SEMANA 9

SD

º  N,2   

TEORÍA DE LOS NÚMEROS NÚMEROS PRIMOS

)(

)(

)

Sólo cumple para a = 2

N = 2 2 × 32 × 5 2

CD (N) = 3 × 3 × 3 = 27

Sea A = 32000...00 (6 )

1.

(

= 2a − 1 3a+1 − 1 5a+1 − 1 = 3 × 26 × 124

Divisores compuestos de N: 27 – 4 = 23

n cifras

RPTA.: A

Calcule “n” si A tiene 444 divisores compuestos. 3.

A) 13 D) 15

B) 11 E) 16

C) 12

RESOLUCIÓN A = 32 (6 ) × 6 = 20 × 6 n

Si: M = 20x i 30x + 2 ; tiene 48 divisores positivos múltiplos de 5 y además impares. Halle “x” A) 1 D) 4

n

A = 22 × 5× 2 n × 3n

RESOLUCIÓN

A = 2 n + 2 × 3n × 5

M = 20x i 30x + 2

CD( A ) = 444 + 4 CD( A ) = 448

no compuestos

M = 2 3 x+ 2 × 3 x+2 × 5 2 x+ 2 M = 5 3 x + 2 × 5 2 x +1 × 2 3 x + 2

[

0

n = 13

En el número N = 30a , la suma de sus divisores pares es 2418. Determine la cantidad de divisores compuestos de N.

SD

º

N,2  

2 − 1 3 − 1 5 − 1 = 2×  × ×  = 2418 2 4   1 Divisores 2

= 24 = ( x + 3) ( x + 1)

CD 0

= 6 × 4 = (3 + 3) (3 + 1)

  5 impares   

x =3

4.

a+1

º

CD 0

RPTA.: C

N = 2a × 3a × 5a N = 2(2a−1 × 3a × 5a ) a+1

= 48 = ( x + 3) (2x + 2 )

  5 impares   

C) 21

RESOLUCIÓN

a

CD 0

  5 impares   

RPTA.: A

B) 22 E) 14

]

Divisores impares 5

CD( A) = ( n + 3) (n + 1) = 224 = (13 + 3)(13 + 1) ∴

A) 23 D) 32

C) 3

M = 22x i 5x i 2x + 2 × 3x + 2 × 5x + 2

CD( A ) = ( n + 3) × (n + 1) (1 + 1) = 448

2.

B) 2 E) 5

Halle un número divisible por 6; de 3 cifras y que tenga 21 divisores. A) 552 D) 288

B) 576 E) 342

C) 522

RESOLUCIÓN 0

M = abc = 6 = 2x × 3y CD (M) = 21 = 7 × 3 Solo cumple: x = 6; y =2

M = 26 × 32 = 64 × 9 = 576

RPTA.: B

5.

Si N = 2α.5β.3 tiene 16 divisores múltiplos de 15 y 16 divisores múltiplos de 20. Halle la cantidad de divisores cúbicos de N. A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

RESOLUCIÓN N = a2 × b3 → 35 divisores Como: 35 = 5 × 7 = ( 4 + 1) ( 6 + 1)

( ) (y )

Dando forma N = x2

C) 3

(a × b)

n

2

0

(

. N = 2 i 5 2 i 5 i 3 → CD0 = ( α − 1) β i 2 = 16 De donde

20

α=3 β=4

( ) ( ) 1

1

N = 23 i 54 i 3 = 23 i 53 i 5 i 3

B) 5 E) 2

simplificando

(

(

RPTA.: E

(a × b)

n

posee

35

divisores

y

posee p9 divisores; halle (n

+ p) A) 5 D) 9

B) 6 E) 10

⇒ ⇒ ⇒

9.

Como 101 es primo ab = primo² Solo cumple: ab = 5² ó 7² Hay 2 números

a2 × b3

)

)

85 17 i 5 5 i 27 ab = i 2 ab 28 7 7 i 255 ( a + 1) (b + 1) = 17 i 5 i 25 ab a y b son 3 y 7

a + b = 10

RPTA.: A

Además: CDN = (1 + 1) (2 + 1)

Si

C) 12

SDN = 28 − 1 ( a + 1) (b + 1) =

N = abab = 101 ab

7.

B) 11 E) 14

N = 27 i a i b ; aplicando el método y

C) 4

Efectuando la descomposición polinómica se obtendrá:

⇒

85 de N (a y b primos). 28

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN

⇒

= x2n i y2n

= p9 = 49

A) 10 D) 13

Halle cuántos números de la forma abab existen, tales que poseen 6 divisores. A) 6 D) 3

n

Sea N = 128 ab, determine (a + b) si la suma de divisores de N, es los

CDcubi cos = (1 + 1) (1 + 1) = 4 RPTA.: D 6.

)

RPTA.: C 8.

Luego:

= x4 i y6

2n + 1 = 7 ⇒ n = 3 p=4 piden: n + p = 7

15

)

(

= x2 i y2

(2n + 1)

. N = 3 × 5 (2α i 5β−1 ) → CD = ( α + 1) β = 16 β−1

3

Posee: (2n + 1) (2n + 1) = p9

N = 2α.5β.3 α−2

2

Donde: a = x² ; b = y²

RESOLUCIÓN

2

2

C) 7

Halle el promedio aritmético de los divisores del número 360.

A) 16,25 C) 68,15 E) 97,5

B) 48,75 D) 47,85

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN

360 = 2 × 3 × 5

El número entero considerado admite como factor primo a tres:

Calcule de la suma de divisores de 360:

N = 3 a i m p i n p .... ⇒ C D N =

3

2

1

24 − 1 33 − 1 52 − 1 SD(360) =  × ×  = 1170  2 −1   3 −1   5 −1  CD(360) = (3 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 24 1170 Promedio aritmético = 24 PADivisores = 48,75 RPTA.: B

( a + 1) (p + 1) ( q + 1) .... = 24 ........(1)

3 × N = 3(

a + 1)

i mp i nq ....

⇒ CDN = ( a + 2) (p + 1)( q + 1) ... = 30......(2) De (1) y (2), a =3 Reemplazando en (1) p = 1, q = 2

N = 33 i m1 i n2 ⇒ 3N2 = 37 i m2 i n4 10.

CD3N2 = (7 + 1) (2 + 1) ( 4 + 1) = 120

Si 31! Tiene n divisores, ¿Cuántos divisores tiene 32!?

33 n 28 32 C) n 27 33 E) n 31

A)

31 n 27 32 D) n 25

CD3N2 = 120

RPTA.: D

B)

12.

En el número 226800, ¿determine cuántos divisores terminan en las cifras 1, 3, 7 ó 9? A) 6 D) 12

RESOLUCIÓN

B) 8 E) 14

C) 10

RESOLUCIÓN

31! = 226 i N → CD31! = 27n = n

226 800 = 24 i 34 i 52 i 71

CD226 800 = ( 4 + 1) ( 4 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 150 divisiones sucesivas para obtener la descomposición del primo 2 en 31!

32! = (31!) 32 = 231N → CD32! = 32n

32! = (31!) 32 = 2 N → CD32! 31

32n = 27

CD 0 = (3 + 1) ( 4 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 120 2

CD 0 = ( 4 + 1) ( 4 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 100 5

CD 0 = (3 + 1) ( 4 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 80 10

CD que terminan en la cifra 1, 3, 7 ó 9 =

CD226 800 − CD 0 + CD0 − CD 0  = 10  2 5 10  

RPTA.: C 11.

Un número tiene 24 divisores y el triple de éste, 30 divisores. ¿Cuántos divisores tiene el triple del cuadrado del mismo?

∴

RPTA.: C 13.

A) 80 C) 100 E) 140

B) 90 D) 120

Son 10 divisores

Si el número. M = 10x i 152y ; tiene el quintuple del número de divisores de P = 3x i 62y y este tiene 3 divisores más que R = 32x i 7y . Halle (x + y). A) 5 D) 8

B) 4 E) 6

C) 7

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN

N = 35n = 5n i 7n

M = 10 i 15 = 2 i 5 i 3 i 5 = 2x i 32y i 52y + x P = 3x i 62y = 3x i 22y i 32y = 3x +2y i 52y R = 32x i 7y Cd (M) = 5 Cd(P) ( x + 1)(2y + 1)(2y + x + 1) = 5( x + 2y +1)(2y +1) x

2y

x + 1 = 5;

x

Cd(P) = Cd(R) + 3

x

2y

2y

CD(N) = (n + 1) × (n + 1) = a4 = 64 CD(N) = (n + 1) = 8 ⇒ n = 7 a=6

E = 37 × 117 − 36 × 116 E = 36 × 116(3 × 11 − 1) = 36 × 116 × 25

x =4

( x + 2y + 1)(2y + 1) = ( x + 1)( y + 1) + 3 (5 + 2y ) (2y + 1) = 9 ( y + 1) + 3 y=1 x+y=5

CD(E) = ( 6 + 1) ( 6 + 1) (5 + 1) = 294 RPTA.: D 16.

RPTA.: A 14.

Determine la suma de las cifras del menor número tal que al multiplicarlo por 8 se cuadruplique su número de divisores; y si su cuadrado tiene 21 divisores. A) 5 D) 10

B) 13 E) 12

Se tiene un número divisible por 15, el cual posee tres divisores simples y además sabemos que cuando se multiplica por 27, el número de sus divisores se duplica y cuando se multiplica por 625 su cantidad de divisores se triplica. Determinar la suma de cifras de dicho número. A) 9 D) 36

C) 9

B) 18 E) 15

C) 27

RESOLUCIÓN 0

0

N = 15 = 3 × 5 CDsimples (N) = 3 ; CDprimos (N) = 2

RESOLUCIÓN M2 = ax × by ; a y b primos Cd(M2 ) = 21 = 7 × 3 = (x + 1)(y+1)

N = 3a × 5b

x = 6; y = 2

27 i N = 3a+ 3 × 5b 625 × N = 3a × 5b + 4

Extraigo su raíz cuadrada.

M = a3 × b1 → Cd(M) = 4 × 2 = 8

( a + 1) (b + 1) × 2 = ( a + 4 ) (b + 2 )

8M = 23 × M = 23 × a3 × b → Cd(8M) = 32

a=2

32 = 4 x 4 x 2 (cumple). Luego M no contiene potencia de 2 a, b mínimos

(a + 1)(b + 1) x 3 = (a + 1)(b + 5)

M=3 ×5 M = 27 × 5 = 135

N = 3 × 5 = 45

3

b =1 2

1

4+5=9

RPTA.: A

1+3+5=9

RPTA.: C 15.

Sabiendo que 35n tiene a4 divisores. ¿Cuántos divisores tendrá E = 33n − 33a ? A) 238 D) 294

B) 272 E) 296

C) 298

17.

Si: 210n−1 tiene ab 0 divisores compuestos. Halle el valor de (a + b + n); A) 10 D) 13

B) 11 E) 14

C) 12

Luego: SDN = 17SDM

RESOLUCIÓN CD(impuestos) = ab0 210n−1 = 2n−1 × 3n−1 × 5n−1 × 7n−1 CDcompuestos = ab0 CDnocompuestos = 5

y

26a+2 − 1 33a+2 − 1 23a+1 − 1 33a+2 − 1 = 17× × x 1 2 1 2 3a+1 3a+1 3a+1 2 −1 3 + 1 = 17 × 2 −1

(

2

CD = n4 = abo + 5 n4 = ab5 = 625

3a +1

+ 1 = 17 ⇒ 2

(

)

= 16 = 2

4

RPTA.: A b=2

RPTA.: D

20.

Se tiene un número “W” cuya taba de divisores es una matriz 3 x 3; si se observa que el producto de los divisores que componen una de las diagonales es 9261. Halle la suma de cifras de “W”. A) 5 D) 8

)

a=1

n=5 a=6 a + b + n = 13

18.

)(

3a +1

B) 6 E) 9

Si los números enteros P y Q son los menores posibles que tienen los mismos divisores primos, si se cumple que P tiene 35 divisores y Q tiene 39 divisores, determinar ¿cuántos divisores compuestos tendrá (P x Q)? A) 74 D) 125

C) 7

B) 90 E) 130

C) 120

RESOLUCIÓN Como P y Q son los menores números enteros, se cumplirá que:

RESOLUCIÓN 9261 = 33 . 73 Luego los factores de W son 3 y 7

CDP = 35 = ( 6 + 1) ( 4 + 1) ⇒ P = 26 × 34 CDQ = 39 = (12 + 1) (2 + 1) ⇒ Q = 212 ×32

(P x q ) = 218 × 36

CD(P × Q) = (18 + 1) ( 6 + 1) = 133 CD compuestos =130

RPTA.: E W = 441 = 32 × 72

21.

4+4+1=9

RPTA.: E 19.

La suma de los divisores del número 63a+1 × 8a es 17 veces la suma de los divisores del Calcule a. A) 1 D) 4

8a × 33a +1 .

número

B) 2 E) 5

B) 12 E) 16

C) 90

aaa = 3 × 37 × a

26a + 2 − 1 33a + 2 − 1 × 2 −1 3 −1 3a 3a +1 M=2 ×3 SDN =

2

A) 24 D) 8

RESOLUCIÓN

N = 63a +1 × 8a = 26a +1 × 33a+1

SDM =

( a + 1) ( a + 1) .

C) 3

RESOLUCIÓN

2a + 1

Si aaa posee 8 divisores pero restarle “a” unidades el número sus divisores se duplica. Halle cantidad de divisores

3a + 2

−1 3 −1 × 2 −1 3−1

8 divisores

a = 2 ó 5 ó 7 ó 32 Restándole “a” unidades

aao = 2 × 5 × 11 × a 16 divisores de los valores anteriores solo cumple a =7

al de la de

(a + 1) ( a + 1) = 88 = 23 × 11

se pide

CD(N) = (3 + 1) (1 + 1) = 8

RPTA.: D

RESOLUCIÓN ⇒

N = 25 i a i b SDN = 3N

(2

6

22.

Sea N = ( a − 1) × a a

b +1

D.C

cd = (CDimpares de N) + (CD

0

(60)

A) 32 D) 56

7 i 3 ( a + 1) (b + 1) = 25 ab

× b , donde a

N tiene 108 divisores compuestos. Calcule la suma de los divisores cuadrados perfectos de cd si

B) 48 E) 68

de N).

)

− 1 ( a + 1) (b + 1) = 3 i 25 i ab

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

a y b son7y3 a=7 b=3 N = 672 ∑ CIFRAS = 15 RPTA.: E

C) 85

24.

Halle ( a +b ) si: 2

ab tiene 12 divisores y ab tiene 33 divisores.

RESOLUCIÓN CD(N) = CDC + CDP + 1

A) 12 D) 13

CD(N) = 108 + 3 + 1 = 112

B) 15 E) 18

C) 14

CD(N) = ( a + 1) (b + 2 ) ( a + 1) = 112

RESOLUCIÓN

CD(N) = ( a + 1) (b + 2) = 16 × 7 = 42 × 7

Se verifica CDab = 12 = (5+1) (1 +1)

2

De donde

a=3 b =5

N = 23 × 36 × 53

(

)

CD

N = 60 21 ×35 × 52 ⇒ CD

(

N = 23 36 x 53

2

ab

0  N,60  

) ⇒ CD

= 2×6×3= 36

IMPARES

= 7 × 4 = 28 ⇒

= 33 = (2.5 + 1)(2.1+1)

Luego: ab = 25 i 31 Son los únicos cumplen: Luego ab = 96 a + b = 9 + 6 = 15

números

que

RPTA.: B cd = 36 + 28 = 64 Suma de divisores perfectos de 64: 1 + 4 + 16 + 64 = 85

cuadrados

RPTA.: C 23.

Halle la suma de cifras del número N = 32 ab sabiendo que a y b son primos absolutos y la suma de los divisores de N es el triple de N. A) 11 D) 14

B) 12 E) 15

C) 13