SEMANA 4

(e + x ) =

360 = 72º 5 45º +x = 72º

POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS 1.

Calcule el número de diagonales medias de un polígono, en donde el número de diagonales es el cuádruple del número de ángulos internos. A) 20 D) 44

B) 27 E) 55

x=27º

RPTA.: E 3.

Un icoságono regular ABC… y un pentadecágono regular ABMN… están ubicados en distintos semiplanos ↔

C) 35

respecto a AB Calcule: m∢MCB A) 72º D) 69º

RESOLUCIÓN

B) 36º E) 60º

C) 24º

Dato: NºDiag.= 4(Nº ∢ s internos)

RESOLUCIÓN

n(n − 1) Piden: NºDiag.Medias= =? 2 Reemplazando en el dato:

n (n − 3)

( )

=4 n 2 (n − 3) = 8 → n = 11 11 (11 − 1)

D.M. =

= 55

2

RPTA.: E 2.

Se tienen los polígonos regulares ABCDE y ABPQRSTU, ambos en un mismo semiplano respecto a AB , Calcule: m∢UAE . A) 72º D) 24º

B) 45º E) 27º

C) 20º

* * *

RESOLUCIÓN A

B

∆ BMC (2x + e1 + e2 ) = 180º

x P

E

C

42º →

D T

R

∢ Externo ɵ = 360º ; Piden x=? e n En el Octógono:

e=

360º = 45º 8

En el Pentágono

x = 69º

RPTA.: D

Q

S

*

ɵ 1 = 360 = 18º e 20 ɵ 2 = 360 = 24º e 15

e1 + e2 = 42º e

e U

Piden: x=?

4.

9 es un número de diagonales que se pueden trazar desde 5 vértices consecutivos de un polígono regular de “n” lados. Calcule “n”. A) 5 lados B)7 lados C) 6 lados D) 8 lados E) 9 lados

S∧ = 180º ( 8 − 2 ) = 1080º

RESOLUCIÓN

i

Piden: Nº lados =n=?

RPTA.: D

Dato: Nº Diag. Trazados Desde 5 vértices =9 *

6.

Recordando: Nº Diag. Trazados desde “k” vértices consecutivos = nk −

En un decágono convexo, calcule el máximo número de ángulos internos de medida 100º. A) 3 D) 6

(k + 1) (k + 2) 2

B) 4 E) 7

C) 5

RESOLUCIÓN

En un polígono de “n” lados. Reemplazando:

*

9 = n(5) − →

(5 + 1) (5 + 2)

80º

2

100º

80º

100º

n=6

RPTA.: C 100º

5.

80º

Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de un Polígono Regular ABCDE…, de “n” lados; si

AC

100º

CE

A) 540º D) 1080º

B) 720º E) 1260º

100º

C) 900º

80º

RESOLUCIÓN D e C

e

a

a

Piden: máx. Nº ∢ si=100º * Para 1∢i = 100º → 1∢e = 80º ⋮

e a θ

θ

θ

E

ɵ = 320º * Para 4∢i = 100 → 4e

e

ɵ = 400º * Para 5∢i → 5e (Esto es imposible) Por que: Seɵ = 360º

B a

θ

“n” lados

⇒

A lo máximo Solo se pueden conseguir 4 ángulos.

A

RPTA.: B

Dato: AC CE Piden: S∧ = 180º (n − 2 ) = ? i

*

⇒

⇒

∆ABC ≅ ∆CDE ..............(L.A.L.) m∢BCA = m∢DCE = θ ɵ = 2θ = 360º e n ɵ En c : 4θ = 90º 360º 2θ = 45º = n n=8

7.

Calcule el perímetro de un octógono equiángulo ABCDEFGH, AB=EF= 2 2 ; HG = DE = 1 y GF=8.

2 , AH = 3,

A) 16+6 2

B) 18+6 2

C) 16+8 2

D) 8 2 + 10

E) 18+8 2

RESOLUCIÓN Q

2

B

6

RESOLUCIÓN

e A e

3

C

R

e e

3 2

2 2

3

e2

D

3

1

E

e1

H 2

e

2 2

e P

1

∧

i2

i4 e 4

i1

S

i5

en

∧

∧

in

Pide: Perímetro octógono=? *

∧

∧

2

F

8

i3

∧

e 2

e G

e3

∧

i 6 e5

e6

ɵ = 360 Calculando: e n

-

ɵ = 360 = 45º e 8 Dato: ɵi1 + ɵi2 + ...iɵ5 = 760º Piden: e6 + e7 + ...en = ?

Se determinan 4 triángulos notables de 45º y un rectángulo.

⇒

PQ=RS=6

*

Se sabe: e1 + e2 + ...en = 360º...(I)

→

RD=3 y CD= 3 2

*

⇒

PS=QR=11 BC=6

ɵi1 + e = 180º 1 ɵi2 + e = 180º 2

→

. . .

Perímetro= 18 +8 2

RPTA.: E 8.

La suma de las medidas ángulos internos de un convexo es 760º.Calcule la las medidas de los ángulos correspondientes a los restantes. A) 190º D) 220º

B) 200º E) 230º

. . .

ɵi5 + e = 180º n

760 + ( e1 + e2 + ...e5 ) = 180º(5)

de cinco polígono suma de externos vértices

( e1 + e2 + ...e5 ) = 140º

Reemplazando en (I) 140º + ( e6 + e7 + ...en ) = 360º

( e6 + e7 + ...en ) = 220º

C) 210º

RPTA.: D 9.

En un polígono regular cuyo semiperímetro es p, el número que expresa su perímetro es el igual al número de diagonales. Además la medida del ángulo interior es p veces la medida del ángulo exterior. ¿Cuánto mide el lado del polígono regular?

1 5 1 D) 2

A)

B)

1 4

E)1

C)

1 3

RESOLUCIÓN NºDiag =

×

(n − 3) (n − 3 − 3) 2

n2 − 3n − 2n − 6 = n2 − 9n + 18 4n = 24 n = 6 (Hexágono) RPTA.: D

→

× 11. *

− (n + 3) =

2 Resolviendo:

×

×

n (n − 3)

Por el vértice B de un triángulo ABC, se traza una recta exterior. Calcule la distancia del punto medio de la mediana BM a la recta, sabiendo que las distancias de los vértices A y C a dicha recta miden 8 y 12 respectivamente.

Sea “n” es Nº lados.

nx 2 n(n − 3) * 2p=Nº Diagonales= 2

Datos: semiperímetro: “p”=

∧

A)2 D)5

* m∢ i = p (p∢e )

B) 10 E) 7

C) 3

Piden: x=?

RESOLUCIÓN Reemplazando en los datos:

n(n − 3) ...(I) 2  360º  180º (n − 2) = P  ...(II) n  n  (n − 2) = 2p...(III)

2p =

(I) =(III) →

n (n − 3)

n=4

2

Q B R P

= (n − 2)

12 ×

H N 10

Reemplazando:”p” en (III)

8

nx 1 (n − 2 ) = 2   → x = 2  2 

a A

a

C

M

RPTA.: D 10.

Si un polígono de n lados tuviera (n3) lados, tendría (n+3) diagonales menos. ¿Qué polígono es? A) Triángulo C) Pentágono E) Octógono

B) Cuadrilátero D) Hexágono

*

En el trapecio AHQC: Trazamos la base media MP

8 + 12 = 10 2 ∆ MPB (Base media) 10 x= 2

MP =

RESOLUCIÓN

*

Piden: “n” (¿Qué polígono es?) Dato: Para: “n” lados→ Nº Diagonales. =

Dato: AH=8 CQ=12 Piden: NR =x=P

n (n − 3) 2

-(n+3)

Reemplazando el Nº lados en el 2do polígono

x=5

RPTA.: D

12.

Las distancias de los vértices A y B de un triángulo ABC a una recta que pasa por su baricentro miden 3 y 4 respectivamente; calcule la distancia del vértice C a dicha recta. La recta intercepta a AB y BC . A)7 D) 8

B)5 E)1

C)

100 + a 3

D) 50

E) 40

RESOLUCIÓN

C) 3

a

B

C

RESOLUCIÓN P

B

x

E

Q

F

m A

N

4

2x

G R

Q S

Dato: AD=50 Piden: 2EF+GD 2(x)+y=? ∆ ACG (Base media) AG=2X AD=2x+y 2x+y=50

P

3

*

x A

M

C

⇒

*

Dato: AH=3 BQ=4 “G” Baricentro ⇒ BG=2GM = 2m Piden: CP=x En el trapecio AHPC (trazamos la base media: MR =

*

RPTA.: D

(

bisectrices interiores de los ángulos A y B se interceptan en P y las bisectrices interiores de los ángulos C y D se interceptan en Q. Calcule la longitud del segmento PQ si AB=6 , BC=4, CD=8, AD=10

3+ x ...(I) 2

En el ∆ BQG(NS=2); MR =NS=2

3+ x 2= 2

1 2 3 E) 2

A) 1

x=1

B)

D) 2

RPTA.: E 13.

AD en G, 2EF+GD.

BC=a,

50 + a 5

m m

B)

50 + a 3

C

8

calcule

A

A)

α α

P Q ×

6

intercepta a

AD=50,

4

B β β C

Q son puntos medios de AB y CD ; AC ∩ PQ = {E} , PQ ∩ BD = {F} .La

CF

C) 0

RESOLUCIÓN

En un trapecio ABCD, BC // AD, P y

prolongación de

)

En un trapecio ABCD BC // AD , las

14.

Luego: En (I)

→

D

50

m

H

y

G

M 10

θ θ

β

α

4

N

4

D

Dato: AB=6 BC=4 CD=8 AD=10 Piden: PQ=x=?

* ∴

RPTA.: D

∆ ABN (Isósceles)

*

16.

AM=6 y ND=4

∆ MCD (Isósceles)

*

MD=8→MN=4 BCNM: x =

*

4−4 2

En un triángulo ABC; AB=5 y BC=30; Calcule la distancia del punto medio de AC hacia la bisectriz del ángulo ABC; si m∢ABC = 106º . A) 10 D) 4

x=0

RPTA.: C

B)8 E) 12

C)6

RESOLUCIÓN

En un trapecio ABCD, BC // AD y se ubica el punto medio M de B, tal que m∢MDA = m∢MDC y se traza

15.

→ CH = 4 (53,37º) 53º θ= 2

53º 53º

CH ⊥ AD . Si BC = 1 , AD = 4 y CH toma su máximo calcule m∢MDA . A) 37º

B) 53º

53º 2

E) 30º

D)

valor

C)

entero,

87º 2 Dato: BC=30 AB=5 m ∢ABC = 106º Piden: MN=x=?

RESOLUCIÓN B

1

C

↔

*

Trazamos: AH

L

*

CQ L ∆ ABH y ∆ CBQ (37º, 53º) ⇒ AH = 4 y CQ =24

↔

M

4

θ

4

Piden: m∢MDA = θ Trazamos la base media

1+4 = 2, 5 → CD = 5 2 ∆ MND = (Isósceles)

MN =

ND=NC=2,5 → CD 5 *

Trapecio: AHCQ (propiedad) 24 − 4 x= = 10 2 RPTA.: A

17.

Calcule la medida del ángulo que forman las diagonales de un trapecio isósceles; si una diagonales el doble de la base media.

D

Dato: BC=1 AD=4 “CH” es máximo entero

*

* θ

H

A

5

N

θ

CHD: CH < 5

A) 60º D) 53º

B) 45º E) 37º

C) 30º

RESOLUCIÓN

⇒

DM=a; CM=5 m∢ACM = 106º ∆ ACM(a + b = 8) a+b x= →x =4 2

RPTA.: B 19.

En un cuadrado ABCD, de lado 6, en

CD y

N, respectivamente, tal que CM=MD. Si la m∢MBN = 45º . Calcule MN.

2 (a + b)

Dato: Ac = BD =

AD se ubican los puntos M y

2

Pide: x=?

A) 3

B)4

D) 3 2

E) 5

C) 4 2

Trazamos: CK // BD

*

RESOLUCIÓN

▱ BCKD (Paralelogramo) DK = a;CK = a + b m∢ACK = x

53º 2

∆ ACK (Equilátero) →

x = 60º

RPTA.: A 18.

37º 2

Calcule la longitud de la base media de un trapecio isósceles, si las diagonales forman 106º y tienen por longitud 5m c/u. A) 3 D) 8

B) 4 E) 5

C) 6

RESOLUCIÓN B

a

C

M

106º

m∢MBN = 45º

5

106º 5

Dato: AB=BC=6 CM=MD=3

Piden: MN=x=?

5

* A

b

D

a

M

Datos: :Trapecio Isósceles m∢AMD = 106º AC = BD = 5

*

Pide:(Longitud de la base media) =x a+b x= =? 2 Trazamos CM // BD BCMD (Paralelogramo)

⇒ *

* →

 53º  ∆ BCM (notable)    2  37º m∢ABN = 2  37º 

∆ ABN    2  AN=2 ⇒ ND=4 ∆ MND (37º, 53º) x=5

RPTA.: E

20.

Un trapecio rectángulo ABCD, es recto en A y B. Si:

m∢BCA= 2 (m∢ADB ) , AD = a y BC

=b. Calcule AC.

a−b 2

A) a+b

B)

D) a-b

E) 2a+b

C) 2a-b

RESOLUCIÓN b

C 2θ

B

× θ

Q

×

θ θ

A

a

D

Dato: BC=b AD=a

m∢ACB = 2m∢ADB = 2θ

Piden: AC=x=? *

⇒

Construimos el rectángulo ABQD

m∢AQB = m∢ADB = θ ∆ ACQ = (Isósceles)

CQ=AC=x Luego: BQ = AD b+x=a x=a-b

RPTA.: D