Semana Semana 22 Regla de Cramer

Regla de Cramer

¡Empecemos! Como recodarás en el 7mo semestre estudiamos los sistemas de ecuaciones lineales (SEL) con tres incógnitas, los cuales se resolvieron empleando los métodos analíticos: sustitución, igualación y reducción. En esta ocasión para resolver dichos sistemas utilizaremos la regla de Cramer, que se basa en el cálculo de determinantes.

¿Qué sabes de...? 1. Los SEL que no tienen ninguna solución se conocen como: a) Compatibles determinados. b) Compatibles indeterminados. c) Incompatibles. 2. Si el SEL tiene más de una solución se denomina: a) Compatible determinado. b) Compatible indeterminado. c) Incompatible. 3. Si dos SEL tienen la misma solución, se conocen como: a) Iguales. b) Compatibles determinados. c) Equivalentes.

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Semana 2

Regla de Cramer

El reto es... Los estudiantes del IRFA organizaron un evento deportivo y recreativo a fin de recoger fondos para arreglar los talleres. Para ello vendieron 110 helados en tres presentaciones: vasitos, barquillas y tinas. Recolectaron 1.038 Bs y los precios de cada helado eran: Bs. 7 el vasito, Bs. 8 la barquilla y Bs. 10 la tina. Si se sabe que entre barquillas y tinajas se compraron el 20% más que de vasitos, ¿qué cantidad de helados se compraron de cada uno? En este momento estás en condiciones de resolver el problema por los métodos ya estudiados. ¡Hazlo! Esperamos que al finalizar la lectura de este material puedas solucionar los SEL usando el método de Cramer.

Vamos al grano Determinantes Dada una matriz cuadrada A se llama determinante de A, abreviado: det (A), al número real que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Por ejemplo, en una matriz de orden 2, su determinante se expresa así: a a det (A) = a11 a12 = a11· a12 - a21· a12 21 22 Producto Producto de la diagonal de la diagonal principal secundaria

Ejemplos: Hallar el determinante de las siguientes matrices: -3 3 0 1/4 4 -10 a) b) c) 5 6 12 5 12 -30 Recuerda que debes multiplicar los elementos de la diagonal principal y restarlos al producto de la diagonal secundaria. a) (-3) · 6 - (-5) · 3 = -18 + 15 = - 3

b) 0 · 5 -12 · 1 = 0 - 3 = -3 4

c) 4 · (-30) -12 · (-10) = -120 + 120 = 0

Determinante de orden 3 Sea A una matriz cuadrada de orden 3, se llama determinante de A al número que se obtiene así:

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Semana 2 det (A) =

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a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

= a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32 - a11 · a23 · a32 - a12 · a21 · a32 - a12 · a21 · a33 - a13 · a22 · a31 Observa que para calcular el determinante se hacen todos los productos posibles de tres elementos que se encuentren en filas y columnas diferentes. La idea no es que memorices esa expresión. Hay una manera sencilla de encontrar el determinante de una matriz de orden 3, empleando la regla de Sarrus (en honor al matemático francés Pierre Sarrus), de la siguiente forma: •

Se escriben a la derecha de la matriz las dos primeras columnas.

•

Se realiza el producto de los elementos que contiene cada flecha. Los productos de la diagonal principal y sus dos paralelas llevan el signo +; la diagonal secundaria y sus dos paralelas llevan el signo -.

•

Finalmente realizamos la suma algebraica de los productos resultantes.

A través de un ejercicio se ejemplifica la regla: 5 11 -1 Halla el determinante de la matriz B = -4 0 9 2 3 8 Se repiten las dos primeras columnas a continuación de la tercera. Diagonal secundaria y paralelas

5 11 -1 5 11 -4 0 9 -4 0 2 3 8 2 3 Diagonal principal y paralelas

det (B)= 5 · 0 · 8 + 11 · 9 ·2 + (-1) · (-4) · 3 - (-1) · 0 · 2 -3 · 9 · 5 - 8 ·(-4) · 11 Suma algebraica de los productos de la diagonal principal.

Suma algebraica de los productos de la diagonal secundaria.

det (B) = 0 + 198 + 12 + 0 - 135 + 352 = 562 - 135 = 427

Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales

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Sea un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incógnitas de la forma:

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Regla de Cramer a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + … +a1nxn= b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + … +a2nxn= b2

(1)

am1 x1+am2 x2+am3 x3+…+amnxn=bm Los números reales aij se denominan coeficientes, los xi se llaman incógnitas y bj se denominan términos independientes. En el caso de que las incógnitas sean 2, se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2; y, en el caso de tres, x, y, z, en lugar de x1, x2, y x3, pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema. Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan todas las ecuaciones del sistema simultáneamente.

Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo siguiente:

···

a11 a12 a13 ··· a1n a21 a22 a23 ··· a2n a31 a32 a33 a3n

···

Matrix de Coeficientes

=

b1 b2 b3

···

···

···

···

···

am1 am2 am3 ··· amn

·

x1 x2 x3 xn

bm

Matrix de incógnitas

Matriz de términos independientes

Al usar tus conocimientos sobre la multiplicación de matrices, advertirás que el producto de la matriz A y la matriz X de las incógnitas, se corresponde con el miembro izquierdo del sistema de ecuaciones (1).

Regla de Cramer La regla de Cramer (en honor a su inventor, Gabriel Cramer) es aplicable a sistemas en los que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero. Expresamos el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y se halla el determinante de la matriz A de coeficientes.

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Regla de Cramer

Sea det(A) el determinante de la matriz de coeficientes:

···

a11 a12 a13 ··· a1n a21 a22 a23 ··· a2n a31 a32 a33 a3n ···

···

···

···

am1 am2 am3 ··· amn Y cada uno de los determinantes det(A)1 , det(A)2 , det(A)3..., det(A)n se forma a partir del determinante del sistema det(A), sustituyendo la columna de la incógnita que se está hallando por la columna de las constantes (matriz de términos independientes). El valor de cada incógnita se calcula dividiendo el det(A)1 , det(A)2 , det(A)3..., det(A)n entre el determinante det(A). La solución del sistema de ecuaciones lineales, utilizando la regla de Cramer viene dada por: det(A)2 det(A)3 y = z= det(A) det(A)

det(A)1 x = det(A)

Es importante recordar que un sistema con igual número de ecuaciones que de incógnitas tiene una única solución, que es justamente la anterior. Concretemos esta regla a través de la situación propuesta al inicio, considerando las siguientes incógnitas: x: cantidad de helados de vasitos; y: cantidad de barquillas; z: cantidad de helados en tinajas. Al plantear el sistema de ecuaciones, obtenemos: x+y+z=132 x+y+z=132 x+y+z=132 7x+8y+10z=1038 7x+8y+10z=1038 7x+8y+10z=1038 y+z=1.2x -1.2x+y+z=0 -12x+10y+10z=0 Multiplicamos por 10 la última ecuación para eliminar el punto y ordenamos el sistema. •

Expresamos el último sistema de ecuaciones en forma matricial; esto es: 1 1 1 7 8 10 -12 10 10

•

=

132 1038 0

Se halla el determinante de la matriz de coeficientes A:

Aplicando Sarrus:

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·

x y z

1 1 1 1 1 7 8 10 -7 8 -12 10 10 -12 10

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det (A)= 1· 8 ·10 + 1·10 · (-12) + 1 · 7 · 10 - 1 · 7 ·10 -1 ·10 ·10 -1 ·8 · (-12) = 80 -120 -100 + 96= 176 - 220= -44 Como el determinante es distinto de cero se puede aplicar la regla de Cramer. •

Hallamos el determinante asociado a cada una de las incógnitas.

En la matriz del sistema A, sustituimos la primera columna de las x por la columna de términos independientes, pues x es la primera incógnita; así: 132 1 1 1038 8 10 0 10 10

132 1038 0

1 8 10

Observa que la primera columna ha sido sustituida por la columna de términos independientes. Aplicamos Sarrus para obtener el determinante. det(A)x =132 · 8 ·10 +1 ·10 · 0 +1 · 1038 ·10 -1 · 1038 ·10 -10 ·10 ·132 -1 · 8 · 0 =10560 + 0 -13200 + 0= -2640 -2640 det(A)x La solución de x, será x= = = 60 helados de vasito. -44 det(A) •

Hallamos el determinante asociado a la incógnita:

Se ha sustituido la columna de las y en el determinante del sistema por la columna de términos independientes. 1 132 7 1038 -12 0

1 10 10

1 132 7 1038 -12 0

det(A)y= 1 ·1038 ·10 +132 ·10 · (-12)+1 · 7 · 0 -132 · 7 ·10 -1·10 · 0 -1·1038 · (-12) = 10380 - 15840 + 0 - 9240 - 0 +12456= 22836 - 25080= -2244 det(A)y La solución de y, será y= det(A) •

=

-2244 = 51 barquillas. -44

Hallamos el determinante asociado a la incógnita.

En la matriz del sistema, sustituimos la tercera columna por la columna de términos independientes; así: 1 7 -12

1 132 8 1038 10 0

1 1 -7 8 12 10 169

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det(A)z= 1· 8 · 0 +1 ·1038 · (-12) +132 · 7 · 10 -1 · 7 · 0 -1 · 10 ·1038 -132 · (-12) · 8 = 0 -12456 + 9240 - 0 -10380 + 12672= -22836 + 21912= -924 det(A)z La solución de z, será z= = det(A)

-924 = 21 tinas -44

Para saber más… Para reforzar la resolución de problemas de un sistema de ecuaciones mediante la regla de Cramer, puedes observar el video que se muestra en la siguiente dirección web: http://goo.gl/fWABb

Aplica tus saberes 1. Halla el determinante de las siguientes matrices: a) -6 4 0 5

b) 7 -8 21 -24

3 1 -0,6 c) 2 2/3 1 -9 7 0

d)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2. Utiliza la regla de Cramer para resolver los siguientes sistemas: a) 3x-2y+z=-1

b) x+y+z=6

c) 3x+y+z=1

2x+y-z=2

x-y+2z=5

2x+2y+z=5

x-3y+z=0

x+y-z=0

x-y+z=0

3. Una empresa de computadoras ofreció servicio técnico: revisión, mantenimiento y reparación (incluye costo de materiales y mano de obra) a tres departamentos de una escuela: Control de estudio y evaluación, Pedagogía y Sala telemática. En Control de estudio y evaluación se tienen dos computadoras: una recibió revisión y mantenimiento mientras la otra sólo mantenimiento (limpieza). En la sala telemática se revisaron 4 computadoras, se hizo mantenimiento a 3, por un costo de 720 Bs. A la computadora del departamento de Pedagogía se le hicieron los tres servicios (R, M, R) por un costo de 520 Bs. En total la escuela hizo un gasto de 1520 Bs. ¿Cuánto es el costo de cada uno de los servicios?

Comprobemos y demostremos que… Discute en el CCA con tus compañeros los problemas mostrados en “Aplica tus saberes”. 170

La tierra es suficiente para todos pero no para la voracidad de los consumidores. Gandhi