REPRESENTACIÓN Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS M. Carmen Penalva; Germán Torregrosa

1. Introducción Los objetivos que nos planteamos en este estudio se centran en dar respuesta a las dos preguntas siguientes: 1. ¿Cuáles son las características de los diferentes sistemas de representación utilizados en matemáticas que favorecen el aprendizaje de dicho conocimiento? 2. ¿De qué manera los procesos de enseñanza de las matemáticas pueden ayudar a los estudiantes a desarrollar habilidades relativas a los lenguajes de las matemáticas? Los aspectos generales que fundamentan este trabajo son: − Partimos de una orientación constructivista del proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. Consideramos las matemáticas objeto de aprendizaje y que la actividad matemática es un proceso social. Es decir, cuando “hacemos matemáticas”, adoptamos formas de hablar, razonar, observar, analizar o escribir, que hemos aprendido de nuestra comunidad, y que empleamos para construir significados. − El aprendizaje de las matemáticas implica aprender y utilizar el “lenguaje matemático” cuando se resuelven problemas en el aula y fuera del aula. − Una primera descripción del lenguaje en que están escritos los textos matemáticos, nos hace diferenciar dos tipos de signos: uno formado por signos que se ven como propios de las matemáticas y suelen denominarse artificiales o específicos (o símbolos); y otro formado por los signos de alguna lengua vernácula (lenguaje natural). Por tanto, el lenguaje usado en la enseñanza de las matemáticas difiere de los lenguajes naturales (Puig, 1994).

− Para nosotros la expresión “hablar matemáticas”, no significa hablar acerca de las matemáticas, significa hacer matemáticas a través del lenguaje. Cuando hacemos matemáticas estamos construyendo o reconstruyendo ciertos conocimientos entre personas que compartimos determinadas creencias o valores. Por ejemplo, los profesores de matemáticas pertenecemos a una comunidad de personas que hablamos el lenguaje de las matemáticas. Los alumnos, al menos por un largo periodo de tiempo, no lo hacen. − La tendencia a relacionar el aprendizaje de la matemática con los procesos de adquisición y uso del contenido matemático, más que con su construcción concepto a concepto, conduce a reformulaciones importantes acerca de los objetos de estudio y de los fenómenos que hay que observar. Este enfoque conlleva una visión constructivista del conocimiento matemático, lo cual implica que la matemática como lenguaje no es una concepción que se contraponga a concepciones constructivistas (Rojano, 1994). Desde el campo de la Educación Matemática, tenemos que ayudar a los estudiantes a que aprendan a ver la enseñanza de las matemáticas como un proceso social, y debemos introducirles, al menos parcialmente, dentro de la comunidad de personas que “hacen matemáticas”. Siempre que hacemos matemáticas, utilizamos algún tipo de representación, ya sea a través del lenguaje natural (oral o escrito) o mediante los símbolos y gráficos propios de las matemáticas. Veamos cómo los profesores y estudiantes utilizamos distintos tipos de representación, y cómo se facilita la construcción del conocimiento matemático en el aula. La primera pregunta formulada al comienzo del trabajo se contextualiza dentro de un planteamiento teórico basado, sobre todo, en estudios psicológicos y lingüísticos y del propio campo de la educación matemática, como son, las investigaciones de Kaput (1987) sobre el uso de símbolos matemáticos, o de Duval (1993) sobre representaciones semióticas.

La segunda pregunta planteada en los objetivos requiere una hipótesis sobre la naturaleza de la adquisición del conocimiento matemático en el entorno escolar y sobre los factores que posibilitan el desarrollo de dicho conocimiento, para ello utilizamos las investigaciones de Pimm (1990) y Laborde (1990). Terminamos el estudio mostrando cómo las representaciones visuales no sólo favorecen el aprendizaje de contenidos geométricos, sino también el aprendizaje de contenidos numéricos, nos basamos en la propuesta de Castro (1995, 1996, 1997).

2. Representación en matemáticas La palabra representación, según Duval (1993) tiene un doble valor en matemáticas, es a la vez importante y marginal, además es un término difícil de definir (Llinares, 1994). Una escritura, una notación, un símbolo representando un objeto matemático, las figuras geométricas,... son ejemplos de representaciones (Kaput, 1987). Queremos que los alumnos no confundan los objetos matemáticos con sus representaciones, y sabemos que toda confusión implica una pérdida de comprensión. Pero, si el objeto representado es lo que importa y no sus representaciones, ¿podemos considerarlas innecesarias? y por tanto ¿podrían eliminarse? Si los conceptos matemáticos fueran directamente accesibles a través de experiencias realizadas con los objetos “físicos”, el riesgo de confusión sería despreciable. Pero eso no es lo que ocurre, los conceptos son objetos mentales, necesitamos utilizar medios que sean audibles o visibles. Únicamente son accesibles directamente las representaciones semióticas (constituidas por el empleo de signos, son representaciones externas que se diferencian de las representaciones internas).

La distinción entre representaciones internas y representaciones externas es una distinción clásica de la epistemología. Las primeras se refieren a representaciones como contenido mental, al que se le asigna un sentido subjetivo y personal. Las segundas se refieren a todas las organizaciones de signos externos, que tienen como objetivo representar externamente una cierta realidad matemática (Dufour-Janvier, Bednarz y Belanger, 1987). Generalmente, se da mayor importancia a las representaciones internas que a las representaciones externas. Frecuentemente se considera a las representaciones semióticas como el medio de exteriorizar las representaciones internas para fines de comunicación, es decir, para hacerlas visibles o accesibles a otros. Pero según Duval (1993), eso es olvidar: − que el desarrollo de las representaciones internas no puede separarse de la interiorización de las representaciones semióticas, − que las representaciones semióticas no cumplen únicamente una función de expresión (para otros), cumplen una función de objetivación (para sí) y también una función de tratamiento (que no pueden cumplir las representaciones internas), − que algunas actividades de tratamiento están directamente ligadas a la utilización de sistemas semióticos, − que las representaciones semióticas muestran sistemas de signos diferentes. Los diferentes sistemas utilizados como sistemas de representación, en matemáticas son: las figuras, las gráficas, la escritura simbólica (sistemas de escritura de números, escritura algebraica, lenguajes formales) e inevitablemente el lenguaje natural. Es esencial para la actividad matemática que se puedan movilizar varios signos en el curso de una misma acción, o bien que se pueda elegir un signo en vez de otro. Existe pues la necesidad de cambiar de sistema de representación. La aprehensión o la producción de una representación

semiótica puede parecer más simple (o más compleja) en ciertos sistemas que en otros. Una representación funciona verdaderamente como representación, cuando da acceso al objeto representado. Duval (1993), identifica una actividad ligada a la producción de representaciones, y otra ligada a la aprehensión conceptual de los objetos matemáticos representados. Llama semiosis al primer tipo de actividad y noesis a la aprehensión conceptual de un objeto. Según Duval, para que un sistema semiótico sea un sistema de representación, debe permitir la realización de las tres actividades siguientes: 1. La identificación de la presencia de una representación. Implica una selección de rasgos en el contenido a representar. Por ejemplo, el enunciado de una frase, diseño de una figura geométrica, elaboración de un esquema, escritura de una fórmula,... 2. El tratamiento de una representación. Es la transformación de una representación en otra del mismo sistema. Es una transformación interna a un sistema. El cálculo es un forma de tratamiento propia de las escrituras simbólicas, la reconstrucción de figuras es un tipo de tratamiento de las figuras geométricas,... 3. La conversión de una representación es la transformación de esta representación en una representación de otro sistema conservando la totalidad o sólo una parte del contenido de la representación inicial. La conversión es una transformación externa del sistema de partida. Por ejemplo, la descripción es la conversión de una representación no verbal (esquema, figura, grafía) en una representación lingüística. La conversión es una transformación diferente de la del tratamiento, esto puede ser observado en una situación muy habitual, por ejemplo en cálculo: los alumnos pueden efectuar muy bien la suma de dos números con su escritura decimal y con su escritura

fraccionaria, y de ninguna forma pensar en convertir una en la otra o aún fracasar en esta conversión. Los porcentajes, las fracciones y los números decimales son representaciones distintas de los números racionales, el tratamiento en cada uno de estos sistemas es distinto. La conversión no debe identificarse con dos actividades que son, no obstante, próximas a ella: la codificación y la interpretación. La codificación es la transformación de una representación en otra representación de otro sistema semiótico término a término sin tener en cuenta el contenido del concepto representado. Una codificación es una conversión, pero no toda conversión es una codificación. Una interpretación no siempre implica una conversión de representación, a veces requiere un cambio de marco teórico. Una interpretación se fundamenta normalmente sobre una analogía. Para percibir mejor el carácter y el papel de la actividad de conversión conviene examinar lo que cubre la diversidad de los sistemas de representación. Para ello, Duval (1993) considera los siguientes hechos: 1. El recurso de utilizar varios sistemas de representación parece característico del pensamiento humano si se le compara con la inteligencia animal, por una parte, y con la inteligencia artificial por otra. 2. El progreso de los conocimientos siempre se acompaña de la creación y del desarrollo de sistemas semióticos nuevos y específicos, que más o menos coexisten en el primero de ellos, el lenguaje natural. Generalmente, se proponen dos respuestas para explicar la necesidad del uso de una diversidad de sistemas de representación para el desarrollo del pensamiento humano. Dichas respuestas se centran en los costes de tratamiento y en las limitaciones representativas

específicas de cada sistema. Duval (1993), propone una tercera centrada en la formación de conceptos. − Primer respuesta: La economía del tratamiento. La existencia de varios sistemas permite cambiar de signos, y ese cambio de signos tiene como finalidad efectuar tratamientos de una manera más económica y más poderosa. En matemáticas esta respuesta se da generalmente en el encuentro con la lengua natural. Quizás, el recelo latente respecto a la lengua natural en matemáticas encuentra aquí su verdadero origen. − Segunda respuesta: La complementariedad de los sistemas. Esta respuesta está más centrada sobre las posibilidades propias de cada sistema semiótico. Un lenguaje no ofrece las mismas posibilidades de representación que una figura o un diagrama. Ello quiere decir que toda representación es parcial en referencia a lo que ella representa, y que de un sistema a otro puede que no sean los mismos aspectos de un contenido los que son representados. − Tercera respuesta: La formación de conceptos implica una coordinación de sistemas de representación. La idea generalmente admitida es que si el sistema de representación es escogido correctamente, las representaciones en ese sistema son suficientes para permitir la comprensión del contenido conceptual representado. La comprensión reposa sobre la coordinación de al menos dos sistemas de representación, y esta coordinación se manifiesta por la rapidez y la espontaneidad de la actividad cognoscitiva de conversión. Concepto representado

Representante

Representante

de un sistema

de otro sistema

(Esquema simplificado de Duval (1993), pág. 129)

La coordinación de varios sistemas es necesaria para que a cada representación (véase esquema), le corresponda un funcionamiento cognoscitivo efectivo. Naturalmente, la ausencia de coordinación no impide cierta comprensión. Cuando en el momento de un cambio de sistema, hay una congruencia entre la representación de partida y la representación de llegada, la conversión es trivial y podría casi ser considerada, intuitivamente, como una simple codificación. Pero cuando no hay congruencia no sólo la conversión se vuelve costosa en tiempo de tratamiento, sino que puede convertirse en un problema sobre el que no hay ningún control. Entonces la posibilidad de una conversión ni siquiera se considera. Si la formación de conceptos implica una coordinación de sistemas de representación, entonces un reto importante en el aprendizaje de las matemáticas no puede ser, solamente, la automatización de ciertas técnicas operatorias (cálculo) sino que debe ser también, la coordinación de los diferentes sistemas de representación. La coordinación de los sistemas aparece como la condición fundamental para todos los aprendizajes básicos. No es seguro que proponer ejercicios locales de conversión permita favorecer esta coordinación que parece estar ligada a una toma de conciencia y a una objetivación más global que la objetivación local que permite cada representación particular. Bajo esta perspectiva, parecen imponerse tareas de identificación y discriminación de elementos significativos en distintas representaciones, y tareas de producción de representaciones complejas. Las tareas más complejas se refieren naturalmente a la actividad de conversión, en la cual la representación de partida es un enunciado en lengua natural (un texto). Por tanto, no se debe descartar o relegar la lengua natural, parece ser un sistema tan fundamental como los

demás. El lenguaje natural no puede excluirse de la actividad matemática, en el campo de las matemáticas es un sistema tan importante como cualquier otro, y en una situación de aprendizaje de las matemáticas, hasta más importante que otros.

3. Algunos usos del lenguaje en matemáticas y en clase de matemáticas Este apartado está relacionado con la diversidad de aspectos que se dan en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Esta diversidad origina complejas e indisolubles relaciones entre el lenguaje (natural o simbólico) y los aspectos sociales y conceptuales de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Como ya hemos indicado, el lenguaje natural sólo es uno de los recursos que utiliza nuestra comunidad para construir significados. No representa la totalidad de los medios a través de los cuales hacemos matemáticas, pero es el más importante y el modelo para entender el resto. La enseñanza de las matemáticas tiene que hacer frente a la aparente contradicción de que necesita el lenguaje natural para introducir a los estudiantes nuevos contenidos, y que este lenguaje puede volverse un obstáculo de comprensión para los estudiantes. Primero hacemos algunas consideraciones que hacen referencia al lenguaje oral. Hablar y analizar con los estudiantes sobre los significados del contenido desarrolla la pericia lingüística y el conocimiento matemático. Pimm (1990) analiza la metáfora de “las matemáticas son un lenguaje” con el objetivo de arrojar luz sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, afirma que bajo dicha hipótesis, la competencia comunicativa se convierte en una cuestión primordial. Cobran relevancia cuestiones relativas a cómo se modifica el lenguaje cuando se comunican o perciben ideas matemáticas.

Una propuesta derivada de la consideración de la enseñanza de las matemáticas como enseñanza de un lenguaje, podría consistir en un cambio del centro de atención, del estudio de un sistema abstracto regido por reglas, que resalta las formas escritas, a la adquisición de competencia comunicativa sobre determinados objetos o situaciones, dándole importancia al lenguaje oral. También con objeto de analizar el papel del lenguaje en el aprendizaje de las matemáticas, Laborde y colaboradores (1990) consideran los elementos fundamentales de una situación de aprendizaje, es decir, el contenido que se enseña, el estudiante considerado desde el punto de vista social y cognitivo, y el profesor. Parten de una aproximación constructivista: el interés no sólo se centra en la adquisición del conocimiento matemático, sino también en el desarrollo de habilidades lingüísticas. Esto significa que el objeto de estudio no es el discurso, en sí mismo (el del profesor, el del alumno o el del libro), sino que el discurso se considera como una actividad en un contexto dado y en un entorno social. En esta actividad el que habla mezcla: − concepciones sobre el contenido matemático, − conocimiento del lenguaje en general, y − características de la situación dada (momento y lugar donde se desarrolla la actividad, si el objetivo es convencer o informar,...) Estos elementos constituyen lo que lingüísticamente se llama una situación enunciativa. Generalmente, la persona que habla construye un significado dentro de una situación enunciativa. Sin embargo, a veces, sus expresiones no son transparentes, si bien, de acuerdo con una amplia opinión, el discurso matemático se supone que debe ser claro y no

ambiguo. Comprender estas expresiones requiere al interlocutor operaciones mentales que implican relacionar varios elementos de la situación de discurso mencionados anteriormente. Existen usos específicos del lenguaje natural oral en la enseñanza de las matemáticas que dependen de la situación enunciativa. Por ejemplo, la forma en que un profesor habla en la clase de matemáticas, difiere del lenguaje utilizado en los libros. Las palabras del profesor contienen más proposiciones implícitas, más ambigüedades, que a menudo pueden ser clarificadas por los significados que presenta, por sus gestos, y por posibles respuestas a preguntas que hagan los estudiantes. Esta clase de lenguaje recurre a la repetición como discurso oral, mientras que los textos matemáticos evitan la redundancia y pretenden una presentación concisa y compacta. Si bien el aprendizaje de los estudiantes está condicionado por el discurso del profesor, hemos de ser conscientes que en un contexto de discurso no podemos ser totalmente explícitos y al mismo tiempo inteligibles. No existe la manera de definir cada palabra y que cada palabra alternativa sea explícita y no sea ambigua. Intentar hacerlo es ir en contra de la naturaleza básica del lenguaje como forma de comunicación y como una herramienta para crear significados. En cada caso tenemos que aprovecharnos de la flexibilidad del lenguaje. En nuestro papel como profesores, necesitamos aprender a evocar los procesos que queremos que se utilicen. Como profesores tenemos a nuestra disposición la enorme ventaja del diálogo, tenemos la oportunidad de compartir con nuestros alumnos significados y lograr una mejor comunicación para hablar matemáticas juntos y más efectivamente. Queremos indicar también que aunque hay una tendencia a promover la interacción oral entre los estudiantes en las clases de matemáticas, y sobre todo en el contexto de la resolución de problemas, Laborde (1990) indica que no está garantizada una solución

positiva, debida únicamente a la interacción entre los estudiantes, la diferencia de desarrollo y de dominio del lenguaje afectan la interacción y su efecto en el proceso de resolución. A pesar de que en el discurso oral se pueden presentar más dificultades de comprensión de los estudiantes, la interacción verbal promueve el desarrollo de aspectos sociales del proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. La discusión en clase siempre debe tener los siguientes objetivos principales: ayudar a conocer cuáles son las ideas de los estudiantes, aclarar significados y proporcionar a los estudiantes destreza oral. En segundo lugar, como ya hemos indicado, las expresiones matemáticas escritas se basan en el lenguaje natural y en sistemas de signos externos al lenguaje natural, junto con cifras que se combinan con reglas específicas. En determinados niveles también aparecen letras formando expresiones simbólicas que están inmersas en sentencias escritas en lenguaje natural. Pimm (1990) indica que estos símbolos son arbitrarios y que el grado de relación que tienen con los referentes se debe, sobre todo, a un punto de vista histórico. Considera cuatro clases principales de símbolos convencionales, que son: − “Ideogramas” (logogramas, tales como 1, 3, +, −, < , %,∈) − Pictogramas (son iconos geométricos, por ejemplo ∠ , ∇, ◊) − Símbolos de puntuación (por ejemplo : para denotar a:b, f: A→b, x∈N :x ≥ 10) − Símbolos alfabéticos (a, b, c,... A, B,... o del alfabeto griego α, β, γ,...) En la mayoría de los sistemas de escritura hay ciertas relaciones estructurales (como son el orden, la posición, el tamaño relativo, la orientación y la repetición) que permiten a los símbolos combinarse para producir nuevos símbolos compuestos. También hay que tener en cuenta que en los textos de matemáticas se usan ciertas construcciones sintácticas que raramente se usan en el lenguaje natural, entre otras, el modo pasivo y denominaciones

complejas. El doble objetivo de “conciso y preciso”, implica, a veces, el uso de una secuencia de palabras complementarias (por ejemplo, mínimo común múltiplo). La densidad y complejidad del lenguaje natural, así como el uso de símbolos específicos de las matemáticas, no se corresponden con los hábitos lingüísticos de los escolares. Las relaciones entre el lenguaje natural y los sistemas simbólicos usados en aritmética o álgebra han sido el centro de interés de numerosas investigaciones. En muchas de ellas el papel de la comprensión del lenguaje se ha centrado en el contexto de la resolución de problemas. En la etapa escolar los textos que los estudiantes tienen que leer en el aula de matemáticas, prácticamente se reducen a los enunciados de los problemas que han de resolver. En la resolución de problemas procesar la información verbal contribuye a la construcción de representaciones internas. Las representaciones internas correspondientes al enunciado del problema forman el primer estadio de competencia. En los problemas verbales comprender lo que se requiere resolver, implica comprender el enunciado de un problema dado en forma oral o escrita. Las palabras de los problemas influencian las representaciones de los problemas y por tanto las estrategias de resolución. El carácter especial de los textos de los problemas verbales conlleva una interpretación que difiere de la interpretación de la misma secuencia narrada o en un discurso. Las principales variables que se deben tener en cuenta son: − cómo se expresan las relaciones entre elementos conocidos y desconocidos, y en particular, el grado en que se hacen explícitas, − el orden de las unidades de información, − el grado de atracción de algunas expresiones o palabras (denominadas erróneamente palabras clave) − la complejidad de la sintaxis y del vocabulario.

Se sabe muy poco sobre la forma en que los estudiantes leen textos matemáticos y aprenden de ellos. A menudo a los estudiantes no se les enseña explícitamente a leer, escribir o hablar matemáticas debido a que estas actividades parecen naturales en el desarrollo de la materia. Leer, por ejemplo, que a menudo se percibe como una actividad pasiva, conlleva una construcción activa de significado. Los educadores lo haríamos mejor si fuésemos más conscientes de lo que cuesta entender la materia cuyo aprendizaje estamos tratando de facilitar y si tuviésemos un conocimiento más profundo de la epistemología del tema que queremos transmitir. Una dificultad de comprensión no se puede resolver actuando solamente sobre los aspectos formales de la comunicación. Tenemos que acudir también a las fuentes de los contenidos. Conocer otras formas de pensar y razonar por parte del profesor puede conducir a un estilo distinto de comunicación entre éste y el alumnado, a mejores y más fructíferos contenidos de discusión.

4. Representación del conjunto de los números naturales Como hemos indicado la combinación de diferentes sistemas de representación, favorece una mejor comprensión de los conceptos matemáticos. Veamos a título de ejemplo los distintos sistemas de representación que proponen Rico, Castro y Romero (1996) para el sistema de los números naturales: ∗ Sistema de numeración decimal. El uso del sistema de numeración decimal para expresar los números naturales es un hecho que se ha consolidado a través de la historia, es un sistema socialmente aceptado y cuyo aprendizaje se potencia en las escuelas. El principio básico del sistema de numeración decimal es que todo número se puede expresar como suma de potencias de 10. El sistema de numeración decimal es útil para representar números y facilita las

operaciones que se pueden realizar con ellos. Ahora bien, los números no se consideran como entidades separadas, sino como entidades entre las que existen relaciones y se pueden operar (Rico, 1995), estas características de los números no se perciben a partir de su expresión decimal. ∗ Análisis aritmético. El objetivo de la aritmética es estudiar las operaciones de los números y sus propiedades. El aprendizaje de la aritmética en nuestro sistema educativo se sitúa en los primeros cursos escolares. Los niños a partir de operaciones y de estrategias de cálculo aprenden hechos numéricos. Por ejemplo 2×5, se puede expresar como (5+1)+(5-1), como 6+4,... El análisis aritmético de un número permite expresarlo de formas distintas. ∗ Sistemas gráficos. Los números naturales se pueden representar en una semirrecta graduada orientada. El origen de la semirrecta se identifica con el cero y a partir de él a una distancia unidad, sucesivamente, se representan el resto de números. Con este sistema de representación se percibe el carácter “discreto” de los números naturales, se puede contar progresiva y regresivamente, etc. 0

1

2

3

4

∗Configuraciones puntuales. Los pitagóricos dieron forma geométrica a los números a partir de configuraciones puntuales o números figurados. Una configuración puntual consiste en la representación gráfica de un conjunto finito de puntos, dispuestos con una determinada intención, normalmente formando figuras geométricas. Este sistema de representación está caracterizado por: (1) un único símbolo, el punto; (2) un espacio estructurado para representar (trama cuadrada o isométrica), y (3) una forma de organizar la cantidad de puntos, regularidades, simetrías,... (Castro, 1995). De esta

forma se obtiene un sistema de representación para los números naturales bastante diferente de los demás sistemas. Al ser un sistema visual ofrece todas las ventajas de dicho tipo de sistemas, por ejemplo, es más intuitivo. • • • • • •

6= 1 + 2+ 3

1. El uso de configuraciones puntuales facilita un progreso en la capacidad aritmética de los alumnos que reciben tal modelo de enseñanza. 2. El uso de configuraciones puntuales facilita el dominio de un tópico matemático cual es sucesiones numéricas (Castro, 1995, pág. 106). 5. Referencias bibliográficas Castro, E. (1995). Exploración de patrones numéricos mediante configuraciones puntuales. Granada: Comares. Castro, E.; Castro, E. (1997). Representaciones y Modelización. En Rico (Coord.), La Educación Matemática en la Enseñanza Secundaria, 95-124. Barcelona: ICE Universitat de Barcelona - Horsori. Dossey, J.A. (1992). A history of research in Mathematics Education. In Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning, 39-48. New York: Macmillan Publishing Company. Duval, R. (1993). Semiosis y noesis. En Sánchez y Zubieta (Eds.), Lecturas en Didáctica de las Matemáticas: Escuela Francesa, 118-144. México: Departamento de Didáctica Educativa del CINVESTAV-IPN.

Dufour-Janvier, B.; Bednarz, N.; Belanger, M. (1987). Pedagogical considerations concerning the problem of representation. In Janvier (Ed.), Problems of representation in the teaching and learning of Mathematics, 109-122. Hillsdale: LEA. Hiebert, J.; Carpenter, T.P. (1992). Learning and teaching with understanding. In Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning, 65-97. New York: Macmillan Publishing Company. Kaput, J.J. (1987). Representation Systems and Mathematics. In Janvier (Ed.), Problems of representation in the teaching and learning of Mathematics, 19-26. Hillsdale: LEA. Laborde, C. (1990). Language and Mathematics. In Nesher and Kilpatrick (Eds.), Mathematics and cognition, 53-69. Cambridge: Cambridge University Press. Lemke, J.L. (1997). Aprender a hablar ciencia. Lenguaje, aprendizaje y valores. Barcelona: Paidós. Llinares, S. (1994). Los aprendices y las matemáticas. En Santaló y otros, La enseñanza de las matemáticas en la educación intermedia, 183-225. Madrid: Rialp. Pimm, D. (1990). El lenguaje matemático en el aula. Madrid: MEC-Morata. Puig, L. (1994). Semiótica y Matemáticas. Valencia: Utopías, col. Episteme. Rico, L.; Castro, E.; Romero, I. (1996). The role of representation systems in the learning of numerical structures. In Puig and Gutiérrez (Eds.), Proceedings of the 20th Conference of the International Group for the P.M.E., 1, 87-102, Valencia. Rojano, T. (1994). La matemática escolar como lenguaje. Nuevas perspectivas de investigación y enseñanza. Enseñanza de las Ciencias, 12(1), 45-56.

REPRESENTACIÓN Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

Resumen

En el presente trabajo se analizan las principales características de los diferentes sistemas de representación utilizados en matemáticas. Se hace hincapié en la importancia que dichos sistemas tienen en el aprendizaje de las matemáticas, abordando posibles implicaciones didácticas que promueven el uso de los diferentes lenguajes de las matemáticas.

M. Carmen Penalva Martínez y Germán Torregrosa Gironés Área de Didáctica de la Matemática Facultad de Educación. Universidad de Alicante. e-mail: Carmina.Penalva ua.es

German.Torregrosa ua.es