REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN Cuando empleamos las reglas de la adición se determinaba la probabilidad de combinar dos eventos ( que suceda uno u otro o los dos)

Cuando queremos estimar la probabilidad de que ocurran dos eventos de manera simultánea emplearemos la regla de la multiplicación

EVENTOS INDEPENDIENTES Y LA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

• Si la ocurrencia de que A ocurra no afecta la probabilidad de que B ocurra, entonces se dice que A y B son independientes.

• Si A y B son dos eventos independientes, entonces la probabilidad de que ocurran tanto A como B es igual al producto de sus probabilidad es respectivas

• P ( a ⋂ b) = P (a) x P ( b)

EVENTOS INDEPENDIENTES Y LA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

• Se consideran dos eventos independientes siempre y cuando la intersección entre el evento A y el evento B sean cero • Además consideramos que la probabilidad de un experimento no cambia ni se ve afectada por otro • Es considerar un muestreo con reemplazo

EVENTOS INDEPENDIENTES Y LA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN • • Por ejemplo la probabilidad de que al tirar dos monedas

DE MANERA CONSECUTIVA los dos resultados sean Cara. • ( 0.5) (0.5) = 0.25 • Ejercicio: cuál es la probabilidad de que aparezcan dos puntos en la primera, segunda y tercer tirada de un dado? • 1/6 x 1/ 6 x 1/ 6 = .0046

EJERCICIO

• El Sr. Castro y su esposa tienen 55 y 50 años de edad respectivamente • Si la probabilidad de que un hombre de 55 años viva la menos otros 15 años es de 0.70 • Si la probabilidad de que una mujer de 50 años viva al menos otros 15 años es de 0.85 • ¿Cuál es la probabilidad de que tanto el Sr. Castro como su esposa continúen vivos dentro de 15 años

• 0.595 = ( 0.7) ( 0.85)

Y SI NO SON INDEPENDIENTES?

EVENTOS DEPENDIENTES Y LA REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACIÓN PARA LA CONDICIÓN DE NO REEMPLAZO

• Dos eventos son dependientes si la ocurrencia de A o de B afecta la probabilidad de que B o A dejen de ocurrir • La probabilidad condicional de cualquier evento es la probabilidad de que este evento ocurra con la condición de que otro evento haya ocurrido . • Es decir, es saber la probabilidad del evento A, dada información previa acerca de la ocurrencia de otro evento B (“ como le afecta”)

P= PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN PROBABILIDAD DE EL EVENTO QUE CONDICIONA

•La probabilidad condicional de A dado B, se calcula suponiendo que el evento B ya ocurrió y/o tenemos información •Bajo ese supuesto, se calcula la probabilidad de que el evento A ocurra

• El evento B , es el que ya ocurrió o del que tenemos información previa • Si … • Dado… • Tenemos información de…

• El 60 % de los cereales que se consumen en la ciudad de México son de la Marca K, y se sabe que el 45 % de la población ha visto los anuncios espectaculares de dicho cereal. Por otro lado una encuesta revela que hay un 30% de la población que consume este cereal y ha visto los espectaculares. • Determine si la compra de los cereales de esta marca ha sido estimulada por haber visto el nuevo espectacular

• Hay que considerar que el evento que condiciona es : • si han visto los anuncios espectaculares, dado que se evalúa si hay un efecto en el aumento de compradores por su observación.

• El 60% es la probabilidad que se tenía antes de colocar los espectaculares y será contra la que se compare. • El 30% es la intersección

• En la bolsa de valores se tiene la probabilidad de que se compren acciones de tipo A de 0.54 y una probabilidad de que compren acciones de tipo B de 0.35, así como una probabilidad de que compren ambas de 0.3. • ¿ Cuál es la probabilidad de que un accionista compre acciones de tipo A si ya compro acciones de tipo B? • ¿ Cuál es la probabilidad de un accionista compre acciones de tipo B si ya compro acciones de tipo A?

maneja

propietario inquilino

total

Si

824

681

1505

no

176

319

495

1000

1000

2000

• En Puebla una encuesta sobre vivienda estudió cómo llegan al trabajo los propietarios de casa . • Si una persona responde que maneja hacia su trabajo, ¿ cuál es la probabilidad de que él o ella sea propietario de su casa? • si quien responde es un propietario, ¿ cuál es la probabilidad de que él o ella maneje hacia el trabajo?

• ¿ Es más probable que los blancos presenten demandas por prejuicios? De acuerdo a una encuesta de Goldman(2001) encontró que de 56 trabajadores despedidos, 29 presentaron demandas por prejuicios. De 407 trabajadores negros despedidos, 126 demandaron por prejuicios. • Si un trabajador es blanco, ¿cuál es la probabilidad de que se haya presentado una demanda por prejuicios? • Si un trabajador presentó una demanda por prejuicios, ¿ cuál es la probabilidad de que sea blanco? • Si quien demanda es negro, ¿ cuál es la probabilidad de que no demande? • Si no demanda , ¿ cuál es la probabilidad de que sea blanco?

• Un inversionista se enfrenta una cartera que contiene un bono estatal cuyo riesgo es de 25% y una acción de una escuela cuyo riesgo es de 35%. Cuál es la probabilidad de que el inversionista al adquirir una acción de una escuela enfrente el riesgo dado que ya enfrentó el riesgo del bono estatal?

• La probabilidad de que el área de producción de una empresa trabaje con eficiencia es de 0.80, se ha observado que el buen funcionamiento de la empresa depende en gran medida de la eficiencia del área de producción. De acuerdo con estudios realizados se estima que la probabilidad de que el área de producción sea eficiente y que la empresa tenga un buen funcionamiento es de 0.72. ¿ cuál es la probabilidad de que si producción es eficiente la empresa tenga un buen funcionamiento?

• 2.- Pruebe que la carrera de Ingeniería aumenta la proporción de hombres estudiando una licenciatura

• 3.- Pruebe que la carrera de educación aumenta la proporción de las mujeres que estudiando una licenciatura

• Una encuesta realizada a 200 trabajadores de la industria automotriz, mostró que 100 de ellos muestran ansiedad, mientras que 120 de ellos presentaron problemas de insomnio. Si consideramos que 60 de ellos presentaron ambos problemas , cuál es la probabilidad de un trabajador hay presentado ansiedad o insomnio? • Cuál es la probabilidad de que un trabajador no presente ninguno de los dos problemas?

TEOREMA DE BAYES P R O B A B I L I DA D C O N D I C I O N A L

• La probabilidad condicional se emplea cuando ya sabemos lo que ocurrió en un evento y queremos determinar la probabilidad de que otro evento ocurra , pero el primero tiene cierta influencia sobre el segundo. • La siguiente tabla nos muestra una encuesta donde se le pregunto a las personas si quería comprar un aparato electrónico así como si las personas compraron o no dicho producto.

Planea comprar

si compro

No compro

Si

200

50

no

100

650

• A veces es necesario modificar los valores de la probabilidad cuando se obtiene una actualización de los datos. • Esta probabilidad se conoce como probabilidad a posteriori • Es muy útil cuando se tiene información adicional sobre un evento. • La información adicional se refiere a características adicionales de los experimentos ( se debe hacer un diagrama de árbol)

• Para el calculo de esta probabilidad se emplea el Teorema de Bayes

TEOREMA DE BAYES • Se parte de que tenemos información a priori ( anterior), es decir ,es la información actual sobre un hecho • Sin embargo sobre el mismo hecho podemos tener información adicional o a posteriori

• P ( A/B) Probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió B ( probabilidad posteriori) • P( B/A) probabilidad de que ocurra B dado que ocurrió A • P(A) Probabilidad de que ocurra A (probabilidad a priori) • P(Ac) probabilidad de que ocurra el complemento del evento A

• En una maquiladora de circuitos, se tienen dos turnos de producción. En el primer turno (1) se produce el 68% de la producción total de la maquiladora, mientras que en el segundo turno (2) se produce el 32% • En el primer turno el 2% de su producción es defectuosa, en tanto que la producción del turno dos el 5% es defectuosa • 1.- Calcular cuál es la probabilidad de que al revisar un circuito resulte defectuoso • 2.- ¿Cuál es la probabilidad de que al revisar aleatoriamente un circuito defectuoso provenga del segundo turno?

• 1.- Para calcular la probabilidad de obtener un circuito defectuoso • Es el promedio de defectos que produce cada turno • Por lo que tenemos que ponderar el porcentaje de su producción por la probabilidad de producir un defecto de cada turno • • P(A) = Circuito defectuoso • = (0.02)((0.68) + (0.05)(0.32) = 0.0296

• 2.- La probabilidad de que al revisar aleatoriamente un circuito defectuoso provenga del turno dos • P(A) circuito defectuoso = 0.00296 • P(B) Obtener un circuito del segundo turno = 0.32 • P(A/B) Probabilidad condicional de obtener un circuito defectuoso si proviene de turno dos P(A/B)P(B) O P(AYB) / P(B) = ( 0.05)

• P(B/A) = P(A/B) P(B) •

P(A)

= (O,05)(0.32)/ 0.0296 = 0.5405

• Una fábrica productora de artículos cosméticos cuenta con tres sucursales, las cuales producen 40, 35 y 25 % del total de la producción, respectivamente. Sin embargo, en cada sucursal se presentan los siguientes porcentajes de artículos defectuosos: 4, 6 y 8% respectivamente. Si se elige aleatoriamente un artículo, calcula cual es la probabilidad • 1.- de que el articulo sea no defectuoso • 2.- si el artículo resultó defectuoso, cuál les la probabilidad de que proceda de la primera sucursal • 3.- si el artículo no resultó defectuoso, cuál es la probabilidad de que proceda de la segunda sucursal

• En una escuela universitaria , 40% de los alumnos cursan el primer año, 25% el segundo año , 20 % el tercer año y 15% el cuarto año • Como tienen el ingles obligatorio el porcentaje de asistencia es el siguiente.: el 100% en el primer año; el 40% en el segundo año y el 20% en tercer año ; el 10% en el último año • ¿Cuál es la probabilidad de que vaya a clases de ingles? • ¿Cuál es la probabilidad de que no vaya a clases de ingles? • Si se escoge a un alumno de va a Ingles , ¿ cuál es la probabilidad de que sea del segundo año? • si se escoge a un alumno que no va al ingles, ¿ cuál es la probabilidad de que sea del primer año?

• Suponga que el 5% de una población padece una enfermedad causada por ingerir productos tóxicos. Si llamamos al evento A1, tiene la enfermedad y al evento A2 no tiene la enfermedad, entonces si seleccionamos una persona al azar de dicha población la probabilidad de (A) sería 0.05. Este dato es probabilidad a priori • Si tenemos una técnica de diagnóstico para detectar la enfermedad y que de acuerdo a datos históricos tiene un 90% de efectividad cuando muestra un resultado positivo si la persona realmente tiene la enfermedad. • considere que la probabilidad de que un persona en realidad no tenga la enfermedad, pero que de resultado positivo es de 0.15. • Cuál es la probabilidad de que un persona tenga la enfermedad, dado que la prueba resulto positiva? • cuál es la probabilidad de que una persona no tenga la enfermedad dado que dio positiva en la prueba

• Una empresa que produce camisas ha advertido que su máquina 1 produce el 45% del total de camisas y la máquina 2 produce el 55%. Se observó que la máquina 1 produce sólo el 10% de camisas defectuosas y que la máquina 2 produce un 8% de camisas defectuosas. • ¿Cuál es la probabilidad de que un CAMISA que fue rechazado por mala calidad haya sido producido por la máquina 2? • ¿ Cuál es la probabilidad de que un CAMISA que fue rechazado por mala calidad haya sido producido por la máquina 1?

• Los científicos en cierta compañía se clasifican: 40% tienen doctorado; 40% tienen maestría y 20% tiene grado universitario. De aquellos con grado de doctor, el 70%son hombres; de aquellos con grado de maestría el 50 % son hombres y de los que tienen grado de licenciatura el 70% son hombres. Si se selecciona aleatoriamente a un científico, ¿ cuál es la probabilidad de que sea mujer? • Dado que la persona seleccionada es mujer, ¿cuál es la probabilidad de que tenga grado de doctor?

• Supóngase que dos procesos de producción A y B se emplean para producir partes idénticas. Se considera que las capacidades de los dos procesos son iguales. De acuerdo a registros adicionales, se sabe que el 10% de las partes producidas por A y el 5% de las de B son defectuosas. Todas las partes producidas por ambos procesos se mezclan y ya no es posibles diferenciar de dónde provienen. • Se selecciona aleatoriamente un parte producida y se descubre que es defectuosa. • Cuál es la probabilidad que hay sido producida por A? • ¿Cuál es la probabilidad de que haya producido en B?

• Un equipo de la universidad juega 70% de sus partidos por la noche y el 30% durante el día. El equipo gana 50% de sus juegos nocturnos y el 90% de los diurnos. Si el equipo ganó el último encuentro, ¿cuál es la probabilidad de que el partido se haya desarrollado por la noche?

• Una empresa de alimentos reportó que el 80% material para empaque recibido del proveedor 1es de buena calidad y que sólo el 50% del material recibido por el proveedor 2 es de buena calidad. Si el proveedor 1 sólo proporciona el 40% del material de empaque y el otro 60% lo proporciona el proveedor 2: • CUAL ES LA PROBABILIDAD DE SELECCIONAR UNA MATERIAL DE BUENA CALIDAD • CUAL ES LA PROBABILIDAD DE SELECCIONAR UNA MATERIAL DE MALA CALIDAD • Al inspeccionar un embarque se encontró un material de buena calidad , cuál es la probabilidad de que haya sido del proveedor B • Al inspeccionar un embarque se encontró que un material es de buena calidad, cuál es la probabilidad de que haya sido del proveedor A •

• Después de un proceso de mejora, el proveedor 2 ofrece ahora productos con una buena calidad de hasta el 60 % (tarea) • Al inspeccionar un embarque se encontró que un material es de buena calidad, cuál es la probabilidad de que haya sido del proveedor A

ANEXO R E S P U E S TA S Y G R Á F I C O S

TAREA EJERCICIO P-3

• Una empresa determinó la evaluación de desempeño de sus trabajadores y encontró lo siguiente: 5 de los 50 trabajadores habían terminado tarde su trabajo; 6 de los 50 habían armado productos defectuosos y dos de los que habían terminado tarde el trabajo también los habían armado productos defectuosos. El gerente de producción optó por asignar una mala calificación al desempeño cuyo trabajo presenta: entrega tarde o defectuosa. ¿Qué probabilidad hay de que asigne una mala calificación a uno de sus empleados? • P ( T U D) = P(T) + P( D) - P( L Ω D ) • = 0.1 + 0.12+ 0.04 = 0.18

TAREA • Una encuesta realizada a 200 trabajadores de la industria automotriz, mostró que 100 de ellos muestran ansiedad, mientras que 120 de ellos presentaron problemas de insomnio. Si consideramos que 60 de ellos presentaron ambos problemas , cuál es la probabilidad de un trabajador hay presentado ansiedad o insomnio? • Cuál es la probabilidad de que un trabajador no presente ninguno de los dos problemas?

EJERCICIO • La lotería nacional emplea una selección aleatoria de seis números de un grupo de 47 para determinar al ganador. Cuál es la probabilidad de ganar el sorteo eligiendo 6 números al azar. • (C 476) = 47! = (47)(46)(45)(44)(43)(42) 6!(47-6)! (6)(5)(4)(3)(2)(1) = 10 737 573 son todas las posibles combinaciones.

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

• Usted desea descifrar un código en sucesión compuesto por 4 números diferentes del cero al 9 . Cuál sería la probabilidad de que en la primera elección hecha al azar de 4 números, usted pudiera encontrar dicho código?

COMBINACIONES Y PERMUTACIONES

• Para una combinación •

C52 = 5 ! = (5)(4)(3)(2)(1) 2! (2) (1) ( 3)(2)(1) = 120/ 12 = 10

PERMUTACIÓN • Para una permutación • Donde si importa el orden de selección

• P52 = (5)(4)(3)(2)(1) (3)(2)(1) = 20