EFA MORATALAZ

MATEMÁTICAS 1º ESO

RESUMEN DE LO MÁS DESTACADO DEL TEMARIO DE MATEMÁTICAS PARA 1º DE LA ESO TEMA 1.- NÚMEROS NATURALES. 1.- Sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. 2.- Jerarquía de las operaciones con números naturales: . . . .

1º 2º 3º 4º

Efectuar las operaciones con paréntesis Multiplicaciones y divisiones Sumas y restas Empezar de izquierda a derecha

Ejemplo: 7+5 -2 + 3(5-1) +2 = 7+5 – 2 +3(4) +2 = 12-2+12+2 = 10+14 = 24 3.- Potencias Propiedades de las potencias: 1. Potencia de un producto: es el producto de cada uno de los factores elevado cada uno a esa potencia. Ejemplo: (5 • 3) = (5 • 3) • (5 • 3) = 3 • 5 • 3 • 5 = (5 • 5) • (3 • 3) = 5 2 • 3 2 2

propiedad propiedad conmutativa asociativa 2. La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la potencia del divisor Ejemplo: (6 : 2 ) = 6 2 : 2 2 2

3. Producto de potencias de la misma base. Es igual a otra potencia con la misma base y como exponente la suma de todos los exponentes. Ejemplo: 3 2 • 35 = 3 2+ 5 = 3 7 4. El cociente de potencias de la misma base es igual a otra potencia de la misma base y se restan los exponentes.

Realizado por Miguel Ángel Valverde

1

EFA MORATALAZ

MATEMÁTICAS 1º ESO

Ejemplo: 5 8 : 5 3 = 5 8−3 = 5 5 5. Potencia e una potencia. Es igual a otra potencia de la misma base y se multiplican los exponentes

(7 ) = 7 (7 • 2 ) = 7 3 3

Ejemplo:

9

3 6

6

• 218

6. Otros casos. La potencia de un número elevado a 1 es ese mismo número. 61 = 6 La potencia de un número elevado a 0 es igual a 1. 60 = 1 Las potencias de base 10 son iguales a 1 seguidas de tantos ceros como indica el exponente. 10 3 = 1000 10 5 = 100000 10 8 = 100000000

TEMA 2. DIVISIBILIDAD 1.- Conceptos básicos -Múltiplos de un número son los números que se obtienen multiplicando ese número por un número natural. -

Un número es múltiplo de otro si al efectuar la división de ese número la división es exacta.

16 ÷ 4 = 4 (no tienen resto ninguno) 24 ÷ 2 = 12 -

Divisor. Un número es divisor de otro si lo divide de manera exacta.

10 ÷ 5 = 2 -

5 es divisor de 10

Si un número a es múltiplo de un número b, entonces b es divisor de a. Si un número acaba en 0 entonces es divisible por 10

4530 ÷ 10 = 453 - Si un número acaba en 00, entonces es divisible por 100 Realizado por Miguel Ángel Valverde

2

EFA MORATALAZ

MATEMÁTICAS 1º ESO

7200 ÷ 100 = 72

2.- Otros criterios de divisibilidad Divisibilidad por 2 Divisibilidad por 3 Divisibilidad por 5 Divisibilidad por 10

Divisibilidad por 11

Nºs terminados en 0 o par Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3 Nºs. terminados en 0 o en 5 Nºs. terminados en 10, por 100 si acaban en 00, por 1000 si acaban en 000, etc. Si la diferencia entre la suma de sus cifras de lugar par y las cifras de lugar impar es 0 o múltiplo de 11

14,24, 70, 48,… 42, 81, 300,… 25, 30, 155,… 10, 720, por 10 100, 4500, por 100 1000, 784000, por 1000,.. 22, 132, 616, 1375

3.- Números primos. Son aquellos que sólo tienen como divisores a ellos mismos y a la unidad (1) 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,… 4.- Números compuestos. Son aquellos que tienen más de dos divisores (ellos mismos, la unidad y otros) Ejemplo: el número 8, tiene como divisores al 8, 1, 2 y 4 ¿Cómo se sabe si un número es primo? Se divide por todos los números primos que existen, desde el más pequeño en adelante (1, 2, 3, 5,…), hasta llegar a un cociente que sea menor que el divisor, sin que ninguna división sea exacta. En ese caso el número es primo. Ejemplo: 107 ÷ 2 107 ÷ 3 107 ÷ 5 107÷ 7 07 53 17 35 07 21 37 15 1 2 2 2 107 ÷ 11 08 9 9 < 11 Luego el 107 es primo Realizado por Miguel Ángel Valverde

3

EFA MORATALAZ

MATEMÁTICAS 1º ESO

5.- Descomposición factorial de un número natural es su expresión en forma de producto de números primos. .Ejemplo:

50 25 5 1

2 5 5

36 2 18 2

9 3

3 3 1

50= 2 • 5 • 5 = 2 • 5 36 = 2 2 • 3 2

2

6.- Máximo Común Divisor (M.C.M) de varios números naturales se hace haciendo su descomposición factorial y multiplicando los factores comunes elevados al menor exponente resultante de cada descomposición de cada número. Ejemplo:

60 30 15 5 1 2 60 = 2 • 3 • 5

2 2 3 5

18 2 9 3 3 3 1 18 = 3 2 • 2

M.C.D = 2 • 3 = 6 7.- Mínimo Común Múltiplo (M.C.M) de varios nºs. naturales se obtiene haciendo sus descomposiciones factoriales y multiplicando los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente, resultante de esas descomposiciones factoriales. Ejemplo:

27 3 9 3 3 3 1

27 = 33

15 3 5 5 1

15 = 3 • 5

M.C.M = 33 • 5

Realizado por Miguel Ángel Valverde

4

EFA MORATALAZ

MATEMÁTICAS 1º ESO

TEMA 3. FRACCIONES 1.- Conceptos básicos -

Fracción: es un número que representa o indica una parte de la unidad. También se puede definir como un cociente, un división. Denominador: partes en las que se divide la unidad. Numerador: partes que se toman de la unidad.

2.- Tipos de fracciones -

Fracción propia : 3 4

el numerador es menor que el denominador Ej:

-

Fracción impropia: el numerador es mayor que el numerador. Ej:

-

Fracción unidad: numerador = denominador. Ej:

7 4

5 5

3.- Fracciones equivalentes. Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad: 1 2 a c = ⇒ = 2 4 b d

Comprobación:

a•d = b•c 1• 4 = 2 • 2 = 4 4.- Operaciones con fracciones a) Suma y resta de fracciones con el mismo denominador. Se suman o restan los numeradores y se mantienen el mismo denominador. Ejemplo:

4 3 7 4 2 2 + = ⇒⇒⇒⇒⇒ − = 5 5 5 7 7 7

b) Para sumar y restar fracciones de distinto denominador se hace: a. Se reducen todas las fracciones a común denominador. Para ello se calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m) de todos los denominadores. b. Se divide ese denominador común, el m.c.m obtenido, de los antiguos denominadores y se multiplica por el antiguo numerador, y así se van obteniendo los numeradores. Realizado por Miguel Ángel Valverde

5

EFA MORATALAZ

MATEMÁTICAS 1º ESO

c. Por último nos queda una suma, o resta, de fracciones con denominadores comunes y se suman los numeradores obtenidos después de la operación b. Luego ya podemos sumar, o restar en su caso, como cuando tienen común denominador o mismo denominador. Ejemplo:

8 13 + 9 5

Pasos 1: Obtener denominador común calculando el m.c.m 9= 3 2

5= 5

m.c.m = 3 2 • 5 = 45

Paso 2: Se divide el mcm por los denominadores antiguos y se multiplican por los numeradores antiguos. Así se obtienen los nuevos denominadores. Paso 3: Se suman o restan las fracciones resultantes ya con el denominador común Ej:

8 13 40 117 157 + = + = 9 5 45 45 45

No se puede simplificar porque el 157 es nº primo

c) Multiplicar fracciones: Se multiplican los numeradores y ese es el numerador resultante. Se multiplican los denominadores y ese es el denominador resultante. Ejemplo:

4 5 20 10 5 • = ⇒ ⇒ 3 4 12 6 3

d) División de fracciones: Se multiplican en cruz. El numerador de la primera por el denominador de la segunda y el resultado es el numerador resultante. Y el denominador de la primera por el numerador de la segunda y el resultado es el denominador resultante. Ejemplo:

4 5 16 ÷ = 3 4 15

Recuerda que: Un nº natural siempres se puede expresar como una fracción compuesta por ese número dividido de 1, ya que el 1 es el número neutro de la división.

Realizado por Miguel Ángel Valverde

6

EFA MORATALAZ

Ejemplo: 6 ⇒

MATEMÁTICAS 1º ESO

6 =6 1

Tema 4: NÚMEROS DECIMALES Concepto: Un número decimal es aquel que tiene dos partes. Una parte entera, a la izquierda de la coma, y otra parte decimal, a la derecha de la coma. Orden de los números decimales: Se obtiene comparando la parte entera y luego los decimales, de izquierda a derecha, empezando por las décimas, centésimas, milésimas, etc. 7 < 9 < 11 7.39 < 7.40 < 7.41 < 7.423 Clases de números decimales: -

Exacto: es aquel que tiene un número limitado de cifras decimales. Ejemplo:

-

7.5

8.430

Periódico: Es aquel que tiene un número infinito de cifras decimales que se repiten. . Puro: Si la cifra que se repite a partir de la coma es la misma 4.3333333333… . Mixto: Si al aldo dela coma hay cifras que no se repiten. 2.543333333….

Operaciones con números decimales: . Suma y resta: - Se colocan los números a sumar o restar alineando las comas en la misma columna - Se completan las cifras decimales con ceros - Se hace la suma o resta igual que con números naturales poniendo la coma en su sitio. Ejemplo: sumar 4,35 , 8,8 y 9,323 4,350 Realizado por Miguel Ángel Valverde

7

EFA MORATALAZ

MATEMÁTICAS 1º ESO

8,800 9,323 + _______ 22,473 . Multiplicación: - se colocan los factores un o debajo del otro. - Se hace la multiplicación como si no hubiese comas. - Se ponen tantos decimales a la derecha de la coma en el resultado como números suman a la derecha de la coma cada uno de los factores. Ejemplo: multiplicar 3,75 por 2,42 3,75 x

3,42

Entre los dos factores 4 cifras a la derecha de la

coma

----------750 1500 740 ----------------8, 9 7 5 0

→

Cuatro cifras a la derecha de la coma

. División de números decimales: - Se divide la parte entera entre el número natural Ejemplo:

-

91,2 ÷ 6 31 15

Después se pone la coma en el cociente y se siguen dividiendo la cifras decimales Ejemplo:

91,2 ÷ 6 32 15,2 12 0

. Dividir por 10, 100, 1000, … Se va desplazando la coma del número a dividir a la izquierda tantos lugares como ceros tiene el divisor. Ejemplo:

2, 5 ÷ 10 = 0,25 2,5 ÷ 100 = 0.025 2,5 ÷ 1000 = 0.0025

Realizado por Miguel Ángel Valverde

8

EFA MORATALAZ

MATEMÁTICAS 1º ESO

. Para quitar las comas del dividendo. Se multiplica el divisor y el dividendo por el 1 seguido de tantos ceros como números a la derecha de la coma tiene el dividendo. Y así, la división no varía, ya que tanto el dividendo como el divisor se han multiplicado por el mismo número. Ejemplos: 1)

453,15 ÷ 39, 45 ↓ ↓

Se multiplica por 100

Se multiplica por 100

45315 ÷ 3945 2)

390.6 ↓ Por 100

Y ya se hace una división sin decimales

÷ 7.55 ↓ Por 100

39060 ÷ 755

TEMA 5. NÚMEROS ENTEROS 1. Para comprender los números enteros debemos aceptar que existen números con signo + o -, es decir si son > (mayores) ó < (menores) que 0. 2. Recta numérica: Representa y ordena los números enteros: - Positivos = naturales - Negativos … -5 -4 -3 -2 -15 0 +1 +2 +3 +4 +5….. 3. Valor absoluto de un número. Es el número de unidades que hay desde ese número hasta cero en la recta numérica y se representa como / a/. Los números enteros que tienen el mismo valor absoluto se llaman opuestos. /-3/ = /+3/ = 3 Operaciones con números enteros a) Suma de números del mismo signo. Se suman los valores absolutos y se le pone el signo que llevan. (-3) + (-8) = - 11 (+3) + (+5) = +8

Realizado por Miguel Ángel Valverde

9

EFA MORATALAZ

MATEMÁTICAS 1º ESO

b) Suma de números de distinto signo. Se restan los valores absolutos y se le pone el signo del mayor. (-3) + (+9) = 9 – 3 = +6 (-15) + (+5) = -10 c) Resta de números enteros. Es lo mismo que sumar el opuesto de ese número (-9) – (+3) = (-9) + (-3) = -12 (+5) – (-3) = (+5) + (+3) = +8 d) Multiplicar y dividir. Se multiplican o dividen sus valores absolutos y se aplica la regla de los signos. Regla de los signos + + +1

· · · ·

+ = + - = + = - = +

+ ÷+ + ÷ - ÷ + -

= + = =÷ - = +

(+3) · (-5) = -15 (+15) ÷ (-3) = - 5 (-3) · ( -3) = + 9 (+5)÷ (+5) =

e) Potencia de números enteros . La potencia de un número entero positivo es un número positivo . La potencia de un número entero negativo: -

Si el exponente es par → número positivo

Ejemplo: -(5) 2 = (-5) · (-5) = +25 (aplicando la regla de los signos) -

Si el exponente es impar → nº entero negativo

Ejemplo: -(5) 3 = -(5) · (-5) · (-5) = -125 ↓ ↓ Regla de los signos - · ↓ ↓ + · - = -

¡Ojo!, ten en cuenta que: (-5)

2

= (-5) · (-5) = +25

pero

- (5)

2

= - (5 · 5) = - (25)

= -25

Realizado por Miguel Ángel Valverde

10

EFA MORATALAZ

MATEMÁTICAS 1º ESO

TEMA 6. LENGUAJE ALGEBRAICO 1.- Concepto: Es una combinación de números y letras relacionadas mediante operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación o división). Los sumandos que componen la expresión algebraica se llaman términos. 4 + X = 10 luego X= 6 ↓ ↓ ↓ Términos resultado o valor numérico de la expresión algebraica El valor numérico de la expresión algebraica es el resultado que se obtiene cuando se sustituyen la letras por los números. 2.- debes saber y conocer lo que es: . Monomio: expresión algebraica formada por la multiplicación de números , letras o números y letras. 4xy → monomio . Coeficiente: es la parte numérica de un monomio 4xy

→

4 es el coeficiente

. Parte literal del monomio. Es la parte expresada en letras 4xy → xy es la parte literal . Grado del monomio: Es la suma de los exponentes de la parte literal 4xy → 1+1 = 2 es la suma de los exponentes por tanto el grado 4x 4 y 5 → 4 + 5 = 9 . Monomios semejantes: Son semejantes cuando tienen la misma parte literal, con el mismo grado. 2xy es semejante al monomio 8xy ↓ Igual parte literal (xy)

Realizado por Miguel Ángel Valverde

↓

11

EFA MORATALAZ

MATEMÁTICAS 1º ESO

3.- Operaciones con monomios. a) Sumas y restas. Sólo se pueden hacer estas operaciones si tienen la misma parte literal, es decir si son semejantes. 4xy + 2xy = 6xy ↓ ↓ Misma parte literal, se suman los coeficientes 3x 2 y + 2xy No se pueden sumar porque no son monomios semejantes b) Multiplicación y división por un número: Se multiplica o divide el coeficiente (número) del monomio y se deja igual la parte literal. (8xy) ÷ 2 = 4xy 8÷2 = 4 (10xy)· 5 = 50xy 10 · 5 = 50 4.- Ecuaciones: Igualdad de expresiones algebraicas en la que algún término tiene parte literal (letras) X + 21 = 23 luego x = 2 2 + 21 = 23 A cada parte de la ecuación , a ambos lados de la igualdad, se le llama miembro. X + 21 = 23 ↓ ↓ Miembro 1 miembro 2 A las letras de la ecuación las llamamos incógnitas. X + 21 = 23 ↓ Incógnita 5.- Ecuaciones equivalentes. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo resultado.

Realizado por Miguel Ángel Valverde

12

EFA MORATALAZ

MATEMÁTICAS 1º ESO

Si a ambos lados de una ecuación sumamos, restamos, multiplicamos o dividimos por un número, la igualdad se mantendrá y formará distintas ecuaciones con el mismo resultado (ecuaciones equivalentes): X X X X

= = = =

2 2 2 2

X + 2 =4 2X + 4 = 8 2X + 1 = 5 2X + 6 = 10

multiplicamos por 2 restamos 3 sumamos 5

Como vemos la solución de X es siempre 2 6.- Resolución de ecuaciones. Métodos: a) Reducir a ecuaciones equivalentes 4x + 4 = 12 x + 1 = 3 x = 2

dividimos de 4 a ambos lados de la igualdad restamos 1 a ambos lados de la igualdad

b) Aplicamos la regla de los signos 5x + 3 = 18 5x = 15 - 3 X =

Pasamos el 3 al otro lado cambiando el signo → + = El 5 pasa dividiendo - = + · = ÷

18 − 3 15 = = 3 es la solución 5 5

÷ =

·

←

TEMA 7. UNIDADES DE MEDIDA 1.- Concepto de magnitud. Es todo aquello que se puede medir. 2.- Tipos de unidades de medida: a) Longitud→ metro

mm cm 1000 100 ← ·1000

: 10 :100 : 1000 → → → dam hm km 0.1 0.01 0.001

desde los metros

dm m 10 1 ← ← ·100 ·10 desde los metros

Realizado por Miguel Ángel Valverde

13

EFA MORATALAZ

MATEMÁTICAS 1º ESO

b) Superficie→ metros cuadrados m² La escala es igual que en las medidas de longitud pero son dos ceros (00) en cada escalón. Tanto para la multiplicación como para la división. c) Volumen→ metros cúbicos (m 3 ) La escala es igual que en las medidas de longitud pero son tres ceros (000) en cada escalón. Tanto para la multiplicación como para la división. d) Masa. La unidad de medida es el gramo (gr). El paso en la escala es igual que en la escala de medida de la longitud (un cero en cada paso o escalón). e) Capacidad. La unidad de medida es el litro (l). El paso en la escala es igual que en la escala de medida de la longitud (un cero en cada paso o escalón). 3.- Relación entre unidades de medidas de capacidad y volumen 1000 dm 3 = 1 m 3 = 1000 litros 0.001 dm 3 = 1 cm 3 = 0.001 litro = 1 ml (mililitro)

TEMA 8. PROPORCIONALIDAD 1.- Conceptos básicos a) razón: es el cociente entre dos números 45 = 3 15

b) Proporción. Es la igualdad entre dos razones 200 100 = =4 50 25

Dos razones son proporcionales si se cumple la regla de: (vamos a hacerlo con letras) a c = cuando → a • d = b • c b d

Realizado por Miguel Ángel Valverde

14

EFA MORATALAZ

Ejemplo:

MATEMÁTICAS 1º ESO

200 100 = →→→ 200 • 25 = 50 • 100 = 5000 50 25

2.- Regla de tres directa Se emplea cuando tratamos de comparar magnitudes que se mueven en la misma dirección, es decir, que al crecer una crece la otra, o al disminuir una disminuye la otra, o lo que se conoce como, magnitudes directamente proporcionales. Ejemplo: Si tardo 8 días en recorrer 315 km, ¿cuántos días tardaré en recorrer 905 km? Tenemos dos magnitudes: → Días → Kilómetros Al aumentar los kilómetros aumentarán los días en los que haremos el recorrido. Luego son magnitudes directamente proporcionales. 315 km→→→→ 8 días 905 km→→→→ x días Para resolver la incógnita (x) planteamos una ecuación multiplicando en cruz:

315 • x = 905 • 8 x=

8 • 905 = 22,98 días 315

3.- Regla de tres indirecta o inversa. Cuando las magnitudes son inversamente proporcionales. Es decir, al aumentar una disminuye la otra y viceversa. Ejemplo: Un pastel de 16 piezas o trozos se divide entre 8 invitados y tocan a 2 porciones cada uno. ¿A cuántas porciones tocarían si estuviesen 20 invitados? Lógicamente, a mas invitados menos porciones de pastel, por eso son magnitudes inversamente proporcionales. Al aumentar una magnitud (invitados) disminuye la otra (trozos de pastel) 16 invitados→→→→ 2 porciones 20 invitados→→→→ x porciones En este caso la ecuación se plantea multiplicando en línea, y no en cruz o aspa como en la anterior: Realizado por Miguel Ángel Valverde

15

EFA MORATALAZ

MATEMÁTICAS 1º ESO

16 • 2 = 20 • x x=

16 • 2 = 1.6 piezas o trozos de pastel 20

4.- Porcentajes. Se resuelven como si fuese una regla de tres directa, es decir mide magnitudes directamente proporcionales. Ejemplo: Rudy Fernández lleva en el primer tiempo 7 de 10 triples acertados. ¿Qué porcentaje lleva de acierto? Dos magnitudes: lanzamientos y porcentajes 10 lanzamientos→→→→ →→→100 % acierto 7 lanzamientos acertados →→→→ x % de acierto

10 • x = 100 • 7 X=

100 • 7 70 = = 70 % de acierto 10 10

TEMA 9. GEOMETRÍA DEL PLANO 1.- Perímetro: es la suma de los lados de un polígono. Se mide en unidades lineales de longitud (m, cm, dm, mm, dam, Hm, Km) 2.- Áreas de polígonos. Es la medida de la superficie de un polígono. De mide en unidades de superficie, es decir, unidades al cuadrado (m², cm² dm², mm², Km², etc). Áreas básicas: .Cuadrado : Área = l • l = l 2

. Triángulo: Área =

base • altura 2

Es la línea que va desde el vértice del ángulo más alto hasta la base, formando con esta un ángulo recto (90º)

. Rectángulo: Área = base • altura

Realizado por Miguel Ángel Valverde

16

EFA MORATALAZ

. Rombo: Área=

MATEMÁTICAS 1º ESO

Diagonalma yor • diagonalmenor 2

. Romboide: Área = base • altura

. Trapecio: Área =

BaseMayor + BaseMenor • altura 2

. Polígono regular: Área =

perímetro • apotema 2

Hexágono

. Círculo: Area = π • radio 2 π = 3.1416 Perímetro = 2 • π • radio 3.- Teorema de Pitágoras. Es la propiedad de los triángulos rectángulos ( son aquellos que tienen un ángulo recto, es decir de 90º), y dice así: “La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”

Cateto 1= a ←

→ Hipotenusa = h → Es el lado que está frente al ángulo de 90º 90º

↓ Cateto 2 = b Teorema de Pitágoras

→→

Realizado por Miguel Ángel Valverde

h² = a² + b² 17