Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Proyecciones ortogonales (m´etricas) en espacios de funciones continuas Rafa Esp´ınola Universidad de Sevilla

III Encuentro de An´alisis Funcional Miraflores de la Sierra, Madrid Junio 21-23, 2007

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

1

Nonexpansive retractions in hyperconvex spaces, Journal of Mathematical Analisis and Applications, 251, 557-570, 2000. (E., W. A. Kirk, G. L´opez)

2

On selections of the metric projetion and best proximity pairs in hyperconvex spaces, Annales Universitatis Mariae Curie-Sklodowska, LIX, 9-17, 2005. (E.)

3

Nonexpansive selection of metric projection in spaces of continuous functions, Journal of Approximation Theory, 137, 187-200, 2005. (Y. Benyamini, E., G. L´opez)

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Outline 1

Introducci´on La proyecci´on ortogonal y sus propiedades Extensiones de la noci´on de proyecci´on ortogonal Relaci´on entre las proyecciones de norma 1 y la proyecci´on m´etrica

2

Proyecciones m´etrica no expansivas Proyecciones m´etrica no expansivas. Espacios de Hilbert. Retractos proximinales no expansivos en espacios hiperconvexos

3

Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Planteamiento del problema Subespacios que admiten proyecciones ortogonales Subconjuntos que admiten proyecciones ortogonales Subconjuntos de `n∞ que admiten proyecciones ortogonales

4

Cuestiones abiertas

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Definici´on (Proyecci´on ortogonal/Proyecci´on m´etrica) Sea H un espacio de Hilbert y M un subconjunto convexo, cerrado y no vac´ıo de H. Se llama proyecci´on ortogonal de H en M a la aplicaci´on PM : H → M definida como PM (x) = {z ∈ M : kx − zk = inf{kx − y k : y ∈ M}. Propiedades Algunas propiedades de la proyecci´on ortogonal son: Si M es un subespacio de H, entonces PM es lineal. En el caso anterior, PM tiene norma 1. Es decir, es no expansiva en el sentido de que kPM x − PM y k ≤ kx − y k. Por definici´on, PM coincide con la proyecci´on m´etrica.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Definici´on (Proyecci´on ortogonal/Proyecci´on m´etrica) Sea H un espacio de Hilbert y M un subconjunto convexo, cerrado y no vac´ıo de H. Se llama proyecci´on ortogonal de H en M a la aplicaci´on PM : H → M definida como PM (x) = {z ∈ M : kx − zk = inf{kx − y k : y ∈ M}. Propiedades Algunas propiedades de la proyecci´on ortogonal son: Si M es un subespacio de H, entonces PM es lineal. En el caso anterior, PM tiene norma 1. Es decir, es no expansiva en el sentido de que kPM x − PM y k ≤ kx − y k. Por definici´on, PM coincide con la proyecci´on m´etrica.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Extensiones de la noci´on de proyecci´on ortogonal Hay muchas en la literatura, pero nos fijaremos en las tres siguientes: Noci´ on 1 Atendiendo a su naturaleza lineal: proyecciones lineales de norma 1. Noci´ on 2 Atendiendo a su naturaleza no lineal: proyecciones no necesariamente lineales pero que sean no expansivas. Noci´ on 3 Atendiendo a su naturaleza proximinal: sencillamente definirla como proyecci´on m´etrica.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Extensiones de la noci´on de proyecci´on ortogonal Hay muchas en la literatura, pero nos fijaremos en las tres siguientes: Noci´ on 1 Atendiendo a su naturaleza lineal: proyecciones lineales de norma 1. Noci´ on 2 Atendiendo a su naturaleza no lineal: proyecciones no necesariamente lineales pero que sean no expansivas. Noci´ on 3 Atendiendo a su naturaleza proximinal: sencillamente definirla como proyecci´on m´etrica.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Extensiones de la noci´on de proyecci´on ortogonal Hay muchas en la literatura, pero nos fijaremos en las tres siguientes: Noci´ on 1 Atendiendo a su naturaleza lineal: proyecciones lineales de norma 1. Noci´ on 2 Atendiendo a su naturaleza no lineal: proyecciones no necesariamente lineales pero que sean no expansivas. Noci´ on 3 Atendiendo a su naturaleza proximinal: sencillamente definirla como proyecci´on m´etrica.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Muchas propiedades se conservan

Proposici´on Sea M un subespacio 1-complementado del espacio normado X . Entonces, si T : M → Z es una aplicaci´on lineal y acotada, existe ˜ k = kT k. tildeT : X → Z extensi´on de T y tal que kT Prueba ˜ = T ◦ P, donde P es la proyecci´on de norma 1 de Basta definir T X sobre M.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Muchas propiedades se conservan

Proposici´on Sea M un subespacio 1-complementado del espacio normado X . Entonces, si T : M → Z es una aplicaci´on lineal y acotada, existe ˜ k = kT k. tildeT : X → Z extensi´on de T y tal que kT Prueba ˜ = T ◦ P, donde P es la proyecci´on de norma 1 de Basta definir T X sobre M.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Sobre subespacios 1-complementados

La existencia de proyecciones de norma uno se relaciona, por supuesto, con el estudio de los subespacios 1-complementados de los espacios normados. Caracterizar exactamente qu´e subespacios de un espacio normado dado son 1-complementados y qu´e tipo de propiedades son heredadas por esta condici´on. Aunque se han hecho inmensos avances en esta teor´ıa, son muchas las preguntas que a´ un no se han podido resolver. Por ejemplo, s´olo se conoce una caracterizaci´on completa de tales subespacios para los espacios Lp .

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Sobre subespacios 1-complementados

La existencia de proyecciones de norma uno se relaciona, por supuesto, con el estudio de los subespacios 1-complementados de los espacios normados. Caracterizar exactamente qu´e subespacios de un espacio normado dado son 1-complementados y qu´e tipo de propiedades son heredadas por esta condici´on. Aunque se han hecho inmensos avances en esta teor´ıa, son muchas las preguntas que a´ un no se han podido resolver. Por ejemplo, s´olo se conoce una caracterizaci´on completa de tales subespacios para los espacios Lp .

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Sobre subespacios 1-complementados

La existencia de proyecciones de norma uno se relaciona, por supuesto, con el estudio de los subespacios 1-complementados de los espacios normados. Caracterizar exactamente qu´e subespacios de un espacio normado dado son 1-complementados y qu´e tipo de propiedades son heredadas por esta condici´on. Aunque se han hecho inmensos avances en esta teor´ıa, son muchas las preguntas que a´ un no se han podido resolver. Por ejemplo, s´olo se conoce una caracterizaci´on completa de tales subespacios para los espacios Lp .

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Proyecci´on m´etrica Tambi´en conocida como best approximation operator, nearest point map, Chebyshev map, proximity mapping, normal projection, projection of minimal distance. Definici´on Sea M un espacio m´etrico y A ⊂ M, se llama proyecci´on m´etrica de M sobre A a la aplicaci´on dada por: PM (x) = {y ∈ A : d(x, y ) = inf{d(x, z) : z ∈ A}}. Propiedades S´ olo est´a bien definida si PM (x) 6= ∅ para todo x ∈ M. En este caso se dice que A es proximinal. En general, es una aplicaci´on multivaluada. En general, es una aplicaci´on no lineal.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Proyecci´on m´etrica Tambi´en conocida como best approximation operator, nearest point map, Chebyshev map, proximity mapping, normal projection, projection of minimal distance. Definici´on Sea M un espacio m´etrico y A ⊂ M, se llama proyecci´on m´etrica de M sobre A a la aplicaci´on dada por: PM (x) = {y ∈ A : d(x, y ) = inf{d(x, z) : z ∈ A}}. Propiedades S´ olo est´a bien definida si PM (x) 6= ∅ para todo x ∈ M. En este caso se dice que A es proximinal. En general, es una aplicaci´on multivaluada. En general, es una aplicaci´on no lineal.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Proyecciones de norma 1 y la proyecci´on m´etrica Proposici´on Sea X un espacio normado y sea P una proyecci´on lineal definida en X . Se cumple que kPk = 1 si, y s´olo si, I − P es una selecci´on de la de la proyecci´on m´etrica sobre KerP. Prueba Sea P como en el enunciado. Para cada x ∈ X e y ∈ KerP kx − (I − P)xk = kPxk = kP(x − y )k ≤ kx − y k. Por tanto, I − P es una selecci´on lineal de la proyecci´on m´etrica sobre KerP. Si I − P es una selecci´on de la proyecci´on m´etrica sobre KerP, entonces para cada x ∈ X se tiene kPxk = kx − (I − P)xk ≤ kx − 0k = kxk.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Proyecciones de norma 1 y la proyecci´on m´etrica Proposici´on Sea X un espacio normado y sea P una proyecci´on lineal definida en X . Se cumple que kPk = 1 si, y s´olo si, I − P es una selecci´on de la de la proyecci´on m´etrica sobre KerP. Prueba Sea P como en el enunciado. Para cada x ∈ X e y ∈ KerP kx − (I − P)xk = kPxk = kP(x − y )k ≤ kx − y k. Por tanto, I − P es una selecci´on lineal de la proyecci´on m´etrica sobre KerP. Si I − P es una selecci´on de la proyecci´on m´etrica sobre KerP, entonces para cada x ∈ X se tiene kPxk = kx − (I − P)xk ≤ kx − 0k = kxk.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Proyecciones de norma 1 y la proyecci´on m´etrica Proposici´on Sea X un espacio normado y sea P una proyecci´on lineal definida en X . Se cumple que kPk = 1 si, y s´olo si, I − P es una selecci´on de la de la proyecci´on m´etrica sobre KerP. Prueba Sea P como en el enunciado. Para cada x ∈ X e y ∈ KerP kx − (I − P)xk = kPxk = kP(x − y )k ≤ kx − y k. Por tanto, I − P es una selecci´on lineal de la proyecci´on m´etrica sobre KerP. Si I − P es una selecci´on de la proyecci´on m´etrica sobre KerP, entonces para cada x ∈ X se tiene kPxk = kx − (I − P)xk ≤ kx − 0k = kxk.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Proyecciones m´etrica no expansivas

¿Qu´e pasa si unimos las nociones 2 y 3 anteriores? Definici´on Sea M un espacio m´etrico y A ⊆ M no vac´ıo. Una proyecci´on P : M → A se dir´a proximinal no expansiva (u ortogonal en sentido ampliado) si P(x) ∈ PM (x) para todo x ∈ M. P es no expansiva. A A le llamaremos retracto proximinal no expansivo o, sencillamente, RPN.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Proyecciones m´etrica no expansivas

¿Qu´e pasa si unimos las nociones 2 y 3 anteriores? Definici´on Sea M un espacio m´etrico y A ⊆ M no vac´ıo. Una proyecci´on P : M → A se dir´a proximinal no expansiva (u ortogonal en sentido ampliado) si P(x) ∈ PM (x) para todo x ∈ M. P es no expansiva. A A le llamaremos retracto proximinal no expansivo o, sencillamente, RPN.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

¿D´onde podemos encontrar los retractos proximinales no expansivos? De un modo muy natural aparecen en los siguientes espacios: En los espacios de Hilbert hay muchos: la proyecci´on ortogonal sobre conjuntos convexos y cerrados es proximinal y no expansiva. En los espacios de curvatura acotada CAT(0) tambi´en hay muchos: Estos espacios son el equivalente m´etrico a espacios de Hilbert por el gran n´ umero de propiedades que comparten, en particular, el hecho de que la proyecci´on m´etrica sobre subconjuntos “convexos” y cerrados es univaluada y no expansiva.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

¿D´onde m´as? En espacios de funcione continuas tambi´en hay retractos proximinales no expansivos: Proposici´on Sea B la bola unidad cerrada en el espacio C ([0, 1]), entonces B es un retracto proximinal no expansivo de C ([0, 1]). Prueba Dada f ∈ C ([0, 1]) sea  f (x) > 1  1, f (x), |f (x)| ≤ 1 (Rf )(x) =  −1, f (x) < −1. La misma idea se aplica a cualquier conjunto que sea intersecci´on de bolas cerradas.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

¿D´onde m´as? En espacios de funcione continuas tambi´en hay retractos proximinales no expansivos: Proposici´on Sea B la bola unidad cerrada en el espacio C ([0, 1]), entonces B es un retracto proximinal no expansivo de C ([0, 1]). Prueba Dada f ∈ C ([0, 1]) sea  f (x) > 1  1, f (x), |f (x)| ≤ 1 (Rf )(x) =  −1, f (x) < −1. La misma idea se aplica a cualquier conjunto que sea intersecci´on de bolas cerradas.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

¿D´onde m´as? En los espacios m´etricos hiperconvexos (tambi´en llamados P1 -espacios o espacios inyectivos.) Definici´on Un espacio m´etrico M se dice hiperconvexo si siempre que M ⊆ X existe una proyecci´on no expansiva de X en M, es decir, si son inyectivos. Ejemplo: espacio L∞ y algunos espacios de funciones continuas, las bolas cerradas de tales espacios, sus conjuntos admisibles, R-trees y alg´ un que otro m´as. Definici´on Un subconjunto A de un espacio m´etrico M se dice admisible si es intersecci´on de bolas cerradas.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

¿D´onde m´as? En los espacios m´etricos hiperconvexos (tambi´en llamados P1 -espacios o espacios inyectivos.) Definici´on Un espacio m´etrico M se dice hiperconvexo si siempre que M ⊆ X existe una proyecci´on no expansiva de X en M, es decir, si son inyectivos. Ejemplo: espacio L∞ y algunos espacios de funciones continuas, las bolas cerradas de tales espacios, sus conjuntos admisibles, R-trees y alg´ un que otro m´as. Definici´on Un subconjunto A de un espacio m´etrico M se dice admisible si es intersecci´on de bolas cerradas.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Teorema (R. Sine’89) Si A es un subconjunto admisible de un espacio hiperconvexo entonces es un retracto proximinal no expansivo.

Ejemplo El segmento de extremos (0, 0) y (1, 1) es un retracto proximinal no expansivo en `2∞ pero no es admisible. ¿Se pueden caracterizar mediante alguna propiedad geom´etrica los retractos proximinales no expansivos de los espacios hiperconvexos y de los espacios de funciones continuas?

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Teorema (R. Sine’89) Si A es un subconjunto admisible de un espacio hiperconvexo entonces es un retracto proximinal no expansivo.

Ejemplo El segmento de extremos (0, 0) y (1, 1) es un retracto proximinal no expansivo en `2∞ pero no es admisible. ¿Se pueden caracterizar mediante alguna propiedad geom´etrica los retractos proximinales no expansivos de los espacios hiperconvexos y de los espacios de funciones continuas?

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Retractos proximinales no expansivos en espacios hiperconvexos (Un subconjunto de un espacio m´etrico se dice d´ebilmente externamente hiperconvexo si verifica una cierta propiedad de intersecci´on de bolas.) Teorema (E., Kirk, L´opez’00) Dado A un subconjunto no vac´ıo de un espacio hiperconvexo M se tiene que A es d´ebilmente externamente hiperconvexo si, y s´olo si, es un “casi” retracto proximinal no expansivo. Teorema (E’05) El “casi” del teorema anterior se puede quitar.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Retractos proximinales no expansivos en espacios hiperconvexos (Un subconjunto de un espacio m´etrico se dice d´ebilmente externamente hiperconvexo si verifica una cierta propiedad de intersecci´on de bolas.) Teorema (E., Kirk, L´opez’00) Dado A un subconjunto no vac´ıo de un espacio hiperconvexo M se tiene que A es d´ebilmente externamente hiperconvexo si, y s´olo si, es un “casi” retracto proximinal no expansivo. Teorema (E’05) El “casi” del teorema anterior se puede quitar.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

NPR en espacios de funciones continuas

Problema 1 ¿Cu´ales son los subespacios de los espacios de funciones continuas que admiten una proyecci´on ortogonal (m´etrica)?, ¿es posible caracterizarlos? Problema 2 ¿Cu´ales son los subconjuntos de los espacios de funciones continuas que admiten una proyecci´on ortogonal (m´etrica)?, ¿es posible caracterizarlos?

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

NPR en espacios de funciones continuas

Problema 1 ¿Cu´ales son los subespacios de los espacios de funciones continuas que admiten una proyecci´on ortogonal (m´etrica)?, ¿es posible caracterizarlos? Problema 2 ¿Cu´ales son los subconjuntos de los espacios de funciones continuas que admiten una proyecci´on ortogonal (m´etrica)?, ¿es posible caracterizarlos?

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Subespacios can´onicos Para resolver el Problema 2, consideramos los siguientes subespacios de C (K ) que llamaremos can´onicos y que s´ı son retractos proximinales no expansivos. Tipo I: Dado Z ⊆ K clopen, EZ0 = {f ∈ C (K ) : f|Z ≡ 0}.

Tipo II: Dado S ⊆ K clopen, ES = {f ∈ C (K ) : f|S es constante}. Tipo III: Dados S 1 , S 2 ⊆ dos clopen disjuntos, ES 1 ,S 2 = {f ∈ C (K ) : f|S i es constante y fS 1 = −fS 2 }.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Subespacios can´onicos Para resolver el Problema 2, consideramos los siguientes subespacios de C (K ) que llamaremos can´onicos y que s´ı son retractos proximinales no expansivos. Tipo I: Dado Z ⊆ K clopen, EZ0 = {f ∈ C (K ) : f|Z ≡ 0}.

Tipo II: Dado S ⊆ K clopen, ES = {f ∈ C (K ) : f|S es constante}. Tipo III: Dados S 1 , S 2 ⊆ dos clopen disjuntos, ES 1 ,S 2 = {f ∈ C (K ) : f|S i es constante y fS 1 = −fS 2 }.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Subespacios can´onicos Para resolver el Problema 2, consideramos los siguientes subespacios de C (K ) que llamaremos can´onicos y que s´ı son retractos proximinales no expansivos. Tipo I: Dado Z ⊆ K clopen, EZ0 = {f ∈ C (K ) : f|Z ≡ 0}.

Tipo II: Dado S ⊆ K clopen, ES = {f ∈ C (K ) : f|S es constante}. Tipo III: Dados S 1 , S 2 ⊆ dos clopen disjuntos, ES 1 ,S 2 = {f ∈ C (K ) : f|S i es constante y fS 1 = −fS 2 }.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Subespacios can´onicos Para resolver el Problema 2, consideramos los siguientes subespacios de C (K ) que llamaremos can´onicos y que s´ı son retractos proximinales no expansivos. Tipo I: Dado Z ⊆ K clopen, EZ0 = {f ∈ C (K ) : f|Z ≡ 0}.

Tipo II: Dado S ⊆ K clopen, ES = {f ∈ C (K ) : f|S es constante}. Tipo III: Dados S 1 , S 2 ⊆ dos clopen disjuntos, ES 1 ,S 2 = {f ∈ C (K ) : f|S i es constante y fS 1 = −fS 2 }.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Algunos hechos f´aciles de probar: Todos los subespacios can´onicos y sus trasladados son retractos proximinales no expansivos. Si un subespacios de codimensi´on 1 es RPN, tambi´en lo son los semiespacios que determina. Si Z , {Si }ni=1 y {Sj1 , Sj2 }nj=1 son clopen y disjuntos, entonces el subespacio E = EZ0 ∩ (∩ESi ) ∩ (∩ES 1 ,S 2 ) j

j

(1)

es un RPN. Definici´on Un subespacio E de C (K ) se dir´a est´andar si es de la forma (1), es decir, si es intersecci´on de hiperplanos can´onicos.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Algunos hechos f´aciles de probar: Todos los subespacios can´onicos y sus trasladados son retractos proximinales no expansivos. Si un subespacios de codimensi´on 1 es RPN, tambi´en lo son los semiespacios que determina. Si Z , {Si }ni=1 y {Sj1 , Sj2 }nj=1 son clopen y disjuntos, entonces el subespacio E = EZ0 ∩ (∩ESi ) ∩ (∩ES 1 ,S 2 ) j

j

(1)

es un RPN. Definici´on Un subespacio E de C (K ) se dir´a est´andar si es de la forma (1), es decir, si es intersecci´on de hiperplanos can´onicos.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Teorema (Benyamini, E., L´opez’05) Si E es un subespacio RPN de codimensi´on finita de C (K ), entonces est´andar. Si E es un subespacio RPN finito dimensional entonces es est´andar. Conjetura Todo subespacio RPN de C (K ) es est´andar.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Teorema (Benyamini, E., L´opez’05) Si E es un subespacio RPN de codimensi´on finita de C (K ), entonces est´andar. Si E es un subespacio RPN finito dimensional entonces es est´andar. Conjetura Todo subespacio RPN de C (K ) es est´andar.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Teorema (Benyamini, E., L´opez’05) Si E es un subespacio RPN de codimensi´on finita de C (K ), entonces est´andar. Si E es un subespacio RPN finito dimensional entonces es est´andar. Conjetura Todo subespacio RPN de C (K ) es est´andar.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Otros hechos: Una intersecci´on infinita de hiperplanos RPN no tiene por qu´e ser RPN. Si K es conexo, entonces C (K ) no admite ning´ un subespacio RPN de codimensi´on finita ni de dimensi´on finita, excepto los de dimensi´on 1 de tipo II.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Subconjuntos que admiten proyecciones ortogonales

Algunos ejemplos f´aciles de obtener: Semiespacios definidos por hiperplanos RPN. Intersecciones finitas de semiespacios definidos por hiperplanos RPN. Sin embargo, No todos los subconjuntos RPN se pueden expresar como intersecci´on de semiespacios que, a su vez, sean RPN. Por ejemplo, la bola unidad de C ([0, 1]). No toda intersecci´on de semiespacios RPN define un conjunto RPN.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Subconjuntos que admiten proyecciones ortogonales

Algunos ejemplos f´aciles de obtener: Semiespacios definidos por hiperplanos RPN. Intersecciones finitas de semiespacios definidos por hiperplanos RPN. Sin embargo, No todos los subconjuntos RPN se pueden expresar como intersecci´on de semiespacios que, a su vez, sean RPN. Por ejemplo, la bola unidad de C ([0, 1]). No toda intersecci´on de semiespacios RPN define un conjunto RPN.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

RPN y convexidad

¿Se puede garantizar, al menos, que los subconjuntos RPN de un espacio de funciones continuas debe ser convexo? En general, no lo sabemos. En particular, s´ı para los espacios `n∞ . El plano dotado con bolas hexagonales regulares admite RPN que no son convexos.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Lema Si A ⊆ `n∞ es un RPN de `n∞ , entonces A es convexo. Prueba (Detalles de la prueba) 1

Se observa que si v = (v1 , · · · , vn )`n∞ alcanza su norma en todas sus coordenadas, entonces existe un u ´nico segmento m´etrico uniendo v y −v que coincide con el segmento lineal.

2

Si el conjunto de puntos y de A tales que y ∈ A y −y ∈ A es no vac´ıo, entonces existe x en A con la misma propiedad y tal que alcanza su norma en todas sus coordenadas.

3

Dados x, y ∈ A, por traslaci´on, se puede forzar a que sean de la forma v y −v . Utilizando lo anterior, 0 (punto medio entre v y −v ) est´a en el trasladado de A y, por tanto, el punto medio de x e y est´a en A.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Subconjuntos de `n∞ que admiten proyecciones ortogonales

Teorema (Benyamini, E., L´opez’05) Un subconjunto A ⊆ `n∞ es un RPN si, y s´olo si, es intersecci´on de semiespacios RPN.

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Cuestiones abiertas

Son muchas las preguntas que quedan por resolver sobre cu´ales son exactamente los RPN de los espacios de funciones continuas y sus propiedades. Algunas de las m´as destacadas son las siguientes: 1

¿Son todos los subespacios RPN de un espacio de funciones continuas intersecci´on de subespacios can´onicos?

2

¿Bajo qu´e condiciones se tiene que si A es RPN de B y B lo es de C , tambi´en se tiene que A lo es de B?

3

¿Son convexos los subconjuntos RPN de los espacios de funciones continuas?

4

¿Cu´al es la situaci´on en los espacio L1 ?

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Cuestiones abiertas

Son muchas las preguntas que quedan por resolver sobre cu´ales son exactamente los RPN de los espacios de funciones continuas y sus propiedades. Algunas de las m´as destacadas son las siguientes: 1

¿Son todos los subespacios RPN de un espacio de funciones continuas intersecci´on de subespacios can´onicos?

2

¿Bajo qu´e condiciones se tiene que si A es RPN de B y B lo es de C , tambi´en se tiene que A lo es de B?

3

¿Son convexos los subconjuntos RPN de los espacios de funciones continuas?

4

¿Cu´al es la situaci´on en los espacio L1 ?

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Cuestiones abiertas

Son muchas las preguntas que quedan por resolver sobre cu´ales son exactamente los RPN de los espacios de funciones continuas y sus propiedades. Algunas de las m´as destacadas son las siguientes: 1

¿Son todos los subespacios RPN de un espacio de funciones continuas intersecci´on de subespacios can´onicos?

2

¿Bajo qu´e condiciones se tiene que si A es RPN de B y B lo es de C , tambi´en se tiene que A lo es de B?

3

¿Son convexos los subconjuntos RPN de los espacios de funciones continuas?

4

¿Cu´al es la situaci´on en los espacio L1 ?

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Cuestiones abiertas

Son muchas las preguntas que quedan por resolver sobre cu´ales son exactamente los RPN de los espacios de funciones continuas y sus propiedades. Algunas de las m´as destacadas son las siguientes: 1

¿Son todos los subespacios RPN de un espacio de funciones continuas intersecci´on de subespacios can´onicos?

2

¿Bajo qu´e condiciones se tiene que si A es RPN de B y B lo es de C , tambi´en se tiene que A lo es de B?

3

¿Son convexos los subconjuntos RPN de los espacios de funciones continuas?

4

¿Cu´al es la situaci´on en los espacio L1 ?

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Cuestiones abiertas

Son muchas las preguntas que quedan por resolver sobre cu´ales son exactamente los RPN de los espacios de funciones continuas y sus propiedades. Algunas de las m´as destacadas son las siguientes: 1

¿Son todos los subespacios RPN de un espacio de funciones continuas intersecci´on de subespacios can´onicos?

2

¿Bajo qu´e condiciones se tiene que si A es RPN de B y B lo es de C , tambi´en se tiene que A lo es de B?

3

¿Son convexos los subconjuntos RPN de los espacios de funciones continuas?

4

¿Cu´al es la situaci´on en los espacio L1 ?

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Nuestra mayor frustraci´on Otra de las muy buenas propiedades de la proyecci´on ortogonal en los espacios de Hilbert es que es sunny. Definici´on Sea X un espacio normado y A ⊆ X . Una proyecci´on P : X → A se dice sunny si P(P(x) + λ(x − P(x))) = P(x) para todo λ ≥ 0. Si A es un RPN de `n∞ , ¿se puede garantizar que existe una proyecci´on sobre A que sea selecci´on no expansiva de la proyecci´on m´etrica y, adem´as, sunny?

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Nuestra mayor frustraci´on Otra de las muy buenas propiedades de la proyecci´on ortogonal en los espacios de Hilbert es que es sunny. Definici´on Sea X un espacio normado y A ⊆ X . Una proyecci´on P : X → A se dice sunny si P(P(x) + λ(x − P(x))) = P(x) para todo λ ≥ 0. Si A es un RPN de `n∞ , ¿se puede garantizar que existe una proyecci´on sobre A que sea selecci´on no expansiva de la proyecci´on m´etrica y, adem´as, sunny?

Introducci´ on Proyecciones m´ etrica no expansivas Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Cuestiones abiertas

Referencias

1

Nonexpansive retractions in hyperconvex spaces, Journal of Mathematical Analisis and Applications, 251, 557-570, 2000. (E., W. A. Kirk, G. L´opez)

2

Norm one projections in Banach spaces, Taiwaneese J. Math. 5 (2001), pp.35-95 (B. Randrianantoanina)

3

On selections of the metric projetion and best proximity pairs in hyperconvex spaces, Annales Universitatis Mariae Curie-Sklodowska, LIX, 9-17, 2005. (E.)

4

Nonexpansive selection of metric projection in spaces of continuous functions, Journal of Approximation Theory, 137, 187-200, 2005. (Y. Benyamini, E., G. L´opez)