1.- El perímetro de un rectángulo es 24 cm y su área es 20 cm . ¿Cuáles son sus dimensiones? Sea x = altura ;
y = base
Como perímetro es 24: x + y = 12 ⇒ y = 12 – x
Planteamos la ecuación: (12 – x) x = 20
Como el área es 20 : xy = 20 12 + 8 x = = 10 ⇒ y1 = 2 12 ± 122 − 4·1· 20 12 ± 8 1 2 x – 12 x + 20 = 0 ⇒ x = = = 2·1 2 x = 12 − 8 = 2 ⇒ y = 10 2 2 2 2
Las dimensiones son 2 x 10
2.- La suma de dos números es 15 y su producto es 26. ¿Cuáles son dichos números? Sean x, y ambos números La suma es 15: x + y = 15 ⇒ y = 15 – x
Planteamos la ecuación: (15 – x) x = 26
Su producto es 26 : xy = 26 15 + 11 x = = 13 ⇒ y1 = 2 15 ± 152 − 4·1· 26 15 ± 11 1 2 x – 15 x + 26 = 0 ⇒ x = = = 2·1 2 x = 15 − 11 = 2 ⇒ y = 13 2 2 2 2
Los números son 3 y 12.
3.- Halla dos números cuya suma es 14 y la de sus cuadrados 100. Sean x, y ambos números La suma es 14: x + y = 14 ⇒ y = 14 – x 2
2
2
Planteamos la ecuación: x + (14 – x) = 100 2
La suma de sus cuadrados es 100 : x + y = 100 14 + 2 x = = 8 ⇒ y1 = 6 14 ± 142 − 4·1· 48 14 ± 2 1 2 x + x – 28 x + 196 – 100 = 0 ⇒ x – 14x + 48 = 0 ⇒ x = = = 2·1 2 x = 14 − 2 = 6 ⇒ y = 8 2 2 2 2
2
2
Los números son 8 y 6. 2
4.- El área de un triángulo rectángulo es de 60 cm y la suma de los catetos es 23 cm. Halla la medida de los lados. Sea x = base e y = altura La suma de sus catetos es 23 : x + y = 23 ⇒ y = 23 - x El área es 60 : x y = 60 ⇒ y = 14 – x
6.- El perímetro de un triángulo isósceles mide 16 cm y la altura 4 cm. Halla la medida de los lados de dicho triángulo. Sean 2x = lado desigual , y = lado igual El perímetro es 16: 2x + 2y = 16 ⇒ x + y = 8 ⇒ y = 8 – x 2
2
2
2
2
La altura es 4: 4 + x = y ⇒ 16 + x = y
y
2
4
Planteamos la ecuación: 16 + x = (8 – x) 2
2
2
16 + x = 64 – 16x + x ⇒ 16x = 48 ⇒ x = 3 ⇒ 2x = 6 , y = 8 – 3 = 5
x
Los lados miden 6, 5 y 5 cm
7.- Calcular dos números tales que su producto es 63 y la diferencia de sus cuadrados 32. Sean x e y los dos números Producto es 156: xy = 63
8.- Calcular el área de un rectángulo de perímetro 28 cm y cuya diagonal mide 10 cm. Sea x = base e y = altura Perímetro es 28: x + y = 14 ⇒ y = 14 – x 2
2
2
Planteamos la ecuación: (14 – x) + x = 100
2
Diagonal es 10: y + x = 100 14 + 2 x = = 8 ⇒ y1 = 6 14 ± 142 − 4·1· 48 14 ± 2 1 2 196 + x – 28x + x = 100 ⇒ x – 14x + 48 = 0 ⇒ x = = = 2·1 2 x = 14 − 2 = 6 ⇒ y = 8 2 2 2 2
2
2
El área del rectángulo es 48 cm
Luisa Muñoz
2
2
PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS
1º BCT
9.- Hallar los catetos de un triángulo rectángulo, sabiendo que la hipotenusa mide 13 cm y que la diferencia entre sus catetos es 7 cm. Los catetos son x, x +7 2
10.- Hallar la base y la altura de un rectángulo, sabiendo que su diagonal mide 50 cm y que la base tiene 10 cm más que la altura. Sea x = altura , x + 10 = base 2
2
2
2
2
La hipotenusa es 50: (x + 10) + x = 2500 ⇒ x + 100 + 20x + x = 2500 ⇒ x + 10x – 1200 = 0
La base es 40 cm y la altura es 30 cm 11.- Halla dos números cuya suma es 78 y su producto 1296. Los números son x, 78 – x Producto es 1296: (78 – x) x = 1296 2
12.- La base de un rectángulo es 6 m mayor que la altura. Si la altura disminuye en 2 m y la base 2 aumenta en 4 m, el área del nuevo rectángulo es 8 m mayor que el del primero. Calcula sus dimensiones.
ALTURA
BASE
ÁREA
1º RECTÁNGULO
x
x+6
x(x + 6)
2º RECTÁNGULO
x–2
x + 10
(x + 10)(x – 2)
2
El 2º área aumenta en 8 m : (x + 10)(x – 2) = x(x + 6) + 8 2
2
x + 10x – 2x – 20 = x + 6x + 8 ⇒ 2x = 28 ⇒ x = 14 La base mide 20 y la altura 14
Luisa Muñoz
3
PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS
1º BCT
13.- Calcular dos números positivos sabiendo que la diferencia es 12 y la suma de sus cuadrados es 170. Sean los números x, 12 + x 2
2
La suma de sus cuadrados es 168: x + (12 + x) = 170 2
2
2
2
x + x + 24x + 144 = 168 ⇒ 2x + 24x – 26 = 0 ⇒ x + 12x – 13 = 0
14.- Un rectángulo mide de perímetro 28 cm y de área 24 cm . Hallar la longitud de sus lados. Sean x = altura ; y = base Perímetro es 28: x + y = 14 ⇒ y = 14 – x Área es 24: x(14 – x) = 24 2
2
14x – x = 24 ⇒ x – 14 x + 24 = 0 14 + 10 x = = 12 ⇒ y = 14 − 12 = 2 14 ± 142 − 4· 24 14 ± 10 1 2 x= = = 2·1 2 x = 14 − 10 = 2 ⇒ y = 14 − 2 = 12 2 2
Las dimensiones son 2 x 12
15.- Hallar dos números naturales sabiendo que su diferencia es 3 y su producto es 108. Sean los números x, 3 + x Su producto es 108: x(3 + x) = 108 2
16.- El cateto menor de un triángulo mide 11 cm y la hipotenusa 1 cm más que el otro cateto. Halla los lados. Sean los lados del triángulo 11, x, x + 1 2
2
2
Al ser rectángulo, se verifica el teorema de Pitágoras: (x + 1) = x + 11 2
2
x + 1 + 2x = x + 121 ⇒ 2x = 120 ⇒ x = 60 Los lados son 11, 60 y 61 cm
Luisa Muñoz
4
PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS
1º BCT
17.- La diagonal de un rectángulo mide 30 cm y las dimensiones de los lados son proporcionales a 3 y 4. Halla los lados. Sean los lados 3x, 4x 2
2
2
La diagonal mide 30 cm: (3x) + (4x) = 30 2
2
2
2
9x + 16x = 900 ⇒ 25x = 900 ⇒ x = 36 ⇒ x = 6 Los lados miden 18 y 24 cm
18.- La diagonal de un rectángulo mide 26 cm y el perímetro 68 cm. Halla los lados del rectángulo. Sean x = altura ; y = base Perímetro es 34: x + y = 34 ⇒ y = 34 – x 2
2
Diagonal es 26: x + (34 – x) = 26 2
2
2 2
2
x + 1156 + x – 68x – 676 = 0 ⇒ 2x – 68x + 480 = 0 ⇒ x – 34x + 240 = 0
19.- El perímetro de un triángulo rectángulo mide 36 cm y uno de los catetos 12 cm. Halla los lados restantes. Sea x = cateto e y = hipotenusa El perímetro es 36: x + y + 12 = 36 ⇒ y = 24 – x 2
2
2
Al ser triángulo rectángulo se verifica: (24 – x) = x + 12 2
2
576 – 48x + x = x + 144 ⇒ 432 = 48x ⇒ x = 9 ⇒ y = 15 Los lados miden 15 y 9 cm 20.- Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de 2 anchura uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m . Área del jardín: 50 · 34 = 1700 m 50 m 34 m
2
Área rectángulo grande: (34 + 2x)(50 + 2x) x
Área del jardín: (34 + 2x)(50 + 2x) – 1700 = 540 2