1 PROYECTO: Transformaciones de las funciones trigonométricas con la calculadora TI 83 Plus NOMBRES______________________________________________________________________ La calculadora gráfica podríamos situarla entre la calculadora científica y el computador. Con la Texas Instrument podemos trabajar muchos de los temas abordados en estos cuatro semestres de matemáticas, uno muy útil es poder trazar cualquier tipo de funciones. Conozcamos más de la calculadora que tienes en estos momentos. Teclas Principales: alguno de sus usos 9 MODE: para indicar en qué modalidad se desea trabajar (tipo de notación numérica, unidad de medida de ángulos, tipo de gráfica, tipo de número, etc...) 2nd se presiona para ingresar todo aquello en amarillo 9 ALPHA : se presiona para ingresar todo aquello en verde 9 DEL ( INS ): para borrar (o insertar) un caracter 9 ;7șQ : para entrar variables 9 STAT: para usos estadísticos ( entrar datos, hacer cálculos estadísticos y pruebas ) 9 CLEAR: para borrar pantalla 9 Teclas azules directamente debajo de la pantalla ( Y= ,WINDOW, ZOOM,TRACE,GRAPH ): para trazar y analizar gráficas 9 Flechas ŻŸŹź SDUDPRYHUHOFXUVRUGHXQODGRDORWUR TRACEMOS FUNCIONES Para que la gráfica de una función aparezca en la pantalla ésta debe haberse entrado en el editor de ecuaciones (Y=), La pantalla de la calculadora tiene unos límites para los valores de x y los de y. Quizás, dependiendo de la función, sea necesario cambiar estos límites de manera tal que la gráfica se pueda apreciar bien en la pantalla. Si la gráfica no aparece en la pantalla al presionar GRAPH, 9 Para cambiar ORVOtPLWHVGH³[´\R GH³\´ WINDOW Xmin= ( indicar aquí el valor mínimo de X que se desea en la pantalla ) Xmax= ( indicar aquí el valor máximo de X que se desea en la pantalla) Xscl= (indicar aquí la escala a usarse en el eje de x (de 1 en 1, de.5 en .5...)). Hacer lo mismo para los valores de Y Lo primero que vamos a hacer es cuadrar el plano cartesiano, para visualizar lo que necesitamos. Nos ubicamos en la tecla ³windowr´\GLJLWDPRV, Ymin::-4 y Ymax: 4, en la opción Xscl: GDOHʌ·2 (esta función es para cuadrar el eje x) . Ahora oSULPLPRVODWHFOD³< ´, digitamos sin(x), \GHVSXpVRSULPHODWHFOD³*5$3+´ debe aparecer la gráfica de la función seno. ¿Te apareció?___________ Ahora borra la anterior gráfica (ecuación, inventario y borrar cada ecuación) y traza y = ±sin(x), luego traza la gráfica de y = 2sin(x), dibuja el resultado arrojado en la pantalla.

y = ±sin(x)

y = 2sin(x)

2 Observa las gráficas trazadas de y = sin(x) y de y = ±sin(x). ¿Cómo son estas dos gráficas?_____________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ Sin digitar las funciones y = cos(x) y y = ±cos(x), trázalas en el papel, de acuerdo con los resultados anteriores.

y = cos(x)

y = -cos(x)

Ahora borra la pantalla y digita las anteriores funciones. ¿Te concuerdan con las dibujadas en el papel? ___ Transformación de acuerdo con la amplitud Borra la pantalla y cambia las coordenadas del eje y por: Ymin:-6 y Ymax: 6. Digita las siguientes funciones: y = 2cos(x); y = 3cos(x); y = 4cos(x) y = 5cos(x). Dibuja las dos primeras funciones en el primer plano que aparece a continuación y las otras en el siguiente. Utiliza colores para diferenciarlas.

Observa las anteriores gráficas. ¿Qué concluyes de lo observado?__________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ Escribe al frente de cada función su amplitud, de acurdo con las funciones dibujadas utilizando winplot. 9 y = cos(x), A:_______; 9 y = 2cos(x) , A:_______; 9 y = 3cos(x) , A:_______;

9 y = 10 cos(x) , A:_______; 3 17 9 y= cos(x) , A:_______; 4

En general, escribe la función correspondiente a una amplitud de A unidades. y = ___sen(x); y = ____cos(x) Transformación de acuerdo con el periodo Borra la pantalla y cambia las coordenadas de los ejes así: eje y: Ymin:-2 y Ymax: 2. Eje x: Xmin: -2, Xmax: 7 intervalo en x, digita Xscl: ʌ·6. Digita las siguientes funciones y compáralas.

3 y = sen(x), y = sen(2x), y = sen(x÷2);

y = sen(3x); y = sen(4x)

y



x

S S S

S

S

S

S S

S

S S S S S

S

S



y = sen(x),

y = sen(2x),

y = sen(x/2);

y



x

S S S

S

S

S

S S

S

S S S S S

S

S



y = sen(3x);

y = sen(4x)

¿Qué observas?__________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ Escribe al frente de cada función su periodo (T) de acurdo con las funciones dibujadas utilizando la calculadora. 9 y = sen(x), T:_______; 9 y = sen(2x) , T:_______; 9 y = sen(3x) , T:_______;

9 y = sen(x/2) , T:_______; 9 y = sen(4x) , T:_______; 9 y = sen(x/4) , T:_______;

4 ¿Cómo podemos determinar el periodo de una función y = sen(bx) y y = cos(bx)?. Escribe a que equivale el

2S ___

periodo en este tipo de funciones; Completa el espacio. T Actividades

1. Traza con la calculadora la gráfica de las siguientes funciones (utiliza colores diferentes, cuadra la pantalla según el plano). Determina en cada una de ellas: dominio, rango, amplitud, y periodo. Escribe los resultados obtenidos en tu cuaderno. y

   x

S S S

S

S

S

S S

S

S S

S S S

S

S

   

y = 2cos(2x),

y = 3sen(2x),

y = 2cos(x/2);

y = 3sen(4x);

y = -2cos(4x)

2. Completa el cuadro, las funciones que no estén dibujadas, trázalas con la calculadora. Función

Dominio

Rango

Periodo

Cortes con x

Corte con y

Amplitud

y = 2cos(2x), y = 3sen(2x) y = 2cos(x/2) y = 3sen(4x) y = ½cos(2x) y = 4sen(x/4) y = ¾sen(4x)

Funciones pares e impares Borra la pantalla y cambia las coordenadas de los ejes así: eje x: Xmin: -2, Xmax: 7, Eje x Ymin:-4 y Ymax: 4, GLJLWD;VFOGDOHʌ· y digita las siguientes funciones: y = sen(-x); y = 2sen(-2x); y = cos(-x) y = 2cos(-2x). Dibuja las dos primeras funciones en el primer plano que aparece a continuación y las otras en el siguiente. Utiliza colores para diferenciarlas.

5 y

y











 x

S S

S

S

S

S

S S S

S

x

S S

S

















y = sen(-x); y = 2sen(-2x);

S

S

S

S S S

S

y = cos(-x) y = 2cos(-2x)

¿Qué sucedió? ?__________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ Busca en internet información sobre funciones pares e impares, de acuerdo con lo buscado y lo observado podemos decir que y = sen(x) es una función __________ porque y = sen(-x) = ____________, además y = cos(x) es una función __________ porque y = cos(-x) = _______________ Transformación de acuerdo con el desplazamiento de fase Borra la pantalla y cambia las coordenadas del eje x Xmin: -4, Xmax: 8 GLJLWD ;VFO GDOH ʌ·6 y digita las siguientes funciones: y = 2sen(x); y = 2sen(x+ ʌ·2); y = 2sen(x- ʌ·2). Dibújalas y utiliza colores para diferenciarlas.

y

   x

S

S S S

S

S

S

S

S S S

S

S S

   

¿Qué sucedió? ?__________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ Borra la pantalla y digita las siguientes funciones: y = 3cos(x); y = 3cos(x+pi/4); y = 3cos(x+pi/4); Dibújalas y utiliza colores para diferenciarlas.

6 y

   x

S

S S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

    ¿Qué sucedió? ?__________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ¿Hacia dónde se desplaza la gráfica cuando el número que está después de la x es positivo?____________ ¿Y cuándo es negativo, hacia dónde es el desplazamiento?________________________________________ Borra la pantalla y traza las siguientes funciones: y = sen(x)+1; y = sen(x)-1; y = sen(x) + 2; y = sen(x) ± 2. ¿Qué sucedió? ?__________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ¿Hacia dónde se desplaza la gráfica cuando el número que está después del paréntesis es positivo?_________________________________________________________________________________ ¿Y cuándo es negativo, hacia dónde es el desplazamiento?________________________________________ Completa el cuadro, las funciones que no estén dibujadas, trázalas con la calculadora. Función

S· § y cos ¨ 2 x  ¸ 4¹ © § S· y ta n ¨x ¸ © 2¹ y 2sen( x  S )

S· § y 3.5cos ¨ 3x  ¸  1 3¹ © 1§ S· y 2s en ¨ x  ¸ 2© 4¹ S· §S y 2s e n ¨ x  ¸ 2¹ ©4 S· § y cos S ¨ x  ¸ 4¹ © S· §1 y 3sen ¨ x  ¸   3¹ ©2

Rango

Periodo

Desplazamiento de fase

Sentido del desplazamiento (derecha o izquierda)

7 Funciones tan(x(, cot(x), sec(x) y csc(x) Oprime window y Abre modifica las coordenadas de los ejes, eje y: Ymin:-4 y Ymax: 4. Eje x: Xmin: -3, Xmax: 7 intervalo en x, digita Xscl: ʌ·4 y digita las siguientes funciones: y = sec(x); y = 2sec(x); y = 3sec(x). Dibuja las dos tres funciones en el primer plano que aparece a continuación. Con los resultados obtenidos y sin digitar, dibuja en el otro plano las funciones y = csc(x); y = 2csc(x); y = 3csc(x). Utiliza colores para diferenciarlas y

y













x S S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

x S S

S



S

S

S

S

S

S

S

S















¿Qué sucedió? __________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ Determina los intervalos donde la función secante y cosecante son crecientes y decrecientes. Secante__________________________________ Cosecante_____________________________________ Borra la pantalla y traza las siguientes funciones: y = tan(x); y = 2tan(x); y = 3tan(x). ¿Qué se modifica en cada una de las gráficas? __________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ Borra la pantalla, traza la gráfica de la función y = cot(x), Modifica esta función de tal forma que el periodo sea

2S y

S . Comprueba que las funciones cumplen la condición trazándolas en la calculadora. Registra los 2

resultados obtenidos y completa los espacios. 9 Con periodo 2S . Función y =________________, Asíntotas______________________________ 9 Con periodo

S . Función y =________________, Asíntotas______________________________ 2

Realiza el mismo procedimiento para modificar el periodo de las funciones secante y cosecante. Completa la tabla.

Secante

Periodo S

Periodo 2S

Función

Periodo 4S

Periodo

y = sec(x) Asíntotas:

n

S , 2

n

Asíntotas:

Asíntotas:

Asíntotas:

Asíntotas:

Asíntotas:

Asíntotas:

S· §  S ¨ x  ¸ HD  , n 2¹ © es impar Cosecante y = sec(x) Asíntotas:



nS ,

n

S 2

8 § ©

Borra la pantalla. Determina si se cumple tan(x) = -cot ¨ x 

S·

S· § y tan(x) = -cot ¨ x  ¸ ¸ 2¹ 2¹ ©

Borra la pantalla, traza la gráfica de la función y = tan(x), Modifica esta función de tal forma que se desplace

S S a la derecha y a la izquierda. Comprueba que las funciones cumplen la condición trazándolas en 2 2

winplot. Registra los resultados obtenidos y completa los espacios.

S a la derecha. Función y =________________________________________ 2 S 9 Desplazamiento a la izquierda. Función y =________________________________________ 2 9 Desplazamiento

Realiza el mismo procedimiento para modificar el periodo de las funciones secante y cosecante. Completa la tabla. Modificación Sin modificar Periodo: 2S Desplazamiento derecha. Periodo: 2S Desplazamiento

S a la 2 S a la 2

izquierda Periodo:

S 2

Desplazamiento

S a la 4

derecha. Periodo:

S 2

Desplazamiento

S a la 4

izquierda Periodo: 4S Desplazamiento derecha.

S a la

Periodo: 4S Desplazamiento izquierda

S a la

Cotangente

Secante

cosecante

y = cot(x)

y = sec(x)

y = csc(x)