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RAZONAMIENTO VISUAL Y MATEMÁTICAS Vicente Meavilla Seguí (*) INTRODUCCIÓN Allá por el siglo VI. a. C., Pitágoras y sus discípulos, los pitagóricos, descubrieron interesantes relaciones numéricas valiéndose de un técnica sencilla pero ingeniosa: se sirvieron de piedrecillas para ver los números y manipularlos físicamente. De este modo comprobaron, por ejemplo, que la suma de los sucesivos números impares, empezando desde el 1, es un número cuadrado (véase la figura 1).

Figura 1. Suma de impares

Esta forma de proceder es un buen ejemplo de lo que, a partir de ahora en adelante, llamaremos razonamiento visual, es decir: el uso de representaciones gráficas (diagramas, modelos geométricos, etc.) como método para pensar, hacer y entender Matemáticas. Este tipo de razonamiento es diametralmente opuesto al seguido por un alumno de 4º de ESO para llegar a la misma conclusión que los antiguos pitagóricos: 1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) =

[ 1 + (2n-1) ] · n 2

= n2

En este caso hablaremos de razonamiento analítico. Resulta claro que el razonamiento visual no es patrimonio de la Geometría, sino que está presente en otras ramas de las Matemáticas. Así, por ejemplo, el razonamiento visual se usa en: • Combinatoria y Probabilidad (diagramas de Venn, diagramas de árbol). • Álgebra lineal (diagramas de Venn, diagramas sagitales para correspondencias entre conjuntos). • Aritmética (modelos geométricos para la multiplicación, modelos visuales de fracciones). • Trigonometría (representaciones gráficas de las razones trigonométricas de un ángulo en una circunferencia de radio unidad). • Análisis (interpretación geométrica del concepto de derivada de una función en un punto, métodos gráficos de integración).

(*) Departamento de Matemáticas. Universidad de Zaragoza.

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• Álgebra elemental (modelos geométricos para algunas expresiones notables, resolución geométrica de ecuaciones de segundo grado con una incógnita). Además, desde el punto de vista de la Educación Matemática, las aportaciones del razonamiento visual son de capital importancia en los tres campos siguientes: • Resolución de problemas. • Razonamiento inductivo. • Demostraciones gráficas.

RAZONAMIENTO VISUAL Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Polya (1956), refiriéndose al papel de las figuras en la resolución de problemas en general, se expresaba en los siguientes términos: "Las figuras no se reservan al uso exclusivo de los problemas de geometría. Una figura puede ayudar considerablemente en todo tipo de problemas que nada tienen de geométrico (...). Las figuras trazadas sobre el papel son fáciles de hacer, fáciles de reconocer y fáciles de recordar. Las figuras de la geometría plana nos son particularmente familiares y los problemas que las conciernen especialmente accesibles. Podemos sacar algún provecho cuando tenemos que ocuparnos de objetos no geométricos si logramos encontrarles alguna representación geométrica apropiada. De hecho, las representaciones geométricas tales como gráficas y diagramas de todo tipo, se utilizan en todas las ciencias, no solamente en física, química o ciencias naturales, sino también en economía e incluso en psicología. Utilizando una representación geométrica apropiada, tratamos de expresarlo todo en el lenguaje de las figuras, de reducir todo tipo de problemas a problemas de geometría. Así pues, incluso si el problema no es geométrico, usted puede tratar de dibujar una figura. Encontrar una representación geométrica clara a un problema no geométrico puede permitir un avance sensible hacia la solución". Abundando En el mismo tema, pero centrándose en la resolución diagramática de problemas de álgebra, Simon y Stimpson (1988) puntualizan: "El proceso de dibujar un diagrama obliga a los estudiantes a centrarse en las relaciones relevantes del problema (...). Los estudiantes a los que, antes de que aprendan a manipular símbolos algebraicos, se les pide que resuelvan problemas algebraicos mediante diagramas, experimentan los problemas algebraicos de enunciado verbal como problemas no rutinarios. Sus esfuerzos se centran en desarrollar una representación del problema". En la tesis doctoral de Presmeg (1985) se encuentran buenos ejemplos de resolución de problemas mediante diagramas. He aquí uno de ellos: En una casa hay 8 mesas en total. Algunas de ellas tienen cuatro patas y las restantes tienen tres. En total hay 27 patas. ¿Cuántas mesas tienen cuatro patas? Solución He resuelto este problema dibujando las mesas. En primer lugar las he dibujado como si todas tuvieran tres patas.

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Después he añadido una pata a las mesas hasta completar las 27 patas. He encontrado que hay 3 mesas con cuatro patas y 5 mesas con tres patas.

RAZONAMIENTO VISUAL E INDUCCIÓN La inducción es una forma de razonar en la que, a partir de la observación de un conjunto de casos particulares, se descubre una ley general. Para apreciar el poder del razonamiento visual en la inducción, presentamos el siguiente ejemplo relativo al ámbito de la preálgebra. En él se conjetura la fórmula que permite calcular la suma de los n primeros números cuadrados.

(a)

(b)

(c)

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En los diagramas anteriores están representadas respectivamente las igualdades siguientes: (a) 3(12 + 22) = (1 + 2)[(2·2) + 1] (b) 3(12 + 22 + 32) = (1 + 2 + 3)[(2·3) + 1] (c) 3(12 + 22 + 32 + 42) = (1 + 2 + 3 + 4)[(2·4) + 1] De aquí se puede conjeturar que: 3(12 + 22 + 32 + . . . + n2) = (1 + 2 + 3 + . . . + n)(2n + 1) Por tanto: n (n + 1) 12 + 22 + 32 + . . . + n2 =

(1 + 2 + 3 + ... + n) (2n + 1) 3

=

2 3

(2n + 1) =

n (n + 1) (2n + 1) 6

RAZONAMIENTO VISUAL Y DEMOSTRACIONES Sin duda alguna, una de las ilustraciones más significativas de la aplicación del razonamiento visual a las demostraciones matemáticas es la prueba que del teorema de Pitágoras hizo Bhaskara en el siglo XII de nuestra era. El matemático indio dibujó los dos diagramas adjuntos y debajo de ellos escribió la palabra “míralo”, sin añadir más explicación.

Si pasamos al terreno del álgebra se pueden encontrar numerosas representaciones gráficas que conducen a la demostración de algunas identidades notables. Así, el diagrama de la figura 2 demuestra la identidad (a – b)2 = a2 + b2 – 2ab.

Figura 2. (a – b)2 = a2 + b2 – 2ab

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Por otro lado, el diagrama de la figura 3 demuestra la identidad: 4ab = (a + b)2 – (a – b)2

Figura 3. 4ab = (a + b)2 – (a – b)2

ALGUNOS INCONVENIENTES DEL RAZONAMIENTO VISUAL En las secciones precedentes hemos esbozado algunas ventajas del razonamiento visual en la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas. Desgraciadamente, el razonamiento visual también está sujeto a una serie de inconvenientes que no se pueden pasar por alto. 1. No todos los problemas se pueden resolver gráficamente Por ejemplo, la resolución gráfica de problemas de programación lineal es impracticable cuando el número de variables es mayor que tres. 2. Las conjeturas basadas en el razonamiento visual no siempre son ciertas. Consideremos, por ejemplo, el problema siguiente: Sobre una circunferencia se dan n puntos. Calcular el número máximo de regiones en que queda dividido el círculo al unir con líneas rectas todos los pares de puntos.

2 puntos (2 regiones)

3 puntos (4 regiones)

4 puntos (8 regiones)

5 puntos (16 regiones)

Parece ser que al añadir un punto se duplica el número de regiones. Sin embargo, este modelo se rompe cuando se añade un punto a la última de las figuras anteriores y se obtienen treinta y una regiones.

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3. Las demostraciones gráficas no son generales. Las demostraciones gráficas, pongamos por caso la demostración del teorema de Pitágoras, no son generales. De todos es sabido que en geometría es imposible dibujar un diagrama generalizado. Por ejemplo, no es posible dibujar un triángulo rectángulo general; una vez dibujado es específico. 4. Los alumnos piensan que los aspectos visuales de un concepto o de un procedimiento son algo periférico a él y prefieren las descripciones analíticas de una propiedad a las descripciones visuales. Los alumnos suelen mostrarse reacios al uso del razonamiento visual tanto en la resolución de problemas como en las demostraciones matemáticas. Vinner (1989), refiriéndose al rechazo de los alumnos hacia las demostraciones de tipo visual, cree que puede ser debido a la convicción de que una demostración algebraica es más rigurosa y general. Esta convicción puede basarse en los éxitos obtenidos por los estudiantes al memorizar fórmulas y procedimientos algebraicos. Además, los profesores de Matemáticas solemos tener un marcado sesgo algebraico, adquirido en los estudios universitarios, que transmitimos a nuestros alumnos. Como dice Kline (1976): "Algunos profesores, que conocen las demostraciones rigurosas, se sienten incómodos al presentar simplemente un argumento convincente que ellos, al menos, saben que es incompleto. Pero no es el profesor quien debe quedar satisfecho, sino el estudiante. La buena pedagogía exige compromisos de esta índole". Vinner recomienda que en la enseñanza de las Matemáticas debería hacerse hincapié en la legitimidad del enfoque visual en las demostraciones y en la resolución de problemas. De este modo, se podría desterrar la creencia, tan extendida entre el alumnado, de que una demostración visual no es una demostración matemática. 5. En los buenos diagramas la información no se presenta secuencialmente, sino de forma global. Por este motivo suelen ser difíciles de interpretar y, en ocasiones, pueden presentarse complicaciones a la hora de separar la información relevante que contienen de la que no lo es. Volvamos, por ejemplo, a los diagramas utilizados por Bhaskara en su demostración del teorema de Pitágoras y analicemos la información relevante que contienen: • La primera figura representa el cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo. • La segunda figura es un hexágono cóncavo cuya área es la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos de dicho triángulo rectángulo. • El cuadrado de la primera figura y el hexágono de la segunda son equivalentes [= tienen la misma área], dado que son equicompuestos [= están construidos con las mismas piezas]. Solamente quien sea capaz de aislar esta información estará en condiciones de llegar a la demostración del teorema del cuadrado sobre la hipotenusa a partir de los diagramas de Bhaskara. Con toda seguridad se podrían presentar más inconvenientes al uso del razonamiento visual en la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas; no obstante, desde una óptica didáctica, es aconsejable utilizar algún soporte visual en un primer contacto con los contenidos de aprendizaje, siempre que ello sea posible. ¿Por qué?

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RAZONAMIENTO VISUAL Y DIVERSIDAD Desde hace años, las investigaciones de Krutetskii (1976) y otros, en el campo de la resolución de problemas, pusieron de manifiesto que, a la hora de aprender (hacer) Matemáticas, los alumnos se pueden clasificar en tres grandes grupos: • El “visual o geométrico”, compuesto por aquellos alumnos que tienen una marcada inclinación hacia los aspectos visuales de las Matemáticas y que, consecuentemente, hacen uso del razonamiento visual. • El “no visual o analítico”, formado por estudiantes que no tienen necesidad de recurrir a ningún tipo de soporte visual para trabajar con esquemas abstractos. • El “intermedio o armónico”, integrado por aquellos alumnos en los que las dos orientaciones cognitivas anteriores se conjugan armoniosamente. Este tipo de alumnos hace un uso equilibrado del razonamiento visual y analítico(1). En general, los programas de enseñanza han prestado poca atención a los aspectos visuales de las Matemáticas (excepción hecha, claro está, de los contenidos de tipo geométrico) y se han centrado casi exclusivamente en su componente analítica. Este enfoque presenta algunas deficiencias, dado que: • No cubre las necesidades de aquellos alumnos cuya orientación cognitiva es eminentemente visual. • Propicia el abandono de estudiantes que podrían acceder a las Matemáticas a través de su componente visual. • Oculta los aspectos visuales que ayudan a conseguir la comprensión de conceptos y procedimientos. • Ignora las representaciones visuales como herramientas potentes para la resolución de problemas no necesariamente geométricos. • No contempla las demostraciones visuales como demostraciones matemáticas legítimas. Para paliar estas limitaciones parece aconsejable que los currículos permitan desarrollar cada tema en los aspectos analíticos y visuales para que el estudiante se enfrente al material de la manera que esté más próxima a su orientación cognitiva (Dreyfus y Eisenberg, 1986).

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS DREYFUS, T. & EISENBERG, T., 1986: On visual versus analytical thinking in mathematics. Proceedings of the Tenth International Conference on the Psychology of Mathematics Education, pp. 153-158. KLINE, M., 1976: El fracaso de la matemática moderna. Madrid, Siglo XXI de España Editores, S. A. KRUTETSKII, V. A., 1976: The psychology of mathematical abilities in schoolchildren. Chicago, The University of Chicago Press. POLYA, G., 1956: How to solve it. New York, Doubleday & Company, Inc. PRESMEG, N. C., 1985: The role of visually mediated processes in high school mathematics: A classroom investigation. Tesis doctoral, Universidad de Cambridge. SIMON, M. A. & STIMPSON, V. C., 1988: Developing Algebraic Representation using diagrams. The ideas of Algebra K-12. National Council of Teachers of Methematics. 1988 Yearbook, pp. 136-141. VINNER, S., 1989: The avoidance of visual considerations in Calculus students. Focus on learning problems in Mathematics. Volume 11: number 1, pp. 149-156.

NOTAS (1) Krutetskii divide a este grupo en dos subgrupos: • El “armónico abstracto”, formado por aquellos estudiantes que pudiendo utilizar el razonamiento visual prefieren no hacerlo. • El “armónico pictórico”, compuesto por aquellos alumnos que pudiendo utilizar el razonamiento visual en la resolución de un problema prefieren hacerlo.

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