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Las sucesiones. Breves notas históricas. Fibonacci Aunque se ofrecen pinceladas históricas sobre las sucesiones en general, el tema se centra, sobre todo, en Fibonacci y su sucesión. Se incluye una pequeña biografía de este, el estudio de la sucesión, cómo puede observarse su aparición en la naturaleza, una construcción gráfica de la misma y su relación con el número de oro. Se recomienda como lectura para los estudiantes, pudiendo realizar ellos mismos la construcción gráfica de la sucesión de Fibonacci. Para el apartado “La sucesión de Fibonacci y el número de oro”, conviene recordar algunos detalles sobre este número (se puede utilizar el artículo de la unidad 1).

Otras sucesiones importantes En esta lectura tratamos una de las sucesiones más importantes en matemáticas, la sucesión de los números primos. Y, también, la sucesión binaria, que fue la base del cálculo de los ordenadores. Como ampliación, se propone una actividad de investigación para que realicen los alumnos y las alumnas, y en la parte final, algunos pasatiempos sobre sucesiones que resultan fáciles y curiosos.

Paradojas del infinito El infinito siempre resulta sorprendente. Enlazando con el estudio de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón mayor que 0 y menor que 1, se pueden mostrar curiosas e interesantes paradojas con el fin de que los estudiantes comiencen a comprender que con el infinito no siempre se pueden aplicar las propiedades de la aritmética finita.

Unidad 2. Progresiones

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LAS SUCESIONES. BREVES NOTAS HISTÓRICAS. FIBONACCI Sucesiones de piedra. Las sucesiones, por supuesto, son tan antiguas como los números naturales en la evolución de la matemática. La ordenación de los días del año, o la ordenación de los hermanos de una familia de mayor a menor, implican la formación de sucesiones finitas. Los pitagóricos, grandes aficionados a los números naturales, debieron de ser los primeros en interesarse por la construcción de sucesiones infinitas. Consideraron, en particular, sucesiones de números originados jugando con las piedras (cálculos), colocadas en forma de polígonos. De ahí viene nuestro nombre de Cálculo.

1

3

6

10

1

4

9

16

1

5

12

22

Los pitagóricos construyeron sucesiones de números triangulares, cuadrados, pentagonales... Encuentra tú los primeros términos de las sucesiones de números hexagonales y heptagonales.

Un ejemplo histórico de sucesión. Galileo observó y apuntó el espacio que, cada segundo, recorría una bola al caer por un plano inclinado. Observando la sucesión de números y estudiándola, fue capaz de concluir que el espacio recorrido en el tiempo t era a · t 2 siendo a una constante que dependía de la inclinación del plano.

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La sucesión de Fibonacci Aparte de las sucesiones que se han ido estudiando en la unidad 3 (progresiones aritméticas, progresiones geométricas...), hay muchas otras sucesiones curiosas e importantes. Una de ellas es la sucesión de Fibonacci. Es muy interesante y fácil de obtener. Los dos primeros términos son 1, 1, y a partir de ellos cada uno de los términos siguientes se forma sumando los dos términos anteriores. Así, se obtiene: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Leonardo de Pisa, Fibonacci (1170-1250) Una apertura sin prejuicios a otras culturas y otras formas de ver las cosas, puede aportarnos un gran enriquecimiento y profundización en nuestro propio saber. Esta es la conclusión que se puede obtener de la vida y obras de Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci. Su padre, Guglielmo Bonaccio (Fibonacci es una contracción de filius Bonacci) era agente de comercio en un puerto del norte de África y Leonardo, aunque nacido en Pisa, fue educado inicialmente por maestros árabes que le pusieron al corriente de los muchos conocimientos matemáticos que poseían, heredados de los griegos a través de los matemáticos indios. En 1202 publicó el Liber abaci (Libro del ábaco) que poco tiene que ver, en realidad, con el ábaco y que constituye, fundamentalmente, una colección de problemas aritméticos y algebraicos, junto con una apasionada defensa de la superioridad de los métodos de numeración de los árabes (notación posicional con las nueve cifras, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, más el 0, el céfiro de los árabes, de donde provienen nuestras palabras cero y cifra). En los centros europeos de estudios, tales conocimientos apenas se cultivaban ni apreciaban. Los viajes mercantiles por Egipto, Siria, Grecia, Sicilia, etc... y los contactos con sus centros de cultura, proporcionan a Leonardo los elementos que le convirtieron en el matemático más destacado de la Europa medieval.

Un problema sencillo A Fibonacci se debe la consideración de una sucesión de números famosa e interesante por mucho motivos, como verás. Así la presenta él mismo en su Liber abaci: En una granja hay, al principio del año, una pareja de conejos que acaban de nacer. Al cabo de dos meses, esta pareja está preparada para reproducirse. Produce cada mes una pareja de conejos que, al cabo de dos meses, está a su vez preparada para empezar a reproducirse, dando otra pareja cada mes. ¿Cuál es el número de parejas de conejos en la granja el día quince de cada mes del año?

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El problema no es difícil. Haciendo la cuenta: MES

PAREJAS

1º

1

2º

1

3º

2

4º

3

5º

5

6º

8

7º

13

8º

21

9º

34

10º

55

11º

89

12º

144

Como ves, cada número de la sucesión es la suma de los dos anteriores, es decir: an  an  1  an  2 Lo importante de la sucesión de Fibonacci es, por una parte, que tiene propiedades matemáticas muy curiosas e interesantes y, por otra, que aparece de modo natural en las situaciones más diversas.

Sucesiones en la naturaleza Si vas por un pinar, coge una piña en tus manos. Mírala por el lado por donde estaba sujeta al árbol y observarás dos conjuntos de espiras: unas giran en sentido de las agujas del reloj y otras, en sentido contrario. Cuéntalas. Verás que el número de espiras en una dirección y el número de espiras en la otra, son dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci. En algunas especies de pinos son 5 y 8, en otras 8 y 13... Pues bien, lo mismo sucede con las espiras de la flor del girasol, de la margarita y de otras muchas plantas.

Unidad 2. Progresiones

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Construcción gráfica de la sucesión de Fibonacci. Parte de un cuadrado pequeño y sitúa encima un cuadrado A del mismo lado que el inicial. Luego otro cuadrado, B, a la derecha, de lado igual al del lado mayor del rectángulo que forman los dos cuadrados anteriores juntos. Luego, forma otro cuadrado hacia abajo, el C, de lado igual al lado mayor del rectángulo que forman unidos los tres anteriores... Los lados menores de los rectángulos que así vas formando son, como puedes ver en la figura, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55... A 1

B

2

C

3

5

D

La sucesión de Fibonacci y el número de oro. Consideremos la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... y vaan  1 yamos dividiendo los términos consecutivos: . Veamos los resultados que se an obtienen:

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1   1 1 2   2 1 3   1,5 2 5   1,6666... 3 8   1,6 5 13   1,625 8

21   1,6153... 13 34   1,6190... 21 55   1,6176... 34 89   1,6181... 55 ...

Al tomar más términos de la sucesión, vemos que el resultado se va aproximando 1  5 cada vez más al número     1,6180...; es decir, al número de oro. 2 Este número ya nos resulta muy familiar (para obtener más información, puedes consultar el artículo que aparece sobre el número de oro en la unidad 1).

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OTRAS SUCESIONES IMPORTANTES La sucesión de números primos. La sucesión más misteriosa de las matemáticas es, sin duda, la de los números primos: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... No se conoce ninguna expresión matemática, ninguna fórmula, que nos permita construirlos. Es decir, no se conoce ningún procedimiento que permita dado el número n, calcular (mediante ciertas operaciones sobre n), el número que ocupa el lugar n de la sucesión de números primos. Naturalmente que hay métodos para irlos construyendo paulatinamente e, incluso, se puede programar un ordenador para que vaya escribiéndolos, pero no tenemos ningún procedimiento de cálculo que nos diga, por ejemplo, cuál es el número primo que ocupa el lugar 10 37 en la sucesión. El procedimiento más primitivo de construcción de los números primos es el de la famosa CRIBA DE ERATOSTENES. Hay polinomios curiosos que dan números primos para muchos números consecutivos. Así, por ejemplo x 2  79x  1 601 proporciona números primos dando a x valores desde 1 hasta 80. Para x  81, resulta 1 763  41 × 43 que no es primo.

La sucesión binaria. Se suele llamar así a la sucesión de las potencias de 2: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... 0 1 es decir, a0  2 , a1  2 , ... an  2n, ... Esta sucesión tiene muchísimas propiedades curiosas, importantes y útiles. Una de las más interesantes es la siguiente: Cualquier número se puede expresar de un solo modo como suma de unos cuantos números de la sucesión binaria de modo que cada uno de ellos aparezca en la suma a lo más una sola vez. Así: 1 1 × 1 2 1 ×2 0 × 1 3 1 ×2 1 × 1 4 1 ×4 0 × 2 0 ×1 5 1 ×4 0 × 2 1 ×1 6 1 ×4 1 × 2 0 ×1 (Sigue adelante por tu cuenta hasta el 16) Como ves, tomando los números que figuran en los cuadros, se puede establecer la correspondencia: 1  1 2  10 3  11

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4  100 5  101 6  110 7  111 8  1 000 (Sigue tú un poco más adelante) Resulta, como observarás, cada uno de los números escrito en sistema binario de numeración.

Escribir en sistema binario Con tu calculadora puedes escribir muy fácilmente cualquier número en sistema binario, procediendo de la forma siguiente: divides el número por 2. Si el cociente es entero escribes 0 y tomas este cociente para continuar. Si el cociente no es entero escribes 1 y tomas la parte entera del cociente para continuar. Ahora haces los mismo con el número que tienes para continuar. Es decir, lo divides por 2. Si el cociente es entero escribes 0 a la izquierda del número (0 ó 1) que antes escribiste y tomas el cociente para continuar. Si el cociente no es entero, escribes un 1 a la izquierda de aquel número (0 ó 1) que antes escribiste y tomas la parte entera del cociente para continuar. Así sigues hasta que el cociente te salga 1. Entonces lo escribes a la izquierda y terminas. El número que has escrito de derecha a izquierda con ceros y unos, leído de izquierda a derecha es el número de partida puesto en sistema binario. Practica un poco, comprobando que: 134 en base 10 es igual a 10000110 en base 2 1 450 en base 10 es igual a 10110101010 en base 2 Ejercítate un poco y haz una carrera con cualquiera que no sea un ordenador. Resulta que la sucesión binaria fue la base de cálculo de los ordenadores. Precisamente BIT proviene de Binary digiT.

Investiga Escribe, con ayuda de tu calculadora, la lista de los cuadrados de los 20 primeros números naturales. 22 32 42 52 62 … 12 1 4 9 16 25 36 … Observa las cifras de las unidades: 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0 1 4 … ¿Encuentras alguna regularidad o simetría? ¿Cómo la explicas? ¿Qué números no aparecen nunca? ¿Por qué?

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Alguien te dice que ha hallado el cuadrado de un número y que le termina en 3. ¿Es posible? ¿En que terminará 233? Trabaja ahora con la sucesión de cubos: 23 33 43 53 63 73 ... 13 1 8 27 64 125 216 343 ... Observa las cifras de las unidades: 1 8 7 4 5 6 3 2 9 0 ... Ahora aparecen todas. Además, si te dicen que el cubo de un número termina en 3, ¿en qué puede terminar el número? ¿Qué pasa con las cuartas potencias? ¿Y con las quintas? ¿Habrá siempre periodicidad de la última cifra? ¿Por qué? La última cifra de los cuadrados se repite periódicamente a los diez números. La de los cubos también. ¿Habrá alguna potencia que, calculada sucesivamente sobre los naturales, tenga periodo más pequeño, es decir, para las que la última cifra se repita periódicamente cada ocho números potenciados o cada cinco? Comprueba que las últimas cifras de las quintas potencias son: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ¿Cuáles serán entonces las últimas cifras de las sextas potencias? ¿Cuáles serán las últimas cifras de las potencias de orden 27? ¿En qué terminará 23429?

Pasatiempos: ¿Cómo se construyen estas sucesiones? Te presentamos un par de sucesiones en las que se trata de que averigües el proceso que hemos seguido para obtener cada uno de sus términos. También tú puedes inventar sucesiones parecidas y proponérselas a tus compañeras y compañeros: a) u, d, t, c, c, s, s, o, n, d, ... b) 1, 11, 21, 1 211, 111 221, 312 211, 13 112 221, ... Solución:

a) Son las iniciales de los números naturales: uno, dos, tres, cuatro, ... b) Empezando con a1  1, cada término describe los dígitos que hay en el término anterior: a2 = 11 porque a1 está formado por un uno (11). a3 = 21 porque a2 está formado por dos unos (21). a4 = 1 211 porque a3 está formado por un dos y un uno (1 211).

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PARADOJAS DEL INFINITO Recuerda que la suma de “todos” los términos de una progresión geométrica en la que la razón, r, está comprendida entre 0 y 1 se obtenía así: a1 S   (si 0  r  1) 1r El infinito es misterioso y sorprendente. Trátalo con cuidado y respeto; si no, te podrás encontrar con sorpresas. Veamos algunas paradojas acerca de las sucesiones y el infinito.

Primera paradoja Zenón, en el siglo V a.C., enunció la siguiente paradoja con la que pretendía probar que el movimiento es imposible: Para ir de un punto A a otro B, primero debo recorrer la mitad de la distancia AB. Después, la mitad de lo que queda. Después la mitad del resto; ... y así sucesivamente. El proceso ha de repetirse infinitas veces y, por tanto, el tiempo que se requiere es infinito: nunca llegaré a B. Como A y B son dos puntos tan próximos como queramos, llego a la conclusión de que no puede uno ni moverse.

La paradoja de Zenón sigue siendo inmensa y profunda en la actualidad, aunque ya podemos intentar explicarla. Supón que vamos a velocidad constante y que recorremos la mitad de AB en medio minuto. El tiempo total empleado en recorrer AB será la suma de infinitos términos: 1 1 1 1         … 2 4 8 16

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Es la suma de los términos de una progresión geométrica: 1  a1 2 S   es decir: S    1 1 r 1 1   2 La suma de los infinitos tiempos que decía Zenón es finita.

Segunda paradoja Veamos ahora una paradoja algebraica. Considera la suma infinita Saaaaaa… Según como agrupemos los términos podemos obtener varios resultados diferentes: I. S  (a  a)  (a  a)  (a  a)  …  0 II. S  a  (a  a)  (a  a)  (a  a)  …  a III. S  a  (a  a  a  a  a  …)  a  S a 2S  a → S   2 Tercera paradoja Recuerda el ejercicio resuelto de la página 74 del libro de texto: la leyenda del inventor del ajedrez. Según la conocida leyenda de los granos de trigo sobre el tablero de ajedrez, el rey debía dar al inventor 1  2  4  8  …  263 granos de trigo. Al echar cuentas, vio que no había trigo suficiente para pagar la deuda, no ya en su reino, ni siquiera en toda la Tierra. La leyenda no dice más, pero podemos imaginar al soberano atribulado y humilde disculpándose ante el inventor por no poder cumplir lo prometido (un poco difícil de imaginar). O, acaso, iracundo y altivo, mandando decapitarlo por tomarle el pelo (cosas peores se han visto en otros tiempos). No obstante, preferimos imaginar una tercera versión en la que el rey, ingenioso campechano y jocundo, sabe devolverle la broma al inventor. Manda llamarlo y le dice: Me pides 1  2  4  8  16  …  263 granos de trigo. Poca cosa para mí. Te daré más; te daré tantos granos como correspondan, no a un limitado tablero de 64 casillas, sino a un tablero infinito. Te daré pues 1  2  4  8  16  …  263  264  265  …

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Echemos cuentas del número S de granos que te debo: S  1  2  4  8  16 …  263  264  265  …   1  (2  4  8  …  263  264  265  …)   1  2 (1  2  4  …  262  263  264  …)  1  2S S  1  2S → S  1 ¡Dame, buen hombre, el grano de trigo que me debes!, concluiría nuestro rey bromista. Estas dos últimas paradojas se deben a que, en sumas infinitas, no siempre se pueden aplicar las propiedades de la aritmética finita.

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