IES Averroes (Córdoba)

UD 1: Los números reales

RADICALES. CONCEPTO Y OPERACIONES. •

Concepto de raíz. - La raíz cuadrada de un número a es otro número b, que al elevarlo al cuadrado te da a (que es lo mismo que decir que a = b si b 2 = a ). - La raíz enésima (o n-ésima) de un número a es otro número b, que al elevarlo a n te da a (que es lo mismo que decir que n a = b si b n = a ). -

La raíz es la operación inversa a la potencia, en el sentido de que 4 = 22 = 2

•

125 = 3 53 = 5

4

a n = a siempre.

16 = 4 2 4 = 2

Raíz como potencia de exponente fraccionario. -

•

3

n

m

Es importante saber que n a m = a n . En muchos problemas viene bien pasar a esta forma, porque con fracciones sabemos operar mejor. √5 = 5

√7 = 7

/

Simplificación de raíces. -

√3 = 3

/

Una raíz n a m se puede simplificar en su índice (n) y el exponente (m) de su radicando ( a m ) de manera muy similar a una fracción: 9

64 = 9 2 6 y como 6 y 9 son divisibles por 3,

9

26 = 3 2 2

Es fácil ver el parecido con las fracciones si consideramos que √2 = 2 -

=2

/

= √2

8 x 6 = 9 2 3 x 6 = 9 (2 x 2 ) 3 = 3 2 x 2 =

•

/

Pero cuidado, el exponente que se simplifica tiene que estar elevando a todo lo que hay dentro de la raíz, como si hacemos 9

-

/

=

Sin embargo 4 x 2 + 3 2 no se puede transformar en x + 3 . Sólo se simplifican los exponentes de factores que están multiplicando o dividiendo.

Extracción e introducción de factores. -

Para sacar factores de una raíz, primero es bueno descomponer el radicando en factores primos, como en este ejemplo: 3

17280 = 3 2 7 × 33 × 5

Y todos los factores cuyo exponente sea igual o mayor que la raíz van a poder sacarse, porque: 3

2 7 = 3 23 × 23 × 2 = 3 23 × 3 23 × 3 2 = 2 × 2 × 3 2

3

33 = 3

3

5 no se puede sacar de ninguna manera

Entonces: 3 17280 = 3 2 7 × 33 × 5 = 3 2 3 × 2 3 × 2 × 33 × 5 = 2 × 2 × 3 × 3 2 × 5 = 12 × 3 10

IES Averroes (Córdoba) -

UD 1: Los números reales

Un truco práctico para calcular qué sale y qué queda dentro de la raíz: la división tradicional.

Si nos dan √2 × 3, de cada factor cuyo exponente sea igual o mayor que el índice (en este caso 2 ) se puede extraer algo fuera de la raíz, mientras que de los factores con exponente menor al índice de la raíz (en este caso el 3) no. Para 2 , basta con dividir su exponente por el índice de la raíz. El cociente indica con qué exponente sale el factor y el resto será el exponente del factor que queda dentro de la raíz. √2

× 3 Como 19 entre 5 da cociente 3 con resto 4: 2

×3=2 ×

2 × 3 = 8 × √48

- ¡Ojo! Si un factor está dividiendo dentro de la raíz y sale por las reglas descritas arriba, sale también dividiendo: ∙

∙

=

∙

!

∙

- Si necesitamos introducir factores en una raíz en vez de extraerlos, funciona a la inversa. Cada factor que entre en una raíz se debe elevar al índice de ésta, por lo que: 40√50 = 2 × 5 ×

2×5 =

#2 × 5$ × 2 × 5 =

2 ×5 ×2×5 =

2

%

×5

El exponente que tuviera cada factor fuera de la raíz se multiplica por el índice de ésta. •

Suma y resta de raíces. - Sólo podemos sumar y restar términos cuya parte radical sea exactamente igual (que coincidan su radicando y su índice). Por ejemplo, en una operación como ésta: 7 2 −4 2 +4 3+3 2 2 , 3 y 3 2 no se pueden agrupar de ninguna manera, por lo que sólo podemos tratarlas como si fueran tres variables distintas (x, y, z) y hacer:

Que es lo mismo que:

7 −4 +4 +

=3 +4 +

7 2 −4 2 +4 3+3 2 =3 2 +4 3+3 2 - Si las partes radicales no coinciden, se puede intentar hacer una extracción de factores con todas ellas para ver si alguna se puede operar. √18 + √16 − √54 +

288 = 49

2∙3 +

2 −

2∙3 +

2 ∙3 7

2 ∙3 12 ∙ √2 = +3 + , ∙ √2 + #2 − 3$ ∙ √2 7 7 21 + 12 33 =+ , ∙ √2 + #−1$ ∙ √2 = ∙ √2 − √2 7 7 = 3 ∙ √2 + 2 ∙ √2 − 3 ∙ √2 +

IES Averroes (Córdoba) •

UD 1: Los números reales

Producto y división de raíces. - Si los índices de las raíces son iguales, multiplicar y dividir entre ellas es tan simple como multiplicar y dividir entre sus radicandos: 2 × 3 2 × 3 2 = 3 23 = 2

3 4 4 3

15 4 15 4 = = 5 3 3 32 * 3 4 3 32 × 4 3 25 × 2 2 3 27 3 3 = = = = 2 =2 3 16 24 24 16

- Para multiplicar raíces de distinto índice hará falta aplicar la simplificación antes explicada. Por ejemplo,

2

35 × 3 7 2 no se puede meter en una sola raíz.

Habrá que hacer el mínimo común múltiplo de los índices (de 2 y 3 sería 6) y como 2

35 = 2×3 35×3 = 6 315 y

3

7 2 = 3×2 7 2×2 = 6 7 4 , sí se puede hacer: 2

√

=

√

- Otro ejemplo: -

√

-

√

35 × 3 7 2 = 6 315 × 6 7 4 = 6 315 × 7 4

= Debemos pasar a índice común, que de 4 y 6 sería 12. ×

√2

√2

-×.

× ×

=

√2

/.

√2

/.

%

/.

=

2 2

%

=

/.

2 = √32 /.

- Funciona igual con varios factores multiplicando o dividiendo: √

/1

√ ∙ √ 0 ×/1

•

=

×-

#2 ∙ 3$

√

∙

/1

√ ∙ ∙ √ ∙ .

#2 ∙ 3 $ %

∙

/1×

=

Raíz de una raíz.

1

= Debemos pasar a índice común, que de 5, 3 y 10 sería 30.

#2 ∙ 3 $

=

√2

×/1

× %

2 0∙3 0 = 2 %∙3 %∙2 ∙3

1

√2

×-

∙3

×

× %

∙

∙3

/1×

×

√2

×

2 ∙ 3 = √288 1

∙3

×

=

√2

1

%

√2

1

∙3

0

%

∙3

0

∙ √2 ∙ 3 1

- Para efectuar la raíz de una raíz, simplemente se multiplican los índices, siempre y cuando no haya ningún término entre una y otra: 3

5 = 2×3 5 = 6 5

! √2 =

.∙ ∙

√2 = √2 1

- Con un ejemplo como 5 √2 no es tan fácil, no se puede aplicar la propiedad anterior con ese 5 en medio. Habría que introducir el 5 dentro de la raíz cúbica y entonces sí se podrán multiplicar los índices. !5 √2 = ! 5 ∙ 2 =

- Otro: !2

5 √20 = ! 2 ∙ 5 √2 ∙ 5 = ! √2

0

-

5 ∙2

∙ 5 ∙ 2 ∙ 5 = √2 1

%

∙ 5 = √2 /

%

∙5

IES Averroes (Córdoba) •

UD 1: Los números reales

Racionalización.

Para la racionalización necesitamos todas las cuentas que hemos utilizado aquí, pero sobre todo hay dos reglas básicas: 1) No puede quedar ninguna raíz en el denominador. Hay que pensar por qué factor se puede multiplicar el denominador para que deje de tener raíces. 2) Si multiplicamos el denominador por un factor, debemos hacer la misma operación en el numerador, y viceversa; porque si no, la fracción no será igual. -

-

Lo más sencillo que nos podemos encontrar en el denominador es una raíz cuadrada (que no esté sumando o restando a otro término), porque basta con multiplicar por la misma raíz para quedarnos con el radicando: √3 + √7 2√3 + √73 ∙ √3 √3 ∙ √3 + √7 ∙ √3 3 + √21 = = = 2∙3 6 2 √3 2 √3 ∙ √3 1 Pero no siempre basta con poner la misma raíz, en un ejemplo como la única manera 3 52 de quitar la raíz del denominador es meter otro 5 dentro de la raíz para así tener 3 5 3 = 5 y quedarnos sin raíces, pero claro, la misma multiplicación que haga abajo la debo hacer arriba. Así: 1 3

-

52

=

-

3

52 × 3 5

=

2 3

22 × 3

3

5 53

=

3

5 5

=

2 × 3 2 × 32 3

2 2 × 3 × 3 2 × 32

=

2 × 3 2 × 32 2 2 × 3 × 2 × 32

3

=

2 × 3 18 3

23 × 33

=

2 × 3 18 3 18 = 2×3 3

Es posible que en estas situaciones tengamos que multiplicar radicales de distinto índice: √4

√10

=

√2

√2 ∙ 5

=

√2 ∙ √2 ∙ 5

√2 ∙ 5 ∙ √2 ∙ 5

=

√20 ∙ √2 ∙ 5

/.

/.

√2 ∙ 5

√2 ∙ 5 2 ∙ √2 ∙ 5 √2 ∙ 5 = = = 2∙5 2∙5 5 /.

/.

-

Cuando tenemos una raíz cuadrada sumando o restando a otro término (que también puede tener raíces cuadradas) sólo podemos usar el truco del conjugado para forzar una diferencia de cuadrados. Consiste en multiplicar dicha expresión por otra igual, pero en la que cambie el signo del centro: √3

5 + √3 -

3

Otro ejemplo:

2 = 3 12 -

1× 3 5

Otro ejemplo: √3

√2 − √3

=

=

√325 − √33

25 + √3325 − √33

√32√2 + √33

2√2 − √332√2 + √33

=

=

√3 ∙ 5 − √3 ∙ √3 5 − 2√33

√3 ∙ √2 + √3 ∙ √3 2√23 − 2√33

=

=

5√3 − 3 5√3 − 3 = 5−3 2

√6 + 3 √6 + 3 = = −√6 − 3 2−3 −1

Como detalle aparte de los radicales, recuerda que no se debe dejar una expresión negativa en el denominador, para lo cual se multiplica numerador y denominador por -1. En este caso en el denominador quedaría #−1$ ∙ #−1$ = 1 y por eso dejamos de verlo.

IES Averroes (Córdoba)

UD 1: Los números reales

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS. DEFINICIÓN: El logaritmo de un número en una base dada es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener dicho número. 4567 8 = 9 ⟺ 79 = 8

;0 (no existe el logaritmo en ninguna base de números negativos ni de 0) y que a>0 y > ≠ @. ;