hacer y probar conjeturas acerca de los resultados de los experimentos y simulaciones. - Calcular las probabilidades de eventos compuestos simples, utilizando m´etodos tales como la organizaci´on de listas y los diagramas de ´arbol. Finalmente en secundaria; los adolescentes deben manejar las siguientes habilidades: - Entender los conceptos de espacio muestral y distribuci´on de probabilidad y construir espacios muestrales y distribuciones en casos sencillos. - Utilizar simulaciones para construir distribuciones de probabilidad emp´ırica. - Calcular e interpretar el valor esperado de variables aleatorias en casos sencillos. - Entender los conceptos de probabilidad condicional y de sucesos independientes. XVI

´ MARCO TEORICO - Entender c´omo calcular la probabilidad de un evento compuesto.

Atender a estos objetivos planteados por la NCTM requiere de un arduo trabajo; si se desea replicar tales aprendizajes en nuestro sistema educativo debemos comenzar de a poco.

Importante resulta identificar que en nuestro pa´ıs, los planes y programas presentados por el Ministerio de Educaci´on proponen la ense˜ nanza de las probabilidades a partir de Segundo A˜ no de Ense˜ nanza Media, para este nivel los objetivos de aprendizaje son los siguientes: - Relacionar la noci´on de probabilidad con la informaci´on estad´ıstica que deriva de la repetici´on de un fen´omeno aleatorio y explicar qu´e diferencia a ´estos de los fen´omenos determin´ısticos. - Analizar e interpretar los resultados de problemas que involucran c´alculo de probabilidades, considerando experimentos aleatorios simples; explicar los procedimientos utilizados; analizar la independencia de los mismos; reconocer los casos de equiprobabilidad. - Conocer y utilizar la f´ormula de Laplace para el c´alculo de probabilidades; comparar probabilidades y analizar su valor m´aximo y su valor m´ınimo. - Utilizar el Tri´angulo de Pascal y el diagrama de ´arbol como t´ecnicas de conteo en la resoluci´on de problemas. - Interpretar informaci´on de diversos ´ambitos, que involucra probabilidades.

XVII

´ MARCO TEORICO Se vislumbra de esta forma un panorama alentador, que es reforzado con la idea de que al finalizar el Cuarto A˜ no Medio los estudiantes deber´an manejar el concepto de Muestra Aleatoria y ser capaces de realizar inferencias de acuerdo a distintos tipos de muestras.

De forma complementaria a las ideas anteriormente propuestas, es importante recurrir al concepto de numeralismo; el cual de acuerdo a Ochsenius (1999), dice relaci´on con la adecuada utilizaci´on de conceptos y modos de razonar propios de la matem´atica en el complejo proceso de adaptaci´on de los seres humanos al mundo en que se desenvuelven. Lo que en cierto modo se refiere a la habilidad de las personas para usar la matem´atica al resolver problemas pr´acticos en la cotidianidad.

En esta l´ınea Ochsenius (1999), bas´andose en los contenidos y objetivos propuestos por los planes y programas de los doce a˜ nos de estudio, del sistema educativo chileno, propone lo siguiente para el ´area de probabilidades:

El adulto numeralista debe ser capaz de: a) Reconocer eventos equiprobables y calcular su probabilidad. b) Calcular la probabilidad de un subconjunto del espacio muestral. c) Reconocer que si dos sucesos son independientes, entonces el resultado de uno de ellos no influye en la probabilidad del otro. d) Estimar aproximadamente la probabilidad de ganar en juegos de azar sencillos. e) Utilizar adecuadamente la ley de los grandes n´ umeros en la toma de decisiones en la vida cotidiana.

XVIII

´ MARCO TEORICO

Importante se vuelven por tanto las palabras de Vygostky quien afirma que “la ense˜ nanza directa de conceptos es tarea vana e imposible” ya que de esta manera s´olo se obtendr´an “verbalismos vac´ıos, que solo simulan conocimiento” (1975, p. 83)

As´ı como tambi´en lo propuso Gardner (1996), refiri´endose a que el sistema educativo ha privilegiado los procedimientos mec´anicos, dejando de lado la comprensi´on; encontr´andonos con que la destreza en resolver problemas es puesta en equivalencia con el dominio de la materia en estudio. Ya que s´olo se preguntan los t´ıpicos problemas, enunciados y ejercitados repetitivamente. Lo que Ochsenius reafirma proponiendo:

Los problemas de la vida cotidiana constituyen una clara violaci´on de este acuerdo; no son susceptibles de ser resueltos por aplicaci´on mec´anica de algoritmos pues la realidad plantea cada vez situaciones diferentes, son preguntas que rara vez tienen un enunciado expl´ıcito donde se encuentre c´omodamente la informaci´on necesaria y precisa para contestarlas. (1999, p. 33)

XIX

DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES Se presentan a continuaci´on las actividades propuestas para el desarrollo de los contenidos de probabilidades para la ense˜ nanza media.

En cuanto a su estructura, se debe mencionar que ´estas est´an compuestas por cuatro secciones, las que se exponen a continuaci´on; 1) Explicaci´ on de la Actividad: en la que se dan a conocer los objetivos y las caracter´ısticas de la actividad que se propone, adem´as de incluir algunas definiciones, en los casos que sean necesarios. 2) Desarrollo de la Actividad: esta secci´on se enfoca a describir los ejemplos espec´ıficos que se plantean para la ense˜ nanza del contenido propuesto. El desarrollo de la actividad es, en cierto modo, el relato de lo que se espera sea realizado en el aula. 3) Conclusi´ on y Cierre de la Actividad: cada una de las actividades que se proponen incluyen algunas ideas de c´omo realizar el cierre de ´estas, de tal manera de poder evaluar el aprendizaje de los estudiantes y plantear otras situaciones que refuercen los contenidos tratados. 4) Sugerencias Finales: el apartado de sugerencias finales expresa algunas recomendaciones para el docente, con respecto a lo que es esperable obtener 1

DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES luego de la realizaci´on de la actividad; las inquietudes que deber´ıan surgir de los estudiantes y las ideas que el docente debiera considerar para las pr´oximas sesiones. Adem´as se pueden encontrar algunos contenidos complementarios que permiten profundizar lo que ha sido tratado en la propuesta did´actica.

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ACTIVIDAD 1

EL D´IA DEL AZAR Una Introducci´on al Concepto de Azar.

1.1

Explicaci´ on de la Actividad

En esta actividad se intenta conseguir que los estudiantes relacionen la cotidianidad con lo que ellos entienden como azar y, espec´ıficamente la manera en que formalmente es definido tal concepto.

Por tanto se motivar´a a los alumnos con una historia que les contar´a el quehacer de un d´ıa com´ un en la vida de un estudiante; en este trayecto ir´an ocurriendo situaciones en las que el azar juega un rol fundamental, dichos eventos ser´an relacionados indirectamente con el fin que se postula, haciendo consultas a los estudiantes sobre lo que podr´ıa ocurrir; para de ´esta forma ir guiando a los alumnos a crear una idea, o bien aclarar sus ideas, sobre lo que el azar representa en situaciones diversas.

Luego de una discusi´on grupal, guiada por preguntas con la finalidad de que los alumnos identifiquen las caracter´ısticas de un fen´omeno azaroso; se propondr´a que los estudiantes definan lo que se interpreta, con relaci´on al concepto de azar.

Finalmente se har´a una discusi´on general, para de esta forma, entregar una ca-

3

ACTIVIDAD 1. EL D´IA DEL AZAR racterizaci´on del contenido y hacer la aclaraci´on de las dudas que pueden generarse en los alumnos.

1.2

Desarrollo de la Actividad

Como se explica en la secci´on anterior, se propone la introducci´on al concepto de azar a trav´es de una historia que vaya develando las caracter´ısticas de los fen´omenos con tal cualidad.

La historia por tanto ser´ıa la siguiente:

Un d´ıa cualquiera de la semana, te levantas temprano para asistir al liceo; tal como todos los d´ıas te diriges al paradero para poder tomar alguna micro que te lleve a tu destino, ¿cu´al de las micros que te son u´tiles ser´a la que pase primero?. Subi´endote a dicha micro, ¿cu´antos personas exactamente ir´an en ´esta al momento de pagar tu boleto?, ya que como es sabido si hay muchos pasajeros puede que la micro demore un poco m´as y quiz´as ¿cu´antos minutos tardes, en llegar al liceo?.

Una vez en el colegio, encuentras a tus amigos conversando sobre el programa de televisi´on que vieron la noche anterior, ¿de qu´e canal puede haber sido este programa que mantiene en discusi´on a tus amigos?. Luego de eso ingresa el profesor de Biolog´ıa que contin´ua con la materia de la clase anterior, de la cual promete entregar un cuestionario, pregunt´andote ¿cu´antas ser´an las preguntas que contenga?. Aunque lo u´nico que tienes claro es que deseas salir a recreo lo antes posible.

Tocando el timbre, al salir a recreo vas directamente al ba˜no; en ´este ¿con cu´antos 4

ACTIVIDAD 1. EL D´IA DEL AZAR amigos te encontrar´as para conversar?. Sea as´ı o no, de todas formas igual el recreo pasar´a r´apidamente porque hay muchas formas de entretenerse, pero pronto deber´as volver a la sala.

Al entrar a la clase de historia, todos saben que el profesor elegir´a a alg´un alumno para hacer el recuento de la materia vista en la clase anterior, entonces ¿qu´e posibilidades hay de que el escogido seas t´u?; o peor a´un, ya que vienes algo entusiasmado del recreo, ¿ser´as sorprendido por ´el cuando est´es tir´andole papeles a tus compa˜neros?.

Por suerte la ma˜nana ha pasado r´apido y ya es hora de ir al casino del liceo para almorzar, escuchas en los pasillos que hay legumbres de almuerzo, ¿ser´a posible predecir con exactitud que tipo de legumbres son?.

M´as tarde, luego de ese rico almuerzo de legumbres; debes rendir la prueba de lenguaje, para la cu´al no has estudiado y decides usar un torpedo, en el que pusiste un par de preguntas de una larga lista que conten´ıa la gu´ıa de estudio. Por tanto, ¿cu´al es la posibilidad de que al menos una de las preguntas de la prueba coincidan con las del torpedo? o bien, ¿que opci´on hay de que el profesor te sorprenda copiando justo la primera vez que saques el torpedo?.

Terminada la prueba tus ´animos no est´an de lo mejor. M´as a´un, luego del recreo el cansancio se comienza a notar; pero sabes que viene la clase de matem´atica, que tal vez sea una opci´on para conversar con tus amigos, porque el profesor es bastante latero. Llega ´el y les propone trabajar en un nuevo contenido, para el cu´al comenzar´an hablando sobre el azar y, te preguntas ¿cu´al es la opci´on de que este profesor te entregue una gu´ıa tan poco matem´atica como ´esta?...

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ACTIVIDAD 1. EL D´IA DEL AZAR

1.3

Conclusi´ on y Cierre de la Actividad

Para poder realizar el cierre de la actividad se propone que los estudiantes hagan el an´alisis de las situaciones planteadas en la historia anterior. Se busca que los alumnos a concluyan sobre las caracter´ısticas de instancias en las que juegue un rol el azar. Por tanto, se sugieren preguntas como:

• ¿Puedes responder con certeza las preguntas planteadas en el desenlace de la historia? • ¿Por qu´e raz´on crees t´ u que no es posible asegurar el resultado de dichas situaciones? • ¿Es posible en cambio, poder intuir los sucesos a ocurrir en cada una de las instancias? • ¿Qu´e caracter´ıstica com´ un encuentras en estas situaciones? • ¿Es posible decir que en estos ejemplos entra en juego el factor suerte? Preguntas de este tipo, pueden ayudar a los alumnos a aclarar sus ideas con respecto a lo que se conoce como azar; procurando como docentes guiar las discusiones grupales, es importante que sea finalmente consensuada una definici´on del concepto de azar.

A la vez, se sugiere que los ejemplos planteados sean revisados, encontrando los llamados espacios muestrales; sin necesidad de utilizar estos conceptos que a´ un los alumnos no son capaces de manejar.

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ACTIVIDAD 1. EL D´IA DEL AZAR Relevante resulta el hecho de aclarar a los estudiantes que muchas situaciones de la vida est´an relacionadas con el azar. Pero no toda la cotidianidad se basa en modelos aleatorios; ya que tambi´en es posible responder, con exactitud, a inquietudes que surgen de fen´omenos que son regidos por leyes cient´ıficas.

1.4

Sugerencias Finales

Bajo el supuesto de realizar esta actividad como introducci´on a la unidad de probabilidades, es importante que el profesor utilice dinamismo y complemente la actividad con situaciones azarosas propuestas por los estudiantes, de esta forma mantener motivados a los estudiantes; no dando instancias para que ellos se distraigan. Tambi´en es necesario vislumbrar actividades similares a ´estas para los siguientes contenidos de la unidad; esto porque no sirve de nada una introducci´on motivadora para luego terminar utilizando estrategias tradicionales para la ense˜ nanza de los contenidos matem´aticos.

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ACTIVIDAD 2

LA PROBABILIDAD DE UNA HISTORIA Un Peque˜ no An´ alisis de la Historia de la Probabilidad.

2.1

Explicaci´ on de la Actividad

Para esta actividad es necesario que el docente indique, a modo recordatorio, las caracter´ısticas que poseen las situaciones azarosas y de esta forma, comentar´a desarrollos hist´oricos, en diversas culturas y contextos sociales, que han involucrado la noci´on inconciente de probabilidad. Esta primera instancia servir´a de introducci´on a la actividad siguiente del contenido.

Es importante destacar que el concepto de probabilidad cl´asica o de equiprobabilidad a´ un no es tocado formalmente; pero se recomienda que el docente explique con sus palabras las nociones de probabilidad, ejemplifique situaciones en que la probabilidad de ocurrencia de alg´ un suceso, en comparaci´on con otro es igual o distinta. Tomar esa parte del contenido como un referente y un apoyo, servir´a para poder inmiscuir a los estudiantes en las situaciones que el ser humano ha enfrentado y, que de alguna u otra forma ha intentado dar respuesta. De esta forma, se podr´a complementar m´as adelante los conceptos con la contextualizaci´on de ellos.

Se propone por tanto, realizar como siguiente actividad un trabajo investigativo

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ACTIVIDAD 2. LA PROBABILIDAD DE UNA HISTORIA de distintas etapas hist´oricas o civilizaciones, identificando en estas situaciones, caracter´ısticas en las que el azar y los conceptos de probabilidad han jugado un papel relevante.

Este trabajo debe ser desarrollado por lo estudiantes en horarios extra acad´emicos, y lo m´as certero es que se vaya trabajando en paralelo a las actividades futuras del contenido; buscando el momento de dar el cierre a la investigaci´on, en coincidencia con el inicio del estudio de la probabilidad cl´asica; para que luego los estudiantes puedan dar respuestas, en lo posible, a las situaciones encontradas, mediante los conceptos tratados en esa futura actividad.

En el contexto de lo que se intenta, se puede mencionar el ejemplo de la civilizaci´on Maya; quienes fueron capaces de plantear Profec´ıas, de las cuales hay vestigios del cumplimiento de un par de ellas; la pregunta que debe surgir es el c´omo este pueblo logr´o llegar a la certeza (suceso seguro), de que las situaciones que planteaban ser´ıan realidad. Al mismo tiempo un ejemplo m´as com´ un de la influencia de las probabilidades en esa ´epoca, son las apuestas que se hac´ıan en el deporte de pelota que ellos practicaban; se ha dicho que la vida incluso era puesta en prenda como apuesta en los partidos.

O bien, un ejemplo m´as actual, refrente al manejo de las situaciones a las que se enfrentar´an los equipos de investigaci´on espacial, cuando deciden adentrarse en el espacio para su estudio.

Finalmente, los trabajos de investigaci´on desarrollados por los estudiantes, ser´an comentados para que se vayan concluyendo las caracter´ısticas de las situaciones que

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ACTIVIDAD 2. LA PROBABILIDAD DE UNA HISTORIA hicieron que el mismo ser humano fuera desarrollando una teor´ıa sobre este tipo de eventos, y de esta forma construyera la axiom´atica de la teor´ıa de probabilidades. Lo que es demasiado importante contextualizar, no s´olo como una necesidad hist´orico temporal que se hizo presente de distinta manera al ser humano; ya que se funda en la capacidad intr´ınseca del ser de visionar las posibilidades de un suceso y, a su vez, en la misma limitaci´on que le impide encontrar la certeza de sus propias respuestas.

2.2

Desarrollo de la Actividad

Como se explica en la secci´on anterior, se plantea la asignaci´on de un trabajo investigativo a los estudiantes del curso.

Se formar´an grupos de trabajos. Se procede por tanto a realizar un sorteo de ciertos temas: Mayas, Aztecas, Egipcios, Romanos, Edad Media, Pueblo Mapuche, entre otros. Por esta raz´on, no muy poco original, el t´ıtulo de la unidad “La probabilidad de una historia”, aunque en el contexto de ´esta, el t´ıtulo engloba la noci´on de que la misma historia que vive actualmente la humanidad, en la que posee una teor´ıa de las probabilidades, bastante evolucionada, tambi´en dependi´o y fue testigo en el pasado de que todo futuro es propenso a ser estudiado por sus propios antepasados; los que dentro de sus posibilidades lograron que este desarrollo haya desencadenado en lo que hoy en d´ıa se presenta como una herramienta para el ser humano.

El avance del trabajo se ir´a supervisando constantemente; realizando discusiones grupales de lo encontrado hasta cierta etapa, comentando las situaciones 10

ACTIVIDAD 2. LA PROBABILIDAD DE UNA HISTORIA anecd´oticas que se involucren con el tema de las probabilidades, que los alumnos vayan encontrando en sus lecturas e investigaciones.

Para concluir la actividad se deber´a realizar una exposici´on de las investigaciones por parte de los grupos; estas muestras deben apuntar a identificar las caracter´ısticas de las situaciones que los alumnos han considerado como eventos en los que el azar entra en juego y, que de esta forma el ser humano necesit´o buscar respuestas.

2.3

Conclusi´ on y Cierre de la Actividad

Para el cierre de la actividad se pide el compromiso del docente por hacer comprender a los estudiantes, la gran capacidad del ser humano de construir bajo toda esta evoluci´on hist´orica, una ciencia axiom´atica que le ha permitido estudiar y dar respuestas a quiz´as las mismas problem´aticas que siempre le han aquejado; que de una u otra forma estuvieron presentes en su cotidianidad y que lo instaron a dejar el legado de lo que hoy en d´ıa es conocido como la teor´ıa de la probabilidad.

Hist´oricamente estas necesidades o simples curiosidades de dar respuesta a situaciones azarosas lograron encantar a diversas personas. Ahora es propicio aprovechar esas vivencias y actuales vivencias, para dar a conocer que el estudio de las probabilidades tiene una raz´on de ser; hay cosas que en el futuro del estudiante y en la cotidianidad actual de este mismo, podr´ıan ser abordadas de mejor forma si los planteamientos se complementan con el fundamento te´orico de las probabilidades.

11

ACTIVIDAD 2. LA PROBABILIDAD DE UNA HISTORIA

2.4

Sugerencias Finales

El dinamismo y el conocimiento de lo que plantea, con la certeza de las afirmaciones que realice, son relevantes en los aspectos que el profesor debe manejar para desarrollar de buena forma la actividad. Importante es la lectura de los antecedentes hist´oricos que puedan servir de complemento a las investigaciones que los estudiantes est´en realizando; pues el profesor debe tener la claridad del enfoque que los estudiantes intenten dar a sus propuestas de situaciones. Del mismo modo se sugiere al docente que presente como referencia, las situaciones hist´oricas m´as conocidas en el desarrollo de la teor´ıa de probabilidades; tales como el problema de Cardano y el partido de Tenis, o la interrogante del Caballero de Mer´e. Pero esto ser´a, solamente, para reconocer las motivaciones que los matem´aticos tuvieron para plantearse de manera te´orica, interrogantes similares a las estudiadas.

Finalmente, como se coment´o en la introducci´on, es recomendable que el desarrollo de esta parte de la unidad sirva de un complemento provechoso que el docente utilice, para contextualizar y poder explicar con mayor cercan´ıa los futuros conceptos y contenidos de la unidad.

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ACTIVIDAD 3

EXPERIMENTANDO EN LO COTIDIANO Estudio de los Conceptos de Experimentos Aleatorios, Espacio Muestral y Sucesos.

3.1

Explicaci´ on de la Actividad

La presente actividad se enmarca en el concepto de Experimento Aleatorio y las ideas implicadas en este. Se busca que los estudiantes caractericen las nociones de Experimento y, espec´ıficamente, aquellos que se presentan de modo aleatorio.

En el transcurso de la actividad, el docente ir´a conduciendo las deducciones a trav´es de ejemplos; los que en primer lugar permiten diferenciar entre situaciones deterministas y aleatorias.

Se debe mostrar, de forma similar a lo que se hizo con la historia introductoria (El d´ıa del Azar), que en la cotidianidad se encuentran bastantes situaciones que proponen un modelo aleatorio, en las cuales es viable adelantar las posibles respuestas que podr´ıan suceder. Sin embargo, no se tendr´a la certeza de asegurar cu´al ser´a el desenlace exacto.

Se mostrar´a a los alumnos las posibles preguntas a las situaciones aleatorias que se plantean en estudios experimentales; como las respuestas a alguna encuesta

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ACTIVIDAD 3. EXPERIMENTANDO EN LO COTIDIANO sobre un tema de inter´es o los flujos peri´odicos de personas u objetos en ciertos lugares o circunstancias.

Una vez que los j´ovenes logren identificar las particularidades de los Experimentos Aleatorios, proceder´an a analizar los conceptos de Espacio Muestral y Sucesos, determinando algunos de ellos. Finalmente, se concluir´a la actividad dando formalmente las definiciones de los conceptos tratados; lo que dar´a paso a las futuras propuestas que se adentran en las propiedades del c´alculo de probabilidades.

3.2

Desarrollo de la Actividad

Se

comienza dando ejemplos de situaciones cotidianas que corresponden

a modelos determin´ısticos, de ellos se asegura el resultado final. Este tipo de experimentos ser´an comparados con aquellos de tipo aleatorio, para finalmente proponer una definici´on de los u ´ltimos.

Se desea que el docente plantee situaciones como, a) Un ´arbol (de hojas caduca) es estudiado al comenzar el oto˜ no, ¿qu´e pasar´a con sus hojas en ´esta estaci´on?. Si el pr´oximo a˜ no se pregunta lo mismo, ¿cu´al ser´a la respuesta a aquello?. b) Si hay una luz encendida, y presionas su interruptor, ¿qu´e ocurrir´a con la ampolleta?. c) Al lanzar una piedra al aire (sin existir algo que obstaculice su trayecto), ¿qu´e ocurrir´a con la piedra luego de alcanzar su altura m´axima?.

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ACTIVIDAD 3. EXPERIMENTANDO EN LO COTIDIANO d) Una ni˜ na tiene 4 monedas de $100, le pide a su pap´a 2 monedas, del mismo valor, ¿cu´anto dinero posee ahora la peque˜ na?.

Debe resultar un consenso, el hecho de que las respuestas a cada una de las interrogantes son indiscutibles; no habr´a otra opci´on para cada uno de los experimentos, esto debido a que cada uno de ellos responde a leyes o principios cient´ıficos (biol´ogicos, f´ısicos, matem´aticos, entre otros). Ser´an por tanto, denotados como experimentos determin´ısticos, ya que independientemente de las veces que se vuelvan a repetir (bajo similares condiciones), los resultados ser´an siempre los mismos.

Posterior a esto, el profesor podr´a proponer situaciones en las que no es posible determinar con exactitud el resultado final o desenlace; dichas situaciones se complementar´an con algunas preguntas que acompa˜ nen la idea de la incertidumbre presente en los experimentos. Se aclara que el tipo de situaciones se separar´an en dos bloques; el primero de ellos intenta ilustrar, u ´nicamente, el concepto de experimento aleatorio, para analizar sus caracter´ısticas. Luego de esto, con el segundo grupo de situaciones, se conducir´a a los estudiantes a comprender los conceptos de Espacio Muestral y de sucesos, mediante otro tipo de preguntas; las que permitir´an a los alumnos visualizar los posibles resultados, ellos podr´an identificarlos en distintos experimentos y luego pasar a dar una definici´on formal de ´estos mismos.

El tipo de situaciones a plantear, para el primer grupo, ser´an como las que siguen, a) Si se contabiliza el n´ umero de veh´ıculos que transitan por la esquina del liceo durante el d´ıa. Podr´ıas adelantarte a asegurar, ¿cu´antos autos pasar´an entre las 13 y las 14 horas? 15

ACTIVIDAD 3. EXPERIMENTANDO EN LO COTIDIANO b) En un partido cualquiera de la selecci´on, se analiza la cantidad de tiros que ataja el arquero chileno durante el transcurso del juego. ¿Cu´al ser´a el total de tapadas?, ¿puedes responder con exactitud antes del partido? c) Tienes la posibilidad de revisar tu correo electr´onico solamente los d´ıas Domingo, ¿cu´antos correos encontrar´as en tu bandeja de entrada cada vez que lo revises? d) En una fruter´ıa escoges tres naranjas para pesarlas y luego cancelar, ¿ser´ıas capaz de asegurar cu´anto pesan exactamente las naranjas seleccionadas? e) Cada vez que vas al supermercado, te encuentras en las cajas con colas de distinto tama˜ no. En un d´ıa cualquiera, ¿cu´antas personas exactamente pasar´an por las cajas en el transcurso de tu espera?. O bien, ¿cu´antos de ellos cancelan con tarjeta de cr´edito? f) Para una tarea de lenguaje debes realizar una entrevista a alg´ un personaje de la ciudad, ¿cu´anto crees que ser´a la duraci´on de la grabaci´on? g) De acuerdo a lo que caminas diariamente dentro del liceo. Con exactitud, ¿cu´antos pasos dar´as en un d´ıa cualquiera?, ¿a cu´antos metros equivaldr´an estos? Las situaciones antes propuestas buscan la comprensi´on del concepto de Experimento Aleatorio. Las preguntas planteadas pueden ser complementadas por otras que el docente estime convenientes. Cada ejemplo debe ser aprovechado para representar adem´as, sin tanta profundidad, los conceptos de Variable Aleatoria. Considerando que cada situaci´on se acompa˜ na de un valor a estudiar; esta variable puede ser tambi´en analizada, bajo las caracter´ısticas de los valores posibles que tomar´a, siendo ´estos continuos (medir algo, como en el ejemplo d) y f)) o discretos 16

ACTIVIDAD 3. EXPERIMENTANDO EN LO COTIDIANO (contar, como en a), b), c) y e)). En algunos casos, un mismo experimento puede ser analizado bajo variables continuas o discretas, dependiendo de lo requerido, tal como ocurre en el ejemplo g); donde la cantidad de pasos es un valor discreto, pero los metros a los que equivalen ´estos, corresponde a una variable continua.

Otro aspecto importante es la relevancia del an´alisis de estas distintas situaciones, las que resultar´an de utilidad en algunos estudios estad´ısticos. Tal como se contabiliza el flujo de veh´ıculos en las intersecciones de algunas calles, para estudiar la instalaci´on de un sem´aforo; as´ı como se analiza la cantidad de clientes en un supermercado, para mejorar u optimizar el servicio. O bien, simplemente preocupa el n´ umero de tapadas de un arquero, para determinar su nivel como jugador.

En la siguiente parte, es considerado el segundo grupo de situaciones, h) Si est´as jugando al cachip´ un con un amigo, ¿podr´ıas asegurarte de ganar en el primer intento?, ¿qu´e tipo de resultados pueden darse? (Espacio Muestral) i) De una alcanc´ıa tratas de sacar unas monedas, solamente puedes retirar 2 monedas cualquiera, ¿tendr´as certeza de cu´anto suman ambas?, ¿qu´e posibles resultados pueden darse? j) Para la tarea de biolog´ıa, el profesor decide sortear las parejas que trabajar´an en ella. ¿De que g´enero (sexo) ser´a tu compa˜ nero de tarea?, ¿qu´e posibilidades existen? k) Conociendo a un nuevo compa˜ nero, le consultas si su equipo favorito es el mismo que el tuyo, ¿qu´e posibles respuestas podr´ıas obtener? ¿te adelantar´ıas a asegurar lo que responder´a?

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ACTIVIDAD 3. EXPERIMENTANDO EN LO COTIDIANO l) Si lanzas un dado al aire, y estudias el n´ umero resultante en la cara superior ¿qu´e posibles resultados existen? m) Cada ma˜ nana, para asistir al liceo, tomas la primera micro (que llegue a tu colegio) que pase por el paradero, ¿cu´al ser´a el u ´ltimo d´ıgito en la patente de la micro que tomes en un d´ıa cualquiera?, ¿qu´e posibles resultados existen?

Estas situaciones, acompa˜ nadas por preguntas que ayuden a los estudiantes a comprender el concepto de Espacio Muestral; requieren que el docente caracterice dichas ideas y proponga finalmente una definici´on al concepto. Se visualiza que los ejemplos permiten encontrar con facilidad los posibles resultados. De igual modo, se deben identificar en las situaciones algunos sucesos, para que los alumnos comiencen a manejar todos los conceptos requeridos para el estudio formal de la teor´ıa de la probabilidad.

En el ejemplo h), puede consultarse a los estudiante sobre los resultados que permiten que se gane el juego; o bien, aquellos que favorezcan al oponente, vislumbrando de ´esta forma algunas ideas sobre lo que ser´ıa un suceso. Tambi´en se puede referenciar el ejemplo i), explicando que un grupo de resultados, tales como los pares de monedas que suman m´as de $100, ser´a considerado como un suceso; del cu´al a futuro se ver´an otras caracter´ısticas m´as espec´ıficas.

3.3

Conclusi´ on y Cierre de la Actividad

Para finalizar la actividad se propone que el docente se apoye de las definiciones de Espacio Muestral y Suceso, de ´esta manera son formalizadas las ideas que los 18

ACTIVIDAD 3. EXPERIMENTANDO EN LO COTIDIANO estudiantes construyeron con los ejemplos, respecto a las particularidades de dichos conceptos.

El docente tambi´en podr´a presentar otros ejemplos y pedir a los estudiantes que determinen los Espacios Muestrales, proponiendo con palabras algunos sucesos, para luego ser identificados en concreto, de acuerdo a los elementos del Espacio Muestral. Por ejemplo, para la situaci´on de la patente de la micro, puede proponerse el evento o suceso de que el d´ıgito final corresponda a un n´ umero impar, un n´ umero primo o un n´ umero mayor que 5, entre otros.

3.4

Sugerencias Finales

Hasta ahora las actividades que han sido propuestas representan una introducci´on a los conceptos requerido para el estudio de la teor´ıa de probabilidad. Importante es verificar que los estudiantes comprendan las ideas referidas a este contenido. Por tanto, se debe procurar una constante evaluaci´on de los aprendizajes de los alumnos, consultando a la mayor´ıa y haci´endolos participes de las actividades en el aula.

En lo sucesivo, las actividades venideras se adentran en propiedades que permiten ir concretando los elementos requeridos para el c´alculo de probabilidades. Encontr´andose formalizaciones matem´aticas m´as te´oricas, que requerir´an de un mayor trabajo en clases, para procurar el aprendizaje de los estudiantes.

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ACTIVIDAD 4

UN CONJUNTO DE PROPIEDADES Estudio de las Propiedades de la Teor´ıa de Conjuntos u ´tiles en Probabilidades.

4.1

Explicaci´ on de la Actividad

En estos momentos los estudiantes ya manejan los conceptos b´asicos asociados a la teor´ıa de la probabilidad. En m´as, para la presente actividad se requiere que sean formalizadas las nociones de Espacio Muestral y Suceso. Se aclara que el Espacio Muestral es denotado por la letra griega Ω (omega may´ uscula); y alg´ un suceso o evento de ´este, es asignado por una letra may´ uscula de nuestro alfabeto (A, B, C, ...)

Los objetivos de esta actividad, son entonces, poder enunciar eventos, mediante palabras y desarrollarlo por extensi´on, enumerando los elementos de ´estos. Se tratar´an adem´as las nociones de complemento, intersecci´on y uni´on entre sucesos. Caracteriz´andolas mediante ejemplos que permitir´an visualizar los elementos que le van conformando en diversas situaciones.

Para finalizar, se trabaja el concepto de cardinalidad, determinando en algunos Espacios Muestrales y sucesos, el valor de aquello. Y se deducir´an las propiedades b´asicas asociadas a la cardinalidad del complemento de un suceso y la uni´on entre dos eventos.

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ACTIVIDAD 4. UN CONJUNTO DE PROPIEDADES

4.2

Desarrollo de la Actividad

Comienza el trabajo de la actividad con un ejemplo que venga a reforzar las ideas de la notaci´on de un suceso y del Espacio Muestral. Es importante decir que, en la mayor´ıa de los experimentos aleatorios es necesario buscar los posibles resultados. No obstante, para ejemplificar de mejor manera, ser´an utilizadas algunas situaciones en que el Espacio Muestral es propuesto inicialmente.

El ejemplo introductorio ser´a; a) Un ni˜ no tiene el d´ıa Lunes clases de Matem´atica, M´ usica, Lenguaje, Historia y Artes. Su madre ha forrado todos sus cuadernos del mismo color. En cierto momento, el ni˜ no saca un cuaderno al azar desde su mochila, ¿a qu´e asignatura corresponder´a el seleccionado?.

Se tiene para esto, el Espacio Muestral dado por, Ω = {M´ usica, Matem´atica, Artes, Historia, Lenguaje}. El que es posible denotar por:

Ω ≡ Todos los cuadernos dentro de la mochila.

Surge ahora la pregunta, ¿qu´e cuadernos NO utilizar´a en la asignatura de Lenguaje?. Considerando solamente un grupo de los que est´an en la mochila. A saber, un grupo que forma parte del Espacio Muestral, se denominar´a subconjunto de Ω. Es posible ahora resumir dicho grupo, denot´andolo con un letra A, y concluir que A = {M´ usica, Matem´atica, Artes, Historia}. H´agase notar que todos los 21

ACTIVIDAD 4. UN CONJUNTO DE PROPIEDADES elementos de A est´an en Ω, particularidad de ser un subconjunto (A ⊆ Ω).

El suceso A en palabras ser´a:

A ≡ Cuadernos dentro de la mochila que NO son de Lenguaje.

Otro ejemplo de subconjuntos (suceso), ser´ıa considerar los cuadernos de las asignaturas que terminan con la “letra a”. Ser´a llamado B, en esta situaci´on, B = {M´ usica, Matem´atica, Historia}, y en palabras se escribir´a,

B ≡ Cuadernos de las asignaturas que terminan con la “letra a”.

Se sugiere por ejemplo, preguntar a alg´ un alumno o alumna, cu´ales asignaturas le agradan, le desagradan o en cu´ales tiene mejores calificaciones. De esta manera se definir´an otros subconjuntos.

C ≡ Cuadernos de las asignaturas que le gustan a Carolina. D ≡ Cuadernos de las asignaturas en que Aranzaz´ u tiene un promedio superior a 6.

En el momento en que el docente se asegura que los ejemplos han sido comprendidos; procede a caracterizar los conceptos de complemento, intersecci´on y uni´on entre conjuntos. Para aquello, una opci´on es mantener el mismo ejemplo de los cuadernos, o bien proponer una nueva situaci´on.

Para representar las siguientes propiedades, un ejemplo de utilidad ser´ıa: b) Un grupo de 8 amigos se encuentran descansando en la plaza de Temuco (Jos´e, 22

ACTIVIDAD 4. UN CONJUNTO DE PROPIEDADES Yanira, Lu´ıs, Mar´ıa, Manuel, Ver´onica, Nicol´as y Javiera). De ellos se sabe que solamente Mar´ıa, Javiera y Nicol´as son de Temuco. Un turista los encuentra y pregunta a uno de ellos (al azar) por una direcci´on dentro de la ciudad. La situaci´on se plantea bajo la l´ogica de un Experimento Aleatorio, por lo que,

Ω ≡ Los 8 amigos que descansan en la plaza.

De ´esta situaci´on se toman los sucesos.

A ≡ El consultado es de Temuco. B ≡ El consultado es una mujer.

Obteniendo que,

A = {Javiera, Mar´ıa, Nicol´as} y B = {Yanira, Ver´onica, Javiera, Mar´ıa}

El docente podr´a preguntar por aquellos j´ovenes que NO son de Temuco, se dir´a que ellos son: Jos´e, Yanira, Lu´ıs, Manuel y Ver´onica. Quienes por dicha particularidad se podr´an identificar como el suceso,

Ac ≡ el consultado NO es de Temuco.

Usando esa notaci´on, porque al comparar los integrantes de Ac , se asegura que ´estos son los amigos que NO son parte de los elementos de A. De otra forma, son los j´ovenes que le faltan a A para “completar” todo el grupo de amigos. De esta 23

ACTIVIDAD 4. UN CONJUNTO DE PROPIEDADES manera, Ac es llamado el complemento de A. O sea A y Ac se “complementan” para formar el total.

De forma similar, se puede ver que B c , ser´ıan los amigos que NO cumplen con B, es decir

B c ≡ el consultado es un hombre.

Se supondr´a ahora que al turista le “gustar´ıa” ser ayudado por una persona que sea de Temuco “o” por una mujer; para esa condici´on los j´ovenes que pueden ayudar al turista son: Javiera, Mar´ıa, Nicol´as, Ver´onica y Yanira.

Resulta importante que el alumno visualice la idea de que estos j´ovenes cumplen con pertenecer a A “o” pertenecen a B. De esta forma, ellos ser´an considerados como integrantes del suceso A ∪ B, que se refiere a la uni´on de los conjuntos A y B (compuesto por los elementos que pertenecen a A “o” que pertenecen a B).

Posteriormente, se plantear´a a los estudiantes que por las intenciones del turista, es l´ogico que lo que realmente le conviene a ´el, es ser ayudado por una mujer que sea de Temuco. Es decir, una persona que cumpla las condiciones de ser de la ciudad (A) “y” de ser mujer (B). Las ni˜ nas que ayudar´an de mejor forma al turista ser´an Javiera y Mar´ıa; ellas cumplen con la condici´on A y B, al mismo tiempo. Se llamar´a ´esta idea la intersecci´on entre A y B, denotado por A ∩ B y formado por los elementos que tienen en com´ un A y B.

Una vez que se han visto estas ideas, el docente comentar´a el concepto de

24

ACTIVIDAD 4. UN CONJUNTO DE PROPIEDADES cardinalidad de un conjunto, explic´andolo como el n´ umero de elementos presentes en ´este. As´ı, encontrar la cardinalidad del Espacio Muestral, denotado por #(Ω), consiste en contar los posibles resultados del Experimento Aleatorio. Una observaci´on importante, es que la cardinalidad ser´a siempre un n´ umero Natural (porque se est´a contando) y particularmente, #(Ω) ≥ 2; ya que si se refiere a un Experimento Aleatorio, el Espacio Muestral deber´a poseer, al menos, dos opciones (para reafirmar la idea de incertidumbre).

Del ejemplo a), se obtiene que #(Ω) = 5, en el caso de la situaci´on en b), #(Ω) = 8. Se intenta de esto, poder reconocer algunas propiedades; en consideraci´on del ejemplo b). Si de dicha situaci´on se busca #(A), la que es igual a 3. Al mismo tiempo, #(Ac ) = 5. Para el suceso B, se dir´a que #(B) = 4 y #(B c ) = 4. La conclusi´on que se debe considerar es que si (Ac ) est´a conformado por los elementos que no est´an en A, se cumplir´a siempre que:

#(A) + #(Ac ) = #(Ω)

Finalmente, se consulta a los estudiantes sobre c´omo calcular #(A ∪ B). Una posible respuesta es la idea de que se conocen los integrantes de A ∪ B, los que son Ver´onica, Yanira, Javiera, Mar´ıa y Nicol´as; por lo que #(A ∪ B) = 5. No obstante, es posible proponer la opci´on de contabilizar los elementos de A y los elementos de B, pero al sumar ´estas cantidades, se estar´an contando dos veces algunos integrantes. Ya que si #(A) = 3 y #(B) = 4, es claro que se cuenta a Javiera y Mar´ıa en ambos casos. Se debe recordar, que ´estas dos ni˜ nas cumpl´ıan con A y con B, al mismo tiempo, lo que fue llamado A ∩ B.

25

ACTIVIDAD 4. UN CONJUNTO DE PROPIEDADES Por tanto, para considerar #(A ∪ B), se tomar´a #(A) y #(B), pero se deber´a quitar los elementos repetidos, que fueron encontrados con #(A ∩ B). Es decir:

#(A ∪ B) = #(A) + #(B) − #(A ∩ B)

4.3

Conclusi´ on y Cierre de la Actividad

Un detalle importante al cierre es proponer ejemplos en los que la intersecci´on de los conjuntos no existe, y de ´esta forma mostrar que esos casos la manera de calcular la cardinalidad de la uni´on ser´a dada por

#(A ∪ B) = #(A) + #(B)

Se comentar´a que estas nociones de contar, hasta ahora ser´an vistas bajo la l´ogica de que las cardinalidades requerir´an de enumerar los elementos de cada conjunto. Mas, en las actividades venideras, se ver´a que es posible encontrar las cardinalidades utilizando m´etodos m´as r´apidos y precisos.

4.4

Sugerencias Finales

Recomendable puede resultar ejemplificar las situaciones mediante diagramas de Venn, para que los alumnos identifiquen los conceptos de intersecci´on y uni´on de manera m´as gr´afica. M´as a´ un, se pueden entregar algunos datos, en alguna situaci´on, para que ellos efect´ uen el diagrama de Venn y hagan coincidir las cardinalidades implicadas en el problema.

26

ACTIVIDAD 5

NUEVAS FORMAS DE CONTAR Desarrollo de las Propiedades de la Teor´ıa Combinatoria y el Principio de Multiplicaci´ on.

5.1

Explicaci´ on de la Actividad

Considerando

que los estudiantes ya manejan los conceptos de Espacio

Muestral y Suceso; reconociendo que los posibles resultados de un experimento aleatorio permiten tener una primera impresi´on sobre el n´ umero de situaciones que se enfrentar´an, una vez que se llevan a cabo estos experimentos.

Por tanto, para ser m´as precisos, el docente iniciar´a la actividad comentando la importancia de conocer con exactitud el n´ umero (o cardinalidad) de posibles situaciones que se presentan en diversos modelos aleatorios. En este caso, el profesor har´a ´enfasis en el hecho de que ante algunas situaciones es f´acil encontrar el n´ umero de posibles desenlaces, tal como se vio en la actividad anterior, pero en otras ocasiones la manera en que se contabiliza se ve limitada, en concordancia a las herramientas b´asicas de conteo.

Surge entonces la necesidad de conocer nuevas formas de sacar cuentas y, como ocurre con el diagrama de ´arbol, en momentos espec´ıficos ayudarse por alg´ un esquema representativo. Este tipo de diagramas deber´a por tanto ser ejemplificado por el docente; se propone en la actividad un ejemplo desarrollado con diagrama 27

ACTIVIDAD 5. NUEVAS FORMAS DE CONTAR de ´arbol, pero ser´ıa una buena opci´on plantear otros m´as. A su vez, la forma en que se construye un diagrama, deber´a ser conocida por los estudiantes antes del desarrollo de la actividad; el docente deber´a por tanto ense˜ nar a los estudiantes dicho contenido.

El objetivo perseguido por la actividad es proponer a los alumnos nuevas formas de contar, que son u ´tiles a la hora de trabajar con Espacios Muestrales o Eventos que presentan una gran cantidad de elementos; o en otras palabras, cuando las posibilidades son much´ısimas. Dentro de esto mismo, se har´a referencia a la necesidad de abordar un principio de conteo, que facilite el trabajo que puede realizarse mediante un diagrama de ´arbol; el cual es u ´til en cierto tipo de situaciones. De esto se desprende la importancia de procurar la ense˜ nanza del principio de la multiplicaci´on; situaci´on que tambi´en se aborda en la presente propuesta.

5.2

Desarrollo de la Actividad

Para comenzar la actividad se plantear´a a los estudiantes una situaci´on referente a la elecci´on de un uniforme de un equipo de b´asquetbol; esta situaci´on se ir´a complementando con otras condiciones que van reafirmando las deducciones y al mismo tiempo, van agregando dificultades en la resoluci´on de las interrogantes. Secuenciadamente, los alumnos ir´an advirtiendo la l´ogica que propone el principio de la multiplicaci´on para enumerar los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Primeramente, el ejemplo tratado ser´a de la siguiente manera: 28

ACTIVIDAD 5. NUEVAS FORMAS DE CONTAR - En un equipo de b´asquetbol, se les da a elegir a los jugadores los colores del uniforme a utilizar; para la polera est´an disponibles el verde, el azul y el rojo; en el caso del pantal´on, pueden escoger entre blanco, negro, rojo y azul. Determinar todas las posibles combinaciones de uniforme a seleccionar.

En esta situaci´on se propone que los estudiantes puedan representar los distintos tipos de uniforme mediante el llamado diagrama de ´arbol, para visualizar como se van conformando las parejas resultantes.

Polera Pantal´on B x< xx x x xx lll5 N xlxllll VJ FRFRRRR FF RRR  FF )  FF R FF  "  A  0. 0 #(A) #(Ω) ≤ ≤ #(Ω) #(Ω) #(Ω) 0 ≤ P (A) ≤ 1 ii) Como tambi´en se ha visto,

#(A) + #(Ac ) = #(Ω)

De la misma forma, al dividir todo por #(Ω) > 0. #(Ω) #(A) #(Ac ) + = #(Ω) #(Ω) #(Ω) P (A) + P (Ac ) = 1 P (A) = 1 − P (Ac ) 53

´ ACTIVIDAD 7. LO CLASICO EN PROBABILIDADES iii) Otra propiedad importante, se refiere al c´alculo de la probabilidad de la uni´on de dos eventos,

#(A ∪ B) = #(A) + #(B) − #(A ∩ B)

Dividiendo por #(Ω) > 0. #(A) #(B) #(A ∩ B) #(A ∪ B) = + − #(Ω) #(Ω) #(Ω) #(Ω) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

Resumiendo, se tienen las propiedades: a) 0 ≤ P (A) ≤ 1 b) P (φ) = 0 c) P (Ω) = 1 d) P (A) = 1 − P (Ac ) e) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

Estas propiedades ser´an de gran utilidad a la hora de resolver problemas de probabilidad en situaciones cotidianas y, espec´ıficamente, en las futuras actividades propuestas por este trabajo.

54

´ ACTIVIDAD 7. LO CLASICO EN PROBABILIDADES

7.3

Conclusi´ on y Cierre de la Actividad

Al realizar el cierre de la actividad, el docente debe plantear situaciones sencillas en las que sea necesario calcular probabilidades, considerando cautelosamente, el espacio muestral y los casos favorables para cada una de las situaciones. Se busca entonces comprobar el aprendizaje de los alumnos con respecto a la llamada f´ormula de Laplace.

Se deber´a considerar constantemente las dudas que surjan de los estudiantes, para asegurarse de que la metodolog´ıa utilizada ha sido efectiva; en caso contrario es necesario rescatar otros ejemplos que motiven a los estudiantes y cumplan con los objetivos que se vean m´as d´ebiles.

7.4

Sugerencias Finales

Los ejemplos considerados en la actividad deben ser analizados detalladamente, adelant´andose a las posibles respuestas y deducciones de los estudiantes, para que no ocurra que alg´ un ejemplo destinado a cumplir cierto objetivo, termine desvi´andose y no cumpla la labor correspondiente. Es importante tambi´en rescatar situaciones que a los propios estudiantes les surjan como propuestas para ciertos ejemplos, con lo que se puede complementar las nociones que el docente posee, y desea que los alumnos conozcan, con la visi´on propia de los estudiantes.

55

ACTIVIDAD 8

CONDICIONADAMENTE PROBABLE Estudio de la Probabilidad Condicional.

8.1

Explicaci´ on de la Actividad

El objetivo de la actividad siguiente es relacionar la Probabilidad Condicional con la Probabilidad Cl´asica, para calcular condicionalidad en funci´on de lo visto anteriormente, al mismo tiempo se busca que los estudiantes descubran la f´ormula que permita resolver problemas de Probabilidad Condicional, mediante ejemplos que gu´ıen dichas conclusiones.

Importante resulta para el docente, manejar el concepto de Probabilidad Condicional, que est´a basado en una situaci´on espec´ıfica, lo que se resume como la probabilidad de que ocurra un evento Condicionado por un escenario particular, dado por otro evento. En el caso de buscar la probabilidad de un suceso A, dado (o sabiendo que ha ocurrido) un suceso B; esto ser´a denotado por P (A/B), lo que se lee “la probabilidad de A dado B”.

En esta actividad se busca que los estudiantes reconozcan, mediante ejemplos espec´ıficos, que la probabilidad condicional puede resolverse bajo los mismos argumentos de la probabilidad cl´asica. En el sentido de que un problema de

56

ACTIVIDAD 8. CONDICIONADAMENTE PROBABLE probabilidad condicional, puede ser planteado, mediante una reformulaci´on de su enunciado, como un problema de probabilidad cl´asica.

Para cerrar, se propone que los alumnos logren comprender que en estos casos, la probabilidad buscada corresponde a la raz´on entre la cardinalidad de la intersecci´on de los sucesos y la cardinalidad del suceso condicionante.

8.2

Desarrollo de la Actividad

Proponiendo, que de forma introductoria, los estudiantes sean consultados sobre la probabilidad de algunas situaciones que pueden ser resueltas mediante probabilidad cl´asica, esperando que los estudiantes respondan con facilidad. Por ejemplo, pueden ser consultados por la probabilidad de escoger un hombre dentro de la sala, o bien, la probabilidad de obtener una suma par al lanzar dos dados (que requiere de algunas herramientas vistas en la Actividad 5).

Posterior a esto, se consulta sobre nuevas situaciones, como las siguientes: a) Al lanzar un dado en dos ocasiones, ¿cu´al es la probabilidad de que la suma de los n´ umero sea 8, dado que el primer n´ umero es par? b) Se tienen dos urnas, una con 3 bolitas rojas y 6 verdes; la otra con 6 bolitas rojas y 2 de color verde. ¿Cu´al es la probabilidad de obtener una bolita roja, dado que se escogi´o la primera caja?. c) Si se selecciona un estudiante al azar, ¿cu´al es la probabilidad de seleccionar una mujer, sabiendo que el estudiante elegido pertenece a la primera fila de la 57

ACTIVIDAD 8. CONDICIONADAMENTE PROBABLE sala? d) Calcular la probabilidad de que un equipo obtenga m´as de dos puntos (en dos partidos), sabiendo que el primero no lo perdi´o. e) Seleccionando un estudiante del curso. ¿Cu´al es la probabilidad de que ´el/ella use lentes, sabiendo que se seleccion´o una mujer?. Es claro que al plantear esas interrogantes, se espera que los estudiantes NO sean capaces de dar una respuesta inmediata. Sin embargo, es necesario aclarar que las caracter´ısticas de dichas situaciones, corresponden a probabilidades condicionales (el nuevo contenido a tratar), en donde existen dos sucesos en cuesti´on, uno de ellos es el del cu´al se desea saber su probabilidad de ocurrencia, y el otro corresponde a un suceso que condiciona, del cual se tiene certeza de que ha ocurrido. Es en este momento donde el docente puede dar algunos formalismos, como la definici´on o la notaci´on de la probabilidad condicional.

Seguidamente, buscar´a mostrar a los estudiantes que las preguntas anteriores, pueden ser reestructuradas, de tal forma que sea posible dar una nueva lectura y lograr identificar que resolver dicha situaci´on es equivalente a desarrollar alguna situaci´on resuelta mediante probabilidad cl´asica.

Concentr´ando la atenci´on en el siguiente ejemplo: c) Si se selecciona un estudiante al azar, ¿cu´al es la probabilidad de seleccionar una mujer, sabiendo que el estudiante elegido pertenece a la primera fila de la sala?. Definiendo inmediatamente los siguientes sucesos:

58

ACTIVIDAD 8. CONDICIONADAMENTE PROBABLE M≡ El estudiante seleccionado es una mujer. F≡ El estudiante seleccionado pertenece a la primera fila de la sala.

De esta manera, la probabilidad consultada corresponder´a a P (M/F ), como hasta ahora no es posible desarrollar esa probabilidad, se deja pendiente para mostrar a los estudiantes la siguiente caracter´ıstica del enunciado anterior.

En virtud de lo mencionado, al considerar el suceso condicionante como un evento del que se tiene la informaci´on de que ha ocurrido; se sugiere proponer a los estudiantes una segunda lectura de la situaci´on, de la manera siguiente: c’) Escogiendo un estudiante de la primera fila de la sala, ¿cu´al es la probabilidad de que se seleccione una mujer?. Esta segunda forma de enunciar el mismo problema, permitir´a que el estudiante plantee la situaci´on con las herramientas que ya posee, es posible entonces definir ahora:

W≡ Mujeres de la primera fila. (*) F≡ Estudiante de la primera fila de la sala.

Por tanto la probabilidad solicitada, se desarrollar´a

P (M/F ) =

#(W ) #(F )

Lo cual corresponde, como se ha dicho, a una situaci´on de probabilidad cl´asica.

Tomando ahora otro de los ejemplos: 59

ACTIVIDAD 8. CONDICIONADAMENTE PROBABLE e) Seleccionando un estudiante del curso ¿Cu´al es la probabilidad de que ´el/ella use lentes, sabiendo que se seleccion´o una mujer?. Definiendo inmediatamente los siguientes sucesos:

L≡ El estudiante seleccionado usa lentes. M≡ El estudiante seleccionado es una mujer.

La probabilidad consultada es P (L/M ), pero nuevamente se busca una manera de dar una segunda lectura al enunciado, e’) Escogiendo una mujer dentro del curso, ¿cu´al es la probabilidad de que ella use lentes?. Bajo esta forma de enunciar el problema, se define ahora:

J≡ Mujeres que usan lentes. (**) M≡ Mujeres dentro de la sala.

Por tanto la nueva probabilidad a calcular, correspondiente a una probabilidad cl´asica, ser´ıa:

P (L/M ) =

#(J) #(M )

En virtud de los dos ejemplos planteados, se desea encontrar las caracter´ısticas de los nuevos eventos (*) y (**), surgidos de los problemas c) y e), respectivamente.

La pregunta para los estudiantes es, ¿qu´e caracter´ısticas poseen estos nuevos eventos, de acuerdo a los sucesos originales de cada uno de esos problemas (en 60

ACTIVIDAD 8. CONDICIONADAMENTE PROBABLE forma separada)? o bien, ¿qu´e relaci´on tiene el suceso W con los eventos M y F, del problema c)? y ¿qu´e relaci´on tiene el suceso J con los eventos L y M, del experimento e)?

Comparando estos sucesos, de acuerdo a las preguntas planteadas anteriormente

Para el problema c), se toman los sucesos:

M≡ El estudiante seleccionado es una mujer. F≡ Estudiante de la primera fila de la sala. W≡ Mujeres de la primera fila. (*)

Como se plantea, es necesario verificar cu´al es la relaci´on que presenta el suceso W, con respecto a los otros dos. En este caso, el docente deber´a conducir a los estudiantes para que reconozcan que este suceso W, es la intersecci´on de los otros dos eventos en cuesti´on; ya que las mujeres de la primera fila, cumplen con la caracter´ıstica de los estudiantes del conjunto M y al mismo tiempo con la caracter´ıstica del suceso F.

Para el problema e), considerar los sucesos:

L≡ El estudiante seleccionado usa lentes. M≡ Mujeres dentro de la sala. J≡ Mujeres que usan lentes. (**)

Del mismo modo, este evento J, posee la particularidad de ser la intersecci´on de

61

ACTIVIDAD 8. CONDICIONADAMENTE PROBABLE los otros dos sucesos. Por lo que se afirma que J = M ∩ L

Finalmente, el docente deber´a conducir a los estudiantes a la obtenci´on de la f´ormula del c´alculo de la probabilidad condicional. Para ello en este caso, puede tomar la forma en que se obtuvo la probabilidad de la situaci´on e).

P (L/M ) =

#(M ∩ L) #(J) = #(M ) #(M )

Por tanto, se concluye que la manera en que se calcula la probabilidad de un evento A, sabiendo que ha ocurrido B, es decir P (A/B) ser´a:

P (A/B) =

8.3

#(A ∩ B) #(B)

Conclusi´ on y Cierre de la Actividad

Como actividad de cierre es aconsejable que se propongan situaciones tipo, para que los estudiantes identifiquen las cardinalidades pedidas para calcular las probabilidades condicionales.

Por tanto, se puede proponer el experimento aleatorio de elegir un estudiante del curso, y preguntar, ¿cu´al es la probabilidad de que el seleccionado tenga sue˜ no, sabiendo que se escogi´o un hombre?. Induciendo por tanto el calculo de la probabilidad identificando los sucesos involucrados, definiendo entonces:

S≡ El estudiante seleccionado tiene sue˜ no. H≡ El estudiante seleccionado es un hombre.

62

ACTIVIDAD 8. CONDICIONADAMENTE PROBABLE

Por tanto la probabilidad a calcular ser´ıa,

P (S/H) =

Cantidad de Hombres que tienen sue˜ no #(S ∩ H) = N´ umero de Hombres en el curso #(H)

La resoluci´on de este problema, obviamente depender´a de la cantidad de estudiantes con dichas caracter´ısticas en el curso.

Como una aclaraci´on muy importante, y que resultar´ıa ideal para el cierre de la actividad, se destaca el hecho de dar a conocer a los alumnos, la idea de que la probabilidad condicional puede ser calculada sin la necesidad de encontrar la cardinalidad de la intersecci´on de los sucesos y la cardinalidad del suceso condicionante. Ya que con un paso algebraico se caracteriza la probabilidad condicional como sigue:

#(A ∩ B) #(Ω) · = P(A/B) = #(B) #(Ω)

#(A∩B) #(Ω) #(B) #(Ω)

=

P (A ∩ B) P (B)

Esto u ´ltimo puede ser presentado con alg´ un ejemplo en el que se conozcan las probabilidades de la intersecci´on de los sucesos y la probabilidad de que ocurra el suceso condicionante; sin necesidad, como se dec´ıa anteriormente, de contar los elementos de cada uno de los sucesos.

8.4

Sugerencias Finales

Para complementar las ideas planteadas, es posible proponer la resoluci´on de situaciones como las que siguen:

63

ACTIVIDAD 8. CONDICIONADAMENTE PROBABLE Se tienen 10 cajas, que contienen bolitas rojas y negras; si en la primera caja hay 6 rojas y 4 negras. Se selecciona una caja al azar y se escoge una bolita, ¿cu´al es la probabilidad de que la bolita sea roja y provenga de la caja uno?

Leyendo detenidamente el ejemplo, se identifica que la pregunta planteada requiere calcular la probabilidad de la intersecci´on de los eventos. Vi´endolo de la siguiente forma, se definen los sucesos como sigue:

R≡ La bolita proviene de la caja Roja. U≡ La bolita proviene de la caja Uno.

Considerando ahora la u ´ltima f´ormula propuesta,

P (R/U ) =

P (R ∩ U ) P (U )

De acuerdo a los datos del enunciado se reconoce que la probabilidad condicional es conocida, ya que la probabilidad de obtener una bolita Roja sabiendo que proviene de la caja Uno; es equivalente a preguntar: ¿cu´al es la probabilidad de sacar una bolita Roja de la caja Uno?. Lo que num´ericamente es P (R/U ) =

6 . 10

De forma similar, se deduce del enunciado, que la probabilidad de que la bolita provenga de la caja Uno es como preguntar: ¿cu´al es la probabilidad de seleccionar la caja uno (de las diez cajas presentes)?, lo que es igual a P (U ) =

1 . 10

Ahora bien;

como se dijo, la probabilidad consultada se refiere a la intersecci´on entre el suceso R y el suceso U, o sea P (R ∩ U ). Entonces la f´ormula considerada anteriormente, quedar´a de la siguiente forma

64

ACTIVIDAD 8. CONDICIONADAMENTE PROBABLE 6 10

=

P (R ∩ U ) 1 10

⇒

6 10

·

1 10

= P (R ∩ U ) ⇒

6 100

= P (R ∩ U )

Esta u ´ltima consideraci´on, es un anticipo de lo que posteriormente se convierte en el llamado Teorema de Bayes, que permite calcular las probabilidades de las causas de un evento observado.

65

ACTIVIDAD 9

APLICAR Y RESOLVER Cap´ıtulo Dedicado a la Resoluci´on de Problemas de la Teor´ıa de Probabilidades.

9.1

Explicaci´ on de la Actividad

La u´ltima secci´on, m´as que una propuesta de actividad, pretende presentar algunos tipos de situaciones que pueden ser resueltas, mediante los principios tratados en las anteriores actividades. Son vistos algunos ejemplos con sus resoluciones, que podr´ıan mostrarse a los estudiantes, para que ellos intenten resolverlos. O bien, estos problemas podr´ıan ser tambi´en tratados en alguna evaluaci´on de la unidad.

En estas situaciones, es necesario aplicar los principios de conteo, las propiedades de la probabilidad cl´asica y las caracter´ısticas de la probabilidad condicional, ya sea de forma independiente o combinando propiedades. Necesitando abordar los problemas con un an´alisis que requiere mayor profundidad. Se estudian por tanto, experimentos aleatorios que pueden resultar interesantes para los estudiantes.

9.2

Desarrollo de la Actividad

Propuestos quedan los siguientes problemas. 1) En una bolsa hay caramelos de 4 tipos diferentes. 150 pastillas son de menta, 66

ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER 60 de naranja, 45 con relleno y 100 son de an´ıs. Si un ni˜ no saca un caramelo al azar. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que saqu´e un dulce con relleno? b) ¿Qu´e probabilidad hay de que saque un dulce de menta o an´ıs? c) ¿Qu´e probabilidad hay de que saque un dulce que NO sea de naranja?

Para esta situaci´on, se requiere conocer los conceptos de probabilidad cl´asica, y sus propiedades. Es necesario identificar la cardinalidad del espacio muestral y de los eventos involucrados. Por tanto, de definen los siguientes conjuntos:

Ω ≡ Todos los dulces en la bolsa. ⇒ #(Ω) = 355. M≡ Dulces de Menta. ⇒ #(M ) = 150. N≡ Pastillas de Naranja. ⇒ #(N ) = 60. R≡ Caramelos con Relleno. ⇒ #(R) = 45. A≡ Dulces de An´ıs. ⇒ #(A) = 100.

Respondiendo a las preguntas planteadas: a) Se necesita calcular P (R), es necesario considerar entonces que P (R) =

P (R) =

#(R) . #(Ω)

9 45 = ≈ 0.12 355 71

b) Se consulta sobre P (M ∪ A). En este caso, como la intersecci´on entre los conjuntos no existe, se afirma que P (M ∪ A) = P (M ) + P (A).

P (M ∪ A) = P (M ) + P (A) =

150 100 250 50 + = = ≈ 0.7 355 355 355 71 67

ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER c) Para esta situaci´on, es posible basarse en la propiedad del complemento, sabiendo que P (N c ) = 1 − P (N ) y reconociendo claramente que P (N ) =

60 , 355

entonces:

P (N c ) = 1 −

295 59 60 = = ≈ 0.83 355 355 71

De igual forma, se pudo haber buscado

P (N c ) = P (M ∪ R ∪ A) = P (M ) + P (R) + P (A) Obteniendo,

P (N c ) =

150 45 60 295 + + = ≈ 0.83 355 355 355 355

2) Un n´ umero entero entre 1 y 300 es escogido aleatoriamente. Calcular la probabilidad de que sea divisible por 3 ´o 5. (De Oliveira, Pitombeira, Pinto y Fernandez, 2006, p. 132) Esta situaci´on puede ser resuelta con las propiedades de la probabilidad cl´asica.

Sean los conjuntos:

Ω ≡ N´ umeros enteros entre 1 y 300. A≡ N´ umeros entre 1 y 300 divisibles por 3. B≡ N´ umeros entre 1 y 300 divisibles por 5.

Hay que calcular P (A ∪ B). Es f´acil identificar que los n´ umeros divisibles por 3, entre 1 y 300, son 100. A saber; {3, 6, 9, ..., 300}, cantidad que se obtiene 68

ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER de

300 . 3

En el caso de los n´ umeros divisibles por 5, se calculan con

300 , 5

los que

ser´an 60. Sin embargo, es necesario aclarar que entre estas cantidades hay n´ umeros que se repiten. Por ejemplo, el n´ umero 15 est´a siendo contado como un m´ ultiplo de 3 y de 5, as´ı como el 30 y el 45, entre otros. Dichos n´ umeros son aquellos m´ ultiplos de 3 y 5 al mismo tiempo. Es decir, estos corresponden a los elementos del conjunto A∩B. La cantidad de dichos n´ umeros se calcular´a determinando

300 . 15

Considerando ahora, #(A) = 100 #(B) = 60 #(A ∩ B) = 20

Se sabe que: P (A) =

100 300

= 31 ,

P (B) =

60 300

= 15 ,

P (A ∩ B) =

20 300

=

1 . 15

De esta forma, para calcular la probabilidad deseada, se ocupa la propiedad,

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

P (A ∪ B) =

1 1 1 7 + − = ≈ 0.47 3 5 15 15

3) Un torneo es disputado por los equipos A, B, C y D. Es 3 veces m´as probable que gane A de que gane B, 2 veces m´as probable que gane B de que gane C y tiene 3 veces m´as probabilidades de ganar C que D. ¿Cu´ales son las

69

ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER probabilidades de ganar de cada uno de los equipos? (De Oliveira et al., 2006, p.132) El espacio muestral se conforma de cuatro posibles resultados del experimento. Se indica,

A ≡ El equipo ganador del torneo es A, B ≡ El equipo ganador del torneo es B, C ≡ El equipo ganador del torneo es C, D ≡ El equipo ganador del torneo es D.

Sea tambi´en, P (D) = p. Teniendo las siguientes relaciones,

P (C) = 3 · P (D) = 3p,

P (B) = 2 · P (C) = 6p,

P (A) = 3 · P (B) = 18p. Como la suma de las probabilidades debe ser igual a 1, es decir:

P (A) + P (B) + P (C) + P (D) = 1, 18p + 6p + 3p + p = 1. O sea 28p = 1, de done p =

P (A) =

1 . 28

Por tanto

6 3 1 18 , P (B) = , P (C) = , P (D) = . 28 28 28 28

4) Se lanzan 3 dados simult´aneamente, ¿cu´al es la probabilidad de que la suma de los n´ umeros obtenidos sea mayor que 5? 70

ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER Considerando los tr´ıos (a, b, c); donde a representa el valor obtenido en el primer dado, b es el n´ umero del segundo dado y c el valor que aparece en el tercer dado. Buscando ahora la cantidad de tr´ıos posibles en este experimento (Espacio Muestral). Como se ha visto con el principio de la multiplicaci´on, el n´ umero de tr´ıos es posible determinarlos con, 6 × 6 × 6 = 216.

Se definir´a,

A ≡ La suma de los tres n´ umeros es mayor que 5.

La forma m´as sencilla de encontrar la probabilidad, es mediante la propiedad del complemento. Contando de esta forma, los tr´ıos en que la suma de los n´ umeros es menor o igual que 5, estos son: (1, 1, 3); (1, 3, 1); (3, 1, 1); (2, 2, 1); (2, 1, 2) y (1, 2, 2). Finalmente,

P (A) = 1 − P (Ac ) = 1 −

30 5 6 = = 36 36 6

5) La selecci´on chilena de f´ utbol se encuentra participando en un torneo internacional de 16 equipos. Estos deben separarse en grupos de a 4. Los equipos cabeza de serie son; Brasil en el grupo 1, Italia en el grupo 2, Alemania en el grupo 3 y Espa˜ na en el grupo 4. Los hinchas chilenos tienen la certeza que el u ´nico equipo, f´acilmente vencible por Chile, es la selecci´on de Vanuatu (Ocean´ıa). El hecho de que Chile gane un partido en primera fase, le permite clasificar a la segunda ronda. Por tanto ¿cu´al es la probabilidad de que Chile y la selecci´on de Vanuatu queden en un mismo grupo?

71

ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER Considerando el Espacio Muestral, como el conjunto de todas las permutaciones de los 12 equipos que deben ir a sorteo en los grupos; es decir el n´ umero de casos posibles ser´a 12!

El siguiente esquema es de utilidad para interpretar la situaci´on a estudiar.

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3

Grupo 4

B***

D***

A***

C***

El esquema planteado representa los 16 equipos, en donde las letras A, B, C y D simbolizan los equipos cabeza de serie. Se cuentan entonces, las posibles permutaciones entre Chile y Vanuatu en el caso de que pertenezcan al grupo 1; es posible suponer que Chile puede ser colocado en 3 lugares, quedando para Vanuatu 2 espacios, y los restantes equipos podr´ıan ser dispuestos de 10! formas diferentes. Por lo que el n´ umero de permutaciones en que Chile y Vanuatu pertenecen al grupo 1 ser´a igual a, 3 × 2 × 10!. Ahora es importante considerar que esta forma de analizar debe ser multiplicada por 4, ya que ´estas mismas posibilidades se dar´an en el caso de que Chile y Vanuatu queden en los grupos 2, 3 ´o 4. Finalmente, la probabilidad de que estos equipos queden en el mismo grupo ser´a, 4 · 3 · 2 · 10! 2 = ≈ 0.18. 12! 11

6) Juan y cuatro de sus amigos compran, cada uno de ellos, un helado de una caja que contiene 100 unidades, de los cuales 1 viene premiado con un vale 72

ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER otro. ¿Cu´al es la probabilidad de que Juan obtenga el helado premiado? Este ejemplo es de utilidad para plantear diversas situaciones y, al mismo tiempo clarificar el concepto de Espacio Muestral. Con una primera lectura, algunos estudiantes pueden suponer que al existir 5 amigos, la probabilidad de que Juan obtenga el helado premiado es

1 . 5

Sin embargo, es importante clarificar que el

espacio muestral estar´a compuesto por la cantidad de helados; el cual puede sufrir modificaciones si se considera el orden en el que Juan compra su helado, es decir, si es el primero o no en comprar.

a) Si Juan es el primero en comprar el helado, ¿Cu´al es la probabilidad de que Juan obtenga el helado con premio? Para este caso, la probabilidad es directa, ya que de 100 helados hay solo 1 premiado, por tanto P (J) =

1 . 100

b) Si Juan es el segundo en comprar el helado, y se sabe que el amigo que compr´o antes NO obtuvo el helado premiado ¿Cu´al es la probabilidad de que Juan saque el helado premiado? En esta nueva situaci´on, la probabilidad se vuelve condicionada, y se puede verificar son facilidad, que en esta nueva situaci´on quedar´an 99 helados en la caja y obviamente estar´a el helado premiado, por lo que P (J) =

1 . 99

c) Si Juan es el segundo en comprar el helado, y del helado de Mario, quien compra en primer lugar, No se sabe si es el premiado. ¿Cu´al es la probabilidad de que Juan gane el vale otro? 73

ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER Ahora la situaci´on debe ser analizada mediante el principio de la multiplicaci´on, para identificar que existen 100 × 99 maneras en que Mario y Juan pueden comprar sus helados. Y con un poco de destreza, se identificar´a que si se quiere que Juan obtenga el helado con vale otro (casos favorables), debe considerarse que este helado premiado que obtiene Juan, formar´a parejas con el helado NO premiado de su amigo (primer comprador). Se dice entonces, que los helados NO premiados que puede sacar Mario son 99. Por tanto las parejas que hacen que Juan obtenga el helado con vale otro, y su amigo haya comprado un helado sin premio, son exactamente 99. La probabilidad entonces se traduce en,

P (J) =

1 99 = 100 × 99 100

Con un poco de paciencia, gracias al principio de la multiplicaci´on, se mostrar´a que no importando el orden en que se compran los helados; Juan siempre tendr´a la misma probabilidad de obtener el vale otro (si es que no hay informaci´on sobre sus amigos que compren primero), como se compara en el caso a) y c).

7) De 5000 j´ovenes Temuquenses, 1500 de ellos juegan f´ utbol, 1100 practican b´asquetbol y 550 se dedican al voleibol; adem´as se conoce que un 20% del total practican f´ utbol y b´asquetbol al mismo tiempo; as´ı mismo 10% de todos los j´ovenes, desarrollan tanto el f´ utbol como el voleibol. Y solamente un 1% les gusta jugar b´asquetbol y voleibol a la vez. (No hay j´ovenes que practiquen los tres deportes conjuntamente). Si se escoge un joven al azar; a) ¿Cu´al ser´a la probabilidad de que el escogido practique b´asquetbol si ya es sabido que juega voleibol? 74

ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER b) Decidir cu´al de las dos siguientes probabilidades es mayor. 1) Que el joven juegue f´ utbol sabiendo que practica b´asquetbol, o bien 2) que el joven practique f´ utbol, sabiendo que le gusta el voleibol.

Estos problemas planteados, corresponden a situaciones de probabilidad condicional. Se resuelve entonces cada uno de ellos.

Para ambas situaciones, se definen los eventos,

F ≡ El seleccionado practica F´ utbol, B ≡ El seleccionado juega B´asquetbol, V ≡ El seleccionado juega Voleibol.

En el caso de a), hay que calcular P (B/V ), para lo que es necesario encontrar #(B ∩ V ) y #(V ). Lo que se hace entonces es,

P (B/V ) =

1% · 5000 50 1 #(B ∩ V ) = = = #(V ) 550 550 11

Para la pregunta b), se requiere P (F/B) y P (F/V ). De los datos se asegura que

P (F/B) =

20% · 5000 1000 10 #(F ∩ B) = = = #(B) 1100 1100 11

P (F/V ) =

#(F ∩ V ) 10% · 5000 500 10 = = = #(V ) 550 550 11

En conclusi´on, ambas opciones poseen la misma probabilidad.

75

ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER 8) En una alcanc´ıa hay 100 monedas de $5, 50 monedas de $10, 80 monedas de $50, 20 monedas de $100 y 35 monedas de $500. Si se extrae una moneda al azar, responder: a) ¿Qu´e probabilidad hay de que la moneda resulte ser de $500, si se sabe que la moneda extra´ıda tiene un valor mayor o igual que $50? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que la moneda tenga un valor menor que $100, sabiendo que la moneda obtenida NO es de $10?

En concordancia a ambas interrogantes, se definen los siguientes sucesos,

A ≡ La moneda obtenida es de $500, B ≡ La moneda obtenida tiene un valor mayor o igual que $50, C ≡ La moneda tiene un valor menor que $100, D ≡ La moneda obtenida NO es de $10.

Para responder a la pregunta planteada en a), se necesita calcular P (A/B), encontrando #(A ∩ B), lo que equivale, exclusivamente a las monedas de $500, ´estas son 35. Del mismo modo, #(B) corresponde a sumar 80 + 20 + 35 (monedas de $50, $100 y $500), son entonces 135.

P (A/B) =

#(A ∩ B) 35 7 = = ≈ 0.26 #(B) 135 27

Lo planteado en b), requiere calcular P (C/D). Buscando #(C ∩ D), se deben contar las monedas de $5 y $50, ´estas suman 180. Para #(D), se cuentan todas las monedas que no sean de $10, las que son 235 monedas. 76

ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER

P (C/D) =

#(C ∩ D) 180 36 = = ≈ 0.76 #(D) 235 47

9) Se sabe que el 80% de los penales cobrados a favor de Brasil son lanzados por jugadores del Flamengo. La probabilidad de que un penal sea convertido es de 40% si el ejecutante es del Flamengo y de un 70% en caso contrario. Un penal es cobrado a favor de Brasil. ¿Cu´al es la probabilidad de que el penal sea ejecutado por un jugador de Flamengo y sea convertido?. (De Oliveira et al., 2006, p.144)

La probabilidad consultada es:

P (“El pateador es del Flamengo” y “El penal es convertido”) = P (F ∩ C) {z } | {z } | F

C

De acuerdo a la f´ormula de probabilidad condicional, se ha visto que es posible expresar P (F ∩ C) = P (F ) · P (C/F ). Del enunciado, P (F ) = 0.8 y P (C/F ) = 0.4. Entonces, P (F ∩ C) = 0.8 · 0.4 = 0.32 Se puede notar que era posible haber utilizado P (F ∩ C) = P (F ) · P (F/C). Pero la probabilidad de que el pateador sea del Flamengo, sabiendo que el penal es convertido, o sea P (F/C) NO era conocida de acuerdo a los datos.

77

ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER

9.3

Conclusi´ on y Cierre de la Actividad

Como fue mencionado al explicar la actividad, se espera que estos ejercicios sirvan de referencia para desarrollar el trabajo de los estudiante, o la evaluaci´on de estos mismos. Se considera que situaciones de este tipo pueden ser un buen indicador del aprendizaje, ya que como ha sido visto, se requiere la posesi´on de las habilidades y los contenidos en profundidad para su resoluci´on. Una forma en que puede completarse la actividad, es planteando situaciones similares para que los estudiantes se atrevan a proponer formas de resoluci´on, haciendo que el curso vaya interactuando sobre las formas de abordar ejemplos semejantes. Inclusive, es posible que se pida a los estudiantes exponer la resoluci´on de situaciones de este tipo; para que de manera grupal, sean capaces de mostrar a sus compa˜ neros distintas formas de abordar los problemas.

9.4

Sugerencias Finales

Es importante que el docente se atreva a proponer situaciones similares. En la literatura tradicional, relacionada con la materia de probabilidades, no es com´ un encontrar ejemplos como ´estos. Pero queda en la creatividad del docente, el trabajar por un cambio y promover el intercambio de actividades como las presentadas en este apartado.

78

CONCLUSIONES Debemos reconocer que las actividades propuestas por el autor no ser´an las que mejoren los aprendizajes de todos los alumnos (lo que tampoco es su intenci´on). Sin embargo, es bastante probable que la inclusi´on de situaciones de este tipo permita una mejor recepci´on de los contenidos por parte de los estudiantes.

Como hemos dicho, es importante que para la ense˜ nanza de la probabilidad sean manejados la mayor´ıa de los conceptos y propiedades de la teor´ıa de conjuntos. As´ı como tambi´en se desea el conocimiento de los m´etodos de conteo aportados por la teor´ıa combinatoria; particularmente el principio de la multiplicaci´on, que como vimos se convierte en una potente herramienta para determinar las cardinalidades de los Espacios Muestrales y de algunos Sucesos. Las actividades desarrolladas, que fortalecen lo mencionado antes, permitir´an a los estudiantes poseer una base importante para el desarrollo de los futuros contenidos de probabilidades. Al mismo tiempo, ´estas propuestas servir´an de base para el entendimiento posterior de los principios b´asicos de la estad´ıstica descriptiva e inferencial.

Esperamos con este trabajo poder motivar la creaci´on de nuevas propuestas para la ense˜ nanza de los contenidos de la unidad de probabilidades. Y resaltar la necesidad de cambio y del intercambio respecto del tipo de actividades y ejemplos en la ense˜ nanza de esta unidad, mostrando situaciones que intentan dejar de lado el t´ıpico lanzamiento del dado y la moneda. 79

CONCLUSIONES

Finalmente consideraremos imperantemente necesario el desarrollo de una nueva academia, y un impulso que surja en primera instancia de los futuros educadores, para de esta forma, poder renovar las propuestas de ense˜ nanza de esta ciencia, que cada vez m´as y con mayor fuerza va tomando posici´on en el desarrollo cient´ıfico, tecnol´ogico y pr´actico de nuestra sociedad.

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