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Representar números Análisis de datos y probabilidad

Las mat emáticas en contex to

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Las matemáticas en contexto es un currículo exhaustivo para los grados intermedios. Se desarrolló entre 1991 y 1997 en colaboración con el Wisconsin Center for Education Research (Centro de Investigación Educativa de Wisconsin), Facultad de Educación, de la Universidad de Wisconsin-Madison y el Freudenthal Institute (Instituto Freudenthal), de la Universidad de Utrecht, Países Bajos, con el apoyo del subsidio n.º 9054928 de la National Science Foundation (Fundación Nacional para las Ciencias). La revisión curricular se realizó entre los años 2003 y 2005, con el apoyo del subsidio n.º ESI 0137414 de la National Science Foundation.

National Science Foundation Las opiniones expresadas pertenecen a los autores y no reflejan necesariamente las de la Fundación.

Boswinkel, N., Niehaus, J., Gravemeijer, K., Wijers, M., Dekker, T., Middleton, J. A., Spence, M. S., Burrill, G. y Milinkovic, J. (2006). Representar números. Wisconsin Center for Education Research y Freudenthal Institute (Eds.), Las matemáticas en contexto. Chicago: Encyclopædia Britannica, Inc.

Copyright © 2006 Encyclopædia Britannica, Inc. Reservados todos los derechos. Impreso en los Estados Unidos de América. Este trabajo está protegido por las actuales leyes estadounidenses de propiedad intelectual, que rigen también su uso público, su presentación y otros usos aplicables. Queda prohibido cualquier uso no autorizado por la ley de propiedad intelectual de los Estados Unidos sin nuestro expreso consentimiento escrito, que incluye, aunque no exclusivamente, su copia, adaptación y transmisión televisiva o por otros medios o procesos. Para obtener mayor información con respecto a una licencia, escriba a Encyclopædia Britannica, Inc., 331 N. La Salle St., Chicago, IL 60610. ISBN 0-03-093042-1 1 2 3 4 5 6 073 09 08 07 06

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Equipo de desarrollo de Las matemáticas en contexto Desarrollo 1991–1997 Nina Boswinkel, Jansie Niehaus y Koeno Gravemeijer desarrollaron la primera versión de Representar números. La adaptación para su uso en las escuelas estadounidenses es de James A. Middleton, Mary S. Spence, Gail Burrill y Jasmina Milinkovic.

Wisconsin Center for Education

Personal del Freudenthal Institute

Personal de investigación Thomas A. Romberg

Joan Daniels

Pedro Jan de Lange

Director

Ayudante de dirección

Director

Gail Burrill

Margaret R. Meyer

Els Feijs

Martin van Reeuwijk

Coordinadora

Coordinadora

Coordinadora

Coordinador

Sherian Foster James A. Middleton Jasmina Milinkovic Margaret A. Pligge Mary C. Shafer Julia A. Shew Aaron N. Simon Marvin Smith Stephanie Z. Smith Mary S. Spence

Mieke Abels Jansie Niehaus Nina Boswinkel Nanda Querelle Frans van Galen Anton Roodhardt Koeno Gravemeijer Leen Streefland Marja van den Heuvel-Panhuizen Jan Auke de Jong Adri Treffers Vincent Jonker Monica Wijers Ronald Keijzer Astrid de Wild Martin Kindt

Personal del proyecto Jonathan Brendefur Laura Brinker James Browne Jack Burrill Rose Byrd Peter Christiansen Barbara Clarke Doug Clarke Beth R. Cole Fae Dremock Mary Ann Fix

Revisión 2003–2005 Monica Wijers y Truus Dekker desarrollaron la versión revisada de Representar números. La adaptación para su uso en las escuelas estadounidenses es de Gail Burrill.

Wisconsin Center for Education

Personal del Freudenthal Institute

Personal de investigación Thomas A. Romberg

David C. Webb

Jan de Lange

Truus Dekker

Director

Coordinador

Director

Coordinadora

Gail Burrill

Margaret A. Pligge

Mieke Abels

Monica Wijers

Coordinadora editorial

Coordinadora editorial

Coordinadora del contenido

Coordinadora del contenido

Margaret R. Meyer Anne Park Bryna Rappaport Kathleen A. Steele Ana C. Stephens Candace Ulmer Jill Vettrus

Arthur Bakker Peter Boon Els Feijs Dédé de Haan Martin Kindt

Nathalie Kuijpers Huub Nilwik Sonia Palha Nanda Querelle Martin van Reeuwijk

Personal del proyecto Sarah Ailts Beth R. Cole Erin Hazlett Teri Hedges Karen Hoiberg Carrie Johnson Jean Krusi Elaine McGrath

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© 2006 Encyclopædia Britannica, Inc. Las matemáticas en contexto y el logotipo de Las matemáticas en contexto son marcas registradas de Encyclopædia Britannica, Inc. Créditos de las fotografías de la portada: (izquierda, derecha) © Getty Images; (medio) © Corbis Ilustraciones v Christine McCabe/© Encyclopædia Britannica, Inc.; 1 Holly Cooper-Olds; 6 Christine McCabe/© Encyclopædia Britannica, Inc.; 26, 28, 37, 41 Holly Cooper-Oldss Fotografías 1 © Corbis; 3 © Louis K. Meisel Gallery, Inc./Corbis; 4 Sam Dudgeon/HRW; 7 © Bettmann/Corbis; 10 Victoria Smith/HRW; 11 © Corbis; 12 Victoria Smith/HRW; 13 (de izquierda a derecha) © Corbis; Sam Dudgeon/HRW; 16 © Corbis; 17 (de izquierda a derecha) © Comstock, Inc.; Allan Munsie/Alamy; Jenny Thomas Photography/HRW Photo; 19 © Corel; 21 © Brand X Pictures; (de izquierda a derecha) © Corbis; © Joe McDonald /Corbis; 25 Fotosonline/Alamy; 29 © Corbis; 32 © Annie Griffiths Belt/Corbis; 35, 36 © Corbis; 38 Dennis MacDonald/ Alamy; 39 © Corbis; 40 © PhotoDisc/Getty Images

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Contenido Carta al alumno

Sección A

Uso de gráficas de barras Volantes Canicas ¿Por cuánto tiempo? Basura Resumen Verifica tu trabajo

Sección B

1 3 4 6 8 9

n sus ¿Cómo pasa ? as on rs las pe

vacaciones

Visitan a la familia/ los amigos 30% Viajan/ 17% Visitan lugares de interés Se quedan 26% a en cas 21%

6%

s/ Sin vacacione no saben co Centro turísti invierno de verano/de

Un pedazo de la torta Indicadores de combustible ¿Cómo pasan sus vacaciones las personas? Recolección de datos Maneras de viajar a la escuela Programas de televisión Las gráficas dicen mucho Resumen Verifica tu trabajo

Sección C

VI

toria de Muestra alea

686 adultos

10 Norte

11 12 13 15 16 18 19

15% 12% 9% 6% 3%

Oeste

Este

Una imagen vale más que mil palabras Sur

Barras o líneas: ¿lo entiendes? Temperatura Tres clubes deportivos Combinación de gráficas Resumen Verifica tu trabajo

32 38 39 42 46

Práctica adicional

47

Respuestas para verificar tu trabajo

51

Clima de la isla Albatros ⴗC 30

mm/m2 500

20

400

10

300

0

200

–10

100

–20

Precipitación

Sección D

21 22 25 26 28 30 30

Temperatura

Tu profesión La gata y la ratona La media y la moda Lanzar dardos Irse de vacaciones Resumen Verifica tu trabajo

0 E F M A M J J A S O N D

Mes

Contenido V

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Querido alumno: ¿Puedes representar números? A veces, una representación de los números de un problema hace que las cosas sean más fáciles de entender. En la unidad Representar números de Las matemáticas en contexto, descubrirás maneras diferentes de representar c. números. Las representaciones te ayudan a decir algo sobre los números y sobre lo que representan, como los volantes entregados, el combustible en el indicador Vacío de un tanque y los programas de televisión preferidos. Observarás gráficas de barras y diagramas lineales. Harás una representación llamada gráfica lineal para mostrar cómo cambian las temperaturas de un intervalo de tiempo al siguiente. Camada

Lleno

Número de crías en una camada

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

Crearás tablas parecidas a tortas para describir los resultados de tus propias encuestas.

B C

X X X X

D E

También empezarás a describir una distribución de datos mediante algunos números de resumen, como el máximo, el mínimo, la media y la moda. Aprenderás a pensar en la palabra promedio como la media de un conjunto de números.

F G H I J K L M

X X X X

N O

Al final, deberás entender algo sobre la manera en que las representaciones describen los números y qué tipos de representaciones te ayudan a comprender situaciones diferentes.

X X X

X X

P Q R

Atentamente. El equipo de desarrollo de Las matemáticas en contexto

VI

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Uso de gráficas de barras

Volantes En el mundo, el número de ballenas disminuye rápidamente. Pedro, Carmenza y Ana quieren hacer algo al respecto. Ganan dinero entregando volantes de publicidad en las casas. Por cada volante que entregan, reciben cinco centavos, que donan a la World Wildlife Fund (Fondo Mundial para la Naturaleza).

Hoy, Pedro entregó 100 volantes; Carmenza, 200 y Ana, 50. 1. ¿Cuánto dinero ganaron los tres? Elena, Ámbar, Juan y Diego también entregaron volantes. En la tabla, puedes ver cuántos entregó cada uno de ellos. 2. ¿Cuántos volantes se entregaron en total?

Estudiante Número de volantes entregados

Pedro Carmenza 100

200

Ana

Juan

Ámbar

Elena

Diego

50

50

100

250

250

Sección A: Uso de gráficas de barras 1

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A Uso de gráficas de barras Pedro mostró la información sobre el número de volantes en la gráfica que está a continuación. La llamó gráfica de una barra.

Elena

Diego

Carmenza

Pedro

Ámbar Ana Juan

3. a. Nombra una ventaja de la gráfica de una barra de Pedro, comparada con la tabla. b. Nombra una desventaja de la gráfica de una barra de Pedro, comparada con la tabla.

Número de volantes entregados

Número de volantes entregados 300

También puedes presentar los datos de la tabla en una gráfica de barras, que utiliza una barra para cada categoría, en lugar de una sola barra, como hizo Pedro. En una gráfica de barras, todas las barras tienen el mismo ancho.

250 200 150 100 50 0

ro nza Ped arme C

r

n Jua Ámba

a

An

na

Ele

go

Die

Estudiantes

4. a. ¿Qué forma de presentar el número de volantes entregados prefieres, la tabla o la gráfica de barras? ¿Por qué? b. Reflexiona Piensa en otra forma de ordenar las barras de la gráfica. ¿Qué ventaja tiene tu nueva gráfica con respecto a la que está arriba? Una gráfica de barras tiene dos ejes: un eje vertical y un eje horizontal. En esta gráfica, el eje vertical te muestra cuántos volantes se entregaron. El eje horizontal te muestra quiénes los entregaron. Una gráfica necesita rótulos y un título que diga de qué trata. También podrías hacer una gráfica de barras que muestre cuánto dinero ganó cada estudiante. 5. a. ¿Cómo sería esta gráfica? b. ¿En qué se parecería a la gráfica que muestra el número de volantes entregados? 2 Representar números

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Uso de gráficas de barras A

Canicas Las gráficas de barras se pueden usar para comparar el tamaño o la cantidad de distintas cosas. En esta gráfica, el eje horizontal identifica las cosas que se comparan (estudiantes). El eje vertical indica cuántas (canicas).

Canicas de los estudiantes

40 30 20

Mónica

Elena

Juana

Alicia

Pedro

Marcos

0

Rosalía

10

Steve

Número de canicas

50

Estudiantes Aquí puedes ver que Steve tiene cinco canicas. Imagina que también sabes que: • • • • • • •

Rosalía tiene dos veces más canicas que Steve. Marcos tiene cuatro veces más canicas que Rosalía. Pedro tiene cuatro canicas más que Steve. Alicia tiene tantas canicas como Steve. Juana tiene cinco canicas menos que Rosalía. Elena perdió todas las canicas que tenía. Mónica tiene tantas canicas como Rosalía.

Sección A: Uso de gráficas de barras 3

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A Uso de gráficas de barras 6. Con la información de la página 3, completa la gráfica de barras de la Hoja de actividad del estudiante 1. 7. a. ¿Quién tiene la mayor cantidad de canicas? ¿Cuántas son? b. ¿Quién tiene la menor cantidad? ¿Cuántas son? c. Explica cómo obtuviste tus respuestas. José halló otra forma de mostrar cuántas canicas tiene cada persona. Observa su dibujo, llamado pictograma.

Steve

Rosalía

8. Haz una gráfica que muestre cuántas canicas tiene cada estudiante. Haz tu gráfica diferente de la gráfica de José y de la que aparece en la Hoja de actividad del estudiante 1. Asegúrate de rotular todo lo que aparezca en tu gráfica.

¿Por cuánto tiempo? Elena está segura de que puede pararse en un pie durante mucho tiempo. Desafía a Tomás, y él está de acuerdo en ver quién puede permanecer así por más tiempo. Pero dice que tienen que estar parados en un pie ¡con los ojos cerrados! 9. Reflexiona ¿Crees que hay alguna diferencia si tienen los ojos abiertos o cerrados? Sí o no, ¿por qué?

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Actividad Pide a un compañero que anote cuántos segundos puedes pararte en un pie con los ojos cerrados. Escribe el número de segundos en una nota autoadhesiva. Luego, calcula por cuánto tiempo puede hacer esto un compañero. Una forma de representar los datos de tu clase es anotarlos en una recta numérica. Tu maestro ha hecho una recta numérica en el pizarrón. Pega tu nota autoadhesiva en el punto apropiado de la recta numérica. Esta forma de representar números se denomina diagrama lineal o diagrama de puntos.

Usa el diagrama lineal que tu clase hizo en el pizarrón para responder a las preguntas de la 10 a la 13. 10. a. Describe cuánto tiempo los estudiantes de tu clase pueden pararse en un pie con los ojos cerrados. b. ¿Qué tiempos parecen ser los más comunes? c. ¿Cuál es el rango de tiempos de tu clase? 11. a. ¿Qué tiempos parecían estar en el medio? b. ¿Fue alguien capaz de permancer así durante mucho tiempo? ¿Por cuánto tiempo? Y ¿durante muy poco tiempo? ¿Por cuánto tiempo? El diagrama lineal es una gráfica de la longitud del tiempo en que todos tus compañeros pueden estar parados en un pie con los ojos cerrados. Probablemente, muchos de ustedes tienen tiempos que están muy juntos. 12. a. Agrupa los tiempos que están juntos y di qué le sucede al diagrama. b. En la Hoja de actividad del estudiante 2, completa la tabla con los datos de tu clase. ¿Son diferentes los grupos que hay en la tabla de los grupos elegidos que están en el pizarrón? 13. Completa la gráfica de la Hoja de actividad del estudiante 2 con los datos de tu tabla. Observa que las barras de esta gráfica tienen que estar dibujadas una junto a la otra. El ancho de todas las barras tiene que ser igual.

Sección A: Uso de gráficas de barras 5

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A Uso de gráficas de barras Tu gráfica será diferente de la gráfica hecha con las notas autoadhesivas. 14. Reflexiona Explica en qué es diferente la gráfica nueva. ¿Qué ventajas tiene esta gráfica con respecto al diagrama lineal? ¿Qué desventajas tiene? Imagina que eres un entrenador de gimnasia y estás buscando estudiantes que tengan muy buen equilibrio. 15. Escribe un informe breve sobre la cantidad de tiempo que los estudiantes de tu clase pueden estar parados en un pie con los ojos cerrados.

Basura ¿Has pensado alguna vez cuánto tiempo dura la basura si se la deja descomponer por sí sola? Pedro, Carmenza y Ana hallaron esta información en Internet.

Basura

Periódico

1 año

Cáscara de naranja

2 años

Medias de lana

5 años

Cuero

50 años

Botella de plástico

450 años

Botella de vidrio

6 Representar números

Tiempo para descomponerse

1 millón de años

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Uso de gráficas de barras A “Dibujemos una gráfica de barras grande para nuestro salón, así hacemos que los estudiantes tomen conciencia de este problema", sugiere Pedro. 16. Reflexiona Explica por qué no es buena la idea de Pedro. 17. ¿Cómo harías un cartel que ayude a tus compañeros a pensar dos veces antes de tirar algo? Usa la información de la tabla. 18. Halla dos ejemplos de datos, que no se hayan mencionado en esta sección, que se puedan presentar: I.

en una gráfica de barras;

II.

en una gráfica lineal.

Historia de las matemáticas Benjamin Banneker (1731-1806) Benjamin Banneker fue científico, astrónomo, inventor y escritor autodidacta. Fue uno de los primeros afroamericanos que obtuvo una distinción en las ciencias, distinción que usó para hacer campaña contra la esclavitud. Cuando Banneker tenía 21 años, desarmó el reloj de bolsillo de un vecino, dibujó sus piezas y lo volvió a armar. Luego talló en madera una gran réplica de cada pieza e hizo un reloj. El reloj funcionó, dando cada hora durante más de 40 años. En 1773, Banneker empezó a hacer cálculos astronómicos que le permitieron pronosticar exitosamente un eclipse solar para 1789.

En 1791, el presidente George Washington contrató a Banneker para que ayudara a Andrew Ellicott a medir el Territorio Federal de 10 millas cuadradas (hoy, Washington, D.C.) para hacer el trazado de la nueva capital de los Estados Unidos. Banneker es más conocido por sus seis Almanaques del granjero, publicados anualmente entre 1792 y 1797. Los almanaques incluían información sobre medicina y tratamiento médico, e incluía mareas, información astronómica y eclipses. Todos los cálculos de los almanaques los hizo el mismo Banneker. Sección A: Uso de gráficas de barras 7

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A Uso de gráficas de barras

Las tablas y las gráficas se pueden usar para describir una gran variedad de situaciones. Las gráficas toman la información y la resumen de una manera que es fácil de leer. Pueden mostrar el número de canicas que tiene una persona, el tiempo que los estudiantes de tu clase pueden permanecer parados en un pie o casi todo lo que quieras. También pueden ayudarte a ver qué cosas son parecidas, qué cosas son las más comunes, qué cosas caen en el medio y a qué distancia están las cosas. Para hacer que una gráfica sea legible, rotúlala con cuidado. Rotula los ejes y ponle un título a la gráfica. En esta sección, aprendiste sobre gráficas de barras, pictogramas y diagramas lineales. Las gráficas de barras son para los datos que puedes colocar en categorías pero, en la gráfica, las categorías se pueden poner en cualquier orden. Todas las barras de una gráfica de barras tienen el mismo ancho. Número de volantes entregados Número de volantes entregados

300 250 200 150 100 50 0 Pedro Carmenza

Ana

Juan

Ámbar

Elena

Diego

Estudiantes Un diagrama lineal muestra datos que pueden ser cuantificados o descritos con números sobre una recta numérica. En una recta numérica, se hace una marca por cada punto de dato.

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1. a. Halla una gráfica de barras en un periódico o una revista, y describe lo que muestra. b. ¿Pueden presentarse de manera diferente los datos que encontraste? ¿Cómo? Neville y Sonia crearon este diagrama lineal.

X X X X

X X X X X X X X X

X X X

X X

X

Se olvidaron de rotular los ejes y de darle un título. 2. a. ¿Qué te dice esta gráfica sobre los datos que reunieron Neville y Sonia? b. Copia y rotula la gráfica, de manera que se ajuste a una situación que tenga sentido para los datos. Deporte preferido

Número de estudiantes de sexto grado

Número de estudiantes de séptimo grado

Fútbol americano

4

8

Basquetbol

6

6

Tenis

8

3

Natación

3

2

Otro

4

6

3. Usa los datos presentados en la tabla para crear gráficas de barras que comparen los deportes preferidos de los alumnos de sexto y de séptimo grado.

¿Por qué, frecuentemente, los periódicos usan gráficas para presentar la información?

Sección A: Uso de gráficas de barras 9

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Un pedazo de la torta

Indicadores de combustible a.

b.

Vacío

Lleno

d.

Vacío

c.

Lleno

e.

Vacío

Lleno

Vacío

Vacío

Lleno

f.

Lleno

Vacío

Lleno

1. El tanque de combustible a está medio lleno. ¿Qué tan lleno está cada uno de los otros tanques? 2. Si un tanque lleno contiene 40 litros de combustible, ¿cuánto combustible hay cuando el indicador tiene cada una de las lecturas mostradas? (Pista: el primer tanque tiene 20 litros de combustible.) Catalina vive en Nashville, Tennessee. Mónica, su amiga, se mudó a Atlanta, Georgia. Un día, Catalina viajó a Georgia para visitar a Mónica. Desafortunadamente, olvidó lo caro que es el combustible y ¡gastó todo su dinero para llenar el tanque! Catalina se preguntó si lograría llegar desde Nashville hasta Atlanta con un solo tanque de combustible. Y si podría volver a casa otra vez ¡sin comprar combustible!

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Un pedazo de la torta B 3. En la Hoja de actividad del estudiante 3, marca los indicadores de combustible como se señala en los siguientes enunciados.

Nashville

E E T E N N E S S

a. Cuando Catalina salió de su casa, el tanque estaba casi lleno. Atlanta

Vacío

G E O R G I A

Lleno

b. Después de 110 kilómetros, se había consumido alrededor de un cuarto del combustible. c. A mitad de camino hacia Atlanta, estaba vacío más de la mitad del tanque. d. Cincuenta y cinco kilómetros después, sólo quedaban tres octavos de tanque. e. ¿Qué crees que sucedió? Completa el relato.

¿Cómo pasan sus vacaciones las personas? Las revistas y los periódicos presentan la información de diferentes maneras. La gráfica circular que está a la izquierda muestra un típico ejemplo del uso de porcentajes. Frecuentemente, las personas usan porcentajes para mostrar fracciones o partes de algo. El todo equivale al 100 %. 4. a. ¿Qué número representa el 100 % en esta encuesta? b. ¿A cuántas personas representaría el 50 %? Sin vacaciones/ no saben

tu Ce ve ríst ntro r ic in ano o d vi / e 17 ern de % o

6%

Se quedan en casa 21%

Visitan a la familia/los amigos 30% Viajan/Visitan lugares de interés 26%

Muestra aleatoria de 686 adultos

5. ¿Qué te dice esta gráfica? 6. Aproximadamente, ¿qué fracción de las personas de la encuesta viaja y visita lugares de interés? 7. Aproximadamente, ¿cuántas personas encuestadas dijeron que, cuando están de vacaciones, visitan a los amigos o a la familia? 8. Reflexiona Las gráficas como la que se muestra en esta página se denominan gráficas circulares. ¿Por qué crees que se las llama gráficas circulares? Sección B: Un pedazo de la torta 11

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B Un pedazo de la torta

Recolección de datos Frecuentemente, los datos expresados en las gráficas se reúnen mediante una encuesta. En una encuesta, se hacen preguntas a las personas sobre un tema, y se cuentan sus respuestas. Para presentar los resultados de una encuesta, se puede usar una gráfica circular. Los estudiantes de la Escuela Intermedia Lakeside encuestaron a un grupo aleatorio de 60 alumnos. Estos son algunos resultados.

Pregunta I ¿Cómo llegas a la escuela? Respuestas En autobús ............ 30 A pie ..................... 14 En bicicleta ............. 8 En carro ................. 8

Pregunta II ¿Cuál es tu bebida preferida?

personas personas personas personas

Respuestas Refresco de cola ....... 1 del grupo 3 Limonada ................. 1 del grupo

6 Refresco de uvas ...... 1 del grupo 4 Refresco de raíces .... 1 del grupo 6 1 del grupo Otra ........................ 12

9. ¿Qué crees que significa la palabra aleatorio?

4

12

60

10

10. a. Elige un círculo de la Hoja de actividad del estudiante 4 que te ayude a hacer una gráfica circular para la pregunta I. Usa el círculo para hacer una gráfica circular para la pregunta I. b. Haz lo mismo para la pregunta II. c. Describe los resultados de la encuesta. 12 Representar números

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Actividad Al igual que los estudiantes de la Escuela Intermedia Lakeside, vas a reunir datos. Los datos que reúnas en esta actividad se usarán en el resto de la unidad. Instrucciones Para cada categoría de la Hoja de actividad del estudiante 5, encierra en un círculo la palabra o la frase que te parece más adecuada. Cuando todos hayan terminado, recorta todos los cuadrados y colócalos en urnas; una urna para cada pregunta. Cuando llegues a los lugares apropiados de la unidad, entonces puedes usar los datos de cada pregunta.

Maneras de viajar a la escuela La clase del señor Ramírez, de la Escuela Intermedia San Juan, está estudiando el transporte. Tuvieron una discusión acerca de cómo viajan los estudiantes a la escuela.

Ángela: Demasiados estudiantes hacen que sus padres los lleven a la escuela en carro. El tráfico adicional lo hace peligroso. Además, todos los carros causan contaminación.

Brian: Muchos estudiantes viajan en autobús, y los autobuses también causan contaminación.

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B Un pedazo de la torta El señor Ramírez decidió encuestar a los estudiantes para averiguar cómo van a la escuela. Quiere saber qué parte de los estudiantes va a la escuela en carro y qué parte toma el autobús. Estas son las respuestas a su pregunta de la encuesta.

Estudiante Pedro Jean Shu Yi Paulo Susana Hiroko Brian Harry Joe Ester Ángela

Transporte Autobús Bicicleta Carro Carro Carro A pie Autobús Carro Autobús A pie A pie

Estudiante Juan Steve Martín Jorge Julia Roberto Arden Bill Dominik Cathy Jill

Transporte A pie Carro Carro A pie A pie Carro Carro A pie Carro Bicicleta Bicicleta

11. Organiza los datos que reunió el señor Ramírez en una tabla nueva que sea fácil de comprender. Otra forma de organizar los datos es hacer una gráfica de barras. 12. Crea una gráfica de barras que facilite la comprensión de estos datos. No te olvides de rotular los ejes y de agregarle un título a la gráfica.

Transporte a la escuela

A pie

Autobús Bicicleta

Carro

La gráfica circular muestra la información de la tabla de otra manera. 13. Mira la gráfica circular. ¿Te dice lo mismo que la tabla? Sí o no, ¿por qué? 14. a. Compara la gráfica de barras que hiciste con la gráfica circular. ¿Cuál usarías para solucionar el desacuerdo entre Brian y Ángela? ¿Por qué? b. ¿Usarías un diagrama lineal para mostrar los datos? Sí o no, ¿por qué?

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Un pedazo de la torta B La compañía de autobuses ha decidido cambiar la ruta escolar a no ser que, por lo menos, el 25% de los estudiantes vaya en autobús a la escuela. 15. ¿Cumple la clase del señor Ramírez con la regla del 25% de la compañía de autobuses? Sí o no, ¿por qué? Después de la discusión en la clase del señor Ramírez, Arden, Susana, Steve y Martín deciden tomar el autobús que va a la escuela. 16. a. ¿Qué porcentaje de la clase irá ahora en autobús a la escuela? ¿Cambiará la compañía de autobuses la ruta escolar? b. Reflexiona La compañía de autobuses quiere aumentar el número de estudiantes que viaja en autobús. ¿Cuáles son algunas de las razones para viajar en autobús que la compañía podría dar a los estudiantes y a las familias? Saca los datos que recogiste sobre las formas en que los estudiantes de tu clase van a la escuela. 17. a. ¿Cumplen los datos de tu clase con la regla del 25% de la compañía de autobuses? b. ¿Crees que tienes suficiente información para dar una idea de cuántos estudiantes de tu escuela viajan en autobús? Explica. 18. a. ¿Qué número representa el 25% de tu clase? b. ¿Es este número equivalente al 25% de la clase del señor Ramírez? Explica.

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B Un pedazo de la torta

Programas de televisión Una cadena de televisión quiere saber qué tipo de programas les gusta más a las personas. Para averiguarlo, contrató a una compañía que realizó una encuesta a unas mil personas. Las personas eligieron los tipos de programas que se muestran en esta página.

Preferencias televisivas del espectador

Noticias e información

Programas para niños

La gráfica circular muestra los resultados de la encuesta. 19. a. Calcula la fracción de personas que prefieren los programas para niños. b. ¿A cuántas personas equivale aproximadamente?

Películas y entretenimiento

c. En tu cuaderno, copia y completa la siguiente tabla. Usa la gráfica circular como ayuda. Tipo de programa

Fracción calculada

Número de personas

Deportes

Noticias e información Películas y entretenimiento Deportes Programas para niños

20. Compara los resultados de la encuesta de la cadena con los resultados de tu clase. ¿Cuáles son las semejanzas y las diferencias?

Las gráficas dicen mucho Las gráficas de barras apiladas y las gráficas circulares se pueden usar para decir lo mismo de manera diferente. Todos los años, la Escuela Intermedia Monroe organiza un día de deportes. Los estudiantes pueden elegir entre seis deportes diferentes: fútbol, basquetbol, ciclismo, softbol, patinaje y voleibol. Las gráficas de barras apiladas y las gráficas circulares muestran los resultados de una encuesta a cuatro clases.

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Un pedazo de la torta B

21. Con tus propias palabras, explica lo que es una gráfica de barras apiladas. 22. Relaciona cada gráfica de barras apiladas con la gráfica circular que dice lo mismo. Prepárate para explicar tus elecciones. Clase 1

a

b

c

d

Clase 2

Clase 3

Clase 4

Deportes preferidos Fútbol

Softbol

Basquetbol

Patinaje

Ciclismo

Voleibol

23. Examina los datos que reuniste en clase sobre los deportes preferidos. Con tus datos, haz una gráfica circular, una gráfica de barras o una gráfica de barras apiladas. 24. Reflexiona ¿Cuáles son las ventajas y las desventajas de cada uno de estos tres tipos de gráficas? ¿Qué gráfica usaste? ¿Por qué? 25. Cuenta lo que dicen las gráficas para la clase 2. 26. Reflexiona Basándote en tus datos, ¿qué deportes incluirías si organizaras un día de deportes para tu clase?

Sección B: Un pedazo de la torta 17

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B Un pedazo de la torta

En esta sección, estudiaste las gráficas circulares, las gráficas de barras y las gráficas de barras apiladas. Una gráfica circular es un círculo dividido en secciones o “pedazos de una torta”. Cada pedazo representa una categoría de datos. El tamaño del pedazo indica qué fracción o porcentaje de toda la torta es esa categoría. Cada parte de la gráfica circular está rotulada, o una leyenda junto a la gráfica indica lo que significa cada parte. ¡No te olvides del título! Intérpretes preferidos de los estudiantes de New Eastland

Valhalla

Referencias Alternatives

25,000 votos o 36%

José García

15,000 votos o 21%

The Smashers

20,000 votos o 29%

Valhalla

10,000 votos o 14%

Alternatives The Smashers

José García

Una gráfica de barras apiladas es una barra que representa la cantidad total. La barra está dividida en partes que muestran la fracción o parte de las categorías diferentes que constituyen la cantidad total. Intérpretes preferidos de los estudiantes de New Eastland 0

25,000

15,000

20,000

10,000 70,000

Alternatives José García The Smashers Valhalla

Las gráficas dicen mucho sobre los datos que representan. Las distintas gráficas representan los datos de maneras diversas, así que dicen cosas diferentes. El tipo de gráfica que usas depende de lo que quieras decir acerca de una situación.

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Las dos gráficas representan los resultados de una encuesta sobre la clase de mascotas que prefieren las personas.

Mascotas preferidas 30

Número de personas

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25

Mascotas preferidas 20 Otros

15

Pájaros

Perros

10 Peces

5

Gatos

0 Perros Peces Gatos Pájaros Otros

Mascotas 1. Reflexiona ¿Pueden representar las dos gráficas los mismos datos? Explica por qué. 2. a. Piensa en una pregunta sobre datos que pueda responderse mejor usando la gráfica de barras. b. Piensa en una pregunta sobre datos que pueda responderse mejor usando la gráfica circular.

Sección B: Un pedazo de la torta 19

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B Un pedazo de la torta Esta es una tabla que muestra los resultados de una encuesta sobre juegos de computadora, que se hizo entre los alumnos de la Escuela Intermedia Western.

3. a. Crea una gráfica que diga algo sobre estos datos. Explica por qué usaste esa gráfica. b. ¿Qué juego de computadora es el más popular? ¿Cómo se indica esto en tu gráfica?

Empieza a escribir un resumen de los distintos tipos de gráficas que hay en la unidad y complétalo mientras trabajas con el resto de la unidad. Nombra las características de cada gráfica mientras las anotas en tu resumen.

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C

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Una imagen vale más que mil palabras

Tu profesión Raisa piensa que, cuando crezca, va a ser médica. Se pregunta qué quieren ser los demás estudiantes de su clase. Raisa encuestó a sus compañeros. Basándose en los resultados de la encuesta, dibujó este pictograma. Objetivos de carreras Maestro

Clave ⴝ Una

Vendedor

persona

Piloto

Médico

1. ¿Por qué crees que esta gráfica se denomina pictograma? 2. ¿Cuántos estudiantes de la clase de Raisa quieren ser maestros? 3. ¿Cuántos estudiantes hay en cada una de las otras categorías? Resultados de la encuesta de los estudiantes Maestro ..................... 63 Vendedor ................... 47 Piloto ......................... 40 Médico ...................... 33 Otros ......................... 73

La clase de Raisa decidió reunir datos de todos los estudiantes de la escuela. Los resultados están en la tabla. 4. Haz un pictograma para representar los datos. 5. a. Haz un pictograma de los datos sobre las profesiones que reuniste con tu clase. b. ¿Cuántos de tus compañeros quieren ser maestros? 6. Compara las gráficas que hiciste en los problemas 4 y 5. ¿En qué se parecen? ¿En qué se diferencian? Explícalo. Sección C: Una imagen vale más que mil palabras 21

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C Una imagen vale más que mil palabras En las secciones anteriores, estudiaste las gráficas de barras. 7. a. ¿Por qué alguien elegiría usar un pictograma en lugar de una gráfica de barras? b. Reflexiona ¿Qué gráfica prefieres: una gráfica de barras o un pictograma? Explícalo.

La gata y la ratona

¿Qué animal tiene más crías por camada, una ratona o una gata? Gracia y Houng quisieron averiguarlo. Primero, reunieron los datos. Preguntaron a todas las personas de la escuela que tienen ratonas o gatas si sus mascotas tuvieron cría alguna vez o no, y si tuvieron, cuántas crías hubo en la camada. Gracia y Huong reunieron los siguientes datos sobre 18 ratonas y 12 gatas.

Ratona

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R

Número de crías en una camada

4 8 9 3 7 6 9 8 5 5 8 9 8 3 9 5 4 7

Gata

A B C D E F G H I J K L

Número de crías en una camada

4 6 3 5 5 3 8 3 7 5 4 10

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Una imagen vale más que mil palabras C Para entender mejor esta situación, Gracia y Houng hicieron pictogramas.

Número de crías en una camada

Camada 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Número de crías en una camada

Camada 1

A

A

B

B

C

C

D

D

E

E

F

F

G

G

H

H

I

I

J

J

K

K

L

L

2

3

4

5

6

7

8

9 10

M N O P Q R

Gracia: Huong: Me parece que, como promedio, las gatas tienen más crías. Incluso hay una gata que tuvo 10 crías. Definitivamente, es la gata.

No estoy de acuerdo. Me parece que son las ratonas, porque no tuvieron tantas camadas con tres o cuatro crías.

8. Reflexiona ¿Qué crees tú? ¿Qué animal, generalmente, tiene más crías?

Sección C: Una imagen vale más que mil palabras 23

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C Una imagen vale más que mil palabras

Gracia: Número de crías en una camada

Quiero ver cuántas crías tuvo, como promedio, cada ratona. Volvamos a dibujar las gráficas.

Camada 1

2

3

4

5

6

7

8

9

A B C

X X X X

D E F G H

X X X

I J K L M

X X X X

N O

X X

P Q R

9. ¿Qué hizo Gracia? Haz lo mismo para las gatas en la Hoja de actividad del estudiante 6. Gracia llegó a la conclusión de que las ratonas tienen alrededor de seis crías cada una y que las gatas tienen alrededor de cinco crías. 10. ¿Estás de acuerdo con Gracia? 11. Trata de ser más preciso que “alrededor de seis crías” o “alrededor de cinco crías”. Explica tu razonamiento. 12. Reflexiona Algunas especies de animales, para sobrevivir, necesitan muchos descendientes. ¿Por qué crees que los ratones podrían necesitar tener más crías que los gatos?

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Una imagen vale más que mil palabras C

La media y la moda La media resume en un solo número un grupo de datos, que muestra qué sería cada uno si su suma total se dividiera entre todos. Observa las camadas de diez perras de una raza conocida como terrier Jack Russell.

Perra Cantidad de cachorros

Fifi 4

Queenie Dominó Chiquita 3

3

4

Kasey

Ginger

Belle

Truly

Cookie

Lady

2

2

3

2

4

3

—Si los cachorros se dividieran por igual en diez camadas —preguntó Huong—, ¿cuántos tendría cada perra? —¡Tres! A eso se le llama media, o promedio —respondió Gracia—. 13. ¿Es cierto que la media es de tres cachorros por camada? Explica cómo lo comprobaste. Youri usó otra forma para hallar la media. —Sumé todos los cachorros —explicó Youri—. Luego tomé el número total de cachorros y lo dividí por el número total de perras. Hay 30 cachorros y 10 perras, entonces la media es 30 ⴜ 10 ⴝ 3. 14. Reflexiona ¿Crees que la estrategia de Youri funciona siempre? Sí o no, ¿por qué? 15. a. Usa los datos reunidos en tu clase para hacer una gráfica llamada “Nuestra clase de música preferida”. Elige tu propio tipo de gráfica y explica tu elección. b. Reflexiona ¿Puedes hallar la media de la clase de música que prefieren en tu clase? Sí o no, ¿por qué? Otro resumen de un solo número para un grupo de datos es la moda, la observación más frecuente. En el conjunto de datos que usaste para el problema 15, es la clase de música elegida con mayor frecuencia. 16. ¿Qué clase de música eligieron con mayor frecuencia en tu clase? Sección C: Una imagen vale más que mil palabras 25

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C Una imagen vale más que mil palabras

Lanzamiento de dardos La Escuela Intermedia DeKalb tiene una competencia de lanzamiento de dardos. Cada grado elige un equipo para las finales de la escuela. Estas son las reglas para elegir los miembros del equipo. • Debes lanzar el dardo, por lo menos, tres veces. • No puedes lanzar más de diez veces. • Se deben anotar todos los lanzamientos. • Para tener la posibilidad de estar en el equipo, la media de todos tus lanzamientos debe ser, por lo menos, de 35 puntos.

La escuela usa una diana especial. El centro de la diana vale 45 puntos. Cada sección vale el número de puntos que se muestra. El anillo exterior vale cero puntos. 17. Si lanzas un dardo y obtienes 34 puntos, ¿cuál tiene que ser tu siguiente lanzamiento para compensar, de modo que la media por los dos lanzamientos sea, por lo menos, de 35? 18. Si, por el contrario, tu siguiente lanzamiento vale 32 puntos, ¿cuántos puntos tendrías que hacer en el tercer lanzamiento? 19. El primer lanzamiento de Jamal valió 30 puntos. Después de dos lanzamientos más, se clasificó. ¿Cuáles podrían haber sido los puntos para los dos siguientes lanzamientos?

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Una imagen vale más que mil palabras C Estos son los lanzamientos de Michelle.

28 29 30 35 36 36 40 40 45

20. ¿Se clasificará Michelle? Estos son los lanzamientos de Tirza.

25 30 32 35 39 45

21. Si Tirza quiere clasificarse en su siguiente lanzamiento, ¿cuántos puntos tiene que lograr? Hacia el final del período de clasificación, habían clasificado para las finales de la escuela tres alumnos de sexto grado.

Miguel 36 38 30 33 37 33 33 39 32 45 Resci 36 36 29 28 38 40 32 40 40 Siu 35 36 32 34 36 34 37 40

Cada grado puede tener, como máximo, dos competidores. 22. ¿A quién elegirías? Haz un diagrama lineal para cada estudiante, para que te ayude a tomar una decisión. En la competencia final, el ganador promedió 43 puntos en cinco lanzamientos. 23. Da dos posibilidades para los puntos que el ganador obtuvo en cada uno de los cinco lanzamientos.

Sección C: Una imagen vale más que mil palabras 27

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C Una imagen vale más que mil palabras

Irse de vacaciones

En el verano, muchas personas se van de vacaciones. Algunas quieren ir a un lugar soleado donde puedan nadar y hacer surf. Para ayudar a las personas a decidir a dónde ir, las agencias de viaje preparan folletos con información sobre la temperatura, las precipitaciones y la cantidad de luz solar en diferentes países. Imagina que una gráfica de barras muestra las temperaturas del mediodía durante un septiembre en Paraíso, un centro turístico popular. Septiembre en Paraíso 120

Temperatura (ºF)

100

80

60

40

20

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Día

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Una imagen vale más que mil palabras C 24. Reflexiona Si trabajaras para una agencia de viajes y quisieras hallar un solo número para describir la temperatura de septiembre en Paraíso, ¿qué número elegirías? 25. ¿Cuál crees que fue la temperatura media en septiembre? (No tienes que ser exacto.) 26. Dibuja una recta horizontal en la gráfica de la Hoja de actividad del estudiante 7 para marcar la temperatura media en septiembre. a. Compara el número de días que están por encima de la temperatura media con el número de días que están por debajo de la temperatura media. b. Reflexiona ¿Esperas que el número de días que están por encima de la temperatura media sea igual al número de días que están por debajo de la temperatura media? Sí o no, ¿por qué? 27. Reflexiona Explica cómo se puede usar la compensación para hallar la temperatura promedio de septiembre.

Sección C: Una imagen vale más que mil palabras 29

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C Una imagen vale más que mil palabras

Los pictogramas usan dibujos para representar números. Cuando haces un pictograma, tienes que decidir qué cantidad de una cosa representa cada dibujo. Miembros de clubes deportivos

Club de softbol

1970

1990 Club de fútbol

Clave

1980 ⴝ 10 miembros

1970 1980 1990

Club de natación

1970 1980 1990

Los datos representados en los pictogramas se pueden representar también con otros tipos de gráficas, como gráficas de barras, gráficas circulares o diagramas lineales. La media, o promedio, es un solo número, que resume un conjunto de datos, que resulta de “dividir” el total de la suma de los datos entre todas las partes involucradas. Puedes hallar la media usando una estrategia de compensación o hallando el total y dividiendo. La moda es otro resumen de un solo número para un conjunto de datos. La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en el conjunto de datos.

30 Representar números

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Kay, una detallista en cuanto a la exactitud, abrió diez cajas de tachuelas y contó la cantidad que había en cada caja. Encontró los siguientes números de tachuelas en las 10 cajas. 104, 100, 98, 99, 103, 97, 100, 102, 98, 103 1. a. ¿Qué te mostraría un diagrama lineal sobre el número de tachuelas que hay en cada una de las cajas que contó Kay? b. Halla el número medio de tachuelas. Explica tu razonamiento. c. Kay cree que el número medio de tachuelas no puede ser un número decimal. Explica por qué Kay está equivocada. 2. Kay tuvo que describir a su maestro el número de tachuelas por caja. ¿Cuál podría haber sido su descripción? Tamesha, Randi, Suoko, Valeria y Tim decidieron hacer un fondo común para ver cuánto podría gastar cada uno en un libro de historietas. La tabla muestra cuánto dinero tenía cada uno al principio. 3. a. ¿Cómo sugerirías que dividieran el dinero para ver cuánto podría gastar cada uno si fueran a gastar cantidades iguales?

Cantidad de dinero Tamesha

$1.40

Randi

$0.75

Suoko

$2.15

Valeria

$1.65

Tim

$3.30

b. ¿Cómo se relaciona este problema con hallar la cantidad media o promedio del dinero que tienen?

Imagina que un artículo de un periódico describe el número promedio de puntos que un jugador de basquetbol gana por partido. ¿Qué crees que quiere decir el artículo con la palabra promedio?

Sección C: Una imagen vale más que mil palabras 31

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D

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Barras o líneas: ¿lo entiendes?

Temperatura El quince de febrero de 1936, en Dakota del Norte, ¡la temperatura tuvo un récord mínimo de 60 grados bajo cero! 1. a. En tu cuaderno, haz un dibujo de un termómetro que indique esta temperatura. b. ¿Cuál es la temperatura de hoy, ahora, fuera de tu salón de clases? Dibuja un nuevo termómetro que indique esta temperatura.

Algunos alumnos de sexto grado colocaron un termómetro fuera de la escuela en un lugar sombreado. Registraron la temperatura cada hora durante el día escolar. La tabla muestra los datos que reunieron.

Temperaturas durante el horario escolar Hora

32 Representar números

Temperatura (ºF)

9:00 a.m.

75

10:00 a.m.

78

11:30 a.m.

83

12:00 p.m.

88

1:00 p.m.

93

2:00 p.m.

94

3:00 p.m.

90

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Barras o líneas: ¿lo entiendes? D Esta es la manera en que los estudiantes representaron sus datos en una gráfica. Temperaturas durante el horario escolar 100 90 80

Temperatura (en ºF)

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70 60 50 40 30 20 10

9:00 a.m.

10:00 a.m.

11:00 a.m.

12:00 p.m.

1:00 p.m.

2:00 p.m.

3:00 p.m.

Hora

2. a. Los estudiantes olvidaron registrar la temperatura de las 11:00. En su lugar, la midieron a las 11:30. En la Hoja de actividad del estudiante 8, agrega la temperatura que te parece que tendrían que haber registrado a las 11:00 a.m. b. En la Hoja de actividad del estudiante 8, relaciona los extremos de cada temperatura de la gráfica mediante segmentos de recta. La nueva gráfica que creaste se denomina gráfica lineal o diagrama de trazado en el tiempo. Esta gráfica muestra cómo cambió la temperatura durante el día. Frecuentemente, se usa una gráfica lineal para mostrar la manera en que las cosas (como la temperatura) cambian a lo largo del tiempo. 3. Si los estudiantes midieron la temperatura cada media hora, ¿cómo cambiaría la gráfica lineal? Y ¿si la midieron cada cuarto de hora?

Sección D: Barras o líneas: ¿lo entiendes? 33

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D Barras o líneas: ¿lo entiendes? Para la siguiente gráfica, la temperatura se midió cada minuto a lo largo de un día. Lunes 1 de junio

Temperatura (ºF)

100 90 80 70 60 50 40

2 a.m.

4 a.m.

6 a.m.

8 a.m.

10 a.m. 12 p.m.

2 p.m.

4 p.m.

6 p.m.

8 p.m.

10 p.m.

12 a.m.

Hora

4. ¿Cuál fue la temperatura más alta de este lunes? ¿Cuál fue la temperatura más baja? La temperatura más alta se denomina temperatura máxima. La temperatura más baja se denomina temperatura mínima. 5. ¿Varió mucho la temperatura este lunes? ¿Cuál fue la diferencia entre la temperatura máxima y la mínima? 6. ¿Qué sabes sobre la temperatura máxima para el martes? ¿Qué sabes sobre la temperatura mínima? Esta gráfica muestra las temperaturas diarias de enero para un año determinado en Madison, Wisconsin.

50 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 –10 –20

7. ¿Qué puedes decir sobre las temperaturas de enero a partir de la gráfica? 34 Representar números

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Barras o líneas: ¿lo entiendes? D La parte superior de cada barra representa la temperatura máxima medida ese día. La parte inferior de cada barra representa la temperatura mínima medida ese día. 8. ¿Cuáles fueron las temperaturas máxima y mínima del 22 de enero? El artículo de un periódico dijo:

En Madison, la temperatura fue inferior a cero ocho veces en el último mes.

9. ¿Cuáles son las fechas a las que se refiere el artículo? 10. Calcula el número de días en que la temperatura mínima estuvo por encima del punto de congelación en enero de ese año. 11. ¿En qué día ocurrió el mayor cambio de temperatura? Y ¿el menor cambio? ¿Cómo puedes decirlo a partir de la gráfica? 12. Escribe un breve artículo periodístico que describa la gráfica. Usa tus respuestas a las preguntas anteriores y ten en cuenta las siguientes. • ¿Cuándo fue más alta la temperatura máxima diaria? • ¿Cuándo fue más baja la temperatura máxima diaria? • ¿Cuándo fue más alta la temperatura mínima diaria? • ¿Cuándo fue más baja la temperatura mínima diaria?

Sección D: Barras o líneas: ¿lo entiendes? 35

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D Barras o líneas: ¿lo entiendes? Esta tabla muestra las temperaturas promedio típicas para cada mes en 15 lugares de vacaciones.

Temperaturas promedio típicas (ºF) Lugar de vacaciones

E

F

M

A

M

J

J

A

S

O

N

D

Acapulco

88

88

88

88

89

90

91

91

90

90

90

89

Antigua Aruba

80 83

80 84

80 84

82 86

90 88

90 88

90 88

90 91

89 91

89 90

89 89

83 86

Cancún

84

85

88

91

94

92

92

91

90

88

86

82

Cozumel

84

85

88

91

94

92

92

91

90

88

86

82

Gran Caimán

88

87

86

88

88

89

90

91

91

89

88

88

Ixtapa

89

90

92

93

89

88

89

90

91

91

90

89

Jamaica

86

87

87

88

90

90

90

90

89

89

89

87

Los Cabos

73

74

79

83

88

93

95

93

92

89

82

74

Manzanillo

77

78

82

86

83

88

93

95

93

92

89

74

Mazatlán

73

74

79

83

84

92

94

92

92

90

85

71

Nassau

76

76

78

80

84

88

89

90

88

84

81

79

Puerto Vallarta

76

77

81

85

83

88

93

95

93

92

89

75

St. Martin/St. Kitts

80

81

82

83

86

86

86

87

87

86

85

84

Islas Vírgenes de EE. UU.

80

81

82

83

88

88

90

90

88

87

86

86

13. Basándote en las temperaturas de la tabla de arriba, ¿dónde preferirías ir de vacaciones en enero? ¿Por qué? 14. a. Usa la tabla para hacer diagramas lineales individuales para las temperaturas de Los Cabos e Ixtapa. b. Compara los dos diagramas. Explica las diferencias de las temperaturas en estos dos centros turísticos. 15. ¿Es importante usar la misma escala para crear los diagramas lineales del problema 14a? Sí o no, ¿por qué? 16. a. En el título de la tabla, ves las palabras temperaturas promedio típicas. ¿Por qué crees que se calcula la temperatura promedio para un mes? b. ¿En qué se asemejan y en qué se diferencian las temperaturas anuales medias en Los Cabos e Ixtapa? 36 Representar números

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Barras o líneas: ¿lo entiendes? D En una gráfica, puedes trazar las temperaturas medias típicas para cada mes. Puesto que los puntos separados pueden ser confusos si en la gráfica se presenta más de un centro turístico, los puntos están relacionados por líneas rectas y se usan distintos tipos de puntos. La gráfica que se muestra aquí es una gráfica lineal de las temperaturas en tres de las áreas turísticas de la tabla que está en la página 36.

Temperaturas promedio típicas 100

Diciembre

Noviembre

Octubre

Septiembre

Julio

Junio

Mayo

Agosto

= ?

Abril

= ?

70

Marzo

= ?

80

Febrero

Clave

90

Enero

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Temperaturas promedio típicas (ºF)

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Mes

17. La clave de esta gráfica está incompleta. Calcula qué zonas turísticas representan estas líneas. Escríbelas en tu cuaderno. 18. ¿Cuál de estas tres áreas turísticas tiene el mejor clima? ¿Por qué crees que es así? Describe los cambios de temperatura a lo largo de un año para esa área. 19. Busca en un almanaque o visita la oficina meteorológica local para hallar las temperaturas típicas de tu ciudad. Describe los cambios de temperatura a lo largo de un año para tu ciudad.

Sección D: Barras o líneas: ¿lo entiendes? 37

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D Barras o líneas: ¿lo entiendes?

Tres clubes deportivos Las gráficas de barras y los pictogramas pueden resumir rápidamente los datos, pero no son muy útiles si quieres responder a preguntas como: “¿Cuál creció más a lo largo de los años?”. Newville tiene varios clubes deportivos. La tabla muestra el número de miembros en tres clubes deportivos para diferentes años.

Número de miembros del club por año Club deportivo Año

Softbol

Fútbol

Natación

1970

45

130

60

1980

100

200

90

1990

135

240

120

2000

150

250

130

En la Hoja de actividad del estudiante 9, ves el comienzo de una gráfica lineal. 20. a. ¿Qué crees que representan los tres puntos que están en la gráfica? b. Traza los otros puntos para el club representado aquí. Conecta los puntos con segmentos de recta. 21. Traza los datos para los otros clubes de la Hoja de actividad del estudiante 9 y dibuja los segmentos de recta que los conectan. Si lo deseas, usa colores diferentes para cada gráfica o usa distintos tipos de puntos. 22. ¿Te ayuda la gráfica a decidir qué club creció más rápido? 23. Si observas cuántos miembros nuevos se unieron a un club en este período de 30 años, ¿qué club creció más? 24. Si observas cuántas veces el número total de miembros de 2000 es mayor que el total de 1970, ¿qué club creció más? 25. a. Basándote en tus respuestas a los problemas 22, 23 y 24, ¿qué club te parece que creció más? b. Reflexiona ¿Por qué se eligió un trazado en el tiempo para representar la información? 38 Representar números

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Barras o líneas: ¿lo entiendes? D

Combinación de gráficas A veces, distintos tipos de gráficas se combinan para representar la información. Esto puede ayudarte también a ver una relación entre diferentes conjuntos de datos.

Esta gráfica muestra la temperatura media y la cantidad de precipitaciones para cada mes del año en la isla de los Araos, situada en el Pacífico noroeste. La curva representa la temperatura en grados Celsius. Las barras indican la precipitación en milímetros por metro cuadrado (mm/m2).

ⴗC 30

mm/m2 500

20

400

10

300

0

200

–10

100

–20

Precipitación

Temperatura

Clima de la isla de los Araos

0 E F M A M J J A S O N D

Mes

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D Barras o líneas: ¿lo entiendes? 26. a. ¿Ves una relación entre la temperatura y la precipitación en la isla de los Araos? Explícalo.

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mm/m2 500

20

400

10

300

0

200

–10

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Precipitación

Temperatura

Clima de la isla de los Araos

b. ¿Es posible que las gráficas que se hacen con ejes verticales dobles sean confusas? Explica tu razonamiento.

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Mes

27. Escribe una breve descripción del clima de la isla de los Araos. Da razones que apoyen tu descripción. 28. ¿En qué época del año recomendarías a los turistas que visitaran la isla de los Araos si supieras que quieren recorrerla a pie?

Otra isla, la isla Albatros, es rocosa y la azotan los vientos. Está cubierta de pasto tussock, que crece hasta nueve pies de alto. En la isla, habita una gran colonia de cría de albatros de ceja negra, así como numerosos pingüinos de penacho amarillo.

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Barras o líneas: ¿lo entiendes? D La gráfica muestra la temperatura media y la cantidad de precipitación para cada mes del año en la isla Albatros. La curva representa la temperatura en grados Celsius. Las barras indican la precipitación en milímetros por metro cuadrado.

Clima de la isla Albatros ⴗC 30

mm/m2 500

20

400

10

300

0

200

–10

100

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Precipitación

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Temperatura

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Mes

29. Compara el clima de la isla Albatros con el clima en la isla de los Araos. 30. Según las condiciones climáticas, ¿qué isla, te parece, atraería a más turistas como refugio natural, la isla de los Araos o la isla Albatros? Explícalo.

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D Barras o líneas: ¿lo entiendes?

En esta sección, aprendiste a hacer una gráfica lineal para mostrar un cambio en el tiempo. Una gráfica lineal o diagrama de trazado en el tiempo muestra cómo los números cambian en circunstancias diferentes. Cuando, en una gráfica, una línea baja a medida que el tiempo avanza, hay otra cosa (como la temperatura o el número de personas) que disminuye; cuando, en una gráfica, una línea sube a medida que el tiempo avanza, hay otra cosa que crece. Las gráficas pueden ayudarte a ver patrones y tendencias, y son útiles para tomar decisiones. El número menor de un conjunto de datos se llama mínimo. El número mayor se llama máximo. A veces, se combinan distintos tipos de gráficas, lo que puede ayudarte a ver una relación entre datos diferentes sobre una misma situación.

1. ¿Cuáles son algunas de las diferencias entre una gráfica lineal, o diagrama de trazado en el tiempo, y una gráfica de barras?

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Norte

15%

En esta sección, has visto distintos tipos de gráficas sobre el clima. Este es otro.

12% 9% 6% 3%

Oeste

Este

Velocidad del viento (en m/s) >11.06 8.49–11.06 5.40–8.49 3.34–5.40 1.80–3.34 0.51–1.80

Fuente: http://www.wcc.nrcs.usda.gov Sur

La rosa de los vientos muestra la frecuencia con que el viento llega desde una determinada dirección. Cuanto más larga es una barra, mayor es la frecuencia con que el viento llega desde la dirección correspondiente. 2. a. Durante el período de 31 días que se muestra en la gráfica, ¿qué porcentaje de tiempo el viento llegó desde el norte? El color de las barras da una indicación de la velocidad del viento. En la leyenda, la velocidad del viento está expresada en metros por segundo (m/s). b. ¿De qué dirección llegaron los vientos más fuertes durante este período: del norte (N), del este (E), del sur (S) o del oeste (O)? ¿Cuál fue la velocidad de los vientos más fuertes? c. Halla alguna otra información basada en la gráfica.

Piensa en una ventaja cuando se usa una gráfica lineal en lugar de otra representación. Da un ejemplo.

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Práctica adicional Sección A

Uso de gráficas de barras 1. Los estudiantes de la Escuela Intermedia Roosevelt están juntando dinero con la venta de boletos para una rifa a $5 cada uno. Estudiantes

Número de boletos vendidos

Juan

12

Suzanne

27

Briana

18

David

35

a. Describe lo que muestra la tabla. b. Haz una gráfica de barras que muestre cuánto dinero juntó cada estudiante. Asegúrate de que tu gráfica de barras esté claramente rotulada. 2. Usa la siguiente información para crear una gráfica de barras. • Daren ha empezado una colección de monedas. Tiene dos monedas extranjeras. • Héctor tiene seis monedas más que Daren. • Elory tiene la mitad de monedas que Héctor. • Gina tiene tres monedas menos que Elory. • Loritz tiene tantas monedas como las de Elory y Gina juntas.

Sección B

Un pedazo de la torta

Juegos preferidos del parque de diversiones

La gráfica representa los resultados de una encuesta a 150 estudiantes. 1. a. ¿Qué te dice esta gráfica?

Torbellino 26%

La taza 18% Sillas voladoras 10%

Montaña rusa 36%

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El pulpo 10%

b. ¿Cuántos estudiantes prefieren dar una vuelta en El pulpo? c. ¿Qué fracción aproximada de los estudiantes prefiere el Torbellino? 2. Crea una gráfica de barras apiladas que diga lo mismo que la gráfica circular.

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Sección C

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Una imagen vale más que mil palabras Tia James Gerado Phil Carola

Clave

ⴝ 5 tarjetas de basquetbol

1. Escribe un título apropiado para el pictograma. 2. a. ¿Cuál es el número mayor de tarjetas de basquetbol que tiene un estudiante? b. ¿Cuántas tarjetas más que Tia tiene Gerardo? 3. a. Si Jody tiene 23 años, María tiene 31 años y LaShanda tiene 27 años, ¿cuál es la edad media? b. Si Jody tiene 2 años, María tiene 31 años y LaShanda tiene 57 años, ¿por qué no es una buena idea calcular la edad media?

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Práctica adicional Sección D

Barras o líneas: ¿lo entiendes? La tabla muestra las temperaturas promedio típicas de cada día de una semana en seis ciudades. Ciudad

D

L

M

M

J

V

S

101

96

101

102

101

103

101

Springfield

86

80

90

89

91

93

92

Orlando

99

88

95

96

99

97

98

Chicago

100

99

102

103

102

104

103

Aspen

80

80

79

82

83

81

82

Boston

94

91

92

94

95

92

93

Dallas

1. a. ¿Qué ciudad tuvo la temperatura promedio más alta el jueves? Y ¿la más baja? b. ¿Cuál es la diferencia entre la temperatura promedio máxima y la temperatura promedio mínima del jueves? 2. a. ¿Cuál fue la temperatura media en Dallas durante la semana? b. ¿Qué ciudad tuvo la temperatura promedio más alta durante la semana? 3. a. Crea una gráfica que muestre dos gráficas lineales: una para las temperaturas promedio diarias de Boston, la otra para las temperaturas promedio diarias de Springfield. b. Compara las dos gráficas. Explica las diferencias en las temperaturas.

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Respuestas para verificar tu trabajo Uso de gráficas de barras 1. a. Pídele a un compañero que observe tu gráfica de barras y la descripción para ver si tienen sentido. b. Probablemente, los datos que encontraste también se pueden presentar en una tabla. Si los datos se pueden presentar o no en un tipo diferente de gráfica, depende del ejemplo que hayas encontrado. Si lo deseas, puedes comentar tus respuestas con un compañero. 2. a. Puedes decir que hay 19 conjuntos de datos, pero sin rótulos en los ejes y sin un título para la gráfica, es casi imposible decir algo sobre los datos que reunieron Neville y Sonia. b. Tu respuesta será diferente de las que se muestran aquí. Ejemplos de respuesta: La gráfica lineal representa el número de gorras de béisbol que tiene cada estudiante de sexto grado.

Número de estudiantes

Gorras de béisbol que tienen los estudiantes de sexto grado

70

x x x

x x x x x x

4

5

60 50

x x x x

40 30 20 10 0

1

2

3

x x x

x x 6

7

8

9

10

x 11

12

13

Número de gorras de béisbol

El diagrama lineal representa el número que calzan 19 estudiantes. Número de estudiantes

Sección A

7

x x x

x x x x x x

5.5

6

6 5

x x x x

4 3 2 1 0

4

4.5

5

x x x

x x 6.5

7

7.5

8

8.5

x 9

9.5

10

Número que calzan

Respuestas para verificar tu trabajo 47

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Respuestas para verificar tu trabajo 3. Podrías tener gráficas diferentes para mostrar la comparación. A continuación hay un ejemplo. Comparte tu respuesta con un compañero.

Deportes preferidos entre los alumnos de 6.º y de 7.º grado 9

Número de estudiantes

8 7 6 5 4 3

Alumnos de 6.º grado 2

Alumnos de 7.º grado

1 0 Fútbol Basquetbol americano

Sección B

Tenis

Natación

Ninguno de estos

Un pedazo de la torta 1. Sí. Podrías decir que cada barra de la gráfica de barras se relaciona con la parte de la gráfica circular que tiene el mismo rótulo. Por ejemplo, 20 perros es un cuarto del total de 80 animales, y en la gráfica circular, la parte de los perros equivale a un cuarto de la gráfica. 2. Ejemplos de pregunta: a. ¿Cuántas personas más eligieron a los perros que a los peces como su mascota preferida? b. ¿Prefiere a los gatos más de la mitad de las personas encuestadas? 3. a. Estos son dos ejemplos de gráfica que dicen algo sobre los datos. Tu gráfica puede ser diferente. Juego de computadora preferido

Juego de computadora preferido 200

19%

180

20%

Abrir la caja fuerte Ta Te Go

5%

11%

Azulejos La isla

15%

Cascada de problemas

30%

Número de estudiantes

El libro de la magia

160 140 120 100 80 60 40 20 0

El libro de Abrir la magia la caja fuerte

Ta Te Go

Azulejos La isla

Juego de computadora

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Cascada de problemas

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Respuestas para verificar tu trabajo Podrías decir que elegiste la gráfica circular porque querías mostrar cómo se relacionaban las partes con el todo. Podrías decir que elegiste la gráfica de barras porque querías mostrar los números lo más cerca posible. O puedes decir: b. La gráfica circular muestra que Ta Te Go es el más popular, porque es la sección más grande de la torta. La gráfica de barras muestra que Ta Te Go es el más popular, porque es la barra más alta.

Sección C

Una imagen vale más que mil palabras 1. a. Un diagrama lineal muestra exactamente cuántas tachuelas había en cada caja y cómo varió su número de caja a caja. b. La media es 100.4. Puedes calcular la media sumando el número de tachuelas de cada caja y dividiendo el total por 10.

104 ⴙ 100 ⴙ 98 ⴙ 99 ⴙ 103 ⴙ 97 ⴙ 100 ⴙ 102 ⴙ 98 ⴙ 103 ⴝ 1,004; 1004 ⴜ 10 ⴝ 100.4 tachuelas por caja También puedes usar el método de la compensación: 97 ⴙ 103 fi 100 ⴙ 100 98 ⴙ 102 fi 100 ⴙ 100 98 ⴙ 99 ⴙ 103 fi 100 ⴙ 100 ⴙ 100, lo que da una suma de 700 tachuelas. 100 ⴙ 100 ⴙ 700 ⴝ 900; 900 ⴙ 104 ⴝ 1,004; puesto que 1,004 tiene 4 tachuelas de más que 1,000 tachuelas exactas (que, divididas por 10 cajas, equivalen a 100 tachuelas por caja), lo que deja 4 tachuelas para distribuir entre 10 cajas.

c. Aunque los números de tachuelas sean números enteros, la media puede ser un número decimal. Ejemplos de explicación: Una media de 100.4 significa que, como promedio, diez cajas tienen 100 tachuelas cada una y que cuatro de ellas tienen una tachuela adicional. Una media de 100.4 significa que hay 1004 tachuelas divididas en 10 cajas. Respuestas para verificar tu trabajo 49

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Respuestas para verificar tu trabajo 2. Puesto que el número medio o promedio de tachuelas para las cajas que observó Kay es algo mayor que 100, pero no es 101 (100.4), podría haber dicho que había alrededor de 100 tachuelas por caja. 3. a. Puedes calcular diferentes maneras de dividir el dinero. Por ejemplo, podrías empezar haciendo que todos tengan $0.75 (la menor cantidad para empezar) y, luego, hacer que pongan en común el resto para sumar $2.55 + $0.65 + $0.90 + $1.40, o $5.50, lo que le daría a todos $1 y $0.10, de manera que cada uno tendría $1.00 + $0.10 + $0.75, o $1.85. b. La cantidad que cada uno usaría si todos gastaran lo mismo sería la media, $1.85.

Sección D

Barras o líneas: ¿lo entiendes? 1. Tal vez hayas notado que una gráfica de barras se usa para presentar categorías de datos —como el número de folletos que ha entregado cada estudiante— de manera visual. Una gráfica lineal da una imagen de la manera en que algo cambia a lo largo del tiempo, por ejemplo, la temperatura. Aun cuando no haya datos para los intervalos entre los tiempos en que se midió la temperatura, el cambio es continuo. Por consiguiente, la temperatura entre las mediciones está sobre la recta que las conecta. Una gráfica de barras describe datos para categorías individuales, y no tiene sentido conectarlas porque, entre las barras, no hay datos que representen a las personas y cuántos folletos entregaron. 2. a. Un poco menos que el 4% del tiempo. b. De los cuatro puntos cardinales mencionados, los vientos más fuertes vienen del oeste. La velocidad fue mayor que 11.06 m/s. Sin embargo, los vientos más fuertes llegaron todos del oeste-sudoeste. c. Ejemplo de información que puedes haber encontrado a partir de la gráfica: Los vientos llegan con mayor frecuencia del oeste al este y con menor frecuencia del norte o del sur. Las velocidades más comunes fueron de 3.34 m/s a 8.49 m/s.

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