Departamento de Matemáticas ARITMÉTICA: Números racionales

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3.9. Operaciones con números racionales. SUMA/RESTA. (A) Reducción a común denominador:

−14 17 y 45 12

−14 · 4 17 · 15 y 180 180

⇒

−56 255 y 180 180

⇒

(B) La suma (diferencia) de dos fracciones con igual denominador es otra fracción, que tiene como numerador la suma (resta) de los numeradores y, por denominador, el denominador común. −14 17 −56 255 −56 + 255 199 + = + = = 45 12 180 180 180 180 (C) Ejercicios: OPERACIÓN

3−

SOL.

OPERACIÓN

1 2

−5 −

3 8

4+

−4 +

;

−14 17 −56 − 255 −311 − = = 45 12 180 180 SOL.

OPERACIÓN

3 4

2+

8 9

−2 −

3 2 12 −7

1 2 + 4 3

1 ⎛ −5 ⎞ −⎜ ⎟ 2 ⎝ 8 ⎠

1 1 + 3 −9

17 1 − 4 4

1 −1 − 6 2

1 2 − 4 3

3 +1 5

−2 ⎛ −9 ⎞ −⎜ ⎟ 9 ⎝ 15 ⎠

3 2 − − 5 3

5 3 + 4 10

−6 5 + 7 6

13 22 − 14 21

1 1 − + 6 2

5 7 − 3 6

8 ⎛ 7⎞ − −⎜− ⎟ 6 ⎝ 4⎠

⎛ −5 ⎞ −7 −⎜ ⎟+ ⎝ 18 ⎠ 12

11 13 − − 4 18

−9 ⎛ 3 ⎞ −⎜ ⎟ −8 ⎝ −10 ⎠

11 9 − 8 4

13 −5 − 6 15

1 1 − 6 2

−7 1 − 14 2

12 5 − 4 3

1 ⎛ 7 ⎞ − +⎜ ⎟ 9 ⎝ −6 ⎠

6 −2 − −11 3

−10 6 − 8 4

2 −8 + −3 −12

© José Gallegos Fernández

SOL.

39

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OPERACIÓN

SOL.

OPERACIÓN

2 1 5 3 − + − 4 2 8 4

3 −4 5 − + −4 15 12

1 1 1 − − 10 30 3

2 7 −5 −1 − + − 3 2 6 4

2 5 7 + − 3 6 9

−2 ⎛ 1 1 ⎞ −⎜ − ⎟ 3 ⎝5 2⎠

−1 ⎞ ⎛ 4 ⎛ ⎞ ⎜ 2 + ⎟ − ⎜ − 1⎟ 2 ⎠ ⎝3 ⎝ ⎠

3 2 −2 ⎛ 9 ⎞ − − + −⎜− ⎟ 5 3 9 ⎝ 15 ⎠

−1 −1 −1 + − 12 45 20

3 ⎛ 7 ⎞ −1 7 2 +⎜− ⎟+ − − 5 ⎝ 2 ⎠ 10 −2 20

2 5 ⎛ 8 1⎞ + −⎜ + ⎟ 7 21 ⎝ 63 70 ⎠

3 ⎞ ⎛ −3 ⎛1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ − 3 ⎟ − ⎜ −5 + ⎟ + ⎜ − − 4 ⎟ 4⎠ ⎝ 8 ⎝2 ⎠ ⎝ ⎠

1 ⎞ ⎛ −3 −4 −5 ⎞ ⎛ 1 1 − − + ⎟ ⎜ ⎟−⎜ − ⎝ 4 15 12 ⎠ ⎝ 3 10 30 ⎠

2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ ⎜ 1 − 5 ⎟ − ⎜ −1 + 3 ⎟ − ⎜ 7 − 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ 3 4 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ −4 ⎜ − ⎟−⎜ + ⎟− ⎝ 2 −5 ⎠ ⎝ 5 −3 ⎠ 15

⎛ −3 5 ⎞ ⎛ 1 −7 ⎞ ⎜ 8 − 6 ⎟ − ⎜ 10 + 15 ⎟ + ( −3 ) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛3 ⎞ ⎡ 3 ⎛ 3 7 ⎞⎤ 2 + ⎜ − 3 ⎟ − ⎢ − ⎜ + ⎟⎥ ⎝2 ⎠ ⎣ 10 ⎝ 5 2 ⎠ ⎦

1 ⎡ ⎛ 1 2 ⎞⎤ 1 − ⎢ −1 − ⎜ + ⎟ ⎥ − 3 ⎣ ⎝ 2 3 ⎠⎦ 4

2⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ −⎜1 + ⎟ + ⎜ 2 + ⎟ −⎜ 2 − ⎟ 3⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 2⎠ ⎝

1 ⎡1 2 ⎛ 3 ⎞⎤ ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ − ⎢ − − ⎜ 1 − ⎟ ⎥ − ⎢1 − ⎜ + 1 ⎟ ⎥ 2 ⎣3 5 ⎝ 2 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 6 ⎠⎦

5 ⎡ ⎛ 1 2 ⎞⎤ − 1−⎜ + ⎟ 6 ⎢⎣ ⎝ 4 3 ⎠ ⎥⎦

1 ⎛ 2 ⎞ −3 6 ⎛ 3 ⎞ 3 +⎜− ⎟− + −⎜− ⎟− 4 ⎝ 25 ⎠ 4 5 ⎝ 5 ⎠ 25

3 ⎛ 7 ⎞ 1 −7 −2 +⎜− ⎟− − − 5 ⎝ 2 ⎠ 10 2 −20

−3 −4 5 2 7 −1 − + + − + 15 10 4 −5 −8 12

© José Gallegos Fernández

SOL.

40

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MULTIPLICACIÓN. (A) Se multiplica el ndor de una fracción por el ndor de la otra y el ddor por el ddor, dejando la operación indicada para simplificar primero y después multiplicar. (B) Ejemplos: 15 8 15 · 8 3 · 5 · 2 · 2 · 2 10 = · = = 3 4 9 4 ·9 2 · 2 · 3 ·3

−3 −6 (−3)·(−6 ) (−1/ )· 3 · (−1) · 2 · 3 −9 · = = = 14 −7 14 ·(−7 ) 49 2 ·7 · (−1/ ) ·7

;

(C) Ejercicios: OPERACIÓN 3·

SOL.

OPERACIÓN

OPERACIÓN

3 4

2·

−8 9

2·

1 2

−5 ·

3 8

4·

−4 ·

SOL.

3 2

12 −7

1 2 · 4 3

1 5 − · 2 8

1 1 · 3 −9

17 1 · 4 4

1 −1 · 6 2

−9 −2 · 4 15

3 ·(−1) 5

−2 ⎛ −9 ⎞ ·⎜ ⎟ 9 ⎝ 15 ⎠

3 2 − · 5 3

5 3 · 4 10

−6 5 · 7 6

13 22 · 14 21

7 2 − · 6 −49

5 7 · 3 6

8 ⎛ 7⎞ − ·⎜ − ⎟ 6 ⎝ 4⎠

⎛ −5 ⎞ −7 −⎜ ⎟· ⎝ 18 ⎠ 10

15 1 · −4 6

−9 ⎛ 10 ⎞ ·⎜ ⎟ −8 ⎝ −3 ⎠

11 9 · 8 4

13 −5 · 6 15

−

−7 ·2 14

−12 ·0 85

1 ⎛ 7 ⎞ − ·⎜ ⎟ 9 ⎝ −6 ⎠

6 −2 · −11 3

−10 6 · 8 4

2 −15 · −3 10

© José Gallegos Fernández

SOL.

−4 21 · −9 −2

41

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DIVISIÓN. Dividendo (D) → 135 (A) Elementos que aparecen en una división de dos nos: resto (r) → 15

24 → divisor (d) 5

→ cociente (c)

⎧ D = d ·c + r . ⎩r < d

Para que la división esté bien hecha se tiene que verificar: ⎨

(B) Definición de división de dos nos: * El inverso de un número racional es otro número racional tal que al multiplicarlos da 1. −1 −1 3 4 3 4 Ej.: es el inverso de − 2 porque ·(−2 ) = 1 ; es el inverso de porque · = 1 2 2 4 3 4 3 os * "Para dividir dos n , se multiplica el dividendo por el inverso del divisor" (C) Ejemplos: 2 ⎧ Dividendo = 2 5 ⎪⎪ 3 : =⎨ 5 3 4 ⎪ Divisor = ⇒ Inverso = ⎪⎩ 4 −12 ⎧ Dividendo = −12 15 ⎪⎪ 35 : =⎨ 15 3 35 10 ⎪ Divisor = = 10 2 ⎩⎪

⎫ ⎪⎪ 2 4 2 · 2 · 2 8 = ⎬= · = 4⎪ 3 5 3 ·5 15 ⎪ 5⎭

⎫ ⎪⎪ −12 2 (−1)· 2 · 2 · 3 · 2 −8 · = = ⎬= 2 ⎪ 35 3 35 5 ·7 · 3 ⇒ Inverso = 3 ⎭⎪

15 ⎧ ⎫ Dividendo = ⎪⎪ 15 14 3 · 5 · 2 ·7 35 15 3 ⎪⎪ 4 =⎨ : = ⎬= · = 3 14 ⎪ 4 3 4 14 ⎪ 2 2 ·2· 3 Divisor = ⇒ Inverso = 14 3 ⎭⎪ ⎩⎪ 1 ⎧ ⎫ Dividendo = ⎪⎪ 1 10 −5 1 −7 ⎪⎪ 1 · 2 ·5 6 =⎨ = = : ⎬= · −7 10 ⎪ 6 −7 2 · 3 ·(−1)·7 21 6 10 ⎪ Divisor = ⇒ Inverso = 10 −7 ⎭⎪ ⎩⎪

(D) Ejercicios: OPERACIÓN

SOL.

OPERACIÓN

SOL.

OPERACIÓN

3:

1 2

−10 : ( −25 ) 12

−4 −20 : 7 35

−2 :

8 5

−

16 −8 : −15 21

16 2 : 3 21

−6 2 : 7 5

3 : ( −1 ) 5

−6 13

⎛ 9 ⎞ :⎜− ⎟ ⎝ 13 ⎠

−

−15 17

9 −10

0:

−5 −20 : −3 −6

⎛ 36 ⎞ :⎜− ⎟ ⎝ 25 ⎠

−5 10 : 9 −21

28 −49 : −27 −20

1 3 : 2 5

−13 −13 : 11 11

15 12 : −4 2

⎛ −6 ⎞ −1 : ⎜ − ⎟ ⎝ 15 ⎠

6 5 : −11 7

2 9 : −15 −4

−7 −35 : −8 11

⎛ −1 ⎞ −4 −⎜ ⎟ : ⎝ 3 ⎠ −9 © José Gallegos Fernández

−

11 −3 : −6 2

SOL.

3 −7 : 5 10

42

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OPERACIÓN

SOL.

OPERACIÓN

2 1 5 3 · : · 4 2 8 4

3 −4 5 : · −4 15 12

1 1 1 : · 10 30 3

2 7 −5 −1 − · : · 3 2 6 4

7 −4 9 · · −12 −21 11

2 5 7 · : 3 6 9

−1 −1 −1 : · 12 20 45

1 −3 ⎛ 11 ⎞ · · − −2 5 ⎜⎝ 7 ⎟⎠

−2 3

⎛1 1⎞ :⎜ : ⎟ ⎝2 5⎠

⎛ −1 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜ 2 : 2 ⎟· ⎜ 3 : 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ 3 4 ⎞ ⎛ 3 ⎞ −4 ⎜ 2 : −5 ⎟ : ⎜ 5 · −2 ⎟ · 15 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ −1 ⎞ ⎛ 1 −4 ⎞ ⎛ −1 3 ⎞ ⎜ 2 · 3 ⎟ : ⎜ −5 : 3 ⎟ · ⎜ 4 : −8 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ −3 −4 12 ⎞ ⎛ 1 −1 1 ⎞ ⎜ 4 · 15 : −5 ⎟ : ⎜ 10 : 30 · 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 ⎛ 7 ⎞ −1 7 2 ·⎜− ⎟ : · : 5 ⎝ 2 ⎠ 10 −2 20

−

3 3 −2 ⎛ 9 ⎞ : : · − 5 2 9 ⎜⎝ 15 ⎟⎠

−5 3

−

7 ⎞ −1 ⎛ : ⎜ −4 · ⎟ : 6⎠ 2 ⎝

⎡ 10 ⎛ 6 ⎞ −9 ⎤ ⎛ 4 ⎞ ⎢ −3 · ⎜ − 5 ⎟ · 2 ⎥ : ⎜ − 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝

3 −7 −1 7 ⎛ 2 ⎞ 1 · : · : ⎜ − ⎟· 5 −2 10 2 ⎝ 20 ⎠ 49

SOL.

7 3 ⎛ 6 ⎞ 3 : · · 4 5 ⎜⎝ −14 ⎟⎠ 10

⎛ 5 −15 ⎞ ⎛ −1 −4 ⎞ ⎜ −6 : 4 ⎟ · ⎜ −3 : 27 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎜ 3· ⎟ : ⎜ ·5 ⎟ : ⎜ 4 · ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ −4 ⎠ ⎝ 8 ⎠

−4 ·

−5 3 1 −2 : · 3· : : 2· ( −3 ) 10 10 4 −3

Es fácil comprobar que se cumplen las siguientes propiedades para las operaciones: SUMA: Operación interna (la suma de dos nos racionales es otro nº racional) Asociativa; Elemento neutro (0); Elemento opuesto; Conmutativa Por tanto, los nos racionales con la suma, ( _, + ) , son un grupo conmutativo o abeliano. PRODUCTO: Operación interna (el producto de dos nos racionales es otro nº racional)

Asociativa; Elemento neutro (1); Elemento inverso: 3 · 1 = 1 ; Conmutativa 3

Por tanto, los n racionales con el producto, ( _,· ) , son un grupo conmutativo o abeliano. os

También se cumple la propiedad distributiva, por lo que los nos racionales con ambas operaciones, ( _, +,· ) son un cuerpo conmutativo.

© José Gallegos Fernández

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3.10. Operaciones combinadas con números racionales.

(A) Normas para la realización correcta de las operaciones: 1) Paréntesis y similares. 2) Potencias y raíces. 3) Multiplicaciones y divisiones. 4) Sumas y restas. (B) Norma para realizar operaciones que no tienen preferencia una sobre la otra (del mismo nivel): *) Se hacen conforme van apareciendo (¡de izquierda a derecha!). (C) Ejemplo:

1 −6 3 −6 5 ⎛ 2 5 1⎞ 4 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ −3 ⎛ 7 · : − + − ⎜ ·(−3) − + ⎟ + 3 2 · ⎜ − + 2 : ⎟ − ⎜ + ⎟· 2 5 4 7 −4 ⎝ 3 6 2⎠ 3 ⎠ ⎝ −3 2 ⎠ 2 ⎝ 5 −5 1 ⎞ 2 ⎛ −7 1 −6 3 6 −5 ⎛ 2 4 ⎞ ⎛ −2 1 ⎞ −3 − ⎜ ·(−3) + + ⎟ + 3 ·⎜ + 2: ⎟−⎜ + ⎟· · : + + 2 5 4 7 4 3 6 2 5 3 3 2⎠

2 ⎝  ⎝  ⎠ ⎝  

⎠    ↓

↓

↓

↓

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 4 ⎟ ⎛ −2 1 ⎞ −3 −5 1 ⎟ 2 ⎜ −7 1 −6 3 6 −5 ⎜ 2 − ⎜ ·(−3) + + ⎟ + 3N · ⎜ + 2: ⎟−⎜ + ⎟· · : + + 3 6 2 5 3 3 2 ⎠ 2 2 5 4 7 4 N N ⎟ ⎝  ⎜ ⎜ 

⎟ ⎝ ⎝   

 

⎠ 

⎠  

↓ ↓ ↓  

↓

6 −5 −3 3 −5 1 ⎞ ⎛ ⎛ −7 3 ⎞ : + + − ⎜ −2 + + ⎟ + 9 ·⎜ + ⎟ 5 4 7 4 6 2 5 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 

 

  ↓ ↓  

−

−1 −3 • 6 2   

↓

↓

−4 5

+

6 −5 + 7 4

−

⎛ −7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠

+

1 9· 10 N

−

1 4

−4 6 −5 7 9 1 + + + + − 5 7 4 3  10 4  

↓

188 105

© José Gallegos Fernández

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(D) Ejercicios: OPERACIÓN

SOL.

OPERACIÓN

3 ⎛2 1 ⎞ · + 4 ⎜⎝ 3 −5 ⎟⎠

4 7

−5 ⎞ ⎛ :⎜3+ 4 ⎟⎠ ⎝

⎛3 2⎞ ⎛2 ⎞ ⎜ 4 · 3 ⎟ − ⎜ 4 +7 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

-3 ⎛ 2 1 ⎞ ⋅⎜ + ⎟ 4 ⎝ 3 −5 ⎠

4 ⎛ −5 ⎞ :⎜3 + ⎟ 7 ⎝ 4 ⎠

⎛3 5 ⎞ ⎛3 ⎞ ⎜ + ⎟ ⋅⎜ − 1⎟ ⎝ 2 −3 ⎠ ⎝ 6 ⎠

3 ⎛ 1 −1 ⎞ :⎜ − ⎟ 4 ⎝4 2 ⎠

−1 ⎛ 5 ⎞ 3 :⎜− ⎟ + 4 ⎝ 4⎠ 2

1 7 5 − : − 4 4 2

12 ⎞ ⎛3 ⎞⎛ − ⎜ + 2 ⎟ ·⎜ 2 − ⎟ 7 ⎠ ⎝2 ⎠⎝

⎛3 1⎞ 3 ⎜ − ⎟: ⎝ 5 2 ⎠ 10

⎛1 3⎞ 3 7 ⎜ + ⎟· + ⎝2 4⎠ 5 3

⎛ 2 13 ⎞ −1 −3 − ⎜ + ⎟: ⎝ 3 −5 ⎠ −3 2

−

⎡ 11 ⎛ 1 2 ⎞ ⎤ 1 ⎢ 2 : ⎜ 4 − 3 ⎟ ⎥ · 11 ⎝ ⎠⎦ ⎣

⎛ 17 −1 ⎞ 1 −1 − ⎜ ⎟· + ⎝ 4 −4 ⎠ 4 3

3 5 −2 1 − · ·6 + 2 4 15 4

3 ⎡ ⎛ 1 2 ⎞⎤ · ⎢ 1 − 2· ⎜ − ⎟⎥ 8 ⎣ ⎝ 3 −6 ⎠ ⎦

⎛ −1 −5 ⎞ ⎛ 1 −1 ⎞ 4 ⎜ −2 − 8 ⎟ · ⎜ 3 + 9 ⎟ + −5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−3 7 9 −3 · − − + ( −1 ) 7 −2 −7 −5

5 ⎡ ⎛ 1 2 ⎞⎤ − 1−⎜ + ⎟ 6 ⎢⎣ ⎝ 4 3 ⎠ ⎥⎦

⎛5 ⎞ 3 2 4 ⎜ 2 + 4 ⎟· 4 + 3 − 5 : 2 ⎝ ⎠

2 2 1 1 2 + · − + 3 5 3 3 9

2 ⎛2 1⎞ 1 2 +⎜ · ⎟− + 3 ⎝5 3⎠ 3 9

⎛2 2⎞ 1 1 2 ⎜ + ⎟· − + ⎝3 5⎠ 3 3 9

2 2 ⎛1 1⎞ 2 + ·⎜ − ⎟ + 3 5 ⎝3 3⎠ 9

2 2 ⎛1 1 2⎞ + ·⎜ − + ⎟ 3 5 ⎝3 3 9⎠

2 2 1 ⎛1 2⎞ + · −⎜ + ⎟ 3 5 3 ⎝3 9⎠

⎛2 2⎞ 1 ⎛1 2⎞ ⎜ 3 + 5 ⎟· 3 − ⎜ 3 + 9 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 3 ⎞ ⎛ + 8 − ⎜ −5 + 7·3 − 7 −2 ⎟⎠ ⎝

© José Gallegos Fernández

SOL.

4 ⎛ −1 1 ⎞ −7 ·⎜ − ⎟ : −5 ⎝ 6 2 ⎠ −3

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OPERACIÓN

SOL.

OPERACIÓN

7 ⎛ 2 ⎞ 3 − ⎜ 5 : + 1⎟ − 4 ⎝ 3 ⎠ 2

−3 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ 3 ⎛3 ⎜ 4 + 2 − 4 ⎟ · ⎜ 5 − 8 ⎟ : −9 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 ⎞ −4 ⎛ + 2 ·⎜ 2 − ⎟ : +1 3 2⎠ 5 ⎝

−1 ⎛ −3 −5 3 ⎞ −⎜ − · +4⎟ 3 ⎝ 6 2 2 ⎠

1 5 1 1 4 + · − − 2 8 3 9 5

⎛1 5⎞ 1 1 4 ⎜ + ⎟· − − ⎝2 8⎠ 3 9 5

⎛ 1 5⎞ ⎛1 1⎞ 4 ⎜ + ⎟ ·⎜ − ⎟ − ⎝2 8⎠ ⎝3 9⎠ 5

1 5 ⎛1 1⎞ 4 + ·⎜ − ⎟ − 2 8 ⎝3 9⎠ 5

5 ⎛ 6 3 ⎞ 2 −4 ·⎜ − + ⎟ : − 3 ⎝ 4 2⎠ 3 9

5 −6 3 ⎛ 2 −4 ⎞ · + :⎜ − ⎟ 3 4 2 ⎝3 9 ⎠

5 ⎛ 6 3 2 ⎞ −4 ·⎜ − + : ⎟ − 3 ⎝ 4 2 3⎠ 9

5 ⎛ 6 ⎞ 3 2 −4 ·⎜ − ⎟ + : − 3 ⎝ 4⎠ 2 3 9

5 ⎞⎤ ⎛ 1 3 ⎞ ⎡4 1 ⎛ ⎜ 2 − 5 ⎟ · ⎢ 3 − 5 : ⎜ 2 − 3 ⎟⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠⎦

⎡2 ⎤ −1 ⎛ 4 ⎞ 1 ⎢ 5 − ( −1 )⎥ · 6 + ⎜ − 3 + 1 ⎟ · 5 ⎣ ⎦ ⎝ ⎠

⎛ 2 −7 5 −1 ⎞ ⎛ 4 2 1 ⎞ ⎜ 3 + 2 + −6 − 4 ⎟ : ⎜ 3 + 3 − 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛ ⎞ ⎜ 3 + 2 ⎟ · ⎜ 2 − 4 ⎟ + 5 − 3· ⎜ 4 : 5 + 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 2 ⎛ 4 2 −5 ⎞ ⎜ 3 + 5 · 3 ⎟ − 2 + 6 : −7 ⎝ ⎠

⎡⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤ −2 ⎢⎜ 1 − 5 ⎟ + ⎜ 1 − 3 ⎟ + ⎜ 1 − 7 ⎟ ⎥ : 35 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣⎝

10 5 ⎛ 2 ⎞ −3 −2 ⎛ 1 4 ⎞ : · − : − · − ·6 −3 3 ⎜⎝ 7 ⎟⎠ −7 3 ⎜⎝ 2 3 ⎟⎠

⎡3 2 ⎛5 ⎞⎤ ⎛ 2 ⎞ ⎢ 2 + 5 − 3 ·7 − ⎜ 4 − 3 ⎟ ⎥ : ⎜ 3 + 4 ⎟ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎣

−9 3 ⎛ 1 7 21 ⎞ ⎛ 3 ⎞ : ·5 −⎜ + : ⎟−⎜− ⎟ 6 −6 ⎝ 4 6 −6 ⎠ ⎝ 5 ⎠

5 ⎛ 8 2 ⎞ ⎡⎛ 5 ⎞ 8 −4 ⎤ : ⎥ − ⎜ : ⎟ + ⎢⎜ + 3 ⎟ − 12 ⎝ 6 12 ⎠ ⎣⎝ 2 ⎠ −5 5 ⎦

⎡ ⎛3 12 4 1⎤ ⎞ ⎢ − ⎜ 5 − 2· 5 : 25 − 32 ⎟ − 4 + 7 − 5 ⎥ ⎠ ⎣ ⎝ ⎦

⎡⎛ 3 1 ⎞ 4 ⎤ ⎛ 3 1⎞ 3 ⎢⎜ 4 − 2 ⎟ : 3 + 1⎥ : ⎜ − 4 + 3 ⎟ · 2 ⎠ ⎠ ⎣⎝ ⎦ ⎝

3 ⎛5 1⎞ 4 ⎛3 1⎞ ·⎜ − ⎟ − ·⎜ − ⎟ 8 ⎝ 3 2 ⎠ 11 ⎝ 4 5 ⎠

5 ⎛ 3 1 ⎞ 10 ⎛ 1 3 ⎞ − ⎜ − + ⎟ − ·⎜ − ⎟ 9 ⎝ 4 2 ⎠ −3 ⎝ 2 5 ⎠

3 2 4 4 1 3 3 : − · + − : 5 3 5 3 3 4 7

⎛ 2 7 −5 −1 ⎞ ⎛ 4 2 1 ⎞ − ⎟:⎜− + − ⎟ ⎜ − + 4 ⎠ ⎝ 3 3 6⎠ ⎝3 2 6

2 5 ⎛ 2 2 ⎞ 4 −7 · +⎜− − ⎟: − 3 4 ⎝ 5 35 ⎠ 21 10

1 −5 5 3 5 −4 −2 − · : + · · − 5 4 4 10 −3 5 5

© José Gallegos Fernández

SOL.

46

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OPERACIÓN

SOL.

OPERACIÓN

⎛ 1 1 1 −1 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜ − · − ⎟ ·5 + 2 ·⎜ 4 : − 1⎟ ⎝2 3 2 4 ⎠ ⎝ 3 ⎠

1 1 3 1 ⎛1 3 6⎞ − + : − +1−⎜ : − ⎟ 3 2 5 4 ⎝2 5 5⎠

1 1 1 1 3 + · − +5−4: +1 3 2 2 4 5

1 1 1 1 3 + · − + 5 − 3 ·4 : + 1 3 2 2 4 5

⎡ 1 1 ⎛ 1 1 ⎞⎤ ⎡ ⎛3 ⎞⎤ ⎢ 3 + 2 · ⎜ 2 − 4 ⎟⎥ + 5 − 3 · ⎢4 : ⎜ 5 + 1 ⎟⎥ ⎝ ⎠⎦ ⎠⎦ ⎣ ⎣ ⎝

⎡1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎤ 3 ⎢ 3 + ⎜ 2 · 2 ⎟ − 4 + 5⎥ − 3·4 : 5 + 1 ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎛1 1⎞ 1 1 ⎛ 3 ⎞ ⎜ + ⎟ · − + 5 − 3 ·⎜ 4 : + 1 ⎟ ⎝3 2⎠ 2 4 ⎝ 5 ⎠

1 −1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 3 1 − · ⎜ − ⎟ + 5 − : 4 + − (−1)·(−3) − 5 3 ⎝2 4⎠ 6 5 3

1+

3 2 1 5− 4

7 1 − 5 5 3 2 + 6 5

1 2 1 1− 2

2 1 + 3 2 1 2 + 6 3

3 4 − 4 3 3 5− 2

7 3 + 5 2 5 6 1+ ⋅ 3 15

2 −2 + 3 5 3 2⋅ + 2 2

⎛1 3 ⎞ 2 -⎜ + ⎟ ⎝ 2 −5 ⎠ + 1 2 + {3 − [ 2 + (−5 ) ]}

⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎜ + ⎟· ⎜ − ⎟ ⎝3 5⎠ ⎝5 6⎠ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟· ⎜ + ⎟ ⎝3 5⎠ ⎝5 6⎠

1 6 −7 − + ·2 3 5 15 4 −7 · −6 3 4

1 6 −7 − − ·3 3 5 15 4 −7 +1 · 3 5

-1 ⎛ 2 ⎞ ⋅⎜ + 2 ⎟ 3 ⎝5 ⎠+ 1 -2 3 2-5 3 2: −1 2

1⎞ ⎛ 3 −⎜ 2 + ⎟⋅3 3⎠ ⎝ - 2 - ⎣⎡ 5 - ( -4 ) ⎦⎤ 2 6 −1 − ⋅ 4 3

3 5 3 ⎛ 1⎞ : − ·⎜ 2 − ⎟ + 2 4 8 2 ⎝ 3⎠ 1 4 3 3 · + : 4 5 5 10

⎛1 ⎞ 1 3 : ⎜ + 1⎟ + 2 ⎝ ⎠ 3 ⎛ 2 ⎞ 5 - ⎜ 2 ⋅ − 1⎟ ⎝ 5 ⎠

⎛3 5⎞ 2 ⎛4 ⎞ 2 ·⎜ − ⎟ : ·⎜ + 1 ⎟ 4 2 3 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡ 1 ⎞⎤ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎢1 − 2 · ⎜ 1 + 4 ⎟ ⎥ · ⎜ 1 − 2 ⎟ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎣

1+

3-

{

© José Gallegos Fernández

}

SOL.

47

Departamento de Matemáticas ARITMÉTICA: Números racionales

http://www.colegiovirgendegracia.org/eso/dmate.htm

OPERACIÓN

SOL.

OPERACIÓN

SOL.

1 5 7 1 −2 2 − · + · : 3 2 3 5 3 3 6⎞ 4 9 ⎛ ⎜3− ⎟− − 5⎠ 5 2 ⎝

⎛ 1 2 1 ⎞ −2 ⎜ : + ⎟ · + (−1) ⎝3 7 4⎠ 3 −3 −1 −1 + : 5 4

2 ⎛ 3 ⎞ ⎛ −1 4 ⎞ −5 − 3· ⎜ − + 4 ⎟ − ⎜ − ⎟ : 4 9 ⎝ ⎠ ⎝ 2 3 ⎠ −6 2 −4 ⎛2 ⎞ − · 25 − ⎜ − 6 ⎟ 3 5 ⎝5 ⎠

⎡ 3 ⎛ 2 3 2 ⎞⎤ 9 2 − 3· ⎢ − ⎜ + − · 2 ⎟ ⎥ : 5 ⎣ 5 ⎝ 6 4 5 ⎠ ⎦ −3 4 ⎛ −2 2⎞ ⎞ ⎛2 −⎜ + 3⎟ −⎜ − 3 + ⎟ 3 ⎝ 4 3⎠ ⎠ ⎝4

20 14 2 4 1⎞ ⎛ · − : + 2 ·⎜ 1 + ⎟ 21 5 3 9 2 ⎝ ⎠ 1 1+ 1 1+ 2 1 − + 3 2+

2 + 5 2−

1

1−

2 1−

1 1+

2− 3−

2 3−

2 3

1 4 1

1 2 ⎛ −1 −2 1 ⎞ 2 ⎜ − · ⎟: 5 6⎠ 3 ⎝ 4

1 1+

1

2 3

2−

5 − (3 · 4 + 9)· 3 + 5 : (2 − 1) − 7 · 12 : 4 + 5 2 · 2

2 7 ⎛ 20 ⎞ 3 −⎜5 : + 1⎟ − 4 ⎝ 30 ⎠ 2

⎛2 3⎞ 3 2 2 ⎜ + 6 ⎟ − ( 3 + 7 ) ·(−8) + 10 · 3 · 5 ⎝3 ⎠

⎡⎛ 1 3⎞ 3 2⎤ 2 ⎢⎜ 2 + 5 ⎟ − ( 4 + 9 ) ·(−7 ) ⎥ + 10 · ( 2 · 5 ) ⎠ ⎣⎝ ⎦

⎡⎛ 1 ⎤ ⎞ − ⎢⎜ + 5 3 ⎟ − ( 4 3 + 9 ) ·(−7 ) 2 ⎥ − ( 10 · 2 2 ) : 5 2 ⎠ ⎣⎝ ⎦

3 5 + 5 3 · 2 − 4 3 · 4 2 : 2 − · 3 −2 + 9 : 6 −1 5 4

⎡⎛ 3 5 −2 ⎞ ⎤ −1 3 3⎞ ⎛ 2 ⎢⎜ 5 + 5 · 2 − 4 ⎟ · ⎜ 4 : 2 − 4 · 3 ⎟ + 9 ⎥ : 6 ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣⎝

⎡⎛ 2 6 −2 ⎞ ⎤ −1 3 5 ⎞ ⎛ 2 ⎢⎜ 3 + 6 · 2 − 3 ⎟ · ⎜ 8 : 4 − 7 · 2 ⎟ + 4 ⎥ : 3 ⎠⎝ ⎠ ⎦ ⎣⎝

OPERACIÓN

FRACCIÓN

OPERACIÓN

FRACCIÓN

7 9

 3 '5 ·5 '6

7085 119 = 90 6

825 11 = 525 7

 q 2 ' 3 + 3 ' 125

5453 999

 o −7 ' 3 2 ' 42 + 12 ' 034

7085 1417 = 990 198

  2 '7 − 3 ' 5

  0 ' 916 : 0 ' 583

−

  −2 ' 6 : 1 ' 46

−

20 11

SOL.

o + 12 ' 034 o −7 ' 3 2 ' 42

7087 990

  3 ' 4 + 5 ' 07 − 4 ' 3

38 9

  −1 ' 2 + 2 ' 3 − 3 ' 45

209 −90 10067 900

  0 ' 9 − 8 '7 + 6 ' 54

120 −4 = −90 3

 o + 0 ' 012 0 ' 12 − 0 ' 12

109 9900

  5 ' 3 − 2 ' 003 + 7 ' 8

© José Gallegos Fernández

SOL.

48